Unidade+III+–+Modelagem+de+Sistemas+Físicos

Prof. Raimundo Nonato das Mercês Machado

Unidade III – Modelagem de Sistemas Físicos

Modelagem de Sistemas Físicos� Introdução

Prof. Raimundo Nonato M. Machado

� Introdução� A modelagem matemática de um sistema dinâmico é definida

como um conjunto de equações que representam a dinâmicacomo um conjunto de equações que representam a dinâmicado sistema com precisão ou, pelo menos, de forma bastanteaceitável.

� A dinâmica de muitos sistemas, sejam eles mecânicos,elétricos, térmicos, econômicos, biológicos etc., pode ser, , , g , pdescrita em termos de equações diferenciais. Tais equaçõesdiferenciais podem ser obtidas utilizando-se as leis físicas quegovernam um sistema particular como por exemplo as leis degovernam um sistema particular, como por exemplo as leis deNewton dos sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff dossistemas elétricos.

� Uma vez obtido um modelo matemático de um sistema, váriasferramentas analíticas e de computador podem ser usadaspara fins de análise e de síntese.

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� IntroduçãoModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Introdução� Simplicidade versus precisão.� É possível melhorar a precisão de um modelo matemático� É possível melhorar a precisão de um modelo matemático

aumentando sua complexidade. Em alguns casos, incluem-secentenas de equações para descrever um sistema completo.centenas de equações para descrever um sistema completo.Na obtenção de um modelo matemático, no entanto, deve-seestabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e

� Em geral na solução de um novo problema considera-se

a precisão dos resultados da análise.

� Em geral, na solução de um novo problema, considera sedesejável construir inicialmente um modelo simplificado demodo a se adquirir um conhecimento básico e geral para asolução. Posteriormente, um modelo matemático maiscompleto poderá ser então elaborado e utilizado para uma

áli i d t lh danálise mais detalhada.3


� Introdução� Não-linearidades.� Embora muitas relações físicas sejam representadas� Embora muitas relações físicas sejam representadas

freqüentemente por equações lineares, na maioria dos casosas relações reais não são exatamente lineares. De fato, umas relações reais não são exatamente lineares. De fato, umestudo meticuloso de sistemas físicos revela que mesmo oschamados "sistemas lineares" são realmente lineares apenas

� Na prática muitos sistemas eletromecânicos hidráulicos

em faixas limitadas de operação.

� Na prática, muitos sistemas eletromecânicos, hidráulicos,pneumáticos etc., envolvem relações não-lineares entre asvariáveis.

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� Introdução� Não-linearidades.� Não linearidade tipo saturação� Não-linearidade tipo saturação

� Não-linearidade tipo zona-morta

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� Introdução� Não-linearidades.� Não linearidade tipo lei quadrática� Não-linearidade tipo lei quadrática

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� Introdução� Não-linearidades.� Os procedimentos para determinar as soluções de problemas� Os procedimentos para determinar as soluções de problemas

envolvendo sistemas não-lineares são, em geral,extremamente complicados. Devido a esta dificuldadeextremamente complicados. Devido a esta dificuldadematemática inerente aos sistemas não-lineares, torna-senormalmente necessário introduzir sistemas lineares"equivalentes" em substituição aos não-lineares.

� Estes sistemas lineares equivalentes são válidos apenasq pdentro de uma faixa limitada de operação. Uma vez que umsistema não-linear seja aproximado por um modelo matemáticolinear, várias ferramentas lineares podem ser aplicadas parafins de análise e projeto.

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� Função de transferência e resposta impulsionalModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Função de transferência e resposta impulsional� Em teoria de controle, as funções ditas funções de

transferência são comumente usadas para caracterizar asprelações de entrada-saída de componentes ou sistemas quepodem ser descritos por equações diferenciais linearesinvariantes no tempoinvariantes no tempo.

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� Função de transferência e resposta impulsional

� A função de transferência de um sistema representado por� Função de transferência� A função de transferência de um sistema representado por

equações diferenciais lineares invariantes no tempo é definidacomo a relação entre a transformada de Laplace do sinal de

(f ) fsaída (função resposta) e a transformada de Laplace do sinalde entrada (função excitação), na hipótese de que todas ascondições iniciais são nulas.condições iniciais são nulas.

� Considere-se o sistema linear invariante no tempo definido pelaseguinte equação diferencial:g q ç

onde y é o sinal de saída do sistema e x é o sinal de entrada.9


� Função de transferência e resposta impulsional� Função de transferência

� Usando-se o conceito de função de transferência, é possívelrepresentar a dinâmica de sistemas por equações algébricasrepresentar a dinâmica de sistemas por equações algébricasem s.

� Se a mais alta potência de s no denominador da função de� Se a mais alta potência de s no denominador da função detransferência for igual a n, o sistema é chamado sistema de n-ésima ordem.ésima ordem.

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� A função de transferência de um sistema é um modelo� Comentários sobre função de transferência.� A função de transferência de um sistema é um modelo

matemático no sentido de que constitui um método operacionalde expressar a equação diferencial que relaciona a variável desaída à variável de entrada.

� A função de transferência é uma propriedade intrínseca doi t i d d t t d it d d t dsistema, independentemente da magnitude e da natureza do

sinal de entrada ou função de excitação.

� A função de transferência inclui as unidades necessárias pararelacionar o sinal de entrada ao sinal de saída; no entanto, elanão fornece qualquer informação concernente à estrutura físicanão fornece qualquer informação concernente à estrutura físicado sistema. (As funções de transferência de muitos sistemasfisicamente diferentes podem ser idênticas.)fisicamente diferentes podem ser idênticas.)

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� Se a função de transferência de um sistema for conhecida a� Comentários sobre função de transferência.� Se a função de transferência de um sistema for conhecida, a

saída ou resposta pode ser estudada para várias formas deentradas com vistas ao entendimento da natureza do sistema.entradas com vistas ao entendimento da natureza do sistema.

� Se a função de transferência de um sistema for desconhecida,ela pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo-seela pode ser estabelecida experimentalmente introduzindo sesinais de entrada conhecidos e estudando-se o sinal de saídado sistema. Uma vez estabelecida, a função de transferênciafornece uma descrição completa das características dinâmicasdo sistema, tão precisas quanto aquelas obtidas a partir de suad i ã fí idescrição física.

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� Para deduzir a função de transferência procede se de acordo� Comentários sobre função de transferência.� Para deduzir a função de transferência, procede-se de acordo

com as seguintes etapas.

