UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

AVM FACULDADE INTEGRADA

PROCESSOS APLICADOS A CIRCUITOS DA GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA ELÉTRICA: APLICABILIDADE DAS DISCIPLINAS

DE CIRCUITOS DO 5o AO 6o PERÍODO

Por: Mauro Migon

Orientador

Profa. Mônica Ferreira de Melo

Rio de Janeiro

2012

2

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

AVM FACULDADE INTEGRADA

PROCESSOS APLICADOS A CIRCUITOS DA GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA ELÉTRICA: APLICABILIDADE DAS DISCIPLINAS

DE CIRCUITOS DO 5o AO 6o PERÍODO

Apresentação de monografia à AVM Faculdade

Integrada como requisito parcial para obtenção do

grau de especialista em Docência do Ensino

Superior.

Por: Mauro Migon

3

AGRADECIMENTOS

...A Deus porque sem Ele nada é

possível. A professora Mônica Ferreira

de Melo pela orientação.

4

DEDICATÓRIA

...A todos aqueles que incentivaram na

elaboração deste trabalho.

5

RESUMO

O objetivo desta pesquisa foi o de analisar e aplicar os métodos

matemáticos necessários à análise de circuitos da engenharia elétrica. Foram

aplicadas as ferramentas necessárias para análise das malhas elétricas no

tocante a correntes e tensões em seus diversos pontos mediante a utilização

da transformada de Laplace. Com este processo foi eliminada a necessidade

em grande escala de utilizar as equações íntegro diferenciais. Para analisar o

sinal de saída em relação ao sinal de entrada foi abordado o conceito de

função de transferência à luz da transformada de Laplace e foi aproveitado o

momento adequado para conceituar pólos e zeros desta função. Para o estudo

do sinal de saída em relação ao seu conteúdo harmônico e espectral foi

analisada a série e a transformada de Fourier aplicadas em funções periódicas,

a série temporal e discreta e em funções não periódicas, a transformada de

Fourier. Ao longo dos capítulos foram realizadas aplicações adequadas dos

processos abordados como exemplificação da sua utilização.

6

METODOLOGIA

A natureza deste trabalho é uma pesquisa qualitativa, explicativa ex-

post-facto de cunho bibliográfico. Foi realizada através de livros de matemática

e circuitos elétricos tendo em vista a sua utilização plena nos currículos do

curso de engenharia elétrica. Foram propostas situações e dando soluções a

elas durante a elaboração do trabalho monográfico, mediante os autores

James Holbrook, John Bird, B. Lathi e James Nilson.

7

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 8

CAPÍTULO I - TRANSFORMADA DE LAPLACE DIRIGIDA A CIRCUITOS DO

5o AO 6o PERÍODO 10

CAPÍTULO II - SÉRIE DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E SUA

APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 22

CAPÍTULO III - TRANSFORMADA DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E

SUA APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA 31

CONCLUSÃO 39

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 41

ÍNDICE 42

8

INTRODUÇÃO

Um circuito elétrico é formado por resistores, capacitores, indutores e

transformadores. São alimentados por fontes de tensão, corrente ou ambas.

Normalmente as fontes são AC ou DC.

Os circuitos eletrônicos são formados por componentes ativos que em

DC são analisados por suas propriedades terminais, mas em AC são

analisados por modelos compostos pelos componentes já enumerados mais as

fontes controladas.

Mediante a aplicação de teoremas de circuitos podemos analisá-los

encontrando correntes de malha, correntes nos nós e tensões em diversos

pontos do circuito.

Após a aplicação dos teoremas encontramos como resultado, um

conjunto de equações íntegro-diferenciais que são mais facilmente resolvidas

pela transformada de Laplace.

Na saída dos circuitos encontramos formas de onda (sinais) complexas

que podem ser analisadas através de suas componentes. A série e a

transformada de Fourier fornecem essas componentes puras e senoidais e

também seu espectro discreto ou contínuo de freqüências.

Foi possível conceituar a função de transferência dos circuitos. Ela

permite a obtenção de dados de grande valia no estudo de sua estabilidade e

do conhecimento de suas freqüências de corte. Também permite dimensionar

corretamente um circuito segundo a sua aplicação.

9

A série e a transformada de Fourier quando aplicadas no

processamento de sinais e na engenharia de telecomunicações é uma

poderosa ferramenta que fornece dados para o projeto de filtros não só

analógicos como digitais. Na medicina apresenta grande aplicação no

processamento das imagens das ultrasonografias, nas tomografias e na

ressonância magnética nuclear.

A presente pesquisa visa mostrar esses processos matemáticos e

como aplicá-los na engenharia elétrica.

