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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROInstituto de FísicaPrograma de Pós-Graduação em Ensino de FísicaMestrado Profissional em Ensino de Física

Uma Mecânica discretapara o ensino

(Guia de orientação para o professor)

Servio Tulio Lunguinho de Sousa

Material instrucional associado à dissertação de mes-trado de Servio Tulio Lunguinho de Sousa, apresen-tada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino deFísica da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Orientadores:Filadelfo Cardoso SantosVitorvani Soares

Rio de JaneiroOutubro de 2013

Ficha catalográfica

S719m Sousa, Servio Tulio Lunguinho deUma Mecânica discreta para o ensino (Guia de orienta-

ção para o professor) / Servio Tulio Lunguinho de Sousa. –Rio de Janeiro: UFRJ/IF, 2013.

vii, 79 f. : il. ; 30 cm.Orientadores: Filadelfo Cardoso Santos; Vitorvani Soa-

res.Dissertação (mestrado) – UFRJ / Instituto de Física /

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física, 2013.Referências Bibliográficas: f. 79.1. Ensino de Física. 2. Cinemática. 3. Mecânica Discreta.

I. Santos, Filadelfo Cardoso. II. Soares, Vitorvani. III. Uni-versidade Federal do Rio de Janeiro, Instituto de Física, Pro-grama de Pós-Graduação em Ensino de Física. IV. Uma Me-cânica discreta para o ensino (Guia de orientação para o pro-fessor).

Dedico este trabalho à Marcia.

Agradecimentos

Agradeço à minha esposa Marcia, aos meus filhos Ana Luiza e Isaac Tulio pela paciên-cia e compreensão quando estive ausente por estar dedicando tempo na elaboração destetrabalho. Agradeço aos meus orientadores professor Filadelfo Cardoso Santos e profes-sor Vitorvani Soares pela ajuda e dedicação. Agradeço aos meus amigos que sempreacreditaram em mim.

Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Programação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Movimento retilíneo uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Movimento de queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Queda com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Equações discretas sem o critério de conservação . . . . . . . . . . . 102.3.2 Equações discretas com critério de conservação . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.1 Equações discretas sem critério de conservação . . . . . . . . . . . . 222.4.2 Equações discretas com critério de conservação . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Movimento com atrito proporcional ao quadrado da velocidade . . . . . . . 312.6 Movimento de projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.6.1 Movimento de projéteis com atrito desprezível . . . . . . . . . . . . 372.6.2 Movimento de projéteis com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7 Exercício com oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8 Oscilador com atrito cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.9 Oscilador amortecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.10 Oscilador em duas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Lista de ilustrações

Figura 1 Janela do Excel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Figura 2 Planilha Excel para um movimento retilíneo uniforme. . . . . . . . . . 5Figura 3 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso I. . . . . . . . 7Figura 4 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso II. . . . . . . . 9Figura 5 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso I. 𝛼 = 0 . . . 12Figura 6 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso I. 𝛼 = 0, 2 . . 13Figura 7 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso I. 𝛼 = 0, 6 . . 14Figura 8 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso I. 𝛼 = 1, 25 . 15Figura 9 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso II. 𝛼 = 0 . . 17Figura 10 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso II. 𝛼 = 0, 2 . 19Figura 11 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso II. 𝛼 = 0, 6 . 20Figura 12 Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Caso II. 𝛼 = 1, 25 . 21Figura 13 Solução do movimento de OHS. Caso I. tauI = 0,02. . . . . . . . . . 24Figura 14 Solução do movimento de OHS. Caso I. tauI = 0,01. . . . . . . . . . 25Figura 15 Solução do movimento de OHS. Caso I. tauI = 0,006. . . . . . . . . . 26Figura 16 Solução do movimento de OHS. Caso I. tauI = 0,001. . . . . . . . . . 27Figura 17 Solução do movimento de OHS. Caso II. tauI = 0,01. . . . . . . . . . 30Figura 18 Planilha Excel para o movimento de Queda livre de uma massa. . . . 32Figura 19 Planilha Excel para o movimento de queda. Força resistiva proporci-

onal ao quadrado da velocidade do corpo. alfa: alfa1 = 0,025. . . . . 34Figura 20 Planilha Excel para o movimento de queda. Força resistiva proporci-

onal ao quadrado da velocidade do corpo. alfa: alfa1 = 0,075. . . . . 35Figura 21 Planilha Excel para o movimento de queda. Força resistiva proporci-

onal ao quadrado da velocidade do corpo. alfa: alfa1 = 0,125. . . . . 36Figura 22 Comportamentos das componentes horizontais da velocidade e posição

do projétil. Neste caso consideramos desprezível a ação do ar. . . . . . 39Figura 23 Comportamentos das componentes verticais da velocidade e posição

do projétil. Neste caso consideramos desprezível a ação do ar. . . . . . 41Figura 24 Trajetória do projétil com a ação do ar desprezível. . . . . . . . . . . 43Figura 25 Componentes horizontais da velocidade e posição de um projétil em

movimento com atrito: alfa1 = 0,1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 26 Componentes vertical da velocidade e posição de um projétil em mo-

vimento com atrito: alfa1 = 0,1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 27 Trajetória de um projétil em movimento com atrito: alfa1 = 0,1. . . 50Figura 28 Componentes horizontais da velocidade e posição de um projétil em

movimento com atrito: alfa2 = 0,2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Figura 29 Componentes verticais da velocidade e posição de um projétil em mo-vimento com atrito: alfa2 = 0,2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 30 Trajetória de um projétil em movimento com atrito: alfa2 = 0,2. . . . 53Figura 31 Componentes horizontais da velocidade e posição de um projétil em

movimento com atrito: alfa3 = 0,3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 32 Componentes verticais da velocidade e posição de um projétil em mo-

vimento com atrito: alfa3 = 0,3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 33 Trajetória de um projétil em movimento com atrito: alfa3 = 0,3. . . 56Figura 34 Velocidade e posição em função do tempo de um oscilador harmônico

simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 35 Velocidade e posição em função do tempo de um oscilador harmônico

submetido a força de atrito cinético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 36 Velocidade e posição em função do tempo de um oscilador harmônico

amortecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Figura 37 Componentes horizontais da velocidade e da posição em função do

tempo do problema do oscilador em duas dimensões. . . . . . . . . . . 67Figura 38 Componentes verticais da velocidade e da posição em função do tempo

do problema do oscilador em duas dimensões. . . . . . . . . . . . . . . 69Figura 39 Oscilador em duas dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1

1 Introdução

Este texto é um Guia destinado aos professores de Física que lecionem no EnsinoMédio. Ele é o produto da minha dissertação de Mestrado, intitulada “Uma Mecânicadiscreta para o ensino”(SOUSA, 2013). Na dissertação foi discutido o método da discre-tização aplicado à resolução de problemas de Mecânica.

A aplicação do método da discretização consiste em uma maneira alternativa parao estudo de problemas de Mecânica no contexto principalmente do Ensino Médio. Elapermite a obtenção de equações discretas como solução de problemas de movimento, apartir da aplicação da segunda lei de Newton discretizada.

Neste Guia procuramos desenvolver um manual para o uso do programa Excel, com oqual os alunos e os professores poderão construir tabelas e gráficos para estudar problemasde Mecânica. Esta construção se dá pela digitação, no Excel, das equações obtidas pelaaplicação da segunda lei de Newton.

No texto são apresentadas as equações discretas resultantes da aplicação da segundalei de Newton discretizada, e os procedimentos para escrevê-las no Excel. Em seguidaestarão as figuras com a face da folha, ou planilha, que resultam do uso deste programa. Asplanilhas apresentadas neste Guia se encontram disponíveis em um CD que o acompanha.

O leitor deve estar atento para o fato de que neste texto não procuramos discutir teoriase conceitos da Física. Também não pretendemos discutir o método da discretização,bem como suas vantagens e eficácia. A discussão dos conceitos envolvidos no métododa discretização é realizada na dissertação mencionada no primeiro parágrafo. Para ummelhor aproveitamento deste material aconselhamos que os professores leiam a dissertação.

2

2 Programação

Neste capítulo apresentamos as equações discretas e os procedimentos para escrevê-lasem uma planilha eletrônica (Excel) envolvendo dez atividades: 1. Movimento retilíneouniforme; 2. Movimento retilíneo uniformemente variado; 3. Movimento com força resi-tiva proporcional à velocidade; 4. Oscilador harmônico; 5. Movimento com força resitivaproporcional ao quadrado da velocidade; 6. Movimento de projéteis; 7. Exercício com ooscilador; 8. Oscilador com atrito cinético; 9. Oscilador amortecido; e 10. Oscilador emduas dimensões.

2.1 Movimento retilíneo uniforme

Das equações𝑣𝑛+1 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)

𝜏(2.1)

temos como resultado, para o movimento retilíneo uniforme, as equações

𝑎𝑛+1 = (𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛)𝜏

, (2.2)

e𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 = 0. (2.3)

Assim a solução será𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑛 𝜏. (2.4)

Sempre que desejarmos usar o Excel, ou qualquer planilha eletrônica, devemos terem mente que o que vamos fazer é construir tabelas. O número de colunas e linhasque cada tabela terá depende de cada problema. Nesta parte da dissertação procuramosestabelecer um padrão que consiste em construir as tabelas com três colunas e com umnúmero de linhas que dependerá de cada problema. Na primeira coluna estão os valoresdos instantes de tempo. Na segunda os valores das velocidades e na terceira os valoresdas posições. Quando tratamos de problemas bidimensionais surgem tabelas em que assegunda e terceira colunas serão reservadas para os valores das componentes do vetorposição.

Ainda sobre o padrão que estabelecemos, escolhemos a coluna B para os instantes detempo, a coluna C para as velocidades e a coluna D para as posições. Assim, na célulaB2 escrevemos a letra t, na célula C2 escrevemos v(t) e na célula D2 escrevemos x(t).Nestas células constam os títulos de cada coluna. Usamos as colunas que vão de F à K,nas linhas 2, 3 e 4, para escrever os parâmetros envolvidos no estudo do problema. Estesparâmetros, uma vez definidos, podem ser alterados mudando os valores numéricos da

Capítulo 2. Programação 3

célula correspondente a eles e, automaticamente, os valores das tabelas e os gráficos tam-bém serão alterados. Escolhemos este padrão apenas por questões de estética das figurasque apresentamos. As regras e procedimentos com o Excel independem das escolhas quepodem ser feitas.

Nas células B3, C3 e D3 escrevemos os valores iniciais. Escolhemos o instante inicialigual à zero em todos os problemas. Portanto, deve-se selecionar a célula B3 e:

1. Escrever =0;

2. Apertar a tecla “enter”.

Em seguida faça:

1. Selecione a célula F2 e escreva tau=;

2. Selecione a célula G2 e escreva 0,1;

3. Clique no comando Fórmulas e depois em Definir nomes;

4. Aparecerá uma janela como na figura 1.

Figura 1. – Janela do Excel onde se define um parâmetro. A palavra tau é onome do parâmetro que estará definido na planilha movretuniforme, e seu valorserá o escrito na célula G2.

5. Clique em OK e o parâmetro tau estará definido. Este procedimento deve ser associ-ado à expressão “defina o parâmetro” e deve ser repetido sempre que for necessáriodefinir um parâmetro;

6. Selecione B4 e escreva: =B3+tau;

7. Aperte a tecla “enter”;

8. Selecione novamente B4 e posicione o cursor no canto inferior direito da célula, ondeaparecesse um ponto e onde o cursor assumirá a forma de uma cruz;


9. Clique no botão direito do mouse e, com o botão pressionado, arraste o cursor aolongo da coluna até a linha 43. Este procedimento deverá ser associado à expressão“preencha a coluna” e repetido quando se desejar preencher uma coluna;

10. Assim como foi definido o parâmetro tau, defina o parâmetro 𝑣0 (velocidade inicial)com a representação v0 em F3 e seu valor em G3;

11. Em C3 escreva: =v0;

12. Selecione C3 e, assim como na coluna do tempo, preencha a coluna com o valor de𝑣0 até a linha 43;

13. Defina o parâmetro 𝑥0: a representação x0 em F4 e seu valor em G4;

14. Em D3 escreva: =x0;

15. Em D4 escreva: =D3+C3*tau;

16. Clique em “enter”, selecione D4 e preencha a coluna até a linha 43;

17. Defina o parâmetro 𝑚 (massa da partícula em movimento): a representação m emH2 e seu valor em I2;

18. Selecione as colunas do tempo e da velocidade e crie o gráfico velocidade v(t) vs.tempo: clique em Inserir e depois na primeira opção de plotagem do comandoDispersão;

19. Selecione as colunas do tempo e da posição e crie o gráfico posição x(t) vs. tempo.

Com os procedimentos acima e com os valores iniciais de 𝑣0 = 3.0 m/s e 𝑥0 = 0 mobtemos o resultado apresentado na figura 2.


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A B C D E F G H I J K L

t v(t) x(t) tau= 0,1 m= 1

0,0 3,0 0,0 v0= 3,0

0,1 3,0 0,3 x0= 0

0,2 3,0 0,6

0,3 3,0 0,9

0,4 3,0 1,2

0,5 3,0 1,5

0,6 3,0 1,8

0,7 3,0 2,1

0,8 3,0 2,4

0,9 3,0 2,7

1,0 3,0 3,0

1,1 3,0 3,3

1,2 3,0 3,6

1,3 3,0 3,9

1,4 3,0 4,2

1,5 3,0 4,5

1,6 3,0 4,8

1,7 3,0 5,1

1,8 3,0 5,4

1,9 3,0 5,7

2,0 3,0 6,0

2,1 3,0 6,3

2,2 3,0 6,6

2,3 3,0 6,9

2,4 3,0 7,2

2,5 3,0 7,5

2,6 3,0 7,8

2,7 3,0 8,1

2,8 3,0 8,4

2,9 3,0 8,7

3,0 3,0 9,0

3,1 3,0 9,3

3,2 3,0 9,6

3,3 3,0 9,9

3,4 3,0 10,2

3,5 3,0 10,5

3,6 3,0 10,8

3,7 3,0 11,1

3,8 3,0 11,4

3,9 3,0 11,7

4,0 3,0 12,0

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4

velocidade v(t) vs. tempo

0

2

4

6

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12

0 1 2 3 4

posição x(t) vs. tempo

Figura 2. – Planilha Excel para um movimento retilíneo uniforme.


