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Filomena Barbosa Rodrigues Mendes UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO ESCALAR DE HISTERESE DE JILES-ATHERTON Tese submetida ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do Grau de Doutora em Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Dr. Jean Vianei Leite Coorientador: Prof. Dr. Nelson Jhoe Batistela Florianópolis 2017

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Filomena Barbosa Rodrigues Mendes

UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS

PARÂMETROS DO MODELO ESCALAR DE HISTERESE DE

JILES-ATHERTON

Tese submetida ao Programa de Pós-

Graduação em Engenharia Elétrica da

Universidade Federal de Santa

Catarina para a obtenção do Grau de

Doutora em Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Jean Vianei Leite

Coorientador: Prof. Dr. Nelson Jhoe

Batistela

Florianópolis

2017

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Filomena Barbosa Rodrigues Mendes

UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS

PARÂMETROS DO MODELO ESCALAR DE HISTERESE DE

JILES-ATHERTON

Esta Tese foi julgada adequada para obtenção do Título de

“Doutora em Engenharia Elétrica”, e aprovada em sua forma final pelo

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica.

Florianópolis, 3 de março de 2017.

________________________

Prof. Marcelo Lobo Heldwein, Dr.

Coordenador do Curso

Banca Examinadora:

________________________

Prof. Jean Vianei Leite, Dr.

Orientador

Universidade Federal de Santa Catarina

________________________

Prof. Patrick Kuo-Peng, Dr.

Universidade Federal de Santa Catarina

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________________________

Prof. Maurício Valencia Ferreira da Luz , Dr.

Universidade Federal de Santa Catarina

________________________

Prof. Laurent Didier Bernard, Dr.

Universidade Federal de Santa Catarina

________________________

Prof. Renato Cardoso Mesquita, Dr.

Universidade Federal de Minas Gerais

________________________

Prof. Pedro Armando da Silva Júnior, Dr.

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Santa Catarina

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Este trabalho é dedicado aos meus

queridos pais: Leontina dos Ramos R.

M. Barbosa e Jesuíno Barbosa (in

memoriam).

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AGRADECIMENTOS

A Deus pela formosura da vida.

À Universidade Federal de Santa Catarina, ao GRUCAD, ao

corpo docente, à coordenação, à administração, à secretaria, aos colegas

de classe, à Celly Melo, ao Wilson, ao Marcelo, pela oportunidade

concedida para realizar o doutorado, pelo incentivo, apoio e pronto

atendimento.

Aos professores Dr. Jean Vianei Leite e Dr. Nelson Jhoe

Batistela, pela orientação para o bom desenvolvimento da pesquisa.

Ao professor Dr. João Pedro Assumpção Bastos, pelos

esclarecimentos.

Aos professores membros da banca pelas contribuições.

À Universidade Tecnológica Federal do Paraná, aos colegas do

Departamento de Engenharia Elétrica e do Departamento de

Matemática, pela solicitação deferida para realizar o doutorado, pela

compreensão e suporte oferecido para a realização da pesquisa.

À Fundação Araucária e à CAPES, pelo apoio financeiro

viabilizado.

Aos meus Pais Jesuíno (in memoriam) e Leontina, pelo amor e

carinho.

Ao meu esposo Fredy, e minhas filhas, Lesly e Ketty, pelo apoio,

pelas sábias sugestões e alegria contagiante.

Aos meus irmãos e irmãs, por saberem superar a distância e

apoiar este desafio.

Às amigas e amigos, aos colegas de trabalho e de laboratório, e à

turma da cantoria, por fazerem parte desta história.

De forma geral, agradeço enormemente àqueles que, direta ou

indiretamente, contribuíram para execução desta pesquisa.

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Sucesso é ir de fracasso em fracasso, sem perder

entusiasmo.

(Winston Churchill, 1874-1965)

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RESUMO

A modelagem do fenômeno de histerese, desenvolvida por Jiles-

Atherton, tem sido amplamente utilizada na caracterização de materiais.

Neste trabalho foram desenvolvidas três metodologias originais que

podem ser utilizadas para determinar os parâmetros do modelo. Na

primeira metodologia, as equações do modelo são manipuladas

algebricamente para encontrar uma equação diferencial ordinária não

linear, em função da indução magnética e do campo magnético, onde

aparecem os cinco parâmetros. Transforma-se esta equação diferencial

ordinária em uma equação algébrica, em função da indução magnética e

do campo magnético. A equação algébrica encontrada é utilizada na

construção de um sistema de cinco equações e cinco incógnitas. A

solução de tal sistema é obtida utilizando o método de mínimos

quadrados não linear. Desenvolve-se a segunda metodologia com o

propósito de melhorar a primeira, no que tange ao laço contendo ruídos

experimentais. Na segunda metodologia evita-se o cálculo aproximado

da derivada, utilizando-se integrais, reduzindo a quantidade de pontos

chaves experimentais utilizados no processo de caracterização. Para

simplificar a modelagem matemática, a terceira metodologia evita o

cálculo aproximado de derivada e o cálculo de integrais. Com a intenção

de validar as três metodologias propostas, dados experimentais são

comparados com dados calculados. As simulações mostram que todas

elas podem obter um conjunto de parâmetros precisos, a partir de alguns

pontos do laço experimental, com relativamente baixo esforço

computacional. Para finalizar, um parâmetro é adicionado ao modelo de

Jiles-Atherton, e seu impacto na modelagem do comportamento do

material é analisado.

Palavras-chave: Histerese magnética. Materiais magnéticos. Modelo de

histerese de Jiles-Atherton. Determinação de parâmetros. Série de

MacLaurin. Problema de Cauchy. EDO linear. EDO não linear.

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ABSTRACT

For hysteresis modeling the Jiles-Atherton approach has been broadly

employed. In this work three original methodologies are being

developed to obtain the model parameters. In the first methodology a

non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux

density and the magnetic field strength, where the five parameters

appear, is found by manipulating model equations. This non-linear

ordinary differential equation is transformed into an algebraic equation,

as a function of magnetic flux density and magnetic field. This algebraic

equation is used to build a system with five equations and five

unknowns. The system solution is found by using nonlinear least

squares method. In order to improve the first methodology regarding

noisy hysteresis loop, a second methodology is developed. In the second

methodology the calculation of the derivative is avoided by using

integral, and the number of experimental points to be used was reduced.

The third methodology is developed to simplify the mathematical

modeling: the approximate calculation of the derivative, and calculation

of the integrals are avoided. In order to validate the methodologies,

experimental data are compared to calculated ones. Simulations

demonstrate that the proposed methodologies obtain an accurate

parameters set from few points of experimental hysteresis loop with

relative low computation effort. Finally, a parameter is added to the

Jiles-Atherton model and its impact on material behavior modeling is

analyzed.

Keywords: Magnetic hysteresis. Magnetic materials. Jiles-Atherton

hysteresis model. Parameters determination. MacLaurin Series. Cauchy

problem. Linear ODE. Nonlinear ODE.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Circuito magnético. ..........................................................................34 Figura 2– Curva B-H típica para materiais ferromagnéticos. .............................35 Figura 3 – Domínios magnéticos desordenados. ................................................36 Figura 4 – Domínios magnéticos orientados. .....................................................37 Figura 5 – Aniquilamento dos domínios magnéticos individuais. .....................38 Figura 6 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Primeira

metodologia. ......................................................................................................51 Figura 7 – Cálculo da derivada. Primeira metodologia. .....................................52 Figura 8.a – Diagrama de blocos. Primeira metodologia. ..................................56 Figura 9 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Segunda

metodologia. ......................................................................................................62 Figura 10.a – Diagrama de blocos. Segunda metodologia. ................................65 Figura 11 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Primeira

metodologia. ......................................................................................................68 Figura 12 – Ramo descendente: pontos principais recomendados. Primeira

metodologia. ......................................................................................................69 Figura 13 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Segunda

metodologia. ......................................................................................................70 Figura 14 – Soluções particulares. .....................................................................71 Figura 15 – Plano de fase. ..................................................................................72 Figura 16 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

1. Laço suave. ....................................................................................................74 Figura 17 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

2. Laço suave. ....................................................................................................74 Figura 18 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

3. Laço suave. ....................................................................................................75 Figura 19 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação a). ...78 Figura 20 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação b). ...79 Figura 21 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação c). ...80 Figura 22 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação d). ...81 Figura 23 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação e). ...82 Figura 24 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação f). ....83 Figura 25 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação g). ...84 Figura 26 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação h). ...85 Figura 27 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação i). ....86 Figura 28 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

1. Laço com conteúdo ruidoso. ..........................................................................88 Figura 29 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

2. Laço com conteúdo ruidoso. ..........................................................................88 Figura 30 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

3. Laço com conteúdo ruidoso. ..........................................................................89 Figura 31 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação a). ...91 Figura 32 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação b). ...92

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Figura 33 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação c). ... 93 Figura 34 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação d). ... 94 Figura 35 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação e). ... 95 Figura 36 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação f). .... 96 Figura 37 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação g). ... 97 Figura 38 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação h). ... 98 Figura 39 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação i). .... 99 Figura 40 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Terceira

metodologia. .................................................................................................... 117 Figura 41.a – Diagrama de blocos. Terceira metodologia. .............................. 120 Figura 42 – Pontos principais recomendados. Sexto parâmetro. ..................... 125 Figura 43 – Cálculo da derivada. Sexto parâmetro. ......................................... 126 Figura 44.a – Diagrama de blocos. Sexto parâmetro. ...................................... 129 Figura 45 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido: primeiro caso. .................................................................................... 133 Figura 46 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: primeiro caso. .................................................................................... 133 Figura 47 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: primeiro caso. .......................................................................... 134 Figura 48 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Primeiro caso: TRD ........................................................................... 134 Figura 49 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Primeiro caso: TRD ......................................................................................... 135 Figura 50 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido: segundo caso. ..................................................................................... 137 Figura 51 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: segundo caso. ..................................................................................... 137 Figura 52 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: segundo caso. .......................................................................... 138 Figura 53 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Segundo caso: TRD. .......................................................................... 138 Figura 54 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Segundo caso: TRD. ........................................................................................ 139 Figura 55 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Terceiro caso: TRR. ........................................................................... 141 Figura 56 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: terceiro caso. ...................................................................................... 141 Figura 57 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: terceiro caso. ........................................................................... 142 Figura 58 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Terceiro caso: TRR. ........................................................................... 143 Figura 59 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Terceiro caso: LM. .......................................................................................... 144 Figura 60 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido: quarto caso. ........................................................................................ 146

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Figura 61 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: quarto caso. ........................................................................................147 Figura 62 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: quarto caso. ..............................................................................148 Figura 63 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Quarto caso: TRD. .............................................................................148 Figura 64 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Quarto caso: TRD. ...........................................................................................149 Figura 65 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido: quinto caso. ........................................................................................151 Figura 66 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: quinto caso. ........................................................................................152 Figura 67 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: quinto caso. ..............................................................................152 Figura 68 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Quinto caso: TRD. .............................................................................153 Figura 69 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Quinto caso: LM. .............................................................................................153 Figura 70– Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Sexto caso. .........................................................................................162 Figura 71– Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Sétimo caso. .......................................................................................162 Figura 72– Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Oitavo caso. .......................................................................................163 Figura 73– Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido. Sexto caso. .........................................................................................164 Figura 74– Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido. Sétimo caso. .......................................................................................164 Figura 75– Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido. Nono caso. .........................................................................................165 Figura 76– Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Sétimo caso. .......................................................................................165 Figura 77– Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Nono caso. .........................................................................................166 Figura 78 – Curva B-H. ...................................................................................178 Figura 79 – Ajuste de um polinômio ao ramo ascendente da curva suave:

primeiro caso. ..................................................................................................216 Figura 80 – Ajuste de um polinômio ao ramo descendente da curva suave:

primeiro caso. ..................................................................................................217 Figura 81 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia e sistema

sobredeterminado, e laço medido: primeiro caso. ............................................221 Figura 82 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia e algoritmo

genético, e laço medido: primeiro caso. ...........................................................223 Figura 83 – Curva B-H suavizada, utilizando o método Lowess, e laço medido:

quinto caso. ......................................................................................................224

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Figura 84 – Curva B-H suavizada utilizando o método Lowess: quinto caso. . 225 Figura 85 – Curva B-H medida: quinto caso. .................................................. 225 Figura 86 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia, e laço

medido suavizado: LM. ................................................................................... 226 Figura 87 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia, e laço

medido suavizado: TRR. ................................................................................. 227 Figura 88 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia, e laço

medido suavizado: TRD. ................................................................................. 228 Figura 89 – Curva B-H prevista e laço medido. ............................................... 231

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. Alternativas 1 e 2: laço

suave ..................................................................................................................76 Tabela 2 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. Alternativa 3: laço

suave ..................................................................................................................77 Tabela 3 – Comparações numéricas. Situações d) e f) .......................................83 Tabela 4 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. Alternativas 1 e 2: laço

com conteúdo ruidoso ........................................................................................90 Tabela 5 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. . Alternativa 3: laço

com conteúdo ruidoso ........................................................................................90 Tabela 6 – Comparações numéricas. Situações b) e c) ......................................93 Tabela 7 – Resultado de caracterização: primeiro caso ...................................132 Tabela 8 – Resultado de caracterização: segundo caso ....................................136 Tabela 9 – Resultado de caracterização: terceiro caso .....................................140 Tabela 10 – Resultado de caracterização: quarto caso .....................................145 Tabela 11 – Resultado de caracterização: quinto caso .....................................150 Tabela 12 – Indicadores da qualidade da solução ............................................155 Tabela 13 – Comparações numéricas...............................................................158 Tabela 14 – Comparações numéricas. Sexto parâmetro. .................................158 Tabela 15 – Parâmetros que melhor representam o material ...........................159 Tabela 16 – Outras comparações .....................................................................160 Tabela 17 – Resultado de caracterização .........................................................161 Tabela 18 – Dados experimentais e dados suavizados: quinto caso ................229 Tabela 19 – Dados experimentais: primeiro caso ............................................230

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica

Asc – Ascendente

calc - calculado

CEFC – IEEE Conference on Eletromagnetic Field Computation

COMPUMAG – Conference on the Computation of Eletromagnetic

Fields

cte – Constante

Desc – Descendente

Dist – Distância

EDO – Equação Diferencial Ordinária

exp - experimental

experim – experimental

GRUCAD – Grupo de Concepção e Análise de Dispositivos

Eletromagnéticos

Inconc – inconclusivo

LM – Método de Levenberg-Marquardt

MAPLE – Soft matemático de computação simbólica ou algébrica

Matlab – Software interativo matrix laboratory

Metd – Metodologia

Mín – Mínimo

MOMAG – Simpósio Brasileiro de Micro-ondas e Optoeletrônica e

Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo

MSE – Erro Quadrático Médio

Obs – Observação

ODE – Ordinary Differential Equation

Parâm – Parâmetro

PGEEL – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica

proxim – proximidade

PVI – Problema de Valor Inicial

Situac – Situação

Suaviz – Suavizado

tot – total

TRD – Método da região de confianca dogleg

TRR – Método da região de confiança reflexiva

UFSC – Universidade Federal de Santa Catarina

UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná

VarMetd – Variante da metodologia

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LISTA DE SÍMBOLOS

M Magnetização

Mirr Magnetização irreversível

Mrev Magnetização reversível

Man Magnetização anisterética

ms; α; a; k; c Parâmetros do material no modelo de Jiles-Atherton

He Campo magnético efetivo

H Campo magnético

B Indução magnética

µ Permeabilidade magnética

µ0 Permeabilidade magnética do vácuo

ϕ Fluxo magnético

ϕres Fluxo magnético residual

S área da seção transversal

lm Caminho magnético médio

N Número de espiras

I Corrente elétrica

Fmm Força magnetomotriz

Fmmc Força magnetomotriz coercitiva

t Tempo

δ Vale 1 para o ramo ascendente e -1 para o ramo descendente da curva

B-H

x Distância linear

P(H,B) Ponto de coordenadas H e B

v(t) tensão elétrica

y Admitância

e Tensão induzida

r Resistência elétrica

λ Fluxo concatenado

w Frequência angular elétrica

f Frequência

Emax Valor máximo da tensão induzida

Eef Valor eficaz da tensão induzida

A Área da seção transversal

iexc Corrente de excitação

imag Corrente magnetizante

ir Corrente de perdas

g Entreferro

Fc Força de campo

fa Fator de empilhamento

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Ag Área da seção transversal do entreferro

