Unidade 2

Técnicas de Análise de Circuitos ElétricosNesta segunda unidade, você estudará como associar resistores. Aprenderá as leis e técnicas utilizadas em análise de circuitos que estabelecem a relação entre tensão, corrente e resistência elétrica nos cir-cuitos eletrônicos.

Objetivos da UnidadeConteúdos da Unidade

Associação de resistores;

Lei de Ohm;

Leis de Kirchhoff;

Análise de Malhas;

Estudo do capacitor em Corrente Contínua;

Estudo do indutor em Corrente Contínua;

Exercícios propostos.

Objetivos da UnidadeObjetivos da Unidade

Efetuar associação de resistores;

Efetuar cálculos de tensão nos circuitos eletrônicos;

Efetuar cálculos de corrente nos circuitos eletrônicos;

Efetuar cálculos de potência nos circuitos eletrônicos.

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1 CIRCUITOS ELÉTRICOS

Um circuito elétrico simples, alimentado por pilhas, baterias ou tomadas, apresenta uma fonte de energia elétrica, um aparelho elétrico, fios ou placas de ligação, e um interruptor para ligar e desligar o aparelho. Estando ligado, o circuito elétrico está fechado e uma corrente elétrica passa por ele. Esta corrente pode produzir vários efeitos, luz, movimentos, aquecimentos, sons e etc.

1.1 Associação de Resistores

Num circuito elétrico, os resistores podem estar ligados em série ou em paralelo, em função da ne-cessidade de dividir uma tensão ou corrente, ou de obter uma resistência com valor diferente dos valores encontrados comercialmente.

1.1.1 Associação série Na associação série, os resistores estão ligados de forma que a corrente que passa por eles seja a mesma. A resistência equivalente ou total na associação em série é calculada pela seguinte ex-pressão:

Rtotal = Requivalente = R eq = R1 + R2 + R3

Na associação série, a resistência equivalente é calculada pela soma dos resistores.

1.1.2 Associação paralela Na associação paralela, os resistores estão ligados de forma que a tensão total aplicada ao circuito seja a mesma em todos os resistores e a corrente total do circuito esteja subdividida entre eles, de forma inversamente proporcional aos seus valores.

A resistência equivalente ou total na associação em paralela é calculada pela seguinte expressão:

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Outras formas de se determinar a resistência equivalente na associação paralela:

a) Resistências iguais:

b) No caso específico de dois resistores ligados em paralelo, a resistência equivalente pode ser cal-culada por uma equação mais simples:

Num texto, podemos representar dois resistores em paralelo por: R1// R2.

1.1.3 Associação mista A associação mista é formada por resistores ligados em série e em paralelo, não existindo uma equa-ção geral para a resistência equivalente, pois depende da configuração do circuito. Assim, o cálculo deve ser feito por etapas, conforme as ligações entre os resistores.

Dica

Na associação em paralelo, os resistores têm a mesma tensão.

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1.2 Lei de Ohm

Alguns materiais oferecem resistência à passagem da corrente elétrica, consequência do choque dos elétrons livres com os átomos da estrutura do material. A resistência elétrica, portanto, depende da natureza do material, de suas dimensões e da sua temperatura.

A resistência elétrica é um bipolo, isto é, consome a energia elétrica fornecida por uma fonte de ali-mentação, provocando queda de potencial no circuito, quando uma corrente passa por ela. A inten-sidade dessa corrente i depende do valor da tensão v aplicada e da própria resistência r.

1.2.1 Primeira Lei de Ohm

Em 1829, o físico George Simon Ohm realizou uma experiência (figura 8) demonstrando que, num resistor, é constante a razão entre a diferença de potencial nos seus terminais e a corrente elétrica que o atravessa, isso é, ao utilizar uma fonte de tensão variável, um valor de resistência fixa e um amperímetro para monitoramento do valor da corrente, concluiu que:

EXEMPLO

1o Passo: Associação dos resistores em série

2o Passo: Associação dos resistores em paralelo

3o Passo: Soma dos resultados

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Figura 8: Experiência realizada por Ohm

Ou seja: Ao variar o valor da tensão, o valor da corrente também variava, mas o valor da resistência se manteve constante.