2.2 Movimento de queda livre

Das equações𝑣𝑛+1 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)

𝜏(2.5)

e𝑎𝑛+1 = (𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛)

𝜏, (2.6)

temos como resultado, para o movimento de queda livre de um corpo, as equações

𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 = −𝑔 = constante. (2.7)

e𝑣𝑛 = 𝑣0 − 𝑔 𝑡𝑛. (2.8)

Assim, a solução será

𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡𝑛 −[︃

(1 + 𝑛)𝑛2

]︃𝑔 𝑡2 (2.9)

Não esqueça que 𝑡𝑛 = 𝑛𝜏 , que pode ser reescrita como 𝑛 = 𝑡𝑛/𝜏 . No Excel, faça:

1. Defina 𝜏 , 𝑣0, 𝑥0 e 𝑚, nas mesmas células em que foram definidas na Seção anterior;

2. Defina 𝑔: a representação g em H3 e seu valor em I3. Consideramos 𝑔 = −10 m/s2;

3. Construa a coluna dos instantes de tempo até a linha 34, com tau=0,1;


5. Em C4 escreva; =v0+g*tau. Clique em “enter”, selecione C4 e preencha a coluna atéa linha 34;

6. Em D4 escreva;

=x0+v0*B4+(1/2)*g*(B4^2)+(1/2)*g*B4*tau.

Clique em “enter”, selecione D4 e preencha a coluna até a linha 34;

7. Construa os gráficos: velocidade v(t) vs. tempo e posição x(t) vs. tempo.

A figura 3 mostra o resultado obtido, considerando-se v0 = 0 e x0 = 50 m.


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t v(t) x(t) tau= 0,1 m= 2

0,0 0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1 49,9 x0= 50

0,2 -2 49,7

0,3 -3 49,4

0,4 -4 49,0

0,5 -5 48,5

0,6 -6 47,9

0,7 -7 47,2

0,8 -8 46,4

0,9 -9 45,5

1,0 -10 44,5

1,1 -11 43,4

1,2 -12 42,2

1,3 -13 40,9

1,4 -14 39,5

1,5 -15 38,0

1,6 -16 36,4

1,7 -17 34,7

1,8 -18 32,9

1,9 -19 31,0

2,0 -20 29,0

2,1 -21 26,9

2,2 -22 24,7

2,3 -23 22,4

2,4 -24 20,0

2,5 -25 17,5

2,6 -26 14,9

2,7 -27 12,2

2,8 -28 9,4

2,9 -29 6,5

3,0 -30 3,5

3,1 -31 0,4

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4


-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 1 2 3 4


Figura 3. – Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Os valores foram obtidosconsiderando-se as soluções discretas que não estão de acordo com a conservação daenergia


Considerando outra discretização para a velocidade, como a equação

(𝑣𝑛+1 + 𝑣𝑛)2 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)

𝜏(2.10)

a solução será𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡𝑛 − 𝑔

2 𝑡2𝑛. (2.11)

No Excel, faça:

1. Repita todos os procedimentos acima, alterando apenas o que se recomenda escreverna célula D4. Agora, nesta célula deve-se escrever:

=x0+v0*B4+(1/2)*g*(B4^2).

Assim, o resultado será o apresentado na figura 4 para os mesmos valores iniciaisanteriores.


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43


t v(t) x(t) tau= 0,1 m= 1

0,0 0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1 50,0 x0= 50

0,2 -2 49,8

0,3 -3 49,6

0,4 -4 49,2

0,5 -5 48,8

0,6 -6 48,2

0,7 -7 47,6

0,8 -8 46,8

0,9 -9 46,0

1,0 -10 45,0

1,1 -11 44,0

1,2 -12 42,8

1,3 -13 41,6

1,4 -14 40,2

1,5 -15 38,8

1,6 -16 37,2

1,7 -17 35,6

1,8 -18 33,8

1,9 -19 32,0

2,0 -20 30,0

2,1 -21 28,0

2,2 -22 25,8

2,3 -23 23,6

2,4 -24 21,2

2,5 -25 18,8

2,6 -26 16,2

2,7 -27 13,6

2,8 -28 10,8

2,9 -29 7,9

3,0 -30 5,0

3,1 -31 1,9

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 1 2 3 4


0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4


Figura 4. – Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Os valores foram obtidosconsiderando-se as soluções discretas que estão de acordo com a conservação da energia.


2.3 Queda com atrito

Esta Seção está dividida em duas subseções. Nas duas subseções resolvemos o pro-blema de movimento da queda de um corpo que sofre a ação do ar. Porém, na primeirasubseção consideramos a solução discreta do problema que foi obtida considerando-se adiscretização da velocidade em que não se adota o critério da conservação da energia.Já na segunda subseção consideramos a solução discreta obtida com o estabelecimentodo critério de conservação da energia para a discretização da velocidade. Lembre-se queneste problema a discretização da aceleração pode ser a mesma nas duas situações.

2.3.1 Equações discretas sem o critério de conservação

Considerando as equações

𝑣𝑛+1 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)𝜏

(2.12)

e𝑎𝑛 = (𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛)

𝜏, (2.13)

e aplicando a segunda lei de Newton,(︁∑︁𝐹)︁

𝑛𝑚𝑎𝑛 = −𝑚𝑔 − 𝑏𝑣𝑛, (2.14)

temos como resultado, para o movimento de queda com atrito de um corpo, as equações

𝑣𝑛 = 𝑣0 + (𝑔𝜏 + 𝛼𝜏𝑣0))[︃

(1 − 𝛼𝜏)𝑛 − 1𝛼𝜏

]︃(2.15)

e𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑣0 · 𝑡𝑛 − 𝑔 + 𝛼𝑣0

𝛼2 {(1 − 𝛼𝜏) [(1 − 𝛼𝜏)𝑛 − 1] + 𝛼𝑡𝑛} , (2.16)

onde 𝛼 = 𝑏/𝑚. No Excel faça:

1. Defina: 𝜏 , 𝑣0, 𝑥0, 𝑚 e 𝑔 nas mesmas células em que foram definidas nas Seçõesanteriores;


3. Em C2 escreva: v(t);


5. Em C4 escreva: =v0+g*B4;

6. Clique em “enter”, selecione C4 e preencha a coluna até a linha 73;

7. Em D2 escreva: x(t);



9. Em D4 escreva; =x0+v0*B4+(((B4^2*g)/2)+((g*B4*tau)/2));


11. Construa os gráficos: velocidade v(t) vs. tempo e posição x(t) vs. tempo;

12. A figura 5 mostra o resultado obtido, para v0 = 0, x0 = 50 m e alfa = 0.

Dentro de uma planilha do Excel nós podemos construir várias folhas que farão partedo mesmo documento. Com este recurso resolvemos construir quatro folhas. Na primeirafolha estudamos o movimento de um corpo no qual consideramos a ação do ar desprezível.Nas três folhas seguintes consideramos valores diferentes do parâmetro alfa, que estáassociado à intensidade da resistência do ar.

No Excel, faça:

1. Repita os procedimentos acima, de 2 a 8, com exceção do item 5. Na célula C4escreva:=v0-((g*tau+alfa1*tau*v0)*((1-alfa1*tau)^(B4/tau)-1)/(alfa1*tau));


3. Defina alfa1: a representação alfa1 em H4 e seu valor em I4;

4. Em D4 escreva:=x0+v0*B4 + ((g+alfa1*v0)/(alfa1^2))*((1-alfa1*tau)*((1-alfa1*tau)^(B4/tau)-1)+alfa1*B4);


6. Construa os gráficos: velocidade v’(t) vs. tempo e posição x′(t) vs. tempo;

Consideramos v0 = 0, x0 = 50m e alfa1 = 0,2 e obtivemos os resultados mostrados nafigura 6. Construímos mais duas folhas repetindo estes últimos procedimentos e consi-derando alfa2 = 0,6 e alfa3 = 1,25, definidos nas suas respectivas folhas assim comofoi definido alfa1. A figura 7 mostra os resultados para alfa2 = 0,6 e a figura 8 paraalfa3 = 1,25. Ao realizar estes últimos procedimentos considerando alfa2 e alfa3,deve-se escrever as equações dos itens 1 e 4 substituindo alfa1 por alfa2 ou alfa3,dependendo da folha em que se está concentrando atenção. Além disso, para evitar pos-síveis confusões, pode-se diferenciar os títulos das colunas dos valores das velocidades edas posições, bem como os títulos dos gráficos. Na folha de trabalho em que se consideraalfa1, por exemplo, escrevemos em C2 a representação v’(t) e em D2 a representaçãox′(t). Na folha com alfa2, escrevemos v”(t) e x”(t). E na folha do alfa3, escrevemosv”’(t) e x′′′(t).


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t v(t) x(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1 49,9 x0= 50

0,2 -2 49,7

0,3 -3 49,4

0,4 -4 49,0

0,5 -5 48,5

0,6 -6 47,9

0,7 -7 47,2

0,8 -8 46,4

0,9 -9 45,5

1,0 -10 44,5

1,1 -11 43,4

1,2 -12 42,2

1,3 -13 40,9

1,4 -14 39,5

1,5 -15 38,0

1,6 -16 36,4

1,7 -17 34,7

1,8 -18 32,9

1,9 -19 31,0

2,0 -20 29,0

2,1 -21 26,9

2,2 -22 24,7

2,3 -23 22,4

2,4 -24 20,0

2,5 -25 17,5

2,6 -26 14,9

2,7 -27 12,2

2,8 -28 9,4

2,9 -29 6,5

3,0 -30 3,5

3,1 -31 0,4

3,2 -32 -2,8

3,3 -33 -6,1

3,4 -34 -9,5

3,5 -35 -13,0

3,6 -36 -16,6

3,7 -37 -20,3

3,8 -38 -24,1

3,9 -39 -28,0

4,0 -40 -32,0

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0 1 2 3 4 5 6 7 8


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0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 5. – Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Os valores foram obtidosconsiderando-se as soluções discretas que não estão de acordo com a conservação daenergia.


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t v'(t) x'(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 49,9 x0= 50 alfa1= 0,2

0,2 -2,0 49,7

0,3 -2,9 49,4

0,4 -3,9 49,0

0,5 -4,8 48,5

0,6 -5,7 48,0

0,7 -6,6 47,3

0,8 -7,5 46,6

0,9 -8,3 45,7

1,0 -9,1 44,8

1,1 -10,0 43,8

1,2 -10,8 42,7

1,3 -11,5 41,6

1,4 -12,3 40,4

1,5 -13,1 39,1

1,6 -13,8 37,7

1,7 -14,5 36,2

1,8 -15,2 34,7

1,9 -15,9 33,1

2,0 -16,6 31,4

2,1 -17,3 29,7

2,2 -17,9 27,9

2,3 -18,6 26,1

2,4 -19,2 24,1

2,5 -19,8 22,2

2,6 -20,4 20,1

2,7 -21,0 18,0

2,8 -21,6 15,8

2,9 -22,2 13,6

3,0 -22,7 11,4

3,1 -23,3 9,0

3,2 -23,8 6,6

3,3 -24,3 4,2

3,4 -24,8 1,7

3,5 -25,3 -0,8

3,6 -25,8 -3,4

3,7 -26,3 -6,0

3,8 -26,8 -8,7

3,9 -27,3 -11,4

4,0 -27,7 -14,2

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

velocidade v'(t) vs. tempo

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

posição x'(t) vs. tempo

Figura 6. – Planilha Excel para o movimento de queda de uma massa. Os valoresforam obtidos considerando-se as soluções discretas que não estão de acordo com aconservação da energia e alfa1 = 0,2.


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t v''(t) x''(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 50,0 x0= 50 alfa2= 0,6

0,2 -1,9 49,8

0,3 -2,8 49,6

0,4 -3,7 49,2

0,5 -4,4 48,8

0,6 -5,2 48,4

0,7 -5,9 47,8

0,8 -6,5 47,2

0,9 -7,1 46,5

1,0 -7,7 45,8

1,1 -8,2 45,0

1,2 -8,7 44,1

1,3 -9,2 43,2

1,4 -9,7 42,3

1,5 -10,1 41,3

1,6 -10,5 40,3

1,7 -10,8 39,2

1,8 -11,2 38,1

1,9 -11,5 37,0

2,0 -11,8 35,8

2,1 -12,1 34,6

2,2 -12,4 33,4

2,3 -12,7 32,1

2,4 -12,9 30,8

2,5 -13,1 29,5

2,6 -13,3 28,2

2,7 -13,5 26,9

2,8 -13,7 25,5

2,9 -13,9 24,1

3,0 -14,1 22,7

3,1 -14,2 21,3

3,2 -14,4 19,9

3,3 -14,5 18,4

3,4 -14,6 17,0

3,5 -14,8 15,5

3,6 -14,9 14,0

3,7 -15,0 12,5

3,8 -15,1 11,0

3,9 -15,2 9,5

4,0 -15,3 8,0

-40

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0

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

velocidade v''(t) vs. tempo

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

posição x''(t) vs. tempo



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t v'''(t) x'''(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 49,9 x0= 50 alfa3= 1,25

0,2 -1,9 49,7

0,3 -2,6 49,4

0,4 -3,3 49,1

0,5 -3,9 48,7

0,6 -4,4 48,3

0,7 -4,9 47,8

0,8 -5,3 47,3

0,9 -5,6 46,7

1,0 -5,9 46,1

1,1 -6,2 45,5

1,2 -6,4 44,9

1,3 -6,6 44,2

1,4 -6,8 43,5

1,5 -6,9 42,8

1,6 -7,1 42,1

1,7 -7,2 41,4

1,8 -7,3 40,7

1,9 -7,4 40,0

2,0 -7,4 39,2

2,1 -7,5 38,5

2,2 -7,6 37,7

2,3 -7,6 36,9

2,4 -7,7 36,2

2,5 -7,7 35,4

2,6 -7,8 34,6

2,7 -7,8 33,8

2,8 -7,8 33,1

2,9 -7,8 32,3

3,0 -7,9 31,5

3,1 -7,9 30,7

3,2 -7,9 29,9

3,3 -7,9 29,1

3,4 -7,9 28,3

3,5 -7,9 27,5

3,6 -7,9 26,8

3,7 -7,9 26,0

3,8 -7,9 25,2

3,9 -8,0 24,4

4,0 -8,0 23,6

-40

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0

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

velocidade v'''(t) vs. tempo

0

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0 1 2 3 4 5 6 7 8

posição x'''(t) vs tempo



2.3.2 Equações discretas com critério de conservação

Considerando as equações𝑣𝑛+1 + 𝑣𝑛

2 = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

𝜏(2.17)

e𝑎𝑛 = 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛

𝜏, (2.18)


𝑛= 𝑚𝑎𝑛 = −𝑚𝑔 − 𝑏𝑣𝑛, (2.19)


𝑣𝑛 = 𝑣0 + (𝑔𝜏 + 𝛼𝜏𝑣0)[︃

(1 − 𝛼𝜏)𝑛 − 1𝛼𝜏

]︃(2.20)

e𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑣0 𝑡𝑛 − 𝑔 + 𝛼𝑣0

𝛼2 {𝛽 [(1 − 𝛼𝜏)𝑛 − 1] + 𝛼𝑡𝑛} , (2.21)

onde 𝛼 = 𝑏/𝑚 e 𝛽 = 1 − 𝛼𝜏/2. No Excel faça:

1. Defina 𝜏 , 𝑣0, 𝑥0, 𝑚 e 𝑔 nas mesmas células em que foram definidas nas Seçõesanteriores;








9. Em D4 escreva; =D3+C3*tau+(g/2)*tau^2;



A figura 9 mostra o resultado obtido, com as mesmos valores iniciais da subseçãoanterior.

