UNIFAL-MG, campus Varginha · 2 7 4 Escalar: matriz com uma linha e uma coluna. - Ex.: x = 3, a =...

Algebra matricial

Analise multivariada

Patrıcia de Siqueira Ramos

UNIFAL-MG, campus Varginha

4 de Setembro de 2018

Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada

Algebra matricial

DefinicoesOperacoes elementaresObservacoesMatrizes especiaisOperacoes matriciais

Definicoes

Matriz:- colecao de numeros ordenados por linhas e colunas- e comum organiza-los usando ( ), [ ] ou { }- na forma digital usamos a notacao de negrito e letramaiuscula para uma matriz. Por exemplo, uma matriz podeser representada como

Y =

[5 8 2−1 0 7

]Obs.: Na forma escrita manualmente, devido a dificuldade derepresentar o negrito, usaremos um til embaixo da letramaiuscula


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Definicoes

Dimensao: numero de linhas e colunas de uma matriz (n e onumero de linhas e p e o numero de colunas).Assim, uma matriz tem dimensao n × p.A matriz Y do exemplo tem dimensao 2× 3.

Os elementos de uma matriz sao numerados como

X = [xij ] =

x11 · · · x1p

. . .. . . . . .

xn1 · · · xnp

.Assim, xij e o elemento correspondete a i-esima linha ej-esima coluna.- No exemplo da matriz Y, y11 = 5, . . . , y23 = 7.


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Definicoes

Vetor: matriz com uma linha (vetor linha) ou uma coluna(vetor coluna).- Ex.: a e um vetor coluna e b e um vetor linha:

a =

723

b =[−2 7 4

]

Escalar: matriz com uma linha e uma coluna.- Ex.: x = 3, a = 0, w = −7.


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Operacoes elementares

Soma e subtracao de duas (ou mais) matrizes:- ambas devem ter mesma dimensao n × p- a soma e feita elemento a elemento:

A + B = [aij ± bij ]

- Ex.:

A + B =

[1 9 −23 6 0

]+

[8 4 −3−7 1 6

]=

[9 13 −5−4 7 6

]


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Multiplicacao de uma matriz por um escalar c :

cA = [c · aij ]

- Ex.: 4A

4A =

[4 · 1 4 · 9 4 · (−2)4 · 3 4 · 6 4 · 0

]=

[4 36 −8

12 24 0

]


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Multiplicacao de matrizes:- o numero de colunas da primeira matriz (n × p) deve ser igual aonumero de linhas da segunda matriz (p ×m).- a matriz resultante sera n ×m:

An×p · Bp×m = Cn×m

Ex.:

[2 8 −13 6 4

]2×3

·

1 79 −26 3

3×2

=

[2 · 1 + 8 · 9 + (−1) · 6 2 · 7 + 8 · (−2) + (−1) · 3

3 · 1 + 6 · 9 + 4 · 6 3 · 7 + 6 · (−2) + 4 · 3

]2×2

=[68 −581 21

]2×2


Algebra matricial



Multiplicacao de matrizes:- o numero de colunas da primeira matriz (n × p) deve ser igual aonumero de linhas da segunda matriz (p ×m).- a matriz resultante sera n ×m:

An×p · Bp×m = Cn×m

Ex.:

[2 8 −13 6 4

]2×3

·

1 79 −26 3

3×2

=[2 · 1 + 8 · 9 + (−1) · 6 2 · 7 + 8 · (−2) + (−1) · 3

3 · 1 + 6 · 9 + 4 · 6 3 · 7 + 6 · (−2) + 4 · 3

]2×2

=[68 −581 21

]2×2


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Ex.: Se multiplicarmos um vetor linha por um vetor colunateremos:

[1 7 5

]1×3·

241

3×1

= 1 · 2 + 7 · 4 + 5 · 1 = 35 (escalar)

Porem, se multiplicarmos um vetor coluna por um vetor linhateremos: 2

41

3×1

·[

1 7 5]

1×3=

2 14 104 28 201 7 5

3×3


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Obs. a) Diferencas entre escalares e matrizes

escalares matrizesa.1) ab = ba AB 6= BA

a.2) Se ab = ac e a 6= 0, Se AB = AC e A 6= 0,entao b = c entao nao necessariamente B = C

a.3) Se ab = 0, entao a = 0, Se AB = 0, nao necessariamente A = 0,ou b = 0 ou ambos sao 0 B = 0 ou ambos sao 0

a.4) Se ab = 0, entao ba = 0 Se AB = 0, nao necessariamente BA = 0.