1 E ã dif i l d i t1 - Escrever a equação diferencial do sistema.2 - Aplicar a transformada de Laplace à equação diferencial,

d iti d t d di õ i i i i ã ladmitindo que todas as condições iniciais são nulas.3 - Obter a relação entre a transformada de Laplace do sinal de

íd t f d d L l d i l d t d E tsaída e a transformada de Laplace do sinal de entrada. Estarelação é a função de transferência.

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� Considere se um sistema descrito pela equação diferencial� Função de transferência� Considere-se um sistema descrito pela equação diferencial

onde as condições iniciais são nulasonde as condições iniciais são nulas

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� Considere se o sinal de saída (resposta) de um sistema a uma� Resposta impulsionaI� Considere-se o sinal de saída (resposta) de um sistema a uma

excitação impulso unitário, quando as condições iniciais sãonulas. Uma vez que a transformada de Laplace do impulsonulas. Uma vez que a transformada de Laplace do impulsounitário é igual a 1, a transformada de Laplace do sinal desaída do sistema é

� A transformada de Laplace inversa fornece a resposta dosistema ao impulso unitário. A transformada de Laplace inversade G(s), ou seja,

é chamada a resposta impulsional do sistemaé chamada a resposta impulsional do sistema.

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� Diagramas de blocosModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Diagramas de blocos� Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação

pictórica das funções desempenhadas por cada um dospictórica das funções desempenhadas por cada um doscomponentes e do fluxo de sinais entre eles.

� Em um diagrama de blocos todas as variáveis do sistema são� Em um diagrama de blocos, todas as variáveis do sistema sãoligadas umas às outras através de blocos funcionais. O blocofuncional ou simplesmente bloco é um símbolo da operaçãofuncional ou simplesmente bloco é um símbolo da operaçãomatemática sobre o sinal de entrada do bloco que produz osinal de saída.

� As funções de transferência dos componentes são usualmenteintroduzidas nos blocos correspondentes, que são conectadospor setas para indicar o sentido do fluxo dos sinais.

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� Diagramas de blocos� O segmento orientado

(seta) que aponta para o(seta) que aponta para obloco indica o sinal deentrada, e o segmentogorientado que sai dobloco representa o sinald íd T i t ãde saída. Tais setas sãocitadas como sinais.

� Um diagrama de blocos contém informação relativa ao� Um diagrama de blocos contém informação relativa aocomportamento dinâmico, mas não inclui nenhuma informaçãosobre a construção física do sistema.sobre a construção física do sistema.

� Sistemas totalmente diferentes e sem nenhuma relação entresi podem ser representados por um mesmo diagrama desi podem ser representados por um mesmo diagrama deblocos.

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� Diagramas de blocos

� Um círculo com um X é o� Ponto de soma.� Um círculo com um X é o

símbolo que indica umaoperação de soma. O sinal demais ou de menos em cadasegmento orientado indica seeste sinal deve ser adicionadoeste sinal deve ser adicionadoou subtraído.

� É importante que as grandezas a serem somadas ou� É importante que as grandezas a serem somadas ousubtraídas tenham as mesmas grandezas dimensionais e asmesmas unidades.mesmas unidades.

� Um ponto de derivação é um ponto a partir do qual o sinal� Ponto de derivação

proveniente de um bloco vai simultaneamente para outrosblocos ou pontos de soma. 18



� A saída C(s) retroage ao ponto� Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada.� A saída C(s) retroage ao ponto

de soma, onde é comparadacom o sinal de entrada decom o sinal de entrada deReferência R(s).

� Quando o sinal de saída retroage ao ponto de soma para� Quando o sinal de saída retroage ao ponto de soma paracomparação com a entrada, é necessário converter suanatureza física na mesma natureza do sinal de entrada.natureza física na mesma natureza do sinal de entrada.

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� Esta conversão é realizada� Diagrama de blocos de um sistema a malha fechada.� Esta conversão é realizada

pelo elemento de retroaçãocuja função de transferência écuja função de transferência éH(s).

� O papel do elemento de retroação é modificar a natureza dosinal de saída antes que este seja comparado com o sinal deentrada.

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� Diagramas de blocos� Função de transferência a malha aberta e função de

transferência de ação direta.ç� A relação entre o sinal de

retroação B(s) e o sinal de erroE(s) é chamada função detransferência de malha aberta.

� A relação entre o sinal de saída C(s) e o sinal de erro E(s) échamada função de transferência de ação diretachamada função de transferência de ação direta.

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� Diagramas de blocos� Função de transferência a malha fechada.� A função e transferência que� A função e transferência que

relaciona C(s) a E(s) édenominada função de

ftransferência de malhafechada.

� Esta função de transferência relaciona a dinâmica do sistema amalha fechada à dinâmica dos elementos de ação direta e dos

l d ãelementos de retroação.� O sinal de saída do sistema de malha fechada depende

l t d f ã d t f ê i lh f h d tclaramente da função de transferência a malha fechada quantodo tipo do sinal de entrada. 22


� Diagramas de blocos� Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação� Q d d i i i d t d ( i l d f ê i� Quando dois sinais de entrada (sinal de referência e

perturbação) estão presentes em um sistema linear, cada umdos sinais de entrada pode ser tratado independentemente dop poutro; e os sinais de saída correspondentes a cada um dossinais de entrada podem ser adicionados para obter o sinal desaída completosaída completo.

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� Diagramas de blocos� Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação� Ao examinar o efeito da perturbação D(s) admite se que o� Ao examinar o efeito da perturbação D(s), admite-se que o

sistema esteja inicialmente em repouso, com erro nulo; pode-se então calcular a resposta CD(s) devida unicamente àse então calcular a resposta CD(s) devida unicamente àperturbação.

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� Diagramas de blocos� Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação� Ao considerar a resposta do sinal de entrada R(s) de� Ao considerar a resposta do sinal de entrada R(s) de

referência, admite-se que a perturbação seja nula. Então aresposta CR(s) ao sinal de referência R(s) é

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� Diagramas de blocos� Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação� Resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e da� Resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e da

perturbação.

� Se |G1(s)H(s)|>>1 e |G1(s)G2(s)H(s)|>>1, CD(s)/D(s) torna-se| 1( ) ( )| | 1( ) 2( ) ( )| , D( ) ( )quase zero. Esta é uma das vantagens do sistema de malhafechada.

