UNAD Lógica modulo 2011

7/31/2019 UNAD Lgica modulo 2011

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ESCUELA DE CIENCIAS BASI

MODULO DE LOGICA MATEM

UNIVERSIDESCUELA DE

LLLL

AS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

TICA

D NACIONAL ABIERTA Y ACIENCIAS BSICAS, TECNOLOGA E

CIENCIAS BSICAS

ICA MATEMICA MATEMICA MATEMICA MATEM

EORFFREY ACEVEDO GONZLE

Medelln, 2011

1

DISTANCIAINGENIERA

ICAICAICAICA

Z


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Lgica Matemtica

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Jaime Alberto Leal AfanadorRector

Dra. Elizabeth Vidal Arizabaleta

Vicerrectora Acadmica y de Investigacin

Dr. Roberto de Jess Salazar Ramos

Asesor de Rectora

Dra. Gloria C. Herrera Snchez

Vicerrectora de Medios y Mediaciones Pedaggicas

Dr. Edgar Guillermo Rodrguez

Vicerrector Vicerrectora de Desarrollo Regional ComunitarioGustavo Gmez

Decano Escuela de Ciencias Bsicas, Tecnologa e Ingeniera

Maribel Crdoba Guerrero

Secretaria General

Jorge Eliecer Rondn

Coordinador de Ciencias Bsicas

MDULOCURSO LGICA MATEMTICA

PRIMERA EDICIN (EN EDICIN)

Copyrigth

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

PROHIBIDA LAREPRODUCCIN YPUBLICACINPARCIAL O TOTAL DEESTA OBRA SINAUTORIZACIN DE LA UNIVERSIDADNACIONALABIERTA Y ADISTANCIA UNAD

ISBN

2011

Centro Nacional de Medios para el Aprendizaje

Actualizacin, Edicin y Diagramacin Georffrey Acevedo GonzlezMedelln, Colombia. 28 de Julio de 2011 (material en prensa)

Este material tiene como referencia principal el mdulo diseado por la Dra. Nubia JanethGalindo Patio en el ao de 1999 para la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.Santa Fe de Bogot. D.C. 1999

Portada: Aristteles segn un manuscrito de su Historia naturalis. Roma 1457 (Cod. vindob. phil. gr.).

Medelln Colombia Julio de 2011.


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ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

MODULO DE LOGICA MATEMTICA

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OH dicha de entender,mayor que la de imaginar o lade sentir! Borges.

Introduccin

Este mdulo est concebido para ser un curso introductorio a la lgica Matemtica.

Antes de dar inicio al desarrollo de los temas del curso, y en general, para todaactividad, es importante que nos interroguemos por el origen y propsito de dichoconocimiento, Qu problemas busc resolver el hombre mediante dicho conocimiento?Qu preguntas vamos a contestar con el aprendizaje del curso? Qu competencias seespera que el estudiante desarrolle? Por qu se consideran importantes estascompetencias? Por qu, siendo yo un estudiante de regencia de farmacia, o un estudiantede ingeniera, o mejor an, un estudiante de psicologa, debo tomar el curso de LgicaMatemtica?

Entre las competencias que debe tener un estudiante, se destaca su capacidad paraconstruir razonamientos deductivos e inductivos, tal que le permitan verificar hiptesis as

como generar nuevas, una competencia necesaria, no slo para la investigacin cientfica,sino necesaria para actividades como proponer argumentos vlidos en un ensayo o paradebatir ideas.

Se considera que la lgica matemtica acompaada de las competencias lingsticaspermite plantear las mejores soluciones a diferentes tipos de problemas. Al punto que sonestas las competencias que son evaluadas por las universidades para determinar el acceso aprogramas de educacin superior.

La competencia lgico matemtica no hace referencia exclusiva a operaciones conrepresentaciones simblicas y ejercicios complejos. En este curso aprenders cmo en

nuestro lenguaje cotidiano hacemos uso de los razonamientos lgicos deductivos einductivos, siguiendo unas estructuras bsicas que nos permiten afirmar que un razonamientoes o no vlido.

Ya Platn en la Repblica nos propone que antes del estudio de una ciencia social como lo esla filosofa era necesaria la preparacin de la mente por medio del estudio de la geometraeuclidiana, en la cual el discpulo deba entrenarse haciendo demostraciones de teoremas dela geometra, demostraciones que slo se logran siguiendo una secuencia lgica de pasosordenados.


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Hoy, muchas instituciones educativas exigen a sus aspirantes a cualquier programaacadmico, presentar pruebas de admisin que pretenden evaluar las competencias tantolingsticas como lgico matemticas. Mediante estas evaluaciones, las institucionespretenden elegir entre todos sus aspirantes a aquellos que se encuentren ms preparadospara aprender. Esto es para comprender y elaborar razonamientos lgicos deductivos einductivos cada vez ms complejos.

En este sentido, el curso de lgica matemtica es importante para mejorar en lainterpretacin y construccin de razonamientos lgicos presentes tanto en el lenguajecotidiano como en todas las reas especializadas del conocimiento. Es por esta razn que elcurso de lgica matemtica es un curso transversal a todos los programas acadmicos

ofertados por la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD.

Para leer el mdulo slo se requieren conceptos de conjuntos numricos, yoperaciones algebraicas bsicas. La intencin es que el estudiante pueda aprender de estemdulo por s mismo, en este sentido es un texto escrito ms para los estudiantes que para eltutor.

En el curso de lgica matemtica, analizaremos diferentes operaciones entreconjuntos, tales como unin, interseccin y complemento, entre otras operaciones, que nospermitirn aclarar la comprensin de las relaciones entre los conectivos lgicos usados en ellenguaje natural, partiendo para ello una representacin grfica. A la par desarrollaremos las

destrezas lgico matemticas, dando solucin a problemas como ste:De acuerdo con una encuesta virtual realizada a cincuenta estudiantes de la

UNAD, los amantes de la msica de Juanes son 15; mientras que los que nicamentegustan de la msica de Shakira son 20, Cuntos son fanticos de los dos artistas si10 de los encuestados, entre los 25 que no son fanticos de Shakira, afirman serfanticos de Juanes?

Comprenderemos cmo trabajan los conectivos lgicos que usamos diariamente ennuestro leguaje y que pocas veces nos detenemos a analizar y a comprender, por ejemplo,nuestro amigo Boole afirma que cuando gane su equipo predilecto har fiesta, pasado

un tiempo encontramos que Boole est festejando pero que su equipo predilecto ha perdidoSe est contradiciendo el amigo Boole con su afirmacin inicial?, En este cursodescubriremos y analizaremos el conectivo lgico que ha usado Boole en su afirmacin paraconcluir sobre este asunto.

Identificar los conectivos lgicos, las premisas y comprender su funcin en el lenguajenos permitir disear frases cada vez ms complejas sin que se pierda la coherencia en laconstruccin gramatical.

Posteriormente aprenderemos ha simplificar expresiones complejas o difciles de


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descifrar usando el lenguaje natural, para ello utilizaremos leyes expresadas por medio desmbolos. Por ejemplo, al expresar en lenguaje natural que es falso que Augustus nomiente; por medio de la lgica aprendemos a llegar a la simplificacin: Augustus mientemediante el Algebra de Boole, utilizando leyes lgicas bsicas que nos permiten validar lasimplificacin hecha con un argumento ms all de la simple intuicin.

Gracias al desarrollo informtico un estudiante de psicologa, puede implementar unafuncin lgica en una hoja de clculo como Excel o Calc, que le permita obtener en segundosel resultado de la aplicacin de un Test psicolgico a una poblacin. En general, gracias a losprincipios bsicos de la lgica se pueden implementar funciones de aplicacin en todas lasreas del conocimiento.

