Uma empresa de telecomunicações e multimédia pretende ... · Suponha que o modelo de...
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Prova 835 • Página 10/ 13
5. Uma empresa de telecomunicações e multimédia pretende lançar um novo produto. Para isso, encomendou uma sondagem a um especialista no assunto. No seu trabalho, o especialista procurou determinar o número de televisores e o número de leitores de DVD, por habitação. Numa amostra aleatória de 1000 habitações, recolhida em 2009, verificou que o número de televisores e o número de leitores de DVD se distribuíam como consta do Gráfico 1 e do Gráfico 2, respectivamente.
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5.1. Determine a mediana e os quartis do número de leitores de DVD, por habitação.
5.2. Comente a afirmação seguinte, tendo em conta os dados que constam dos Gráficos 1 e 2.
«O aspecto do gráfico e o valor do desvio padrão de uma variável estatística estão relacionados.»
Na sua resposta, deve:
• calcular os valores da média e do desvio padrão da variável número de televisores, por habitação, na amostra;
• calcular os valores da média e do desvio padrão da variável número de leitores de DVD, por habitação, na amostra;
• concluir, comparando o aspecto dos Gráficos 1 e 2; nessa comparação, use os valores obtidos para os desvios padrão.
Apresente os valores das médias e dos desvios padrão arredondados às centésimas.
5.3. Seja X a variável aleatória que representa o número de televisores, por habitação, na população em que foi recolhida a amostra do Gráfico 1.
Suponha que o modelo de distribuição de probabilidades para X é o seguinte, em que a e b são dois números reais.
X 0 1 2 3
P(X) a 0,425 b 0,120
Determine a e b , sabendo que P(X ³ 1) = 0,995
5.4. Em 2001, apurou-se que 12% das habitações portuguesas tinham 2 televisores.
Era de esperar que em 2009 a percentagem de habitações portuguesas com 2 televisores fosse superior à registada em 2001.
Numa amostra aleatória de 1000 habitações, recolhida em 2009, concluiu-se que havia 450 habitações com 2 televisores.
Justifique se haverá razão para duvidar do aumento da percentagem de habitações portuguesas com 2 televisores, entre 2001 e 2009.
Fundamente a sua resposta a partir da construção de um intervalo de confiança de 90% para a proporção de habitações portuguesas com 2 televisores em 2009.
Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, sete casas decimais.
Apresente os extremos do intervalo com arredondamento às milésimas.
5.1. Inserindo na calculadora gráfica em �� os valores relativos ao número de leitores de DVD por
habitação e em � o número de habitações correspondente:
L1 L2
0 330
1 450
2 47
3 173 É possível calcular os valores da mediana e dos quartis, obtendo:
1º quartil = 0;
Mediana = 3º quartil = 1.
5.2. Recorrendo aos valores já inseridos na calculadora na questão anterior é possível determinar os
valores da média e do desvio padrão para o número de leitores de DVD, por habitação,
obtendo�̅ ≈ 1,06 e # ≈ 1,03.
Inserindo na calculadora gráfica em �$ os valores relativos ao número televisores por habitação e
em �� o número de habitações correspondente
L3 L4
0 5
1 417
2 450
3 128
é possível calcular os valores para a média e o desvio padrão desta distribuição, obtendo: �̅ ≈ 1,70
e # ≈ 0,69.
O maior valor do desvio padrão relativo à distribuição representada no gráfico 2 indica uma maior
dispersão, comprovada no gráfico pela existência de barras correspondentes a maiores frequências,
mais afastadas da média. Por oposição, o gráfico 1, representa uma distribuição com um desvio
padrão menor e as barras correspondentes às frequências maiores são relativas a valores próximos
da média.
5.3.
& = 1 − 0,995 = 0,005 ( = 1 − 0,005 − 0,425 − 0,120 = 0,45
5.4. Para a determinação do intervalo de confiança considera-se:
n= 1000 z= 1,645
)̂ 4501000 = 0,45
Assim, o intervalo de 90% de confiança para a proporção de habitações portuguesas com 2
televisores será:
+0,45 − 1,645 × ,0,45 × (1 − 0,45)1000 ; 0,45 + 1,645 × ,0,45 × (1 − 0,451000 0
Efectuando os cálculos, o intervalo de confiança é ]0,424; 0,476[.
A partir dos limites do intervalo de confiança calculado, não existem evidências para duvidar do
aumento da percentagem de habitações com 2 televisores entre 2001 e 2009, pois o valor real desta
proporção em 2009 está entre 42,4 % e 47,6% com uma probabilidade de 90%.