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� Diagramas de blocos� Sistema a malha fechada sujeito a uma perturbação� A resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e� A resposta à aplicação simultânea da entrada de referência e

da perturbação é

� Se |G1(s)G2(s)H(s)|>>1, a função de transferência de malha| 1( ) 2( ) ( )| , çfechada CR(s)/R(s) torna-se independente de G1(s) e G2(s) einversamente proporcional a H(s). Esta é uma outra vantagemdo sistema de malha fechada.

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� Diagramas de blocos� Procedimentos para a construção de um diagrama de blocos� Escrevem se primeiro as equações que descrevem o� Escrevem-se primeiro as equações que descrevem o

comportamento dinâmico de cada um componentes.� Obtém se em seguida a transformada de Laplace destas� Obtém-se, em seguida, a transformada de Laplace destas

equações, supondo condições iniciais nulas.� Representa se individualmente em forma de blocos cada� Representa-se individualmente, em forma de blocos, cada

equação transformada por Laplace.

Fi l t ú l t di d� Finalmente, reúnem-se os elementos em um diagrama deblocos completo.

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� Diagramas de blocos� Procedimentos para a construção de um diagrama de blocos� Considere se o Circuito RC� Considere-se o Circuito RC.

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� Diagramas de blocos� Redução de diagrama de blocos� A associação de qualquer número de blocos em cascata� A associação de qualquer número de blocos em cascata,

representando componentes individuais que não apresentamefeito de carregamento uns sobre os outros, pode ser

fsubstituída por um único bloco equivalente, cuja função detransferência é simplesmente o produto das funções detransferência individuais.transferência individuais.

� Um diagrama de blocos complicado, envolvendo muitasmalhas de retroação, pode ser simplificado através de umprocedimento passo a passo, usando as regras da álgebrapara diagramas de bloco Elas são obtidas escrevendo se apara diagramas de bloco. Elas são obtidas escrevendo-se amesma equação de uma maneira diferente.

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� Diagramas de blocos� Redução de diagrama de blocos� A simplificação do diagrama de blocos por meio de rearranjos e� A simplificação do diagrama de blocos por meio de rearranjos e

substituições reduz consideravelmente o trabalho necessário àanálise matemática subseqüente.análise matemática subseqüente.

� Deve-se notar, no entanto, que à medida que o diagrama deblocos é simplificado as funções de transferência nos novosblocos é simplificado, as funções de transferência nos novosblocos tornam-se mais complexas porque novos pólos e novoszeros são gerados.g

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� Diagramas de blocos� Transformações com diagrama de blocos� Combinando blocos em cascata� Combinando blocos em cascata

� Deslocando para frente de um ponto de soma situado atrás de� Deslocando para frente de um ponto de soma situado atrás deum bloco.

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� Diagramas de blocos� Transformações com diagrama de blocos� Deslocamento para trás de um ponto de derivação situado à� Deslocamento para trás de um ponto de derivação situado à

frente de um bloco.

� Deslocando para frente de um ponto de derivação situado atrás� Deslocando para frente de um ponto de derivação situado atrásde um bloco.

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� Diagramas de blocos� Transformações com diagrama de blocos� Deslocamento para trás de um ponto de soma situado à frente� Deslocamento para trás de um ponto de soma situado à frente

de um bloco.

� Eliminando um laço de retroação� Eliminando um laço de retroação.

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� Redução de diagramas de blocosModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Redução de diagramas de blocos� Exercício 1� Simplificar o seguinte diagrama de blocos� Simplificar o seguinte diagrama de blocos.

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� Redução de diagramas de blocosModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Redução de diagramas de blocos� Exercício 2� Simplificar o seguinte diagrama de blocos� Simplificar o seguinte diagrama de blocos.

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� Sistemas mecânicosModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Sistemas mecânicos� A lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a

segunda lei de Newton. Ela pode ser aplicada a quaisquerg p p q qsistemas mecânicos.

� Definiçõesç� Massa

A massa de um corpo é a quantidade de matéria nelep qexistente e que supõe-se ser constante. Do ponto de vistafísico, massa é a propriedade que associa ao corpo suainércia, isto é, a oposição à partida e à parada demovimento do corpo.

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� Sistemas mecânicos� Definições� Força� Força

Força é a grandeza física que pode ser definida como acausa que tende a modificar o movimento de um corpocausa que tende a modificar o movimento de um corposobre o qual ela age. Para se movimentar um corpo énecessário aplicar-lhe uma força.p ç

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� Sistemas mecânicos� Seja o sistema massa-mola-amortecedor viscoso montado

sobre uma carreta sem massa Um amortecedor do tiposobre uma carreta sem massa. Um amortecedor do tipoindicado é um dispositivo que proporciona uma fricção viscosa,ou amortecimento.

� O amortecedor essencialmente absorve energia. Esta energiaabsorvida é dissipada sob a forma de calor, e o amortecedornão armazena qualquer energia cinética ou potencialnão armazena qualquer energia cinética ou potencial.

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� Sistemas mecânicos� Será obtido um modelo matemático deste sistema massa-

mola-amortecedor viscoso montado sobre uma carreta,,admitindo-se que a carreta permaneça parada para t < 0.Neste sistema, u(t) é o deslocamento da carreta e é agrandeza de entrada do sistema Em t = 0 a carreta passa agrandeza de entrada do sistema. Em t = 0, a carreta passa ase deslocar a uma velocidade constante. O deslocamento y(t)da massa é a grandeza de saída. (O deslocamento é relativoao solo.)

� Neste sistema, mdesigna a massa, bdesigna o coeficientede atrito viscoso e kde atrito viscoso e kdesigna a constante damola.mola.

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� Sistemas mecânicos� Admite-se que a força de atrito do amortecedor viscoso é

proporcional a velocidade e que a mola seja linear isto é aproporcional a velocidade e que a mola seja linear, isto é, aforça da mola é proporcional ao deslocamento.

� Para sistemas translacionais, a segunda lei de Newton� Para sistemas translacionais, a segunda lei de Newtonestabelece que

onde m é a massa, a él ã ΣF éa aceleração e ΣF é a

soma algébrica detodas as forçastodas as forçasaplicadas à massa m.

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� Sistemas elétricosModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Sistemas elétricos� As leis básicas que governam os circuitos elétricos são a lei de

Kirchhoff das correntes e a lei de Kirchhoff das tensõesKirchhoff das correntes e a lei de Kirchhoff das tensões.� Circuito RLC

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� Modelagem no espaço de estadosModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Modelagem no espaço de estados.� A teoria de controle moderno contrasta com a teoria de controle

convencional no sentido de que a primeira é aplicável aconvencional no sentido de que a primeira é aplicável asistemas com entradas e saídas múltiplas, lineares ou não-lineares, variantes ou invariantes no tempo, enquanto a últimap qé aplicável apenas aos sistemas monovariáveis (uma únicaentrada e uma única saída), lineares e invariantes no tempo.