Como na subseção anterior, resolvemos construir novamente quatro folhas. Na pri-meira folha estudamos o movimento de queda de um corpo no qual consideramos a açãodo ar desprezível. Nas três folhas seguintes consideramos valores diferentes do parâmetroalfa. No Excel, faça:


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t v(t) x(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1 50,0 x0= 50

0,2 -2 49,8

0,3 -3 49,6

0,4 -4 49,2

0,5 -5 48,8

0,6 -6 48,2

0,7 -7 47,6

0,8 -8 46,8

0,9 -9 46,0

1,0 -10 45,0

1,1 -11 44,0

1,2 -12 42,8

1,3 -13 41,6

1,4 -14 40,2

1,5 -15 38,8

1,6 -16 37,2

1,7 -17 35,6

1,8 -18 33,8

1,9 -19 32,0

2,0 -20 30,0

2,1 -21 28,0

2,2 -22 25,8

2,3 -23 23,6

2,4 -24 21,2

2,5 -25 18,8

2,6 -26 16,2

2,7 -27 13,6

2,8 -28 10,8

2,9 -29 8,0

3,0 -30 5,0

3,1 -31 2,0

3,2 -32 -1,2

3,3 -33 -4,4

3,4 -34 -7,8

3,5 -35 -11,3

3,6 -36 -14,8

3,7 -37 -18,5

3,8 -38 -22,2

3,9 -39 -26,1

4,0 -40 -30,0

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0 2 4 6 8


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0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 9. – Planilha Excel para a queda livre de uma massa. Os valores foram obtidosconsiderando-se as soluções discretas que estão de acordo com a conservação da energia.


1. Repita os procedimentos acima, de 1 a 8, com exceção do item 5. Na célula C4escreva:=v0-((g*tau+alfa1*tau*v0)*((1-alfa1*tau)^(B4/tau)-1)/(alfa1*tau));



4. Em D4 escreva:=x0+v0*B4+((g+alfa1*v0)/(alfa1^2))*((1-(alfa1*tau/2))((1-alfa1*tau)^(B4/tau)-1)+alfa1*B4);


6. Construa os gráficos: velocidade v’(t) vs. tempo e posição x′(t) vs. tempo.

A figura 10 mostra o resultado obtido para alfa1 = 0,2. Construímos mais duas fo-lhas repetindo estes últimos procedimentos e considerando alfa2 = 0,6 e alfa3 = 1,25,definidos nas suas respectivas folhas assim como foi definido alfa1. A figura 11 mostraos resultados para alfa2=0,6 e a figura 12 para alfa3 = 1,25. Ao realizar os proce-dimentos acima considerando alfa2 e alfa3, deve-se escrever as equações dos itens 1e 4 substituindo alfa1 por alfa2 ou alfa3, dependendo da folha em que se está con-centrando atenção. Novamente, para evitar possíveis confusões, sugerimos diferenciar ostítulos das colunas dos valores das velocidades e das posições. Na folha de trabalho emque se considera alfa1, por exemplo, escrevemos em C2 a representação v’(t) e em D2a representação x’(t). Na folha com alfa2, escrevemos v”(t) e x”(t). E na folha doalfa3, escrevemos v”’(t) e x”’(t).


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t v'(t) x'(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 50,0 x0= 50 alfa1= 0,2

0,2 -2,0 49,8

0,3 -2,9 49,6

0,4 -3,9 49,2

0,5 -4,8 48,8

0,6 -5,7 48,3

0,7 -6,6 47,6

0,8 -7,5 46,9

0,9 -8,3 46,1

1,0 -9,1 45,3

1,1 -10,0 44,3

1,2 -10,8 43,3

1,3 -11,5 42,2

1,4 -12,3 41,0

1,5 -13,1 39,7

1,6 -13,8 38,4

1,7 -14,5 36,9

1,8 -15,2 35,5

1,9 -15,9 33,9

2,0 -16,6 32,3

2,1 -17,3 30,6

2,2 -17,9 28,8

2,3 -18,6 27,0

2,4 -19,2 25,1

2,5 -19,8 23,1

2,6 -20,4 21,1

2,7 -21,0 19,1

2,8 -21,6 16,9

2,9 -22,2 14,7

3,0 -22,7 12,5

3,1 -23,3 10,2

3,2 -23,8 7,8

3,3 -24,3 5,4

3,4 -24,8 3,0

3,5 -25,3 0,5

3,6 -25,8 -2,1

3,7 -26,3 -4,7

3,8 -26,8 -7,4

3,9 -27,3 -10,1

4,0 -27,7 -12,8

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0 2 4 6 8


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0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 10. – Planilha Excel para o movimento de queda de uma massa. Os valoresforam obtidos considerando-se as soluções discretas que estão de acordo com a conser-vação da energia e alfa = 0,2.


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t v''(t) x''(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 50,0 x0= 50 alfa2= 0,6

0,2 -1,9 49,8

0,3 -2,8 49,6

0,4 -3,7 49,2

0,5 -4,4 48,8

0,6 -5,2 48,4

0,7 -5,9 47,8

0,8 -6,5 47,2

0,9 -7,1 46,5

1,0 -7,7 45,8

1,1 -8,2 45,0

1,2 -8,7 44,1

1,3 -9,2 43,2

1,4 -9,7 42,3

1,5 -10,1 41,3

1,6 -10,5 40,3

1,7 -10,8 39,2

1,8 -11,2 38,1

1,9 -11,5 37,0

2,0 -11,8 35,8

2,1 -12,1 34,6

2,2 -12,4 33,4

2,3 -12,7 32,1

2,4 -12,9 30,8

2,5 -13,1 29,5

2,6 -13,3 28,2

2,7 -13,5 26,9

2,8 -13,7 25,5

2,9 -13,9 24,1

3,0 -14,1 22,7

3,1 -14,2 21,3

3,2 -14,4 19,9

3,3 -14,5 18,4

3,4 -14,6 17,0

3,5 -14,8 15,5

3,6 -14,9 14,0

3,7 -15,0 12,5

3,8 -15,1 11,0

3,9 -15,2 9,5

4,0 -15,3 8,0

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8


0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 11. – Planilha Excel para o movimento de queda de uma massa. Os valoresforam obtidos considerando-se as soluções discretas que estão de acordo com a conser-vação da energia e alfa2 = 0,6.


1

2

3

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41

42

43


t v'''(t) x'''(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 50,0 x0= 50 alfa3= 1,25

0,2 -1,9 49,8

0,3 -2,6 49,6

0,4 -3,3 49,3

0,5 -3,9 48,9

0,6 -4,4 48,5

0,7 -4,9 48,0

0,8 -5,3 47,5

0,9 -5,6 47,0

1,0 -5,9 46,4

1,1 -6,2 45,8

1,2 -6,4 45,2

1,3 -6,6 44,5

1,4 -6,8 43,9

1,5 -6,9 43,2

1,6 -7,1 42,5

1,7 -7,2 41,8

1,8 -7,3 41,1

1,9 -7,4 40,3

2,0 -7,4 39,6

2,1 -7,5 38,8

2,2 -7,6 38,1

2,3 -7,6 37,3

2,4 -7,7 36,6

2,5 -7,7 35,8

2,6 -7,8 35,0

2,7 -7,8 34,2

2,8 -7,8 33,5

2,9 -7,8 32,7

3,0 -7,9 31,9

3,1 -7,9 31,1

3,2 -7,9 30,3

3,3 -7,9 29,5

3,4 -7,9 28,7

3,5 -7,9 27,9

3,6 -7,9 27,2

3,7 -7,9 26,4

3,8 -7,9 25,6

3,9 -8,0 24,8

4,0 -8,0 24,0

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8


0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8

posição x'''(t) vs. tempo



2.4 Oscilador harmônico

Esta Seção está dividida em duas subseções. Nas duas subseções resolvemos o pro-blema de movimento do oscilador harmônico simples. Porém, na primeira subseção con-sideramos a solução discreta do problema que foi obtida considerando-se a discretizaçõesda velocidade e da aceleração em que não adotamos o critério da conservação da energiaNesta subseção construímos quatro folhas de trabalho que se diferenciam apenas pelovalor do passo adotado. O objetivo é mostrar que, dependendo do problema, a escolhado passo é um fator importante para o estudo do problema. Já na segunda subseçãoconsideramos a solução discreta obtida com o estabelecimento do critério de conservaçãoda energia para as discretizações da velocidade e da aceleração.

2.4.1 Equações discretas sem critério de conservação

Neste problema, a força elástica é dada por

𝐹𝑛 = 𝑘𝑥𝑛. (2.22)

Considerando as equações𝑣𝑛+1 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)

𝜏(2.23)

e𝑎𝑛 = (𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛)

𝜏, (2.24)

e definindo a freqüência angular como

𝜔2 = 𝑘

𝑚, (2.25)

obtemos como solução as equações

𝑣𝑛 =√︁

1 + (𝜔𝜏)2 [𝑣0 cos(𝜔𝑑𝑡𝑛) − 𝜔𝑥0 sen(𝜔𝑑𝑡𝑛)] (2.26)

e𝑥𝑛 =

√︁1 + (𝜔𝜏)2

[︂𝑥0 cos(𝜔𝑑𝑡𝑛) + 𝑣0

𝜔sen(𝜔𝑑𝑡𝑛)

]︂(2.27)

onde𝜔𝑑 = 1

𝜏atan(𝜔𝜏) (2.28)

No Excel faça:

1. Defina 𝜏 , 𝑣0, 𝑥0, 𝑚 e 𝑔 nas mesmas células em que foram definidas na Seção anterior.Defina 𝜏 : a representação tauI em F2 e seu valor em G2;

2. Defina a frequência angular 𝜔: a representação omega em H4 e seu valor em I4;

3. Em I4 escreva: =(k/m)^(1/2);


4. Defina a constante elástica da mola: a representação k em J2 e seu valor em K2;

5. Defina o período: a representação período em J3 e seu valor em K3;

6. Em K3 escreva:

=2*PI()*((m/k)^(1/2));

7. Construa a coluna do tempo até a linha 203, com tauI=0,02;

8. Em C2 escreva: vI(t);


10. Em C4 escreva:

=((1+((omega*tauI)^2))^(1/2))^(B4/tauI)*(v0*COS((B4/tauI)*ATAN(omega*tauI))-omega*x0*SEN((B4/tauI)*ATAN(omega*tauI))).

Clique em “enter”, selecione C4 e preencha a coluna até a linha 203;

11. Em D2 escreva: xI(t);


13. Em D4 escreva;

=(((1+(omega*tauI)^2)^(1/2))^(B4/tauI))*(x0*COS((B4/tauI)*

ATAN(omega*tauI))+(v0/omega)*SEN((B4/tauI)*ATAN(omega*tauI))).

Clique em “enter”, selecione D4 e preencha a coluna até a linha 203;

14. Construa os gráficos: velocidade vI(t) vs. tempo e posição xI(t) vs. tempo.

A figura 13 mostra o resultado obtido.Novamente resolvemos construir quatro folhas e realizamos os mesmos procedimentos

acima discriminados mudando o valor do passo. Assim, obtemos uma folha de trabalhopara tauI = 0,02, cujos procedimentos estão acima listados, para tauII = 0,01, paratauIII = 0,006 e para tauIV = 0,001. Com está estratégia de trabalho podemos ternuma mesma planilha as quatro folhas cujos resultados estão apresentados nas figurasdesta subseção. A figura 14 mostra os resultados para tauII = 0,01, a figura 15 paratauIII = 0,006 e a figura 16 para tauIV = 0,001. O objetivo desta organização dasfolhas de trabalho é facilitar a comparação dos gráficos quando se altera o valor do passo.