Se, nesse resistor, o gráfico V x I for uma reta (figura 9), dizemos que o resistor obedece à 1a Lei de Ohm e podemos calcular sua resistência, a partir da tangente do ângulo de inclinação da reta.

Dizemos, nesse caso, que a tangente do ângulo é numericamente igual à resistência.

Figura 9: Representação gráfica da Primeira Lei de Ohm

DEFINIÇÃO

Enunciado da Lei de OHM:A intensidade da corrente elétrica que percorre um condutor é diretamente pro-porcional à diferença de potencial e inversamente proporcional à resistência do circuito.

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Aplicando a Lei de Ohm ao circuito abaixo:

Se considerarmos uma tensão de 12V e uma resistência de 560Ω, então, determinamos a corrente facilmente pela equação de Ohm.

Desta maneira, temos:

Para resistência elétrica, é muito comum o uso dos seguintes submúltiplos de sua unidade de medida:

EXEMPLO

a) Numa resistência elétrica, aplica-se uma tensão de 90V. Qual o seu valor, sabendo-se que a corrente que passa por ela é de 30 mA?

R = V/I = 90/30m = 90/30x10-3 = 90/0,03 = 3000 = 3k ohm

b) Conectando uma pilha de 1,5V em uma lâmpada, cuja resistência de filamento é de 100Ω, qual a corrente que passa por ela?

I= V / R = 1,5 /100 = 0,015 = 15 mA.

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Qual a intensidade da corrente em um condutor que tem resistência de 1000 Ohms, se a tensão aplicada for de:a) 2V.b) 100V.c) 50mV.

Resposta: Para cada caso, deveremos especificar a tensão em Volts (V) e R em OHMS (Ω). a) I = 2V/1000 Ω = 0,002A = 2mA. b) I = 100V/1000 Ω = 0,1A = 100mA. c) I = 50mV/1000 Ω = 50.10-3V/1000W =50.10-3/103W = 50.10-6A = 50mA.

2) Qual deve ser a tensão em um condutor de 10KOhms de resistência, para que a corrente tenha intensidade de:a) 2mA.b) 0,05ª.d) 20mA.

Resposta: Para determinar a tensão dada à resistência e à corrente, usamos a 1ª Lei de OHM na forma: V = R.I se R é em OHMS e I em AMPERES, a tensão V será obtida em VOLTS. a) V = 10.103.2.10-3 = 20V. b) V = 10.103.5.10-2 = 50.101 = 500V. c) V = 10.103.20.10-6 = 200.10-3V = 200mV = 0,2V.

3) Calcule a corrente nos circuitos abaixo:

Resposta: 0,02 A ou 20 mA; 0,00005 A ou 50 mA; 0,000016 A ou 16 mA.

4) Calcule o valor de R nos circuitos abaixo:

Resposta: 120 Ohms; 150 Ohms; 3000 Ohms.

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5) Calcule o valor da fonte nos circuitos abaixo:

Resposta: 10 V; 5V; 4V.

1.2.2 Segunda Lei de Ohm

A segunda lei de Ohm estabelece a relação que existe entre os parâmetros construtivos de um dado condutor, um fio, por exemplo, e a resistência que esse apresenta. A partir de certas constatações apresentadas por Ohm, é possível perceber que a resistência de um fio depende do material com que é feito, do seu comprimento e da sua espessura.

Usando materiais de mesma natureza, George Ohm analisou a relação entre a resistência r, o com-primento l e a área a da seção transversal, enunciando sua segunda lei:

Matematicamente, essa relação é escrita por:

Onde: L representa o comprimento do fio em metros (m); d representa o diâmetro em (mm2) e ρ re-presenta a resistividade do material.

A tabela que segue mostra a resistividade elétrica de alguns materiais usados na fabricação de con-dutores, isolantes e resistências elétricas:

DEFINIÇÃO

A resistência elétrica r de um material é diretamente proporcional ao produto de sua re-sistividade elétrica ρ pelo seu comprimento L e inversamente proporcional à área A de sua seção transversal.

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Tabela 1: Valores médios de resistividade a 20oC

Fonte: (CIPELLI, 1999)

EXEMPLO

Calcular o comprimento de um fio de níquel-cromo de 2 mm de diâmetro, cuja resistência elétrica é de 100Ω.