� A teoria de controle moderno é uma abordagem centrada noconceito de estado, essencialmente no domínio do tempo,enquanto a teoria de controle convencional adota um enfoqueno domínio de freqüência complexa.

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� Modelagem no espaço de estados.

� Estado� Definições� Estado

O estado de um sistema é o menor conjunto de valores devariáveis (chamadas variáveis de estado) de modo que ovariáveis (chamadas variáveis de estado) de modo que oconhecimento destes valores em t = t0, junto com oconhecimento dos valores do sinal de entrada para t ≥ t0,p 0determina completamente o comportamento do sistemaem qualquer instante t ≥ t0.

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� Variáveis de estado� Definições� Variáveis de estado

As variáveis de estado de um sistema dinâmico são asgrandezas cujo conjunto de valores determina o estado dograndezas cujo conjunto de valores determina o estado dosistema. Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1,x2, ..., xn para descrever completamente o comportamento2 n p p pde um sistema, então tais n variáveis são um conjunto devariáveis de estado.

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� Vetor de estado� Definições� Vetor de estado

Se n variáveis de estado são necessárias para descrevercompletamente o comportamento de um dado sistemacompletamente o comportamento de um dado sistema,então estas n variáveis de estado podem ser consideradasas n componentes de um vetor x. Um tal vetor é chamadopvetor de estado. Um vetor de estado é, portanto, um vetorque determina univocamente o estado x(t) do sistema

l i t t t ≥ t h id t dpara qualquer instante t ≥ t0, uma vez conhecidos o estadoem t = t0 e a função de entrada u(t) para t ≥ t0.

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� Espaço de estados� Definições� Espaço de estados

O espaço n-dimensional cujos eixos coordenadosconsistem nos eixos x x x é chamado espaço deconsistem nos eixos x1, x2, . . ., xn é chamado espaço deestados. Qualquer estado pode ser representado por umponto no espaço de estados.p p ç

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� Equações no espaço de estados� Definições� Equações no espaço de estados

A análise no espaço de estados envolve três tipos devariáveis na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveisvariáveis na modelagem de sistemas dinâmicos: variáveisde entrada, variáveis de saída e variáveis de estado. Arepresentação de um dado sistema no espaço de estadosp ç p çnão é única, exceto que o número de variáveis de estado éo mesmo para qualquer das diferentes representações doi t tsistema em pauta.

Os sistemas dinâmicos devem envolver elementos quememorizem os valores de excitação para t ≥ t Uma vezmemorizem os valores de excitação para t ≥ t1. Uma vezque os integradores atuam nos sistemas de controlecontínuos no tempo como dispositivos de memória, asvariáveis de saída dos integradores servem como variáveisde estado. 48


� Modelagem no espaço de estados.� Equações de estado� As equações de estado de um sistema são um conjunto de n� As equações de estado de um sistema são um conjunto de n

equações diferenciais de primeira ordem, onde n é o númerode variáveis de estado independentes .de variáveis de estado independentes .

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� Modelagem no espaço de estados.� Equações de estado� As equações de estado são expressas em notação matricial� As equações de estado são expressas em notação matricial

como

onde A é dita matriz de estado B a matriz de entrada C aonde A é dita matriz de estado, B a matriz de entrada, C amatriz de saída e D a matriz de transmissão direta.

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� Modelagem no espaço de estados.� Exercício 3� Obter as equações de estado� Obter as equações de estado

do circuito. Considerar comosaída a tensão no indutor.

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� Modelagem no espaço de estados.� Exercício 4� Obter as equações de� Obter as equações de

estado do circuito.Considerar como saída atensão no capacitor.

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� Modelagem no espaço de estados.� Exercício 5� Obter as equações de estado do circuito Considerar como� Obter as equações de estado do circuito. Considerar como

saída a corrente i2.

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� Funções de transferência de elementos em cascataModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Funções de transferência de elementos em cascata� Muitos sistemas com retroação possuem componentes que

carregam uns aos outroscarregam uns aos outros.� Para o circuito ei é o sinal de entrada, e eo o de saída. O

segundo estágio (R2C2) produz um efeito de carga sobre osegundo estágio (R2C2) produz um efeito de carga sobre oprimeiro estágio (R1C1).

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� Funções de transferência de elementos em cascata

Modelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado


� A função de transferência de um sistema composto de dois� Sistema sem carregamento� A função de transferência de um sistema composto de dois

elementos em cascata sem carregamento pode ser obtidaeliminando-se a entrada e a saída intermediárias.eliminando se a entrada e a saída intermediárias.

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� Se os dois circuitos são isolados por um amplificador os� Sistema sem carregamento� Se os dois circuitos são isolados por um amplificador, os

efeitos de carregamento são desprezíveis e a função detransferência do circuito global é igual ao produto das funções

fde transferências individuais.

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� Sistemas de nível de líquido


� Sistemas de nível de líquido� Na análise de sistemas envolvendo o fluxo de fluidos, verifica-

se a necessidade de distinguir os regimes de escoamento emg gfluxo laminar e fluxo turbulento, de acordo com o valor donúmero de Reynolds. Se o número de Reynolds for maior doque aproximadamente 3 000 4 000 então o fluxo é turbulentoque aproximadamente 3.000-4.000, então o fluxo é turbulento.O fluxo é laminar se o número de Reynolds for menor do queaproximadamente 2.000.

� No caso laminar, o fluxo se dá segundo linhas de escoamento,sem turbulência Sistemas envolvendo escoamento turbulentosem turbulência. Sistemas envolvendo escoamento turbulento,na maioria das vezes, têm de ser representados por equaçõesdiferenciais não-lineares, enquanto sistemas envolvendoqescoamento laminar podem ser representados por equaçõesdiferenciais lineares.

