UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

FACULDADE INTEGRADA AVM

MATEMÁTICA FINANCEIRA

UMA REVISÃO SINTETIZADA E EXEMPLIFICADA

Por: Vinicius Esteves Borges

Orientadora

Professora Ana Cláudia Morrissy

Rio de Janeiro

2011

2

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”

FACULDADE INTEGRADA AVM

MATEMÁTICA FINANCEIRA

UMA REVISÃO SINTETIZADA E EXEMPLIFICADA

Apresentação de monografia à Universidade

Candido Mendes como requisito parcial para

obtenção do grau de especialista em Gestão em

Instituições Financeiras.

Por: Vinicius Esteves Borges

3

AGRADECIMENTOS

Agradeço a todos que, de

alguma forma, colaboraram para a

realização deste trabalho em

especial:

Aos familiares e amigos, que

me incentivavam e me deram

estímulo para agir sempre em

direção ao objetivo.

Ao Banco do Brasil S.A. pela

disponibilização de cursos auto-

instrucionais que muito contribuem

para a minha formação profissional.

Agradeço ao Instituto A Vez do

Mestre por meio da orientadora

Professora Ana Cláudia Morrissy por

esta empreitada conjunta.

Agradeço a Deus pela força

que me faz levantar todos os dias de

manhã.

4

DEDICATÓRIA

A minha esposa, Hellen Carla, meus

pais, Ronaldo e Neiva, e a minha irmã,

Carolina, pelo tempo que lhes furtei.

5

RESUMO

O estudo tem por objetivo sintetizar conceitos de Porcentagem, Juros

Simples, Desconto Simples, Juros Compostos, Estudo e Definição das Taxas,

Convenções Linear e Exponencial, Descontos Compostos, Rendas Certas,

Sistemas de Amortização e Análise de Fluxo de Caixa com exemplos práticos

da área de finanças. Dividido em três capítulos, tem como objetivo facilitar o

aprendizado básico da disciplina de Matemática Financeira para profissionais

de instituições financeiras e do mercado financeiro, bem como facilitar a

preparação dos candidatos a todos os concursos públicos onde sejam

cobrados estes conhecimentos.

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METODOLOGIA

O estudo tem por objetivo sintetizar conceitos de Porcentagem, Juros

Simples, Desconto Simples, Juros Compostos, Estudo e Definição das Taxas,

Convenções Linear e Exponencial, Descontos Compostos, Rendas Certas,

Sistemas de Amortização e Análise de Fluxo de Caixa com exemplos práticos

da área de finanças. Pretende-se item a item definir suas características,

conceituar metodologias de cálculo empregadas estabelecendo suas

diferenças, apresentar casos práticos da área de finanças, demonstrar a

solução destes casos aplicando os conceitos estudados bem como, quando

possível, a resolução na calculadora HP-12C. Como referência bibliográfica e

de conhecimento são utilizados materiais de cursos internos destas áreas no

Banco do Brasil S.A bem como notas de aulas além de livros e pesquisas web

aplicáveis ao estudo em questão.

7

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 08

CAPÍTULO I

PORCENTAGEM, JUROS E DESCONTOS SIMPLES 11

CAPÍTULO II

JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS 18

CAPÍTULO III

RENDAS CERTAS, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÂO E

ANÀLISE DO FLUXO DE CAIXA 31

CONCLUSÃO 45

ANEXOS 46

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 50

ÍNDICE 51

8

INTRODUÇÃO

A Matemática Financeira teve seu início quando o homem criou os

conceitos de Capital, Juros, Taxas e Montante. Daí para frente, os cálculos

financeiros tornaram-se mais justos e exatos, mas é preciso conhecê-los, se

possível muito bem.

Hoje, a velocidade com que transações financeiras são fechadas nos

diferentes pontos do globo terrestre demonstra que tempo e espaço perderam

suas noções originais. Rompidas as limitações impostas pelas condições

espaço-temporais, o mercado financeiro exige de quem nele opera tenha

competências até há pouco tempo inimagináveis.

Paralelamente, os meios de comunicação têm disponibilizado

informações em quantidade, qualidade e velocidade tais, que já não se admite

que alguém possa alegar ignorância total a respeito de qualquer assunto em

qualquer parte do mundo.

Este trabalho, que é constituído de três capítulos, tem como objetivo

facilitar o aprendizado básico da disciplina de Matemática Financeira para

profissionais de instituições financeiras e do mercado financeiro, bem como

facilitar a preparação dos candidatos a todos os concursos públicos onde

sejam cobrados estes conhecimentos.

No primeiro capítulo são apresentados conceitos de Porcentagem, Juros

Simples e Desconto Simples. No segundo capítulo são apresentados conceitos

de Juros Compostos, Estudo e Definição das Taxas, Convenções Linear e

Exponencial e Descontos Compostos. Por fim, no terceiro capítulo são

apresentados conceitos de Rendas Certas, Sistemas de Amortização e Análise

de Fluxos de Caixa.

Este trabalho demonstra os conceitos de forma sintetizada e com a

apresentação de exemplos básicos para a compreensão do que foi explanado.

9

CAPÍTULO I

PORCENTAGEM, JUROS E DESCONTOS SIMPLES

Porcentagem

A taxa percentual i% associa-se a razão i / 100 e assim calcula-se i% de

uma quantidade qualquer multiplicando a mesma pela razão.

Exemplo 01:

Calcular 20% de 80.

Temos: 20% . 80 = 20 / 100 . 80 = 0,2 . 80 = 16

Do exemplo podemos inferir que 20% é igual a 20 / 100 e que também é

igual a 0,2. Este último, utilizado no exemplo como última transformação antes

de sua efetiva multiplicação pela quantidade é o que chamamos de Taxa

Percentual na Forma Unitária.

i è Taxa Percentual na Forma Unitária

Podemos ainda ampliar a análise introduzindo o conceito de fator de

atualização onde aparecem ainda as situações de aumento e redução que

para a solução das situações propostas deve-se somar ou diminuir,

respectivamente, da unidade o aumento ou a redução em questão

F = 1 + i è Fator de Aumento

F = 1 – i è Fator de Redução

Na forma dos exemplos abaixo podemos entender:

Exemplo 02:

Um artigo com preço de $ 50,00 deve ser reajustado em 10%. Qual o

seu preço final?

Temos: Reajuste è Fator de Aumento

Logo: F = 1 + 10% = 1 + 10 / 100 = 1 + 0,1 = 1,1

Portanto: Preço Final = $ 50,00 . 1,1 = $ 55,00

Exemplo 03:

10

Um artigo com preço de $ 200,00 deve sofrer um desconto de 5%. Qual

o seu preço final?

Temos: Desconto è Fator de Redução

Logo: F = 1 - 5% = 1 - 5 / 100 = 1 - 0,05 = 0,95

Portanto: Preço Final = $ 200,00 . 0,95 = $ 190,00

Ressaltamos, também, a possibilidade de que fatores sejam

considerados em conjunto onde devemos multiplicá-los junto com a unidade

em análise. Logo, entende-se que uma infinidade de situações pode ocorrer

com a presença de diversos Fatores de Aumento e de Redução interferindo

em conjunto no caso proposto.

Exemplo 04:

Um artigo sofre dois reajustes sucessivos de 10% e 20%. Sabendo-se

que seu preço inicial era de $ 1000,00, qual o seu preço final?

Temos: Reajuste è Fator de Aumento

Logo: F1 = 1 + 10% = 1 + 10 / 100 = 1 + 0,1 = 1,1

F2 = 1 + 20% = 1 + 20 / 100 = 1 + 0,2 = 1,2

Portanto: Preço Final = $ 1000,00 . 1,1 . 1,2 = $ 1000,00 . 1,32

Preço Final = $ 1320,00

Exemplo 05:

Um feirante percebendo o movimento de seu comércio decide elevar o

preço do kg do tomate em 10% e depois ao ser questionado sobre o preço

pelos consumidores praticar um desconto de 10%. Desta forma, sabendo que

no início o kg do tomate custava $ 4,00, qual é o preço final do kg do tomate?

Temos: Reajuste è Fator de Aumento e

Temos: Desconto è Fator de Redução

Logo: F1 = 1 + 10% = 1 + 10 / 100 = 1 + 0,1 = 1,1

F2 = 1 - 10% = 1 - 10 / 100 = 1 – 0,1 = 0,9

Portanto: Preço Final = $ 4,00 . 1,1 . 0,9 = $ 4,00 . 0,99 = $ 3,96

Neste exemplo podemos observar que todo o movimento gerou um

desconto efetivo de $ 0,04, ou seja, um desconto de 1% em relação ao preço

11

original e demonstrado no cálculo abaixo (guarde esta análise, pois ela será de

grande valia mais adiante):

Preço Inicial: $ 4,00 e Preço Final: $ 3,96

Logo: $ 4,00 . F = $ 3,96 è F = $ 3,96 / $ 4,00 = 0,99

Se F = 0,99 e F = 1 – i è Desconto

Temos i = 0,01 = 1 / 100 = 1%

Juros Simples – Capitalização Simples

Esta é a metodologia de aplicação de juros onde este é calculado

período a período incidindo exclusivamente sobre o capital inicial. Podemos

entender que a parcela de juros mensais será constante no tempo.