Otra interesante aplicacin de la lgica es en el proceso de validar nuestrosargumentos. Por ejemplo, analicemos que puede concluirse de la siguiente afirmacin: sillueve hace fro, posteriormente ocurre que hace fro, es entonces correcto concluirque llueve?, Por medio de la lgica transformaremos esta expresin en lenguaje simblicoque posteriormente podremos analizar por medio de una tabla de verdad y descubrir en qucaso especfico la conclusin puede no derivarse de sus premisas.

En el mundo de la argumentacin siempre estamos utilizando unos principios lgicosbsicos que estudiaremos en el curso de Lgica Matemtica, permitindonos mejorar en laconstruccin de argumentos ms fuertes, basados en los cimientos de la lgica.

Buen Viento y Buena mar.

Georffrey Acevedo Gonzlez.1

1Tutor de Ciencias Bsicas de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD desde 1995. Ingeniero Electrnico de la Universidad de Antioquia.Maestro en educacin del Tecnolgico de Monterrey. www.georffrey.com [email protected] [email protected]


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CONTENIDO POR LECCIONES

Unidad 1 Principios de Lgica

Captulo 1 Introduccin a la lgica

Leccin No.1 Introduccin a la lgicaLeccin No. 2 Proposiciones

Leccin No. 3 Conectivos lgicos fundamentalesLeccin No. 4 Condicional y BicondicionalLeccin No. 5 Tablas de verdad

Captulo 2 Tautologa

Leccin No. 6 TautologaLeccin No. 7 Proposiciones equivalentesLeccin No. 8 Tautologa trivial y doble negacinLeccin No. 9 Implicacin directa, contraria, recproca y contrarrecprocaLeccin No. 10 Leyes de la lgica

Captulo 3 Cuantificadores y proposiciones categricas

Leccin No. 11 CuantificadoresLeccin No. 12 Proposiciones categricasLeccin No. 13 Representacin de las proposiciones categricasLeccin No. 14 Clasificacin de las proposiciones categricasLeccin No. 15 Proposiciones contrarias, de contingencia y subcontrarias

Unidad 2 Razonamientos lgicos

Captulo 4 Razonamientos lgicos

Leccin No. 16 Razonamiento lgicoLeccin No. 17 El mtodo cientficoLeccin No. 18 Silogismos categricosLeccin No. 19 Validez de un argumentoLeccin No. 20 Prueba formal de validez


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Captulo 5 Inferencias Lgicas

Leccin No. 21 Inferencia lgicaLeccin No. 22 Leyes de inferenciaLeccin No. 23 Aplicacin de las leyes de inferenciaLeccin No. 24 Demostracin directa e indirectaLeccin No. 25 La refutacin

Captulo 6 Argumentos Inductivos

Leccin No. 26 Argumento Inductivo

Leccin No. 27 El problema de la induccinLeccin No. 28 La analogaLeccin No. 29 La fuerza de los argumentosLeccin No. 30 Analoga refutadora


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INDICE DE CONTENIDOIntroduccin 3Smbolos usados ..11Objetivos, conducta de entrada, fase de reconocimiento..12

UNIDAD 1 Principios de Lgica

1 Captulo: Introduccin a la Lgica ........................................................................................ 261.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica ................................................................................. 271.2 Clasificacin de la lgica .......................................................................................................... 28

1.3 Propsito de la lgica ................................................................................................................ 29

1.4 Lgica y Lingstica .................................................................................................................. 291.4.1 Lenguajes naturales y artificiales .............................................................................................. 30

1.5 Componentes del proceso semitico ......................................................................................... 33

1.6 Ramas de la semitica ............................................................................................................... 351.7 Proposiciones ............................................................................................................................ 38

1.7.1 Representacin de las proposiciones ......................................................................................... 39

1.7.2 Clasificacin de las proposiciones ............................................................................................ 42

1.7.3 Proposiciones Compuestas ........................................................................................................ 42

1.8 Conectivos Lgicos ................................................................................................................... 45

1.8.1 Conjuncin: ...................................................................................................................... 451.8.2 La disyuncin v .................................................................................................................... 49

1.8.3 La negacin ~ ............................................................................................................................ 531.8.4 El condicional ............................................................................................................... 551.8.5 El bicondicional ........................................................................................................... 581.9 Tablas de Verdad ....................................................................................................................... 661.9.1 Construccin de Tablas de Verdad ............................................................................................ 67

2 Captulo: Tautologa ............................................................................................................... 752.1 Tautologa .................................................................................................................................. 76

2.2 Proposiciones equivalentes ....................................................................................................... 78

2.2.1 Tautologa trivial ....................................................................................................................... 802.2.2 Doble Negacin ......................................................................................................................... 80

2.3 Implicacin directa, contraria,recproca y contrarecproca ....................................................... 822.4 Leyes del algebra de proposiciones ........................................................................................... 84

3 Captulo: Cuantificadores y proposiciones categricas ....................................................... 853.1 Cuantificadores .......................................................................................................................... 863.1.1 Cuantificador universal y existencial ........................................................................................ 86

3.2 Proposiciones categricas ......................................................................................................... 89

3.2.1 Cualidad y cantidad de las proposiciones categricas .............................................................. 90

3.3 Simbologa y diagramas para proposiciones categricas .......................................................... 91


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3.3.1 Clasificacin de las proposiciones categricas ......................................................................... 963.4 Proposiciones contrarias, de contingenica y subcontrarias ..................................................... 100

3.4.1 Proposiciones contradictorias .................................................................................................. 1003.4.2 Proposiciones contrarias .......................................................................................................... 101

3.4.3 Proposicin Contingente ......................................................................................................... 102

3.4.4 Proposiciones Subcontrarias ................................................................................................... 103

UNIDAD 2 Razonamientos Lgicos

4 Captulo: Razonamientos lgicos ......................................................................................... 1074.1 Razonar .................................................................................................................................... 108

4.1.1 Razonamiento inductivo .......................................................................................................... 1084.1.2 Razonamiento deductivo ......................................................................................................... 109

4.2 Silogismos categricos ............................................................................................................ 112

4.3 Validez de un argumento ......................................................................................................... 1164.3.1 Prueba formal de validez ......................................................................................................... 117

4.3.2 Prueba de invalidez ................................................................................................................. 117

5 captulo: Inferencias lgicas ................................................................................................. 1215.1 Inferencias Lgicas ................................................................................................................. 122

5.1.1 Modus Ponens (M. P) o Modus Ponendo Ponens (MPP) .................................................... 1235.1.2 Modus Tollens (M.T) o Modus Tollendo Tollens (MTT) ...................................................... 127

5.1.3 Silogismo Hipottico (S: H) .................................................................................................... 1295.1.4 Silogismo disyuntivo (S. D) o Modus Tollendo Ponens (MTP) ............................................. 1315.1.5 Dilema constructivo (D.C) ...................................................................................................... 133

5.1.6 Absorcin (Abs) ...................................................................................................................... 133

5.1.7 Simplificacin (Simp.) ............................................................................................................ 1345.1.8 Conjuncin (Conj) ................................................................................................................... 134

5.1.9 Adicin (Ad.) .......................................................................................................................... 134

5.2 La demostracin ...................................................................................................................... 139

5.2.1 La demostracin directa .......................................................................................................... 139

5.2.2 La demostracin indirecta ....................................................................................................... 140

5.2.3 La demostracin por recursin ................................................................................................ 140

5.2.4 La demostracin por refutacin ............................................................................................... 142

6 Captulo: Argumentos Inductivos ........................................................................................ 1436.1 Argumento inductivo por analoga .......................................................................................... 146

6.1.1 Evaluacin de los argumentos analgicos ............................................................................... 148

