Topografia 6

UNIDADE I - NOÇÕES FUNDAMENTAIS

I.1. Introdução

Para satisfação dos diversos desejos do homem, em sua vida profissional, tem ele, às vezes,

necessidades de um estudo pormenorizado e da representação gráfica de uma parte da superfície terrestre,

de modo a determinar as menores particularidades existentes, os limites das propriedades com suas

divisões internas, as edificações, as estradas, os cultivos de modo geral, as elevações e depressões, em

suma, todos os acidentes do terreno que podem interessar aos diversos trabalhos de planejamento. Para a

execução desse trabalho, tem-se de recorrer ao estudo da Topografia, a qual, como ciência, guarda íntima

relação com os demais ramos do saber humano e encontra suas principais aplicações na Engenharia, na

Navegação, na Arte Militar e na Agronomia.

Na elaboração das explorações agrícolas, recorre-se à Topografia para solucionar vários

problemas como planejamento de exploração agrícola, planejamentos de trabalhos de irrigação, drenagem

e saneamento, trabalhos de divisão judicial e amigável, ou simplesmente medir para avaliar áreas. Enfim,

nos afazeres agrícolas, pode-se dizer que quase quotidianamente emprega-se a prática da medição

topográfica.

Tem por fim a Topografia representar graficamente, em projeção horizontal, o contorno, as

dimensões e a posição relativa de uma parte da superfície terrestre, fornecendo a sua área e sua posição

altimétrica. É o seu objetivo final o fornecimento de um desenho em projeção horizontal de uma figura

que seja a reprodução fiel e expressiva da área do terreno estudada topograficamente. Para atingir esse

objetivo, faz-se o levantamento topográfico.

Levantamento é o conjunto de operações empregadas no campo e no escritório, usando-se

métodos e instrumentos adequados, para obtenção de todos os elementos necessários a representação

geométrica de certa extensão de terreno, denominada superfície topográfica. Todas as linhas e os

acidentes que devem figurar na planta são levantados por meio de pontos que possam representá-los

convenientemente, de modo a dar nítida e rigorosa idéia do seu relevo e da sua configuração. Nos

trabalhos de campo, procura-se obter, com toda a precisão, certo número de pontos do terreno, medindo-

se ângulos e alinhamentos tanto em posição horizontal quanto em altura, para constituir os elementos

básicos para a representação geométrica da área estudada.

Nos trabalhos de escritório, faz-se primeiramente o cálculo da caderneta de campo e, em seguida,

passa-se a execução do desenho. Esse trabalho é executado em uma superfície de papel: uma figura

semelhante à projeção horizontal do terreno, contendo todas as linhas que nele se encontrem com os

comprimentos reduzidos segundo a mesma relação constante chamada escala de desenho. De acordo com

a escala, o grau de precisão, o número de pormenores e a extensão da área levantada, este desenho será

denominado esboço, planta ou mapa topográfico, geodésico ou geográfico.

Topografia 7

O levantamento é Planimétrico quando a projeção do contorno e os pontos medidos são

representados sobre um plano básico horizontal de referência; os trabalhos realizados para obtenção da

planta têm o nome de placometria. É levantamento altimétrico, quando são medidas as alturas desses

pontos, com relação a um plano de referência de nível; os trabalhos necessários à obtenção dos dados para

a representação do relevo recebem o nome de hipsometria.

De acordo com as circunstâncias em que se opera no terreno e o fim a que se destina o

levantamento, poderá ele ser classificado como expedito, comum e de precisão, cada qual exigindo

métodos e instrumentos apropriados.

Nos levantamentos expeditos, usam-se instrumentos de pouca precisão, rudimentares e portáteis, e

acarretam muitas falhas e erros, que, sem inconvenientes perniciosos, podem ser desprezados diante da

facilidade e rapidez de sua execução. São muitos empregados em trabalhos de reconhecimento de

determinadas zonas e, também, nos levantamentos para fins de estudos conservacionistas.

Nos levantamentos de maior precisão são empregados instrumentos e métodos mais aperfeiçoados

nas medições das distâncias e dos ângulos, elementos básicos para a determinação, em planta, dos pontos

topográficos.