Assim sendo, podemos calcular esta parcela de juros multiplicando o

capital pela taxa de juros na forma unitária e, deste valor, multiplicar pelo

tempo – número de vezes em que ocorrerão rendimentos decorrentes de juros.

Ainda podemos somar este resultado ao próprio capital de forma a atingirmos

o montante conforme demonstrado nas fórmulas abaixo:

J = C . i . t

M = C + J è M = C + C . i . t è M = C ( 1 + i . t )

Onde: J: Juros;

C: Capital;

i: Taxa de Juros na Forma Unitária;

t: Tempo;

M: Montante.

Exemplo 06:

Se $ 3000,00 são aplicados pelo período de três meses a taxa de juros

de 5% a.m. (ao mês) no regime de capitalização simples. Qual é a parcela de

juros mensal?

Jm = $ 3000,00 . 5% = $ 3000 . 0,05 = $ 150,00

Qual o valor acumulados do juros no período em questão?

Ja = $ 150,00 . 3 = $ 450

12

Qual o valor do montante da aplicação ao final dos três meses?

M = $ 3000,00 + $ 450,00 = $ 3450,00

Cabe, neste momento, colocar algumas questões sobre o período de

capitalização. Este deve sempre ser igual ao período a que a taxa de juros se

refere. Logo se a taxa de juros refere-se ao mês devemos ajustar o período de

maneira que este represente o número de meses em questão da seguinte

forma:

1 Ano è 12 meses

1 Semestre è 6 Meses

1 Trimestre è 3 Meses

1 Bimestre è 2 Meses

1 Mês è 30 Dias

Ainda é relevante ressaltar que no regime de capitalização simples

temos a proporcionalidade da taxa no tempo o que será visto mais adiante

junto no estudo das taxas.

Exemplo 07:

O capital de $ 2000,00 foi aplicado à taxa de 24% a.a (ao ano) no

regime de capitalização simples pelo prazo de dois meses. Qual o montante?

24% a.a é proporcional a 2% a.m. (24 / 12)

Logo: M = $ 2000,00 (1 + 0,02 . 2) = $ 2000,00 . 1,04 = $ 2080,00

Exemplo 08:

O capital de $ 2000,00 foi aplicado à taxa de 24% a.a (ao ano) no

regime de capitalização simples pelo prazo de dois meses e vinte e um dias.

Qual o montante?

24% a.a. è 2% a.m.

21 dias è 21 / 30 mês è 0,7 mês

Logo: 2 Meses e 21 Dias è 2,7 meses

Portanto: M = $ 2000,00 (1 + 0,02 . 2,7) = $ 2000,00 . 1,054

M = $ 2108,00

13

Exemplo 09: (é comumente encontrado em nosso dia a dia)

Um artigo pode ser comprado à vista com 10% de desconto ou em duas

vezes iguais, “sem juros”, sendo a primeira no ato da compra e a segunda em

30 dias. Qual a taxa de juros efetivamente cobrada pelo vendedor?

Supondo P o preço do artigo, temos que P / 2, ou seja, 0,5 P é o valor

de cada uma das duas parcelas e que o valor à vista é 0,9 P.

Logo o valor financiado no momento da compra é de:

0,9 P – 0,5 P = 0,4 P

Portanto financia-se 0,4 P para um pagamento de 0,5 P em 1 mês.

Assim: 0,5 P = 0,4 P ( 1 + i . 1 ) è 0,5 = 0,4 ( 1 + i )

1 + i = 1,25 è i = 0,25 = 25 / 100 = 25% a.m.

Desconto Simples

Trata-se de operação que se utiliza da metodologia de capitalização

simples, onde os juros são calculados sobre a mesma base e são, portanto,

constantes no tempo.

Nas operações de desconto observamos a existência de diversos títulos

de crédito, como cheques, títulos em cobrança, notas promissórias, etc. que

apresentam um fluxo de caixa, uma entrada de recursos em uma data futura e

que por necessidade é necessário que estes recursos estejam disponíveis no

presente momento. Dá-se o nome ao valor de face do título de Valor Nominal e

seu valor na presente data de Valor Atual.

As operações de desconto são calculadas utilizando-se as metodologias

simples e composta (a ser vista adiante). Podemos ainda dividir cada

metodologia de cálculo em duas formas, a saber: Desconto por Fora e

Desconto por Dentro.

Assim sendo quatro modalidades são possíveis onde, neste momento

veremos duas:

Desconto Comercial Simples - Desconto por Fora – Desconto Bancário

14

O desconto comercial, bancário ou por fora “D” é uma modalidade onde

o juro incide sobre o valor nominal do título e o valor atual é resultado da

subtração deste desconto do valor nominal do título.

D = N . i . t

Ac = N – D è Ac = N - N . i . t è Ac = N ( 1 – i . t )

Onde: D: Desconto Comercial;

N: Valor Nominal;

i: Taxa de Juros na Forma Unitária;

t: Tempo;

Ac: Valor Atual Comercial.

Exemplo 10:

Na operação de desconto comercial simples de um cheque de $ 120,00

com vencimento em 30 dias a taxa de 5% a.m. qual o valor do desconto?

Se N = $ 120,00, i = 5% = 0,05 e t = 30 Dias = 1 Mês temos:

D = $ 120,00 . 0,05 . 1 = $ 6,00

Qual é o Valor Atual Comercial Simples?

Ac = $ 120,00 - $ 6,00 = $ 114,00

Supondo que fossemos aplicar este Valor Atual a uma determinada taxa

de juros simples pelo período de 30 dias e que pudéssemos resgatar o valor de

$ 120,00. Qual seria esta taxa de juros?

Se M = $ 120,00, C = $ 114,00 e t = 30 Dias = 1 Mês, temos:

Juros Simples: $ 120,00 = $ 114,00 ( 1 + i . 1 ) è i ≈ 5,26%a.m.

Seguindo o mesmo exemplo, no entanto levando nossa análise para um

período de dois meses, teríamos que o valor do desconto comercial simples

seria:

Se N = $ 120,00, i = 5% = 0,05 e t = 60 Dias = 2 Meses temos:

D = $ 120,00 . 0,05 . 2 = $ 12,00

O Valor Atual Comercial Simples seria:

Ac = $ 120,00 - $ 12,00 = $ 108,00

Aplicando este valor atual a uma determinada taxa de juros simples pelo

período de dois meses com um resgate no valor de $ 120,00, teríamos:

15

Se M = $ 120,00, C = $ 108,00 e t = 60 Dias = 2 Meses, temos:

Juros Simples: $ 120,00 = $ 108,00 ( 1 + i . 2 ) è i ≈ 5,56% a.m.

Verifica-se, portanto, que a Taxa de Desconto Comercial Simples é

menor que a Taxa de Juros Simples citada nos exemplos. Em termos do

mercado financeiro esta Taxa de Juros Simples é chamada de Taxa Efetiva de

uma operação de Desconto Comercial (ief)

Desconto Racional Simples - Desconto por Dentro - Desconto Matemático

O desconto racional, matemático ou por dentro “d” é uma modalidade

onde o juro incide sempre sobre o valor do Atual Racional – Capital chegando

ao Valor Nominal do título – Montante, sendo o valor do desconto racional o

resultado da subtração entre o Valor Nominal do título e o Atual Racional.

d = Ar . i . t

N = Ar + d è N = Ar + Ar . i . t è N = Ar ( 1 + i . t )

Onde: d: Desconto Racional;

Ar: Valor Atual Racional;

N: Valor Nominal;

i: Taxa de Juros na Forma Unitária;

t: Tempo.

Exemplo 11:

Qual o valor do desconto racional de um cheque de valor de $ 120,00

com vencimento em 60 dias a taxa de 5% a.m.?

Se N = $ 120,00, i = 5% = 0,05 e t = 60 Dias = 2 Meses temos:

Primeiro: $ 120,00 = Ar ( 1 + 0,05 . 2 ) = Ar . 1,1

Logo: Ar ≈ $ 109,09

Segundo: d = $120,00 – $ 109,09 ≈ $ 10,91

Caso a taxa fosse de aproximadamente 5,56% a.m. teríamos:

N = $ 120,00, i ≈ 5,56% = 0,0556 e t = 60 Dias = 2 Meses temos:

$ 120,00 = Ar ( 1 + 0,0556 . 2 ) = Ar . 1,11

Logo: Ar = $ 108,00 e d = $120,00 – $ 108,00 = $ 12.

16

Comparando este valor ao final do exemplo anterior concluímos que o

cálculo do desconto racional simples aproxima-se muito a forma de cálculo dos

juros simples.