Exemplo 1: Dois fios de cobre têm as seguintes dimensões: Fio 1 comprimento = 30m, diâmetro = 2mm. Fio 2 comprimento = 15m, diâmetro = 2mm.

Qual deles apresenta maior resistência elétrica? A=2rΠ 2

)(ddiâmetror =

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1.3 Leis de Kirchhoff

As leis de Kirchhoff são utilizadas para análise de circuitos eletrônicos, baseadas no Princípio da Conservação de Energia.

1.3.1 Lei de Kirchhoff para Tensão (LKT)

A lei de Kirchhoff para tensão ou leis das malhas afirma que:

Fio 1:

Fio 2:

Portanto, o fio 1 apresenta o dobro da resistência elétrica do fio 2, pois o comprimento é duas vezes maior.

Exemplo 2: Calcular o comprimento de um fio de níquel-cromo de 2 mm de diâmetro, cuja resistência elétrica é de 100Ω.

A resistividade é um parâmetro ligado à natureza do material que compõe o condutor. Assim, essa lei deve esclarecer alguns fatos, por exemplo, porque os fios condutores são feitos de metal e não de materiais como plástico, madeira ou tecido?

Porque a resistividade do fio metálico é muito mais baixa que a encontrada nos materiais citados.

Outra conclusão a respeito dessa lei está relacionada à bitola dos condutores que encon-tramos nos mais diversos lugares: por que alguns fios são mais “grossos” que outros?

Porque sempre que se deseja permitir a condução de uma corrente de grande intensi-dade, devem-se utilizar condutores de maior bitola, que apresentam menor resistência.

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Isto é: Tensão aplicada no circuito = soma de quedas de tensão.

VA = V1 + V2 + V3

Onde VA é a tensão aplicada e V1, V2 e V3 são as quedas de tensão. VA – (V1 + V2 + V3) = 0

Introduzindo um símbolo novo, ∑ (sigma - letra grega) que significa “somatório de”, temos:∑V = VA - V1 - V2 - V3 = 0

∑V é a soma algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer circuito fechado, e essa soma é igual a zero. Atribuímos um sinal positivo (+) para o polo maior da representação de tensão e um sinal negativo (-) para o polo menor da representação de tensão. Observe o esquema seguinte:

Se começarmos pelo ponto a do esquema, e se percorrermos o circuito no sentido abcda, atravessa-mos VA do – para o + logo, teremos – VA = -100V. A queda de tensão através de qualquer resistência será positiva (+) pois percorremos no sentido do + para o -. O equacionamento das tensões no sen-tido abcda do esquema ficará:

∑V = 0-VA + V1 + V2 + V3 = 0 -100 + 50 + 30 +20 = 0 0 = 0

DEFINIÇÃO

A tensão aplicada a um circuito fechado é igual à soma das quedas de tensão naquele circuito..

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1.3.2 Lei de Kirchhoff para Corrente (LKC)

A lei de Kirchhoff para corrente, ou lei dos nós, afirma que:

A soma das correntes que entram numa junção ou nó é igual à soma das correntes que saem dessa junção ou desse nó. Ou seja:

∑Entram = ∑ Saem

Nó é o nome dado ao ponto de junção ou interligação entre os componentes ou dispo-sitivos eletrônicos.

Se considerarmos as correntes que entram numa junção como positivas (+) e as que saem da mesma junção como negativas (-), então, a lei afirma também que a soma algébrica de todas as correntes que se encontram numa junção comum é zero.

Curiosidade - HistóriaGustav Robert Kirchhoff (1824-1887)Nascido em Kaliningrad – Rússia - colaborou no desenvolvimento da técni-ca de espectroscopia, que permite analisar a composição química de uma substância a partir da luz que emite. Em 1854, publicou as chamadas leis de Kirchhoff como resultado do desenvolvimento do trabalho de ohm sobre a teoria de circuitos.

EXEMPLO

Determine a tensão VB no circuito abaixo:

∑V = 0-VA + V1 + V2 +VB + V3 = 0Podemos agora determinar o valor de VB: VB =+VA - V1 - V2 - V3 = 15 – 3 – 6 – 2 = 4 V

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EXEMPLOConsidere o circuito abaixo:

a) Resistência equivalente do circuito.b) Corrente total do circuito.c) Corrente XI .