Informacin de Retorno 150Laboratorio 183Referencias .185


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INDICE DE TABLAS

Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial............................................................................................... 40Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin ......................................................................................... 47Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin ........................................................................................... 51Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin .............................................................................................. 53Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional...................................................................................... 57Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional...................................................................................... 60

Tabla No. 7 Valores de verdad de los conectivos lgicos ......................................................................... 66


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INDICE DE FIGURAS

Figura No. 1 Teorema de Pitgoras. ...................................................................................................... 32Figura No. 2 Conjuncin ......................................................................................................................... 46Figura No. 3 Disyuncin ....................................................................................................................... 50Figura No. 4 Negacin............................................................................................................................. 53Figura No. 5 Ejemplo actividad de transferencia I - ............................................................................. 64Figura No. 6Ejemplo actividad de transferencia II - ............................................................................. 65


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INDICE DE ILUSTRACIONES

Imagen No. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511) ............. 31Imagen No. 2. Pitgoras (582 a.c).. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de Raffaello Sanzio (1511)32Imagen No. 3 Euclides. Padre de la Geometra. Detalle. La escuela de Atenas - fresco de RaffaelloSanzio (1511) ............................................................................................................................................ 32


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Smbolos usadosConjuntos:Conjuntos:Conjuntos:Conjuntos:

Conjunto universal

, Conjunto vaco

Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos:Operaciones entre conjuntos:

Unin Interseccin

Diferencia Diferencia simtrica Contenido en No est contenido en

Relaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos y conjuntosRelaciones entre elementos y conjuntos

Pertenece a No pertenece a

Conectivos lgicos:Conectivos lgicos:Conectivos lgicos:Conectivos lgicos:

Conjuncin Disyuncin , ~ Negacin Implicacin Equivalencia

Indicadores de relacin:Indicadores de relacin:Indicadores de relacin:Indicadores de relacin:

< Menor que Menor o igual que> Mayor que Mayor o igual que Diferente a

Conjuntos numricos:Conjuntos numricos:Conjuntos numricos:Conjuntos numricos:

Conjunto de nmeros naturales Conjunto de nmeros enteros

+ Conjunto de nmeros enteros positivos

Conjunto de nmeros enteros negativos Conjunto de nmeros reales Conjunto de nmeros complejos


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Objetivo GeneralProporcionar al estudiante herramientas que le

permitan reconocer, elaborar y determinar la validezde razonamientos lgicos tanto deductivos comoinductivos.

Objetivos especficos

Desarrollar las competencias para expresar

razonamientos lgicos en lenguaje simblico.

Identificar y aplicar las diferentes leyes de la lgica enprocesos de argumentacin, al llevarlas al lenguajenatural.

Hacer uso de principios del lgebra Booleana parasimplificar expresiones del lenguaje natural.

Desarrollar competencias para la construccin defunciones lgicas en programas de computacin,como las hojas de clculo o de lenguajes deprogramacin.


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Para alcanzar un aprendizaje significativo, tres condiciones importantes son necesarias: Lasignificatividad psicolgica, la significatividad lgica del material y la motivacin. Para tal fin,se han estructurado las diferentes herramientas pedaggicas y didcticas del curso en tresfases de aprendizaje: reconocimiento, profundizacin y transferencia.

A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de lasexperiencias previas de aprendizaje, ya sean stas adquiridas en el estudio de un campoespecfico del conocimiento o adquiridas en el desarrollo de actividades diferentes a lasacadmicas.

Para lograr este objetivo se ha diseado una actividad didctica, que dispone el ambiente

para que por medio de algunas herramientas y tcnicas, puedas objetivar esas experienciasprevias alcanzadas en tu mundo vital.

De esta manera, logrars pasar del mundo impensado de las experiencias a lasistematizacin de las mismas, o de las prenociones a las nociones. Es decir, se trata de unejercicio de motivacin para que te involucres en los procesos iniciales de aprendizaje yactives tus estructuras cognitivas. Salazar (2008)

Pero, ante todo, debemos contar con tu disposicin para el aprendizaje. Para contribuir con elfactor de la motivacin, se ha dispuesto el primer OVA, objeto virtual de aprendizaje, el cuales un audio en mp3 con algunos elementos que te motivar para el desarrollo de las

competencias del curso.

Audio1.MP3

http://www.georffrey.com/portal/attachments/art

icle/46/conferencia1mar

zo20de2011.mp3
http://www.georffrey.com/portal/attachments/article/46/conferencia1marzo20de2011.mp3http://www.georffrey.com/portal/attachments/article/46/conferencia1marzo20de2011.mp3


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Cuntas horas debo dedicar al estudio del curso de lgica matemtica?

El curso de lgica matemtica es un curso de dos crditos acadmicos, por lo tanto un cursode dos unidades.

Un crdito acadmico corresponde a 48 horas de estudio, de las cuales 12 horas son deacompaamiento tutorial y 36 horas son de estudio independiente.

Esto significa que para matricular el curso de lgica matemtica debers disponer de 72 horasde estudio independiente. Para un perodo acadmico es de 16 semanas, y si consideramos100 das en el proceso, considerando las pausas activas, esto se traducir en un promedio deuna (1) hora diaria.

En ninguna otra metodologa como en la educacin a distancia, debemos hacer unacuidadosa gestin del tiempo. La invitacin es para desarrollar un cronograma deorganizacin de las actividades acadmicas de acuerdo a los temas de cada curso y al tiempodisponible.


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A continuacin daremos inicio a la fase de reconocimiento, en la cual, partiremos de lasexperiencias previas de aprendizaje. Recuerda que la disposicin frente al conocimiento esuna condicin para lograr un aprendizaje significativo:

1. Qu entiendes por lgica?

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2. Podramos hacer un debate de ideas sin hacer uso de la lgica? Analizacundo hacemos uso de la lgica.

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3. Qu recuerdas de la evolucin histrica de la lgica?

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4. Analiza porqu es importante la competencia lgico matemtica paraapropiar nuevo conocimiento.

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5. En tus palabras, plantea la diferencia entre lenguaje simblico y lenguajenatural

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6. Cul es tu definicin intuitiva de conjunto?

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7. Plantea varios ejemplos de conjuntos. Cmo describiras un conjunto conuna cantidad infinita de elementos?

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8. Cmo representas un conjunto?1.

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9. Qu formas de determinar un conjunto conoces?2.

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10. Cmo definiras un conjunto finito, infinito, vaco, unitario, universal y de partes?3.

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11. Qu relacin conoces entre conjuntos y entre conjuntos y sus elementos?

Cmo se representan stas?4.

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12. Cun son iguales dos conjuntos? Cundo son completamentediferentes?

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13. Qu operaciones entre conjuntos conoces?5.

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14. Qu conoces del lgebra de conjuntos? Cules leyes recuerdas?Cmo haras una demostracin grfica de estas leyes? Cmo aplicarasel principio de dualidad en estas leyes?

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15. En los siguientes diagramas sombrea las reas correspondientes a lasoperaciones sealadas:

15.1. A unin B

U

c. d.

B

A

U

A

B C

B A

U U

a. b.

BA


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15.2. A interseccin B

15.3. A menos B

U

c. d.

BA

U

A

B C

B A

U U

a. b.

BA

U

c. d.

BA

U

A

B C

B A

U U

a. b.

BA


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16. Propn una expresin de la cual puedas decir que es verdadera. Cmoexpresaras la negacin de la misma proposicin?6.

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17. Te has encontrado con un argumento que parece lgico, pero que cuandolo analizamos detenidamente encontramos que no era tal? A continuacinse propone plantearlo:

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18. Menciona las caractersticas comunes que encuentras en un razonamiento

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19. Describe, cmo determinas la validez de un argumento

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20. Entre dos personas inmersas en un debate. Cmo podramos determinarque el argumento de uno es ms fuerte que el del otro?