1

2

3

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5

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38

39

40

41

42

43


t vI(t) xI(t) tauI= 0,02 m= 2 k= 32

0 0,00 0,10 v0= 0 g= -10 período= 1,57

0,02 -0,03 0,10 x0= 0,1 omega= 4,0

0,04 -0,06 0,10

0,06 -0,10 0,10

0,08 -0,13 0,10

0,1 -0,16 0,09

0,12 -0,19 0,09

0,14 -0,22 0,09

0,16 -0,24 0,08

0,18 -0,27 0,08

0,2 -0,30 0,07

0,22 -0,32 0,07

0,24 -0,34 0,06

0,26 -0,36 0,05

0,28 -0,38 0,05

0,3 -0,39 0,04

0,32 -0,40 0,03

0,34 -0,41 0,02

0,36 -0,42 0,01

0,38 -0,42 0,01

0,4 -0,43 0,00

0,42 -0,43 -0,01

0,44 -0,42 -0,02

0,46 -0,42 -0,03

0,48 -0,41 -0,04

0,5 -0,39 -0,04

0,52 -0,38 -0,05

0,54 -0,36 -0,06

0,56 -0,34 -0,07

0,58 -0,32 -0,07

0,6 -0,30 -0,08

0,62 -0,27 -0,09

0,64 -0,25 -0,09

0,66 -0,22 -0,10

0,68 -0,18 -0,10

0,7 -0,15 -0,11

0,72 -0,12 -0,11

0,74 -0,08 -0,11

0,76 -0,05 -0,11

0,78 -0,01 -0,11

0,8 0,02 -0,11

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

0 1 2 3 4

velocidade vI(t) vs. tempo

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0 1 2 3 4

posição xI(t) vs. tempo

Figura 13. – Solução do problema de movimento de um oscilador harmônico conside-rando as equações discretas que não estão de acordo com o princípio da conservaçãoda energia. Os resultados foram obtidos considerando-se tauI = 0,02.


1

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40

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42

43


t vII(t) xII(t) tauII= 0,01 m= 2 k= 32

0 0,00 0,10 v0= 0 g= -10 período= 1,57

0,01 -0,02 0,10 x0= 0,1 omega= 4,0

0,02 -0,03 0,10

0,03 -0,05 0,10

0,04 -0,06 0,10

0,05 -0,08 0,10

0,06 -0,10 0,10

0,07 -0,11 0,10

0,08 -0,13 0,09

0,09 -0,14 0,09

0,1 -0,16 0,09

0,11 -0,17 0,09

0,12 -0,19 0,09

0,13 -0,20 0,09

0,14 -0,21 0,08

0,15 -0,23 0,08

0,16 -0,24 0,08

0,17 -0,25 0,08

0,18 -0,27 0,07

0,19 -0,28 0,07

0,2 -0,29 0,07

0,21 -0,30 0,06

0,22 -0,31 0,06

0,23 -0,32 0,06

0,24 -0,33 0,06

0,25 -0,34 0,05

0,26 -0,35 0,05

0,27 -0,36 0,04

0,28 -0,37 0,04

0,29 -0,38 0,04

0,3 -0,38 0,03

0,31 -0,39 0,03

0,32 -0,39 0,03

0,33 -0,40 0,02

0,34 -0,40 0,02

0,35 -0,41 0,01

0,36 -0,41 0,01

0,37 -0,41 0,01

0,38 -0,41 0,00

0,39 -0,41 0,00

0,4 -0,41 -0,01

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

0 1 2 3 4

velocidade vII(t) vs. tempo

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0 1 2 3 4

posição xII(t) vs. tempo

Figura 14. – Solução do problema de movimento de um oscilador harmônico conside-rando as equações discretas que não estão de acordo com o princípio da conservaçãoda energia. Os resultados foram obtidos considerando-se tauII = 0,01.


1

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40

41

42

43


t vIII(t) xIII(t) tauIII= 0,006 m= 2 k= 32

0 0,00 0,10 v0= 0 g= -10 período= 1,57

0,006 -0,01 0,10 x0= 0,1 omega= 4,0

0,012 -0,02 0,10

0,018 -0,03 0,10

0,024 -0,04 0,10

0,03 -0,05 0,10

0,036 -0,06 0,10

0,042 -0,07 0,10

0,048 -0,08 0,10

0,054 -0,09 0,10

0,06 -0,10 0,10

0,066 -0,10 0,10

0,072 -0,11 0,10

0,078 -0,12 0,10

0,084 -0,13 0,09

0,09 -0,14 0,09

0,096 -0,15 0,09

0,102 -0,16 0,09

0,108 -0,17 0,09

0,114 -0,18 0,09

0,12 -0,19 0,09

0,126 -0,19 0,09

0,132 -0,20 0,09

0,138 -0,21 0,09

0,144 -0,22 0,08

0,15 -0,23 0,08

0,156 -0,24 0,08

0,162 -0,24 0,08

0,168 -0,25 0,08

0,174 -0,26 0,08

0,18 -0,27 0,08

0,186 -0,27 0,07

0,192 -0,28 0,07

0,198 -0,29 0,07

0,204 -0,29 0,07

0,21 -0,30 0,07

0,216 -0,31 0,07

0,222 -0,31 0,06

0,228 -0,32 0,06

0,234 -0,33 0,06

0,24 -0,33 0,06

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0 1 2 3 4

posição xIII(t) vs. tempo

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

0 1 2 3 4

velocidade vIII(t) vs. tempo

Figura 15. – Solução do problema de movimento de um oscilador harmônico conside-rando as equações discretas que não estão de acordo com o princípio da conservaçãoda energia. Os resultados foram obtidos considerando-se tauIII = 0,006.


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40

41

42

43


t vIV(t) xIV(t) tauIV= 0,001 m= 2 k= 32

0 0,00 0,10 v0= 0 g= -10 período= 1,57

0,001 0,00 0,10 x0= 0,1 omega= 4,0

0,002 0,00 0,10

0,003 0,00 0,10

0,004 -0,01 0,10

0,005 -0,01 0,10

0,006 -0,01 0,10

0,007 -0,01 0,10

0,008 -0,01 0,10

0,009 -0,01 0,10

0,01 -0,02 0,10

0,011 -0,02 0,10

0,012 -0,02 0,10

0,013 -0,02 0,10

0,014 -0,02 0,10

0,015 -0,02 0,10

0,016 -0,03 0,10

0,017 -0,03 0,10

0,018 -0,03 0,10

0,019 -0,03 0,10

0,02 -0,03 0,10

0,021 -0,03 0,10

0,022 -0,04 0,10

0,023 -0,04 0,10

0,024 -0,04 0,10

0,025 -0,04 0,10

0,026 -0,04 0,10

0,027 -0,04 0,10

0,028 -0,04 0,10

0,029 -0,05 0,10

0,03 -0,05 0,10

0,031 -0,05 0,10

0,032 -0,05 0,10

0,033 -0,05 0,10

0,034 -0,05 0,10

0,035 -0,06 0,10

0,036 -0,06 0,10

0,037 -0,06 0,10

0,038 -0,06 0,10

0,039 -0,06 0,10

0,04 -0,06 0,10

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0 1 2 3 4

posição xIV(t) vs. tempo

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

0 1 2 3 4

velocidade vIV(t) vs. tempo

Figura 16. – Solução do problema de movimento de um oscilador harmônico conside-rando as equações discretas que não estão de acordo com o princípio da conservaçãoda energia. Os resultados foram obtidos considerando-se tauIV = 0,001.


2.4.2 Equações discretas com critério de conservação


𝐹𝑛 = 𝑘𝑥𝑛. (2.29)

Considerando as equações𝑣𝑛+1 + 𝑣𝑛

2 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)𝜏

(2.30)

e𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛

2 = (𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛)𝜏

(2.31)

e definindo a frequência angular como

𝜔2 = 𝑘

𝑚, (2.32)


𝑣𝑛+1 =(︃

4 − 𝜔2𝜏 2

4 + 𝜔2𝜏 2

)︃𝑣𝑛 −

(︂ 4𝜔𝜏

4 + 𝜔2𝜏 2

)︂𝜔𝑥𝑛 (2.33)

e𝜔𝑥𝑛+1 = 4𝜔𝜏

4 + 𝜔2𝜏 2 𝑣𝑛 + 4 − 𝜔2𝜏 2

4 + 𝜔𝜏 2 𝜔𝑥𝑛 (2.34)

onde𝜔𝑑 = 1

𝜏atan 𝜔𝜏

1 − 𝜔2𝜏 2

4

. (2.35)

No Excel faça:


2. Defina a frequência angular 𝜔: a representação omega em H4 e seu valor em I4;

3. Em I4 escreva: =(k/m)^(1/2);

4. Defina a constante elástica da mola: a representação k em J2 e seu valor em K2;


6. Em K3 escreva: =2*PI()*((m/k)^(1/2));




10. Em C4 escreva: =((4-(omega*tau)^2))/(4+(omega*tau)^2)*C3-((4*tau*(omega^2))/(4+(omega*tau)^2))*D3;





14. Em D4 escreva: =(4*tau/(4+(omega*tau)^2))C3+((4-(omega*tau)^2)/(4+(omega*tau)^2))*D3;



A figura 17 mostra o resultado obtido. Os parâmetros devem ser observados no quadrode valores na figura.


1

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38

39

40

41

42

43


t v(t) x(t) tau= 0,01 m= 2 k= 32

0 0,20 0,20 v0= 0,2 g= -10 período= 1,57

0,01 0,17 0,20 x0= 0,2 omega= 4,0 amplitude= 0,21

0,02 0,14 0,20

0,03 0,10 0,20

0,04 0,07 0,21

0,05 0,04 0,21

0,06 0,00 0,21

0,07 -0,03 0,21

0,08 -0,06 0,21

0,09 -0,09 0,20

0,1 -0,13 0,20

0,11 -0,16 0,20

0,12 -0,19 0,20

0,13 -0,22 0,20

0,14 -0,26 0,20

0,15 -0,29 0,19

0,16 -0,32 0,19

0,17 -0,35 0,19

0,18 -0,38 0,18

0,19 -0,41 0,18

0,2 -0,43 0,18

0,21 -0,46 0,17

0,22 -0,49 0,17

0,23 -0,52 0,16

0,24 -0,54 0,16

0,25 -0,57 0,15

0,26 -0,59 0,14

0,27 -0,61 0,14

0,28 -0,63 0,13

0,29 -0,65 0,13

0,3 -0,67 0,12

0,31 -0,69 0,11

0,32 -0,71 0,11

0,33 -0,73 0,10

0,34 -0,74 0,09

0,35 -0,75 0,08

0,36 -0,77 0,08

0,37 -0,78 0,07

0,38 -0,79 0,06

0,39 -0,80 0,05

0,4 -0,81 0,04

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 1 2 3 4 5 6 7


-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7


Figura 17. – Solução do problema de movimento de um oscilador harmônico consi-derando as equações discretas que estão de acordo com o princípio da conservação daenergia. Os resultados foram obtidos considerando-se tau = 0,01.


2.5 Movimento com atrito proporcional ao quadrado da velocidade

Nesta parte do trabalho, vamos considerar a força de resistência do ar sobre um corpoem queda igual a

𝐹𝑎(𝑛) = −𝑏𝑣2𝑛𝜖 (2.36)

onde 𝜖 é um vetor unitário que tem a direção e o sentido do vetor velocidade do corpo emmovimento.

Considerando as equações𝑣𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

𝜏(2.37)


𝜏, (2.38)


𝑛= 𝑚𝑎𝑛 = −𝑚𝑔 − 𝑏𝑣2

𝑛 , (2.39)


𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 − 𝛼𝑣2𝑛𝜏 − 𝑔𝜏 (2.40)

e𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑛𝜏 − 𝛼𝑣2

𝑛𝜏 2 − 𝑔𝜏 2 (2.41)

onde 𝛼 = 𝑏/𝑚. No Excel faça:









9. Em D4 escreva; =D3+C3*tau+g*tau^2;


11. Construa os gráficos: velocidade v(t) vs. tempo e posição x(t) vs. tempo;


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t v(t) x(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1 49,9 x0= 50

0,2 -2 49,7

0,3 -3 49,4

0,4 -4 49,0

0,5 -5 48,5

0,6 -6 47,9

0,7 -7 47,2

0,8 -8 46,4

0,9 -9 45,5

1,0 -10 44,5

1,1 -11 43,4

1,2 -12 42,2

1,3 -13 40,9

1,4 -14 39,5

1,5 -15 38,0

1,6 -16 36,4

1,7 -17 34,7

1,8 -18 32,9

1,9 -19 31,0

2,0 -20 29,0

2,1 -21 26,9

2,2 -22 24,7

2,3 -23 22,4

2,4 -24 20,0

2,5 -25 17,5

2,6 -26 14,9

2,7 -27 12,2

2,8 -28 9,4

2,9 -29 6,5

3,0 -30 3,5

3,1 -31 0,4

3,2 -32 -2,8

3,3 -33 -6,1

3,4 -34 -9,5

3,5 -35 -13,0

3,6 -36 -16,6

3,7 -37 -20,3

3,8 -38 -24,1

3,9 -39 -28,0

4,0 -40 -32,0

-40

-30

-20

-10

0

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8


0

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20

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40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 18. – Planilha Excel para o movimento de Queda livre de uma massa.


A figura 18 mostra os resultados obtidos.Agora vamos criar novas folhas e considerar a resistência do ar. Faça:

1. Repita os procedimentos acima, de 2 a 8, com exceção do item 5. Na célula C4escreva:=C3+g*tau-alfa1*tau*C3^2;



4. Em D4 escreva; =D3+C3*tau-g*tau^2-(alfa1)*(tau^2)*C3^2;


6. Construa os gráficos: velocidade v’(t) vs. tempo e posição x′(t) vs. tempo.

A figura 19 mostra o resultado obtido para alfa1 = 0,025. Construímos mais duas fo-lhas repetindo estes últimos procedimentos e considerando alfa2 = 0,075 e alfa3 = 0,125,definidos nas suas respectivas folhas assim como foi definido alfa1. A figura 20 mostraos resultados para alfa2 = 0,075 e a figura 21 para alfa3 = 0,125. Ao realizar os pro-cedimentos acima considerando alfa2 e alfa3, deve-se escrever as equações dos itens 1e 4 substituindo alfa1 por alfa2 ou alfa3, dependendo da folha em que se está con-centrando atenção. Além disso, para evitar possíveis confusões, pode-se diferenciar ostítulos das colunas dos valores das velocidades e das posições. Na folha de trabalho emque se considera alfa1, por exemplo, escrevemos em C2 a representação v’(t) e em D2a representação x′(t). Na folha com alfa2, escrevemos v”(t) e x”(t). E na folha doalfa3, escrevemos v”’(t) e x′′′(t).


