Unidade 3 Funções de uma variável -...
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1
Unidade 3
Funções de uma variável
Funções
Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitassituações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. Aprocura de carne pelo consumidor, por exemplo, pode depender do seu preço atual nomercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículosna rua; o valor de uma garrafa de vinho pode depender da safra. Essas relações sãomatematicamente representadas por funções.
Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação que a cada elemento de Aassocia um único elemento de B , e é indicada por BAf : . A relação entre os conjuntosA e B é dada através de uma regra de associação expressa na forma )(xfy .
Definição (Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que f é uma função ouaplicação, de conjunto A em conjunto B , se e somente se, todo elemento de A , está emcorrespondência com um único elemento de B . Escrevemos :f A B definida por
( )y f x onde y é o valor de f em x .
Domínio: É o conjunto dos valores de x tais que a função está definida.Anotamos ( )D f A ou ( )Dom f A .
Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da função ( )CD f B .
Imagem: É o conjunto dos valores y B tais que ( )y f x para algum x .Anotamos Im( )f B .
Assim:
( ) ( ) para algumD f x A y f x y B ,
e
Im( ) com ( )f y B existe x A y f x .
Por exemplo, seja :f A B definida por ( ) 2f x x , onde 1,2,3A e 1,2,4,6,7B .
Neste caso, ( ) 1,2,3D f , ( ) 1,2,4,6,7CD f e Im( ) 2,4,6f . Veja a figura abaixo:
2
Figura 3.1
Uma função :f A B é dita função real de uma variável real se A e B .
Figura 3.2
Normalmente, representamos por ( )y f x , x A e y B .
Veja a seguir alguns exemplos de funções.
(i) ( )f x x , para todo x , ( )D f .
(ii) 2( )f x x , para todo x , ( )D f (iii) ( )f x x , para todo x , ( ) 0,D f
(iv) ( )2
xf x
x
, 2x , ( ) 2D f
(v) 2( ) 1f x x , 1 1x , ( ) 1,1D f (vi) ( ) 1f x x , x , ( )D f
(vii)3
( )f xx , 0x , x , ( ) 0D f
(viii) ( )f x x , para todo x , ( )D f .
1
2
3
2
4
6
f
7
1
Im( )f
( )B CD f( )A D f
3
(ix)1
( )2
f xx
, 2x
( ) 2 / 2D f x x e Im( )f .
(x) ( ) 2 3 2 3 0 3/ 2f x x x x . Neste caso,
( ) / 3 / 2D f x x .
(xi)2 2
( ) 0 e 33 3
x xf x x
x x
.
1º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x
2º Caso: 2 0 e 3 0 2 e 3x x x x . Assim,
( ) / , 3 2,D f x x
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aosexercícios propostos.
Exercícios Propostos - 1
Determine domínio nas seguintes funções:
1)3
( )1
xf x
x
2)3
( )f xx
3)1
( )1
f xx
4)1
( )2
f xx
5) ( ) 2 3f x x 6) ( ) 1 3f x x
7)1 1
( )5
f xx x
8)
2
1 1( )
4 4f x
x x
9) ( ) 2f x x 10)2
1( )
1f x
x
11)1
( )3
f x x 12) ( ) 3f x x
13)2
1( )
3f x
x
14) ( )2
xf x
x
Respostas.1) 1R
2) 0R
3) 1 1,x R x
4
4) 2R
5)3 3
,2 2
x R x
6)1 1
,3 3
x R x
7) 0, 5R
8) 4 2x R x ou x
9) 2 2,x R x
10) 1,1R
11)1 1
,3 3
x R x
12) 3 3,x R x
13) 3, 3R
14) 0 0,x R x
Gráfico de uma Função
É o subconjunto do plano formado pelos pontos , ( )x f x , para todo x , quando x
percorre o campo de definição de função :f . Im( ) ( )f G f .
Exemplo 3.1. Seja ( )f x x , para todo x . ( )D f e Im( )f .
Figura 3.3
Exemplo 3.2. Seja 2( )f x x , para todo x . ( )D f e Im( )f .
5
Figura 3.4
Exemplo 3.3. Seja :f , ( )f x x , ( )D f e Im( )f .
Figura 3.5
Exemplo 3.4. Seja ( )f x x , para todo x , ( )D f e Im( )f .