RESOLUÇÃO:a) Para acharmos a resistência equivalente do circuito calcularemos, inicialmente, as duas resistências centrais (250Ω e 500Ω) como sendo em série, em seguida, as três resistências superiores (750Ω, 250Ω e 15Ω) como paralelas, assim obtemos:

Em seguida faremos as duas resistências (13,89Ω e 600Ω) em série então obtemos um novo circuito com três resistências em paralelo como podemos observar na figura abaixo:

Podemos observar que, ao resolvermos as três resistências em paralelo, obteremos somente um resistor equivalente, este será nosso resistor equivalente ao circuito completo.

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Ao fazermos os três últimos resistores em paralelo, obtemos:

b) Para chegarmos ao valor da corrente total do circuito, utilizaremos a resistência equivalente anteriormente calculada e a lei de Ohm:

IT = 59,43mA.

c) Para calcularmos a corrente IX precisamos descobrir os valores de corrente para os resistores associados em série e os valores de queda de tensão para os resistores associados em paralelo, dessa maneira:

Sabemos que o resistor de 613,89 Ω possui uma queda de tensão de 15V (facilmente deduzido ao observarmos a segunda imagem da resolução da letra “a”), assim podemos calcular qual é a corrente que circula por esse resistor.

Como o resistor de 613,89 Ω é, na verdade, um resistor equivalente, proveniente de uma associação em série de 600 Ω com 13,89 Ω, a corrente é a mesma que circula pelo resistor de 13,89 Ω, enquanto esse é proveniente de uma associação em paralelo, portanto, precisamos descobrir qual é a queda de tensão nestes resistores. Para isso, calculamos:

A corrente pode ser calculada utilizando a lei de Ohm para o resistor de 15 Ω. Para isso, faremos:

IX = 22,6262mA

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2 DIVISOR DE TENSÃO

Um divisor de tensão é um circuito série, conforme mostra o esquema a seguir. Se a tensão de en-trada é a tensão da bateria, E, e a tensão de saída é obtida em uma das resistências, R2, o seu valor será dado por:

Caso seja conectada uma resistência entre A e B, de valor RL, o valor da tensão entre A e B diminuirá pelo efeito de carga exercido por essa resistência, pois o valor efetivo da resistência entre A e B agora será R2//RL.

2.1 Calculando com Divisor de Tensão

Existem várias possibilidades de cálculo, em todas elas é necessário entrar com 3 variáveis para obter as outras.

EXEMPLO

Considere o circuito abaixo:

Para calcular a tensão medida pelo voltímetro utilizando divisor de tensão, faremos:

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2.2 Análise de Malhas

Ao resolver um circuito, utilizando as correntes nas malhas, precisamos escolher previamente quais os percursos que formarão as malhas. A seguir, designamos para cada malha a sua respectiva cor-rente. Por conveniência, as correntes de malha são geralmente indicadas no sentido horário. Esse sentido é arbitrário, mas é o mais usado. Aplica-se, então, a lei de Kirchhoff para a tensão ao longo dos percursos de cada malha. As equações resultantes determinam as correntes de malha desconhe-cidas. A partir dessas correntes, pode-se calcular a corrente ou a tensão de qualquer resistor (Figura 07).

Figura 07: Circuito para análise de duas malhas

Observe na figura um circuito com duas malhas, chamadas malha 1 e malha 2. A malha 1 é formada pelo percurso abcda, e a malha 2 é formada pelo trajeto adefa. São conhecidas todas as resistências e todas as fontes de tensão. O procedimento para se determinar as correntes das malhas I1 e I2 é o seguinte:

1º passo: Depois de escolher as malhas, deveremos indicar as correntes das malhas I1 e I2 no sentido horário. Indique a polaridade da tensão através de cada resistor, de acordo com o sentido adotado para a corrente. Lembre-se de que o fluxo convencional de corrente num resistor produz uma polari-dade positiva, é a polaridade por onde entra a corrente.

2º passo: Aplique a lei de Kirchhoff para a tensão, ∑V = 0, ao longo de cada malha. Percorra cada malha no sentido da corrente da malha. Observe que há duas correntes diferentes (I1 e I2) fluindo em sentidos opostos no mesmo resistor, R2, que é comum a ambas as malhas. Por esse motivo, apare-cem dois conjuntos de polaridades para R2.