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t v'(t) x'(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 50,1 x0= 50 alfa1= 0,025

0,2 -2,0 50,1

0,3 -3,0 50,0

0,4 -4,0 49,8

0,5 -4,9 49,5

0,6 -5,9 49,1

0,7 -6,8 48,6

0,8 -7,7 48,0

0,9 -8,5 47,3

1,0 -9,3 46,6

1,1 -10,1 45,7

1,2 -10,9 44,8

1,3 -11,6 43,8

1,4 -12,2 42,7

1,5 -12,9 41,5

1,6 -13,4 40,3

1,7 -14,0 39,0

1,8 -14,5 37,6

1,9 -15,0 36,2

2,0 -15,4 34,8

2,1 -15,8 33,3

2,2 -16,2 31,7

2,3 -16,5 30,2

2,4 -16,9 28,5

2,5 -17,1 26,9

2,6 -17,4 25,2

2,7 -17,7 23,5

2,8 -17,9 21,7

2,9 -18,1 20,0

3,0 -18,3 18,2

3,1 -18,4 16,4

3,2 -18,6 14,5

3,3 -18,7 12,7

3,4 -18,8 10,8

3,5 -19,0 9,0

3,6 -19,1 7,1

3,7 -19,1 5,2

3,8 -19,2 3,3

3,9 -19,3 1,4

4,0 -19,4 -0,6

-40

-30

-20

-10

0

10

0 2 4 6 8


0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 19. – Planilha Excel para o movimento de Queda de uma massa. O corpo sofrea ação de uma força resistiva proporcional ao quadrado da velocidade do corpo. Nestecaso o parâmetro alfa vale: alfa1 = 0,025.


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t v''(t) x''(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 50,1 x0= 50 alfa2= 0,075

0,2 -2,0 50,1

0,3 -3,0 50,0

0,4 -3,9 49,8

0,5 -4,8 49,5

0,6 -5,6 49,1

0,7 -6,4 48,6

0,8 -7,1 48,0

0,9 -7,7 47,4

1,0 -8,3 46,7

1,1 -8,7 45,9

1,2 -9,2 45,1

1,3 -9,5 44,2

1,4 -9,9 43,3

1,5 -10,1 42,3

1,6 -10,4 41,3

1,7 -10,6 40,3

1,8 -10,7 39,3

1,9 -10,9 38,2

2,0 -11,0 37,1

2,1 -11,1 36,1

2,2 -11,2 35,0

2,3 -11,2 33,8

2,4 -11,3 32,7

2,5 -11,3 31,6

2,6 -11,4 30,5

2,7 -11,4 29,3

2,8 -11,4 28,2

2,9 -11,4 27,1

3,0 -11,5 25,9

3,1 -11,5 24,8

3,2 -11,5 23,6

3,3 -11,5 22,5

3,4 -11,5 21,3

3,5 -11,5 20,2

3,6 -11,5 19,0

3,7 -11,5 17,9

3,8 -11,5 16,7

3,9 -11,5 15,6

4,0 -11,5 14,4

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0 1 2 3 4 5 6 7 8


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0 1 2 3 4 5 6 7 8




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t v'''(t) x'''(t) tau= 0,1 m= 0,4

0,0 0,0 50,0 v0= 0 g= -10

0,1 -1,0 50,1 x0= 50 alfa3= 0,125

0,2 -2,0 50,1

0,3 -2,9 50,0

0,4 -3,8 49,8

0,5 -4,6 49,5

0,6 -5,4 49,1

0,7 -6,0 48,6

0,8 -6,6 48,1

0,9 -7,0 47,5

1,0 -7,4 46,8

1,1 -7,7 46,1

1,2 -8,0 45,3

1,3 -8,2 44,6

1,4 -8,3 43,8

1,5 -8,5 42,9

1,6 -8,6 42,1

1,7 -8,7 41,3

1,8 -8,7 40,4

1,9 -8,8 39,5

2,0 -8,8 38,7

2,1 -8,8 37,8

2,2 -8,9 36,9

2,3 -8,9 36,0

2,4 -8,9 35,1

2,5 -8,9 34,2

2,6 -8,9 33,4

2,7 -8,9 32,5

2,8 -8,9 31,6

2,9 -8,9 30,7

3,0 -8,9 29,8

3,1 -8,9 28,9

3,2 -8,9 28,0

3,3 -8,9 27,1

3,4 -8,9 26,2

3,5 -8,9 25,3

3,6 -8,9 24,4

3,7 -8,9 23,5

3,8 -8,9 22,6

3,9 -8,9 21,7

4,0 -8,9 20,8

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0 2 4 6 8


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0 1 2 3 4 5 6 7 8




2.6 Movimento de projéteis

Nesta Seção resolvemos o problema de movimento do projétil. Dividimos a Seção emquatro subseções. Na primeira consideramos a ação do ar desprezível. Nas três subseçõesseguintes consideramos valores diferentes da intensidade da força que caracteriza a resis-tência do ar sobre o projétil. Nestas subseções vamos considerar a força de resistência doar sobre um corpo igual a

𝐹𝑎(𝑛) = −𝑏𝑣2𝑛𝜖 , (2.42)

onde 𝜖 é um vetor unitário que tem a direção e o sentido do vetor velocidade do corpo emmovimento. Usamos as mesmas discretizações nas quatro situações. Além disso, em nossaabordagem analisamos o movimento do projétil construindo três folhas em cada situação:uma com os comportamentos da velocidade e da posição em função do tempo na direçãohorizontal, outra com os comportamentos da velocidade e da posição em função do tempona direção vertical e a última com a trajetória do projétil.

2.6.1 Movimento de projéteis com atrito desprezível


𝑣𝑥(𝑛+1) + 𝑣𝑥(𝑛)

2 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)𝜏

(2.43)

e𝑎𝑥(𝑛) = 𝑣𝑥(𝑛+1) − 𝑣𝑥(𝑛)

𝜏, (2.44)


𝑥(𝑛)= 𝑚𝑎𝑥(𝑛) = 0 , (2.45)

temos como resultado as equações

𝑣𝑥(𝑛+1) = 𝑣𝑥(𝑛) = constante, (2.46)

e𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑥)𝑛𝜏 . (2.47)

Para o estudo das grandezas na horizontal faça:

1. Defina 𝜏 como foi definido nas Seções anteriores;

2. Defina 𝑣𝑥0 (componente horizontal do vetor velocidade inicial): a representação vx0em F3 e seu valor em G3;

3. Defina 𝑥0 (componente horizontal do vetor posição inicial): a representação x0 emF4 e seu valor em G4;


4. Defina 𝑚: a representação m em H2 e seu valor em I2;

5. Defina 𝑔: a representação g em H3 e seu valor em I3;


7. Em C2 escreva: vx(t);

8. Em C3 escreva: =vx0;





13. Em D4 escreva; =D3+C3*tau;


15. Construa os gráficos: velocidade vx(t) vs. tempo e posição x(t) vs. tempo.

A figura 22 mostra o resultado, considerando-se vx0 = 25 m/s, x0 = 0, m = 1 kg eg = -10 m/s2.


𝑣𝑦(𝑛+1) + 𝑣𝑦(𝑛)

2 = (𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛)𝜏

(2.48)

e𝑎𝑦(𝑛+1) + 𝑎𝑦(𝑛)

2 = (𝑣𝑦(𝑛+1) − 𝑣𝑦(𝑛))𝜏

, (2.49)


𝑦(𝑛)= 𝑚𝑎𝑦(𝑛) = −𝑚𝑔, (2.50)


𝑣𝑦(𝑛+1) = 𝑣𝑦(𝑛) − 𝑔𝜏 , (2.51)

e𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑣𝑦(𝑛)𝜏 − 𝑔

2𝜏 2 . (2.52)

Para o estudo das grandezas na vertical faça:

1. O parâmetro 𝜏 já está definido. Construa a coluna dos instantes de tempo até alinha 43, com tau=0,1;


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t vx(t) x(t) tau= 0,1 x0= 0 g= -10

0,0 25 0,0 vx0= 25 y0= 0

0,1 25 2,5 vy0= 20 m= 1

0,2 25 5,0

0,3 25 7,5

0,4 25 10,0

0,5 25 12,5

0,6 25 15,0

0,7 25 17,5

0,8 25 20,0

0,9 25 22,5

1,0 25 25,0

1,1 25 27,5

1,2 25 30,0

1,3 25 32,5

1,4 25 35,0

1,5 25 37,5

1,6 25 40,0

1,7 25 42,5

1,8 25 45,0

1,9 25 47,5

2,0 25 50,0

2,1 25 52,5

2,2 25 55,0

2,3 25 57,5

2,4 25 60,0

2,5 25 62,5

2,6 25 65,0

2,7 25 67,5

2,8 25 70,0

2,9 25 72,5

3,0 25 75,0

3,1 25 77,5

3,2 25 80,0

3,3 25 82,5

3,4 25 85,0

3,5 25 87,5

3,6 25 90,0

3,7 25 92,5

3,8 25 95,0

3,9 25 97,5

4,0 25 100,0

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4

velocidade vx(t) vs. tempo

0

25

50

75

100

125

150

0 1 2 3 4


Figura 22. – Comportamentos das componentes horizontais da velocidade e posiçãodo projétil. Neste caso consideramos desprezível a ação do ar.


2. Defina vy0 (componente vertical do vetor velocidade inicial): a representação vy0em F3 e seu valor em G3;

3. Defina y0 (componente vertical do vetor posição inicial): a representação y0 em F4e seu valor em G4;

4. Os parâmetros m e g já estão definidos;


6. Em C2 escreva: vy(t);

7. Em C3 escreva: =vy0;

8. Em C4 escreva: =C3+g*tau;


10. Em D2 escreva: y(t);

11. Em D3 escreva: =y0;

12. Em D4 escreva; =D3+C3*tau+g/2*tau^2;


14. Construa os gráficos: velocidade vy(t) vs. tempo e posição y(t) vs. tempo.

A figura 23 mostra o resultado, considerando-se vy0=20, y0=0, m=1 e g=-10.Para construir a trajetória do projétil faça:

1. tau já está definido. Construa a coluna dos instantes de tempo até a linha 43, comtau=0,1;

2. Em C2 escreva: x(t);

3. Em C3 escreva: =x0;

4. Em C4 escreva: =C3+movhorizontal!C3*tau;

5. movhorizontal!C3 é o valor da célula C3 da folha chamada movhorizontal. Comoa folha movhorizontal é a folha de estudo do comportamento das grandezas nahorizontal e na coluna C estão os valores da componente horizontal da velocidade, arepresentação movhorizontal!C3 está associada ao valor da velocidade que preenchea célula C3.




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t vy(t) y(t) tau= 0,1 x0= 0 g= -10

0,0 20 0,0 vx0= 25 y0= 0

0,1 19 2,0 vy0= 20 m= 1

0,2 18 3,8

0,3 17 5,6

0,4 16 7,2

0,5 15 8,8

0,6 14 10,2

0,7 13 11,6

0,8 12 12,8

0,9 11 14,0

1,0 10 15,0

1,1 9 16,0

1,2 8 16,8

1,3 7 17,6

1,4 6 18,2

1,5 5 18,8

1,6 4 19,2

1,7 3 19,6

1,8 2 19,8

1,9 1 20,0

2,0 0 20,0

2,1 -1 20,0

2,2 -2 19,8

2,3 -3 19,6

2,4 -4 19,2

2,5 -5 18,8

2,6 -6 18,2

2,7 -7 17,6

2,8 -8 16,8

2,9 -9 16,0

3,0 -10 15,0

3,1 -11 14,0

3,2 -12 12,8

3,3 -13 11,6

3,4 -14 10,2

3,5 -15 8,8

3,6 -16 7,2

3,7 -17 5,6

3,8 -18 3,8

3,9 -19 2,0

4,0 -20 0,0

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4

velocidade vy(t) vs. tempo

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4

posição y(t) vs. tempo

Figura 23. – Comportamentos das componentes verticais da velocidade e posição doprojétil. Neste caso consideramos desprezível a ação do ar.



9. Em D4 escreva; =D3+movvertical!C3*tau+(g/2)*tau^2;

10. movvertical!C3 é o valor da célula C3 da folha chamada movvertical. Como afolha movvertical é a folha de estudo do comportamento das grandezas na verticale na coluna C estão os valores da componente vertical da velocidade, a representaçãomovhorizontal!C3 está associada ao valor da velocidade que preenche a célula C3;


12. Construa o gráfico: posição x(t) vs. posição y(t).

A figura 24 mostra o resultado, considerando-se: vx0 = 25 m/s, vy0 = 20 m/s, x0 = 0,y0 = 0, m = 1 kg e g = -10 m/s2.


1

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39

40

41

42

43


t x(t) y(t) tau= 0,1 x0= 0 g= -10

0,0 0,0 0,0 vx0= 25 y0= 0

0,1 2,5 2,0 vy0= 20 m= 1

0,2 5,0 3,8

0,3 7,5 5,6

0,4 10,0 7,2

0,5 12,5 8,8

0,6 15,0 10,2

0,7 17,5 11,6

0,8 20,0 12,8

0,9 22,5 14,0

1,0 25,0 15,0

1,1 27,5 16,0

1,2 30,0 16,8

1,3 32,5 17,6

1,4 35,0 18,2

1,5 37,5 18,8

1,6 40,0 19,2

1,7 42,5 19,6

1,8 45,0 19,8

1,9 47,5 20,0

2,0 50,0 20,0

2,1 52,5 20,0

2,2 55,0 19,8

2,3 57,5 19,6

2,4 60,0 19,2

2,5 62,5 18,8

2,6 65,0 18,2

2,7 67,5 17,6

2,8 70,0 16,8

2,9 72,5 16,0

3,0 75,0 15,0

3,1 77,5 14,0

3,2 80,0 12,8

3,3 82,5 11,6

3,4 85,0 10,2

3,5 87,5 8,7

3,6 90,0 7,2

3,7 92,5 5,5

3,8 95,0 3,8

3,9 97,5 1,9

4,0 100,0 0,0

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

posição y(t) vs. posição x(t)

Figura 24. – Trajetória do projétil. Neste caso consideramos desprezível a ação do ar.