Cabem, aqui, duas observações:

Obs I: Com o objetivo principal de comparação da relação entre os

descontos, considerando a mesma taxa de juros para a forma comercial e para

a forma racional, temos:

ic = ir = i

d = Ar . i . t è Ar = d / i . t

N = Ar + d è N = d / i . t + d

N . i . t = d + d . i . t = d (1 + i . t )

Aplicando: D = N . i . t

Temos: D = d ( 1 + i . t )

Logo: “D é Montante de d”

Exemplo 12:

Considerando a taxa de juros de 10% a.m. e o período de 2 meses para

o vencimento de um título de valor nominal de $ 2000,00, qual o valor do

Desconto Comercial Simples?

Se N = $ 2000,00, i = 10% = 0,1 e t = 2 meses, temos:

D = $ 2000,00 . 0,1 . 2 = $ 400,00

Qual o valor do Desconto Racional Simples?

Primeiro: $ 2000,00 = Ar ( 1 + 0,1 . 2) è Ar ≈ $ 1666,67

Segundo: d = $ 2000,00 - $ 1666,67 ≈ $ 333,33

Verificando se “D é Montante de d”:

Temos: $ 400,00 = $ 333,33 ( 1 + 0,1 . 2 )

$ 400,00 = $ 333,33 . 1,2 = $ 400,00 (Verdadeiro)

Obs II: Da comparação entre os descontos chegamos à conclusão que o

“D é montante de d’ e da comparação entre o Desconto Racional Simples e o

Juros Simples chegamos a conclusão que o cálculo do desconto racional

simples aproxima-se muito da forma de cálculo dos juros simples.

17

Portanto podemos ainda retirar algumas peculiaridades: que o valor do

Desconto Comercial Simples é maior que o Valor do Desconto Racional

Simples e que, por lógica, o Valor Atual Comercial Simples é menor que o

Valor Atual Racional Simples.

Sendo: D > d

Como: Ac = N – D e Ar = N – d

Temos: Ac < Ar

18

CAPÍTULO II

JUROS E DESCONTOS COMPOSTOS

Juros Compostos

Esta é a metodologia de aplicação de juros onde este é calculado a

cada período, a partir do segundo, incidindo sobre o montante (entenda-se

capital + juros) do período anterior. Podemos entender que a parcela de juros

mensais será crescente no tempo. Assim temos:

M = C + J è M = C ( 1 + i ) n

J = C [ ( 1 + i ) n -1 ]

Onde: J: Juros;

C: Capital;

i: Taxa de Juros na Forma Unitária;

n: Tempo;

M: Montante.

(1 + i ) n : Fator de capitalização – Vide Anexo 1

Exemplo 13:

Qual o montante de um capital de $ 2000,00 aplicado a taxa de juros

compostos de 5% a.m. durante três meses?

Temos: C = $ 2000,00, i = 5% = 0,05 e t = 3 meses

Logo: M = $ 2000,00 (1 + 0,05) 3 = $ 2315,25

Qual é o valor dos juros auferidos?

J = M – C = $ 2315,25 - $ 2000,00 = $ 315,25

Caso a metodologia utilizada fosse a dos juros simples teríamos:

Sendo C = $ 2000,00, i = 5% = 0,05 e t = 3 meses

J = $ 2000,00 . 0,05 . 3 = $ 300,00

M = $ 2000,00 + $ 300,00 = $ 2300,00 ou

M = $ 2000,00 ( 1 + 0,05 . 3 ) = $ 2000,00 . 1,15 = $ 2300,00

19

Comparando e ampliando a análise para um e dois meses temos:

Tabela 1:

Capital Tempo Taxa Juros

Juros Simples $ 2000 1 Mês 5% $ 100,00

Juros Compostos $ 2000 1 Mês 5% $ 100,00

Juros Simples $ 2000 3 Meses 5% $ 200,00

Juros Compostos $ 2000 3 Meses 5% $ 205,00

Juros Simples $ 2000 3 Meses 5% $ 300,00

Juros Compostos $ 2000 3 Meses 5% $ 315.25

Podemos concluir, parcialmente, que a capitalização simples e a

composta produzem montantes iguais, a partir de um mesmo capital, a

mesma taxa de juros, quando aplicados para um único período, seja ele dia,

mês, ano, etc. Para períodos maiores que a unidade os juros, e

conseqüentemente o montante produzido pela capitalização composta é maior

que pela capitalização simples.

Agora para um período inferior ao unitário. Vamos supor no exemplo

acima que este período fosse de 21 dias, então teremos:

C = $ 2000,00

i = 5% = 0,05 a.m.

t = 21 dias = 21 / 30 Meses = 0,7 Meses

Juros Simples: J = $ 2000,00 . 0,05 . 21 / 30 = $ 70,00

M = $ 2000,00 + $ 70,00 = $ 2070,00

Juros Compostos: M = $ 2000,00 (1 + 0,05) 21/30 = $ 2069,49

J = $ 2069,49 - $ 2000,00 = $ 69,49

Verifica-se, portanto, uma inversão. Para períodos menores que a

unidade os juros, e conseqüentemente o montante produzido pela

capitalização composta é menor que pela capitalização simples. Assim temos:

20

Jc > Js e Mc > Ms p/ n > 1

Jc = Js e Mc = Ms p/ n = 1

Jc < Js e Mc < Ms p/ 0 < n < 1

Onde: Jc: Juro Composto

Js: Juro Simples

Mc: Montante Composto

Ms: Montante Simples

Isto fica visualizado no gráfico abaixo:

Gráfico 1: Juros Simples e Compostos para períodos entre Zero e Dois

Estudo e Definição das Taxas

Nesta parte iremos definir algumas taxas utilizadas no mercado

financeiro e observar, através de exemplos, as relações entre estas.

21

Taxa de juros em princípio é o índice que determina a remuneração do

capital, ou seja, o preço do “aluguel” do dinheiro num determinado período de

tempo (dias, meses, ano, etc.)

Taxa Efetiva:

É a taxa que está definida em um período de tempo igual a seu período de

capitalização.

Exemplificando:

Taxa de 2% a.m. com capitalização mensal,

Taxa de 12% a.a. com capitalização anual.

Taxa Nominal

É a taxa que está definida em um período de tempo diferente de seu

período de capitalização. Para efeito de cálculo financeiro a taxa e o período

de capitalização devem ser os mesmos. Quando é apresentada uma taxa

nominal, para fazer um cálculo financeiro é necessário convertê-la em taxa

efetiva.

Exemplificando:

Taxa de 24% a.a. com capitalização mensal è24 / 12 = 2% a.m.

Taxa de 24% a.a. com capitalização semestral è24 / 2 = 12% a.s.

Cabe aqui um exemplo das situações acima descritas.

Exemplo 14:

Supondo que um cliente possuísse $ 1000 para aplicá-lo durante um

período de 12 meses com juros compostos e que lhe fosse oferecido duas

alternativas:

Alternativa 1: 24% a.a. com capitalização mensal,

Alternativa 2: 24% a.a. com capitalização semestral.

Qual das duas deveria o cliente escolher?

Alternativa 1: Mc = $ 1000,00 ( 1 + 0,02)12 = $ 1268,24

Alternativa 2: Mc = $ 1000,00 ( 1 + 0,12)2 = $ 1254,40

Logo o cliente deve optar pela alternativa 1.

22

Supondo agora que a mesma situação fosse apresentada ao cliente,

porém com o regime de capitalização simples. Temos:

Alternativa 1: Ms = $ 1000,00 ( 1 + 0,02 . 12 ) = $ 1240,00

Alternativa 2: Ms = $ 1000,00 ( 1 + 0,12 . 2 ) = $ 1240,00

Concluímos que há uma igualdade no cálculo utilizando-se a

metodologia dos juros simples. Isto se deve a proporcionalidade das taxas no

tempo que só acontece nesta metodologia. Por este motivo sob a ótica dos

juros simples temos então taxas proporcionais.

Taxa Aparente:

É aquela verificada numa aplicação financeira onde não se apresenta

descontada dos efeitos inflacionários da moeda.

Taxa Real:

É aquela verificada numa aplicação financeira após o desconto dos

efeitos inflacionários da moeda. Lembramos que a inflação também é

representada por uma taxa na forma percentual.

Exemplo 15:

Supondo que o cliente acima tenha escolhido a alternativa 1 no regime

de juros compostos e que os 12 meses se passaram. Ele foi ao banco para

sacar seu dinheiro e lhe foram entregues os $ 1268,24 pactuados (suponha a

inexistência de tributos e taxas bancárias). Ao chegar a casa pesquisou junto

às informações do governo sobre inflação e verificou que a inflação do período

em que seus $ 1000,00 estavam aplicados foi de 12% e indagou-se: Qual foi a

taxa efetiva da minha aplicação financeira?

Assim temos:

Taxa Inflacionária = 12% è 0,12 na forma unitária.

Capital Inicial: $ 1000 è Montante $ 1268,24

Taxa Aparente do Investimento = ( $ 1268,24 / $ 1000 – 1 ) . 100 =

= 26,82% a.a.