21.

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Querido estudiante, en los temas que encontrars a continuacin iniciamos el proceso deasociacin de los saberes previos con conceptos especficos del curso de lgica matemtica.

En esta fase encontrars material y actividades didcticas diseadas para que puedasapropiar conceptos y teoras que te permitirn alcanzar las metas de aprendizaje establecidaspara el curso.


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Unidad 11Principios de Lgica

Introduccin

En esta unidad, partiremos de la contextualizacin histrica de la lgica hacia la definicin dela unidad fundamental de la lgica la proposicin. Aprenderemos a identificar y clasificar lasproposiciones, y estableceremos criterios e instrumentos de comparacin entre los diferentestipos de proposiciones.

Justificacin

Esta unidad es significativamente importante en la formacin de cualquier profesional, desdela ptica de la necesidad de la apropiacin de una fundamentacin conceptual bsica parafortalecer la destreza en la identificacin de las proposiciones como elemento fundamental dela lgica y la comprensin de la relacin biunvoca entre el lenguaje simblico y el lenguajenatural. Estas herramientas nos permitirn desarrollar las competencias para el desarrollo dela segunda unidad, en donde, haciendo uso de lo aprendido nos introduciremos en el anlisisde validez de los razonamientos lgicos.


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Intencionalidades formativas

Propsitos

Desarrollar en el estudiante habilidades de comunicacin en contextos diversosmediante la articulacin de lenguajes icnicos, simblicos o artificiales como el de lalgica proposicional para dinamizar procesos de aprendizaje en diferentes camposdel saber.

Objetivos

Que el estudiante relacione expresiones del lenguaje simblico y del lenguajenatural mediante anlisis comparativo e interpretacin de la funcionalidad de lasvariables lgicas y operacionabiliadad de los conectivos lgicos como elementosestructurales de la lgica proposicional transcribibles a otras formas decomunicacin en diferentes contextos del saber.

Metas

El estudiante plantear y formular expresiones lgicas en lenguaje natural ylenguaje simblico como evidencia del anlisis comparativo e interpretativo de lafuncin que cumplen variables y conectores lgicos como elementos estructuralesde las expresiones lgicas en el estudio de situaciones particulares propuestas paratal fin.

Competencias

El estudiante relaciona e interpreta expresiones del lenguaje simblico y dellenguaje natural en la formulacin y representacin de estructuras semnticaslgicas en trminos de variables y conectores lgicos como elementos estructuralesde la lgica proposicional articulables a diferentes formas de comunicacin endiversos contextos.

Captulos de la unidad:

Captulo 1: Introduccin a la lgicaCaptulo 2: TautologasCaptulo 3: Cuantificadores y crculos de Euler


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Lgica Matemtica

26

CAPT

ULO1

1Captulo: Introduccin a la Lgica

Objetivo general El propsito de este captulo es brindar al estudiante algunos

elementos del desarrollo histrico de la lgica matemtica y su correspondiente

clasificacin. As como de brindar las herramientas para identificar y construir

proposiciones lgicas.

Objetivos especficos

Realizar la clasificacin de la lgica

Reconocer el propsito de la lgica

Determinar la diferencia entre lenguaje natural y artificial

Analizar los componentes del proceso semitico

Distinguir las reas de la semitica

Identificar y construir proposiciones lgicas simples y compuestas

Construir tablas de verdad


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LLLeeecccccciiinnn NNNooo...111 IIInnntttrrroooddduuucccccciiinnn aaa lllaaa lllgggiiicccaaa

1.1 Contextualizacin Histrica de la Lgica

Concete a ti mismo ("gnosei seauton") es la frase que apareca en el santuario del DiosOlmpico Apolo y que se atribuye a Tales de Mileto (639 a.c), quien es considerado como elprimer representante de la filosofa occidental: tanto as como para reconocrsele como el

iniciador de la indagacin racional sobre el universo, a Tales de Mileto se atribuye plantearexplicaciones de la naturaleza sin hacer referencia a lo sobrenatural.

Es as, como los precursores de la filosofa, llamados los presocrticos, representaron unainnovacin en el pensamiento, al tratar de explicar las cosas por si mismas.

En el perodo Socrtico, los filsofos pasarn de preocuparse por los temas de la naturaleza aocuparse en el hombre. En este perodo aparecen los sofistas, quienes profundizan en el artede discutir, a ellos debemos lo que en la lgica se denomina un sofisma, argumentos queparecen vlidos pero que realmente no lo son.

Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgicacomo la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.

Como la palabra es la expresin, o manifestacin del pensamiento y el pensamiento racionales la base de la filosofa, puede decirse en general, que la lgica es la ciencia delpensamiento racional; es importante aclarar que la lgica no se ocupa del contenido de lospensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.

En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientosde los dems, Aristteles, considerado por los griegos. El padre de la lgica, creo mtodossistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarroll la lgicaproposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad deproposiciones compuestas.

El gran matemtico Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lgicaclsica, planteando que la dependencia lgica entre proposiciones es demostrada reduciendoargumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en unaforma que pudiera ser usado por un razonamiento mecnico y a ste esquema (lgicasimblica) lo llam una caracterstica universal.2

2 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.1999


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El proceso de la lgica continu en el siglo XIX. En 1847 el matemtico ingls George Booleen compaa de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lgicascon las matemticas, pues a partir de los operadores aritmticos de adicin, multiplicacin ysustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin;adems formularon los principios del razonamiento simblico y el anlisis lgico. A Boole sele atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposicionescompuestas.3

Este trabajo fue retomado porBertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obraPrincipio Matemtico, quienes codificaron la lgica simblica en su presente formadefinindola como la Ciencia de todas las operacionesconceptuales posibles, por esta

razn la fundacin de la lgica formal moderna se le atribuye a ellos.4

1.2 Clasificacin de la lgica

La lgica se puede clasificar como lgica tradicional o no formal y lgica simblica o formal:

1. Lgica tradicional o no formal.2. Lgica simblica o formal.

En la lgica no formal o lgica tradicional se considera la destreza para interpretar y distinguirun razonamiento correcto de un razonamiento incorrecto como un producto de la experienciahumana obtenida en la relacin con el mundo circundante. En palabras de Galindo (1999), seconsideran los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico.

La lgica como ciencia constituye la lgica formal o simblica, la cual se encarga deinvestigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de lainferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas purasy rigurosas. 5

En el pensamiento simblico, las palabras se manipulan, segn las reglas establecidas, comosi fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.

De all, que afirmemos que la lgica se ocupa de la forma de los pensamientos y no de sucontenido.

3,4,5 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.1999


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1.3 Propsito de la lgica

La lgica ofrece mtodos que ensean cmo formar proposiciones, evaluar susvalores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducircorrectamente a partir de proposiciones supuestas; adems, la lgica es una cienciaque se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin deobtener precisin, claridad y generalidad en los razonamientos.

La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los cuales tienen como funcinprimordial eliminar las ambigedades que la estructura del lenguaje ordinario nopuede evitar con facilidad.

La claridad y generalidad, la consigue en la medida en que el usuario se familiarizacon los elementos bsicos de un argumento lgico, tanto en su representacinsimblica como en su significado para luego establecer un lenguaje simblicoartificial, que le permita simplificar argumentos lgicos complicados; de estamanera, el smbolo permite concentracin sobre lo esencial de un contexto dado,incrementando la fiabilidad con que se aplica el conocimiento. 6

1.4 Lgica y Lingstica

Por su origen y desarrollo natural, han sido reconocidos dos tipos bsicos delenguajes: los lenguajes naturales y los lenguajes formales o artificiales.