Figura 3.6
Duas funções f e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e( ) ( )f x g x , para todo ( )x D f .
6
Exemplo 3.5. :f A B , ( ) 1f x x e2
( )x x
g xx
, onde 1,2,3A e
0,1,2,3,4,5B . Neste caso, ( ) ( )f x g x , para todo x A .
Exemplo 3.6. Sejam f , :g , definidas por 4( )f x x e 2( )g x x . Neste caso,
temos ( ) ( )f x g x , para todo x , pois 4 2x x .
Exemplo 3.7. Sejam f , :g , 2( )f x x e ( )g x x . Neste caso, ( ) ( )f x g x ,2x x , para todo 0x .
Exemplo 3.8. Sejam ( )f x x e2
( )x
g xx
são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é
0 .
Operações com Funções
Dadas às funções f e g definidas. Então valem as seguintes:
(i) Soma de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ;
(ii) Diferença de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ;
(iii) Produto de f e g : ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x ;
(iv) Quociente de f e g :( )
( )( )
f f xx
g g x
, ( ) 0g x .
Em cada caso o domínio da função resultante consiste dos valores de x comuns ao das
funções f e g , sendo que paraf
g, o domínio é interseção excluídos os pontos tais que
( ) 0g x . Por exemplo, dadas às funções 2( ) 2f x x e3
( )1
g xx
, então:
(i) 2 3( )( ) 2
1f g x x
x
, 1x . ( ) 1D f g
(ii) 2 3( )( ) 2
1f g x x
x
, 1x . ( ) 1D f g
(iii) 2 3( )( ) 2
1f g x x
x
, 1x . ( ) 1D f g
(iv) 2 22 1 2
( )3 3
1
x x xfx
gx
, 1fD
g
, pois ( ) 1D g .
7
Funções Definidas por Várias Sentenças
São as funções onde função é dada por diferentes valores em diferentes intervalos.
Nos exemplos a seguir obter o gráfico, seu domínio e sua imagem das funções::f .
Exemplo 3.9.
1, se 0
( ) 2, se 0 1
1, se 1
x
f x x
x
Resolução: ( )D f , Im( ) 1,2f .
Figura 3.7
Exemplo 3.10.2
, se 0( )
, se 0
x xf x
x x
Resolução: ( )D f , Im( )f .
Figura 3.8
Exemplo 3.11.
, se 0 2
( ) 2, se 2 3
5 , se 3
x x
f x x
x x
8
Resolução: ( )D f , Im( ) , 2f .
Figura 3.9
Exemplo 3.12.1, se 3
( )2 1, se 3
x xf x
x x
Resolução: ( )D f , Im( )f .
Figura 3.10Tipos de Funções
(a) Funções monótonas
(i) Função Crescente: A função ( )y f x é crescente num intervalo de seu domínio
se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x , temos
1 2( ) ( )f x f x . Por exemplo, 2y x , ( )D f , Im( )f , 1 2,x x e
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x .
(ii) Função Decrescente: A função ( )y f x é decrescente num intervalo de seu
domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, 1x e 2x com 1 2x x ,
temos 1 2( ) ( )f x f x . Por exemplo, 2y x , ( )D f , Im( )f , 1 2,x x e 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x .
9
Figura 3.11
(b) Função Injetora
Dizemos que :f A B é injetora se e somente se, dados 1x e 2x A com 1 2x x implica
que 1 2( ) ( )f x f x ou se 1 2( ) ( )f x f x então 1 2x x .
Por exemplo,
(i) :f , ( )f x x é injetora, pois 1 2,x x com 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x .
(ii) :f , 2( )f x x não é injetora, pois 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x , considerando 1 3x e 2 3x , temos 1 2 ( 3) (3) 9x x f f .
Figura 3.12
(c) Função Sobrejetora
Dizemos que :f A B é sobrejetora se e somente se Im( )f B ou ( )f A B .
Por exemplo,
10
(i) :f , 3( )f x x é sobrejetora, pois ( )D f e Im( )f .
(ii) :f , 2( )f x x é sobrejetora, pois ( )D f e Im( )f .
(iii) :f , 2( )f x x não é sobrejetora, pois ( )D f e Im( )f .
(d) Função Bijetora
Dizemos que :f A B é bijetora se e somente se, f é injetora e sobrejetora, isto é,
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x e Im( )f B .