10

CAPÍTULO I

TRANSFORMADA DE LAPLACE DIRIGIDA A

CIRCUITOS DO 5o AO 6o PERÍODO

1.1 Conceito

A transformada de Laplace permite transformar uma função do

tempo numa função da freqüência. Após a aplicação da transformada teremos

outra função, porém, aplicando a transformada inversa de Laplace voltaremos

à função inicial.

Nos problemas envolvendo análise de circuitos elétricos

encontramos componentes cuja relação tensão/corrente é dada por equações

diferenciais e integrais no domínio do tempo. A solução destas equações é um

processo exaustivo. Aplicando a transformada de Laplace obteremos equações

algébricas no domínio da freqüência, cuja solução recai em processos simples.

Um exemplo de transformação é a logarítmica (BOLTON,

pag.158), onde produtos e divisões são transformados em somas e subtrações.

Z = x.y

log Z = log x.y = log x + log y

Aplicando a transformação logarítmica inversa obteremos o valor

de Z.

A transformada de Laplace de uma função do tempo f(t) é dada

pela equação:

ℒ���� = ���� = ����� � ����

A transformada inversa de Laplace de uma função da freqüência

F(s) é dada pela equação:

-1F(s) = f (t) =

���� ∮������� ��

11

A variável s é a variável de Laplace e também é uma variável

complexa dada por: s = σ + jω

ω = 2π/T = 2πf

→ σ é a parte real e fornece as características do transitório do circuito

elétrico

→ ω é a freqüência angular e fornece as características em regime

permanente do circuito elétrico

→ T é o período em segundos

→ f é a freqüência em hertz

1.2 Propriedades básicas da Transformada de Laplace

• A transformada da soma de funções do tempo f1(t) e f2(t) é dada

pela soma das funções transformadas:

ℒ��1��� + �2���� = �1��� + �2���

• A transformada da diferença de funções do tempo f1(t) e f2(t) é dada

pela diferença das funções transformadas:

ℒ��1��� − �2���� = �1��� − �2���

• A transformada do produto de uma constante a por uma função do

tempo f(t) é dada pelo produto da constante pela função

transformada:

ℒ����� = �����

• A transformada da derivada de primeira ordem de uma função do

tempo f(t) é s vezes a função transformada menos o valor da função

do tempo no instante t = 0:

ℒ ������� = ����� − ��0�

12

• A transformada da integral de uma função do tempo f(t) é dada pela

função transformada dividida por s mais o valor da integral em t = 0

também dividida por s

ℒ ! ������ = "���� + ! ����� ���#� = 0

1.3 Propriedades específicas da Transformada de Laplace

§ Deslocamento no tempo

ℒ��� − �� = ℮ %�F(s)

§ Deslocamento na freqüência

ℒ℮ %����� = ��� + ��

§ Teorema do valor inicial

lim f (t) |t→0 = sF(s) │s→∞

§ Teorema do valor final

lim f (t) │t→∞ = s F(s) │s→ 0

13

1.4 Transformada de Laplace de funções básicas

• Função Degrau → f(t) = u(t)

Esta função é importante, pois representa o fechamento de um

circuito elétrico provocando uma variação abrupta na voltagem que

o alimenta.

É definida por: u(t) = 1 para t ≥ 0 e u(t) = 0 para t < 0

Aplicando a Transformada de Laplace, encontramos:

F(s) = ℒ&��� = ! 1. � ��� dt = ��

• Função exponencial → f(t) = ( )* Esta função é importante, pois aparece na resposta de vários

circuitos elétricos.

É definida por: f(t) = ( )* para t ≥ 0 e f(t) = 0 para t < 0

14

f(t )= u(t)e-at

t

Aplicando a Transformada de Laplace, encontramos:

F(s) = ℒ���� = ! � %�� ��� dt = ��+%

• Função impulso → f(t) = , (t)

Esta função é importante, pois nela estão contidas todas as

freqüências.

É definida por: , (t) = 0 para t ≠ 0 e ! ,+ (t) dt = 1

Aplicando a Transformada de Laplace, encontramos:

F(s) = ℒ-��� = ! -���� ��� dt = 1

Tabela de transformadas básicas da Engenharia Elétrica

(HOLBROOK, pag. 77)

#____ f (t)___ F(s)____

1 u (t) ��

2 Au (t) .�

3 � %� ��+%

4 �±�0� ��∓�0

5 cos 2� ��3+03

15

6 sen 2� 0�3+03

7 � �%±�0�� �� %∓�0

8 � %���42� 0��+%�3+03

9 � %�56�2� �+%��+%�3+03

10 t ��3

11 ������� sF(s) – f (0)

12 !������ ["���+�89���]�

1.5 Comportamento dos componentes elétricos básicos

Os componentes elétricos básicos são: o resistor (R), o capacitor (C) e o

indutor (L).