Relutância

Z Impedância

FP Fator de potência

secm Seção magnética

I2nomrms Corrente secundária nominal eficaz

reltransf Relação de transformação

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SUMÁRIO

LISTA DE SÍMBOLOS .................................................................. 25 SUMÁRIO ....................................................................................... 27 1 INTRODUÇÃO ............................................................................ 27 1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO ..................................................................... 27 1.2 PROBLEMA DE PESQUISA ............................................................... 29 1.3 OBJETIVOS .......................................................................................... 30 1.3.1 Objetivo Geral ................................................................................... 30 1.3.2 Objetivos Específicos ........................................................................ 31 1.4 JUSTIFICATIVA .................................................................................. 31 1.5 METODOLOGIA UTILIZADA ........................................................... 31 1.6 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO ............................................................. 32 2 HISTERESE FERROMAGNÉTICA ......................................... 33 2.1 CONCEITOS .............................................................................. 33 2.2 MODELO DE JILES-ATHERTON ............................................ 38 2.3 MODELO INVERSO ................................................................. 41 2.3.1 Modelagem Matemática ................................................................... 42 3 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO DE

HISTERESE DE JILES-ATHERTON: PRIMEIRA

METODOLOGIA ........................................................................... 49 3.1 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................... 49 3.1.1 Modelagem do Ramo Ascendente .................................................... 50 3.1.2 Modelagem do Ramo Descendente .................................................. 52 3.2 RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES ........................ 53 3.3 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................ 55 4 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO DE

HISTERESE DE JILES-ATHERTON: SEGUNDA

METODOLOGIA ........................................................................... 59 4.1 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................... 59 4.2 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ............................................ 61 4.3 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................ 63 5 NOÇÕES COMPLEMENTARES .............................................. 67 5.1 PRIMEIRA METODOLOGIA ................................................... 67 5.2 SEGUNDA METODOLOGIA ................................................... 69 6 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE ............................................... 73 6.1 PRIMEIRA METODOLOGIA ................................................... 73 6.1.1 Laço de Histerese Suave ................................................................... 73 6.2 SEGUNDA METODOLOGIA ................................................... 87 6.2.1 Laço de Histerese Contendo Ruídos ................................................ 87 7 VARIANTE DO MODELO INVERSO E VARIANTE DA

PRIMEIRA METODOLOGIA ...................................................... 101

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7.1 VARIANTE DO MODELO INVERSO ..................................... 101 7.2 VARIANTE DA PRIMEIRA METODOLOGIA ....................... 101 7.3 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ............................................ 109 8 LEVANTAMENTO DOS PARÂMETROS DO MATERIAL:

TERCEIRA METODOLOGIA PROPOSTA .............................. 111 8.1 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................... 111 8.2 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ............................................ 117 8.3 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................ 118 9 INCLUSÃO DE UM SEXTO PARÂMETRO NO MODELO DE

JILES-ATHERTON ....................................................................... 123 9.1 MODELAGEM MATEMÁTICA ............................................... 123 9.2 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA ............................................ 124 9.2.1 Ramo Ascendente ............................................................................. 124 9.2.2 Ramo Descendente ............................................................................ 126 9.3 RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES ....................... 126 9.4 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................ 128 10 RESULTADOS DE CARACTERIZAÇÃO ............................ 131 10.1 PRIMEIRO CASO .................................................................... 131 10.2 SEGUNDO CASO .................................................................... 135 10.3 TERCEIRO CASO ................................................................... 139 10.4 QUARTO CASO ...................................................................... 144 10.5 QUINTO CASO ........................................................................ 149 10.6 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS......................................... 154 10.7 RESULTADOS ADICIONAIS ................................................ 160 11 CONCLUSÃO ............................................................................ 167 REFERÊNCIAS .............................................................................. 171 APÊNDICE A – Primeira Metodologia ........................................ 177 A.1 MODELAGEM MATEMÁTICA .............................................. 177 A.2 MODELAGEM DO RAMO ASCENDENTE ........................... 178 APÊNDICE B – Segunda Metodologia ......................................... 187 B.1 MODELAGEM MATEMÁTICA .............................................. 187 B.1.1 Construção do Problema de Cauchy Associado ............................ 187 B.1.2 Resolução do Problema de Cauchy ................................................ 189 B.1.3 Relação Proposta: Indução Magnética com o Campo Magnético 192 B.1.4 Resolução Numérica das Integrais ................................................. 193 APÊNDICE C – Variante do Modelo Inverso .............................. 207 APÊNDICE D – Tópicos Adicionais .............................................. 215 D.1 REGRESSÃO LINEAR ............................................................. 215 D.1.1 Primeiro Caso .................................................................................. 215 D.1.2 Quinto Caso ...................................................................................... 217 D.2 REGRESSÃO NÃO LINEAR ................................................... 218

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D.3 MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS NÃO LINEAR ....... 218 D.4 FSOLVE ..................................................................................... 219 D.4.1 Método da Região de Confiança Reflexiva .................................... 220 D.4.2 Método da Região de Confiança Dogleg ........................................ 220 D.4.3 Método de Levenberg-Marquardt .................................................. 220 D.5 SISTEMA SOBREDETERMINADO ........................................ 221 D.6 OTIMIZAÇÃO RESTRITA UTILIZANDO ALGORITMO

GENÉTICO ....................................................................................... 222 D.7 FILTRAGEM E SUAVIZAÇÃO DE DADOS .......................... 223 D.8 PREVISÃO DE LAÇO DE INDUÇÃO MENOR ..................... 231 APÊNDICE E – Demonstrações Matemáticas .............................. 233 E.1 PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO ............................................... 233 E.2 SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO ............................................... 235

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27

1 INTRODUÇÃO

1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO

O sistema elétrico brasileiro registrou, no mês de fevereiro de

2015, a menor afluência nos reservatórios das usinas de um longo

histórico de 83 anos [1]. Através dos resultados de uma audiência

pública, a Agência Nacional de Energia Elétrica ANEEL aprovou o

acréscimo das bandeiras tarifárias. Neste contexto, o custo da energia

elétrica e implicações no meio ambiente levam os fabricantes de

máquinas elétricas a buscar dispositivos com rendimento cada vez mais

elevado. Diferenças da ordem de 1 % no rendimento de um motor

podem fazer com que um fabricante ganhe ou perca um mercado inteiro.

Além disto, o rendimento dos dispositivos podem afetar políticas

energéticas e econômicas, como pode ser destacado na recente abolição

de lâmpadas incandescentes e na política de subsídios incentivando a

troca de eletrodomésticos antigos no Brasil.

No projeto de máquinas elétricas são consideradas muitas

variáveis, especificações técnicas e diferentes materiais. Normalmente,

as máquinas elétricas apresentam um núcleo feito de material

ferromagnético, o qual é responsável por concentrar o fluxo magnético

no interior da mesma. Parte da energia fornecida aos dispositivos é

naturalmente perdida em processos bem conhecidos. Assim, para um

projeto eficiente e para uma análise precisa do desempenho de

dispositivos eletromagnéticos, é necessário conhecer e modelar as

características dos materiais usados na confecção dos mesmos.

Especificamente nas máquinas elétricas, as perdas energéticas se

darão, majoritariamente, nos enrolamentos, no núcleo ferromagnético e

por atrito e ventilação, caso haja partes móveis. Enquanto as perdas nos

enrolamentos e de origem mecânicas são bem conhecidas e modeladas,

as perdas no ferro são ainda objeto de estudo em diferentes centros de

pesquisa na academia e em setores industriais. Modelos de perdas em

materiais magnéticos continuam sendo desenvolvidos e aprimorados em

diferentes abordagens, para os mais variados regimes de operação.

Modelos são representações matemático-físicas de fenômenos ou

sistemas e almejam representar a realidade dentro das suas limitações.

Parte importante da modelagem é a obtenção de parâmetros que

permitam ao modelo caracterizar dado fenômeno ou sistema. Este

trabalho é focado em um aspecto da modelagem de materiais

eletromagnéticos: a obtenção de parâmetros para um modelo de

histerese magnética escalar. A modelagem dos materiais envolve uma

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etapa crítica: a caracterização dos mesmos. Neste processo, as

características elétricas e magnéticas do material submetido a teste

devem ser obtidas com precisão, para que os modelos matemáticos os

representem adequadamente. A eficácia do modelo utilizado é

totalmente dependente deste levantamento dos parâmetros obtidos de

uma dada amostra.

Procedimentos de ensaio e medição das perdas apresentados em

diversas normas são comparados em [2] e [3]. Além disto, uma

estratégia de separação das perdas magnéticas é desenvolvida. O assunto

da perda magnética também é abordado em [4]-[7]. Já [8]-[10] tratam da

caracterização dos materiais. Dentre estas perdas, a histerese consome

uma parcela significativa de toda energia injetada no dispositivo que

utiliza materiais de grão não orientado. Dentre os modelos utilizados

atualmente para representar a histerese magnética, o modelo escalar de

Jiles-Atherton [11] tem se destacado, envolvendo a busca dos cinco

parâmetros para representar o material submetido a teste. Uma

determinação numérica dos parâmetros da histerese e o modelo vetorial

inverso de Jiles-Atherton são apresentados em [12]-[14].

Recentemente vários métodos foram sugeridos para identificar os

parâmetros do modelo de Jiles-Atherton. As abordagens mais utilizadas

são: algoritmos numéricos de otimização estocásticos [15]-[16]; buscas

determinísticas e randômicas [17]; métodos baseados em algoritmos de

mínimos quadrados não linear [18]; algoritmos genéticos [19]-[24];

método de avaliação diferencial [25]; otimização nuvem de partículas

[26]; e método de otimização branch and bound [27].

As referências [16] e [21] mostram duas práticas de obtenção dos

parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton. A

metodologia apresentada em [16] baseia-se em procedimentos de

otimização. Os valores dos parâmetros são variados e a influência sobre

o erro médio quadrático é controlada. Este erro é calculado

considerando os dados experimentais e os dados simulados. No

procedimento apresentado em [21], estes parâmetros são identificados

utilizando-se algoritmo genético, e minimiza-se o erro quadrático médio

considerando-se curvas B-H experimentais e calculadas.

Nesta tese de doutorado são propostas técnicas para identificação

dos parâmetros, que têm como origem a manipulação das equações do

modelo e são finalizadas implementando-se o modelo matemático

resultante. A implementação é realizada utilizando-se algoritmos de

mínimos quadrados não linear. O tempo de simulação reduzido é uma

vantagem dos métodos propostos, comparando-os, por exemplo, com os

algoritmos genéticos.

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29

Ainda que a comparação dos métodos de identificação dos

parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton não seja o

foco deste trabalho, ressalta-se que tal comparação só poderá ser

apropriada quando os métodos em estudo forem submetidos às mesmas

condições: material submetido a teste, hardware utilizado, e dados

experimentais. Os algoritmos dos diversos métodos deverão ser

disponibilizados para possibilitar a realização dos estudos comparativos.

Para cada método é medido o tempo de atividades pré-processamento

transcorrido, e o tempo de simulação propriamente dito. Para o mesmo

conjunto inicial de parâmetros, e mesmo número máximo de iterações, é

necessário verificar a qualidade da solução encontrada pela aplicação de

cada método. Como indicadores da qualidade da solução encontrada

poderão ser utilizados: a distância total acumulada considerando pontos

calculados e pontos experimentais; o valor do erro quadrático médio; e o

valor do erro percentual considerando as perdas calculadas e as perdas

medidas. Por outro lado, para cada método são utilizados diferentes

conjuntos iniciais de parâmetros, e diferentes valores para o número

máximo de iterações. Então, observam-se a qualidade da solução

encontrada e o tempo de simulação transcorrido.

Para determinar os parâmetros do modelo escalar de histerese de

Jiles-Atherton pode ser utilizado o método de algoritmos genéticos que

aplica técnicas de optimização ou podem ser utilizados métodos

baseados na lógica fuzzy que busca quantificar as incertezas do

problema. As técnicas propostas neste trabalho não se limitam a aplicar

técnicas de optimização. Nas técnicas propostas analisa-se o fenômeno e

as equações são manipuladas permitindo implementar uma única

equação que envolve apenas as variáveis de interesse. Isso permite uma

rápida identificação dos parâmetros.

1.2 PROBLEMA DE PESQUISA

Este trabalho contribui para a identificação dos parâmetros do

modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton. Os objetivos desta

pesquisa são: realizar um apanhado das técnicas de caracterização dos

materiais magnéticos; analisar suas características positivas; e identificar

seus pontos fracos obtendo subsídios para propor técnicas originais de

caracterização.

Para identificar os parâmetros do modelo escalar de histerese de

Jiles-Atherton, manipulam-se as equações do modelo. Esta manipulação

permite organizar os dados e descobrir os maiores obstáculos na

identificação dos parâmetros. Uma vez identificadas as dificuldades, é

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30

possível escolher, entre as possíveis soluções existentes, a melhor

ferramenta a ser utilizada em sua resolução, o que consequentemente

traz vantagens para o processo de identificação dos parâmetros.

Tendo em mente as equações do modelo de Jiles-Atherton e uma

relação constitutiva, obtêm-se com rigor matemático três metodologias

para identificar os parâmetros do modelo: na primeira metodologia é

desenvolvida uma equação que permite caracterizar os materiais

ferromagnéticos utilizando-se cálculo das derivadas inerentes ao modelo

de Jiles-Atherton; na segunda abordagem obtem-se uma única equação

que, utilizando integrais, permite caracterizar os materiais evitando o

uso de derivadas; e na terceira metodologia, uma única equação

algébrica é formulada para permitir caracterizar os materiais evitando

ambas: derivadas e integrais. Então, as propostas de pesquisa neste

trabalho são três, e estas hipóteses são verificadas posteriormente ao

longo deste texto.

As três metodologias não são desenvolvidas para eliminarem-se

entre si, e tampouco uma é a negação da outra. A tripla consideração

enriquece a caracterização dos materiais ferromagnéticos, na medida em

que os resultados podem ser comparados propiciando a tomada de

decisão consciente.

Adicionalmente, nesta tese, o modelo escalar de Jiles-Atherton é

modificado para a inserção de um sexto parâmetro. O modelo apresenta

originalmente cinco parâmetros para representar o material submetido a

teste. Esta modificação pode melhorar a caracterização de materiais

cujos laços de histerese apresentam ruídos.

1.3 OBJETIVOS

O objetivo da pesquisa é contribuir para a identificação dos

parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton. A

caracterização de materiais é fundamental para uma modelagem precisa

e eficiente. Um conjunto de parâmetros que represente adequadamente o

material possibilita ao projetista ou analista um projeto otimizado e uma

análise mais confiável da máquina em estudo. O conjunto de parâmetros

também terá influência na convergência de sistemas numéricos como,

por exemplo, no cálculo de campos por elementos finitos levando em

conta a histerese magnética.

1.3.1 Objetivo Geral

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31

O objetivo geral da pesquisa é aprimorar a modelagem e

desenvolver metodologias para determinar os parâmetros do modelo

escalar da histerese magnética.

1.3.2 Objetivos Específicos

Para que o objetivo desta pesquisa seja alcançado são necessários:

levantar o estado da arte da modelagem dos materiais ferromagnéticos;

estudar os modelos de histerese escalar magnética; estudar as técnicas de

caracterização dos materiais ferromagnéticos; estudar as técnicas

numéricas não lineares, com vistas à solução de problemas de

caracterização dos materiais; propor novas técnicas para caracterização;

desenvolver tratamento estatístico dos resultados; validar as técnicas

propostas; e melhorar o desempenho da metodologia desenvolvida para

tratar as curvas com ruído de origem experimental.

1.4 JUSTIFICATIVA

O presente trabalho de pesquisa pode trazer contribuições

significativas: em primeiro lugar para a sociedade, na medida em que os

resultados deste estudo poderão servir, por exemplo, para modelar com

maior precisão o comportamento dos materiais ferromagnéticos e para

selecionar melhor os materiais, consequentemente permitindo projetar

máquinas elétricas mais eficientes, reduzindo o consumo de energia e os

impactos ambientais. Em segundo lugar, o trabalho servirá à

comunidade científica, mostrando, com rigor científico, a relação do

campo magnético com a indução magnética e com os parâmetros do

material, permitindo compreender as equações do modelo e o

comportamento do material ferromagnético, fornecendo informações

para elaborar relatórios de caracterização dos materiais, permitindo

comparar materiais entre si e avaliar informações dos catálogos dos

fabricantes de materiais. Enfim, o trabalho poderá servir para a

comunidade acadêmica, mostrando a aplicação do problema de Cauchy

e a aplicação das séries de potência na caracterização dos materiais.