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C id fl t é d t b l ã� Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido� . Considere-se o fluxo através de uma pequena tubulação

interligando dois reservatórios. A resistência R ao fluxo delíquido nesta restrição é definida como a variação na diferençalíquido nesta restrição é definida como a variação na diferençade nível necessária para causar uma variação unitária navazão, isto é,

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S t t é d t i ã f l i l ã� Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido� Se o escoamento através da restrição for laminar, a relação

entre o valor de regime permanente da vazão e o valor deregime permanente da altura de líquido no reservatório emregime permanente da altura de líquido no reservatório, emrelação à restrição, é dada por,

ondeondeQ = valor de regimepermanente da vazão depermanente da vazão delíquido, m3/sK = coeficiente, m2/sK coeficiente, m /sH = valor de regimepermanente do nível deplíquido, m

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P t l i i tê i R btid ti d� Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido� Para escoamento laminar, a resistência Rl obtida a partir de

� A resistência no escoamento laminar é constante e é análoga à� A resistência no escoamento laminar é constante e é análoga àresistência elétrica.

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S t t é d t i ã f t b l t l� Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido� Se o escoamento através da restrição for turbulento, o valor em

estado estacionário da vazão é dado por

ondeondeQ = valor de regimepermanente da vazão depermanente da vazão delíquido, m3/sK = coeficiente, m2,5/sK coeficiente, m /sH = valor de regimepermanente do nível deplíquido, m

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A i tê i R t t b l t é btid ti d� Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido� A resistência RI para escoamento turbulento é obtida a partir de

� O valor da resistência RIem regime turbulentoem regime turbulentodepende da vazão e daaltura do nível dealtura do nível delíquido. O valor de RI, noentanto, pode serconsiderado constantese as variações na alturado nível e na vazãodo nível e na vazãoforem pequenas.

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E it áti l d fi i t K� Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido� Em muitos casos práticos, o valor do coeficiente K, que

depende tanto do coeficiente de escoamento como da área darestrição não é conhecidorestrição, não é conhecido.

� A resistência pode ser entãodeterminada construindo-se odeterminada construindo se ográfico da curva de altura decoluna versus vazão, com base emdados experimentais, e calculando-se posteriormente a inclinação da

di ã d ãcurva na condição de operação.

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A itâ i C d tó i é d fi id d� Resistência e capacitância de sistemas de nível de líquido� A capacitância C de um reservatório é definida como sendo a

variação na quantidade de líquido armazenado necessáriapara causar uma variação unitária no potencial (altura do nívelpara causar uma variação unitária no potencial (altura do nívelde líquido). (O potencial é a grandeza que indica o nível deenergia do sistema.)g )

D t id d ( 3) itâ i ( 2) ã� Deve-se notar que a capacidade (m3) e a capacitância (m2) sãograndezas diferentes. A capacitância do reservatório é igual àárea de sua seção reta Se esta for constante a capacitância éárea de sua seção reta. Se esta for constante, a capacitância éconstante para qualquer altura do nível de líquido.

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� Sistemas de nível de líquido� Baseado na hipótese de que o sistema seja linear ou

linearizado pode-se obter a equação diferencial do sistemalinearizado, pode se obter a equação diferencial do sistema.

� A vazão de entrada menos a vazão de saída, durante umpequeno intervalo de tempo dt é igual à quantidade adicionalpequeno intervalo de tempo dt, é igual à quantidade adicionalarmazenada no reservatório.

� A relação entre qo e h éç qodada por

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� Sistemas de nível de líquido� A equação diferencial para o sistema para um valor constante

de R éde R é

� Admitindo-se qi como grandeza de entrada e h como grandezade saída, a função de transferência do sistema é

� Se a vazão qo é agrandeza de saída, afunção de transferênciaé

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� Sistemas de nível de líquido com interação


� Sistemas de nível de líquido com interação� Neste sistema, os dois reservatórios interagem. Assim, a

função de transferência do sistema não é o produto das duasfunção de transferência do sistema não é o produto das duasfunções de transferência.

� C id õ l d� Consideram-se apenas pequenas excursões nos valores dasvariáveis, em torno dos respectivos valores de regimeestacionário.

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� Sistemas térmicos


� Sistemas térmicos� Sistemas térmicos são aqueles que envolvem transferência de

calor de uma substância para outracalor de uma substância para outra.� Os sistemas térmicos podem ser analisados em termos de

resistência e de capacitância, embora a capacitância térmica ep , pa resistência térmica não possam ser representadasprecisamente como parâmetros concentrados.

� Admite-se, como hipótese simplificadora, que as substânciasque são caracterizadas pela resistência ao fluxo de calor têmcapacitância térmica desprezível, e que aquelas que sãocaracterizadas pela capacitância térmica têm resistênciad í l fl d ldesprezível ao fluxo de calor.

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� Sistemas térmicos� Há três diferentes maneiras pelas quais o calor pode fluir de

uma substância para outra: condução convecção e radiaçãouma substância para outra: condução, convecção e radiação.Consideram-se aqui somente os processos de condução econvecção.

� A maioria dos fenômenos térmicos presentes nos sistemas decontrole de processos não envolve transmissão de calor porradiação.

� Para transferência de calor por condução ou convecção

ondeq = taxa de fluxo de calor kcal/sq = taxa de fluxo de calor, kcal/sΔθ = diferença de temperatura, °CK = coeficiente kcal/s °CK = coeficiente, kcal/s °C

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� Sistemas térmicos� O coeficiente K é dado por

ondek = condutividade térmica, kcal/m s °CA = área normal ao fluxo de calor, m2

ΔX = espessura do condutor, mH = coeficiente de convecção, kcal/m2 s °Cç

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� A resistência térmica R para transferência de calor entre duas� Resistência térmica e capacitância térmica� A resistência térmica R para transferência de calor entre duas

substâncias pode ser definida como

� A resistência térmica para transferência de calor por condução� A resistência térmica para transferência de calor por conduçãoou por convecção é dada por

� Uma vez que os coeficientes de condutividade e de convecçãotérmica são aproximadamente constantes, a resistênciatérmica tanto para condução quanto para convecção étérmica tanto para condução quanto para convecção éconstante.