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Análise da malha 1: (sentido abcda).

- VA + I1 . R1 + R2 (I1 – I2) = 0- VA + I1 . R1 + I1 . R2 – I2 . R2 = 0

+ I1 . (R1 + R2) - I2 . R2 = VA

No resistor R2 circulam duas correntes em sentidos contrários, por esse motivo, deveremos fazer a diferença entre i1 e i2. Como estamos analisando a malha 1, a corrente i1 vem primeiro.

Análise da malha 2: (sentido adefa).

R2 (I2 – I1) + I2 . R3 + VB = 0I2 . R2 – I1 . R2 + I2 . R3 + VB = 0+ I2 . (R2 + R3) – I1 . R2 = - VB

- I2 . (R2 + R3) + I1 . R2 = + VB

No resistor R2 circulam duas correntes em sentidos contrários, por esse motivo deveremos fazer a diferença entre i1 e i2. Como estamos analisando a malha 2, a corrente i2 vem primeiro.

3º passo: Calcule I1 e I2 resolvendo as equações (1) e (2) simultaneamente. 4º passo: Quando as correntes das malhas forem conhecidas, calcule todas as quedas de tensão através dos resistores utilizados da lei de Ohm.

EXEMPLO

Dados VA = 58V, VB =10V, R1= 2Ω, R2 = 3Ω, e R3 = 4Ω, calcule todas as correntes das malhas e as quedas de tensão no circuito.

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1º passo: Escolha as duas malhas conforme a indicação da figura. Mostre a corrente da malha no sentido horário. Indique as polaridades através de cada resistor

2º passo: Aplique ∑V=0 à malha 1 e à malha 2 e percorra a malha no sentido da corrente da malha.

Malha 1, abcda:- 58 + 2 . I1 + 3 (I1 – I2) = 0

+ 5 . I1 – 3 . I2 = 58

Malha 2, adefa:3 . (I2 – I1) + 4 . I2 + 10 = 0

- 3 . I1 + 7 . I2 = - 10

Observe que as correntes das malhas I1 e I2 passam através de R2, resistor comum às duas malhas.

3º passo: Calcule I1 e I2 resolvendo as duas equações simultaneamente.

5 I1 – 3I2 = 58- 3I1 + 7I2 = - 10

Multiplicando a primeira por 3 e a segunda por 5, obtêm-se as equações abaixo, a seguir, subtraem-se as equações:

+ 15 . I1 – 9 . I2 = 174- 15 . I1 + 35 . I2 = - 50

+ 26 . I2 = 124 I2 = 4,76A

Substituindo I2 = 4,76A em uma das equações, iremos encontrar I1 :

5 I1 - 3 I2 = 585 I1 – 3 (4,76) = 585 I1 = 58 + 14,31

I1 = 72,31 = 14,46A 5

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4º passo: Calcule todas as quedas de tensão.

V1 = I1 . R1 = 14,46 (2) = 28,92VV2 = (I1 – I2) . R2 = (14,46 – 4,76) . 3 = 29,1V

V3 = (I2 . R3 = 4,76 (4) = 19,04V

Calcule todas as correntes das malhas, as quedas de tensão e potência dos resistores no circuito abaixo.

PRIMEIRA MALHA

- 10 + 10KI3 + 2,2k ∙ (I1 - I2) + 1MI1 = 0

1MI1 + 12,2KI1 – 22KI2 = 10

1,0122 ∙ (10^6) - 2,2 ∙ 10³ I2 = 10

SEGUNDA MALHA

2,2K ∙ ( I2 - I1 ) + 100I2 + 22K ∙ ( I2 – I3 ) = 0

-2,2KI1 + 2,2KI2 + 100I2 + 22KI2 - 22KI3 = 0

-2,KI1 + 24,3KI2 - 22KI3 = 0

TERCEIRA MALHA

22K ∙ (I3 - I2 ) + 1MI3 + 15 + 1KI3 = 0

- 22KI2 + 22KI3 + 1MI3 + 1KI3 = -15

- 2,2KI1 + 24,3KI2 - 22KI3 = 15

SISTEMA

1,0122 ∙ (10^6) - 2,2 ∙ 10³I2 = 10

- 2,2KI1 + 24,3KI2 - 22KI3 = 0

- 2,2KI1 + 24,3KI2 - 22KI3 = 15

I1 = 9,856 µA

I2 = -12,628 µA

I3 = -14,934µA

U2,2k = R2,2 ∙ I2,2K

U2,2k = 2,2K ∙ (I1-I2)