Por exemplo,
(i) :f , ( )f x x ;
(ii) :f , 3( )f x x ;
(iii) :f , 2( )f x x ; são funções bijetoras.
(e) Função Inversa
Se :f A B é bijetora, a relação inversa de f é uma função de B em A que
denominamos função inversa e indicamos por 1f .
Figura 3.13
Observação:(i) :f A B sendo bijetora, garante a existência da função inversa 1 :f B A e
1 Im( )D f f B e 1Im ( )f D f A .
(ii) Existe 1f f é bijetora.
(iii) Existe 1f é equivalente dizer f é inversível.
Por exemplo,
11
(i)
Figura 3.14
A função dada acima na figura 2.14 é inversível.
(ii)
Figura 3.15
A função dada acima na figura 2.15 é não inversível.
Regras práticas para o cálculo de função inversa
Na função ( )y f x trocamos x por y e y por x ,obtendo ( )x f y .
Expressamos y em função de x .
Por exemplo,
(iii) Seja :f , 2 4y x ( ) 2 4y f x x 2 4x y
2 4y x
12
12 ( )2
xy f x
1( ) 22
xf x .
(iv) Seja :f , 2y x2y x
2x y
y x 1 :f , 1( )f x x .
Observação: Os gráficos de f e 1f são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3ºquadrante do plano cartesiano.
Por exemplo,
(i) 3( )f x x , :f 1 :f , 1 3( )f x x .
Figura 3.16
(ii) :f , 2( )f x x 1( )f x x
13
Figura 3.17
Composição de Funções
Sejam A , B e C três conjuntos. Consideremos as funções f e g tal que
:f A B e :g B C .
Associado com f e g existe uma função :L A C denominada composição edefinida por
( ) ( )( ) ( ( ))h x g f x g f x , para todo x A .
Figura 3.18Assim temos
: ( ) Im( )f x f x y f B e : ( ) Im( )g y g y z g C .
Observações:(i) g f só está definida, quando ( ) ( )CD f D g .(ii) Em geral, g f f g .(iii) O domínio de f g é o conjunto de todos os números x no domínio ( )D f .
Exemplo 3.13. Sejam 1,2,3,4A , 0,2,4,6,8,9B e 0,4,16,36,64,81,100C .
Consideremos :f A B : ( ) 2f x x y e :g B C : 2( )g y y z . Então
14
:h A C : 2( ) ( )( ) ( ( )) (2 ) 4h x g f x g f x g x x .
Exemplo 3.14. Sejam f , :g definidas por ( ) 1f x x e 2( )g x x . Então,
2 2( )( ) ( ( )) ( ) 1f g x f g x f x x ,e
2 2( )( ) ( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g f x g x x x x .
Agora,2 21 2 1x x x f g g f .
Exemplo 3.15. Sendo :f , 2 1f x x e 2g x x . Calcular:
(i) 2 2( ( )) ( 2) ( 2) 1 4 3f g x f x x x x .
(ii) 2 2 2( ( )) ( 1) 1 2 1g f x g x x x .(iii) ( (1)) (3) 9 1 8f g f (iv) ( (0)) ( 1) 1 2 1g f g .
Exemplo 3.16. Sendo :f , 23 2f x x e 4 1g x x . Calcular
f g , g f , f f e g g .(i) ( )( ) ( ( ))f g x f g x
(4 1)f x 23 2(4 1)x
23 2(16 8 1)x x 2
2
3 32 16 2
32 16 1
x x
x x
(ii) ( )( ) ( ( ))g f x g f x2
2
2
2
(3 2 )
(4(3 2 ) 1)
12 8 1
8 13
g x
x
x
x
(iii) ( )( ) ( ( ))f f x f f x2
2 2
2 4
2 4
4 2
(3 2 )
3 2(3 2 )
3 2(9 12 4 )
3 18 24 8
8 24 15
f x
x
x x
x x
x x
(iv) ( )( ) ( ( ))g g x g g x
15
(4 1)
(4(4 1) 1)
16 4 1
16 5
g x
x
x
x
Funções Pares e Ímpares
(a) Função Par
Seja :f A B . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x , x A .
Por exemplo, 2( )f x x , x é par, pois 2( ) ( )f x f x x , para todo x .