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� A capacitância térmica C é definida por� Resistência térmica e capacitância térmica� A capacitância térmica C é definida por

ou

ondem = massa da substância considerada, kgc = calor específico da substância, kcal/kg °Cc calor específico da substância, kcal/kg C

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� Sistemas térmicos� Definindo-se:

= temperatura de regime do líquido de entrada C= temperatura de regime do líquido de entrada, C= temperatura de regime do líquido de saída, ºC

G = vazão mássica de regime permanente, kg/sG vazão mássica de regime permanente, kg/sM = massa do líquido no reservatório, kgc = calor específico do líquido, kcal/kg ºCp q , gR = resistência térmica,°C s/kcalC = capacitância térmica,kcal/ºC

= valor estacionário da taxade fluxo de calor de entrada,k l/kcal/s

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� Sistemas térmicos� Suponha-se que a temperatura do líquido entrante seja

mantida constante e que a taxa de entrada de calor sejamantida constante e que a taxa de entrada de calor sejasubitamente de +hi, onde hi, representa uma pequena variaçãona taxa de entrada de calor. A temperatura do líquido que saip q qtambém irá variar para um valor até +θ. Para este caso, ho, C eR são obtidos, respectivamente, por

74



� Sistemas térmicos� A equação diferencial para este sistema é

que pode ser reescrita como

� A função de transferência relacionando θ e hi é dada por

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� Sistemas térmicos� Na prática, a temperatura do líquido que entra pode flutuar e

atuar como um distúrbio de carga. Se a temperatura do líquidog p qque flui na entrada for subitamente variada de +θi, enquanto ataxa de entrada de calor H e a taxa de fluxo de líquido G sãomantidas constantes então a taxa de fluxo de saída de calormantidas constantes, então a taxa de fluxo de saída de calorvariará de +ho e a temperatura do líquido que flui na saída irávariar de +θ. A equação diferencial para este caso é

que pode ser reescrita como

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� Sistemas térmicos� A função de transferência relacionando θ

e θi é dada pori p

� Se o sistema térmico apresentado for sujeito tanto a variaçõesna temperatura do líquido que flui na entrada como na taxa dena temperatura do líquido que flui na entrada como na taxa deentrada de calor, enquanto a taxa do fluxo de líquido é mantidaconstante, a variação θ na temperatura do líquido que flui naconstante, a variação θ na temperatura do líquido que flui nasaída pode ser dada pela seguinte equação:

Di d bl� Diagrama de blocoscorrespondente. Note-seque o sistema envolveque o sistema envolveduas entradas.

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� Circuito mecânico


� Circuito mecânico� O circuito mecânico é obtido conectando-se os terminais de

cada elemento que possuem o mesmo deslocamentocada elemento que possuem o mesmo deslocamento.� Uma vez que a soma das forças em cada nó deve ser igual a

zero, as equações do sistema são escritas segundo as regrasdas equações de nós.

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� Circuito mecânico� Para o sistema mecânico

dado, as extremidades das,molas possuem posiçõesditas de referencia emrelação as quais definemrelação as quais definem-se, respectivamente,quaisquer deslocamentosxa e xb.

� Uma força f(t) é aplicada à massa M1. O atrito deç ( ) p 1escorregamento entre cada uma das massas M1 e M2 e asuperfície é indicado pelos coeficientes de atrito viscoso B1 eB2 respectivamente. As equações do sistema podem serescritas em função dos dois deslocamentos xa e xb.

79





80

� Sistemas análogos


� Sistemas análogos� Sistemas para os quais as equações diferenciais tem a mesma

formaforma.� As variáveis e os parâmetros correspondentes nos dois

sistemas representados por equações de mesma forma são

� Pode se desenhar um circuito elétrico semelhante a um circuito

sistemas representados por equações de mesma forma sãochamados de análogos.

� Pode-se desenhar um circuito elétrico semelhante a um circuitomecânico com equações de nós formalmente iguais às dosistema mecânico.sistema mecânico.

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� Sistemas análogos� Analogia força-corrente

Elemento mecânico de Elemento elétricoElemento mecânico de translação

Elemento elétrico

Símbolo Grandeza Símbolo GrandezaSímbolo Grandeza Símbolo Grandeza

f Força i Corrente

v =dx/dt Velocidade e ou v Tensão

M Massa C Capacitância

K Coeficiente de rigidez

1/L Recíproco deindutância

C f G / CB Coeficiente de amortecimento

G = 1/R Condutância82



� Sistemas análogos� Analogia força-tensão

Elemento mecânico de Elemento elétricoElemento mecânico de translação

Elemento elétrico

Símbolo Grandeza Símbolo GrandezaSímbolo Grandeza Símbolo Grandeza

f Força e ou v Tensão

v =dx/dt Velocidade i Corrente

M Massa L Indutância

K Coeficiente de rigidez

1/C Recíproco dacapacitância

C fB Coeficiente de amortecimento

R Resistência83



� Sistemas análogos� Circuito

mecânicomecânico

� Análogo elétrico

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� Sistema mecânico com rotação


� Sistema mecânico com rotação� O conjugado aplicado a um corpo com momento de inércia J

produz uma aceleração angular O conjugado de reação Tj seproduz uma aceleração angular. O conjugado de reação Tj seopõe ao conjugado aplicado e pode ser expresso como,

sendo α a aceleração angular, ω a velocidade angular e θ odeslocamento angular.

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� Sistema mecânico com rotação� Quando se aplica um conjugado a uma mola, esta é torcida de

um ângulo θ O conjugado aplicado se transmite através daum ângulo θ. O conjugado aplicado se transmite através damola e aparece na outra extremidade. O torque de reação damola TK é dado por,K p

sendo θc e θd as posições angulares das extremidades damola, referidas à posição de equilíbrio.

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� Sistema mecânico com rotação� O efeito de amortecimento ocorre sempre que um corpo se

move através de um fluido A fim de se produzir o movimentomove através de um fluido. A fim de se produzir o movimentodo corpo, deve-se aplicar um conjugado que supere oamortecimento. O conjugado de amortecimento TB é dado por,j g B p

sendo (ω ω ) a velocidade angular relativa entre as duassendo (ωc - ωd) a velocidade angular relativa entre as duasextremidades do amortecedor.

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� Sistema mecânico com rotação� O sistema mostrado é constituído pela

massa de momento de inércia J,,imersa num fluido. Um conjugado T éaplicado à massa. O fio produz umconjugado de reação proporcional àconjugado de reação proporcional àrigidez K e ao ângulo de torção. Oamortecimento B requer umconjugado proporcional à velocidadedo movimento.


88



� Sistema mecânico com rotação� O sistema mostrado é constituído por dois discos apresentando

um amortecimento entre ambos e entre cada um deles e oum amortecimento entre ambos, e entre cada um deles e osuporte.


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� Sistema mecânico com rotação� Equações do sistema

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� Sistema mecânico com rotação� Momento de inércia e amortecimento refletidos por um trem de

engrenagens.� Quando a carga é acoplada ao motor através de um trem de

engrenagens, torna-se importante refletir o momento de inérciat i t d t te o amortecimento desta ao motor.