2.6.2 Movimento de projéteis com atrito

A força de arrasto sobre o projétil tem componentes

𝐹𝑎𝑥(𝑛) = −𝑏(︁𝑣2

𝑥(𝑛) + 𝑣2𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑥(𝑛) (2.53)

e𝐹𝑎𝑦(𝑛) = −𝑏

(︁𝑣2

𝑥(𝑛) + 𝑣2𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑦(𝑛). (2.54)


𝑣𝑥(𝑛+1) + 𝑣𝑥(𝑛)

2 = (𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛)𝜏

(2.55)

e𝑎𝑥(𝑛) = (𝑣𝑥(𝑛+1) − 𝑣𝑥(𝑛))

𝜏, (2.56)


𝑥(𝑛)= 𝑚𝑎𝑥(𝑛) = −𝑏

(︁𝑣2

𝑥(𝑛) + 𝑣2𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑥(𝑛) (2.57)


𝑣𝑥(𝑛+1) = 𝑣𝑥(𝑛) −[︂(︁

𝑣2𝑥(𝑛) + 𝑣2

𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑥(𝑛)

]︂𝛼𝜏 , (2.58)

e𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑥(𝑛)𝜏 −

[︂(︁𝑣2

𝑥(𝑛) + 𝑣2𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑥(𝑛)

]︂𝛼

2 𝜏 2 . (2.59)

Para o estudo do comportamento da grandezas na horizontal faça:

1. Defina 𝜏 como foi definido nas Seções anteriores;;

2. Defina 𝑣𝑥0 (componente horizontal do vetor velocidade inicial): a representação vx0em F3 e seu valor em G3;

3. Defina 𝑣𝑦0 (componente vertical do vetor velocidade inicial): a representação vy0em F4 e seu valor em G4;

4. Defina 𝑥0 (componente horizontal do vetor posição inicial): a representação x0 emH2 e seu valor em I2;

5. Defina 𝑦0 (componente vertical do vetor posição inicial): a representação y0 em H3e seu valor em I3;

6. Defina 𝑚: a representação m em H4 e seu valor em I4;

7. Defina 𝑔: a representação g em J2 e seu valor em K2;

8. Defina 𝛼: a representação alfa1 em J3 e seu valor em K3;



10. Em C2 escreva: vx′(t);


12. Em C4 escreva: =C3-alfa1*C3*tau*(C3^2+’movvertical alfa1’!C3^2)^(1/2);


14. Em D2 escreva: x′(t);


16. Em D4 escreva; =D3+C3*tau-((alfa1*C3*(tau^2))/2)*(C3^2+(’movvertical alfa1’!C3)^2)^(1/2);


18. Construa os gráficos: velocidade vx′(t) vs. tempo e posição x′(t) vs. tempo.

A figura 25 mostra o resultado, considerando-se vx0 = 25 m/s, vy0 = 20 m/s, x0 = 0,y0 = 0, m = 0,45 kg, g = -10 m/s2 e alfa1 = 0,1 s-1.


𝑣𝑦(𝑛+1) + 𝑣𝑦(𝑛)

2 = 𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛

𝜏(2.60)

e𝑎𝑦(𝑛) = 𝑣𝑦(𝑛+1) − 𝑣𝑦(𝑛)

𝜏(2.61)


𝑦(𝑛)= 𝑚𝑎𝑦(𝑛) = −𝑚 𝑔 − 𝑏

(︁𝑣2

𝑥(𝑛) + 𝑣2𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑦(𝑛) (2.62)


𝑣𝑦(𝑛+1) = 𝑣𝑦(𝑛) −[︂(︁

𝑣2𝑥(𝑛) + 𝑣2

𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑦(𝑛)

]︂𝛼𝜏 − 𝑔 𝜏 , (2.63)

e𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑣𝑦(𝑛)𝜏 −

[︂(︁𝑣2

𝑥(𝑛) + 𝑣2𝑦(𝑛)

)︁1/2𝑣𝑦(𝑛)

]︂𝛼

2 𝜏 2 . (2.64)

Para o estudo das grandezas na vertical faça:


2. Todos os parâmetros já estão definidos. Apenas copie o quadro que contém osparâmetros da folha anterior para a que está trabalhando;


1

2

3

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40

41

42

43


t vx'(t) x'(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,0 25,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa1= 0,1

0,1 21,0 1,1 vy0= 20 m= 0,45

0,1 18,2 2,1

0,2 16,1 3,0

0,2 14,5 3,8

0,3 13,3 4,5

0,3 12,2 5,1

0,4 11,3 5,7

0,4 10,6 6,2

0,5 10,0 6,7

0,5 9,4 7,2

0,6 8,9 7,7

0,6 8,5 8,1

0,7 8,1 8,5

0,7 7,8 8,9

0,8 7,5 9,3

0,8 7,2 9,7

0,9 6,9 10,0

0,9 6,7 10,4

1,0 6,5 10,7

1,0 6,3 11,0

1,1 6,1 11,3

1,1 5,9 11,6

1,2 5,7 11,9

1,2 5,5 12,2

1,3 5,3 12,5

1,3 5,1 12,7

1,4 5,0 13,0

1,4 4,8 13,2

1,5 4,6 13,5

1,5 4,5 13,7

1,6 4,3 13,9

1,6 4,2 14,1

1,7 4,0 14,3

1,7 3,9 14,5

1,8 3,7 14,7

1,8 3,6 14,9

1,9 3,4 15,1

1,9 3,3 15,2

2,0 3,2 15,4

2,0 3,0 15,6

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4

velocidade vx'(t) vs. tempo

0

5

10

15

20

0 1 2 3 4


Figura 25. – Comportamento das componentes horizontais da velocidade e posição deum projétil em movimento. Neste caso consideramos o atrito: alfa1 = 0,1.


3. Em C2 escreva: vy′(t);

4. Em C3 escreva: =vy0;

5. Em C4 escreva:=C3-alfa1*C3*tau*(C3^2+(’movhorizontal alfa1’!C3)^2)^(1/2)+g*tau;


7. Em D2 escreva: y′(t);


9. Em D4 escreva;=D3+C3*tau-((alfa1*C3*(tau^2))/2)*(C3^2+(’movhorizontal alfa1’!C3)^2)^(1/2)+(g*(tau^2)/2);


11. Construa os gráficos: velocidade vy′(t) vs. tempo e posição y′(t) vs. tempo.

A figura 26 mostra o resultado, considerando-se vx0 = 25 m/s, vy0 = 2o m/s, x0 = 0,y0 = 0, m = 0,45 kg, g = -10 m/s2 e alfa1 = 0,1 s-1.

Para construir a trajetória do projétil faça:


2. Em C2 escreva: x′(t);


4. Em C4 escreva:=C4+’movhorizontal alfa1’!C4*tau-((alfa1*’movhorizontal alfa1’!C4*(tau^2))/2)*(’movhorizontal alfa1’!C4^2+(’movvertical alfa1’!C4)^2)^(1/2);


6. Em D2 escreva: y′(t);


8. Em D4 escreva;=D4+’movvertical alfa1’!C4*tau-((alfa1*’movvertical alfa1’!C4*(tau^2))/2)*(’movvertical alfa1’!C4^2+(’movhorizontal alfa1’!C4)^2)^(1/2)+(g*(tau^2)/2);


1

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43


t vy'(t) y'(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,0 20,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa1= 0,1

0,1 16,3 0,9 vy0= 20 m= 0,45

0,1 13,6 1,7

0,2 11,6 2,3

0,2 9,9 2,8

0,3 8,6 3,3

0,3 7,4 3,7

0,4 6,4 4,0

0,4 5,4 4,3

0,5 4,6 4,6

0,5 3,9 4,8

0,6 3,2 5,0

0,6 2,5 5,1

0,7 1,9 5,2

0,7 1,3 5,3

0,8 0,8 5,3

0,8 0,2 5,4

0,9 -0,3 5,4

0,9 -0,8 5,3

1,0 -1,2 5,3

1,0 -1,7 5,2

1,1 -2,1 5,1

1,1 -2,6 5,0

1,2 -3,0 4,9

1,2 -3,4 4,7

1,3 -3,8 4,5

1,3 -4,2 4,3

1,4 -4,5 4,1

1,4 -4,9 3,9

1,5 -5,2 3,6

1,5 -5,5 3,4

1,6 -5,8 3,1

1,6 -6,1 2,8

1,7 -6,4 2,5

1,7 -6,6 2,1

1,8 -6,9 1,8

1,8 -7,1 1,5

1,9 -7,3 1,1

1,9 -7,5 0,7

2,0 -7,7 0,3

2,0 -7,9 0,0

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 1 2 3 4

posição y'(t) vs. tempo

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4

velocidade vy'(t) vs. tempo

Figura 26. – Comportamento das componentes vertical da velocidade e posição de umprojétil em movimento. Neste caso consideramos o atrito: alfa1 = 0,1.



10. Construa o gráfico: posição x′(t) vs. posição y′(t).

A figura 27 mostra o resultado, considerando-se vx0 = 25 m/s, vy0 = 20 m/s, x0 = 0,y0 = 0, m = 0,45 kg, g = -10 m/s2 e alfa1 = 0,1 s-1.

Os últimos três conjuntos de procedimentos nos levaram aos resultados mostrados nasfiguras 25, 26 e 27. Ou seja, o estudo do movimento de um projétil que sofre a ação do arfoi separado em três etapas: uma análise do comportamento das componentes horizontaisda velocidade e posição, uma análise do comportamento das componentes verticais davelocidade e posição e a construção da trajetória do projétil. Estes mesmos últimosprocedimentos podem ser realizados e, então, outros valores do parâmetro alfa podem serconsiderados. Assim, teremos mais de uma folha e poderemos fazer comparações entre osresultados obtidos.

Foram repetidos os procedimentos acima e considerados os seguintes valores do parâ-metro alfa: alfa2 = 0,2 e alfa3 = 0,3. Os resultados para alfa2 são mostrados nasfiguras 28, 29 e 30. Nas folhas de trabalho referentes à alfa2 usamos as representaçõesvx′′(t) e vy′′(t) para as componentes da velocidade e a representação x′′(t) e y′′(t)para as componentes da posição. Nas folhas de trabalho referentes à alfa3 usamos asrepresentações vx′′′(t) e vy′′′(t) para as componentes da velocidade e a representaçãox′′′(t) e y′′′(t) para as componentes da posição.

Os resultados para alfa3 são mostrados nas figuras 31, 32 e 33.


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2

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42

43


t x'(t) y'(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,0 0,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa1= 0,1

0,1 1,1 0,9 vy0= 20 m= 0,45

0,1 2,1 1,7

0,2 3,0 2,3

0,2 3,8 2,8

0,3 4,5 3,3

0,3 5,1 3,7

0,4 5,7 4,0

0,4 6,2 4,3

0,5 6,7 4,6

0,5 7,2 4,8

0,6 7,7 5,0

0,6 8,1 5,1

0,7 8,5 5,2

0,7 8,9 5,3

0,8 9,3 5,3

0,8 9,7 5,4

0,9 10,0 5,4

0,9 10,4 5,3

1,0 10,7 5,3

1,0 11,0 5,2

1,1 11,3 5,1

1,1 11,6 5,0

1,2 11,9 4,9

1,2 12,2 4,7

1,3 12,5 4,5

1,3 12,7 4,3

1,4 13,0 4,1

1,4 13,2 3,9

1,5 13,5 3,6

1,5 13,7 3,4

1,6 13,9 3,1

1,6 14,1 2,8

1,7 14,3 2,5

1,7 14,5 2,1

1,8 14,7 1,8

1,8 14,9 1,5

1,9 15,1 1,1

1,9 15,2 0,7

2,0 15,4 0,3

2,0 15,6 0,0

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

posição y'(t) vs. posição x'(t)

Figura 27. – Trajetória de um projétil em movimento. Neste caso consideramos oatrito: alfa1 = 0,1.


1

2

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38

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40

41

42

43


t vx''(t) x''(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,00 25,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa2= 0,2

0,05 17,0 1,0 vy0= 20 m= 0,45

0,10 13,3 1,8

0,15 11,1 2,4

0,20 9,6 2,9

0,25 8,5 3,4

0,30 7,7 3,8

0,35 7,0 4,2

0,40 6,5 4,5

0,45 6,0 4,8

0,50 5,7 5,1

0,55 5,3 5,4

0,60 5,0 5,6

0,65 4,8 5,9

0,70 4,6 6,1

0,75 4,3 6,3

0,80 4,2 6,6

0,85 4,0 6,8

0,90 3,8 7,0

0,95 3,6 7,1

1,00 3,4 7,3

1,05 3,3 7,5

1,10 3,1 7,6

1,15 2,9 7,8

1,20 2,8 7,9

1,25 2,6 8,1

1,30 2,5 8,2

1,35 2,4 8,3

1,40 2,2 8,4

1,45 2,1 8,5

1,50 2,0 8,6

1,55 1,8 8,7

1,60 1,7 8,8

1,65 1,6 8,9

1,70 1,5 9,0

1,75 1,4 9,1

1,80 1,3 9,1

1,85 1,2 9,2

1,90 1,2 9,3

1,95 1,1 9,3

2,00 1,0 9,4

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4

velocidade vx''(t) vs. tempo

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4




1

2

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43


t vy''(t) y''(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,00 20,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa2= 0,2

0,05 13,1 0,8 vy0= 20 m= 0,45

0,10 9,8 1,4

0,15 7,7 1,8

0,20 6,1 2,2

0,25 4,9 2,5

0,30 3,9 2,7

0,35 3,1 2,9

0,40 2,4 3,0

0,45 1,7 3,1

0,50 1,1 3,2

0,55 0,5 3,2

0,60 0,0 3,2

0,65 -0,5 3,2

0,70 -1,0 3,2

0,75 -1,4 3,1

0,80 -1,9 3,0

0,85 -2,3 2,9

0,90 -2,7 2,8

0,95 -3,0 2,7

1,00 -3,4 2,5

1,05 -3,7 2,3

1,10 -4,1 2,1

1,15 -4,3 1,9

1,20 -4,6 1,7

1,25 -4,9 1,4

1,30 -5,1 1,2

1,35 -5,3 0,9

1,40 -5,5 0,7

1,45 -5,7 0,4

1,50 -5,8 0,1

1,55 -6,0 -0,2

1,60 -6,1 -0,5

1,65 -6,2 -0,8

1,70 -6,3 -1,1

1,75 -6,4 -1,4

1,80 -6,5 -1,8

1,85 -6,6 -2,1

1,90 -6,6 -2,4

1,95 -6,7 -2,7

2,00 -6,7 -3,1

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4

velocidade vy''(t) vs. tempo

-20

-15

-10

-5

0

5

0 1 2 3 4

posição y''(t) vs. tempo

Figura 29. – Comportamento das componentes verticais da velocidade e posição deum projétil em movimento. Neste caso consideramos o atrito: alfa2 = 0,2.