Denominando de i(t) a corrente elétrica que percorrerá o componente e

v(t) a voltagem que será desenvolvida entre os terminais do componente

elétrico. Será relacionado, a seguir, seu comportamento no domínio do tempo

e no domínio da freqüência.

→ Resistor

No tempo: v(t) = R i(t)

Na freqüência: V(s) = R I(s)

→ Capacitor

No tempo: v(t) = �;! <�����

Na freqüência: V(s) = =����;

→ Indutor

No tempo: v(t) = L �>�����

Na freqüência: V(s) = L s I(s)

16

Deve ser observado que, quem multiplica a corrente na Lei de Ohm é a

resistência, porém, no caso do capacitor e do indutor quem multiplica a

corrente é a reatância. Pode ser notado que o valor da reatância é função da

freqüência angular ω.

1.6 Aplicação ao circuito RC com vc (0) = 0

Seja um circuito RC em série alimentado por uma fonte de tensão v(t) e

percorrido por uma corrente i(t). Aplicando a Lei das Malhas, encontramos:

?��� = @<��� + 1A! <����� . Aplicando a Transformada de Laplace a ambos os

membros da equação, encontramos: B��� = @C��� + �; =���� ·. Após

simplificações, chegamos, finalmente a:

I(s) = D����E;+� �A ←

Seja v(t) = V u (t), onde V é uma voltagem fixa (DC). V(s) = D� [#2 da

tabela]. Substituindo na equação de I(s), simplificando e ajustando as

grandezas convenientemente, obteremos:

G�H� = IJK+ LJM ←

Aplicando o teorema do valor inicial e do valor final, será obtido o valor

da corrente no instante em que o circuito é ligado e o valor da corrente após o

circuito ter sido ligado há muito tempo, sem evoluir a transformada inversa de

Laplace.

lim i(t) |t→0 = sI(s) │s→∞

lim i(t) |t→0 = s IJK+ LJM│s→∞ =

IJ ←

17

lim i(t) |t→ ∞ = s IJK+ LJM│s→0 = 0 ←

1.7 Transformada Inversa de Laplace

Após a resolução do circuito utilizando a transformada de Laplace, será obtida

a solução no domínio da freqüência. A transformada inversa de Laplace

permitirá a obtenção da solução no domínio do tempo.

• Conceito de Pólo

Dada uma função F(s), denominamos de pólo ao valor de s que

conduz F(s) ao infinito.

F(s) = �� % → o pólo será s = a

O gráfico de │F(s)│ será:

Seja F(s) = ��� %��� N� → temos um pólo em s = a e outro em s = b. O

gráfico de │F(s)│ será:

18

|F(S)|

σa b

k1 k2

k 1 → resíduo em torno do pólo s = a

k 2 → resíduo em torno do pólo s = b

k 1 = (s – a) F(s) │s =a = (s – a) ��� %��� N� │s= a

k 1 = �% N ←

k 2 = (s – b) F(s) │s =b = (s – b) ��� %��� N� │s= b

k 2 = �N % ←

• Integração em torno de um pólo

Toda integral fechada envolvendo o pólo fornecerá 2πj.

Toda integral fechada não envolvendo o pólo será zero.

O������ = 2PQ → 564�é#6TóV6 O������ = 0 → 4ã6564�é#6TóV6

A integral fechada envolvendo vários pólos será dada por:

19

O������ = 2PQ�k1 + k2 + ⋯ � k 1, k 2... são os resíduos em torno de cada pólo de F(s).

1.8 Processos para determinar a transformada inversa de

Laplace

1.8.1 Processo das Frações Parciais

Consiste em se desenvolver F(s) em frações parciais onde o denominador

da fração será uma função básica em s, cuja transformada inversa poderá

ser obtida na Tabela da página 14.

Aplicação1: F(s) = ����+����+Z�

F(s) = .�+�+ [�+Z = .��+Z�+[��+����+����+Z� = ��.+[�+Z.+�[��+����+Z�

Comparando com F(s) original: A + B = 2 e 3A + 2B = 0, resolvendo, será

encontrado A = -4 e B = 6. Podemos escrever:

F(s) = ����+����+Z� =

\�+�+ ]�+Z Usando a terceira propriedade básica (pag. 10) e #3 da tabela, teremos

f (t) = -4 ( ^* + _( `* ←

1.8.2 Processo dos Resíduos

Consiste em usar a fórmula da transformada de Laplace inversa associada

ao conceito de resíduos e integração em torno do pólo.