� Uma representação simplificada de um trem de engrenagens émostrada na figura sendo os comprimentos dos eixosmostrada na figura, sendo os comprimentos dos eixosdesprezados, ondeN = número de dentes de cada engrenagem.g gω = velocidade angular de cada engrenagemn = relação de engrenagensna relação de engrenagens.θ = posição angular.

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� Sistema mecânico com rotação� Momento de inércia e amortecimento refletidos por um trem de

engrenagens.� Circuito mecânico

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� Motor de corrente contínua


� Motor de corrente contínua� O motor CC converte energia elétrica de corrente contínua

(CC) em energia mecânica rotativa(CC) em energia mecânica rotativa.� Devido a recursos tais como torque elevado, possibilidade de

controle de velocidade sobre uma ampla faixa de valorescontrole de velocidade sobre uma ampla faixa de valores,portabilidade, característica velocidade-torque bem comportadae adaptabilidade a vários tipos de métodos de controle, osmotores CC ainda são usados largamente em numerosasaplicações de controle, incluindo manipuladores robóticos,

i d t t d fit i d d dimecanismos de transporte de fitas, acionadores de disco,máquinas-ferramentas e atuadores de servoválvulas.

A f ã d t f ê i d t CC á d d id i� A função de transferência do motor CC será deduzida por meiode uma aproximação linear do motor real, e os efeitos desegunda ordem como histerese e queda de tensão nassegunda ordem, como histerese e queda de tensão nasescovas, serão desprezados.

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� Motor de corrente contínua� A tensão de entrada pode ser

aplicada aos terminais de campoaplicada aos terminais de campoou de armadura.

� O fluxo no entreferro do motor é� O fluxo no entreferro do motor éproporcional à corrente decampo, desde que o campo nãoesteja saturado, ou seja

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� Motor de corrente contínua� O torque desenvolvido pelo

motor é admitido como sendomotor é admitido como sendorelacionado linearmente a Φ e àcorrente de armadura, como

� Para ter um elemento linear, umadas correntes deve ser mantidadas correntes deve ser mantidaconstante enquanto a outra setorna a corrente de entrada.

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� Motor de corrente contínua controlado pelo campo


� Motor de corrente contínua controlado pelo campo� Usando-se a notação de

transformada de Laplace tem-setransformada de Laplace tem se

onde Ia é uma corrente de armadura constante e Km é definidacomo a constante do motor.

� A corrente de campo se relaciona com a tensão de campop patravés de

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� Motor de corrente contínua controlado pelo campo� O torque motor Tm(s) é igual ao

torque entregue à cargatorque entregue à carga.

onde TL(s) é o torque na carga e Td(s) é o torque perturbador,quase sempre desprezível. O torque de carga é escrito como

� Diagrama de blocos

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� A função de transferência com Td(s) = 0, é

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� Motor de corrente contínua controlado pela armadura



� Com uma corrente de campoconstante o torque motor éconstante o torque motor é

� A corrente de armadura se relaciona com a tensão aplicada à� A corrente de armadura se relaciona com a tensão aplicada àarmadura através da expressão

onde Vb(s) é a tensão devida à força contra-eletromotriz( ) çproporcional à velocidade do motor,

99



� Motor de corrente contínua controlado pela armadura� A corrente de armadura é,

� O torque de carga é,

� Diagrama de blocosg

100



� Motor de corrente contínua controlado pela armadura� A função de transferência com Td(s) = 0 é,

101

� Aproximações lineares de sistemas físicos


� Aproximações lineares de sistemas físicos� Uma grande maioria de sistemas físicos são lineares dentro de

uma certa gama de valores das variáveis Contudo todos osuma certa gama de valores das variáveis. Contudo, todos ossistemas se tornam em última análise não-lineares à medidaque os valores das variáveis crescem sem limites.q

� Pode-se admitir a linearidade de muitos elementos mecânicose elétricos sobre um domínio razoavelmente amplo de valorespdas variáveis. Este não é usualmente o caso de elementostérmicos e fluidos que são mais freqüentemente não-linearesem sua essênciaem sua essência.

� Contudo, os elementos não-lineares são freqüentementelinearizados admitindo-se condições de pequeno sinal.

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� Aproximações lineares de sistemas físicos� Considere-se um elemento genérico com uma variável de

excitação x(t) e a variável de resposta y(t)excitação x(t) e a variável de resposta y(t).

� A relação entre as duas variáveis pode ser escrita como

onde g(x(t)) indica que y(t) é uma função de x(t).

� O ponto de operação normal é designado por x0.

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� Aproximações lineares de sistemas físicos� Se a curva (função) é contínua sobre a faixa de interesse,

pode-se utilizar uma expansão em série de Taylor em torno dopode se utilizar uma expansão em série de Taylor em torno doponto de operação. Tem-se, então

� A inclinação da curva no ponto de operação,

é uma boa aproximação da curva sobre uma pequena faixa devalores de (x - x ) o desvio em torno do ponto de operaçãovalores de (x xo),o desvio em torno do ponto de operação.

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� Aproximações lineares de sistemas físicos� Assim, como uma aproximação razoável,tem-se

onde m é a inclinação da curva no ponto de operação.

� Finalmente pode-se escrever

ouou

105



� Aproximações lineares de sistemas físicos� Exercício 6� Obter o modelo linear para o sistema massa mola onde a mola� Obter o modelo linear para o sistema massa mola, onde a mola

tem uma característica não-linear.

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Modelagem de Sistemas Físicos

� Exercício 7


� Exercício 7� Obter a função de transferência VR3/E para o circuito.

107

Modelagem de Sistemas Físicos� Exercício 8


� Exercício 8

� Um sistema com retroação unitária possui uma função não-linear y = f(e) = e2 Para uma entrada r na faixa de 0 a 4linear y = f(e) = e . Para uma entrada r na faixa de 0 a 4,calcular e traçar a curva da saída versus entrada com osistema a malha aberta e com o sistema a malha fechada.Mostrar que a retroação produz uma relação mais linear.

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� Exercício 9

� Uma impressora utiliza um feixe de laser para imprimirrapidamente cópias para um computador O laser érapidamente cópias para um computador. O laser éposicionado por um sinal de controle de entrada, r(t), tal que

A entrada r(t) representa a posição desejada do feixe de laser.(a) Determinar a saída y(t) quando a entrada r(t) for um degrauunitário.(b) Qual o valor final de y(t)?

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� Exercício 10

� Um termistor apresenta uma resposta à temperaturarepresentada porrepresentada por

onde R0 = 10k, R = resistência e T = temperatura em grausCelcius. Obter um modelo linear para o termistor operando emT = 20ºC e para uma pequena faixa de variação detemperatura.