Diante do exposto, conclui-se que a finalidade da Topografia consiste, fundamentalmente, no

conhecimento dos instrumentos e dos métodos que se destinam a efetuar a representação do terreno sobre

uma superfície plana, sujeita a algumas hipóteses fundamentais.

I.2. Conceitos Básicos

Duas são as ciências que têm por objetivo a determinação e a fixação da posição relativa de pontos

da superfície terrestre: a Geodésia e a Topografia.

Geodésia

É a ciência que tem por objetivo a determinação da posição relativa de pontos da superfície

terrestre, o estudo dos processos de medida e especificação para o levantamento e representação

cartográfica de uma área relativamente extensa da superfície terrestre (levantamento de um Estado ou

País), projetada sobre uma superfície de referência geométrica e analiticamente definida por parâmetros

variáveis em número, de acordo com a consideração da forma da Terra.

Portanto, a Geodésia, ocupando-se do estudo de áreas relativamente extensas, leva em conta em

seus estudos e representações a curvatura da Terra.

Topografia

É a ciência que tem por objetivo determinar o contorno, as dimensões e posição relativa de uma

porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da esfericidade terrestre.

Topografia 8

Cuidando do estudo de porções limitadas da superfície terrestre, a Topografia pode figurar a

imagem da região estudada em um plano, que se supõe horizontal, fazendo figurar neste plano não só o

contorno delimitante da área como todas as particularidades notáveis (casas, rios, estradas, etc.) naturais

ou artificiais.

A representação da área objeto do estudo é obtida por projeção ortogonal cotada de todos os

detalhes da configuração do solo, mesmo que se trate de detalhes artificiais, como canais, estradas,

pontes, construções, etc.

Esta projeção se faz sobre uma superfície de nível, isto é, sobre uma superfície definida pela

propriedade de ser em cada ponto normal a direção da gravidade. As projetantes dos diversos pontos a

representar são, pois, as verticais desses pontos. A figura 1 mostra uma porção do terreno natural e sua

projeção sobre o plano horizontal.

A Topografia é uma ciência aplicada, baseada na Geometria e na Trigonometria, de âmbito

restrito; é um capítulo da Geodésia, cuidando do estudo de porções limitadas da superfície terrestre.

Podemos resumir que as distinções básicas entre Geodésia e Topografia são:

Geodésia

a) Cuida do estudo e representação de áreas relativamente extensas;

b) Leva em conta nas suas representações a curvatura resultante da esfericidade da Terra.

Topografia

a) Cuida do estudo e representação de porções limitadas da superfície terrestre;

b) Não leva em conta, nos seus estudos, a curvatura decorrente da esfericidade da Terra. Representa a

área estudada por projeções ortogonais dos pontos sobre um plano horizontal.

I.3. Sumário Histórico

Etmologicamente a palavra Topografia significa descrição do lugar. Estuda os instrumentos,

métodos de operação no terreno, cálculos e desenhos necessários ao levantamento e representação gráfica

mais ou menos detalhada de uma parte da superfície terrestre.

Como ciência empírica, a Topografia existe desde os tempos remotos. Egípcios, gregos, árabes e

romanos nos legaram instrumentos e processos que, embora primitivos, serviram para descrever, delimitar

e avaliar propriedades rurais com finalidades cadastrais.

Mas, somente nos últimos séculos a Topografia deixou o empirismo para assumir as bases de uma

autêntica ciência, graças ao desenvolvimento notável que tiveram especialmente a Matemática e a Física.

Topografia 9

Resumidamente:

Definição: a palavra "Topografia" deriva das palavras gregas "topos" (lugar) e "graphen"

(descrever), o que significa a descrição exata e minuciosa de um lugar. (DOMINGUES, 1979).

Finalidade: determinar o contorno, dimensão e posição relativa de uma porção limitada da

superfície terrestre, do fundo dos mares ou do interior de minas, desconsiderando a curvatura resultante

da esfericidade da Terra. Compete ainda à Topografia, a locação, no terreno, de projetos elaborados de

Engenharia. (DOMINGUES, 1979).