Los lenguajes naturales no se establecieron a travs de ninguna teora, entreellos estn el castellano, el francs y el ingls. Las teoras y gramticas delenguajes naturales, fueron establecidas a posteriori, es decir despus de que ellenguaje ya haba madurado.

Los lenguajes formales como las matemticas y la lgica, fueron desarrollados,generalmente, a partir del establecimiento de una teora, la cual da las basespara que a travs de dichos lenguajes se pueda desarrollar la misma teora.

6 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.1999


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Los lenguajes naturales y formales tienen puntos en comn, en principio, setiene la existencia de un conjunto finito llamado alfabeto, el cual esta constituidode smbolos simples llamados comnmente letras. En los lenguajes naturales setienen como ejemplos los alfabetos: latino, griego y rabe-persa, entre otros. Enlos formales como la lgica se tiene el lxico del clculo proposicional y depredicados.

Mediante la concatenacin de las letras del alfabeto se forman los monemas,fonemas o palabras que se encuentran en el interior de un enunciado, de talforma que un lenguaje se considera como un conjunto infinito de oraciones oenunciados que se forman con palabras.

En los sistemas formales los enunciados del lenguaje consisten en una lista desmbolos, (lgicos o matemticos) sujetos a diversas interpretaciones. En unlenguaje formal, las palabras y las oraciones estn perfectamente definidas, unapalabra mantiene el mismo significado prescindiendo del contexto o de su uso.Los lenguajes formales son, por esto, necesariamente exentos de cualquiercomponente semntico fuera de sus operadores y relaciones, y es gracias a estaausencia de significado especial, que los lenguajes formales pueden ser usadospara modelar una teora de la ingeniera de sistemas, mecnica, elctrica, entreotras. 7

1.4.1 Lenguajes naturales y artificiales

Podemos considerar el lenguaje como un sistema de signos que expresan ideasy que se utiliza para establecer comunicacin.

El hombre se comunica y participa de este proceso mediante el lenguaje naturalhumano; sin lenguaje, o con un lenguaje rudimentario, el hombre estara limitadosocialmente.

Cuando el hombre aprende a nombrar todo lo que le rodea y luego es capaz derelacionar el objeto solamente con su nombre, el lenguaje se convierte ensmbolo, es decir, toma vida independiente del objeto, de tal forma que se puedeafirmar que el lenguaje no slo es un instrumento de comunicacin sino tambinde pensamiento; por lo tanto, para el hombre el lenguaje es exterior e interior,

7Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.

1999


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ESCUELA DE CIENCIAS BASI

MODULO DE LOGICA MATEM

pues le permiexperiencias

De otra partenace de unacomunidad, yvocales; miepersonas deestableciendolenguaje de llenguaje pos

informacin pser escritas p

Lenguaje Natural

Imagen

Lenguaje Artificial

8 Galindo Patio N. J. (1999). Lgica1999

AS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

TICA

te establecer comunicacin y mediantetilizando los procesos de simplificacin

se puede hablar de lenguaje natural o aorganizacin espontnea de las capacise encuentra dotado de gran cantidadtras que el lenguaje artificial se geiden usar signos especiales, para obtreglas que faciliten la operatividad entrematemticas, de la fsica, qumica y dee gran cantidad de signos y nace de

or lo que se le conoce como formas der medio de conos, con lenguajes anal

o. 1 . Scrates. Detalle de La escuela de Atenas -fresco de Raffaello Sanzio (1511)

atemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia

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l acumula y transmite susgeneralizacin.

tificial . El lenguaje naturalidades lingsticas de unade signos, sobresalido lasera cuando una o ms

ener mejor comunicacin,los signos; por ejemplo, elotras ciencia. Este tipo dela exigencia de conservar

omunicacin, que puedenicos y digitales. 8

UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.


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2h =

Figura No.

Imagen No.Detalle.Lade Raffaello

2 2b+

2h2a

2b

magen No. 3Euclides. Padre de la GeoDetalle.La escuela de At

de Raffaello Sanzio (1511

1 Teorema de Pitgoras.

A

B

G

Lgica Matemtica

2. Pitgoras (582 a.c)..scuela de Atenas - frescoSanzio (1511)

metra.nas - fresco

)

C


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1.5 Componentes del proceso semitico

Iniciamos esta seccin asignndole el trmino semitica a la ciencia que estudialos sistemas de signos, se encarga de estudiar las condiciones decomunicabilidad y comprensibilidad de un mensaje, ensea en qu consisten lossignos y cules son las leyes que los gobiernan.

En el proceso semitico deben tenerse en cuenta tres vertientes: el emisor, el

receptor y el contexto del mensaje.

El emisores quien inicia la comunicacin enviando un mensaje al receptor; estaoperacin implica un contexto (aquello de lo que se habla), signos y por lo tantoun cdigo.

La funcin del signo consiste en comunicar ideas por medio de mensajes, estossignos pueden ser naturales: el humo significa fuego, nubes indicio de lluvia; oartificiales (smbolos): bandera, escudo; o analgicos (icnicos): fotografas,esquemas, etc.

El signo es el vehculo de toda comunicacin y pensamiento. Sus caractersticasestn determinadas por el lugar que el signo ocupa en el sistema y por susrelaciones con los dems signos de dicho sistema.

La funcin esencial de los cdigos es evitar toda confusin entre el signo y elmensaje.

Si los signos se encuentran en una relacin lgica de exclusin, de inclusin ode interseccin, se pueden presentar tres tipos de cdigos:

Exclusin:

B

C

A


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34

Inclusin

Interseccin

El emisor debe codificar el mensaje de tal forma que cuando el receptor reciba elmensaje y lo decodifique pueda reconstruir su sentido a partir de los signos y de

las relaciones existentes entre ellos.

9

9Galindo Patio N. J. (1999). Lgica Matemtica. Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD. Santa Fe de Bogot. D.C.

1999

BC

A

B

C

A


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1.6 Ramas de la semiticaActualmente se reconocen tres reas en el campo de la semitica as: sintaxis,semntica y pragmtica.

El primero establece con claridad y divulgar esta clasificacin fue Morris en1938, quien defini la pragmtica como el estudio de la relacin de los signoscon los intrpretes, la semntica como el de las relaciones de los signos conlos objetos a los que se aplican y la sintaxis como el de las relaciones formales

entre los mismos signos. Galindo (1999)

Ejercicio Propuesto 1:A continuacin te invitamos a plantear la pertinencia del curso delgica matemtica para tu programa de estudio:

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________


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La lgica se clasifica en:

1. Tradicional o no formal: son los procesos psicobiolgicos del pensamiento lgico ymtodos de inferencia, que permiten interpretar y distinguir el razonamiento correctodel incorrecto, mediante la experiencia humana, ya sea por el conocimiento o por laobservacin de su entorno.

2. Formal o simblica: Es la encargada de investigar, desarrollar y establecer reglas deinferencia, que conducen a formas puras y rigurosas de pensamiento. La lgica

simblica, manipula las palabras como signos, sin tener en cuenta su sentido.La lgica pretende que sus razonamientos se caractericen por:

1. Precisin: mediante el uso de signos

2. Claridad: en la medida que el usuario se familiariza con los elementos bsicos de unargumento lgico en su forma (representacin simblica) y su significado.

3. Generalidad: mediante el lenguaje simblico artificial, el usuario, por una partesimplifica argumentos lgicos complicados y por otra parte, establece reglas que le

permiten generalizar conceptos e incrementar la fiabilidad con que se aplica elconocimiento.

Lenguaje: Sistema de signos que expresan ideas y se utilizan para establecercomunicacin.

Lenguaje natural: Nace de las capacidades lingsticas de una comunidad.

Lenguaje artificial: Es aquel que utiliza signos para obtener una comunicacin msprecisa y clara.