Figura 3.19
(b) Função Ímpar
Seja :f A B . f é uma função par se e somente se ( ) ( )f x f x , para todo x A .
Por exemplo, 3( )f x x , x é ímpar, pois 3( ) ( )f x f x x , para todo x .
Observações:
(i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y .
(ii) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistemacartesiano.
(iii) Existem funções que nem são pares e nem ímpares. Por exemplo, ( ) xf x e e2( )f x x x , para todo x , nem são pares e nem são ímpares.
Verifique se são pares ou ímpares as funções:
(i) y x
16
(ii)1
yx , 0x .
Funções elementares
A seguir apresentaremos algumas funções elementares.
a) Função constante
A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento docontradomínio é chamada de função constante.
Exemplo 3.17. A função :[0, )f , 2)( xf , é uma função constante. Sua Figura no
intervalo 0, 2 do seu domínio é o seguinte:
Figura 3.20
b) Funções afim e linear
Chama-se função afim qualquer função dada por baxxf )( onde os coeficientes a eb são números reais dados. Quando 0b , a função é chamada de linear. A Figura da funçãoafim com domínio e contradomínio é uma reta com coeficiente angular igual a a e que
intercepta os eixos coordenados X e Y nos pontos , 0b
a
e 0, b , respectivamente.
Exemplo 3.18. O gráfico da função afim tomando-se 1a e 1b , ou seja,( ) 1y f x x , no intervalo [ 1, 2] , é mostrado a seguir.
17
Figura 3.21
Uma reta pode ser representada por uma função afim da forma baxy . Precisamosapenas determinar a e b .
c) Função módulo
É a função definida por, 0
( ) | |, 0
x xf x x
x x
O gráfico da função módulo é o seguinte:
Figura 3.22
d) Função quadrática
Sejam , ea b c números reais quaisquer com 0a . A função f definida em e dada
por 2( )y f x ax bx c recebe nome de função quadrática.
18
Exemplo 3.19.(i) 2( ) 9 14y f x x x 1; 9; 14a b c .
(ii) 2( ) 5 25y f x x x 5; 25; 0a b c .
(iii) 22 3 1( )
3 4 5y f x x x
2 3 1; ;
3 4 5a b c .
e) Função polinomial
É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja,
011
1 ...)( axaxaxaxf nn
nn
,
onde os coeficientes naaa ,...,, 10 são números reais e n é número natural chamado de grau de
( )f x .
Exemplo 3.20. As funções afim e linear são exemplos de funções polinomiais de grau 1n .A função quadrática cbxaxxf 2)( , 0a , é uma função polinomial de grau 2n . A
função 4 3 2( ) 2 3 5 1f x x x x x é uma função polinomial de grau 4n .
f) Função racional
É toda função f cuja regra de associação é do tipo
)(
)()(
xq
xpxf ,
onde )(xp e )(xq ( ( ) 0q x ) são funções polinomiais. Uma função racional está definida emqualquer domínio que não contenha raízes do polinômio )(xq .
Exemplo 3.21. Determine o maior domínio possível da função racional
1
1)(
2
x
xxxf .
Resolução: Uma função racional com esta regra de associação está definida em todo ponto x
tal que 01 x . Portanto, o maior domínio possível é o conjunto | 1x x .
19
Figura 3.23
Função exponencial e logarítmica
a) Função exponencial de base a
Seja a um número positivo e 1a . A função : (0, )f , dada por xaxf )( , échamada de função exponencial de base a . Os gráficos dessas funções são os seguintes:
Gráfico da função exponencial quando 1a .
Figura 3.24
Gráfico da função exponencial, quando 0 1a .
Figura 3.25
20
O conjunto imagem da função exponencial é o intervalo (0, ) .
Apresentaremos, a seguir, as propriedades de exponenciação.
b) Propriedades da função exponencial
As seguintes propriedades valem para quaisquer , , ,a b x y R com 0a , 0b :
P1 - yxyx aaa .P2 - xxx abba )()( .
P3 - yxy
x
aa
a .
P4 -x
x
x
b
a
b
a
.
P5 - xyxyyx aaa )()( .
A função exponencial mais comum em aplicações é a função exponencial debase ea onde ...71828,2e é a constante de Euler, que é um númeroirracional. A função, nesse caso, é chamada de função exponencial naturalou, simplesmente, função exponencial.