Importância: é a base de qualquer projeto e de qualquer obra realizada por engenheiros ou

arquitetos. Por exemplo, os trabalhos de obras viárias, núcleos habitacionais, edifícios, aeroportos,

hidrografia, usinas hidrelétricas, telecomunicações, sistemas de água e esgoto, planejamento, urbanismo,

paisagismo, irrigação, drenagem, cultura, reflorestamento etc., se desenvolvem em função do terreno

sobre o qual se assentam. (DOMINGUES, 1979).

Portanto, é fundamental o conhecimento pormenorizado deste terreno, tanto na etapa do projeto,

quanto da sua construção ou execução; e, a Topografia, fornece os métodos e os instrumentos que

permitem este conhecimento do terreno e asseguram uma correta implantação da obra ou serviço.

Diferença entre Geodésia e Topografia: a Topografia é muitas vezes confundida com a Geodésia,

pois se utilizam os mesmos equipamentos e praticamente dos mesmos métodos para o mapeamento da

superfície terrestre. Porém, enquanto a Topografia tem por finalidade mapear uma pequena porção

daquela superfície (área de raio até 30 km), a Geodésia, tem por finalidade, mapear grandes porções desta

mesma superfície, levando em consideração as deformações devido à sua esfericidade. Portanto, pode-se

afirmar que a Topografia, menos complexa e restrita, é apenas um capítulo da Geodésia, ciência muito

mais abrangente.

SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA - PLANTA TOPOGRÁFICA

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I.4. Noções sobre a forma da Terra: Geóide e Superfície Geodésica

Suponhamos as águas dos mares em equilíbrio e sob a ação exclusiva da gravidade. Supondo-se a

superfície destas águas prolongadas por sob as montanhas, surgiria uma forma fechada, que se admite

fosse a forma da Terra. A esta superfície fechada assim conceituada denomina-se Geóide.

Tal como foi conceituado, o Geóide não possui definição geométrica. Porém, pouco se afasta da

forma real da Terra, visto que as variações do relevo natural do nosso planeta são desprezíveis, em

relação às dimensões do globo terrestre. De fato, a maior elevação do globo, localizada em Glaisker,

sobre o Everest, com aproximadamente 8.838 metros acima do nível do mar, é pouco maior que o

milésimo do raio terrestre (aproximadamente 6.376.200 metros). A profundidade máxima do oceano é de

9.425 metros.

Não sendo o Geóide uma superfície geometricamente definida e sendo de difícil determinação

teórica, torna-se difícil sua utilização como superfície para projeção dos pontos estudados. Faz-se, então,

necessário substituí-lo por outra superfície geometricamente definida e que dele se afaste o menos

possível. A superfície destinada a substituir o Geóide, e qualquer que seja ela, é denominada Superfície

Geodésica ou simplesmente Geodésica.

Determinações feitas em diferentes pontos do globo mostram que a superfície geodésica que mais

se aproxima do Geóide é a superfície de um elipsóide de revolução, cujo eixo menor - que é o de

revolução - coincide com o eixo de rotação da Terra.

Este elipsóide de revolução na realidade pouco se afasta de uma superfície esférica.

Assim, conforme o rigor com que devam ser tratados os problemas topográficos, e conforme a

natureza destes adotar-se-á, como superfície geodésica, a superfície do elipsóide de revolução, ou a

superfície de uma esfera ou simplesmente a de um plano horizontal tangente a esfera no ponto

considerado.

Na solução dos problemas topográficos, normalmente é suficiente o emprego da Geodésia Plana.

Assim, podemos dizer que a superfície geodésica empregada na solução dos problemas topográficos é um

plano horizontal tangente à esfera no ponto considerado. A geodésia elipsoidal é reservada a Geodésia

que, por estudar áreas relativamente extensas, deve levar em conta a curvatura decorrente da esfericidade

da Terra.

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A figura a seguir mostra a relação existente entre a superfície topográfica ou real, o elipsóide

e o geóide para uma mesma porção da superfície terrestre.

I.5. Nível médio do mar. Superfície de nível médio dos mares

O nível do mar, em qualquer ponto, varia durante um dia, em relação a um ponto fixo, passando

por valores máximos e mínimos. Os valores máximos são denominados preamares e os mínimos, baixa

mares. Em regra, em um ponto considerado, ocorrem duas preamares e duas baixa mares, no período de

24 horas. Porém, tanto as preamares quanto as baixa mares não atingem os mesmos valores em dias

consecutivos.