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Amigo estudiante, recuerda que la motivacin es una de las tres condiciones para lograr unaprendizaje significativo:

1. Cmo se puede definir la lgica?

2. Elabore un resumen sinttico de la historia de la lgica?

3. Mediante un cuadro sinptico, clasifique la lgica con sus caractersticas fundamentales

4. Cul es el propsito de la lgica?

5. Escriba y explique las componentes del proceso semitico.

6. Enuncie las ramas de la semitica.


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LLLeeecccccciiinnn NNNooo...222 PPPrrrooopppooosssiiiccciiiooonnneeesss

1.7 Proposiciones

La proposicin lgica constituye el elemento fundamental de la lgica.

Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que debe cumplir con la condicin de sersusceptible de poder ser verdadero o falso.

Por ejemplo:

La temperatura ambiente es mayor de 20 grados es un enunciado que puede ser

Verdadero o Falso.

La proposicin puede ser verdadera o falsa en un momento dado, decimos entonces que, elvalor de verdad de una proposicin lgica es, por definicin, verdadero o falso, y esrepresentado por las letras V o F.

El valor de verdad de la proposicin de acuerdo a la relacin de su contenido con la realidadno es el objeto de estudio de la lgica. Es por esta razn que se afirme que la lgica habla delo posible, pero no de lo real. De esta manera, dada la proposicin hace fro, independientede las creencias de cualquiera o de la realidad de que est o no haciendo fro, independientedel lenguaje o de la forma lingstica usada como la temperatura est baja, la lgica slo seocupa de la posibilidad de ser verdadero o falso de la proposicin.

De all que se suela afirmar que la verdad lgica es una verdad formal, que no tienecontenido.

Observemos que las proposiciones se dan mediante un enunciado lingstico, generalmenteen la forma gramatical de oracin enunciativa:

Recordemos que la oracin enunciativa se corresponde con los actos de habla declarativos,los cuales comunican sin ms, un hecho: Juan es Colombiano. Estas expresiones contienenun sujeto perfectamente definido o dado por el contexto, un predicado y una conjugacin delverbo ser, observemos algunos ejemplos:


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Ejemplos: Hoy es sbado

Soy estudiante de psicologa New York es llamada la capital del mundo

De esta manera, podemos afirmar que la lgica se ocupa de las proposiciones. Ms adelante,estudiaremos reglas que permiten la transformacin de unas expresiones en otrasequivalentes, y veremos como, de acuerdo a estas reglas o leyes lgicas, a partir del valor deverdad de una o varias proposiciones logramos inferir la verdad o falsedad de otrasproposiciones.

1.7.1 Representacin de las proposiciones

La lgica utiliza un lenguaje exacto que no da lugar a imprecisiones, para tal fin toma comoelemento bsico de anlisis a la proposicin, que no es otra cosa que una oracin dellenguaje cotidiano con un significado mucho ms limitado; en tales condiciones, se puedeconsiderar una proposicin como una excepcin lingstica que tiene la propiedad de serverdadera o falsa. Galindo (1999)

Las proposiciones se representan simblicamente mediante el uso de letras minsculas delalfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variablesproposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional se hace ms simple y exacto que ellenguaje natural. As, tambin se logra simplificar la escritura de argumentos lgicoscomplicados, creando un lenguaje simblico artificial, en donde se establece un conjunto dereglas claras, bien definidas y que no presentan las ambigedades ni vaguedades dellenguaje corriente o natural:

Los siguientes ejemplos ilustran cmo se pueden simbolizar las proposiciones:

Ejemplos:p : Hoy es sbadoq : Estudio filosofar : Colombia es el pas con el mayor nmero de especies de aves delmundox : 4 + 3 = 10


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En el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes:Ejemplos:

Las rosas son rojas y tienen espinas. La seleccin Colombia gan operdi? En el pas no hay violencia. Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar la validez de

un razonamiento lgico.

4 es un nmero par si y slo sise puede dividir por 2.Para la formacin de las oraciones del ejemplo anterior se utilizaron las expresiones

especiales: y, o, no, si entonces, s y slo si, que sirvieron para unir o enlazar losenunciados; denominamos a stas partculas o trminos de enlace "nexos o conectivas", queestablecen relaciones sintcticas como funcin de coordinacin y subordinacin determinadasentre las proposiciones que la integran; tal ocurre en la funcin de las conjunciones en lasoraciones compuestas de la lengua.

Al igual que a las proposiciones, tambin les asignamos un lenguaje simblico as:

Tabla No. 1 Lenguaje Natural y Artificial

Lenguaje Natural Lenguaje Artificial

y o no

Si . entonces Si y slo si


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Partiendo del ejemplo anterior, podemos hallar la notacin simblica de las expresionesplanteadas:

Ejemplos:

Las rosas son rojas y tienen espinas.

p : Las rosas son rojasq : Las rosas tienen espinas

p q La seleccin Colombia gan operdi?

r: La seleccin Colombia gan?s: La seleccin Colombia perdi?

r s En el pas

nohay violencia.

t : En el pas hay violencia.

t Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar la validez de

un razonamiento lgico

x : Estudio lgica matemtica

y : Ser un destacado ingeniero de sistemas

x y 4 es un nmero par si y slo sise puede dividir por 2.

u : 4 es un nmero parv : 4 es divisible por 2

u v


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1.7.2 Clasificacin de las proposiciones

En lgica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atmicas o simples ymoleculares o compuestas, veamos:

1.7.2.1 Proposiciones simples

Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lgicos.Estos son algunos ejemplos:

p : El eclipse es un fenmeno naturalq : La luna es un satlite de la tierrar : La UNAD es una universidad abiertas: -3 es el inverso aditivo de 3.

El valor de verdad de una proposicin simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no losdos valores al mismo tiempo, pues dejara de ser proposicin. Recordemos que unaproposicin debe tener sentido completo, es decir debe ser posible asignarle un valor deverdad (es falsa o verdadera).

Ejemplos: 1 + 4 = 53 es nmero par

Medelln es la capital de Antioquia

1.7.3 Proposiciones Compuestas

Si se unen dos o ms proposiciones simples, mediante trminos de enlace, tales como no, y,o, sientonces, se forman las proposiciones compuestas; el valor de verdad de dichasproposiciones es verdadero o falso, dependiendo slo de los valores de verdad de lasproposiciones simples que las conforman.


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Ejemplos: La igualdad de oportunidades conduce a la paz

Si un tringulo es issceles, entonceses equilteroQuieres gaseosa o helado

Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o msproposiciones simples mediante trminos de enlace.

Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas:

Sean: p : Est lloviendoq: El sol brilla

p qEst lloviendo yel sol brilla

Sean: x : Quieres caf?y : Quieres t?

x y quieres caf o t?

Sean: s : Lluever : Hace fro

r s Si llueve entonces hace fro Sean: p : Untringulo es equiltero

q: Un tringulo tiene sus tres lados iguales

p q

Un tringulo es equiltero si y slo si tienesus tres lados iguales.


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La veracidad o falsedad de una proposicin compuesta, depende del valor de verdad de cadauna de las proposiciones simples que la conforman y de la manera como estn combinadas;para tal fin, en las prximas secciones estudiaremos ms detenidamente la forma de enlazaro unir proposiciones simples de tal manera que se puedan fijar criterios para establecercundo una proposicin compuesta es verdadera o falsa.

Veamos algunos ejemplos de oraciones que no son proposiciones porque no se les puedeasignar un valor de verdad (falso o verdadero).

Ejemplos: 1. El tringulo es menor que el crculoEsta oracin no es proposicin, puesto que noespecifica el criterio de comparacin, es decir, elrea, permetro, , entre las figuras geomtricas.