-1F(s) = f (t) =

���� ∮������� ��

20

Seja ������� = a���. A integral fechada envolvendo os pólos de G(s) será dada por: ∮������ = 2PQ�k1 + k2 + ⋯ � e f (t) = ���� �k1 + k2 +⋯� 2PQ = k1 + k2… Aplicação 2: F(s) =

����+����+Z� G(s) =

����+����+Z� ��� k 1 = �� + 2�a���│ s = - 2 = - 4 ( ^* k 2 = �� + 3�a���│ s = - 3 = 6( `* f (t) = -4 ( ^* + _( `* ← 1.8.3 Processo da Convolução O processo da convolução (HOLBROOK, pag.118), também conhecido por teorema de Borel ou integral de Faltung, permite operar com produto de funções complexas e fornece um processo adicional para encontrarmos transformadas inversas de Laplace quando a função complexa pode ser decomposta em outras funções cujas transformadas inversas são conhecidas. F1(s). F2 (s) ≠ ℒ[f1(t). f2(t)] Pela integral de convolução: ℒ-1 F(s) = f(t) = ! ��� 1(t – f).f2(f) df = ℒ -1[ F1(s).F2(s) ] (HOLBROOK, pag. 120)

Aplicação 3: F(s) = ���+����+Z�

F1(s) =

��+� → f1(t) = � �� → f1(t - f) = � ��� g�

21

F2(s) =

��+Z → f2(t) = � Z� → f2( f) = � Zg f(t) = ! � ��� g��� � Zg df = � �� ! � g�� �f resolvendo:

f (t) = ( ^* −( `* ←

1.9 Conceito de função de transferência

Função de transferência é definida como a relação, no domínio da

freqüência, entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de

Laplace da entrada. É representada em geral, por H(s).

Sendo Xo a transformada da saída e Xi a transformada da entrada, H(s)

será:

h��� = ijik Num circuito eletrônico H(s) pode aparecer em quatro situações

específicas. → Xo (s) e Xi(s) são tensões

H(s) será o ganho de tensão do circuito → Xo (s) e Xi(s) são correntes

H(s) será o ganho de corrente do circuito → Xo(s) uma tensão e Xi(s) uma corrente

H(s) será o ganho de transresistência do circuito → Xo(s) uma corrente e Xi(s) uma tensão

H(s) será o ganho de transcondutância do circuito

A determinação dos pólos de uma função de transferência H(s) permitirá o

conhecimento das freqüências de corte do circuito em análise.

22

“A solução da maioria dos problemas elétricos pode ser reduzida

em definitivo à solução das equações diferenciais, sendo que o

uso das transformadas de Laplace proporciona um método

alternativo aos que são empregados normalmente”

(BIRD, 2009, pag. 535)

Concluímos o capítulo I onde foi mostrado que os problemas de circuitos

elétricos podem ser resolvidos em sua maior parte por equações algébricas e

não por equações diferenciais, usando a transformada de Laplace.

23

CAPÍTULO II

SÉRIE DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E SUA

APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

ELÉTRICA

2.1 Conceito

Fourier descobriu, ao estudar problemas referentes à transmissão

de calor que, uma função periódica pode ser representada por uma soma

infinita de funções seno e cosseno de freqüências múltiplas de uma

fundamental, chamadas de freqüências harmônicas.

2.2 Funções Periódicas

Uma função f(t) é periódica se f(t + nTo) = f(t) onde n é um número

inteiro e To é o período ou intervalo de tempo em que a função se repete.

2.3 Série de Fourier geral

Uma função f(t) que satisfaça as condições de Dirichlet pode ser

desenvolvida numa série do tipo

f(t) = ao + a1 cos ωot + a2 cos 2ωot +R b1 sen ωot + b2 sen 2 ωot + R

[ref. 2, Pag. 51] ou

f(t) = ao + ∑ �)mnopmqr* + smH(mmqr*�mtL

qr é a freqüência da fundamental

24

mqr são harmônicas da fundamental

qr = 2π/To

A expressão de f(t) é conhecida por série de Fourier.

Caso seja uma função representativa de uma onda de calor, uma

onda num lago ou uma onda numa corda, o período será designado por L e a

série de Fourier, por

��u� = �� +vw�x cos 4Pu| + }x sin 4Pu| �xt�

Para a série de Fourier existir os coeficientes an, bn e ao devem ser

finitos.

A integral ! ������ < ∞��/�–��/� .

A função f(t) deve ter um número finito de máximos e mínimos num

período e pode ter somente um número finito de descontinuidades finitas no

período. Estas condições são conhecidas por condições de Dirichlet.