Chama-se de nível médio dos mares, em um ponto qualquer, a média entre os valores máximos

(preamares) e mínimos (baixa mares), observados num período de tempo suficientemente longo.

O lugar geométrico dos níveis médios para os diferentes pontos da superfície do mar é a superfície

de nível médio dos mares.

A superfície de nível médio dos mares não se confunde com o Geóide, e sua determinação é um

problema da Geodésia.

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I.6. Vertical de um ponto. Retas e Planos Horizontais e Verticais

Em cada ponto da superfície terrestre existe uma direção característica, fisicamente bem definida e

assinalada por qualquer instrumento simples: A Direção Vertical.

Se se prende um fio tendo num extremo um pequeno peso (fio de prumo), a direção dada pelo

mesmo é a direção da vertical do lugar.

Supondo que a Terra seja esférica, a vertical de um ponto qualquer será sempre o raio da Terra

cuja extremidade passa pelo ponto considerado.

Todo plano passando pela vertical de um ponto é um plano vertical, em relação ao ponto

considerado.

Um plano é horizontal, relativamente a um ponto, se é perpendicular a vertical do ponto.

Considerando que a Terra seja esférica, o plano horizontal que contém um ponto qualquer será

perpendicular ao raio da Terra que passa pelo ponto considerado, ou seja, será tangente a esfera terrestre

no ponto considerado.

Uma reta é horizontal em relação a um ponto se estiver situada em um plano horizontal em relação

ao mesmo ponto.

Grandezas Medidas num Levantamento Topográfico

Segundo GARCIA e PIEDADE (1984) as grandezas medidas em um levantamento topográfico

podem ser de dois tipos: angulares e lineares.

Grandezas Angulares

São elas:

� Ângulo Horizontal (Hz): é medido entre as projeções de dois alinhamentos do terreno, no plano

horizontal.

A figura a seguir exemplifica um ângulo horizontal medido entre as arestas (1 e 2) de duas paredes

de uma edificação. O ângulo horizontal é o mesmo para os três planos horizontais mostrados.

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� Ângulo Vertical (α): é medido entre um alinhamento do terreno e o plano do horizonte. Pode ser

ascendente (+) ou descendente (-), conforme se encontre acima (aclive) ou abaixo (declive) deste plano.

A figura a seguir exemplifica ângulos verticais medidos entre a aresta superior (Parede 1) e

inferior (Parede 2) das paredes de uma edificação e o plano do horizonte. Os ângulos medidos não são

iguais e dependem da posição (altura) do plano do horizonte em relação às arestas em questão.

Grandezas Lineares

São elas:

� Distância Horizontal (DH): é a distância medida entre dois pontos, no plano horizontal. Este plano

pode, conforme indicado na figura a seguir (GARCIA, 1984), passar tanto pelo ponto A, quanto pelo

ponto B em questão.

� Distância Vertical ou Diferença de Nível (DV ou DN): é a distância medida entre dois pontos, num

plano vertical que é perpendicular ao plano horizontal. Este plano vertical pode passar por qualquer um

dos pontos A/A’ ou B/B’ já mencionados.

� Distância Inclinada (DI): é a distância medida entre dois pontos, em planos que seguem a inclinação

da superfície do terreno.

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I.7. Coordenadas Geográficas de um ponto da Superfície Terrestre

Vimos que a forma da Terra pode ser considerada como sendo a de um elipsóide de revolução

cujo eixo menor coincide com o eixo de rotação da Terra.

Os planos contendo o eixo menor do elipsóide determinam sobre sua superfície seções elípticas,

denominadas Meridianos.

Os planos perpendiculares ao eixo determinam seções circulares, denominadas Paralelos, que

variam desde o máximo no equador a zero nos pólos (figura 2).

Fixado como Meridiano de Origem aquele que passa por determinado ponto (Observatório de

Greenwich, na Inglaterra, para medidas internacionais, e Observatório Nacional do Rio de Janeiro, para

determinações brasileiras) e supondo o círculo do Equador dividido em graus, ou qualquer dos Paralelos,

a partir do primeiro Meridiano, o ângulo diedro formado pelo plano do Meridiano da origem e o

Meridiano passando pelo ponto considerado constitui a longitude ( λ ) do ponto considerado.