Atualização Monetária do investimento = $ 1000 . ( 1 + 0,12 ) =

23

= $ 1000 . 1,12 =

= $ 1120

Taxa Real do Investimento: = ( $ 1268,24 / $ 1120 – 1 ) . 100 =

= 13,24%

Taxas Equivalentes:

São aquelas que aplicadas sobre o mesmo capital pelo mesmo prazo,

apesar de expressarem tempos de capitalização diferentes, produzem o

mesmo montante.

Exemplo 16:

Outro cliente possui $ 500,00 para aplicação durante o período de 2

meses com juros compostos e depara-se com duas alternativas:

Alternativa 1: 21% a.b. (ao bimestre) com capitalização bimestral,

Alternativa 2: 10% a.m. com capitalização semestral.

Qual das duas o cliente deveria escolher?

Alternativa 1: Mc = $ 500,00 ( 1 + 0,21)1 = $ 605,00

Alternativa 2: Mc = $ 500,00 ( 1 + 0,10)2 = $ 605,00

Neste caso o cliente é indiferente quanto as taxas pois 21% a.b. com

capitalização bimestral é equivalente a 10% a.m. com capitalização semestral

para um período de dois meses.

Convenções Linear e Exponencial

Estas convenções determinam como será o tratamento ao período

fracionário da capitalização composta. Para, por exemplo, i% a.m. com

capitalização mensal e um período de aplicação de 70 dias define-se como

será tratada a capitalização no período de 10 dias posterior aos dois primeiros

meses. Vejamos:

24

Convenção Linear:

Utiliza-se na parte inteira do período a metodologia dos juros compostos

produzindo um montante que será o capital para que na parte fracionária do

período utilize-se a metodologia dos juros simples.

Exemplo 17:

Qual o montante produzido por $ 5000,00 aplicados à taxa composta de

12% a.m. durante 100 dias utilizando-se a convenção linear?

Temos: C = $ 5000,00, i = 0,12 e t = 100 dias = 3 meses e 10 dias

Primeiro juros compostos na parte inteira do período:

M’ = $ 5000,00 (1 + 0,12)3 = $ 5000,00 . 1,41 = $ 7024,64

Segundo juros simples na parte fracionária do período calculado sobre o

montante parcial da parte inteira:

MCL = $ 7024,64 ( 1 + 0,12 . 10 / 30 ) = $ 7024,64 . 1,04 = $ 7305,63

Convenção Exponencial:

Utiliza-se em todo o período (Inteiro e Fracionário) a metodologia dos

juros compostos.

Exemplo 18:

Qual o montante produzido por $ 5000,00 aplicados à taxa composta de

12% a.m. durante 100 dias utilizando-se a convenção exponencial?

Temos: C = $ 5000,00, i = 0,12 e t = 100 dias

MCE = $ 5000,00 ( 1 + 0,12)100 / 30 = $ 5000,00 . 1,46 = $ 7295,08

Comparando os exemplos 17 e 18 chegamos a conclusão de que

utilizando-se a convenção linear produz-se um montante maior que utilizando-

se a convenção exponencial. Isto decorre da conclusão anteriormente

25

demonstrada de que a metodologia dos juros simples produz maior montante

em períodos de capitalização menores que a unidade, ou seja, fracionários.

Apenas para comparação, o cálculo deste montante na forma dos juros

simples produziria o seguinte montante, inferior aos demais:

Ms = $ 5000,00 ( 1 + 0,12 . 100 / 30 ) = $ 7000,00

Portanto concluímos que:

MCL > MCE > Ms

Descontos Compostos

Trata-se de operação que se utiliza da metodologia de capitalização

composta onde os juros são calculados sobre o valor produzido no período

imediatamente anterior e são, portanto, crescentes no tempo.

Assim como no desconto simples, podemos observar a existência do

desconto comercial e do desconto racional.

Desta forma das quatro modalidades de desconto possíveis, neste

momento veremos as outras duas:

Desconto Comercial Composto:

O desconto comercial composto “Dc” é uma modalidade onde o juro

incide sobre o valor nominal período a período.

Acc = N ( 1 - i ) n

Acc = N – Dc

Onde: Dc: Desconto Comercial Composto;

N: Valor Nominal;

i: Taxa de Juros na Forma Unitária;

n: Tempo;

Acc: Valor Atual Comercial Composto

Exemplo 19:

26

Um título de valor nominal de $ 20000,00 foi saldado três meses antes

de seu vencimento a taxa de desconto comercial composto de 10% a.m.. Qual

foi o valor da liquidação antecipada?

Temos: N = $ 20000,00, t = 3 meses, i =0,1.

Acc = $ 20000,00 ( 1 – 0,1 )3 = $ 20000,00 . 0,73 = $ 14580,00

Qual foi o valor do abatimento / desconto pela liquidação antecipada?

Dc = $ 20000,00 - $ 14580,00 = $ 5420,00

Desconto Racional Composto:

O desconto racional composto “dc” é uma modalidade onde o juro incide

sobre o valor do Atual Racional – Capital, período a período, chegando ao

Valor Nominal do título – Montante, sendo o valor do desconto racional o

resultado da subtração entre o Valor Nominal do título e o Atual Racional.

dc = N – Arc

N = Arc ( 1 + i ) n

Onde: dc: Desconto Racional Composto;

Arc: Valor Atual Racional Composto;

N: Valor Nominal;

i: Taxa de Juros na Forma Unitária;

n: Tempo

Assim como o desconto racional simples assemelha-se a metodologia

de cálculo dos juros simples, o desconto racional composto assemelha-se a

metodologia de cálculo dos juros compostos.

Exemplo 20:

Um título de valor nominal de $ 5000,00 foi saldado quatro meses antes

de seu vencimento a taxa de desconto racional composto de 5% a.m.. Qual foi

o valor da liquidação antecipada?

Temos: N = $ 5000,00, t = 4 meses, i =0,05.

$ 5000,00 = Arc ( 1 + 0,05 )4 = Arc . 1,22

27

Arc = $ 5000,00 / 1,22 = $ 4113,51

Qual foi o valor do abatimento / desconto pela liquidação antecipada?

Dc = $ 5000,00 - $ 4113,51 = $ 886,49

Exemplo 21:

Suponha a existência de um título de valor nominal $ 50000,00 com

vencimento em três meses e que fosse estabelecida a taxa de 2% a.m. para o

desconto em qualquer de suas modalidades.

Para o Desconto Comercial Simples temos:

D = $ 50000,00 . 0,02 . 3 = $ 3000,00

Ac = $ 50000,00 - $ 3000,00 = $ 47000,00

Para o Desconto Racional Simples temos:

$ 50000,00 = Ar ( 1 + 0,02 . 3) = Ar . 1,06

Ar = $ 50000,00 / 1,06 = $ 47169,81

d = $ 50000,00 - $ 47169,81 = $ 2830,19

Para o Desconto Comercial Composto temos:

Acc = $ 50000,00 ( 1 – 0,02 )4 = $ 50000,00 . 0,92 = $ 46118,41

Dc = $ 50000,00 - $ 46118,41 = $ 3881,59

Para o Desconto Racional Composto temos:

$ 50000,00 = Arc ( 1 + 0,02 )4 = Arc . 1,08

Arc = $ 50000,00 / 1,08 = $ 46192,27

dc = $ 50000,00 - $ 46192,27 = $ 3807,73

Portanto, comparativamente, temos:

Dc = $ 3881,59 > dc = $ 3807,73 > D = $ 3000,00 > d = $ 2830,19

Acc = $ 46118,41 < Arc = $ 46192,27 < Ac = $ 47000,00 < Ar = $ 47169,81

Neste ponto, mediante as comparações apresentadas, cabem alguns

comentários a respeito da discussão existente sobre a constitucionalidade ou

não da utilização da metodologia de juros compostos para o cálculo dos saldos

e prestações de empréstimos e financiamentos. Esta pequena exposição não

tem por objetivo adentrar em debates jurídicos sobre a questão, pretendendo

apenas estabelecer uma comparação e demonstrar alguns efeitos práticos

como forma de apresentar alguns argumentos ao debate.

28

Muitos – em sua maioria devedores na relação - defendem a

inconstitucionalidade alegando a chamada cobrança de “juros sobre juros”.

Outros – em sua maioria instituições financeiras – defendem a

constitucionalidade alegando não haver a capitalização dos juros. Enfim,

diversos argumentos já foram apresentados, mas o objetivo aqui é estabelecer

uma comparação entre um empréstimo e uma aplicação em uma poupança,

desconsiderando efeitos tributários, de forma a demonstrar a semelhança

existente.

Vamos supor que um cliente possua $ 50000,00 para aplicar por um

período de três meses e que deseje que estes recursos sejam aplicados em

poupança. Para esclarecimento é necessário informar que o rendimento da

poupança é dividido em duas partes, uma definida constitucionalmente que

são juros de 6% a.a. com capitalização mensal e a outra é a Taxa Referencial

TR que tem sua composição definida em Lei e que é mensalmente divulgada

pelo Banco Central do Brasil S.A.. Para efeito desta suposição vamos

estabelecer seus valores em 0,12%, 0,15% e 0,10% no primeiro, segundo e

terceiro mês respectivamente. Qual o montante que o cliente terá ao fim do

período da aplicação?