1.5 METODOLOGIA UTILIZADA

Os trabalhos que referenciam esta pesquisa encontram-se listados

na parte final deste texto. Os dois trabalhos principais que a embasam

são [11] e [28]. A orientação gramatical que norteia este texto é [29]. De

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forma geral, o tema de pesquisa utiliza conceitos das reconhecidas áreas

da engenharia elétrica, da computação e da matemática. Os dados

experimentais utilizados foram obtidos através de um quadro de Epstein,

um sistema de aquisição de dados, e amostras do material, tal como

apresentado em [30].

1.6 ORGANIZAÇÃO DO TEXTO

Este trabalho de pesquisa está organizado em 11 capítulos. No

primeiro capítulo, o tema é introduzido, discorrendo-se sobre a

problematização, as hipóteses consideradas, a contextualização do que

será abordado, os objetivos, a justificativa, a metodologia e a

organização do texto. No segundo capítulo, são apresentados os

conceitos principais da teoria da histerese ferromagnética e o modelo

inverso de Jiles-Atherton. No terceiro capítulo é desenvolvida e

apresentada a modelagem matemática da primeira metodologia proposta

para identificar os parâmetros do modelo de histerese de Jiles-Atherton.

No quarto capítulo é apresentada a segunda formulação matemática

proposta para determinar os parâmetros do modelo de Jiles-Atherton. O

quinto capítulo fornece informações complementares sobre as duas

metodologias anteriores. No sexto capítulo analisa-se a sensibilidade da

solução encontrada, aplicando-se as metodologias anteriores, em função

dos pontos escolhidos entre os dados experimentais. O sétimo capítulo

apresenta duas formulações: uma variante do modelo inverso e outra

variante da primeira metodologia. No oitavo capítulo é desenvolvida a

modelagem matemática da terceira metodologia proposta para

identificar os parâmetros do modelo de histerese de Jiles-Atherton. O

nono capítulo traz a inclusão do sexto parâmetro. No décimo capítulo

são apresentados os resultados obtidos por meio da aplicação das

metodologias desenvolvidas, bem como os critérios que orientam a

decisão sobre a escolha dos parâmetros que melhor representam o

material. No 11º capítulo, uma conclusão geral do tema pesquisado é

exposta, e recomendações ao usuário das metodologias são

apresentadas.

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33

2 HISTERESE FERROMAGNÉTICA

2.1 CONCEITOS

Os materiais ferromagnéticos são amplamente utilizados em

aplicações da engenharia elétrica: fornecem uma estrutura robusta às

máquinas elétricas; conduzem o fluxo magnético ϕ; e, principalmente,

amplificam as induções magnéticas até um valor limite imposto pela

saturação do material.

As máquinas elétricas são dispositivos que, por meio da ação de

um campo magnético variável no tempo, convertem energia mecânica

em energia elétrica, energia elétrica em energia mecânica, ou ainda

transformam energia elétrica em energia elétrica com níveis de tensão

distintos.

Os ímãs permanentes e as correntes elétricas são fontes de

campos magnéticos. Os resultados produzidos pelo campo magnético,

para os diferentes tipos de máquinas elétricas, podem ser descritos

através de três princípios elementares: ação transformadora, ação motora

e ação geradora. No primeiro princípio, um campo magnético variável

no tempo, no interior de uma bobina, dá origem a uma tensão induzida

na bobina. No segundo princípio, um condutor percorrido por uma

corrente elétrica é colocado no interior de um campo magnético,

experimentando, assim, a ação de uma força. Já no terceiro e último

princípio, o movimento relativo entre um condutor e um campo

magnético induz tensão no condutor.

De acordo com o que já foi exposto, grandezas elétricas e

magnéticas interagem. Considere o circuito magnético da Fig. 1, onde

uma bobina de N espiras de material condutor é enrolada em um núcleo

ferromagnético fechado, de comprimento magnético lm. Quando a

bobina for alimentada com uma fonte de tensão de corrente alternada,

então uma corrente elétrica alternada I percorrerá o condutor. A corrente

elétrica gera um campo magnético, regido por H = NI/lm, no núcleo

ferromagnético. Este campo, ao ser multiplicado pela permeabilidade

magnética do material ferromagnético presente no núcleo, provoca então

uma indução magnética que corresponde a B = µH. Por sua vez, a

indução magnética atravessa a área da seção transversal S do núcleo,

originando um fluxo magnético que pode ser aproximado por ϕ = BS.

Tal como o condutor serve de caminho para a corrente elétrica, por

analogia, o núcleo ferromagnético serve de caminho para o fluxo

magnético. Desde que seja atingida a saturação do núcleo, o fluxo

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magnético não estará completamente confinado no núcleo, mas na

verdade haverá dispersão de fluxo no ar ao redor da bobina.

Figura 1 – Circuito magnético.

Fonte: Autoria própria (2016).

O fenômeno da histerese em materiais ferromagnéticos é

explicado considerando-se quatro abordagens: na primeira, o fenômeno

é explicado como uma incapacidade para percorrer os mesmos trajetos

de fluxo no material [31], [32]; na segunda, o fenômeno é entendido do

ponto de vista da necessidade de energia para reorientar os domínios

magnéticos do material; na terceira, a histerese é interpretada como um

atraso considerando a indução magnética e o campo magnético; por

último, os pontos de grampeamento, que dificultam o movimento das

paredes de domínio, são apontados como causa principal do fenômeno.

As propriedades magnéticas dos materiais podem ser medidas

pela curva característica, denominada curva B-H, que mostra a relação

instantânea da indução magnética B com o campo magnético H em um

ciclo completo de operação. No sentido de levantar a curva B-H, um

núcleo é submetido a um campo magnético. A quantidade do fluxo

magnético estabelecido em um material ferromagnético depende não só

do campo aplicado ao material, como também da história prévia do

fluxo no material. Um campo magnético uniforme pode ser obtido no

interior de uma bobina de N espiras, suficientemente longa, percorrida por uma corrente elétrica I. Assumindo que inicialmente não existe

fluxo no material em análise, o fluxo na amostra varia segundo a

trajetória a-b, mostrada na Fig. 2, quando o campo externo aumenta.

Porém, o fluxo decresce seguindo a curva b-c-d, que é uma trajetória

diferente da anterior, quando a corrente diminui. Posteriormente, a

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curva d-e-b é então descrita quando a corrente volta a aumentar. Note

que esta última curva gera fluxos menores ϕ2 < ϕ1 para correntes iguais.

Esta dependência da história do fluxo anterior e a incapacidade

resultante para percorrer os trajetos do fluxo anterior chama-se histerese,

se a frequência da corrente for suficientemente baixa, o que corresponde

a fenômenos quase-estáticos. A trajetória fechada b-c-d-e-b, resultante

das variações da corrente aplicada, chama-se, de maneira geral, curva B-

H. Como é possível observar na trajetória a-b-c, o valor do fluxo no

núcleo não é anulado quando se retira a força magnetomotriz. Isto

acontece porque permanece um campo magnético na amostra cujo fluxo

é o segmento a-c, e este é chamado fluxo residual ϕres. Para o fluxo ser

anulado é necessário aplicar, em sentido contrário, certa quantidade de

força magnetomotriz, denominada força magnetomotriz coercitiva Fmmc.

Figura 2– Curva B-H típica para materiais ferromagnéticos.

Fonte: Salvador Gonzales (2001).

Para entender o comportamento dos materiais ferromagnéticos é

necessário conhecer sua estrutura. Dentro dos metais existem regiões

denominadas domínios. Em cada domínio todos os dipolos magnéticos

atômicos estão alinhados: seus campos magnéticos apontam para a

mesma direção. Assim, cada domínio dentro do material atua de maneira

idêntica a um ímã de dimensões atômicas. Contudo, um bloco de ferro

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pode apresentar fluxo magnético nulo quando a grande maioria dos

domínios estiver orientada ao acaso dentro do material como mostrado

na Fig. 3, situação que acontece espontaneamente em temperatura

ambiente.

Figura 3 – Domínios magnéticos desordenados.

Fonte: Salvador Gonzales (2001).

Quando um campo magnético exterior é aplicado ao núcleo

mostrado na Fig. 3, os domínios tendem a se orientar na direção de tal

campo, estabelecendo um fluxo magnético no ferro que faz com que os

dipolos se orientem no sentido do campo externo, aumentando assim a

intensidade do campo magnético. Este processo de realimentação

positiva do campo faz o ferro atingir um valor da permeabilidade

magnética maior do que o valor da permeabilidade magnética do ar.

À medida que a intensidade do campo magnético é incrementada,

outros domínios, que antes estavam orientados em direções diversas, se

reorientam, alinhando-se ao campo externo. Quando quase todos os

domínios se alinham ao campo exterior (Fig. 4), um novo aumento da

força magnetomotriz causa, somente, um incremento do fluxo similar ao

conseguido no ar – visto que, se idealmente todos os domínios estiverem

alinhados pelo campo como mostrado na Fig. 5, então por este motivo

deixa de existir o efeito de realimentação que reforça o fluxo. Neste

ponto, diz-se que o ferro está saturado com o fluxo e isto corresponde à

região da saturação da curva de magnetização.

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Figura 4 – Domínios magnéticos orientados.

Fonte: Salvador Gonzales (2001).

Dito de outra maneira, quando o campo magnético exterior for

anulado, nem todos os domínios reorientam-se aleatoriamente

novamente: esta é a causa da histerese. E isso ocorre porque energia é

necessária à mudança de orientação. Inicialmente, os domínios se

alinham ao campo porque o próprio campo magnético exterior

proporciona esta energia. Não há nenhuma fonte de energia que faça

esta reorientação dos domínios, quando tal campo é anulado. Neste caso,

a amostra retém uma indução remanente até seu estado ser alterado por

uma fonte de energia externa. Entre as fontes exteriores de energia que

podem conseguir isto estão: força magnetomotriz de sentido contrário,

esforço mecânico forte, e aumento da temperatura. Um destes eventos

pode fornecer energia aos domínios e permitir que eles voltem à

orientação original. O fato de que é necessária energia para reorientar os

domínios no ferro constitui um tipo de perda de energia em todas as

máquinas elétricas. Esta perda é chamada de perda por histerese no

núcleo de ferro.

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Figura 5 – Aniquilamento dos domínios magnéticos individuais.

Fonte: Salvador Gonzales (2001).

2.2 MODELO DE JILES-ATHERTON

Os domínios magnéticos podem ser orientados, de forma

permanente ou temporária, aplicando-se forças externas. No entanto,

ainda não se apresentou o conceito de parede de domínio. A parede de

domínio é a interface entre dois domínios, e esta pode movimentar-se

sob a ação de um campo magnético externo. Este movimento permite a

ampliação ou a redução do volume do domínio magnético. Durante a

movimentação são encontradas barreiras que impedem o movimento, e

para vencê-las é necessário energia. Assim, um material magnético

apresenta o fenômeno da histerese, que significa atraso considerando a

indução magnética e o campo magnético.

Um modelo matemático para o fenômeno da histerese magnética

é apresentado em [11]. Este modelo tem base na flexão experimentada

pela parede de domínio magnético e no movimento de translação da

mesma. O fenômeno da histerese magnética é causado pelo

grampeamento (do inglês pinning) das paredes de domínios magnéticos,

em defeitos presentes na estrutura cristalina do material ferromagnético

ou em inclusões, não magnéticas, no material.

Esta modelagem matemática foi desenvolvida para descrever a

curva B-H sigmoide, aquela em formato de S. A curva sigmoide é típica

dos materiais ferromagnéticos moles utilizados pelos dispositivos eletromagnéticos. Esta curva mostra uma mudança muito suave na

magnetização devida ao campo magnético. A mudança é suave por

causa da força de atrito contrária às mudanças na magnetização. Esta

força, que resiste às alterações na magnetização, existe devido ao

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39

grampeamento das paredes de domínio devido às não idealidades do

material.

Seja uma parede de domínio magnético presa a um defeito do

material. Quando um campo magnético H é aplicado, a parede de

domínio experimenta dois movimentos: inicialmente, esta sofre uma

flexão que a coloca em movimento reversível; e posteriormente, a

parede liberta-se dos pontos de grampeamento e desloca-se para a nova

posição de grampeamento, em movimento irreversível. Além disso, as

paredes de domínio magnético podem ficar presas nas não

homogeneidades dentro de um grão como, por exemplo: discordâncias,

imperfeições, regiões de tensões mecânicas não homogêneas e inclusões

não magnéticas no grão.

O modelo de histerese desenvolvido não só considera que quando

as paredes de domínio se movimentam, elas encontram impedimentos

causados pelos pontos de grampeamento existentes no interior do

material, como também não faz distinção dos tipos de pontos de

grampeamento. O modelo utiliza uma energia de grampeamento média

na formulação, considerando uma distribuição uniforme dos pontos de

grampeamento existentes no material. Neste modelo, a dificuldade de

movimentar as paredes de domínio, devida às não idealidades, é

representada pelo parâmetro k.

Estas hipóteses permitiram que uma equação simples fosse obtida

para a histerese magnética.

No modelo de histerese de Jiles-Atherton é considerada a

existência de um acoplamento inter domínios que afeta o campo

magnético efetivo He segundo He=H+αM. O parâmetro α representa este

acoplamento. O campo magnético efetivo é resultado da ação conjunta

do campo magnético externo aplicado ao material, da magnetização total

no material multiplicada pelo parâmetro de acoplamento.

A equação de Langevin [33] modificada foi escolhida para

modelar a magnetização anisterética Man=ms(coth(He/a)-(a/He)) onde o

parâmetro a caracteriza a forma da magnetização anisterética, e o

parâmetro ms representa a magnetização de saturação.

Sobre o movimento das paredes de domínio, um deslocamento

reversível da parede é aquele que ocorreria ao material ideal: sem pontos

de grampeamento. Se o campo magnético fosse removido do material, a

parede de domínio retornaria à posição original. Na ausência de pontos

de grampeamento, as paredes de domínio são colocadas em ação por

algo similar a uma pressão que as faz deslocarem-se.

Os pontos de grampeamento diminuem a permeabilidade inicial

do material ferromagnético e aumentam a sua força coercitiva. Para um

Page 44: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

40

ponto de grampeamento situado na parede entre dois domínios, a

energia necessária para a superação do ponto de grampeamento depende

da natureza do próprio ponto de grampeamento e da orientação relativa

dos momentos dos domínios situados em cada lado da parede. Como se

supõe uma distribuição uniforme dos pontos de grampeamento, e

considerando uma energia de grampeamento média, o trabalho total

contra o grampeamento é proporcional à mudança na magnetização.

Quando a parede de domínio experimenta uma flexão, por estar

presa a dois pontos de grampeamento, inicialmente o resultado é uma

mudança reversível da magnetização. Este processo reversível continua

até a parede encontrar-se, precocemente, com outro ponto de

grampeamento, ficando presa a ele, ou até a parede se expandir o

suficiente para se libertar dos atuais pontos de grampeamento. Uma vez

livre, a parede agora se desloca irreversivelmente até ser presa

novamente. Consequentemente, a magnetização é composta de duas

parcelas: a magnetização reversível Mrev (devida à flexão das paredes), e

a magnetização irreversível Mirr (devida ao deslocamento das paredes).

A quantidade de paredes de domínio que são flexionadas depende

da energia da parede de domínio, da força dos pontos de grampeamento

e do campo magnético aplicado ao material. Se a energia da parede de

domínio for alta, e se a força dos pontos de grampeamento for pequena,

então a parede flexionará menos antes de se libertar dos pontos de

grampeamento. Por outro lado, no estado desmagnetizado, as paredes de

domínio são planas, já que não existe nenhuma força que tende a

movimentá-las; neste caso, não há motivos para existirem paredes

flexionadas.

O movimento da parede de domínio pode ser visto juntamente

com a magnetização anisterética. A magnetização anisterética Man é o

estado ideal de configuração dos domínios: condição que requer menor

energia. Logo, para qualquer campo magnético dado, se o valor da

magnetização M for maior do que o valor da magnetização anisterética,

então a parede de domínio experimentará uma força que tende a

diminuir a magnetização. Caso contrário, se o valor da magnetização for

menor do que o valor da magnetização anisterética, então a parede de

domínio experimentará uma força que tende a aumentar a magnetização.

Uma parede de domínio localizada na região entre dois domínios, cujos

momentos estão alinhados em paralelo e antiparalelo em relação à

direção do campo magnético aplicado ao material, flexiona de uma

maneira quando M > Man, e de outra maneira quando M < Man. Quando

M = Man a parede é planar (sem flexão). A quantidade de flexão da

parede de domínio, antes que seja liberta dos pontos de grampeamento

Page 45: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

41

que a prendem, é linearmente dependente da diferença entre

magnetização anisterética e magnetização. E o coeficiente de

proporcionalidade é representado pelo parâmetro c no modelo de Jiles-

Atherton.