A longitude varia de 0o a 180o positivos à direita e de 0o a 180o negativos à esquerda do Meridiano

de origem.

O ângulo que a vertical do ponto considerado forma com o plano do Equador é a latitude ( φ ) do

ponto. Varia de 0o a 90o positivos do Equador ao Pólo Norte e de 0o a 90o negativos do Equador ao Pólo

Sul.

A latitude e a longitude são Coordenadas Geográficas do ponto considerado.

Para Ouro Preto, temos:

λ = 43o 30’ W

φ = 20o 23’ S

λ → Longitude do Ponto A φ → Latitude do Ponto A λ e φ são as coordenadas geográfica do Ponto A

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Latitude (φφφφ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o paralelo deste ponto e o

plano do equador. Sua contagem é feita com origem no equador e varia de 0° a 90°, positivamente para o

norte (N) e negativamente para o sul (S).

Longitude (λλλλ): de um ponto da superfície terrestre é o ângulo formado entre o meridiano de origem,

conhecido por Meridiano de Greenwich (na Inglaterra), e o meridiano do lugar (aquele que passa pelo

ponto em questão). Sua contagem é feita de 0° a 180°, positivamente para oeste (W ou O) e

negativamente para leste (E ou L).

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I.8. Coordenadas Relativas de um ponto da Superfície Terrestre

Sejam A e B dois pontos da superfície terrestre e C, o centro da Terra. ABC é o plano vertical que

passa pelos pontos A e B. Este plano corta a superfície de nível do ponto A (que é uma esfera concêntrica

com a esfera terrestre) segundo a circunferência AM. Outro plano vertical qualquer, passando pelo ponto

A (ADC), cortará a superfície de nível do ponto A segundo a circunferência AN. A vertical do ponto B

fura a superfície de nível do ponto A em B'. O ângulo â é o ângulo plano do diedro formado pelos dois

planos verticais que passam pelo ponto A. Este ângulo é exatamente igual ao ângulo formado pelas

tangentes no ponto A as circunferências representadas pelos arcos AM e AN. É também exatamente igual

ao ângulo formado pelas interseções de um plano horizontal em relação ao ponto A com os dois planos

verticais considerados.

Adotando o plano DAC como referência, o ângulo â é denominado direção azimutal. O plano

DAC fixa a posição relativa do plano vertical ABC, desde que se convencione um modo de contá-lo.

O arco AB' é a distância horizontal entre os pontos A e B da superfície terrestre. A distância

vertical BB’, isto é, a distância do ponto B a superfície de nível do ponto A, é a altitude relativa do ponto

B.

A direção azimutal (ângulo â), a distância horizontal (arco AB') e a altitude relativa (distância

vertical BB') são as coordenadas relativas do ponto B (figura 3).

São ditas relativas porque, uma vez fixada a posição do ponto A e conhecidas as coordenadas, fica

fixada a posição do ponto B, em relação ao ponto A.

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I.9. Simplificação máxima do Problema Topográfico

No caso anteriormente considerado, (figura 3), a superfície geodésica é a superfície de nível do

ponto A. Na maior parte dos problemas topográficos os pontos a determinar são tão próximos ou

encontram-se situados em região tão restritas que, em geral, basta considerar a superfície de nível

passando pelo ponto central da área, coincidindo com o plano tangente a esfera no referido ponto. Em

outras palavras os diversos pontos serão projetados sobre o plano horizontal tangente a esfera no ponto A

e não sobre a esfera superfície de nível do mesmo ponto. No caso da Topografia a superfície geodésica

será, pois, um plano horizontal, tangente à superfície de nível que passa pelo ponto considerado.

Tratando-se de levantamento de áreas de terreno relativamente pequenas, não há necessidade de

levar em consideração a curvatura da terra. Pode-se considerá-la plana sem erros apreciáveis. Sendo uma

superfície não-desenvolvível, estabeleceu-se a hipótese do plano topográfico. Assim, foi escolhido um

plano horizontal tangente ao esferóide terrestre, num ponto situado dentro da área que seria levantada e no

qual se supunham projetados todos os acidentes a serem estudados.