2. x + 5 = 8

Aqu, x es una variable independiente, por lo tanto puede tomarcualquier valor y por consiguiente no se puede afirmar nada.

Ejercicio Propuesto 2:Plantea cinco expresiones asociadas a tu programa de estudio queno sean proposicones y cinco expresiones que si lo sean:

Son proposiciones No son proposiciones


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1.8 Conectivos Lgicos

Como ya se dijo en la seccin anterior, los smbolos que sirven para enlazar dos o msproposiciones simples, se llaman conectivos lgicos. Los conectivos lgicos son: laconjuncin, la disyuncin, la negacin, el condicional y el bicondicional.

1.8.1 Conjuncin: Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin compuesta p y q simbolizada por p q, se denomina la conjuncin de p y q.

Ejemplo 1: r s : 6 es nmero par y entero positivo, en donde:

r : 6 es un nmero par.

: ys : entero positivo.

Ejemplo 2: p q : Diego estudia psicoanlisis y Ana estudia conductismo.

p : Diego estudia psicoanlisis yq : Ana estudia conductismo

Para determinar el valor de verdad de proposicin compuesta formada por dos proposicionessimples unidas por una conjuncin utilizaremos la representacin grfica mediante el uso delos diagramas de VENN. Los diagramas de VENN, a travs de reas sombreadas muestranclaramente el conjunto de verdad de la operacin que se est realizando, veamos:

La siguiente figura representa el conjunto de verdad de la conjuncin, donde:

U = {todas las personas}P = {personas que juegan futbol}

LLLeeecccccciiinnn NNNooo...333 CCCooonnneeeccctttiiivvvooosss lllgggiiicccooosss fffuuunnndddaaammmeeennntttaaallleeesss


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Q = {personas que son Colombianas}

P(x) = x es un jugador de ftbolQ(x) = x es un Colombiano

( ) ( )p x q x x es un jugador de futbol y x es un Colombiano

( ) ( ){ } { }/ todas las personas que juegan futbol y son ColombianasP Q x p x q x = =Como se dijo en la seccin anterior, el valor de verdad de una proposicin compuesta no slodepende del conectivo lgico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposicionessimples. Por lo tanto, surgen las siguientes posibilidades:

Caso 1: Que p sea verdadera y q sea verdaderaCaso 2: Que p sea verdadera y q sea falsaCaso 3: Que p sea falsa y q sea verdaderaCaso 4: Que p sea falsa y q sea falsa

Estudiemos estos cuatro casos en el ejercicio propuesto:

Caso 1: r: Santiago es jugado de futbols: Santiago es Colombianor s : Verdadera (V)

Caso 2: r: Santiago es jugado de futbols: Santiago no es Colombianor s : Falsa (F)

Caso 3: r: Santiago no es jugado de futbols: Santiago es Colombianor s : Falsa (F)

Caso 4: r : Falsa. Santiago no es jugado de futbols: Falsa. Santiago no es Colombiano

QU

P

Figura No. 2 Conjuncin


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r s : Falsa (F).A continuacin se analizan estas posibilidades para el ejemplo 1:

Caso 1: r: Verdadera 6 es un nmero pars: Verdadera 6 es un entero positivor s : Verdadera (V)

Caso 2: r: Verdadera 6 es un nmero pars: Falsa 6 no es un entero positivor s : Falsa (F)

Caso 3: r: Falsa 6 no es un nmero pars: Verdadera 6 es un entero positivor s : Falsa (F)

Caso 4: r : Falsa 6 no es un nmero pars: Falsa 6 no es un entero positivor s : Falsa (F)

Podemos resumir estos resultados utilizando la siguiente tabla, llamada tabla de verdad de laconjuncin:

De tal manea que podemos concluir que la conjuncin es verdadera nicamente cuando lasdos proposiciones simples son verdadera, en cualquier otro caso la conjuncin es falsa.

p q p q V V VV F FF V F

F F F

Tabla No. 2 Tabla de verdad de la conjuncin


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Ejercicio Propuesto 3:Plantea el anlisis de todos los casos y valores de verdad para elejemplo 2:

Ejerciciopropuesto

Termino de escribir mi programa de computacin y luego jugartenis

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

CASO 4:


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1.8.2 La disyuncin v

Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin p o q, simbolizada p v q se llamadisyuncin de p y q.

Ejemplo 1: Uso del o incluyente

r v s: Juan estudia ingeniera o Paola estudia medicina

r: Juan estudia ingenierav : os: Paola estudia medicina

Ejemplo 2: Uso del o excluyente

x v y : Quieres helado o gaseosa.

x : Quieres helado.v : oy: Quieres gaseosa.

Ejemplo 3: Uso del o excluyente

p v q: Alexandra vive en Bogot o en Barranquilla.

p : Alexandra vive en Bogot.v : o

q : Alexandra vive en Barranquilla.

Los ejemplos anteriores muestran los usos del operador o. En el ejemplo 2 tenemos elllamado o incluyente el cual hace que el valor de verdad de una de las dos proposicionessimples repercuta en el valor verdadero de la proposicin disyuntiva; mientras que elconectivo lgico o de los ejemplos 2 y 3 acta como un o excluyente, donde el valor deverdad de una proposicin excluye la veracidad de la otra proposicin, esto hace que laproposicin disyuntiva siempre tome el valor verdadero.


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Para establecer el valor de verdad de una proposicin disyuntiva, consideremos las siguientesfunciones proposicionales:

U = {personas que son Colombianas}P(x) = x es una persona que vive en BogotQ(x) = x es una persona que vive en Barranquilla

( ) ( )p x q x x es un Colombiano que vive en Bogot o x es un Colombianoque vive en Barranquilla

( ) ( ){ } { }/ todos los Colombianos que viven en Bogot o en BarranquillaP Q x p x q x = =Por consiguiente el conjunto de verdad de la disyuncin es exactamente la unin de losconjunto de verdad de sus componentes; su representacin grfica es la parte sombreada dela siguiente figura:

Como se analiz en la conjuncin, el valor de verdad de la proposicin compuesta no slodepende del conectivo lgico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposicionessimples. Por lo tanto, surgen las mismas cuatro posibilidades:

Caso 1: Que p sea verdadera y q sea verdadera

Caso 2: Que p sea verdadera y q sea falsaCaso 3: Que p sea falsa y q sea verdaderaCaso 4: Que p sea falsa y q sea falsa

A continuacin se analizan estas posibilidades para las siguientes dos proposiciones:

Sean : r: 2 es un nmero pars: 5 es un nmero impar

QU

P

Figura No. 3 Disyuncin


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Caso 1: r: Verdadera 2 es pars: Verdadera 5 es imparr s : Verdadera (V) 2 es par o 5 es impar

Caso 2: r: Verdadera 2 es pars: Falsa 5 es no es imparr s : Verdadera (V) 2 es par o 5 no es impar

Caso 3: r: Falsa 2 no es pars: Verdadera 5 es imparr s : Verdadera (V) 2 no es par o 5 es impar

Caso 4: r : Falsa 2 no es pars: Falsa 2 no es imparr s : Falsa (F) 2 no es par o 5 no es impar

De lo planteado en los casos anteriores podemos concluir que la tabla de verdad de ladisyuncin es:

Tabla No. 3 Tabla de vedad de la disyuncin

Es decir, la disyuncin es falsa solamente cuando las dos proposiciones simples son falsas.En los otros casos es verdadera.

p q p q V V VV F VF V VF F F


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Ejercicio Propuesto 4:Plantea ejemplos de premisas r y s asociados con tu programa deestudio, tal que te permitan verificar el valor de verdad de la proposicin compuesta r s .Usa como referencia los cuatro casos anteriores.