Diante do exposto, a ideia fundamental do modelo baseia-se na

existência de uma força que atua nas paredes de domínio. Esta força

existe não simplesmente devido à aplicação do campo magnético

externo ao material, mas por causa do campo magnético aplicado menos

uma contribuição, que corresponde à tendência do material

ferromagnético apresentar configuração de domínio orientada

aleatoriamente. A força que atua nas paredes de domínio é dada pelo

resultado da diferença entre a magnetização anisterética e a

magnetização total resultante do material.

Para finalizar, existe um número infinito de possíveis

configurações para descrever a interação das paredes de domínio e dos

defeitos presentes no material. Estes defeitos podem ser pontuais ou não.

Na modelagem não é realizável considerar todas as possíveis situações e

geometrias de paredes e de defeitos. Sendo assim, para modelar a flexão

das paredes de domínio, que tem origem na diferença entre a

magnetização e a magnetização anisterética, os autores consideraram

que quando uma parede de domínio corta um grão esférico, esta fica

presa ao contorno do grão. Sob a ação de um campo magnético, a parede

de domínio é flexionada, sendo deformada reversivelmente e

gradativamente até a uma distância linear x. O volume varrido pela

parede de domínio e a alteração na magnetização reversível são

calculados, para dois domínios com momentos paralelo e antiparalelo ao

campo magnético aplicado.

Em síntese, os pontos de grampeamento se opõem ao movimento

das paredes de domínio, e são a causa fundamental do fenômeno da

histerese nos materiais ferromagnéticos.

2.3 MODELO INVERSO

No modelo original de Jiles-Atherton, o campo magnético é a

variável independente e a indução magnética é a variável dependente.

Uma modificação do modelo de Jiles-Atherton é apresentada em [28]:

nesta, a indução magnética se torna a variável independente. Através

desta modificação, o modelo se torna naturalmente adaptado ao cálculo

de campos por Elementos Finitos com formulação em potencial vetor

magnético.

Page 46: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

42

A partir das equações originais do modelo de Jiles-Atherton foi

desenvolvida uma nova formulação que relaciona três taxas de variação:

a taxa de variação da magnetização total com a indução magnética; a

taxa de variação da magnetização irreversível com a indução magnética

efetiva; e a taxa de variação da magnetização anisterética com o campo

magnético efetivo. No modelo inverso, quando os valores dos

parâmetros que representam o material são conhecidos, a magnetização

e o campo magnético são calculados com base na indução magnética,

em um procedimento passo a passo no tempo. O modelo inverso e o

modelo original têm os mesmos parâmetros.

2.3.1 Modelagem Matemática

Para o modelo inverso são válidas as seguintes equações:

irr revM M M (2.1)

rev an irrM c M M (2.2)

coth ean s

e

H aM m

a H

(2.3)

irr an irr

e

dM M M

dH k

(2.4)

eH H M (2.5)

0B H M . (2.6)

Onde: M é a magnetização; Mirr é a magnetização irreversível;

Mrev é a magnetização reversível; Man é a magnetização anisterética; ms,

α, a, k e c são os parâmetros do material no modelo de Jiles-Atherton;

He é o campo magnético efetivo; δ assume os valores ±1; H é o campo

magnético; B é a indução magnética; e µ0 é a permeabilidade magnética

do vácuo.

Substituindo (2.2) em (2.1) tem-se: irr an irrM M cM cM . Ou

seja:

Page 47: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

43

1 irr anM c M cM . (2.7)

Derivando (2.7) em relação à indução magnética efetiva (Be =

µ0He) tem-se:

1 irr an

e e e

dM dM dMc c

dB dB dB . (2.8)

Mas,

e e

dM dM dB

dB dB dB . (2.9)

De (2.5) e (2.6) e como Be = µ0He tem-se: He = H+αM ou H =

He-αM. Como B = µ0(H+M) então B = µ0(He-αM +M) ou B = µ0He-α

µ0M + µ0M.

0 0eB B M M . (2.10)

Derivando (2.10) em relação à indução magnética efetiva

decorre:

0 01e e e

dB dM dM

dB dB dB .

Que substituindo em (2.9) permite escrever:

Page 48: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

44

0 0

0

0

0

0

0

0

1

1

1 1

1

1

1 1

1 1

e e e

e e e

e e

e e

e e

e

e

dM dM dM dM

dB dB dB dB

dM dM dM dM

dB dB dB dB

dM dM dM

dB dB dB

dM dM dM dM

dB dB dB dB

dM dM dM dM

dB dB dB dB

dM dM dM

dB dB dB

dMdM dB

dMdB

dB

01 1e

dMdM dB

dMdB

dB

(2.11)

Por outro lado:

an an e

e e e

dM dM dH

dB dH dB . (2.12)

Mas, como Be = µ0He então He = Be/ µ0. Consequentemente:

0

1e

e

dH

dB (2.13)

Substituindo (2.13) em (2.12) vem:

Page 49: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

45

0

1an an

e e

dM dM

dB dH (2.14)

Derivando (2.3) em relação ao campo magnético efetivo, tem-

se:

cothan es

e e e e

dM d H d am

dH dH a dH H

Esta derivada é calculada no Apêndice A, assim, de (A.19) tem-

se:

2

2

21 cothan s e

e e

dM m H a

dH a a H

(2.15)

Para finalizar:

irr irr e

e e e

dM dM dH

dB dH dB

De (2.13) tem-se:

0

1irr irr

e e

dM dM

dB dH (2.17)

Substituindo (2.4) em (2.17), encontra-se:

0

1irr an irr

e

dM M M

dB k

(2.18)

Aplicando (2.2) na equação (2.1):

1irr rev irr an irr irr anM M M M cM cM M c cM .

A magnetização irreversível é isolada das demais variáveis

nesta última expressão:

1

anirr

M cMM

c

.

Assim, (2.8) é escrita utilizando (2.14), (2.11) e (2.18):

Page 50: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

46

0

00

0

0

0

0

0

1

11

11

1 1

11 1 1

11 1 1

1

irr an

e e e

irr an

e e e

irr an

e e

irr an

e e

irr irr an

e e e

dM dM dMc c

dB dB dB

dM dM dMc c

dB dB dH

dMdM dMdB c c

dM dB dH

dB

dM dM dM dMc c

dB dB dH dB

dM dM dM dM dMc c c

dB dB dB dB dH

c

0

0

0

1

1 1 1

1

an

e

irr an

e e

irr an

e e

dM dM

dH dB

dM dM dM dM dMc c

dB dB dB dH dB

dM c dMc

dB dH

0

0

1 1 1 1

1

irr an

e e

irr an

e e

dM dM dMc c

dB dB dH

dM c dMc

dB dH

0

0

1

1 1 1 1

irr an

e e

irr an

e e

dM c dMc

dM dB dH

dM dMdBc c

dB dH

0 0

11

1 1 1 1

an irr an

e

an irr an

e

M M c dMc

dM k dH

dB M M dMc c

k dH

(2.20)

A relação (2.20) é a equação principal do modelo escalar

inverso de Jiles-Atherton.

A magnetização total e o campo magnético são calculados pelo

algoritmo numérico mostrado na sequência.

Page 51: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

47

B(t) e H(t) são calculados no passo anterior.

B B t t B t

0

B tM t H t

eH t H t M t

coth

e

an s

e

H t aM t m

a H t

1

an

irr

M t cM tM t

c

2

21 cothean s

e e

H tdM m a

dH a a H t

0 0

1

1 1 1 1

an irr an

e

an irr an

e

M t M t c dMc

k dHdM

dB M t M t dMc c

k dH

(2.21)

dM

M t t M t BdB

(2.22)

0

B t tH t t M t t

(2.23)

Este algoritmo numérico é implementado na tese usando o

software MATLAB.

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48

Page 53: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

49

3 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO DE

HISTERESE DE JILES-ATHERTON: PRIMEIRA

METODOLOGIA

3.1 MODELAGEM MATEMÁTICA

O problema da caracterização de materiais consiste em: para

uma dada amostra de aço, obtém-se curvas B-H em baixa frequência, o

que garante que as perdas dinâmicas possam ser desconsideradas. Para

este conjunto de dados experimentais deve-se encontrar um conjunto de

cinco parâmetros para que o modelo de histerese possa representar o

comportamento desta amostra, ou seja, dados os pontos P(H, B) do laço

de histerese experimental calcular os parâmetros que representam o

material: ms, α, a, k, e c.

Para resolver o problema anterior, as equações do modelo escalar

de histerese de Jiles-Atherton são utilizadas. Estas envolvem outras

variáveis além daquelas cujos valores são conhecidos (H, B), e além

daquelas cujos valores são pretendidos (os parâmetros do modelo).

Consequentemente, existe a necessidade de manipular as equações do

modelo de forma a obter uma equação única, que envolva apenas as

variáveis de interesse H, B, e os parâmetros do modelo. Esta

manipulação, além de organizar melhor os dados, auxilia também na

identificação do problema por trás da determinação dos parâmetros.

Assim, as equações do modelo foram manipuladas e foi obtida uma equação diferencial ordinária (EDO) não linear, em função de B e

H, onde aparecem os parâmetros pretendidos. Esta EDO é o problema

por trás da determinação dos parâmetros e é representada de forma

compacta por dB/dH = f(H,B).

A metodologia proposta para determinar os parâmetros do

modelo consiste em transformar a EDO não linear obtida em uma

equação algébrica em função de B e H. Para isso são necessários

escolher cinco pontos Pi(H, B) do laço de histerese experimental, i =

1,...,5; e calcular numericamente as derivadas nestes pontos i

dBP

dH . A

EDO é avaliada no primeiro ponto escolhido, resultando em uma

equação algébrica. Quando a EDO for avaliada em todos os pontos escolhidos entre os dados experimentais, obtêm-se cinco equações

algébricas, e constrói-se um sistema de cinco equações com cinco

incógnitas. As incógnitas são os parâmetros procurados. Para calcular os

parâmetros é suficiente resolver este sistema de equações.

Page 54: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

50

Nesta metodologia as equações são tratadas nos ramos ascendente

e descendente do laço de histerese. Entende-se por ramo ascendente a

parte da curva para qual tem-se dH > 0. Por outro lado o ramo

descendente é aquele onde tem-se dH < 0. Na obtenção dos parâmetros

não são considerados laços menores.

3.1.1 Modelagem do Ramo Ascendente

No Apêndice A, apresenta-se a construção de uma equação

principal, com base nas cinco equações de Jiles-Atherton e em uma

relação constitutiva. A equação principal é utilizada na determinação

dos parâmetros do modelo. Os parâmetros do modelo escalar de

histerese de Jiles-Atherton são determinados para representar o material

ensaiado em laboratório.

Esta equação principal é dada por:

0

0

0 0

0 0 0

0

2

0

1coth

1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 11

1

11 coth

11

s

s

H B am

Ba aH

dB c c dB

k k dH c k c k dH

B B dBH H

c k c k dH

dB

c dH

Hc m B a

c a a aH

2

0

0

1

B

dB

dH

. (3.1)

Observa-se que a equação (3.1) está escrita em termos de H, B,

dB/dH, e dos cinco parâmetros procurados: ms, α, a, k, e c. De forma

simplificada, esta EDO não linear pode ser representada por:

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51

,dB

f H BdH

(3.2)

Para calcular os parâmetros do modelo por meio de (3.2), a

seguinte metodologia é proposta:

Primeiro, deve ser obtido um laço de histerese

experimental do material a ser representado;

Seleciona-se cinco pontos principais P(H,B)

estrategicamente posicionados no ramo experimental

ascendente, localizados onde ocorrer uma mudança de

tendência, como mostrado na Fig. 6:

Figura 6 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Primeira

metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

Em seguida, a derivada da indução magnética, em

relação ao campo magnético, avaliada em cada ponto

selecionado (ou seja, dB

PdH

como mostrado na Fig.

7) deve ser determinada em cada ponto principal

P(H,B). Na verdade, com a finalidade de calcular esta

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

1

2

5

3

4

Page 56: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

52

derivada, para cada ponto principal são necessários

dois pontos auxiliares situados na vizinhança do ponto

principal. Observar na Fig. 7 que se P2 e P4, situados

muito próximos do ponto principal P3, forem

selecionados para pontos auxiliares, então, a

hipotenusa se aproxima da reta tangente. Para

P3(H3,B3) tem-se: 4 23

4 2

dB B BP

dH H H

;

Por fim, os cinco pontos experimentais principais e

suas respectivas derivadas são inseridos em (3.2). Isso

origina um sistema de cinco equações com cinco

incógnitas. As cinco incógnitas são os parâmetros do

modelo: ms, α, a, k, e c.

Figura 7 – Cálculo da derivada. Primeira metodologia.

Fonte: Autoria própria (2011).

3.1.2 Modelagem do Ramo Descendente

Analisa-se agora o ramo descendente da curva B-H.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

P2

P3

P4

B3

B2

H3 H4H2

B4

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53

Os passos anteriores, válidos para a modelagem matemática do

ramo ascendente, são igualmente seguidos para modelar o ramo

descendente. Neste último caso do ramo descendente, do mesmo modo

somos levados à equação (3.1), sendo que o termo k é agora substituído

pelo termo –k, devido ao produto kδ. A resolução da nova equação

segue também a metodologia anterior, que foi gerada para o ramo

ascendente. Agora, simplesmente, os pontos chave experimentais são

alterados, escolhendo-os entre os pontos pertencentes ao ramo

experimental descendente.

3.2 RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Existem duas EDO’s não lineares (uma para cada ramo da curva

B-H), onde aparecem os cinco parâmetros procurados. Partindo disso

são construídos dois sistemas não lineares: o primeiro para o ramo

descendente e o segundo para o ramo ascendente. Cada sistema possui

cinco equações e cinco incógnitas. Para cada ramo é necessário utilizar

um total de 15 dados experimentais (estrategicamente posicionados no

laço experimental conforme descritos nas seções 3.1.1 e 3.1.2 deste

trabalho) para escrever o sistema. São necessários 15 pontos (5

principais mais 2 pontos auxiliares para cada ponto principal), uma vez

que dados experimentais de dB/dH não estão disponíveis.

Dado um sistema algébrico de cinco equações não lineares

1 1 1 1 1

5 5 5 5 5

/ ,

/ ,

F x dB dH f H B

F x

F x dB dH f H B

Onde x = [ms α a k c] são as cinco incógnitas. Cada

componente do sistema F é obtida igualando (3.2) à zero e considerando

(3.1). O objetivo é encontrar um vetor x tal que Fi(x) = 0 para 1≤ i ≤5.

Para resolver este sistema de equações a soma dos quadrados é

minimizada. Se a soma dos quadrados é nula, então o sistema de

equações está resolvido. Para resolver o sistema utilizou-se o método de

mínimos quadrados não linear. O sistema apresenta infinitas soluções e para resolvê-lo utilizou-

se o seguinte método:

Para começar, um valor inicial é atribuído ao conjunto

de parâmetros x0 = [ms0 α0 a0 k0 c0]. Para cada valor

inicial x0 é construída uma sequência de valores xn, e

no caso de convergência, limite de xn quando n tende

ao infinito é igual a uma das soluções do sistema;

Page 58: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

54

Logo depois, o sistema F para o ramo descendente é

resolvido. Assim uma candidata à solução é obtida.

Avalia-se o sistema F na candidata à solução;

Em seguida, o erro é avaliado na norma infinito, isto é,

observar se a componente de maior valor absoluto do

sistema F apresenta valor inferior a um erro dado (de

valor positivo). Para v, vetor cujas componentes são os

valores absolutos do sistema F, a norma infinito [34] é

dada por: max iv v ;

Posteriormente, caso não seja uma solução plausível

por desobedecer o critério do erro, esta candidata à

solução é utilizada como dado inicial para resolver o

sistema F para o ramo ascendente;

Após isso, o novo sistema F é resolvido obtendo-se

assim uma nova candidata à solução. Avalia-se o

sistema F na nova candidata à solução;

No próximo passo, o erro é avaliado na norma infinito;

Antes de terminar, este procedimento é repetido,

quantas vezes forem necessárias, até atingir o erro

desejado ou o número máximo de iterações

estabelecido;

Para terminar, os parâmetros encontrados são inseridos

no algoritmo do modelo inverso, apresentado em [28],

para comparar o laço medido com o laço calculado.

Para iniciar o conjunto de parâmetros x0 = [ms0 α0 a0 k0 c0] é

necessário considerar as seguintes orientações: os parâmetros do modelo

assumem valores positivos. Como B = μ0(H+M) então Bs = μ0(Hs+Ms).