Função logaritmo
Seja a um número positivo e 1a . A função definida por ( ) logay f x x 0x ,
recebe o nome de função logarítmico de base a .
Vejamos os gráficos da função logarítmica:
Figura 3.26
21
Figura 3.27
Propriedades da função logaritma
Para todo 0, yx , valem as seguintes propriedades.
P1. Propriedade do produto:)(log xya = yx aa loglog .
P2. Propriedade do quociente:
y
xalog = yx aa loglog .
P3. Propriedade da potenciação:yxy a
xa log)(log .
O logaritmo na base ea é chamado de logaritmo natural e é comumindicá-lo como ln x .
Aplicações práticas das funções
A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma deexemplos.
a) Função receita
Exemplo 3.22. Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo x a quantidade vendida, areceita de vendas será 300 x . Podemos dizer que ( ) 300R x x é uma função que fornece aquantidade vendida x à receita correspondente.
Exemplo 3.23. Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade. Seja x a quantidadevendida.a) obtenha a função receita ( )R x ;b) calcule (50)R ;
22
c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$1.200,00?
Resolução:a) ( ) 6R x x .b) (50) 6 50 300R .c) Devemos ter 1.200 6 200x x .
Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés.
b) Função custo e lucro do primeiro grau
Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de x , ea relação entre eles chama de função custo total e a indicamos por ( )C x . Existem custos quenão dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros. A soma dessescustos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo fixo e indicamos porCF . A parcela do custo que depende de x chamamos de custo variável e indicamos por
( )CV x . Logo, podemos escrever( ) ( )C x CF CV x .
A função lucro ( )L x é definida como a diferença entre a função receita ( )R x e afunção custo ( )C x e temos
( ) ( ) ( )L x R x C x .
Por exemplo, o custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$6.000,00 e o custovariável por unidade é R$ 15,00. Então a função custo total é dada por
( ) 6.000 15C x x .
Se o produto for, digamos número de aparelhos de TV, os valores de x serão 0, 1, 2,...
Caso o produto for, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de x serão númerosreais positivos.
Exemplo 3.24. Um produto é vendido por R$20,00 a unidade (preço constante). A funçãoreceita será ( ) 20R x x . Se colocarmos o gráfico desta função receita e o da função custo
( ) 6.000 15C x x num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráfico aseguir.
23
Figura 3.28
Gráfico de ( ) 20R x x e ( ) 6.000 15C x x no mesmo sistema de coordenadas.
A abscissa, cx , do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico.
Note que: Se cx x , então ( ) ( )R x C x e ( ) 0L x .
Se cx x , então ( ) ( )R x C x e ( ) 0L x .
c) Função demanda
Exemplo 3.25. O número x de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-secom o preço unitário p conforme a função demanda
20 0,004p x .
Se o preço por unidade for de R$8,00, a quantidade demandada por mês será
8 20 0,004x 0,004 20 8 16x 4.000x .
O gráfico da função demanda 20 0,004p x é dado abaixo
24
Figura 3.29
d) Funções quadráticas receita e lucro
Exemplo 3.26. A função de demanda de certo produto é 20p x , e a função custo é( ) 30C x x onde x é a quantidade demandada. Determinar:
a) a função receita e o preço que a maximiza.b) a função lucro e o preço que a maximiza.
Resolução:
a) Por definição de receita, temos
2( ) 20 20R x p x x x x x .
Logo, a função receita é 2( ) 20R x x x .Veja figura abaixo
Figura 3.30
De 2( ) 20R x x x , temos 1; 20; 0a b c .
Logo, o valor de x que maximiza 2( ) 20R x x x é a abscissa do vértice20
102 2 ( 1)V
bx
a
para uma receita máxima de
25
2(10) 10 20 10 100 200 100R .
Portanto, temos uma receita máxima de R$100,00 para uma demanda de 10x itens doproduto.
b) A função lucro é ( ) ( ) ( )L x R x C x .
Assim,
2 2( ) 20 30 20 30L x x x x x x x 2 19 30x x ,
onde1; 19; 30a b c .
Veja a figura de ( )L x abaixo
Figura 3.31
O valor de x que maximiza a função lucro 2( ) 19 30L x x x é a abscissa do vértice19 19
9,52 2 ( 1) 2V
bx
a
para um lucro máximo de
2(9,5) 9,5 19 9,5 30
90,25 180,5 30 60,25
L
.