Temos: C = $ 50000,00, t = 3 meses e i = 0,5% a.m. = 0,005

TR: TR1 = 0,0012, TR2 = 0,0015 e TR3 = 0,0010

Assim, ao fim do primeiro mês temos:

M1 = $ 50000,00 . ( 1 + 0,0012 ) . ( 1 + 0,005 ) = $ 50310,30

Ao final do segundo mês temos:

M2 = $ 50310,30 . ( 1 + 0,0015 ) . ( 1 + 0,005 ) = $ 50637,69

Ao final do terceiro mês temos:

M3 = $ 50637,69 . ( 1 + 0,0010 ) . ( 1 + 0,005 ) = $ 50941,77

Reparem, portanto que o capital inicial do segundo mês é o montante do

primeiro mês, que o capital inicial do terceiro mês é o montante do segundo

mês e que se a aplicação tivesse um período maior isto se perpetuaria. Fica

claro que está ocorrendo uma capitalização dos juros.

Se não fosse desta forma, ou seja, se os juros fossem sempre

calculados sobre o capital da aplicação inicial, todos os poupadores retirariam

29

seus recursos da poupança no aniversário e tornariam a aplicar no mesmo dia

para assim terem como capital inicial um valor ampliado o que levaria a mesma

rentabilidade que se verifica nos moldes atuais.

Guardadas as peculiaridades de cada tipo de aplicação financeira, mas

entendendo que a maioria apresenta esta mesma metodologia de cálculo de

juros, imaginem o movimento diário das agências bancárias só com clientes

sacando e “re-depositando” seus recursos. Não seria lógico, nem tão pouco,

razoável.

Suponha agora que um cliente deseje tomar emprestado $ 20000,00

para pagamento em única parcela ao final do prazo de dois meses a uma taxa

de 2% a.m., então qual o valor do pagamento final?

Temos: C = $ 20000,00, t = 2 meses e i = 0,02

Logo: Mc = $ 20000,00 ( 1 + 0,02 )2 = $ 20808,00 è Juros Compostos.

Para aqueles que discordam o cálculo deveria ser este:

Ms = $ 20000,00 ( 1+ 0,02 . 2 ) = $ 20800,00 è Juros Simples

Vejamos que para as instituições financeiras, caso fosse adotada esta

segunda opção, ficaria configurada a seguinte situação: na captação,

guardadas as peculiaridades da diversificação de produtos, deveria remunerar

os aplicadores utilizando-se a metodologia dos juros compostos e nos

empréstimos e financiamentos deveria receber dos tomadores utilizando-se a

metodologia dos juros simples.

Ademais, caso fosse adotada efetivamente a opção dos juros simples

nos empréstimos e financiamentos primeiro os bancos poderiam reduzir o

prazo dos empréstimos para um mês fazendo com que os clientes efetuassem

o pagamento mensalmente para novamente tomar emprestado. Mais uma vez,

imaginem o movimento diário das agências bancárias só com clientes pagando

seus empréstimos e solicitando-os novamente. Não seria lógico, nem tão

pouco, razoável. Segundo os bancos poderiam elevar as taxas de juros de

forma a buscar a mesma rentabilidade da metodologia de juros compostos o

que daria na mesma situação para os clientes.

Portanto, sob estes argumentos acredito não haver inconstitucionalidade

na forma atualmente utilizada pelas instituições financeiras tanto para captação

30

de recursos quanto para a concessão de empréstimos e financiamentos.

Acredito ainda ser a forma historicamente utilizada em todo o mundo e que por

este motivo não devem ocorrer maiores debates neste campo de discussão.

31

CAPÍTULO III

RENDAS CERTAS, SISTEMAS DE AMORTIZAÇÂO E

ANÀLISE DO FLUXO DE CAIXA

Rendas Certas – Anuidades

Chamamos de rendas certas ou anuidades uma série uniforme de

pagamentos periódicos que utilizam a metodologia dos juros compostos para a

contabilização dos juros incidentes.

Lembremos a fórmula dos juros compostos:

M = C ( 1 + i ) n

Agora, invertendo os fatores, temos:

C = M ( 1 + i ) -n

Portanto, podemos saber o Capital – valor presente no estudo de

Rendas Certas – a partir de um dado Montante – ou parcela de um fluxo de

caixa no estudo de Rendas Certas – dividindo este pelo fator de capitalização

elevado pelo número de capitalizações existentes. Percebe-se grande

semelhança com o Desconto Racional Composto anteriormente descrito.

No estudo das Rendas Certas ou Anuidades este raciocínio estará

sempre presente, no entanto, deve ser tomado em conjunto para uma série de

pagamentos periódicos com valores iguais.

Renda Postecipada

Chamamos de renda postecipada à série uniforme de pagamentos

periódicos em que o primeiro pagamento ocorre um período após o início do

negócio.

Exemplo 22:

Um cliente deseja financiar a compra de um produto de valor V em três

prestações iguais, vencendo a primeira 30 dias após a compra, a uma taxa de

juros i% a.m.. Definimos P as prestações. Sabe-se que a soma do valor das

32

três prestações descontadas até o momento da compra representará o valor

do produto. Em termos matemáticos temos:

V = P . ( 1 + i ) -1 + P . ( 1 + i ) -2 + P . ( 1 + i ) -3 =

V = P . [ ( 1 + i ) -1 + ( 1 + i ) -2 + ( 1 + i ) -3 ]

Supondo agora que este parcelamento fosse em um número n de

prestações, teríamos uma equação bastante grande que no entanto pode ser

simplificada conforme para a equação abaixo descrita que chamamos de Fator

de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos Postecipados:

Vide Anexo 3

Seguindo neste exemplo vamos supor que o produto seja um carro de

valor $ 30000,00 financiado em 20 parcelas mensais sem entrada e a uma

taxa de juros de 1% a.m. Qual seria o valor da prestação?

Assim temos:

Consultando o valor da expressão entre colchetes na tabela do anexo 3

teríamos a seguinte expressão e o seu resultado:

$ 30000,00 = P . 18,045553 è P = $ 1662,46

A representação da situação pode ser vista no desenho abaixo onde há

um recebimento no momento da compra do carro onde os recursos seriam

repassados ao vendedor (seta direcionada para cima) e há vinte pagamentos

consecutivos de igual valor, sendo primeiro um mês após a compra.

]

Renda Antecipada

33

Chamamos de renda antecipada a serie uniforme de pagamentos

periódicos em que o primeiro pagamento ocorre no ato da realização do

negócio. Segue o mesmo principio acima descrito, no entanto, existe o

pagamento de uma entrada no valor da prestação junto com o recebimento

dos recursos. Podemos visualizar a situação na forma do desenho abaixo.

Matematicamente teríamos, a partir da fórmula de Fator de Valor Atual

de Uma Série de Pagamentos, a multiplicação do valor atual pelo fator de

capitalização:

Exemplo 23:

Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 em 20

prestações iguais e consecutivas, pagando a primeira no momento da compra,

onde a taxa de juros do financiamento é de 1% a.m. Qual o valor da

prestação?

Assim teríamos:

Consultando o valor da expressão entre colchetes na tabela do anexo 3

teríamos a seguinte expressão e o resultado:

$ 30000,00 = P . 18,045553 . 1,01 è P = $ 1646,00

Renda Diferida

34

Chamamos de renda diferida à série uniforme de pagamentos

periódicos em que o primeiro pagamento ocorre M + 1 períodos após o início

do negócio, ou seja, há carência de M períodos. Segue o mesmo princípio da

Renda Postecipada, no entanto existe um período M de carência onde os juros

são incluídos no saldo devedor. Podemos visualizar a situação na forma do

desenho abaixo.

Matematicamente teríamos, a partir da fórmula de Fator de Valor Atual

de Uma Série de Pagamentos, a multiplicação do valor atual pelo fator de

capitalização elevado ao número M de capitalizações:

Exemplo 24:

Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 em 20

prestações iguais e consecutivas, pagando a primeira sete meses após a

compra, ou seja, com uma carência de seis meses, onde a taxa de juros do

financiamento é de 1% a.m. Qual o valor da prestação?

Assim teríamos:

Consultando o valor da expressão entre colchetes na tabela do anexo 3

teríamos a seguinte expressão e o resultado:

$ 30000,00 . 1,016 = P . 18,045553 è P = $ 1764,73

Renda Vitalícia

35

Chamamos de renda vitalícia o valor da remuneração de um capital em

cada período de capitalização. Normalmente este conceito aparece em

sistemas de previdência onde o indivíduo forma uma poupança durante seu

período produtivo para poder usufruir de uma renda vitalícia após o momento

em que deseje se aposentar. Para o cálculo do montante acumulado até o

momento do último pagamento do período contributivo utilizamos a fórmula do

Fator de Acumulação de Capital de Uma Série de Pagamentos:

A partir deste montante calculamos o valor de sua renda vitalícia na

forma abaixo:

Exemplo 25:

Um indivíduo passa trinta e cinco anos efetuando depósitos mensais

constantes de $ 200,00 em uma aplicação financeira que lhe rendeu

mensalmente 1% de juros. Após o último depósito qual o valor do montante

acumulado?