2.4 Relações matemáticas importantes para o desenvolvimento de Fourier

(n inteiro). (LATHI, pag. 764 e 772)

→! ��4426��� = 0T����6�64��/� ��/�

→! 56�426��� = 0T����6�64��/� ��/�

→! 56�426���4#26��� = 0T����6�64�#��/� ��/�

25

→! ��4426���4#26��� = ��� T���# = 4��/� ��/�

→! 56�426�56�#26��� = ��� T���# = 4��/� ��/�

→ sen ωot = ���j� �8��j���

→ cos ωot = ���j�+�8��j��

→�±�0�� = cos26� ± Q��426�

→�±�x� = 1 n par e -1 n ímpar

2.5 Coeficientes de Fourier

Ao ser definida a função periódica f(t), determinamos os coeficientes

ao , an e bn .

Para ao: integramos ambos os lados da equação

f(t) = ao + ∑ ��4 cos 426� + }4��4426��xt�

em um período To.

������ =��/� ��/� �6�� +v ��456�426� + }4��4426������/�

��/�xt� ��/�

��/�

! ������ =��/� ��/� ao To + 0

ao = L�r ! ��*��*�r/^ �r/^ ←

Para an: multiplicamos ambos os lados da equação

f(t) = ao + ∑ ��4 cos 426� + }4��4426��xt�

26

por cos nωot e integramos ambos os lados em um período To.

���� cos 426� �� =��/� ��/� �6 cos 426� �� +��/�

��/� v �����/� ��/�

xt�

onde A = an cos nωot cos nωot + bn cos nωot sen nωot

! ���� cos 426� �� =��/� ��/� 0 + %x��� + 0

)m = �̂r! ��*� nopmqr*�**r/^ �r/^ ←

Para bn: multiplicamos ambos os lados da equação

f(t) = ao + ∑ ��4 cos 426� + }4��4426��xt�

por sen nωot e integramos ambos os lados em um período To.

���� sen 426� �� =��/� ��/� �6 sen426� �� +��/�

��/� v �����/� ��/�

xt�

Onde B = an sen nωot.cos nωot + bn sen nωot.sen nωot

���� sen 426� �� =��/� ��/� 0 + 0 + }4�62

sm = �̂r! ��*� p��mqr*�**r/^ �r/^ ←

2.6 Funções com simetria

Uma função periódica f(t) = f(-t) é definida como função par. Somente

polinômios com expoentes pares possuem esta propriedade.

Para funções pares encontramos apenas os coeficientes ao e an no

desenvolvimento de Fourier.

27

Uma função periódica f(t) = - f(-t) é definida como ímpar. Somente

polinômios com expoentes ímpares possuem esta propriedade.

Para funções ímpares encontramos apenas os coeficientes bn no

desenvolvimento de Fourier.

Aplicação 1: Obtenção das componentes harmônicas de um pulso quadrado

mostrado no gráfico abaixo onde To = 8 milisegundos = T.

Aplicando as fórmulas dos coeficientes de Fourier:

ao = ��� ! ��������/� ��/� = �� [! 0. �� +! 5��]\�� \

ao = 2,5 volts

�4 = ��� ! ���� cos 426� ����/� ��/� =

�� [! 0.� \ cos 426� �� + ! 5 cos426���]\� =

�\ [0 + 5 ! cos ��x��\� ��] = �\ [ \�x ��4 ��x�� ] �40� )m = ^���msen πn = 0 ←

28

}4 = ��� ! ���� sen426� ����/� ��/� =

�� [! 0.� \ sen 426� �� + ! 5 sen426���]\� =

�\ [− \�x 56� ��x�� ] �40� = - �x� [cos4P − cos 0] sm = 0 para n par ←

sm = L��m para n ímpar

A série será: f(t) = 2,5 + ∑ ���xxí ¡%¢ ��4 �x�\

f(t)=2,5+L�� H(m �*� + L�`� H(m `�*� + L�£� H(m £�*� + ⋯ ←

Aplicação 2: Obtenção das componentes harmônicas de uma onda quadrada

mostrada no gráfico abaixo onde To = 2π = T

f(θ)

θ

K

π-π

- K

Seriam aplicadas as fórmulas dos coeficientes de Fourier, porém, f(¤) possui

simetria em torno da origem. Ela é uma função ímpar. Em conseqüência ao = 0

e an= 0. A função f(¤� pode ser escrita:

29

f(¤� = ∑ }4��44¤xt�

}4 = 22P ��¤� sen4¤ �¤� �

}4 = �� [! −¥ sen 4¤ �¤� � + ! ¥ sen 4¤ �¤]��

}4 = ¦� [§¨© xªx � 0−P�– §¨©xªx �P0�] }4 = ¦x� [cos 0 − cos 4P −cos 4P + cos 0]

}4 = �¦x� �1 − cos 4P� « }4 = 04T��6&}4 = \¦x� 4í#T��� A série será:

f(¬� = ∑ �­m� H(mm¬mí®¯)° ←

f(¬� = �­� sen ¬ + �­`� sen 3¬ +R ←

2.7 Série de Fourier Exponencial

A série de Fourier exponencial também conhecida como série discreta

de Fourier fornece as componentes de Fourier de uma forma mais prática.