Assim o primeiro parâmetro Ms≈Bs/μ0. O segundo parâmetro varia na

faixa 10-6

<α<10-4

. O terceiro parâmetro a é aproximadamente igual ao

campo coercitivo. O quinto parâmetro varia na faixa 0<c<1.

Para verificar se a solução encontrada depende dos pontos

escolhidos entre os dados experimentais (para escrever o sistema de

equações), na seção 6.1 é feita uma análise da sensibilidade da solução

aos pontos escolhidos.

Considerando uma solução do tipo mínimos quadrados, para

verificar a possibilidade da utilização de todos os pontos pertencentes ao

ramo (para escrever o sistema de equações), a regressão não linear é

apresentada na seção D.2.

Page 59: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

55

Para obter a solução, as raízes do sistema são calculadas

aplicando-se o método de mínimos quadrados não linear apresentado na

seção D.3.

3.3 DIAGRAMA DE BLOCOS

O algoritmo escrito, tendo como base a primeira metodologia

desenvolvida para identificar os parâmetros do modelo de histerese de

Jiles-Atherton, é constituído de sete partes, como é possível observar nas

Fig. 8.a e 8.b.

A primeira parte, nomeada “curva experimental”, contém os

dados experimentais da indução magnética e do campo magnético. Um

único período de regime permanente é necessário. Esta parte permite

observar o gráfico da curva B-H experimental, identificar a posição do

início e do término do ramo descendente, bem como a quantidade de

pontos experimentais existentes.

A segunda parte, designada “separa curvas”, separa os pontos do

ramo ascendente dos pontos do ramo descendente. Além disso, organiza

estes pontos em ordem crescente para o ramo ascendente, e em ordem

decrescente para o ramo descendente.

A terceira parte, chamada “escolha pontos principais”, permite

uma entrada interativa de dados em figura. O usuário seleciona cinco

pontos principais pertencentes ao ramo descendente, e cinco pontos

principais pertencentes ao ramo ascendente. O algoritmo seleciona

automaticamente pontos auxiliares, que são necessários ao cálculo da

derivada da indução magnética em relação ao campo magnético.

A quarta parte, intitulada “avalia f negativa”, avalia a função F no

conjunto inicial de parâmetros: considerando o ramo descendente.

A quinta parte, representada por “f negativa”, resolve o sistema

construído para o ramo descendente.

A sexta parte, chamada “f positiva”, resolve o sistema construído

para o ramo ascendente.

A sétima e também última parte, intitulada “principal”, tem a

função de coordenar as seis partes anteriores; calcular a curva B-H

utilizando o modelo inverso; e exibir na tela os parâmetros encontrados,

o tempo de simulação, as distâncias (máxima, mínima e acumulada)

calculadas, considerando os pontos experimentais e os pontos

simulados, o erro médio quadrático MSE, e o erro calculado

considerando a perda medida e a perda calculada.

Page 60: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

56

Figura 8.a – Diagrama de blocos. Primeira metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

Page 61: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

57

Figura 8. b – Continuação do diagrama de blocos.

Fonte: Autoria própria (2015).

Page 62: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

58

Page 63: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

59

4 OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS DO MODELO DE

HISTERESE DE JILES-ATHERTON: SEGUNDA

METODOLOGIA

4.1 MODELAGEM MATEMÁTICA

Uma nova metodologia de identificação dos parâmetros do

modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton foi apresentada no capítulo

precedente. Esta identificação foi feita através de uma EDO não linear:

dB/dH = f(H,B). Cálculos da derivada dB/dH avaliada em cada ponto de

interesse eram necessários à identificação. Esta nova metodologia foi

utilizada na caracterização de vários materiais em conformidade com

[35], e com [36]. Em síntese, no caso de materiais cujo laço de histerese

descreve uma curva sigmoide suave, foram obtidas excelentes

aproximações de laços (calculado e medido). Por outro lado, esta

metodologia não apresentou boa concordância dos dados calculados

com os dados medidos para a curva experimental com conteúdo ruidoso.

Na tentativa de obter melhores resultados, correspondentes à

curva experimental com conteúdo ruidoso, pretende-se determinar os

parâmetros do modelo utilizando uma técnica original, que evita cálculo

de derivadas [37]. Nesse sentido, construir-se-á o problema de Cauchy

associado, aplicar-se-á o método do fator integrante, e será desenvolvida

e proposta uma equação que relaciona a indução magnética com o

campo magnético, levando em conta a histerese. Especialmente, para

resolver as integrais envolvidas aplicar-se-ão séries de potência [38].

Para melhorar a primeira metodologia, intuitivamente, deve-se

evitar o cálculo de derivadas. Para impedir este cálculo é necessário

obter, diretamente, uma equação algébrica em função de B e H; e utilizar

5 pontos (e não 15) por ramo do laço de histerese, para escrever o

sistema de equações.

Entretanto, uma análise prévia do problema revelou que

manipulando as equações do modelo, ter-se-ia que obter, inicialmente,

uma equação algébrica em função de M e de He.

Quando de fato a manipulação das equações foi feita, uma EDO

linear em função de M e de He foi obtida. Como o valor inicial é

conhecido, o problema de Cauchy associado à EDO foi construído,

garantindo a solução da EDO. O valor inicial do problema de Cauchy é

(H0, B0) proveniente da tabela de dados experimentais. Para obter a

solução da EDO, o problema de Cauchy foi resolvido utilizando o

método do fator integrante.

Page 64: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

60

A solução do problema de Cauchy é a equação algébrica

pretendida, em função de M e de He, e revelada pela análise prévia já

citada nesta seção. Com esta equação, retornando às equações do

modelo, é possível obter a equação algébrica esperada, em função de B e

de H, e necessária ao impedimento do cálculo de derivadas também já

mencionado nesta seção.

O desenvolvimento da equação principal, utilizada na

determinação dos parâmetros do modelo, é apresentado no Apêndice B.

Esta equação que evita cálculo de derivadas é dada por:

0 00 0

0

1 1

00

0 0

1

1 1

0 0

0 0 0

0

0

0

0

1

1 11

1

coth

1

coth

B H B H

k

B H

s k

n n

n

n

s

s

B BH H e

mc e

k

cB H B H

n

B Ha

cma

B H

B

cm

0 00 0

0

0 0

0

1 1

1

1

B H B H

k

Ha

aB H

e

. (4.1)

Em (4.1), os coeficientes cn dependem do valor de δ e do valor

dos parâmetros do material: a e k.

Observa-se que a equação (4.1) está escrita em termos de H, B, e

dos cinco parâmetros procurados: ms, α, a, k, e c. De forma simplificada

esta equação pode ser representada por:

0

,B

H f H B

(4.2)

Page 65: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

61

Conhecendo-se as coordenadas dos pontos P(H,B), do laço de

histerese experimental do material, pretende-se calcular os cinco

parâmetros do modelo utilizando (4.1). Como (4.1) está escrita em

função de B e de H, e também aparecem nela os cinco parâmetros do

modelo, então é necessário avaliá-la em cinco pontos Pi(H, B), i = 1,...,5,

para determinar os parâmetros, o que leva à cinco equações algébricas.

Estas equações geram um sistema de cinco equações e cinco incógnitas

(as incógnitas são os cinco parâmetros do modelo). Para determinar os

parâmetros do modelo é suficiente resolver este sistema de equações.

4.2 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

Esta seção é apresentada com o propósito de descrever como a

equação (4.1) é utilizada na identificação dos parâmetros do modelo de

histerese de Jiles-Atherton.

Como a equação (4.1) depende do valor de δ, esta é adequada

tanto ao ramo descendente como ao ramo ascendente da curva B-H.

Assim, existem duas equações não lineares (uma para delta negativo e

outra para delta positivo) em que aparecem os cinco parâmetros

procurados. Utilizando dados experimentais, são construídos dois

sistemas não lineares, cada um apresentando cinco equações com cinco

incógnitas. Para escrever o sistema são necessários, para cada delta,

apenas cinco pontos experimentais, escolhidos entre os pontos

pertencentes ao laço experimental como mostrado na Fig. 9.

Page 66: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

62

Figura 9 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados.

Segunda metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

Igualando (4.2) à zero e considerando (4.1), o sistema de

equações não lineares é dado por:

11 1 1 1

0

55 5 5 5

0

,

,

BF x f H B H

F x

BF x f H B H

Onde x = [ms α a k c]. Este sistema apresenta infinitas soluções e

para resolvê-lo são seguidas as etapas:

Atribuir valor inicial ao conjunto de parâmetros: ms, α,

a, k, e c;

Para o ramo descendente da curva B-H: selecionar

cinco pontos experimentais P(H,B) estrategicamente

posicionados neste ramo; selecionar valores para

(H0,B0) na tabela de dados experimentais; avaliar F no

valor inicial do conjunto de parâmetros; resolver o

sistema de equações F utilizando o método dos mínimos quadrados não linear;

Para o ramo ascendente da curva B-H: selecionar cinco

pontos experimentais P(H,B) estrategicamente

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

2

5

4

3

1

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63

posicionados neste ramo; selecionar valores para

(H0,B0) na tabela de dados experimentais; resolver o

sistema de equações F utilizando a solução do passo

anterior como dado inicial do conjunto de parâmetros;

Variar o valor inicial do conjunto de parâmetros;

Se necessário, alterar o valor selecionado para (H0,B0);

Comparar o laço experimental com o laço calculado

utilizando o conjunto de parâmetros obtido.

Para verificar se a solução encontrada depende dos pontos

escolhidos entre os dados experimentais (para escrever o sistema de

equações), na seção 6.2 é feita uma análise da sensibilidade da solução

aos pontos escolhidos.

Considerando uma solução do tipo mínimos quadrados para

verificar a possibilidade da utilização de todos os pontos pertencentes ao

ramo (para escrever o sistema de equações), a regressão não linear é

apresentada na seção D.2.

Para se obter a solução, as raízes do sistema são calculadas

aplicando-se o método de mínimos quadrados não linear apresentado na

seção D.3.

4.3 DIAGRAMA DE BLOCOS

O algoritmo desenvolvido para identificar os parâmetros do

modelo de histerese de Jiles-Atherton é constituído em sete partes, como

é possível observar nas Fig. 10.a e 10.b.

A primeira parte, intitulada “curva experimental”, contém os

dados experimentais da indução magnética e do campo magnético. Um

único período em regime permanente é necessário à identificação dos

parâmetros do modelo. Esta parte permite observar o gráfico da curva B-

H experimental; identificar a posição do início e do término do ramo

descendente; bem como permite ter conhecimento da quantidade de

pontos experimentais existentes.

A segunda parte, denominada “separa curvas”, separa os pontos

pertencentes ao ramo ascendente dos pontos pertencentes ao ramo

descendente. Além disso, organiza estes pontos em ordem crescente

para o ramo ascendente, e em ordem decrescente para o ramo

descendente.

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64

A terceira parte, denominada “escolha pontos principais”, permite

entrada interativa de dados em figura. O usuário seleciona cinco pontos

pertencentes ao ramo descendente e cinco pontos pertencentes ao ramo

ascendente (pontos estrategicamente posicionados em cada ramo como

mostrado na Fig. 9). Pontos auxiliares não são necessários, já que a

segunda metodologia evita estimar a derivada da indução magnética em

relação ao campo magnético.

A quarta parte, com o título de “avalia f negativa”, é dedicada ao

ramo descendente. Quanto a isso, o sistema 0

,B

F f H B H

é

avaliado no conjunto inicial de parâmetros dado, e ao (H0,B0) são

atribuídos valores experimentais pertencentes a este ramo.

Na quinta parte, chamada de “f negativa”, o sistema relacionado

com o ramo descendente é resolvido.

Na sexta parte, com a denominação de “f positiva”, o sistema

relacionado com o ramo ascendente é resolvido. Ao (H0,B0) são

atribuídos valores experimentais pertencentes a este ramo.

Na sétima e última parte, nomeada “principal”, são desenvolvidas

as seguintes atividades: coordenação das seis partes anteriores; cálculo

da curva B-H através do modelo inverso; e exibição na tela dos

parâmetros encontrados, do tempo de simulação, das distâncias

(máxima, mínima e acumulada) calculadas considerando pontos

experimentais e pontos simulados, do erro médio quadrático MSE, e do

erro considerando a perda medida e a perda calculada.

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65

Figura 10.a – Diagrama de blocos. Segunda metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

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66

Figura 10.b – Continuação do diagrama de blocos.

Fonte: Autoria própria (2015).

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67

5 NOÇÕES COMPLEMENTARES

Neste capítulo são apresentadas informações adicionais sobre a

primeira e a segunda metodologias propostas. Com estas informações

pretende-se orientar o usuário sobre a escolha dos pontos experimentais

necessários à construção do sistema e dar as direções para a seleção dos

valores iniciais (H0, B0).

5.1 PRIMEIRA METODOLOGIA

Considerando o ramo ascendente do laço experimental, para se

construir o sistema de equações resolvido conforme a abordagem da

primeira metodologia, apenas cinco pontos principais experimentais

pertencentes ao ramo são necessários. O posicionamento dos pontos

escolhidos entre os dados experimentais está mostrado na Fig. 11. É

importante ressaltar que para construir o sistema utiliza-se a equação

dB/dH = f(H,B), e consequentemente, serão necessárias as coordenadas

do ponto P(H,B) e a inclinação da curva neste ponto dB

PdH

.

Observando o ramo ascendente do laço de histerese na Fig. 11 é possível

identificar quatro inclinações relevantes: dois trechos de reta e dois

trechos curvos. Como se pretende modelar o ramo completo, faz-se

necessário selecionar pontos pertencentes a cada uma das inclinações

relevantes existentes no ramo, isto é, os pontos devem estar sempre

localizados onde ocorrerem mudanças significativas de inclinação.

Assim, o primeiro ponto deve estar localizado no fim do primeiro

trecho de reta. O terceiro e o quarto pontos devem estar localizados nos

extremos do segundo trecho de reta. O segundo e o quinto pontos devem

estar localizados na posição intermediária de cada um dos trechos

curvos.

Ao se escrever um algoritmo para a automatização da seleção dos

pontos principais, depara-se com a dificuldade da escolha, dentre

muitos, do valor da tolerância necessária ao monitoramento da mudança

da inclinação. A escolha do valor da tolerância pelo usuário se torna

mais crítica quando se tratar de laço de histerese com conteúdo ruidoso.

Assim, ao invés da tolerância, neste trabalho foram utilizadas entrada

interativa de dados em figuras, e leitura em arquivo de imagem contendo

modelo de seleção dos pontos principais.

Uma tela é aberta na área de trabalho para que o usuário possa

indicar os pontos principais, tendo como base o modelo mostrado na

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68

tela. Após indicação dos pontos principais pelo usuário, utiliza-se a

função de entrada interativa de dados em figura, que aceita os pontos

indicados pelo usuário. Independente da forma de escolha dos pontos de

interesse, é necessário ressaltar que pode ser necessário reavaliar esses

pontos de forma a melhorar os resultados.

Para calcular a derivada avaliada em cada ponto principal

indicado pelo usuário, o algoritmo seleciona automaticamente dois

pontos auxiliares, situados na vizinhança de cada ponto principal.

Figura 11 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Primeira

metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

Tendo em conta o ramo descendente do laço experimental, para

construir o sistema de equações, resolvido de acordo com a primeira

metodologia, aplica-se um procedimento análogo ao descrito para o

ramo ascendente. O posicionamento dos pontos escolhidos entre os

dados experimentais está exibido na Fig. 12.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

1

2

5

3

4

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69

Figura 12 – Ramo descendente: pontos principais recomendados. Primeira

metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

Um total de 30 pontos experimentais é necessário à construção do

sistema de equações, sendo 15 pertencentes ao ramo ascendente (dentre

os quais, 5 são pontos principais e 10 são pontos auxiliares); e 15

pertencentes ao ramo descendente (dentre os quais, 5 são pontos

principais e 10 são pontos auxiliares).

5.2 SEGUNDA METODOLOGIA

Acerca do ramo ascendente do laço experimental, para se

construir o sistema de equações, resolvido do ponto de vista da segunda

metodologia, são necessários somente cinco pontos principais

experimentais pertencentes ao ramo. O posicionamento dos pontos

escolhidos entre os dados experimentais está destacado na Fig. 13. É

importante ressaltar que estes pontos devem estar localizados

estrategicamente no ramo. Os pontos de interesse podem ser localizados

como descrito na primeira metodologia, embora o cálculo de derivadas

seja desnecessário à determinação dos parâmetros do modelo. Os

resultados apresentados no décimo capítulo seguem a escolha de pontos

recomendada para cada metodologia.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

2

3

5

4

1

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70

Figura 13 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Segunda

metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

Em relação ao ramo descendente do laço experimental, para se

construir o sistema de equações, resolvido de acordo com a segunda

metodologia, aplica-se procedimento análogo ao apresentado quando se

tratou do ramo ascendente.