Premisaselegidas

r =

s=

CASO 1:

CASO 2:

CASO 3:

CASO 4:

Mi conclusin:


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1.8.3 La negacin ~Sea p una proposicin simple. Se define la negacin de p mediante la proposicin compuestano p simbolizada por: ~ p o por p

Ejemplo 1: p : 3 es un nmero entero primo.p : 3 no es un nmero entero primo, tambin se puede leer.

es falso que 3 es un nmero entero primo.

Ejemplo 2: q : El automvil de Francisco es rojo.~ q: El automvil de Francisco no es rojo ,o, es falso que el automvil de

Francisco es rojo.

Claramente se puede establecer que si una proposicin es verdadera su negacin es falsa yrecprocamente, si una proposicin es falsa su negacin es verdadera, por lo tanto la tabla deverdad de la negacin es:

Tabla No. 4 Tabla de vedad de la negacin

La representacin en diagramas de Venn de la negacin es como sigue:

U = {personas que son Colombianas}, ( )p x = x es una persona que no vive en Bogot

( )p x = x es una persona que no vive en Bogot

El rea sombreada corresponde ala negacin de P

p ~pV FF V

U

P~P

Figura No. 4 Negacin


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Ejercicio Propuesto 5:Plantea cinco ejemplos de premisas asociados con tu programa deestudio, y su correspondiente negacin. Consideras que es necesario emplear siempre lapalabra NO para negar una proposicin?

Premisa Negacin de la premisa


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1.8.4 El condicional Se dice que una proposicin compuesta es condicional, si esta formada por dos proposicionessimples enlazadas por la expresin sientonces.

Si p y q representan dos proposiciones, la expresin si p entonces q se simboliza as:p q y se lee p implica q.

La proposicin precedida por la expresin si, se llama antecedente o hiptesis y laproposicin precedida por la expresin entonces, se llama consecuente o conclusin de laimplicacin. En la expresin p q , el antecedente es p y el consecuente es q.

Las proposiciones condicionales se pueden enunciar en nuestro lenguaje natural de diferentesmaneras, algunas son:

Si p entonces q p slo si q q si p p es suficiente para q q es necesaria para p

Los siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados:

Si un entero es mltiplo de 4 entonces es divisible por 2Apruebo el semestre slo si estudioEl algoritmo esta bien enunciado si el programa correSi dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelasSi es conductista entonces reduce toda conducta humana a la relacin

estmulo-respuesta

LLLeeecccccciiinnn NNNooo...444 CCCooonnneeeccctttiiivvvooosss lllgggiiicccooosss CCCooonnndddiiiccciiiooonnnaaalll yyy BBBiiicccooonnndddiiiccciiiooonnnaaalll


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Ejercicio Propuesto 6: Elije una proposicin condicional asociada con tu programa deestudio y plantea la misma expresin de diferentes formas sin cambiar su sentido.

Proposicinescondicionales

elegidas

Manera 1

Manera 2

Manera 3

Manera 4

Manera 5


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Cmo determinar el valor de verdad de la proposicin condicional?

Supongamos verdadera la siguiente proposicin:

Si es un da soleado entonces hace calor

Sea p: es un da soleadoq: hace calor

Como lo analizamos en los casos anteriores, surgen cuatro posibilidades:

Caso 1: Es un da soleado y hace calor. En este caso el antecedente y elconsecuente se cumplen. Por lo tanto la proposicin compuesta p qes verdadera.

Caso 2: Es un da soleado pero no hace calor. En este caso el antecedente secumple pero no se cumple el consecuente. Por lo tanto la proposicincompuesta p q es falsa.

Caso 3: No es un da soleado pero a pesar de esto hace calor. En este casoencontramos que aunque el antecedente se cumple el consecuente no.No obstante esto no hace falsa la proposicin compuesta original Si es

un da soleado entonces hace calor. Por lo tanto la proposicincompuesta p q es verdadera.

Caso 4: Es no es un da soleado y no hace calor. En este caso no se da elantecedente y no se cumple el consecuente. Por lo tanto la proposicincompuesta p q es verdadera.

De los casos planteados concluimos que la tabla de verdad para la implicacin toma lossiguientes valores:

Tabla No. 5 Tabla de vedad para el condicional

p q p q V V VV F FF V VF F V


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1.8.5 El bicondicional

Se denomina bicondicional a la proposicin formada por dos proposiciones simplesconectadas por la expresin s y slo s.

Simblicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicacin p q constituyeun bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro.

El bicondicional est formado por las implicaciones p q y q p , las cuales deben tenerel mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se diceque la proposicin p es equivalente a la proposicin q y se acostumbra a escribirp q .

La proposicin bicondicional tiene varias formas de traduccin ms no de significacin,veamos:

p s y slo si q

q s y slo si p

si p entonces q y recprocamente si q entonces q y recprocamente

p es una condicin necesaria y suficiente para q

q es una condicin necesaria y suficiente para p

Ejercicio Propuesto 7: Construye una proposicin bicondicional con dos premisasasociadas a tu programa de estudio, luego rescribe la proposicin bicondicional sin cambiarsu sentido. Cuntas maneras diferentes de expresar la misma idea en leguaje natural

encuentras?

Premisa 1: _______________________________________________________________Premisa 2: _______________________________________________________________Proposicin bicondicional: ___________________________________________________

________________________________________________________________________

La misma proposicin bicondicional expresada de otra manera:___________________________________________________________________________


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A continuacin un ejemplo con premisas asociadas a la geometra:

Ejemplo 1: Dadas las proposiciones atmicas:

p: Un tringulo es rectnguloq: Un tringulo tiene un ngulo recto

El bicondicional p q se puede traducir de las siguientes formas:

Un tringulo es rectngulo s y slo s tiene un ngulo recto.

Un tringulo tiene un ngulo recto s y slo s es un tringulo rectngulo

Si un tringulo es rectngulo entonces tiene un ngulo recto y si un tringulo tiene unngulo recto entonces es un tringulo rectngulo.

Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo sea rectngulo es que tengaun ngulo recto.

Una condicin necesaria y suficiente para que un tringulo tenga un ngulo recto esque sea un tringulo rectngulo.

Un tringulo rectngulo es equivalente a un tringulo con un ngulo recto.

Cmo determinar el valor de verdad de la proposicin

bicondicional?

Supongamos verdadera la siguiente proposicin:

Si y slo si es un da soleado entonces hace calor

Sea p: es un da soleadoq: hace calor

Como lo analizamos en los ejemplos anteriores, surgen cuatro posibilidades:

Caso 1: Es un da soleado y hace calor. En este caso ambas proposiciones secumplen. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera.

Caso 2: Es un da soleado pero no hace calor. En este caso se cumple slo unade las dos proposiciones simples, lo que de acuerdo con la expresin Si


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y slo si es un da soleado entonces hace calorno debera darse. Por lotanto tal proposicin compuesta ( p q ) es falsa.

Caso 3: No es un da soleado pero hace calor. En este caso se cumple slo unade las dos proposiciones simples, lo que de acuerdo con la expresin Siy slo si es un da soleado entonces hace calorno debera darse. Por lotanto tal proposicin compuesta (p q ) es falsa.

Caso 4: No es un da soleado y no hace calor. En este caso se cumple slo unade las dos proposiciones simples, lo que no se contradice con laexpresin Si y slo si es un da soleado entonces hace calor . Por lo

tanto la proposicin compuesta (p q ) es verdadera.

De los casos planteados concluimos que la tabla de verdad para la dobleimplicacin toma lossiguientes valores:

Tabla No. 6 Tabla de vedad para el condicional

As podemos concluir que el bicondicional es verdadero solamente cuando ambasproposiciones tienen el mismo valor de verdad.

p q p q V V VV F FF V FF F V


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