Temos 35 anos . 12 meses = 420 depósitos.

Logo: Montante = $ 200,00 . 6430,96 = $ 1286191,89

Qual seria o valor de sua renda mensal vitalícia, supondo que a

rentabilidade permaneça em 1% a.m.?

RV = $ 1286191,89 . 0,01 = $ 12861,92

Sistemas de Amortização

36

Na devolução de um empréstimo, cada prestação é composta de duas

parcelas, uma referente ao pagamento de juros e outra referente à cota de

amortização.

Pk = Jk + Ak

Onde: Pk é a k-ésima prestação do financiamento,

Jk é a cota de juros da k-ésima prestação do financiamento e

Ak é a cota de amortização da k-ésima prestação do financiamento.

Definimos também que, nos diversos sistemas de capitalização

existentes, a parcela de juros é calculada da seguinte forma:

Jk = SDK-1 . i%

Onde: Jk é a cota de juros da k-ésima prestação do financiamento,

SDK-1 é o saldo devedor imediatamente após o pagamento da

Prestação anterior e

i% é a taxa de juros aplicada ao financiamento.

Chamamos de Sistema de Amortização às diferentes formas de

devolução de um empréstimo. Dentre estes, podemos citar como principais o

Sistema Frances ou Tabela Price, o Sistema Hamburguês ou Sistema de

Amortização Constante e o Sistema Americano.

Sistema Frances ou Tabela Price

Essa forma de amortização é representada por uma série de

pagamentos uniformes e periódicos (anuidade), que pode ser antecipada,

postecipada ou diferida (com carência), ou seja, tem prestações fixas. As

situações anteriormente citadas exemplificam a situação. Devemos apenas

decompor os dados do exemplo 22 conforme tabela abaixo:

Sistema Price

Tempo Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 -30000,00 0,00 0,00 0,00 1 -28637,54 300,00 1362,46 1662,46

37

2 -27261,46 286,38 1376,08 1662,46 3 -25871,61 272,61 1389,84 1662,46 4 -24467,87 258,72 1403,74 1662,46 5 -23050,09 244,68 1417,78 1662,46 6 -21618,13 230,50 1431,96 1662,46 7 -20171,85 216,18 1446,28 1662,46 8 -18711,11 201,72 1460,74 1662,46 9 -17235,76 187,11 1475,35 1662,46

10 -15745,66 172,36 1490,10 1662,46 11 -14240,66 157,46 1505,00 1662,46 12 -12720,60 142,41 1520,05 1662,46 13 -11185,35 127,21 1535,25 1662,46 14 -9634,74 111,85 1550,61 1662,46 15 -8068,63 96,35 1566,11 1662,46 16 -6486,86 80,69 1581,77 1662,46 17 -4889,27 64,87 1597,59 1662,46 18 -3275,70 48,89 1613,57 1662,46 19 -1646,00 32,76 1629,70 1662,46 20 0,00 16,46 1646,00 1662,46

Conclusões importantes: Prestações Fixas,

Saldo Devedor Decrescente,

Juros Decrescentes e

Amortização Crescente.

Sistema Hamburguês ou Sistema de Amortização Constante

Nesta forma de amortização as cotas de amortização são constantes e

dadas pelo valor do empréstimo dividido pelo número de prestações. Os juros

são calculados a partir do saldo devedor da parcela anterior e o saldo devedor

da parcela anterior é calculado extraindo-se do valor do empréstimo o número

de amortizações já efetuadas.

Exemplo 26:

Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 em 20

prestações consecutivas utilizando-se o sistema de amortizações constantes,

38

pagando a primeira prestação um mês após a compra, onde a taxa de juros do

financiamento é de 1% a.m. Qual o valor da 14ª prestação?

Temos: Amortização Mensal = $ 30000,00 / 20 = $ 1500,00

Saldo Devedor 13 = $ 30000,00 – 13 . $ 1500,00 = $ 10500,00

Juros14 = $ 10500,00 . 0,01 = $ 105,00

Prestação 14 = $ 105,00 + $ 1500,00 = $ 1605,00

Podemos visualizar os dados completos do problema 26 na tabela

abaixo:

Sistema Hamburguês ou Sistema de Amortização Constante

Tempo Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 -30000,00 0,00 0,00 0,00 1 -28500,00 300,00 1500,00 1800,00 2 -27000,00 285,00 1500,00 1785,00 3 -25500,00 270,00 1500,00 1770,00 4 -24000,00 255,00 1500,00 1755,00 5 -22500,00 240,00 1500,00 1740,00 6 -21000,00 225,00 1500,00 1725,00 7 -19500,00 210,00 1500,00 1710,00 8 -18000,00 195,00 1500,00 1695,00 9 -16500,00 180,00 1500,00 1680,00

10 -15000,00 165,00 1500,00 1665,00 11 -13500,00 150,00 1500,00 1650,00 12 -12000,00 135,00 1500,00 1635,00 13 -10500,00 120,00 1500,00 1620,00 14 -9000,00 105,00 1500,00 1605,00 15 -7500,00 90,00 1500,00 1590,00 16 -6000,00 75,00 1500,00 1575,00 17 -4500,00 60,00 1500,00 1560,00 18 -3000,00 45,00 1500,00 1545,00 19 -1500,00 30,00 1500,00 1530,00 20 0,00 15,00 1500,00 1515,00

Conclusões importantes: Amortização Constante,

Prestações Decrescentes,

Saldo Devedor Decrescente,

39

Juros Decrescentes.

Sistema Americano

Nessa forma de amortização durante todo o período do financiamento

são devidos somente os juros e na última data ocorre o pagamento do capital

emprestado acrescido dos juros do último período.

Exemplo 27:

Uma pessoa deseja comprar um carro de valor $ 30000,00 utilizando-se

o sistema americano de amortizações, pagando mensalmente os juros e o

capital 20 meses após a compra, onde a taxa de juros do financiamento é de

1% a.m. Qual o valor da parcela de juros mensal?

Juros Mensal = $ 30000,00 . 0,01 = $ 300

Qual o valor do 20º pagamento?

Juros 20 = $ 30000,00 . 0,01 = $ 300

Amortização 20 = $ 30000,00

Prestação 20 = $ 300,00 + $ 30000,00

Sistema Americano

Tempo Saldo Devedor Juros Amortização Prestação 0 -30000,00 0,00 0,00 0,00 1 -30000,00 300,00 0,00 300,00 2 -30000,00 300,00 0,00 300,00 3 -30000,00 300,00 0,00 300,00 4 -30000,00 300,00 0,00 300,00 5 -30000,00 300,00 0,00 300,00 6 -30000,00 300,00 0,00 300,00 7 -30000,00 300,00 0,00 300,00 8 -30000,00 300,00 0,00 300,00 9 -30000,00 300,00 0,00 300,00

10 -30000,00 300,00 0,00 300,00 11 -30000,00 300,00 0,00 300,00 12 -30000,00 300,00 0,00 300,00 13 -30000,00 300,00 0,00 300,00 14 -30000,00 300,00 0,00 300,00 15 -30000,00 300,00 0,00 300,00

40

16 -30000,00 300,00 0,00 300,00 17 -30000,00 300,00 0,00 300,00 18 -30000,00 300,00 0,00 300,00 19 -30000,00 300,00 0,00 300,00 20 0,00 300,00 30000,00 30300,00

Conclusões importantes: Sem Amortização Até a Penúltima Prestação,

Prestações Iguais aos Juros, Exceto a Última,

Saldo Devedor Constante,

Juros Constantes.

Análise de Fluxo de Caixa

Trata-se do principal objetivo da matemática financeira. O fluxo

de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de uma

empresa, é o nome dado ao conjunto de entradas e saídas de dinheiro ao

longo do tempo. Em princípio segue os mesmos conceitos básicos aplicados

as rendas certas partindo da fórmula dos juros compostos:

M = C ( 1 + i ) n

Agora, invertendo os fatores, temos:

C = M ( 1 + i ) -n

Portanto, podemos saber o Capital – valor presente no estudo dos

fluxos de caixa – a partir de um dado Montante – entrada ou saída no estudo

dos fluxos de caixa – dividindo este pelo fator de capitalização elevado pelo

número de capitalizações existentes.

No estudo dos Fluxos de Caixa este raciocínio estará sempre presente,

no entanto, deve ser tomado em conjunto para uma série de entradas e saídas

de caixa que compõem o fluxo e sem regra quanto a seus valores. Podemos

visualizar um fluxo de caixa com 17 períodos na forma do desenho abaixo.