U2,2k = 2,2K ∙ (9,852µ + 12,628µ)

U2,2k = 2,2 ∙ 22,78mV

U2,2k = 49,456 mV

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U10K= =R10K ∙ I10K

U10K = 10K ∙ 9,852µ

U10K = 98,52mV

U1M = 1M ∙ I1

U1M = 9,852V

U100 = 100 ∙ (-12,628 µ)

U100 = -1,262mV

U22 = 22K ∙ (-12,628µ + 14,934µ)

U22=50,732mV

U1M =1M ∙ I3

U1M =-14,934V

U1K = 1K ∙ I3

U1K = -14,934V

P = V ∙ I

P10K = U10K ∙ I1

P10K = 98,52m ∙ 9,852µ

P10K = 970,619nW

P2,2k = 49,456m ∙ (I1-I2)

P2,2k = 49,456m ∙ 22,48µ

P2,2k = 1,112µW

P1M = 9,852 ∙ I1

P1M = 97,06µW

P100 = -1262m ∙ I2

P100= 15,936nW

P22k = 50,732m ∙ (I3-I3)

P22 = 116,98nW

P1M = -14,934 ∙ I3

P1M = 223,024nW

P1K = -14,934 ∙ I3

P1K = 223,024nW

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Determine I1, I2 e R, sabendo que a corrente que passa no resistor de 4Ω é de 2A.

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I1 = 5A

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SEGUNDA MALHA

R = 4Ω

Determine I1, I2 e I3 no circuito abaixo.

Dados:R1 = 100 ΩR2 = 220 ΩR3 = 22 ΩR4 = 33 Ω R5 = 47 ΩR6 = 56 ΩR7 = 870 ΩV1 = 12VV2 = 24V

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2.3 Superposição de Fontes

A técnica superposição de fontes para análise de circuitos utiliza o Princípio da Superposição:

“Dada uma rede linear (elementos R, L, C, fontes independentes e fontes dependentes), pode-se calcular a tensão/corrente em qualquer nó/ramo desta rede como a soma algébrica das tensões/cor-rentes produzidas no nó/ramo por cada fonte independente considerada separadamente”.

Considerações:• Para anular fontes de tensão, fazemos V=0, o que equivale a um curto-circuito.• Para anular fontes de corrente, fazemos I=0, o que equivale a um circuito aberto.

PRIMEIRA MALHA: SEGUNDA MALHA:

TERCEIRA MALHA SISTEMA

I1 = 34,896mAI2 = -2,971mAI3 = -26,324mA

EXEMPLO

Utilize os conceitos de superposição para encontrar V no circuito da figura a seguir:

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1o Passo: Analisando o circuito, considerando somente a fonte de tensão:

Observe que a fonte de corrente foi considerada como um circuito aberto.

2o Passo: Analisando o circuito considerando somente a fonte de corrente:

3o Passo: Somar os resultados das fontes independentesObtemos:

V = V1 + V2 2 + 8 = 10V

V=10V

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2.4 Teorema de Thevenin

O Teorema de Thevenin é uma ferramenta muito aplicada quando se deseja realizar o estudo de um circuito elétrico que possui um componente variável, chamado de carga, enquanto os demais elemen-tos são fixos.

As demais ferramentas mostram-se ineficazes neste caso porque quando a carga varia é necessário analisar o circuito inteiro novamente.

O Teorema de Thevenin diz que “uma rede linear com dois terminais (a-b), formada apenas por fon-tes de energia e elementos passivos, pode ser substituída por um circuito equivalente, que consiste em uma única fonte de tensão independente (VTH) em série, com uma impedância (ZTH)”, conforme a figura 08.

Figura 08: Circuito Equivalente de Thevenin

A fonte de tensão independente VTH também é denominada de tensão de circuito aberto, definida como sendo a tensão nos terminais a-b quando a carga é desconectada do circuito. A impedância ZTH é definida como sendo a impedância do ponto de vista dos terminais a-b com as fontes de energia da rede desligadas. Portanto as fontes de tensão devem ser curto-circuitadas e as fontes de correntes devem ser abertas durante o cálculo de ZTH.