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t x''(t) y''(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,00 0 0 vx0= 25 y0= 0 alfa2= 0,2

0,05 1,0 0,8 vy0= 20 m= 0,45

0,10 1,8 1,4

0,15 2,4 1,8

0,20 2,9 2,2

0,25 3,4 2,5

0,30 3,8 2,7

0,35 4,2 2,9

0,40 4,5 3,0

0,45 4,8 3,1

0,50 5,1 3,2

0,55 5,4 3,2

0,60 5,6 3,2

0,65 5,9 3,2

0,70 6,1 3,2

0,75 6,3 3,1

0,80 6,6 3,0

0,85 6,8 2,9

0,90 7,0 2,8

0,95 7,1 2,7

1,00 7,3 2,5

1,05 7,5 2,3

1,10 7,6 2,1

1,15 7,8 1,9

1,20 7,9 1,7

1,25 8,1 1,4

1,30 8,2 1,2

1,35 8,3 0,9

1,40 8,4 0,7

1,45 8,5 0,4

1,50 8,6 0,1

1,55 8,7 -0,2

1,60 8,8 -0,5

1,65 8,9 -0,8

1,70 9,0 -1,1

1,75 9,1 -1,4

1,80 9,1 -1,8

1,85 9,2 -2,1

1,90 9,3 -2,4

1,95 9,3 -2,7

2,00 9,4 -3,1

0

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5

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

posição y''(t) vs. posição x''(t)



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t vx'''(t) x'''(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,00 25,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa3= 0,3

0,05 13,0 0,9 vy0= 20 m= 0,45

0,10 9,8 1,5

0,15 8,0 2,0

0,20 6,9 2,3

0,25 6,1 2,7

0,30 5,4 3,0

0,35 5,0 3,2

0,40 4,6 3,5

0,45 4,3 3,7

0,50 4,0 3,9

0,55 3,7 4,1

0,60 3,5 4,3

0,65 3,3 4,4

0,70 3,2 4,6

0,75 3,0 4,7

0,80 2,8 4,9

0,85 2,6 5,0

0,90 2,5 5,1

0,95 2,3 5,3

1,00 2,2 5,4

1,05 2,0 5,5

1,10 1,9 5,6

1,15 1,7 5,7

1,20 1,6 5,8

1,25 1,5 5,8

1,30 1,4 5,9

1,35 1,3 6,0

1,40 1,2 6,0

1,45 1,1 6,1

1,50 1,0 6,1

1,55 0,9 6,2

1,60 0,8 6,2

1,65 0,8 6,3

1,70 0,7 6,3

1,75 0,6 6,3

1,80 0,6 6,4

1,85 0,5 6,4

1,90 0,5 6,4

1,95 0,5 6,5

2,00 0,4 6,5

0

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0 1 2 3 4

velocidade vx'''(t) vs. tempo

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t vy'''(t) y'''(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,00 20,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa3= 0,3

0,05 9,9 0,7 vy0= 20 m= 0,45

0,10 7,0 1,2

0,15 5,2 1,5

0,20 4,0 1,7

0,25 3,0 1,9

0,30 2,2 2,0

0,35 1,5 2,1

0,40 0,9 2,2

0,45 0,3 2,2

0,50 -0,2 2,2

0,55 -0,7 2,2

0,60 -1,2 2,1

0,65 -1,6 2,1

0,70 -2,0 2,0

0,75 -2,4 1,9

0,80 -2,8 1,7

0,85 -3,1 1,6

0,90 -3,4 1,4

0,95 -3,7 1,2

1,00 -3,9 1,0

1,05 -4,2 0,8

1,10 -4,4 0,6

1,15 -4,6 0,4

1,20 -4,7 0,2

1,25 -4,9 -0,1

1,30 -5,0 -0,3

1,35 -5,1 -0,6

1,40 -5,2 -0,8

1,45 -5,3 -1,1

1,50 -5,4 -1,4

1,55 -5,4 -1,6

1,60 -5,5 -1,9

1,65 -5,5 -2,2

1,70 -5,6 -2,4

1,75 -5,6 -2,7

1,80 -5,6 -3,0

1,85 -5,6 -3,3

1,90 -5,7 -3,6

1,95 -5,7 -3,9

2,00 -5,7 -4,1

-15

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0 1 2 3 4

velocidade vy'''(t) vs. tempo

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0 1 2 3 4

posição y'''(t) vs. tempo

Figura 32. – Comportamento das componentes verticais da velocidade e posição deum projétil em movimento. Neste caso consideramos o atrito: alfa3 = 0,3.


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t x'''(t) y'''(t) tau= 0,05 x0= 0 g= -10

0,00 0,0 0,0 vx0= 25 y0= 0 alfa3= 0,3

0,05 0,9 0,7 vy0= 20 m= 0,45

0,10 1,5 1,2

0,15 2,0 1,5

0,20 2,3 1,7

0,25 2,7 1,9

0,30 3,0 2,0

0,35 3,2 2,1

0,40 3,5 2,2

0,45 3,7 2,2

0,50 3,9 2,2

0,55 4,1 2,2

0,60 4,3 2,1

0,65 4,4 2,1

0,70 4,6 2,0

0,75 4,7 1,9

0,80 4,9 1,7

0,85 5,0 1,6

0,90 5,1 1,4

0,95 5,3 1,2

1,00 5,4 1,0

1,05 5,5 0,8

1,10 5,6 0,6

1,15 5,7 0,4

1,20 5,8 0,2

1,25 5,8 -0,1

1,30 5,9 -0,3

1,35 6,0 -0,6

1,40 6,0 -0,8

1,45 6,1 -1,1

1,50 6,1 -1,4

1,55 6,2 -1,6

1,60 6,2 -1,9

1,65 6,3 -2,2

1,70 6,3 -2,4

1,75 6,3 -2,7

1,80 6,4 -3,0

1,85 6,4 -3,3

1,90 6,4 -3,6

1,95 6,5 -3,9

2,00 6,5 -4,1

0

1

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3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

posição y'''(t) vs. posição x'''(t)



2.7 Exercício com oscilador


𝐹𝑛 = −𝑘𝑥𝑛 (2.65)


𝜏(2.66)


𝜏(2.67)

e definindo a frequência angular como

𝜔2 = 𝑘

𝑚(2.68)


𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 − 𝜔2𝑥𝑛𝜏 (2.69)

e𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑛𝜏 − 𝜔2𝑥𝑛𝜏 2. (2.70)

No Excel faça:

1. Defina 𝜏 , 𝑣0, 𝑥0, 𝑚, 𝑔, 𝜔, 𝑘 e o período nas mesmas células em que foram definidasna Seção 4;

2. Em I4 escreva: =(k/m)^(1/2);

3. Em K3 escreva: =2*PI()*((m/k)^(1/2));




7. Em C4 escreva: =C3-omega^2*D3*tau;




11. Em D4 escreva: =D3+C3*tau-omega^2*D3*tau^2;



A figura 34 mostra o resultado obtido, considerando-se v0 = 0, x0 = 2 m, m = 4 kg ek = 9,86 N/m.


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t v(t) x(t) tau= 0,1 m= 4 k= 9,86

0,0 0,0 2,0 v0= 0 g= -10 período= 4,0

0,1 -0,5 2,0 x0= 2 omega= 1,6

0,2 -1,0 1,9

0,3 -1,4 1,7

0,4 -1,9 1,5

0,5 -2,2 1,3

0,6 -2,5 1,0

0,7 -2,8 0,8

0,8 -3,0 0,5

0,9 -3,1 0,2

1,0 -3,1 -0,2

1,1 -3,1 -0,5

1,2 -3,0 -0,8

1,3 -2,8 -1,1

1,4 -2,5 -1,3

1,5 -2,2 -1,5

1,6 -1,8 -1,7

1,7 -1,4 -1,9

1,8 -1,0 -2,0

1,9 -0,5 -2,0

2,0 0,0 -2,0

2,1 0,5 -1,9

2,2 1,0 -1,9

2,3 1,4 -1,7

2,4 1,9 -1,5

2,5 2,2 -1,3

2,6 2,6 -1,0

2,7 2,8 -0,8

2,8 3,0 -0,5

2,9 3,1 -0,2

3,0 3,1 0,2

3,1 3,1 0,5

3,2 3,0 0,8

3,3 2,8 1,1

3,4 2,5 1,3

3,5 2,2 1,5

3,6 1,8 1,7

3,7 1,4 1,9

3,8 1,0 2,0

3,9 0,5 2,0

4,0 0,0 2,0

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0 1 2 3 4 5 6 7


Figura 34. – Gráficos da velocidade e posição em função do tempo de um osciladorharmônico simples. Em nosso trabalho esta folha de foi construída para resolver umproblema proposto em um livro de ensino médio.


2.8 Oscilador com atrito cinético

Neste problema consideramos duas forças: A força elástica

𝐹𝑛 = −𝑘𝑥𝑛 (2.71)

e a força de atrito exercida pela superfície sobre a massa em movimento

𝑓𝑎𝑡 = 𝜇𝑐𝑁. (2.72)

onde 𝑁 = 𝑚𝑔 é o módulo da força normal exercida pela superfície sobre a massa.Considerando as equações

𝑣𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

𝜏(2.73)


𝜏, (2.74)


𝑛= 𝑚𝑎𝑛 = −𝑘 𝑥𝑛 − 𝜇𝑐𝑁, (2.75)


𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 − 𝑘

𝑚𝑥𝑛𝜏 − 𝜇𝑐𝑔𝜏 (2.76)

e𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑛𝜏 − 𝑘

𝑚𝑥𝑛𝜏 2 − 𝜇𝑐𝑔𝜏 2. (2.77)

No Excel faça:

1. Defina 𝜏 , 𝑣0, 𝑥0, 𝑚, 𝑔 e 𝑘 nas mesmas células em que foram definidas na Seçãoanterior;

2. Defina 𝜇𝑐: a representação mi em H4 e seu valor em I4;




6. Em C4 escreva:=C3-(k/m)*D3*tau+mi*g*tau*SINAL(C3);





10. Em D4 escreva: =D3+C3*tau-(k/m)*D3*tau^2-mi*g*tau^2*SINAL(C3);



A figura 35 mostra o resultado obtido, considerando-se v0 = 0, x0 = 1 m, g = -10 m/s2,m = 3kg, k = 150 N/m e mi = 0,2.


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t v(t) x(t) tau= 0,01 m= 3 k= 150

0,00 0,00 1,00 v0= 0 g= -10

0,01 -0,50 1,00 x0= 1 mi= 0,2

0,02 -0,98 0,98

0,03 -1,45 0,97

0,04 -1,91 0,95

0,05 -2,37 0,93

0,06 -2,81 0,90

0,07 -3,24 0,86

0,08 -3,65 0,83

0,09 -4,05 0,79

0,10 -4,42 0,74

0,11 -4,77 0,69

0,12 -5,10 0,64

0,13 -5,40 0,59

0,14 -5,68 0,53

0,15 -5,92 0,47

0,16 -6,14 0,41

0,17 -6,32 0,35

0,18 -6,48 0,28

0,19 -6,60 0,21

0,20 -6,68 0,15

0,21 -6,74 0,08

0,22 -6,76 0,01

0,23 -6,74 -0,06

0,24 -6,70 -0,12

0,25 -6,61 -0,19

0,26 -6,50 -0,26

0,27 -6,35 -0,32

0,28 -6,17 -0,38

0,29 -5,96 -0,44

0,30 -5,72 -0,50

0,31 -5,45 -0,55

0,32 -5,15 -0,61

0,33 -4,83 -0,65

0,34 -4,48 -0,70

0,35 -4,11 -0,74

0,36 -3,72 -0,78

0,37 -3,31 -0,81

0,38 -2,89 -0,84

0,39 -2,45 -0,87

0,40 -1,99 -0,89

-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8


-8

-4

0

4

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 35. – Gráficos da velocidade e posição em função do tempo de um osciladorharmônico submetido a força de atrito cinético.


2.9 Oscilador amortecido

Neste problema consideramos duas forças: A força elástica

𝐹𝑛 = −𝑘𝑥𝑛 (2.78)

e a força resistiva proporcional a velocidade da massa em movimento

𝐹𝑎(𝑛) = −𝑏 𝑣𝑛. (2.79)


𝜏(2.80)


𝜏, (2.81)

definido a freqüência angular𝜔2 = 𝑘

𝑚, (2.82)


𝑛= 𝑚 𝑎𝑛 = −𝑘 𝑥𝑛 − 𝑏 𝑣𝑛, (2.83)


𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 − 𝜔2𝑥𝑛𝜏 − 𝑏

𝑚𝑣𝑛𝜏 (2.84)

e𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑛𝜏 − 𝜔2𝑥𝑛𝜏 2 − 𝑏

𝑚𝑣𝑛𝜏 2. (2.85)

No Excel faça:

1. Defina 𝜏 , 𝑣0, 𝑥0, 𝑚, 𝑔 e 𝑘 nas mesmas células em que foram definidas na Seçãoanterior;

2. Defina o coeficiente de resistividade 𝑏: a representação b em H4 e seu valor em I4;

3. Defina 𝜔; a representação omega em J3 e seu valor em K3;

4. Em K3 escreva: =(k/m)^(1/2);


6. Em K4 escreva: =2*PI()*((m/k)^(1/2));





10. Em C4 escreva: =C3-omega^2*D3*tau-(b/m)*C3*tau;




14. Em D4 escreva; =D3+C3*tau-omega^2*D3*tau^2-(b/m)*C3*tau^2;



A figura 36 mostra o resultado obtido, considerando-se v0 = 0, x0 = 2 cm, m = 2 kg,g = -10 m/s2, b = 2 Ns/m e k = 100 N/m.