Através da série discreta de Fourier obtemos a transformada discreta de

Fourier que fornece o espectro de freqüências contido no sinal ou forma de

onda em análise. A transformada discreta de Fourier possui grande importância

no processamento digital de sinais.

A série fornece suas componentes no domínio do tempo. A

transformada fornece suas componentes discretas no domínio da freqüência.

A série exponencial ou discreta de Fourier será:

→ f(t) = ∑ ��2���x0��+

30

��2� é a transformada discreta de Fourier

→ ��2� = ��� ! ����� �x0��+��/�–��/� �� Pode ser observado que a série discreta de Fourier se apresenta de

uma forma mais compacta. É mais prático trabalhar com exponenciais que

trabalhar com fórmulas trigonométricas.

Aplicação 3: Obtenção do espectro de freqüências do pulso mostrado no

gráfico abaixo, onde:

↔ To = 2π = T

↔ t1 = - π/4 = - To/8

↔ t2 = + π/4 = +To/8

A = 2

O espectro de freqüências ��2� será:

��2� = ��� ! 2� �x0��+��–�� �� ↔ ωo = 2π/To = 1

↔ t1 = - π/4

↔ t2 = + π/4 substituindo em ��2�: ��2� = 12P 2� �x�+�/\

–�/\ ��

31

��2� = ���x� [� �²³´ −��²³´ ]

��q� = �̂m H(m �m� ←

n ��2� 0 ½

±1 √2/π

±2 1/π

±3 √2/3π

±4 0

±5 -√2/5π

±6 -1/3π

“Fourier é mais conhecido pela série matemática infinita de

termos em seno e cosseno denominadas séries de Fourier,por

ele utilizadas para o estudo da condução do calor em sólidos.

Embora fosse essencialmente um matemático, grande parte do

seu trabalho está ligado ao estudo de fenômenos físicos como

transferência de calor, manchas solares e clima. Fez parte do

primeiro grupo de professores da École Polytechnique em Paris”

(BOYLESTAD,2004,pag.757)

O capítulo II está concluído. Foi mostrado como as formas de onda

obtidas na saída dos circuitos podem ser decomposta em suas componentes

puras no domínio do tempo e também como obter seu espectro de freqüências

visando uma análise mais apurada.

32

CAPÍTULO III

TRANSFORMADA DE FOURIER DIRIGIDA A CIRCUITOS E SUA

APLICABILIDADE NA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

ELÉTRICA

3.1 Conceito

A transformada de Fourier também conhecida por Integral de Fourier

desempenha um papel muito importante no ramo da engenharia elétrica, da

engenharia eletrônica e da engenharia de telecomunicações.

Possui grande aplicação em processamento de sinais e na teoria das

telecomunicações. É aplicada em funções que não se repetem no tempo, ou

seja, em funções não periódicas.

Na análise de funções periódicas o espectro de freqüências é discreto

para múltiplos da freqüência fundamental (veja o cap. II), porém para funções

não periódicas isto é, para o período tendendo a infinito notamos que a

fundamental tende a zero e as harmônicas ficam tão próximas que se

transformam num espectro continuo de freqüências.

Sob o ponto de vista de uma interpretação física, a transformada de

Fourier é um caso limite de uma série de Fourier (NILSON, pag.475) e as

funções não periódicas serão representadas pela transformada de Fourier.

3.2 Transformada de Fourier

A transformada de Fourier é o limite da série discreta de Fourier quando

o período torna-se infinito. Passamos de uma função periódica para uma

função não periódica e a distância entre as linhas espectrais, 0, ωo ,2 ωo , etc ,

é dada por: ∆ω = ωo = ���� ou ��� = ¶·�� .

33

À medida que To cresce, ∆ω tende a dω. L�r → �q^� ¯)°)�r → ∞

A freqüência deixa de ser uma variável discreta e passa a ser uma variável

contínua ou nωo = n∆ω → 2 quando o período tende a infinito.

��2� = ��� ! ����� �x0��+��/�–��/� �� → To ��2� = ! ����� �0�+– �� a esta integral chamamos de transformada de Fourier ��2� (NILSON, pag. 476).

¸�q� = ! ��*�(−¹q*+∞–∞ �* = º[��*�] ←

f(t) = ∑ ��2���x0�� + = ∑ �6��2���x0�� ���+

Quando To tende a infinito, o somatório tende à integral, To ��2� tende a

��2�, nωo tende a ω e ��� → �0��. Assim f(t) será:

���� = ! ��2� ��0� �0��

º L[¸�q�] = ��*� = L̂� ! ¸�q�(¹q* �q ←

A fórmula acima representa a transformada inversa de Fourier.