Um total de dez pontos experimentais é necessário à construção

do sistema de equações, sendo cinco pontos pertencentes ao ramo

ascendente e cinco pontos pertencentes ao ramo descendente. Pontos

auxiliares são desnecessários à determinação dos parâmetros do modelo.

Além disto, para a segunda metodologia, selecionar valores

experimentais de (H0,B0) é necessário à determinação dos parâmetros do

modelo. Para exemplificar, seja o problema de valor inicial (PVI) dado

por: dy/dx = 6x2-5. Para encontrar a solução geral y que satisfaz esta

equação, é possível separar a variável y da variável x e integrar, isto é:

ʃdy = ʃ(6x2-5)dx que conduz ao resultado y = 2x

3-5x+cte. Para buscar

soluções particulares sejam:

30 2 5cte y x x , ou 9 3 91 10 2 5 1 10cte y x x ,

por outra forma 9 3 91 10 2 5 1 10cte y x x .

O gráfico destas soluções particulares é apresentado na Fig. 14.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

2

5

4

3

1

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71

Figura 14 – Soluções particulares.

Fonte: Autoria própria (2015).

Sob outra perspectiva, uma equação principal da forma dB/dH =

f(H,B), onde aparecem os cinco parâmetros do modelo, foi encontrada

na primeira metodologia. Esta é uma EDO com uma excessiva

quantidade de termos, fazendo com que sua manipulação seja

extremamente penosa, principalmente, quando a intenção é encontrar

sua solução, isto é, encontrar a expressão B(H) que satisfaça esta EDO.

Mas, uma vez conhecidos os cinco parâmetros do modelo, o

seguinte problema de valor inicial de primeira ordem é estudado:

0 0

,dB

f H BdH

B H B

O estudo tem como base o conceito de campos de direção [39],

[40] que na verdade não é um método numérico, mas um conceito que

permite esboçar uma solução de uma equação diferencial de primeira

ordem, sem resolvê-la efetivamente. Os campos de direção mostram o

padrão do fluxo para a família de curvas soluções da equação

diferencial. Para uma equação diferencial de primeira ordem, que não

pode ser resolvida pelas técnicas usuais, como é o caso em estudo, o

campo de direção é um conceito utilizado no estabelecimento da

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72

existência de uma curva solução [39], [40], e se possível na sua

localização.

Para levantar o campo de direção, e indicar alguns membros

possíveis da família de curvas soluções da equação dB/dH = f(H,B),

utilizou-se o MAPLE (software matemático de computação simbólica

ou algébrica). Para a família de curvas soluções da equação, alguns

membros possíveis da família para o ramo ascendente estão

apresentados na Fig. 15, e o padrão do fluxo desta família é mostrado

também nesta figura. Visualmente é possível notar a existência de uma

curva solução do tipo sigmoide, que são as curvas típicas de histerese de

materiais ferromagnéticos.

Figura 15 – Plano de fase.

Fonte: Autoria própria (2012).

Levando-se isto em consideração para a segunda metodologia,

admite-se que (H0,B0) conduz a uma das curvas soluções. Existe

interesse em obter a curva calculada que melhor se aproxima do

comportamento experimental do material em estudo. O valor de (H0,B0)

é escolhido entre os dados experimentais de indução magnética e de

campo magnético.

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73

6 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Para analisar a sensibilidade da solução aos pontos escolhidos

entre os dados experimentais são apresentados resultados obtidos

variando a posição dos cinco pontos principais, e variando o valor do

conjunto inicial de parâmetros. Neste estudo são considerados: a

primeira metodologia; a segunda metodologia; o laço de histerese suave;

o laço de histerese com conteúdo ruidoso; três posições, diferentes entre

si, dos cinco pontos principais; e três valores, diferentes entre si, do

conjunto inicial de parâmetros.

6.1 PRIMEIRA METODOLOGIA

Para a primeira metodologia, para cada ramo da curva B-H,

considera-se um sistema de cinco equações e cinco incógnitas. O

sistema é construído utilizando a equação obtida nesta metodologia e

cinco pontos principais. Estes últimos são localizados na curva B-H

onde ocorrem mudanças de inclinação mais relevantes, visto que a

equação obtida contém o termo dB/dH. Isto é feito para que sejam

consideradas na modelagem as diferentes e mais relevantes inclinações

existentes na curva B-H.

Um sistema que utiliza cinco pontos principais, localizados na

curva B-H de forma diferente da citada no parágrafo anterior, é

construído para analisar a sensibilidade da solução aos pontos

escolhidos entre os dados experimentais.

6.1.1 Laço de Histerese Suave

Três alternativas que representam as diferentes posições dos

cinco pontos principais são analisadas: na primeira alternativa, os cinco

pontos principais são selecionados na parte inicial do ramo, como está

mostrado na Fig. 16; na segunda alternativa, estes pontos são

selecionados na região intermediária do ramo, conforme mostrado na

Fig. 17; e para finalizar, na terceira alternativa, os pontos são

selecionados na região terminal do ramo, como pode ser observado na

Fig. 18.

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74

Figura 16 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

1. Laço suave.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 17 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

2. Laço suave.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: -104.4

Y: -1.193

X: -70.54

Y: -1.169

X: -34.17

Y: -1.124

X: 0.4209

Y: -0.9796X: 24.28

Y: -0.7295

X: 105.6

Y: 1.194

X: 68.36

Y: 1.168

X: 27.79

Y: 1.107

X: -1.717

Y: 0.9708

X: -27.84

Y: 0.662

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 28.98

Y: -0.6366

X: 37.64

Y: -0.2911

X: 40.52

Y: 0.0452

X: 44.73

Y: 0.3923

X: 57.35

Y: 0.7355

X: -43.8

Y: -0.342

X: -36.81

Y: 0.3492

X: -40.15

Y: 0.0075

X: -54.36

Y: -0.6807

X: -26.62

Y: 0.6869

Page 79: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

75

Figura 18 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

3. Laço suave.

Fonte: Autoria própria (2015).

Para cada alternativa de seleção dos pontos principais, estão

apresentados na Tabela 1 e na Tabela 2 os conjuntos iniciais de

parâmetros utilizados na simulação e o conjunto de parâmetros solução

obtido. Para os casos em que a curva B-H calculada se aproxima da

curva B-H experimental, são apresentadas: a distância total calculada

considerando os pontos pertencentes ao laço experimental e os pontos

pertencentes ao laço simulado; o MSE; o erro percentual calculado

considerando a perda magnética medida e a perda magnética calculada;

e o tempo de simulação. Para os casos em que a curva B-H calculada

está distante da curva B-H experimental, estes valores são representados

por x.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 107.7

Y: 1.164

X: 88.96

Y: 1.059

X: 69.82

Y: 0.9001

X: 55.64

Y: 0.7053

X: 46.7

Y: 0.4766

X: -108.8

Y: -1.169

X: -90.56

Y: -1.069

X: -74.22

Y: -0.9435X: -57.7

Y: -0.7414

X: -47.28

Y: -0.4973

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76

Tabela 1 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. Alternativas 1 e 2: laço

suave

Alternativa 1 Alternativa 2

a) b) c) d) e) f)

ms0 1,72

x106

1,5

x106

1,8

x106

1,72

x106

1,5

x106

1,8

x106

α0 2x10-4

4x10-4

1x10-4

2x10-4

4x10-4

1x10-4

a0 172 175 162 172 175 162

k0 100 80 120 100 80 120

c0 0,5 0,3 0,6 0,5 0,3 0,6

ms 3,05

x106

3,44

x106

5,41

x107

1,57

x106

1,5

x106

1,59

x106

α 1,71

x10-3

2,76

x10-3

3,99

x10-4

2

x10-4

4,15

x10-4

2,03

x10-4

a 1701,1 3086,96 4650,18 104,92 175,00 107,33

k 141,4 253,2 356,4 54,62 80,00 56,62

c 0,82 0,95 0,71 0,24 0,3 0,26

Dist.

tot

x x x 559 x 230,6

MSE x x x 0,40 x 1,36

Erro% perdas x x x 0,46 x 0,04

t(s) x x x 4,94 x 7,92

Fonte: Autoria própria (2015)

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77

Tabela 2 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. Alternativa 3: laço

suave

Alternativa 3

g) h) i)

ms0 1,72x106 1,5x10

6 1,8x10

6

α0 2x10-4

4x10-4

1x10-4

a0 172 175 162

k0 100 80 120

c0 0,5 0,3 0,6

ms 1,71x106 1,65x10

6 1,66x10

6

α 2,96x10-4

2,38x10-4

2,15x10-4

a 164,7 137,87 124,41

k 75,0 19,8 26,9

c 0,40 -0,91 -0,45

Dist tot 3901,4 x x

MSE 6,63 x x

Erro% perdas 4,38 x x

t(s) 5,69 x x

Fonte: Autoria própria (2015)

As Fig. 19-27 apresentam o laço de histerese experimental e o

laço de histerese calculado, para cada alternativa de seleção de pontos

principais e para cada conjunto inicial de parâmetros utilizado na

simulação.

Page 82: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

78

Figura 19 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação a).

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo magnético(A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 83: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

79

Figura 20 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação b).

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 84: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

80

Figura 21 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação c).

Fonte: Autoria própria (2015).

Para um sistema de equações utilizando cinco pontos principais,

localizados na região inicial do ramo, o laço calculado não está próximo

do laço experimental, como pode ser observado nas Fig. 19-21, e

consequentemente, a solução apresentada é inútil na representação do

material cujo laço de histerese experimental foi disponibilizado.

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética

(T

)

Simulado Medido

Page 85: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

81

Figura 22 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação d).

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética

(T

)

Simulado Medido

Page 86: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

82

Figura 23 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação e).

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 87: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

83

Figura 24 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação f).

Fonte: Autoria própria (2015).

Para um sistema de equações composto com cinco pontos

principais, localizados na região central do ramo, existe concordância do

laço calculado com o laço experimental, como pode ser observado nas

Fig. 22 e 24. Para selecionar o conjunto de parâmetros que representa

melhor o material correspondente ao laço experimental, na primeira

fase, os resultados correspondentes à situação d) são comparados com os

resultados correspondentes à situação f); posteriormente, na segunda

fase, os resultados correspondentes à situação f) são comparados com os

resultados apresentados na Tabela 14 (seção 10.6, primeiro caso,

primeira metodologia). Com referência à Tabela 14, os cinco pontos

principais foram localizados na curva B-H, onde ocorrem mudanças de

inclinação mais relevantes.

Tabela 3 – Comparações numéricas. Situações d) e f)

Fonte: Autoria própria (2015)

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Dist Erro% Seleção Decisão

Total Perdas Dist. Total MSE Erro% Perdas Parcial Dist. Total MSE Erro% Perdas Final

Metd 1 174 1,71 0,04 1,26 Metd 1

Situac d) 559 0,4 0,46 2,42 11,50

Situac f) 230,6 1,36 0,04 3,40 Situac f) 1,33

RazãoMSE

Razão

Page 88: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

84

As comparações numéricas são apresentadas na Tabela 3. É

possível conferir que o conjunto de parâmetros, calculado utilizando

pontos principais localizados na região central do ramo, não é o melhor

candidato a representar o material correspondente ao laço experimental.

Na primeira fase, o maior ganho é de 11,50: significa que o erro%,

calculado considerando perdas medidas e perdas simuladas,

correspondente à situação d) é 11,50 vezes o erro% correspondente à

situação f), e consequentemente, os melhores resultados são os

correspondentes à situação f). Na segunda fase, uma análise similar a

anterior é feita, e consequentemente, o conjunto de parâmetros obtido

com a aplicação da primeira metodologia, utilizando cinco pontos

principais localizados na curva B-H, onde ocorrem mudanças de

inclinação mais relevantes, representa melhor o material que foi

submetido a teste.

Figura 25 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação g).

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 89: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

85

Figura 26 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação h).

Fonte: Autoria própria (2015).

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

x 10 5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 90: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

86

Figura 27 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação i).

Fonte: Autoria própria (2015).

Para um sistema de equações utilizando cinco pontos principais

localizados na região terminal do ramo, existe concordância do laço de

histerese calculado com o laço de histerese experimental, como pode ser

observado na Fig. 25. Nas Fig. 26 e 27 esta concordância não é

verificada. Como mencionado na seção 3.2, para cada valor inicial x0 é

construída uma sequência de valores xn, e no caso de convergência,

limite de xn quando n tende ao infinito é igual a uma das soluções do

sistema. Assim, considerando as Fig. 26 e 27, os valores iniciais

utilizados não levam a uma situação de convergência.

Para selecionar o conjunto de parâmetros que representa melhor o

material que foi submetido a teste, os resultados correspondentes à

situação g) serão comparados com os resultados apresentados na Tabela

14 (seção 10.6, primeiro caso, primeira metodologia). Com referência à

Tabela 14, os cinco pontos principais foram localizados na curva B-H

onde ocorrem mudanças de inclinação mais relevantes. Sobre a situação

g), os valores da distância total, do MSE, e do erro% de perdas são todos

superiores aos apresentados na Tabela 14, e consequentemente, o

conjunto de parâmetros, calculado utilizando pontos principais

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

x 10 5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 91: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

87

localizados na região terminal do ramo, não é o melhor candidato a

representar o material que foi submetido a teste.

6.2 SEGUNDA METODOLOGIA

Para a segunda metodologia, para cada ramo da curva B-H,

considera-se um sistema de cinco equações e cinco incógnitas. O

sistema é escrito utilizando a equação obtida nesta metodologia e cinco

pontos principais. Estes últimos são localizados na curva B-H com a

pretensão de considerar, na medida do possível, o ramo completamente.

Os pontos não são necessariamente localizados na curva B-H onde

ocorrem mudanças significativas de inclinação, visto que a equação

obtida não contém o termo dB/dH.

Um sistema que utiliza cinco pontos principais, localizados na

curva B-H de forma diferente da citada no parágrafo anterior, é escrito

para analisar a sensibilidade da solução aos pontos escolhidos entre os

dados experimentais.

6.2.1 Laço de Histerese Contendo Ruídos

Três alternativas, que representam as diferentes posições dos

cinco pontos principais, são analisadas: na primeira alternativa, os cinco

pontos principais são selecionados na parte inicial do ramo, como está

mostrado na Fig. 28; na segunda alternativa, estes pontos são

selecionados na região intermediária do ramo, conforme mostrado na

Fig. 29; e para finalizar, na terceira alternativa, os pontos são

selecionados na região terminal do ramo, como pode ser observado na

Fig. 30.

Page 92: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

88

Figura 28 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

1. Laço com conteúdo ruidoso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 29 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

2. Laço com conteúdo ruidoso.

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: -141.5

Y: -1.395

X: -93.83

Y: -1.377

X: -43.19

Y: -1.348

X: 5.957

Y: -1.283

X: 47.66

Y: -1.077

X: -53.62

Y: 0.9793

X: -19.36

Y: 1.251

X: 35.74

Y: 1.345

X: 89.36

Y: 1.379

X: 143

Y: 1.397

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 77.45

Y: 0.2918

X: 71.49

Y: -0.04713

X: 64.04

Y: -0.3913

X: 61.06

Y: -0.7336

X: 47.66

Y: -1.077

X: -32.77

Y: 1.197

X: -53.62

Y: 0.8597

X: -62.55

Y: 0.5188

X: -67.02

Y: 0.1804

X: -72.98

Y: -0.1608

Page 93: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

89

Figura 30 – Curva B-H experimental. Seleção dos pontos principais: alternativa

3. Laço com conteúdo ruidoso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Para cada alternativa de seleção dos pontos principais, estão

apresentados na Tabela 4 e na Tabela 5 os conjuntos iniciais de

parâmetros utilizados na simulação e o conjunto de parâmetros solução

obtido. Para os casos que a curva B-H calculada se aproxima da curva B-

H experimental são apresentadas: a distância total calculada

considerando os pontos pertencentes ao laço experimental e os pontos

pertencentes ao laço simulado; o MSE; o erro percentual calculado

considerando a perda magnética medida e a perda magnética calculada;

e o tempo de simulação. Para os casos em que a curva B-H calculada

está distante da curva B-H experimental, estes valores são representados

por x.