Na hipótese do plano topográfico, as verticais verdadeiras dos pontos A, B e D são substituídas

pelas verticais V1, V2 e V3, que são perpendiculares ao plano que passa por HH1 e consideradas paralelas

entre si dentro da área, conforme mostra a figura 4. Esta convenção é empregada em todos os países. Para

representar uma extensão do terreno, seguem-se para todos os fins legais e administrativos, as projeções

horizontais das linhas que a encerram. A superfície em relevo, de um morro que tem um corte vertical

ABC, equivale à sua projeção horizontal sobre o plano que passa por AC (figura 5); logo duas extensões

superficiais, uma de terreno plano e outra de terreno inclinado, pode ter a mesma área legal, embora suas

áreas reais sejam distintas.

Figura 5 Figura 4

Topografia 19

Considerados outros pontos E, F, ..., N, teremos que E1, F1, ..., N serão as projeções ortogonais

dos primeiros sobre o plano P; e os pontos E', F', ..,N' serão os pés das respectivas normais sobre a

superfície de nível de A. Com a simplificação do problema topográfico haverá coincidência de E1 com E',

F com F’,.... N com N'.

As verticais de todos os pontos concorrem no centro da Terra.

Com a substituição da superfície de nível de A, pelo plano tangente a esfera no referido ponto,

teremos então:

a) As verticais dos diversos pontos serão paralelas entre si;

b) Os arcos AB', AN' coincidem, respectivamente, com os comprimentos retilíneos AB1, AN1.

I.10. Influência da simplificação sobre as Coordenadas Relativas

Com a simplificação do problema topográfico as diversas direções azimutais a1, a2, ..., an não

variam.

Quanto às distâncias horizontais, que eram medidas sobre a superfície de nível do ponto A, foram

modificadas. Assim, o arco AB' foi substituído pelo comprimento retilíneo AB1, que passa a ser a

distância horizontal entre os pontos A e B (figura 4).

Também a altitude relativa de cada ponto fica modificada. Para o ponto B a altitude relativa era

representada pelo segmento BB'. Com a simplificação passa a ser representada pelo segmento BB1

(figura 4).

Conclusão

A simplificação máxima do problema topográfico não altera as direções azimutais, porém

modifica as duas outras coordenadas em cada ponto considerado:

� a distância horizontal e

� a altitude relativa.

Como a Topografia trabalha com áreas de pequena extensão, as alterações decorrentes da

substituição da superfície esférica pelo plano tangente são insignificantes nos trabalhos normais de

levantamentos topográficos.

Topografia 20

I.11. Divisão da Topografia

A Topografia pode ser dividida nas seguintes partes:

I.11.1. Topometria

Cuida do estudo dos processos de medidas angulares e lineares. Baseia-se na Geometria Aplicada

e subdivide-se em:

a) Planimetria: Cuida da determinação das duas primeiras coordenadas relativas: Direção Azimutal

e Distância Horizontal;

b) Altimetria ou Hipsometria: Cuida da determinação da terceira coordenada relativa: Altitude

Relativa ou Diferença de Nível.

I.11.2. Topografia Expedita

Estuda os processos de levantamento de baixa precisão, aplicáveis quando se decide pelo

sacrifício da exatidão, tendo em vista a presteza e a economia.

Os métodos de levantamento expedito têm seu uso quase que restrito nos trabalhos de

reconhecimento.

I.11.3. Taqueometria

Cuida do estudo dos processos de medição indireta das distâncias horizontais e verticais.

I.11.4. Agrimensura

Cuida dos processos de demarcação, medição e divisão de terrenos.

A medida das superfícies agrárias foi a primeira tarefa de que se incumbiu a Topografia desde a

antigüidade - razão porque a mesma era chamada agrimensura.

I.11.5. Fotogrametria

É também chamada Aerofotogrametria.. Pode ser terrestre ou aérea. Antigamente relegada a um

plano secundário, e hoje classificada em primeiro plano, tornando-se o principal método para

determinação do relevo dos terrenos, normalmente de grandes áreas. Os instrumentos utilizados para o

levantamento são câmaras fotográficas.