Portanto, temos um lucro máximo de R$ 60,25.
Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aosexercícios propostos.
Exercícios propostos – 2
1) Seja a função ( ) 4 3f x x , calcular:a) ( 2)f ;b) ( 1)f a ;
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c) ( )f x h ;d) ( ) ( )f x f h ;
e)( ) ( )
, 0f x h f x
hh
.
2) Seja a função 2( ) 5 4g x x x , calcular:a) ( 1)g ;
b)1
4g
;
c)( ) ( )
, 0g x h g x
hh
;
d)1
gx
;
e)( 2)
( )
g
g x
.
3) Seja a função ( ) 2 3f x x x , calcule:
a) ( 1)f ;b) (2)f ;c) (3)f ;
d)1
2f
;
e) (2 )f x .
4) Faça o Figura da função 2( ) 2f x x , com o ( ) 3, 2, 1,0,1,2,3Dom f .
5) Obtenha o domínio das seguintes funções:a) ( ) 3 2y f x x ;
b) ( ) 3y f x x ;
c)5
( )2
xy f x
x
.
6) Esboce o Figura da função f , de domínio ( )Dom f , dada por2 1, se 0
( ), se 0
x xf x
x x
.
7) Sejam as funções1
( )1
xf x
x
e1
( )g xx , determinar:
a) f g e ( )Dom f g .b) g f e ( )Dom g f .c) f f e ( )Dom f f .
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8) O custo de fabricação de x unidades de certo produto é dado pela função( ) 300 2C x x .
a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades?b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas
dezenove unidades?
9) Dada a função demanda 20 2p x e a função custo ( ) 5C x x , determinar:a) O valor de x que maximiza a receita.b) O valor de x que maximiza o lucro.
10) Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da funçãoreceita dada por ( ) 4R x x e o Figura da função custo dada por ( ) 50 2C x x edetermine o ponto de nivelamento.
11) Obtenha a função lucro do exercício acima, esboce seu Figura e faça o estudo do sinal.
12) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo deR$10,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de xcada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 250 x .a) Expressar o lucro mensal do fabricante como uma função de x .b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de
venda for de R$35,00 cada.
13) Seja :[0, ) [ 2, )f , ( )y f x = 2 2x . Determine a inversa da função f .
14) Determinar a função inversa da função demanda20
4
xp
.
15) Indicando o custo médio correspondente a x unidades produzidas por ( )CM x , temos( )
( )C x
CM xx
onde ( )C x é o custo de fabricação de x unidades de um produto. O
custo de fabricação de x unidades de um produto é ( ) 400 5C x x .a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades?b) Qual o custo médio de fabricação de 100 unidades?c) Para que valor tende o custo médio à medida que x aumenta?`
Respostas
1) a) 11 ; b) 4 1a ; c) 4 4 3x h ; d) 4 4 6x h ; e).
2) a) 9; b)11
16 ; c) 10 5 4x h ; d)
2
4 5x
x
; e)
2
28
5 4x x.
3) a) 6 b) 3; c) 6; d)3
2 ; e) 4 2 3x x .
28
4)
5) a) ( )Dom f R ; b) ( ) ,3Dom f ; c) ( ) 5,Dom f .
6)
7) a)1
1
xf g
x
e ( ) 1Dom f g R ;
b)1
1
xg f
x
e ( ) 1Dom g f R ;
c) f f x e ( )Dom f f R .
8) a) 360; b) 2.
9) a) 5x . b)19
4x .
10) Ponto de nivelamento é 25x .
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11) Lucro ( ) 2 50L x x .
Se 0 25x , então ( ) ( )R x C x e, portanto ( ) 0L x , ou seja, prejuízo.Se 25x , então ( ) ( )R x C x e, portanto ( ) 0L x , ou seja, lucro positivo.
12) Função receita: ( ) 250R x x x ; Função custo: ( ) 10 250C x x .
a) Função lucro: ( ) 250 10L x x x ; b) 5.375.
13) 1( ) 2f x x .
14) 220 4x .
15) a) 516
x ;
b) 420
x ;
c) A medida que x aumenta o custo médio tende para 5 (cinco).