EXEMPLO

Determine o circuito equivalente de Thevenin do circuito mostrado na figura a seguir, à esquerda dos terminais a-b.

Em seguida, determine o valor da corrente na carga, quando RL for 6Ω, 16Ω e 36Ω.

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Bás

ica

Solução:

Determinamos Rth desativando a fonte de 32V (substituindo-a por um curto-circuito) e a fonte de corrente de 2A (substituindo-a por um circuito aberto). Desta maneira, o novo circuito será:

Para determinar Vth, consideramos o circuito inicial sem a carga. Aplicando a análise de malhas aos dois laços, obtemos:

Uni

dade

2

T

écni

cas

de A

nális

e de

Circ

uito

s E

létri

cos

47

Resolvendo a equação em , obtemos . Portanto,

Ou, analisando pelo nó superior, e utilizando a lei dos nós, teremos:

O circuito equivalente de Thevenin:

A corrente que passa pela carga é:

Quando RL = 6Ω:

Quando RL = 16 Ω:

Quando RL = 36 Ω:

48

Ele

trici

dade

Bás

ica

2.5 Teorema de Norton

Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que podemos substituir todo o circuito, por circuito equi-valente contendo uma fonte de corrente em paralelo com um resistor.

Para construir o equivalente de Norton, precisamos determinar a corrente de curto-circuito entre os terminais entre o ponto A e B, em que será conectada a carga:

EXEMPLO

Determine o equivalente de Norton do circuito abaixo:

Curto-circuitando os terminais onde será conectada a carga, termos:

Anulando as fontes de tensão a resistência equivalente de Norton, será:

Req = RNorton = 2k + 3k = 5 kΩ

Logo, o equivalente de Norton será:

Uni

dade

2

T

écni

cas

de A

nális

e de

Circ

uito

s E

létri

cos

49

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1) Calcule a indicação dos instrumentos e a potência dissipada em cada resistor.

Resposta: 1º Passo: Calcular a resistência equivalente (Req):Req = 40 + 60 + 20 = 120 Ohms.

2º Passo: Calcular a corrente total.I = I total = V/Req = 12/120 = 0,1 A (Corrente medida pelo amperímetro).

3º Passo: Calcular a tensão em cada resistor:VR1 = 40 x 0,1 = 4V (tensão medida pelo voltímetro V1).VR2 = 60 x 0,1 = 6V (tensão medida pelo voltímetro V2).VR3 = 20 x 0,1 = 2V (tensão medida pelo voltímetro V3).

4º Passo: Calcular a potência em cada resistor, utilizando a fórmula:P = V x IPotência (R1) = 4 x 0,1 = 0,4 W.Potência (R2) = 6 x 0,1 = 0,6 W.Potência (R3) = 2 x 0,1 = 0,2 W.

2) Calcule a máxima e a mínima tensão que o instrumento pode indicar.

^

50

Ele

trici

dade

Bás

ica

Resposta: Quando o potenciômetro estiver no mínimo, ou seja, sua resistência for zero, a tensão medida pelo voltímetro será de 4 V.

Quando o potenciômetro estiver no máximo, ou seja, sua resistência for 1 k Ohms, a tensão medida pelo voltímetro será de 6 V.

3) Calcule a indicação do voltímetro:

Resposta: 1º Passo: Calcular a resistência equivalente das duas resistências que estão em paralelo.Como são resistências de mesmo valor, a Req = 500 Ohms.

2º Passo: Utilizar divisor de tensão para determinar o valor medido pelo voltímetro.

4) Calcule a indicação dos instrumentos.

Resposta: 1º Passo: Calcular a resistência equivalente das resistências que estão em série.Req = 330 + 220 + 470 = 1020 Ohms.