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Obs. a) Diferencas entre escalares e matrizes - exemplos

a.1) A =

[1 32 −1

],B =

[2 −10 2

],AB =

[2 54 −4

]6= BA =

[0 74 −2

]

a.2) A =

[1 30 1

],B =

[2 42 3

],C =

[1 −2−1 2

],

AC =

[−2 4−1 2

]= BC, mas A 6= B

a.3) A =

[1 11 1

],B =

[1 −1−1 1

],AB =

[0 00 0

]= BA, mas A 6= 0 e B 6= 0


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Obs. b)

Ap = A · A · · · · · A (p fatores).

ApAq = Ap+q,

(Ap)q = Apq

(AB)p nao e necessariamente igual a ApBp.

Para escalares tal regra vale, por exemplo:

(2 · 3)2 = 62 = 36 e 22 · 32 = 36.


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Obs. c)

(AB)T = BTAT .

(T representa a transposta de uma matriz, tal definicao sera vistaadiante).

Ex.) A =

[1 30 1

],B =

[2 42 3

],AB =

[8 132 3

].

BT =

[2 24 3

],AT =

[1 03 1

],BTAT =

[8 2

13 3

].

(AB)T =

[8 2

13 3

]= BTAT .


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Produto de Hadamard

Ap×q⊙

Bp×q = Cp×q.

Menos comum do que a multiplicacao de matrizes

A multiplicacao e feita elemento a elemento (a11 com b11, a12

com b12 e assim por diante)

As duas matrizes devem ter mesma dimensao


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Matriz quadrada

Matriz em que o numero de linhas e igual ao numero decolunas

Ex.: A =

[1 63 2

],B =

0 10 −24 11 27 −8 9

sao quadradas com dimensoes 2× 2 e 3× 3, respectivamente.

C =

1 90 37 −2

nao e quadrada e tem dimensao 3× 2.


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Matriz simetrica

Matriz quadrada em que xij = xji ∀ i , j , ou seja, inverterlinhas e colunas nao afeta a matriz

Assim, AT = AExemplos:

A =

9 1 51 6 25 2 7

e simetrica.

B =

9 1 55 6 21 2 7

nao e simetrica.


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Matriz diagonal

Matriz simetrica em que todos os elementos fora da diagonalsao zero

Dp×p =

d11 0 0 · · · 00 d22 0 · · · 0...

.... . .

......

0 0 0 · · · dpp


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Matriz identidade

Matriz diagonal de 1s

I =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 0...

.... . .

......

0 0 0 · · · 1


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Matriz unitaria

Matriz composta de 1s:

J =

1 · · · 11 · · · 1...

. . ....

1 · · · 1

.

A matriz J pode ser obtida a partir da multiplicacao de umvetor de 1s pela transposta dele

J = 1 · 1T =

11...1

[ 1 · · · 1]

=

1 · · · 11 · · · 1...

. . ....

1 · · · 1

.


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Matriz unitaria


J =

1 · · · 11 · · · 1...

. . ....

1 · · · 1

.A matriz J pode ser obtida a partir da multiplicacao de umvetor de 1s pela transposta dele

J = 1 · 1T =

11...1

[ 1 · · · 1]

=

1 · · · 11 · · · 1...

. . ....

1 · · · 1

.Patrıcia de Siqueira Ramos Analise multivariada

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Matriz nula


0 =

0 · · · 00 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0

.


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Matriz ortogonal Q

Matriz em que as seguintes relacoes valem:

QTQ = QQT = I.

Exemplo:

Q =

[cos(θ) − sin(θ)sin(θ) cos(θ)

],

QT =

[cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)

],QTQ = QQT =

[1 00 1

].


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Matriz idempotente

Matriz em que

AA = A.

Exemplo: 1 0 00 1/2 1/20 1/2 1/2

1 0 00 1/2 1/20 1/2 1/2

=

1 0 00 1/2 1/20 1/2 1/2

.