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35

36

37

38

39

40

41

42

43


t v(t) x(t) tau= 0,01 m= 2 k= 100

0 0,0 2,0 v0= 0 g= -10 omega= 7,07

0,01 -1,0 2,0 x0= 2 b= 2 período= 0,89

0,02 -2,0 2,0

0,03 -3,0 1,9

0,04 -3,9 1,9

0,05 -4,8 1,9

0,06 -5,7 1,8

0,07 -6,5 1,7

0,08 -7,3 1,7

0,09 -8,1 1,6

0,1 -8,8 1,5

0,11 -9,4 1,4

0,12 -10,0 1,3

0,13 -10,6 1,2

0,14 -11,1 1,1

0,15 -11,5 1,0

0,16 -11,9 0,8

0,17 -12,2 0,7

0,18 -12,4 0,6

0,19 -12,6 0,5

0,2 -12,7 0,3

0,21 -12,8 0,2

0,22 -12,7 0,1

0,23 -12,7 0,0

0,24 -12,5 -0,2

0,25 -12,3 -0,3

0,26 -12,0 -0,4

0,27 -11,7 -0,5

0,28 -11,3 -0,6

0,29 -10,9 -0,7

0,3 -10,4 -0,8

0,31 -9,9 -0,9

0,32 -9,3 -1,0

0,33 -8,7 -1,1

0,34 -8,1 -1,2

0,35 -7,4 -1,3

0,36 -6,7 -1,3

0,37 -5,9 -1,4

0,38 -5,2 -1,5

0,39 -4,4 -1,5

0,4 -3,6 -1,5

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8


-15

-10

-5

0

5

10

15

0 1 2 3 4 5 6 7 8


Figura 36. – Gráficos da velocidade e posição em função do tempo de um osciladorharmônico amortecido.


2.10 Oscilador em duas dimensões

Neste problema temos que considerar as componentes horizontal e vertical da forçaelástica. A força elástica é dada por

𝐹𝑒𝑛 = −𝑘 (𝐿𝑛 − 𝐿0) �̂�, (2.86)

onde 𝐿0 e �̂� são o comprimento da mola relaxada e o vetor unitário na direção da distensãoda mola, respectivamente. O comprimento 𝐿𝑛 da mola é dado por

𝐿𝑛 =√︁

𝑥2𝑛 + 𝑦2

𝑛. (2.87)

As componentes da força elástica são

𝐹𝑒𝑥(𝑛) = −𝑘

⎛⎝𝑥𝑛 − 𝐿0√︁𝑥2

𝑛 + 𝑦2𝑛

⎞⎠ (2.88)

e

𝐹𝑒𝑦(𝑛) = −𝑘

⎛⎝𝑦𝑛 − 𝐿0√︁𝑥2

𝑛 + 𝑦2𝑛

⎞⎠ . (2.89)

Consideramos as equações�⃗�𝑛+1 = �⃗�𝑛+1 − �⃗�𝑛

𝜏(2.90)

e�⃗�𝑛 = �⃗�𝑛+1 − �⃗�𝑛

𝜏(2.91)

Construímos três folhas de trabalho para este problema. A primeira para analisaro comportamento das componentes horizontais da velocidade e da posição em função dotempo, a segunda para analisar o comportamento das componentes verticais da velocidadee da posição em função do tempo e a terceira para construir a trajetória da massa presaà mola.

Aplicando a segunda lei de Newton, as soluções para a folha referente ao movimentona horizontal são:

𝑣𝑥(𝑛+1) = 𝑣𝑥(𝑛) + 𝑘

𝑚

⎡⎣ 𝐿0√︁𝑥2

𝑛 + 𝑦2𝑛

− 1⎤⎦𝑥𝑛𝜏 (2.92)

e

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑣𝑥(𝑛)𝜏 + 𝑘

𝑚

⎡⎣ 𝐿0√︁𝑥2

𝑛 + 𝑦2𝑛

− 1⎤⎦𝑥𝑛𝜏 2. (2.93)

As soluções para a folha referente ao movimento na vertical são:

𝑣𝑦(𝑛+1) = 𝑣𝑦(𝑛) + 𝑘

𝑚

⎡⎣ 𝐿0√︁𝑥2

𝑛 + 𝑦2𝑛

− 1⎤⎦ 𝑦𝑛𝜏 − 𝑔𝜏 (2.94)

e

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑣𝑥(𝑛)𝜏 + 𝑘

𝑚

⎡⎣ 𝐿0√︁𝑥2

𝑛 + 𝑦2𝑛

− 1⎤⎦ 𝑦𝑛𝜏 2 − 𝑔𝜏 2. (2.95)

Para gerar a folha de análise do movimento na horizontal no Excel faça:


1. Defina tau como nas Seções anteriores;


3. Defina v0x (componente horizontal do vetor velocidade inicial): a representação v0xem F3 e seu valor em G3;

4. Defina v0y (componente vertical do vetor velocidade inicial): a representação v0yem F4 e seu valor em G4;

5. Defina x0: a representação x0 em H2 e seu valor em I2;

6. Defina y0: a representação y0 em H3 e seu valor em I3;

7. Defina m: a representação m em H4 e seu valor em I4;

8. Defina g: a representação g em J2 e seu valor em K2;

9. Defina k: a representação k em J3 e seu valor em K3;

10. Defina L0: a representação L0 em J4 e seu valor em K4;

11. Em C2 escreva: vx(t);

12. Em C3 escreva: =v0x;

13. Em C4 escreva:=C3+(k/m)*((L0*D3/((D3^2)+(’comportamento na vertical’!D3^2))^(1/2))-D3)*tau;




17. Em D4 escreva;=D3+C3*tau+(k/m)*(L0*D3/((D3^2)+((’comportamento na vertical’!D3^2)))^(1/2)-D3)*tau^2;


19. Construa os gráficos: velocidade vx(t) vs. tempo e posição x(t) vs. tempo.

A figura 37 mostra o resultado obtido, considerando-se v0x=0, v0y=0, x0=0,1, y0=-0,7,m=0,5, g=-10, L0=0,6 e k=25.

Para gerar a folha de análise do movimento na vertical no Excel faça:



1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

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20

21

22

23

24

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28

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30

31

32

33

34

35

36

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38

39

40

41

42

43


t vx(t) x(t) tau= 0,01 x0= 0,1 g= -10

0,00 0,00 0,10 v0x= 0 y0= -0,7 k= 25

0,01 -0,01 0,10 v0y= 0 m= 0,5 L0= 0,6

0,02 -0,02 0,10

0,03 -0,02 0,10

0,04 -0,03 0,10

0,05 -0,04 0,10

0,06 -0,05 0,10

0,07 -0,05 0,10

0,08 -0,06 0,10

0,09 -0,07 0,10

0,10 -0,08 0,10

0,11 -0,09 0,09

0,12 -0,10 0,09

0,13 -0,11 0,09

0,14 -0,11 0,09

0,15 -0,12 0,09

0,16 -0,13 0,09

0,17 -0,14 0,09

0,18 -0,15 0,09

0,19 -0,16 0,08

0,20 -0,17 0,08

0,21 -0,18 0,08

0,22 -0,19 0,08

0,23 -0,20 0,08

0,24 -0,21 0,08

0,25 -0,22 0,07

0,26 -0,23 0,07

0,27 -0,24 0,07

0,28 -0,25 0,07

0,29 -0,26 0,06

0,30 -0,27 0,06

0,31 -0,28 0,06

0,32 -0,29 0,05

0,33 -0,29 0,05

0,34 -0,30 0,05

0,35 -0,31 0,05

0,36 -0,32 0,04

0,37 -0,32 0,04

0,38 -0,33 0,04

0,39 -0,34 0,03

0,40 -0,34 0,03

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0 1 2 3 4 5


-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

0 1 2 3 4 5

velocidade vx(t) vs. tempo

Figura 37. – Gráficos das componentes horizontais da velocidade e da posição emfunção do tempo do problema do oscilador em duas dimensões.


2. Copie o quadro dos parâmetros da folha referente ao movimento na horizontal ecole nesta folha, gerando um quadro idêntico na folha referente ao movimento navertical;

3. Em C2 escreva: vy(t);

4. Em C3 escreva: =v0y;

5. Em C4 escreva=C3+(k/m)*(L0*D3/((((’comportamento na horizontal’!D3)^2)+(D3^2))^(1/2))-D3)*tau+g*tau;




9. Em D4 escreva;=D3+C3*tau+(k/m)*((L0*D3/((’comportamento na horizontal’!D3^2)+(D3^2))^(1/2))-D3)*tau^2+g*tau^2;


11. Construa os gráficos: velocidade vy(t) vs. tempo e posição y(t) vs. tempo.

A figura 38 mostra o resultado obtido, considerando-se v0x=0, v0y=0, x0=0,1, y0=-0,7,m=0,5, g=-10, L0=0,6 e k=25.

Para construir a trajetória da massa presa à mola no Excel faça:


2. Copie o quadro dos parâmetros da folha referente ao movimento na horizontal e colenesta folha, gerando um quadro idêntico na folha referente a trajetória da massa;

3. Em C2 escreva: x(t);


5. Em C4 escreva=C3+’comportamento na horizontal’!C3*tau+(k/m)*(L0*C3/((C3^2)+((D3^2)))^(1/2)-C3)*tau^2;





1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

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15

16

17

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19

20

21

22

23

24

25

26

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28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43


t vy(t) y(t) tau= 0,01 x0= 0,1 g= -10

0,00 0,00 -0,70 v0x= 0 y0= -0,7 k= 25

0,01 -0,05 -0,70 v0y= 0 m= 0,5 L0= 0,6

0,02 -0,09 -0,70

0,03 -0,14 -0,70

0,04 -0,19 -0,70

0,05 -0,23 -0,71

0,06 -0,27 -0,71

0,07 -0,32 -0,71

0,08 -0,36 -0,72

0,09 -0,40 -0,72

0,10 -0,43 -0,72

0,11 -0,47 -0,73

0,12 -0,50 -0,73

0,13 -0,53 -0,74

0,14 -0,56 -0,75

0,15 -0,58 -0,75

0,16 -0,61 -0,76

0,17 -0,63 -0,76

0,18 -0,64 -0,77

0,19 -0,66 -0,78

0,20 -0,67 -0,78

0,21 -0,67 -0,79

0,22 -0,68 -0,80

0,23 -0,68 -0,80

0,24 -0,67 -0,81

0,25 -0,67 -0,82

0,26 -0,66 -0,82

0,27 -0,64 -0,83

0,28 -0,63 -0,84

0,29 -0,61 -0,84

0,30 -0,59 -0,85

0,31 -0,56 -0,85

0,32 -0,54 -0,86

0,33 -0,50 -0,86

0,34 -0,47 -0,87

0,35 -0,44 -0,87

0,36 -0,40 -0,88

0,37 -0,36 -0,88

0,38 -0,32 -0,88

0,39 -0,28 -0,89

0,40 -0,24 -0,89

-0,8

-0,4

0,0

0,4

0,8

0 1 2 3 4 5

velocidade vy(t) vs. tempo

-1,0

-0,9

-0,8

-0,7

-0,6

0 1 2 3 4 5

posição y(t) vs. tempo

Figura 38. – Gráficos das componentes verticais da velocidade e da posição em funçãodo tempo do problema do oscilador em duas dimensões.


9. Em D4 escreva;=D3+’comportamento na vertical’!C3*tau+(k/m)*(L0*D3/((C3^2)+(D3^2))^(1/2)-D3)*tau^2+g*tau^2;


11. Construa o gráfico: posição x(t) vs. posição y(t).

A figura 39 mostra o resultado obtido, considerando-se v0x = 0, v0y = 0, x0 = 0,1 m,y0 = -0,7 m, m = 0,5 kg, g = -10 m/s2, L0 = 0,6 m e k = 25 N/m.


1

2

3

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5

6

7

8

9

10

11

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40

41

42

43


t x(t) y(t) tau= 0,01 x0= 0,1 g= -10

0 0,10 -0,70 v0x= 0 y0= -0,7 k= 25

0,01 0,10 -0,70 v0y= 0 m= 0,5 L0= 0,6

0,02 0,10 -0,70

0,03 0,10 -0,70

0,04 0,10 -0,70

0,05 0,10 -0,71

0,06 0,10 -0,71

0,07 0,10 -0,71

0,08 0,10 -0,72

0,09 0,10 -0,72

0,1 0,10 -0,72

0,11 0,09 -0,73

0,12 0,09 -0,73

0,13 0,09 -0,74

0,14 0,09 -0,75

0,15 0,09 -0,75

0,16 0,09 -0,76

0,17 0,09 -0,76

0,18 0,09 -0,77

0,19 0,08 -0,78

0,2 0,08 -0,78

0,21 0,08 -0,79

0,22 0,08 -0,80

0,23 0,08 -0,80

0,24 0,08 -0,81

0,25 0,07 -0,82

0,26 0,07 -0,82

0,27 0,07 -0,83

0,28 0,07 -0,84

0,29 0,06 -0,84

0,3 0,06 -0,85

0,31 0,06 -0,85

0,32 0,05 -0,86

0,33 0,05 -0,86

0,34 0,05 -0,87

0,35 0,05 -0,87

0,36 0,04 -0,88

0,37 0,04 -0,88

0,38 0,04 -0,88

0,39 0,03 -0,89

0,4 0,03 -0,89

-0,90

-0,80

-0,70

-0,60

-0,30 -0,20 -0,10 0,00 0,10 0,20 0,30

posição y(t) vs. posição x(t)

Figura 39. – Trajetória de uma massa presa a uma mola: oscilador em duas dimensões.

72

Referências

SOUSA, S. T. L. de. Uma Mecânica discreta para o ensino. Dissertação (Mestrado) —Instituto de Física — Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, Outubro2013.

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