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� Exercício 11

� Um dispositivo não linear é representado pela função

onde o ponto de operação para a entrada x0 = 1/4 é y0 = 1/2.Determinar a aproximação linear nesse ponto de operação.p ç p p ç

111



� Exercício 12

� A função de transferência de um sistema é

Determinar y(t) quando r(t) for um degrau unitário.

112



� Exercício 13

� O sistema de posicionamento de alta precisão de uma peçadeslizante está mostrado na figura Determinar a função dedeslizante está mostrado na figura. Determinar a função detransferência XP(s)/Xin(s) quando o coeficiente de atrito viscosoda haste acionadora é bd = 1, a constante de mola da hastedacionadora é kd = 3. mc = 2/3 e o atrito de deslizamento é bs =1.

113



� Exercício 14

� Um O diagrama de blocos de um sistema está mostrado nafigura Determinar a função de transferência T(s) = Y(s)/R(s)figura. Determinar a função de transferência T(s) = Y(s)/R(s).

114



� Exercício 15� Um sistema é mostrado na figura a.

(a) Determinar G(s) e H(s) do diagrama de blocos mostrado na(a) Determinar G(s) e H(s) do diagrama de blocos mostrado nafigura b que são equivalentes aos do diagrama de blocos dafigura a. Qual a função de transferência do sistema

115



� Exercício 16

� Obter um conjunto de equações íntegro-diferenciaissimultâneas que representem a rede do circuito dadosimultâneas que representem a rede do circuito dado.

116



� Exercício 17

� Usando a transformação de Laplace, obter a corrente I2(s) doexercício 16 Admitir que todas as correntes iniciais são iguaisexercício 16. Admitir que todas as correntes iniciais são iguaisa zero, que a tensão inicial nos terminais do capacitor C1 ézero, v(t) é zero e a tensão inicial nos terminais do capacitor C2( ) p 2é 10 volts.

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� Exercício 18� Um amortecedor de vibrações mecânicas esta mostrado na

figura. Este sistema é representativo de muitas situaçõesg p çenvolvendo a vibração de maquinas contendo componentesdesbalanceados. Os parâmetros M2 e k12 podem serescolhidos de tal modo que a massa principal M não vibreescolhidos de tal modo que a massa principal M1 não vibrequando F(t) = a sem(w0t).(a) Obter as equações diferenciais que descrevem o sistema.( ) q ç q(b) Esboçar o circuito elétrico análogo baseado na analogiaforça-corrente.

118



� Exercício 19

� O escoamento de um fluido através de um orifício pode serrepresentado pela equação não-linearrepresentado pela equação não linear

onde as variáveis são mostradas na figura abaixo e K é umaconstante.(a) Determinar uma aproximação linear para a equação deescoamento do fluido.(b) O que acontece com a aproximação obtida na parte (a) se oponto de operação for P1 – P2 = 0?

119



� Exercício 20� Uma carga rotativa é conectada, através de um sistema de

engrenagens, a um motor DC controlado pelo campo. Supõe-g g , p p pse que o motor seja linear. Ao se fazer um teste aplicando umatensão constante de 80 V nos terminais de alimentação domotor constata se que a carga alcança uma velocidade de 1motor, constata-se que a carga alcança uma velocidade de 1rad/s em 0,5 s. A velocidade de saída em estado estacionário éde 2,4 rad/s. Determinar a função de transferência do motor,w(s)/Vf(s) em (rad/s)/V. A indutância do campo pode serdesprezada. Observar, também, que a aplicação de 80 V aosterminais de alimentação do motor corresponde a um degrauterminais de alimentação do motor corresponde a um degraude entrada com 80 V de amplitude.

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� Exercício 21

� Para o circuito abaixo, determinar a transformada de Laplaceda tensão de saída V (s) Admitir que o circuito está em estadoda tensão de saída Vo(s). Admitir que o circuito está em estadoestacionário para t < 0. Admitir que a chave se moveinstantaneamente do contacto 1 para o contacto 2, em t = 0.p

121



� Exercício 22

� O nível de água, h(t), é controlado por um sistema a malhaaberta como mostrado na figura Um motor CC controlado pelaaberta, como mostrado na figura. Um motor CC controlado pelacorrente de amadura ia gira um eixo, que abre uma válvula. Aindutância do motor CC é desprezível, isto é, La = 0.p aIgualmente, o atrito de rotação do eixo do motor e a válvula édesprezível, isto é, b = 0. A altura da água no reservatório é

� A constante do motor é Km = 10 e a inércia da árvore do motore da válvula é J = 6 x 10-3 kg m2 Determinar (a) a equaçãoe da válvula é J = 6 x 10-3 kg-m2. Determinar (a) a equaçãodiferencial para h(t) e v(t) e (b) a função de transferênciaH(s)/V(s).H(s)/V(s).

122



� Exercício 22

123



� Exercício 23

� Um motor CC controlado pela armadura está acionando umacarga A tensão de entrada é 5 V A velocidade no instante t = 2carga. A tensão de entrada é 5 V. A velocidade no instante t = 2s é de 30 rad/s e a velocidade em regime estacionário é de 70rad/s quando t →∞. Determinar a função de transferênciaqw(s)/V(s).

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� Exercício 24� Um sistema de entrada única e saída única apresenta as

equações matriciaisq ç

Determinar a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s)Determinar a função de transferência G(s)=Y(s)/U(s).

125



� Exercício 25

� Um circuito RLC é mostrado abaixo.(a ) Identificar um conjunto adequado de variáveis de estado(a ) Identificar um conjunto adequado de variáveis de estado.(b) Obter o conjunto de equações diferenciais de primeiraordem em termo de variáveis de estadoordem em termo de variáveis de estado.(c) Desenhar o diagrama de blocos em variáveis de estado.

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� Exercício 26

� Determinar a equação diferencial matricial em variáveis deestado para o circuito mostrado abaixo As variáveis de estadoestado para o circuito mostrado abaixo. As variáveis de estadosão x1 = i. x2 = v1 e x3 = v2. A variável de saída é vo.

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� ReferênciasModelagem de Sistemas FísicosProf. Raimundo Nonato M. Machado

� Referências

� Engenharia de Controle Moderno, Katsuhico Ogata, LCT, 2000.

� Sistema de Controle Moderno, Richard C. Dorf e Robert H.Bishop LCT 2001Bishop, LCT, 2001.

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Unidade+III+–+Modelagem+de+Sistemas+Físicos

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