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

X: 141.5

Y: 1.364X: 95.32

Y: 1.154

X: 68.51

Y: -0.1693

X: 83.4

Y: 0.6994

X: 75.96

Y: 0.2576

X: -140

Y: -1.36X: -93.83

Y: -1.155

X: -80.43

Y: -0.7427

X: -74.47

Y: -0.29

X: -68.51

Y: 0.1108

Page 94: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

90

Tabela 4 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. Alternativas 1 e 2: laço

com conteúdo ruidoso

Alternativa 1 Alternativa 2

a) b) c) d) e) f)

ms0 2,00

x106

1,8

x106

2,1

x106

2,00

x106

1,8

x106

2,1

x106

α0 4x10-4

6x10-4

3x10-4

4x10-4

6x10-4

3x10-4

a0 71 74 61 71 74 61

k0 76 56 96 76 56 96

c0 0,01 0,04 0,02 0,01 0,04 0,02

ms 5,79

x106

1,96

x106

2,08

x106

2,96

x106

4,93

x106

1,16

x106

α 1,43

x10-4

2,15

x10-4

2,26

x10-4

1,58

x10-4

8,80

x10-4

1,21

x10-3

a 67,33 127,94 143,26 116,31 1509,04 333,36

k 5628,1 92,25 103,50 328,11 367,74 542,49

c 0,24 0,14 0,22 0,53 0,87 0,87

Dist tot x 8090,0 7203,6 x x x

MSE x 9,44 9,61 x x x

Erro% perdas x 7,31 3,84 x x x

t(s) x 1,90 2,54 x x x

Fonte: Autoria própria (2015)

Tabela 5 – Entradas utilizadas e resultados encontrados. . Alternativa 3: laço

com conteúdo ruidoso

Alternativa 3

g) h) i)

ms0 2,00x106 1,8x10

6 2,1x10

6

α0 4x10-4

6x10-4

3x10-4

a0 71 74 61

k0 76 56 96

c0 0,01 0,04 0,02

ms 2,32x106 9,88x10

6 2,58x10

6

α 1,36x10-4

1,18x10-4

1,31x10-4

a 78,90 438,61 67,41

k 170,67 41,79 163,12

c 0,37 -0,76 0,13

Dist tot x x x

MSE x x x

Erro% perdas x x x

t(s) x x x

Fonte: Autoria própria (2015)

Page 95: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

91

As Fig. 31-39 apresentam o laço de histerese experimental e o

laço de histerese calculado, para cada alternativa de seleção de pontos

principais e para cada conjunto inicial de parâmetros utilizado na

simulação.

Figura 31 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação a).

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética

(T

)

Simulado Medido

Page 96: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

92

Figura 32 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação b).

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética

(T

)

Simulado Medido

Page 97: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

93

Figura 33 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 1: situação c).

Fonte: Autoria própria (2015).

Para um sistema de equações utilizando cinco pontos principais,

localizados na região inicial do ramo, o laço calculado está próximo do

laço experimental, como pode ser observado nas Fig. 32 e 33. Para

selecionar o conjunto de parâmetros que representa melhor o material

correspondente ao laço experimental: na primeira fase, os resultados

correspondentes à situação b) são comparados com os resultados

correspondentes à situação c); posteriormente, na segunda fase, os

resultados correspondentes à situação c) são comparados com os

resultados apresentados na Tabela 14 (seção 10.6, quinto caso, segunda

metodologia). Com referência à Tabela 14, os cinco pontos principais

foram localizados na curva B-H com a pretensão de considerar, na

medida do possível, o ramo completamente.

Tabela 6 – Comparações numéricas. Situações b) e c)

Fonte: Autoria própria (2015)

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Dist Erro% Seleção Decisão

Total Perdas Dist. Total MSE Erro% Perdas Parcial Dist. Total MSE Erro% Perdas Final

Metd 2 9550 16,4 0,39 1,33 1,70 Metd 2

Situac b) 8090 9,44 7,31 1,12 1,90

Situac c) 7203,6 9,61 3,84 1,02 Situac c) 9,85

MSERazão Razão

Page 98: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

94

As comparações numéricas são apresentadas na Tabela 6. É

possível conferir que o conjunto de parâmetros, calculado utilizando

pontos principais localizados na região inicial do ramo, não é o melhor

candidato a representar o material correspondente ao laço experimental.

Na primeira fase, o maior ganho é de 1,90: significa que o erro%

calculado considerando perdas medidas e perdas simuladas

correspondente à situação b) é 1,90 vezes o erro correspondente à

situação c), e consequentemente, os melhores resultados são os

correspondentes à situação c). Na segunda fase, uma análise similar a

anterior é feita, e consequentemente, o conjunto de parâmetros obtido

com a aplicação da segunda metodologia (utilizando cinco pontos

principais localizados na curva B-H com a pretensão de considerar, na

medida do possível, o ramo completamente) representa melhor o

material que foi submetido a teste.

Figura 34 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação d).

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 99: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

95

Figura 35 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação e).

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 100: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

96

Figura 36 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 2: situação f).

Fonte: Autoria própria (2015).

Para um sistema de equações utilizando cinco pontos principais,

localizados na região central do ramo, o laço calculado não está próximo

do laço experimental, como pode ser observado nas Fig. 34-36, e

consequentemente, a solução apresentada é inútil na representação do

material cujo laço de histerese experimental foi disponibilizado.

-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética

(T

)

Simulado Medido

Page 101: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

97

Figura 37 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação g).

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética

(T

)

Simulado Medido

Page 102: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

98

Figura 38 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação h).

Fonte: Autoria própria (2015).

-9000 -8000 -7000 -6000 -5000 -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 103: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

99

Figura 39 – Curva B-H calculada e laço medido. Alternativa 3: situação i).

Fonte: Autoria própria (2015).

Para um sistema de equações utilizando cinco pontos principais,

localizados na região terminal do ramo, o laço calculado não está

próximo do laço experimental, como pode ser observado nas Fig. 37-39,

e consequentemente, a solução apresentada é inútil na representação do

material cujo laço de histerese experimental foi disponibilizado.

Com base nos resultados apresentados conclui-se que, para um

mesmo conjunto inicial de parâmetros, o conjunto de parâmetros

solução obtido depende da localização dos cinco pontos principais no

ramo. Entretanto, é importante salientar que nenhuma solução obtida

utilizando cinco pontos principais localizados de forma diferente da

recomendada no ramo, superou a solução obtida utilizando cinco pontos

principais localizados no ramo tal como indica a recomendação. Assim,

reiteramos a importância de seguir a recomendação dada para cada

metodologia de identificação dos parâmetros do modelo de histerese de

Jiles-Atherton. Por outro lado, na seção D.2 é apresentada a dificuldade

existente na identificação dos parâmetros utilizando todos os pontos

pertencentes ao ramo.

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 104: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

100

Page 105: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

101

7 VARIANTE DO MODELO INVERSO E VARIANTE DA

PRIMEIRA METODOLOGIA

7.1 VARIANTE DO MODELO INVERSO

O modelo inverso de Jiles-Atherton é apresentado em [28]. A

modelagem utilizada no desenvolvimento do modelo inverso envolve

três taxas de variação nas variáveis: indução magnética efetiva; indução

magnética; e campo magnético efetivo. As alterações apresentadas nesta

seção são necessárias à inclusão da taxa de variação da magnetização

irreversível com o campo magnético irr irr e irr e

e e

dM dM H dM H dB

dH dH H dH B dH

na modelagem.

No Apêndice C é apresentado o equacionamento da variante do

modelo inverso.

7.2 VARIANTE DA PRIMEIRA METODOLOGIA

A modelagem matemática da primeira metodologia, utilizada na

obtenção dos parâmetros do modelo de histerese de Jiles-Atherton, foi

apresentada no terceiro capítulo deste trabalho. Para incluir a taxa de

variação da magnetização irreversível com o campo magnético

irr irr e irr e

e e

dM dM H dM H dB

dH dH H dH B dH

nesta formulação é necessário efetuar

as alterações apresentadas nesta seção.

As demonstrações matemáticas das derivadas utilizadas neste

capítulo estão apresentadas no Apêndice E.

O modelo de Jiles-Atherton é baseado nas seguintes equações:

irr revM M M (7.1)

rev an irrM c M M (7.2)

coth ean s

e

H aM m

a H

(7.3)

irr an irr

e

dM M M

dH k

(7.4)

Page 106: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

102

eH H M (7.5)

0B H M (7.6)

Isolando a magnetização total das demais variáveis em (7.6)

decorre imediatamente: M = (B/µ0)-H. Levando esta expressão para

(7.5), o campo magnético efetivo pode ser escrito da seguinte forma: He = H+α((B/µ0)-H). Colocando em evidência o campo magnético, segue:

0

1e

BH H

. (7.7)

Para o ramo ascendente tem-se δ = 1.

A equação (7.4) estabelece a taxa de variação da magnetização

irreversível com o campo magnético efetivo dMirr/dHe = (Man-Mirr)/k e

permite formalizar a primeira afirmação: a magnetização irreversível é

dependente do campo magnético efetivo, isto é, Mirr = Mirr(He). Por

outro lado, observando a equação (7.7) é possível formalizar a segunda

afirmação: o campo magnético efetivo é dependente do campo

magnético e da indução magnética, isto é, He = He(H,B(H)). Levando

em consideração estas duas afirmações, evidentemente, segue que Mirr = Mirr(He(H,B(H))), em consequência, se pode derivar em cadeia a

magnetização irreversível conforme as equações (7.8) e (7.9).

irr irr e e

e

irr irr e e

e

dM dM H dH H dB

dH dH H dH B dH

dM dM H H dB

dH dH H B dH

(7.8)

0

irr irr e e

e

irr irr e e

e

irr irr e

e

dM dM H dH H dB

dB dH H dB B dB

dM dM H H

dB dH H B

dM dM H

dB dH B

(7.9)

Page 107: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

103

A equação (7.8) contém o termo /eH H , logo, a derivada do

campo magnético efetivo em relação ao campo magnético é determinada

com base em (7.7), como segue:

0

1eH dB

H dH

. (7.10)

Por outro lado, da equação (7.6) tem-se que B/µ0 = H+M, onde a

magnetização total pode ser isolada das demais variáveis, tal como

segue:

0

BM H

(7.11)

Como M = M(H,B) e como a magnetização total é a soma de suas

componentes, reversível e irreversível, então: Mirr = Mirr(H,B); e Mrev =

Mrev(H,B).

Levando (7.2) para (7.1) tem-se: M = Mirr+c(Man-Mirr), isto é, M

= Mirr+cMan-cMirr, ou seja, M = Mirr(1-c)+cMan. Isolando a componente

irreversível da magnetização das demais variáveis na equação anterior

também é verdade que:

1

anirr

M cMM

c

. (7.12)

Combinando (7.11) com (7.12) obtém-se:

0

1

1 1irr an

B cM H M

c c

. (7.13)

A equação (7.13) permite obter a expressão da derivada da

magnetização irreversível em relação ao campo magnético, e como

resultado tem-se:

0

1 11

1 1

irr andM dB c dM

dH c dH c dH

(7.14)

Page 108: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

104

Por outro lado, levando (7.4) para (7.8) com δ = 1 tem-se:

irr an irr e edM M M H H dB

dH k H B dH

, que juntamente com a equação

(7.10) geram 0

1irr an irr edM M M dB H dB

dH k dH B dH

.

Mas de (7.7) tem-se: 0

eH

B

, que levada para a equação

anterior permite obter o seguinte resultado:

0 0

0

0 0

1

1 2

1 12 2

irr an irr

irr an irr

irran irr

dM M M dB dB

dH k dH dH

dM M M dB

dH k dH

dM dB dBM M

dH k k dH k k dH

que em conjunto com a equação (7.13) permitem escrever:

0 0

0

1 12

1 1

12

irran an

dM dB B cM H M

dH k k dH c c

dB

k k dH

A equação anterior pode ser escrita da seguinte maneira:

0 0 0

0

1 12 1 2

1

1 2

1

irran

an

dM dB B dBM H

dH k k dH c k k dH

c dBM

c k k dH

Colocando em evidência a magnetização anisterética também é

verdade que:

0 0

0 0

1 12 2

1

11 2

1

irran

dM dB c dBM

dH k k dH c k k dH

B dBH

c k k dH

Page 109: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

105

0 0

0 0 0

1 12 2

1 1

1 1 1 2

1 1

irran

dM dB c c dBM

dH k k dH c k c k dH

B B dBH H

c k c k dH

(7.15)

A equação (7.14) contém o termo dMan/dH, e consequentemente,

esta taxa de variação da magnetização anisterética com o campo

magnético pode ser escrita da seguinte forma:

0 0

0

1

21

an an e e

e

an an e e

e

an an

e

an an

e

dM dM H dH H dB

dH dH H dH B dH

dM dM H H dB

dH dH H B dH

dM dM dB dB

dH dH dH dH

dM dM dB

dH dH dH

Substituindo a equação anterior em (7.14), o seguinte resultado é

obtido:

0 0

1 1 21 1

1 1

irr an

e

dM dB c dM dB

dH c dH c dH dH

. (7.16)

Ambas equações, (7.15) e (7.16), mostram a expressão da

derivada da magnetização irreversível em relação ao campo magnético,

e igualando-as tem-se:

0 0

0 0 0

0 0

1 12 2

1 1

1 1 1 2

1 1

1 1 21 1

1 1

an

an

e

dB c c dBM

k k dH c k c k dH

B B dBH H

c k c k dH

dB c dM dB

c dH c dH dH

(7.17)

No entanto, substituindo (7.7) em (7.3) o resultado é:

Page 110: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

106

0

0

1coth

1an s

H B aM m

Ba aH

. (7.18)

Ainda mais, a expressão da derivada da magnetização anisterética

em relação ao campo magnético efetivo é obtida da equação (7.3), e é

dada por:

cothan es

e e e e

dM d H d am

dH dH a dH H

Esta derivada é calculada no Apêndice A, assim, de (A.19) tem-

se:

2

2

21 cothan s e

e e

dM m H a

dH a a H

(7.19)

Para finalizar, substituindo as equações (7.18), (7.19), e (7.7) em

(7.17), tem-se:

Page 111: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

107

0

0

0 0

0 0 0

0

2

0

1coth

1

1 12 2

1 1

1 1 1 2

1 1

1 11

1

11 coth

1

s

s

H B am

Ba aH

dB c c dB

k k dH c k c k dH

B B dBH H

c k c k dH

dB

c dH

Hc m B

c a a a

2

0

0

1

21

a

BH

dB

dH

. (7.20)

A equação (7.20) está escrita em termos de H, B, dB/dH e dos

cinco parâmetros procurados: ms, α, a, k, e c. O termo dB/dH pode ser

isolado das demais variáveis em (7.20), e após alguma álgebra, e para

facilitar a escrita, o resultado é organizado da seguinte forma:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

dB T T T T T T T T T

dH T T T T T T T

(7.21)

Onde:

1

0

1 1coths

H BT m

a a k

2

0

1 1coth

1s

H B cT m

a a c k

3

0

1

1

sm aT

kBH

Page 112: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

108

4

0

1

11

sm a cT

c kBH

5

0

1 1

1

BT H

c k

6

1

1T

c

7 1

1

sc mT

c a

2

8

0

1coth 1

1

sHc m B

Tc a a a

2

9

0

11

1

sc m aT

Bc aH

10

0 0 0

1 2 2coth

1s

H B cT m

a a k c k

11

0 0

0

2 2

11

sm a cT

k c kBH

12

0 0

1 2

1

BT H

c k

13

0

1 1

1T

c

14

0

2

1

sc mT

c a

2

15

0 0

1 2coth

1

sHc m B

Tc a a a

2

16

0

0

2

11

sc m aT

Bc aH

Page 113: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

109

Para que a equação (7.21) apresentada no desenvolvimento da

variante da primeira metodologia seja comparada com sua equação

correspondente (A.21) apresentada no desenvolvimento da primeira

metodologia, é necessário compatibilizar os termos de (7.21) com os

termos de (A.21).

A equação (A.21) válida para a primeira metodologia é dada por:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

dB T T T T T T T T T

dH T T T T T T T

(7.22)

Após compatibilização dos termos Ti da variante da primeira

metodologia com os termos Ti da primeira metodologia, i=1,...,16, a

equação (7.21) válida para a variante da primeira metodologia pode ser

escrita da seguinte forma:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1310 11 12 14 15 16

2

2

dB T T T T T T T T T

TdHT T T T T T

(7.23)

Para as equações (7.22) e (7.23) os termos Ti são iguais aos

termos apresentados na equação (A.21).

A equação (7.23) válida para a variante da primeira metodologia

é comparada com sua equação correspondente (7.22) válida para a

primeira metodologia. Disto se conclui que as duas equações não são

semelhantes devido ao fator dois.