Para que exista a transformada de Fourier de ���� a condição abaixo

deverá ser satisfeita:

! │����│�� < ∞ (LATHI, pag. 76). Isto exclui todas as funções

periódicas.

34

Algumas funções importantes como a função u(t) não possui

transformada de Fourier, pois contraria a condição anterior.

É possível neste caso multiplicá-la pela função � ¦� e após encontrar

a transformada de Fourier fazer k tender a zero.

3.3 Propriedades da transformada de Fourier

§ Soma

º[�L�*� + �^�*�] = ¸L�q� + ¸^�q�

§ Diferença

º[�L�*� − �^�*�] = ¸L�q� − ¸^�q�

§ Constante vezes função

º[­��*�] = k¸�q�

§ Derivada de uma função

º[���*��* ] = ¹q¸�q�

§ Integral de uma função

º[ ! ��*��*] = ¸�q�¹q*

§ Deslocamento no tempo

º��* − *r� = ¸�q�( ¹q*r

§ Deslocamento na freqüência

º[(¹qr*��*�] = ¸�q − qr�

35

§ Modulação

��*� → �<4�V#6�&V��6�

»�*� → �<4�V#6�&V��6 qr → ���¼&�45<���T6����6��

º»�*� = º[��*�½rHqr*] = L̂ [¸�q − qr� + ¸�q + qr�]

3.4 Uso da transformada de Laplace para calcular a transformada de

Fourier (NILSON, pag. 478)

Na engenharia elétrica trabalhamos com funções causais. Neste caso

podemos calcular a transformada de Fourier a partir da transformada de

Laplace (desde que os pólos estejam no semi plano lateral esquerdo).

Seja f(t) a função para a qual desejamos calcular a transformada de

Fourier. Sendo F(s) a transformada de Laplace de f(t) basta substituir s por jω e

teremos ¸�q�.

Aplicação 1: Obtenção da transformada de Fourier de f(t) = sen ωot para t≥0.

���� = 0��3+0�3 logo, ℱ[��426�] = ��2� = 0��3+0�3 para s = jω

¸�q� = qr�¹q�^+qr^ ←

36

Aplicação 2: Obtenção da transformada de Fourier da função f(t) = � %� u(t)

sendo a>0

f(t )= u(t)e-at

t

��2� = ℱ���� = �����−Q2��� =∞−∞ � %�u�t��−Q2��� =∞

−∞

� �%+�0���� =�

−1� + Q2� �%+�0��│� = 0�� = ∞

¸�q� = L)+¹q ←

Observa-se que se a=0 teremos f(t) = u(t) e ¸�q� = L¹q ←

Aplicação 3: Para o pulso mostrado a seguir obter sua transformada de Fourier.

Dados: |t1| = t2 = g�

37

f é a largura do pulso.

T → ∞ (trata-se de uma função não periódica).

��2� = ℱ���� = �����−Q2���∞−∞

��2� = 0. � �0� g/� �� + �� �0�+g/�

g/� �� + 0. � �0�g/� ��

��2� = � ! � �0�+g/� g/� �� = .�0 Á� �0� �T��� g� � − g�� ��2� = −�Q2 [� �0g� −��0g� ] ��2� = 2�2 [��0g� −� �0g�2Q ]

¸�q� = ^Ãq [H(mqÄ̂] ←

¸��� = ÃÄ

¸�q�H(°ámÆÇ)¯)°)q = ±^�Ä ,±��Ä ,±_�Ä …

3.5 Tabela simplificada de transformadas de Fourier (LATHI, pag.85)

f(t) ��2�

1 2P-�2� -��� 1

�±�0�� 2P-�2 ∓ 26� 56�26� P[-�2 − 26� + -�2 + 26� ��426� j P[-�2 + 26� − -�2 − 26� � %�&��� �%+�0 � > 0

f(t) ��2�

38

�%� &�−�� �% �0 � > 0

� %|�| �%%3+03 � > 0

� %���426�&��� 0��%+�0�3+0�3 � > 0

� %�56�26�&��� %+�0�%+�0�3+0�3 � > 0

∑ -�� − 4�6�xt 26∑ -�2 − 426�xt

“As freqüências negativas ocorrem por causa do uso do espectro

exponencial por conveniência matemática. Cada sinusoide

cós ωot aparece como a soma de duas componentes

exponenciais ��0�� e � �0�� com freqüências ωo e –ωo,

respectivamente. Mas na realidade, existe somente uma

componente de freqüência ωo.” ( LATHI, 1998, pag.81)

Concluímos o capítulo III onde foi mostrado que as propriedades da

transformada de Fourier constituem uma ferramenta poderosa na análise de

sinais não periódicos e também nos problemas relacionados ao processamento

de sinais e à teoria das telecomunicações.