I.11.6. Topografia Subterrânea

Cuida do levantamento e locação dos trabalhos subterrâneos (minas subterrâneas). Aplica métodos

e instrumentos especiais.

Topografia 21

I.12. Unidades de Medidas

A Topografia trabalha com unidades de medidas lineares, superficiais e angulares.

De acordo com a ABNT, na atual NBR13.133/94, a medida padrão para os Levantamentos

Topográficos é o metro (m), e para facilitar a sua leitura são utilizadas as suas divisões, o decímetro (dm),

o centímetro (cm), o milímetro (mm), o decâmetro (dam), o hectômetro (hm) e o quilômetro (km).

I.12.1.Unidades de Medidas Lineares e Superficiais

A unidade de medida linear padrão é o metro, definido como a décima milionésima parte do

quadrante do meridiano terrestre, segundo deliberação da "Assembleia Nacional da França", que adotou,

a partir de 26 de marco de 1791, este sistema estudado pela "Academia de Ciências de Paris”.

No Brasil, somente a partir de 19 de janeiro de 1874 por decreto, foi instituído o Sistema Métrico

Decimal de Medida, denominado Sistema Métrico Decimal Legal. Ainda hoje, porém, em muitos Estados

são usadas medidas do sistema antigo, principalmente na avaliação de superfícies.

Para as superfícies, a unidade de medida empregada é o metro quadrado ou centiare (0,001 do

Are) e o Are, que corresponde à superfície de um quadrado de 10 metros de lado, ou seja 10 m2.

Também é muito usado o múltiplo dessas unidades, denominado Hectare, que eqüivale a 10.000 m

e corresponde a superfície de um quadrado de l00m de lado. Na avaliação de grandes áreas ainda hoje é

comum o emprego da unidade do sistema antigo: o alqueire.

Dependendo do Estado, são adotados dois valores para o alqueire:

a) Alqueire Menor ou Alqueire Paulista: igual a 2,42 hectares.

b) Alqueire Geométrico: igual a 4,84 hectares.

A relação é feita através de regra de três simples (proporção), segundo a tabela abaixo:

km hm dam m dm cm mm 1 km 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 1 hm 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 1 dam 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 1 m 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 1 dm 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 cm 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 1 mm 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

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I.12.2.Unidades de Medidas Angulares

As unidades empregadas na medida dos ângulos são: grau, grado e radiano.

O grau é a unidade de medida do sistema sexagesimal, em que a circunferência é dividida em 360

partes iguais, sendo cada parte denominada Grau.

O grado é a unidade de medida do sistema centesimal, em que a circunferência é dividida em 400

partes iguais, sendo cada parte denominada Grado.

O sistema sexagesimal é o mais antigo, sendo conhecido dos povos da antigüidade (caldeus,

egípcios, persas, chineses). É bastante usado entre nós na maioria dos instrumentos de Topografia e

Geodésia, sendo o único empregado na Astronomia.

No sistema sexagesimal um grau (l0) eqüivale a sessenta minutos (60'), e um minuto a 60

segundos (60").

Um ângulo qualquer se escreve: 58o 23' 30".

A divisão centesimal é muito cômoda e prática nos cálculos, mas é pouco difundida entre nós,

tendo grande aceitação entre os povos europeus.

A centésima. parte do grado também é denominada Minuto e a décima milésima parte, Segundo.

Um ângulo qualquer se escreve: 57g, 83 27 ou 57g 83' 27".

Chama-se Radiano ao ângulo central que subentende um arco de comprimento igual ao raio do

círculo. Esta unidade tem aplicação principalmente na medida de pequenos ângulos.

I.12.2.1. Conversão de Graus em Grados

A relação que existe entre um ângulo medido em Graus (ao ) e o avaliado em Grados (ag ) é a que

existe entre as duas divisões da circunferência (360 e 400 partes). Assim, podemos escrever:

)1(10

9

400

360==

o

g

g

o

a

aou

a

a

Da expressão (1) podemos escrever que: )2(10

9 goaa =

)3(9

10 ogaa =

As expressões (2) e (3) nos permitem fazer as conversões.

Estudo / Leitura complementar: Teoria dos Erros.