Reparem que em certos períodos não existe entrada ou saída de recursos o

que é perfeitamente passível de ocorrer.

41

Neste estudo, a maioria dos casos se apresenta como comparação

entre dois ou mais fluxos de caixa e, portanto, casa um deve ter um número

que o represente de forma a que seja estabelecida a comparação. Assim dois

conceitos são utilizados: VPL – Valor Presente Líquido e TIR – Taxa Interna de

Retorno. Como não há um padrão em relação aos fluxos de caixa, não pode

ser definida uma fórmula para simplificação do cálculo, logo utilizaremos a

calculadora HP 12-C para nos ajudar nos cálculos.

VPL – Valor Presente Líquido

Valor Presente Líquido é a soma das entradas e saídas,

descapitalizadas, uma a uma, até o momento zero. Na calculadora HP 12-C

vem indicada pela sigla NPV.

Exemplo 28:

Uma empresa tem de investir em uma máquina para ampliar seu

faturamento. No entanto existem no mercado duas máquinas que, de acordo

com estudos, podem gerar para a empresa os seguintes fluxos anuais de

caixa:

Investimento A Investimento B

Tempo 0: - $ 30000,00 - $ 40000,00

Tempo 1: - $ 10000,00 $ 0,00

Tempo 2: $ 10000,00 $ 20000,00

Tempo 3: $ 20000,00 $ 20000,00

Tempo 4: $ 25000,00 $ 15000,00

Valores com sinal negativo indicam saídas de recursos, valores sem

sinais indicam entradas de recursos. Supondo uma taxa anual de juros de 10%

qual das alternativas de investimento deveria a empresa escolher?

Resolvendo na HP 12-C:

Investimento A:

42

Teclas: Comentários:

f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.

30000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.

10000 / CHS / g / PMT Insere a saída do período 1.

10000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.

20000 / g / PMT Insere a entrada do período 3.

25000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.

10 / i Insere a taxa de juros.

f / PV Valor Presente Líquido = $ 1275,19

Investimento B:

Teclas: Comentários:

f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.

40000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.

0 / g / PMT Insere o movimento zerado do período 1.

20000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.

2 / g / FV Insere o número de vezes que a entrada de

$ 20000,00 se repete (períodos 2 e 3).

15000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.

10 / i Insere a taxa de juros.

f / PV Valor Presente Líquido = $ 1800,42

Conclui-se, portanto, que os dois investimentos possuem valores

presentes líquidos positivos utilizando-se como referência a taxa de 10% a.a. e

que o investimento B é o que apresenta, desconsiderando outros fatores

alheios a esta análise, o maior VPL sendo o mais rentável para a empresa.

TIR – Taxa Interna de Retorno

Taxa interna de retorno é a taxa que torna nulo o valor presente líquido

de um fluxo de caixa.

Exemplo 29:

43

Uma empresa tem de investir em uma máquina para ampliar seu

faturamento. No entanto existem no mercado duas máquinas que, de acordo

com estudos, podem gerar para a empresa os seguintes fluxos anuais de

caixa:

Investimento A Investimento B

Tempo 0: - $ 30000,00 - $ 40000,00

Tempo 1: - $ 10000,00 $ 0,00

Tempo 2: $ 10000,00 $ 20000,00

Tempo 3: $ 20000,00 $ 20000,00

Tempo 4: $ 25000,00 $ 15000,00

Valores com sinal negativo indicam saídas de recursos, valores sem

sinais indicam entradas de recursos. Qual das alternativas de investimento

representa para a empresa uma maior Taxa Interna de Retorno Anual?

Resolvendo na HP 12-C:

Investimento A:

Teclas: Comentários:

f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.

30000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.

10000 / CHS / g / PMT Insere a saída do período 1.

10000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.

20000 / g / PMT Insere a entrada do período 3.

25000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.

f / FV Taxa Interna de Retorno Anual = 11,19% a.a.

Investimento B:

Teclas: Comentários:

f / CLx Limpa os registros financeiros e o visor.

40000 / CHS / g / PV Insere a saída do período 0.

0 / g / PMT Insere o movimento zerado do período 1.

20000 / g / PMT Insere a entrada do período 2.

2 / g / FV Insere o número de vezes que a entrada de

44

$ 20000,00 se repete (períodos 2 e 3).

15000 / g / PMT Insere a entrada do período 4.

f / FV Taxa Interna de Retorno Anual = 11,72% a.a.

Conclui-se, portanto, que os dois investimentos possuem taxas internas

de retorno positiva e que o investimento B é o que apresenta, desconsiderando

outros fatores alheios a esta análise, a maior TIR sendo o mais rentável para a

empresa.

45

CONCLUSÃO

A Matemática Financeira, enquanto parte de uma ciência, tem como

objetivo estudar a forma como capital e juros se comportam ao longo do tempo

baseando-se nas metodologias de Juros Simples e Juros Compostos.

Neste trabalho foram apresentados de forma sintetizada conceitos de

Porcentagem, Juros Simples, Desconto Simples, Juros Compostos, Estudo e

Definição das Taxas, Convenções Linear e Exponencial, Descontos

Compostos, Rendas Certas, Sistemas de Amortização e Análise de Fluxos de

Caixa com a utilização de exemplos práticos básicos como ferramenta de

aprendizado.

Ademais, foram evidenciadas comparações entre as metodologias e as

definições apresentadas, de forma que o leitor possa entender as implicações

da adoção de cada uma delas. Brevemente, alguns argumentos foram

apresentados a respeito da discussão existente a respeito da

constitucionalidade ou não da utilização da metodologia de juros compostos

para o cálculo dos saldos e prestações de empréstimos e financiamentos.

Logo, em um único material foram apresentados conceitos de

matemática financeira e exemplos práticos de finanças com demonstrações de

resolução sem utilização de calculadoras financeiras e quando necessário com

o auxilio da HP 12-C, alcançando o objetivo de facilitar o aprendizado básico

da disciplina para profissionais de instituições financeiras e do mercado

financeiro, bem como facilitar a preparação dos candidatos a todos os

concursos públicos onde sejam cobrados estes conhecimentos.

Maiores e mais aprofundados conceitos bem como exemplos de maior

complexidade devem ser procurados em outros trabalhos de forma a completar

o aprendizado.

46

ANEXOS

ÍNDICE DE ANEXOS

Anexo 1 >> Fator de Capitalização

Anexo 2 >> Fator de Acumulação de Capital de Uma Série de Pagamentos

Anexo 3 >> Fator de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos Postecipados