39

CONCLUSÃO

Portanto, por utilizar a engenharia elétrica (eletrônica,

telecomunicações e controle) para seu desenvolvimento diversas disciplinas

para compor todos os conteúdos necessários à formação do engenheiro nas

habilitações citadas e, um dos conteúdos de ensino obrigatório é um conjunto

de ferramentas matemáticas visando análise dos circuitos quanto à sua

estrutura interna, malhas e à sua estrutura de transferência, entrada e saída

mais a análise do sinal desenvolvido na saída, foi possível compreender

processos matemáticos aplicados à solução de circuitos da engenharia

elétrica.

Foram aplicadas técnicas de solução de circuitos por equações

algébricas mediante a utilização da transformada de Laplace ao invés das

equações íntegro diferenciais cujas soluções são mais complexas.

Foram pesquisados processos de análise de sinais complexos por sua

decomposição em sinais mais simples graças à teoria das séries de Fourier.

Tudo foi possível graças aos trabalhos desenvolvidos por matemáticos

como Laplace, Borel, Faltung e Fourier. Esses trabalhos facilitaram a análise

de circuitos da engenharia elétrica.

Laplace, Borel e Faltung forneceram técnicas para obtenção da

transformada direta mediante propriedades matemáticas e a transformada

inversa mediante a utilização do processo de frações parciais e a utilização do

teorema da convolução.

40

Fourier forneceu os métodos que foram aplicados para decompor os

sinais em componentes puras senoidais no domínio do tempo. Forneceu

também as componentes discretas no domínio da freqüência graças a sua

série exponencial.

A transformada de Fourier permitiu a análise espectral de sinais não

periódicos. Possibilitou observar através da transformada do pulso que, quanto

menor a sua duração mais constante é a sua resposta espectral. Isto significa

que a função impulso delta de Dirac possui como transformada a unidade.

Foram obtidos resultados de grande potencial nos métodos

matemáticos desenvolvidos para a análise de circuitos da engenharia elétrica.

41

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

BIRD, John. Circuitos Elétricos: Teoría e Tecnología. Campus Elsevier. 2009.

BOLTON, W. Engenharia de Controle. Makron Books. 1995.

HOLBROOK, James G. Transformadas de Laplace para Ingenieros en

Electrónica. Limusa Wiley S.A. 1972.

LATHI, B.P. Modern Digital and Analog Communication Systems. Berkeley-

Cambridge Press. 1998.

LePAGE, Wilbur R. Complex Variables and the Laplace Transform for

Engineers. Tata McGraw Hill. 1961.

NILSON, James W; Riedel, Susan A. Circuitos Elétricos. Pearson Prentice Hall.

2009.

YOUNG, Paul H. Técnicas de Comunicação Eletrônica. Prentice Hall. 2006.

42

ÍNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATÓRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMÁRIO 7

INTRODUÇÃO 8

CAPÍTULO I

Transformada de Laplace Dirigida a Circuitos do 50 ao 60 Período 10

1.1 - Conceito 10

1.2 – Propriedades básicas da Transformada de Laplace 11

1.3 – Propriedades específicas da Transformada de Laplace 12

1.4 - Transformada de Laplace de funções básicas 1 3

1.5 – Comportamento dos componentes elétricos básicos 15

1.6 – Aplicação ao circuito RC com vc (0) = 0 16

1.7 - Transformada Inversa de Laplace 17

1.8 – Processos para determinação da transformada inversa de Laplace 19

1.8.1 – Processo das Frações Parciais 19

1.8.2 – Processo dos Resíduos 19

1.8.3 – Processo da Convolução 20

1.9 – Conceito de função de transferência 21

CAPÍTULO II

Série de Fourier Dirigida a Circuitos e sua Aplicabilidade na Graduação em

Engenharia Elétrica 23

2.1 – Conceito 23

2.2 – Funções Periódicas 23

2.3 – Série de Fourier geral 23

43

2.4 – Relações matemáticas importantes para o desenvolvimento de Fourier (n

inteiro) 24

2.5 – Coeficientes de Fourier 25

2.6 – Funções com simetria 26

2.7 – Séries de Fourier Exponencial 29

CAPITULO III

Transformada de Fourier Dirigida a Circuitos e sua Aplicabilidade na

Graduação em Engenharia Elétrica 32

3.1 – Conceito 32

3.2 – Transformada de Fourier 32

3.3 – Propriedades da transformada de Fourier 34

3.4 – Uso da transformada de Laplace para calcular a transformada de Fourier

35

3.5 – Tabela simplificada de transformadas de Fourier 37

CONCLUSÃO 39

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 41

ÍNDICE 42