Uni

dade

2

T

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cas

de A

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e de

Circ

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s E

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2º Passo: Determinar a corrente total.I total = V/Req = 15/1020 = 14,71 mA (Corrente medida pelo amperímetro)

3º Passo: Determinar a tensão em cada resistor utilizando a lei de Ohm.V = R . IV1 = 330 x 14,71 m = 330 x 0,01471 = 4,85 V (tensão medida pelo voltímetro V1)V2 = 220 x 14,71 m = 220 x 0,01471 = 3,24 V (tensão medida pelo voltímetro V2)V3 = 470 x 14,71 m = 470 x 0,01471 = 6,91 V (tensão medida pelo voltímetro V3)

Observe que:V1 + V2 + V3 = 15V

SÍNTESE DA UNIDADE

Vimos que, num circuito elétrico, os resistores podem estar ligados em série ou em pa-ralelo, em função da necessidade de dividir uma tensão ou corrente, ou de obter uma resistência com valor diferente dos valores encontrados comercialmente.

Vimos também que a resistência elétrica consome a energia elétrica fornecida por uma fonte de alimentação, provocando queda de potencial no circuito, quando uma corrente passa por ela. A intensidade dessa corrente i depende do valor da tensão v aplicada e da própria resistência r.

Além disso, vimos que a tensão aplicada a um circuito fechado é igual à soma das que-das de tensão naquele circuito. E que a soma das correntes que entram numa junção ou nó é igual à soma das correntes que saem dessa junção ou desse nó.

E, por último, aprendemos algumas técnicas de análises de circuitos que nos permitem determinar o valor da tensão, corrente e potência de qualquer resistor do circuito ele-trônico.

52

Ele

trici

dade

Bás

ica

EXERCÍCIOS

1) Assinale a alternativa correspondente à resistência equivalente do circuito abaixo:

a) 13,3k Omhs.b) 2,2k Omhs.c) 10k Omhs.d) 22,3k Omhs.e) 1k Omhs.

2) Utilizando a lei de Ohm, responda os itens a seguir:a) Calcule a diferença de potencial que deve ser aplicada nos terminais de um condutor de resistência de 100Ω, para que ele seja percorrido por uma corrente elétrica de intensidade de 0,5 ampère.Resposta: V=20V.

b) Calcule a intensidade de corrente elétrica que passa por um fio de cobre de resistência de 20Ω ao ser submetido a uma ddp de 5V. Resposta: I=250mA.

c) Qual a resistência elétrica de um condutor que é percorrido por uma corrente de 1/2A quando fica sujeita a 110V? Resposta: R=220Ω.

3) Assinale a alternativa que corresponde às correntes das malhas do circuito abaixo:

Uni

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a) I1 = 66,67 mA e I2 =0,488A.b) I1 = 10 mA e I2 =1 A.c) I1 = 0,5 A e I2 = 100 mA.d) I1 = 66,67 mA e I2 = 30mA.e) I1 = 10 mA e I2 = 2A.

4) Observe o esquema elétrico ao lado:

a) Aplicando as Leis de Kirchhoff, deduza o sistema de equações que permite calcular os valores da intensidade da corrente elétrica.Resposta: -E1 + E2 + Vr2 + Vr1 + Vr1 = 0 -E2 – E3 + Vr3 + VR2 + Vr2 = 0b) Calcule o valor de cada corrente , sabendo que:E1 = 24V r1 = 0,6ΩE2 = 12V r2 = 0,5ΩE3 = 6V r3 = 0,4ΩR1 = 1,4Ω R2 = 2,6ΩResposta: I1 = I2 = 6A

5) Para um determinado resistor, qual o efeito na resistência elétrica ao duplicar-mos a tensão aplicada? E, se triplicarmos? E, ao dividi-la pela metade?Se duplicarmos a tensão aplicada o efeito da resistência elétrica é duplicada; Se tri-plicarmos a tensão aplicada o efeito da resistência elétrica é triplicada; Se a tensão é dividida pela metade, o efeito da resistência elétrica também é dividida pela metade. Ou seja, a tensão é diretamente proporcional à resistência elétrica.

6) Para um determinado valor de tensão entre os terminais de um resistor, qual o efeito sobre a corrente ao duplicarmos sua resistência? E se triplicarmos?A corrente é inversamente proporcional à resistência elétrica, logo se duplicarmos a re-sistência a corrente diminui pela metade, se triplicarmos a resistência a corrente diminui na razão de 1/3.

7) Se variarmos a tensão aplicada a um resistor, o que acontece com sua resis-tência?O efeito da resistência varia proporcionalmente.