47

ANEXO 1

Fator de Capitalização

n i% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%

1

1,0

1000

0

1,0

2000

0

1,0

3000

0

1,0

4000

0

1,0

5000

0

1,0

6000

0

1,0

7000

0

1,0

8000

0

1,0

9000

0

1,1

0000

0

1,1

2000

0

1,1

5000

0

1,1

8000

0

2

1,0

2010

0

1,0

4040

0

1,0

6090

0

1,0

8160

0

1,1

0250

0

1,1

2360

0

1,1

4490

0

1,1

6640

0

1,1

8810

0

1,2

1000

0

1,2

5440

0

1,3

2250

0

1,3

9240

0

3

1,0

3030

1

1,0

6120

8

1,0

9272

7

1,1

2486

4

1,1

5762

5

1,1

9101

6

1,2

2504

3

1,2

5971

2

1,2

9502

9

1,3

3100

0

1,4

0492

8

1,5

2087

5

1,6

4303

2

4

1,0

4060

4

1,0

8243

2

1,1

2550

9

1,1

6985

9

1,2

1550

6

1,2

6247

7

1,3

1079

6

1,3

6048

9

1,4

1158

2

1,4

6410

0

1,5

7351

9

1,7

4900

6

1,9

3877

8

5

1,0

5101

0

1,1

0408

1

1,1

5927

4

1,2

1665

3

1,2

7628

2

1,3

3822

6

1,4

0255

2

1,4

6932

8

1,5

3862

4

1,6

1051

0

1,7

6234

2

2,0

1135

7

2,2

8775

8

6

1,0

6152

0

1,1

2616

2

1,1

9405

2

1,2

6531

9

1,3

4009

6

1,4

1851

9

1,5

0073

0

1,5

8687

4

1,6

7710

0

1,7

7156

1

1,9

7382

3

2,3

1306

1

2,6

9955

4

8

1,0

8285

7

1,1

7165

9

1,2

6677

0

1,3

6856

9

1,4

7745

5

1,5

9384

8

1,7

1818

6

1,8

5093

0

1,9

9256

3

2,1

4358

9

2,4

7596

3

3,0

5902

3

3,7

5885

9

10

1,1

0462

2

1,2

1899

4

1,3

4391

6

1,4

8024

4

1,6

2889

5

1,7

9084

8

1,9

6715

1

2,1

5892

5

2,3

6736

4

2,5

9374

2

3,1

0584

8

4,0

4555

8

5,2

3383

6

12

1,1

2682

5

1,2

6824

2

1,4

2576

1

1,6

0103

2

1,7

9585

6

2,0

1219

6

2,2

5219

2

2,5

1817

0

2,8

1266

5

3,1

3842

8

3,8

9597

6

5,3

5025

0

7,2

8759

3

15

1,

1609

69

1,

3458

68

1,

5579

67

1,

8009

44

2,

0789

28

2,

3965

58

2,

7590

32

3,

1721

69

3,

6424

82

4,

1772

48

5,

4735

66

8,

1370

62

11,

9737

48

18

1,

1961

47

1,

4282

46

1,

7024

33

2,

0258

17

2,

4066

19

2,

8543

39

3,

3799

32

3,

9960

19

4,

7171

20

5,

5599

17

7,

6899

66

12,

3754

54

19,

6732

51

20

1,

2201

90

1,

4859

47

1,

8061

11

2,

1911

23

2,

6532

98

3,

2071

35

3,

8696

84

4,

6609

57

5,

6044

11

6,

7275

00

9,

6462

93

16,

3665

37

27,

3930

35

48

ANEXO 2

Fator de Acumulação de Capital de Uma Série de Pagamentos

n i% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%

1

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

1,0

0000

0

2

2,0

1000

0

2,0

2000

0

2,0

3000

0

2,0

4000

0

2,0

5000

0

2,0

6000

0

2,0

7000

0

2,0

8000

0

2,0

9000

0

2,1

0000

0

2,1

2000

0

2,1

5000

0

2,1

8000

0

3

3,0

3010

0

3,0

6040

0

3,0

9090

0

3,1

2160

0

3,1

5250

0

3,1

8360

0

3,2

1490

0

3,2

4640

0

3,2

7810

0

3,3

1000

0

3,3

7440

0

3,4

7250

0

3,5

7240

0

4

4,0

6040

1

4,1

2160

8

4,1

8362

7

4,2

4646

4

4,3

1012

5

4,3

7461

6

4,4

3994

3

4,5

0611

2

4,5

7312

9

4,6

4100

0

4,7

7932

8

4,9

9337

5

5,2

1543

2

5

5,1

0100

5

5,2

0404

0

5,3

0913

6

5,4

1632

3

5,5

2563

1

5,6

3709

3

5,7

5073

9

5,8

6660

1

5,9

8471

1

6,1

0510

0

6,3

5284

7

6,7

4238

1

7,1

5421

0

6

6,1

5201

5

6,3

0812

1

6,4

6841

0

6,6

3297

5

6,8

0191

3

6,9

7531

9

7,1

5329

1

7,3

3592

9

7,5

2333

5

7,7

1561

0

8,1

1518

9

8,7

5373

8

9,4

4196

8

8

8,

2856

71

8,

5829

69

8,

8923

36

9,

2142

26

9,

5491

09

9,

8974

68

10,

2598

03

10,

6366

28

11,

0284

74

11,

4358

88

12,

2996

93

13,

7268

19

15,

3269

96

10

10,

4622

13

10,

9497

21

11,

4638

79

12,

0061

07

12,

5778

93

13,

1807

95

13,

8164

48

14,

4865

62

15,

1929

30

15,

9374

25

17,

5487

35

20,

3037

18

23,

5213

09

12

12,

6825

03

13,

4120

90

14,

1920

30

15,

0258

05

15,

9171

27

16,

8699

41

17,

8884

51

18,

9771

26

20,

1407

20

21,

3842

84

24,

1331

33

29,

0016

67

34,

9310

70

15

16,

0968

96

17,

2934

17

18,

5989

14

20,

0235

88

21,

5785

64

23,

2759

70

25,

1290

22

27,

1521

14

29,

3609

16

31,

7724

82

37,

2797

15

47,

5804

11

60,

9652

66

18

19

,614

748

21

,412

312

23

,414

435

25

,645

413

28

,132

385

30

,905

653

33

,999

033

37

,450

244

41

,301

338

45

,599

173

55

,749

715

75

,836

357

103

,740

283

20

22

,019

004

24

,297

370

26

,870

374

29

,778

079

33

,065

954

36

,785

591

40

,995

492

45

,761

964

51

,160

120

57

,274

999

72

,052

442

102

,443

583

146

,627

970

49

ANEXO 3

Fator de Valor Atual de Uma Série de Pagamentos Postecipados

n i% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%

1

0,9

9009

9

0,9

8039

2

0,9

7087

4

0,9

6153

8

0,9

5238

1

0,9

4339

6

0,9

3457

9

0,9

2592

6

0,9

1743

1

0,9

0909

1

0,8

9285

7

0,8

6956

5

0,8

4745

8

2

1,9

7039

5

1,9

4156

1

1,9

1347

0

1,8

8609

5

1,8

5941

0

1,8

3339

3

1,8

0801

8

1,7

8326

5

1,7

5911

1

1,7

3553

7

1,6

9005

1

1,6

2570

9

1,5

6564

2

3

2,9

4098

5

2,8

8388

3

2,8

2861

1

2,7

7509

1

2,7

2324

8

2,6

7301

2

2,6

2431

6

2,5

7709

7

2,5

3129

5

2,4

8685

2

2,4

0183

1

2,2

8322

5

2,1

7427

3

4

3,9

0196

6

3,8

0772

9

3,7

1709

8

3,6

2989

5

3,5

4595

1

3,4

6510

6

3,3

8721

1

3,3

1212

7

3,2

3972

0

3,1

6986

5

3,0

3734

9

2,8

5497

8

2,6

9006

2

5

4,8

5343

1

4,7

1346

0

4,5

7970

7

4,4

5182

2

4,3

2947

7

4,2

1236

4

4,1

0019

7

3,9

9271

0

3,8

8965

1

3,7

9078

7

3,6

0477

6

3,3

5215

5

3,1

2717

1

6

5,7

9547

6

5,6

0143

1

5,4

1719

1

5,2

4213

7

5,0

7569

2

4,9

1732

4

4,7

6654

0

4,6

2288

0

4,4

8591

9

4,3

5526

1

4,1

1140

7

3,7

8448

3

3,4

9760

3

8

7,6

5167

8

7,3

2548

1

7,0

1969

2

6,7

3274

5

6,4

6321

3

6,2

0979

4

5,9

7129

9

5,7

4663

9

5,5

3481

9

5,3

3492

6

4,9

6764

0

4,4

8732

2

4,0

7756

6

10

9,4

7130

5

8,9

8258

5

8,5

3020

3

8,1

1089

6

7,7

2173

5

7,3

6008

7

7,0

2358

2

6,7

1008

1

6,4

1765

8

6,1

4456

7

5,6

5022

3

5,0

1876

9

4,4

9408

6

12

11,

2550

77

10,

5753

41

9,

9540

04

9,

3850

74

8,

8632

52

8,

3838

44

7,

9426

86

7,

5360

78

7,

1607

25

6,

8136

92

6,

1943

74

5,

4206

19

4,

7932

25

15

13,

8650

53

12,

8492

64

11,

9379

35

11,

1183

87

10,

3796

58

9,

7122

49

9,

1079

14

8,

5594

79

8,

0606

88

7,

6060

80

6,

8108

64

5,

8473

70

5,

0915

78

18

16,

3982

69

14,

9920

31

13,

7535

13

12,

6592

97

11,

6895

87

10,

8276

03

10,

0590

87

9,

3718

87

8,

7556

25

8,

2014

12

7,

2496

70

6,

1279

66

5,

2731

64

20

18,

0455

53

16,

3514

33

14,

8774

75

13,

5903

26

12,

4622

10

11,

4699

21

10,

5940

14

9,

8181

47

9,

1285

46

8,

5135

64

7,

4694

44

6,

2593

31

5,

3527

46

50

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

Cesar, BENJAMIN. Matemática Financiera: Teoria e 840 Questões. Rio de

Janeiro: Impetus, 2002.

BANCO DO BRASIL. Curso básico de Finanças: Rumo a Consultoria

Financeira. Apostilado, 2006

BANCO DO BRASIL. Auto-Instrucional de Matemática Financeira, Curso.

Apostilado.

HEWLETT-PACKARD COMPANY. HP 12-C Manual do Proprietário e Guia

para Solução de Problemas. 1981

51

ÍNDICE

FOLHA DE ROSTO 2

AGRADECIMENTO 3

DEDICATÓRIA 4

RESUMO 5

METODOLOGIA 6

SUMÁRIO 7

INTRODUÇÃO 8

CAPÍTULO I 9

PORCENTAGEM 9

JUROS SIMPLES 11

DESCONTOS SIMPLES 13

CAPÍTULO II 18

JUROS COMPOSTOS 18

ESTUDO E DEFINIÇÂO DE TAXAS 21

CONVENÇÕES LINAR E EXPONENCIAL 24

DESCONTOS COMPOSTOS 25

CAPÍTULO III 31

RENDAS CERTAS 31

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÂO 36

ANÀLISE DO FLUXO DE CAIXA 40

CONCLUSÃO 45

ANEXOS 46

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 50

ÍNDICE 51