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Qualquer matriz pre ou pos multiplicada por I resulta napropria matriz

AI = A

IA = A

Exemplos: [2 5−1 4

] [1 00 1

]=

[2 5−1 4

].[

1 00 1

] [2 5−1 4

]=

[2 5−1 4

].


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A pre ou pos multiplicacao pela matriz nula 0 resulta namatriz nula 0:

A0 = 0

0A = 0

Exemplos: [2 5−1 4

] [0 00 0

]=

[0 00 0

].[

0 00 0

] [2 5−1 4

]=

[0 00 0

].


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Topicos a serem vistos

Posteriormente, veremos que o vetor 1 e usado para obter ovetor de medias amostrais X e a matriz de covarianciasamostrais S

O vetor de medias amostrais e dado por

X =1

n

n∑i=1

Xi · =1

nXT1


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Topicos a serem vistos

Exemplo: Seja a matriz de dados X que contem 4 observacoes medidasem 3 variaveis:

X =

7 3 94 6 114 2 55 5 7

4×3

.

Vamos obter o vetor de medias amostrais usando a formula vista:

X =1

4

7 4 4 53 6 2 59 11 5 7

3×4

1111

4×1

=

1

4

7 + 4 + 4 + 53 + 6 + 2 + 5

9 + 11 + 5 + 7

3×1

=

548

3×1


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Traco

Para uma matriz quadrada A de dimensao n × n, o traco e asoma dos elementos da diagonal principal

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...an1 an2 · · · ann

tr(A) =

n∑i=1

aii = a11 + a22 + · · ·+ ann.


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Transposta

Seja a matriz A de dimensao n ×m, representamos suatransposta por AT ou A′ e ela tem dimensao m × n

O elemento aij em A sera o elemento aji em AT

Propriedades:- Para A quadrada n × n, tr(AT ) = tr(A)- Para A simetrica, AT = A- Para A diagonal, AT = A- A + AT e AT + A sao simetricas:

A =

2 5 83 6 94 7 10

.A + AT =

4 8 128 12 16

12 16 20

= AT + A.


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Determinante

Para uma matriz quadrada A n × n ha dois metodos muitoutilizados para obter o determinante de A:1 - metodo direto: e o produto da diagonal principal menos oproduto dos outros elementos.Ex.: matriz 2× 2

A =

[2 13 −1

].

|A| = 2 · (−1)− (3 · 1)

= −2− 3

|A| = −5


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Determinante


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Determinante

2 - formula (pode ser utilizada para matrizes quadradas dequaisquer dimensoes)

|A| =n∑

j=1

(−1)i+jaij |Aij |,

em que Aij e denominado menor e e a matriz quadrada(n − 1)× (n − 1) obtida com a eliminacao da i-esima linha ej-esima coluna de A


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Determinante

Ex.: matriz 3× 3 (usando a formula):

A =

4 −1 14 5 3−2 0 0

.

Temos que fixar uma linha ou coluna. Vamos escolher a linha 1(i = 1). Assim, variamos o valor da coluna (j = 1, 2, 3):


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Determinante

Ex.: Continuacao

|A| = (−1)1+1a11|A11|+ (−1)1+2a12|A12|+ (−1)1+3a13|A13|

= 1 · 4 ·∣∣∣∣ 5 3

0 0

∣∣∣∣+ (−1) · (−1) ·∣∣∣∣ 4 3−2 0

∣∣∣∣+ 1 · 1 ·∣∣∣∣ 4 5−2 0

∣∣∣∣= 4 · 0 + 1 · 6 + 1 · 10 = 16.


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Propriedades do determinante

1 |A| = |AT |2 |AB| = |A||B|3 |cA| = cn|A|4 matriz ortogonal: |A| = ±1

5 se duas linhas (ou colunas) de A sao iguais, |A| = 0


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Propriedades do determinante - exemplos

2. A =

[3 12 4

],B =

[4 23 5

],AB =

[15 1120 24

],

|AB| = 14 · 24− 20 · 11 = 140.

|A| = 10 , |B| = 14 , |AB| = |A||B| = 10 · 14 = 140.

3. D =

[3 12 4

],E = 3D =

[9 36 12

], |E| = 9 · 12− 3 · 6 = 90.

|D| = 12− 2 = 10 , |E| = |3D| = 32|D| = 9 · 10 = 90.


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