A equação (7.23) pode ser escrita como: 2 ,dB

f H BdH

7.3 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

Seguem as instruções apresentadas na seção 3.2 deste trabalho.

Neste caso o sistema algébrico de cinco equações não lineares é dado

por:

11 1 1

1

55 5 5

5

2 ,

2 ,

dBF x f H B

dH

F x

dBF x f H B

dH

onde x = [ms α a k c] são as

cinco incógnitas.

Page 114: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

110

O algoritmo do modelo inverso utilizado está mostrado no

Apêndice C.

Page 115: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

111

8 LEVANTAMENTO DOS PARÂMETROS DO MATERIAL:

TERCEIRA METODOLOGIA PROPOSTA

8.1 MODELAGEM MATEMÁTICA

Neste capítulo apresenta-se o desenvolvimento de uma única

equação simplificada, com base nas cinco equações de Jiles-Atherton e

em uma relação constitutiva. Esta equação, diferentemente da equação

principal da primeira metodologia e da equação principal da segunda

metodologia, não envolve derivada nem integral. A equação

simplificada é utilizada na determinação dos parâmetros do modelo

escalar de histerese de Jiles-Atherton. Estes parâmetros são

determinados para representar o material cujo laço de histerese

experimental é disponibilizado. As equações do modelo de Jiles-

Atherton são as seguintes:

irr revM M M (8.1)

rev an irrM c M M (8.2)

coth ean s

e

H aM m

a H

(8.3)

irr an irr

e

dM M M

dH k

(8.4)

eH H M (8.5)

0B H M (8.6)

As equações (8.1)-(8.6) permitem obter uma equação não linear,

mais simples, em função de H, e B onde os cinco parâmetros do modelo,

ms; α; a; k; e c, também aparecem.

Isolando a magnetização total das demais variáveis em (8.5) tem-

se:

eH HM

(8.7)

Page 116: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

112

A identidade (8.7) é inserida em (8.6) e obtém-se o seguinte

resultado: 0 00 0

e eH H H HB H H

00

1 eHB H

(8.8)

A equação (8.8) mostra que B = B(He, H), portanto,

0e

e e e e e e

dB B dH B dH B B B

dH H dH H dH H H H

. A demonstração

matemática da igualdade anterior é apresentada no Apêndice E. O termo

/ edH dH é nulo porque na formulação de Jiles-Atherton é considerado o

modelo direto onde o campo magnético é a variável independente. Isto

significa que a derivada total da indução magnética em relação ao

campo magnético efetivo é igual à derivada parcial da indução

magnética em relação ao campo magnético efetivo, e consequentemente,

derivando parcialmente ou totalmente (8.8) em relação ao campo

magnético efetivo, tem-se:

0

e

dB

dH

(8.9)

Por outro lado, a magnetização total pode ser isolada das demais

variáveis em (8.6), como segue:

0

BM H

(8.10)

Derivando (8.10) em relação ao campo magnético efetivo e

utilizando (8.9) obtém-se o seguinte resultado:

0

0 0

1 1 1

e e

dM dB

dH dH

(8.11)

Derivando (8.3) em relação ao campo magnético efetivo, tem-se:

Page 117: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

113

cothan es

e e e e

dM d H d am

dH dH a dH H

Esta derivada é calculada no Apêndice A, assim, de (A.19) tem-

se:

22

21 cothan s e

e e

dM m H a

dH a a H

.

Agora se considera o seguinte desenvolvimento:

22

2

2

2

2coth coth

2 2coth coth coth coth

2coth coth

s s e e s s

e e e

e e e e

e e e e e

s s

e e

e

m m H a H a a m m

a a a H a H H a a

H a H a H a H a a

a H a H a H a H H

m m

a a

H a H

a H a

22

2

22

2

2

2 22 2

2 2

22

2

2 2coth

2coth

coth coth

1 1 coth

e

e e e

s s e

e e

s s e s s e

e e

s e

e

a H a a

H a H H

m m H a a

a a a H H

m m H a m m a H

a a a H a a H a

m a H

a H a

22

21 coths e

e

m a H

a H a

Logo, a seguinte igualdade é verdadeira:

22

21 coth

2coth coth

an s e

e e

s s e e

e e e

dM m H a

dH a a H

m m H a H a a

a a a H a H H

Mas de (8.3), obtém-se:

coth e an

e s

H a M

a H m

. Então segue:

Page 118: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

114

2

2

an s s an an

e s s e

s an an

s e

dM m m M M a

dH a a m m H

m M M a

a a m H

2 2an an an s

e s e

dM M M m

dH am H a (8.12)

Depois disto, substituindo (8.2) em (8.1) obtém-se o seguinte

resultado:

1irr an irr irr an irr irr anM M c M M M cM cM c M cM ou

1 1 1

an anirr

M cM M cMM

c c c

(8.13)

Derivando (8.13) em relação ao campo magnético efetivo e

utilizando (8.11) e (8.12), o resultado é:

2

2

1 1 1 2

1 1 1 1

1 2

1 1 1 1

irr an an an s

e e e s e

an an s

s e

dM dM c dM c M M m

dH c dH c dH c c am H a

c M c M c m

c c am c H c a

O que implica em:

2 2 1

1 1 1 1

irr san an

e s e

dM c c cmM M

dH am c c H c a c

(8.14)

Ambas equações, (8.14) e (8.4), mostram a expressão da derivada

da magnetização irreversível em relação ao campo magnético efetivo, e

igualando-as vem:

2 2 1

1 1 1 1

s an irran an

s e

c c cm M MM M

am c c H c a c k

Utilizando (8.13) no resultado anterior segue:

Page 119: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

115

2 2 1 1

1 1 1 1 1 1

s an anan an

s e

c c cm M M cMM M

am c c H c a c k k c c

2 2 1

1 1 1 1 1

1

s anan an

s e

an

c c cm M MM M

am c c H c a c k k c

cM

k c

2 2 1 1

1 1 1 1 1

1

san an an

s e

c c cm cM M M

am c c H c a c k k c

M

k c

2 2 1 1

1 1 1 1 1

1

san an an

s e

c c cm c cM M M

am c c H c a c k c

M

k c

2 2 1 1

1 1 1 1 1

1

san an an

s e

c c cmM M M

am c c H c a c k c

M

k c

2 2 1 1

1 1 1 1 1

01

san an an

s e

c c cmM M M

am c c H c a c k c

M

k c

2 2 1 1

1 1 1 1 1

01

san an

s e

c c cmM M

am c c H k c c a c

M

k c

21 2 1 10

1

san an

s e

c c cm MM M

c am H k a k

Page 120: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

116

2 2 1 10s

an an

s e

c c cm MM M

am H k a k

(8.15)

Isolando He das demais variáveis em (8.8), segue:

0

1eH B H

(8.16)

Substituindo (8.16) em (8.3) obtém-se o seguinte resultado:

0

0

1coth

1an s

aM m B H

a aB H

0 0

0 0

1coth

1an s

B H aM m

a B H

(8.17)

Substituindo (8.17), (8.16), e (8.10) em (8.15), tem-se:

2

0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

1coth

1

2 1

1

1 1coth

1

10

s

s

s

B Hc am

a a B H

cm

kB H

B H a cm

a B H a

BH

k

(8.18)

A equação (8.18) relaciona matematicamente H, B, aos cinco parâmetros procurados: ms, α, a, k, e c. Esta equação apresenta as

seguintes características: modela ambos os ramos, ascendente e

descendente, do laço de histerese; evita derivadas, integrais e a seleção

do valor inicial do campo magnético e da indução magnética, e

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117

consequentemente, é mais simples se for comparada com a equação

principal utilizada na primeira metodologia, e com a equação principal

utilizada na segunda metodologia.

De forma compacta (8.18) pode ser representada na seguinte

forma:

f(H, B) = 0. (8.19)

8.2 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

Esta seção é apresentada com o propósito de descrever como a

equação (8.18) é utilizada na identificação dos parâmetros do modelo de

histerese de Jiles-Atherton.

Como a equação (8.18) depende do valor de δ, esta é adequada

tanto ao ramo descendente como ao ramo ascendente da curva B-H.

Assim, existem duas equações não lineares (uma para delta negativo e

outra para delta positivo) em que aparecem os cinco parâmetros

procurados. Utilizando dados experimentais são construídos dois

sistemas não lineares: cada sistema apresenta cinco equações e cinco

incógnitas. Para escrever o sistema são necessários, para cada delta,

apenas cinco pontos experimentais, escolhidos entre os pontos

pertencentes ao laço experimental, como mostrado na Fig. 40.

Figura 40 – Ramo ascendente: pontos principais recomendados. Terceira

metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

2

5

4

3

1

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118

De (8.19) e considerando (8.18), o sistema algébrico de cinco

equações não lineares é dado por:

1 1 1

5 5 5

,

,

F x f H B

F x

F x f H B

onde x = [ms α a k c] são as cinco

incógnitas.

O sistema apresenta infinitas soluções e para resolvê-lo foram

seguidas as etapas principais abaixo mencionadas:

Atribuir valor inicial ao conjunto de parâmetros: ms, α,

a, k, e c;

Para o ramo descendente da curva B-H, selecionar

cinco pontos experimentais P(H,B) estrategicamente

posicionados neste ramo. Levar os cinco pontos

experimentais para (8.18). Isso origina o sistema F de

cinco equações com cinco incógnitas. As cinco

incógnitas são os parâmetros do modelo. Substituir no

sistema o valor inicial do conjunto de parâmetros, e

resolver o sistema de equações;

Para o ramo ascendente da curva B-H: selecionar cinco

pontos experimentais P(H,B) estrategicamente

posicionados neste ramo. Levar os cinco pontos

experimentais para (8.18). Isso origina o sistema F de

cinco equações com cinco incógnitas. As cinco

incógnitas são os parâmetros do modelo. Resolver o

sistema de equações utilizando a solução do passo

anterior (ramo descendente) como dado inicial do

conjunto de parâmetros;

Variar o valor inicial do conjunto de parâmetros;

Comparar curvas experimental e simulada, utilizando o

modelo inverso em conformidade com [28].

8.3 DIAGRAMA DE BLOCOS

Page 123: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

119

O algoritmo desenvolvido para identificar os parâmetros do

modelo de histerese de Jiles-Atherton é constituído em sete etapas,

como é possível observar nas Fig. 41.a e 41.b.

A primeira etapa, intitulada “curva experimental”, contém os

dados experimentais da indução magnética e do campo magnético. Um

único período em regime permanente é necessário à identificação dos

parâmetros do modelo. Esta parte permite: observar o gráfico da curva

B-H experimental; identificar a posição do início e do término do ramo

descendente; ter conhecimento da quantidade de pontos experimentais

existentes.

A segunda etapa, denominada “separa curvas”, separa os pontos

pertencentes ao ramo ascendente dos pontos pertencentes ao ramo

descendente. Além disso, organiza estes pontos em ordem crescente

para o ramo ascendente, e em ordem decrescente para o ramo

descendente.

A terceira etapa, denominada “escolha pontos principais”,

permite entrada interativa de dados em figura. O usuário seleciona cinco

pontos pertencentes ao ramo descendente e cinco pontos pertencentes ao

ramo ascendente (pontos estrategicamente posicionados em cada ramo).

Pontos auxiliares não são necessários, já que a terceira metodologia

evita estimar a derivada da indução magnética em relação ao campo

magnético.

A quarta etapa, com o título de “avalia f negativa”, é dedicada ao

ramo descendente. Quanto a isso, o sistema ,F f H B é avaliado no

conjunto inicial de parâmetros dado.

Na quinta etapa, chamada de “f negativa”, o sistema relacionado

com o ramo descendente é resolvido.

Na sexta etapa, com a denominação de “f positiva”, o sistema

relacionado com o ramo ascendente é resolvido.

Na sétima e última etapa, nomeada “principal”, são desenvolvidas

as seguintes atividades: coordenação das seis partes anteriores; cálculo

da curva B-H através do modelo inverso; e exibição na tela dos

parâmetros encontrados, do tempo de simulação, das distâncias

(máxima, mínima e acumulada) calculadas considerando pontos

experimentais e pontos simulados, do erro médio quadrático MSE, e do erro considerando a perda medida e a perda calculada (áreas dos laços

B-H).

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120

Figura 41.a – Diagrama de blocos. Terceira metodologia.

Fonte: Autoria própria (2015).

Page 125: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

121

Figura 41.b – Continuação do diagrama de blocos.

Fonte: Autoria própria (2015).

Page 126: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

122

Page 127: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

123

9 INCLUSÃO DE UM SEXTO PARÂMETRO NO MODELO DE

JILES-ATHERTON

9.1 MODELAGEM MATEMÁTICA

O modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton apresenta cinco

parâmetros utilizados na representação de dado material. Neste capítulo

propõe-se a inclusão de um sexto parâmetro ao modelo. No sétimo

capítulo foram apresentadas a variante do modelo inverso, e a variante

da primeira metodologia para incluir a taxa de variação da magnetização

irreversível com o campo magnético irr irr e irr e

e e

dM dM H dM H dB

dH dH H dH B dH

na formulação. A equação principal do modelo inverso e a equação

principal da primeira metodologia foram atualizadas respetivamente

como segue:

0 0

1

1 1 2 1 1 2

an irr an

e

an irr an

e

M t M t c dMc

k dHdM

dB M t M t dMc c

k dH

(9.1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1310 11 12 14 15 16

2

2

dB T T T T T T T T T

TdHT T T T T T

(9.2)

Para a equação (9.2), os termos Ti são tais como apresentados na

equação (A.21).

Quando as equações (9.1) e (9.2), da variante do modelo inverso

e da variante da primeira metodologia, são comparadas com as equações

principais correspondentes (2.20) e (A.21), do modelo inverso e da

primeira metodologia respetivamente, observa-se que a única diferença

entre estas é a constante de valor dois.

Dito isto propõe-se utilizar um sexto parâmetro (s), substituindo a constante de valor dois. Assim, para o modelo inverso e para a primeira

metodologia, tem-se:

Page 128: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

124

0 0

1

1 1 1 1

an irr an

e

an irr an

e

M t M t c dMc

k dHdM

dB M t M t dMs c c s

k dH

(9.3)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1310 11 12 14 15 16

dB T T T T T T T T Ts

TdHT T T T T T

s

(9.4)

Para a equação (9.4) os termos Ti são iguais aos termos

apresentados na equação (A.21).

Após a inclusão de s na modelagem, os parâmetros do modelo

escalar de histerese de Jiles-Atherton, que representam o material cujo

laço de histerese experimental é conhecido, são os seguintes: ms, α, a, k,

c, e s.

9.2 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA

Nesta seção, a finalidade é expor a maneira como as equações

propostas são utilizadas na identificação dos seis parâmetros do modelo

de histerese de Jiles-Atherton.

O algoritmo do modelo inverso está apresentado na seção 2.3.1,

onde a equação (2.21) é substituída por (9.3) para considerar o sexto

parâmetro do modelo.

9.2.1 Ramo Ascendente

Para a primeira metodologia, considerando o sexto parâmetro e δ

= 1, a equação (9.4) é escrita de forma compacta como segue:

,dB

s f H BdH

(9.5)

Com maior relevância e importância, para calcular os seis

parâmetros do modelo por meio de (9.5), a seguinte metodologia é

proposta:

Primeiro, deve ser obtido um laço de histerese

experimental, do material a ser representado;

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125

Logo após, devem ser selecionados seis pontos

principais P(H,B) estrategicamente posicionados no

ramo experimental ascendente, isto é, localizados onde

ocorrer uma mudança de tendência, como mostrado na

Fig. 42;

Figura 42 – Pontos principais recomendados. Sexto parâmetro.

Fonte: Autoria própria (2011).

Em seguida, a derivada da indução magnética em

relação ao campo magnético avaliada no ponto (ou

seja, dB

PdH

como mostrado na Fig. 43) deve ser

determinada a cada ponto principal P(H,B). Na

verdade, com a finalidade de calcular esta derivada,

para cada ponto principal são necessários dois pontos

auxiliares, situados na vizinhança do ponto principal.

Observar na Fig. 43 que se P2 e P4, situados muito

próximos do ponto principal P3, são selecionados para

pontos auxiliares, então, a hipotenusa se aproxima da

reta tangente. Para P3(H3,B3) tem-se:

4 23

4 2

dB B BP

dH H H

;

Page 130: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

126

Figura 43 – Cálculo da derivada. Sexto parâmetro.

Fonte: Autoria própria (2015).

Por fim, os seis pontos experimentais principais e suas

respectivas derivadas são levados para (9.5). Isso

origina um sistema de seis equações e seis incógnitas.

Note que as seis incógnitas são os parâmetros do

modelo: ms, α, a, k, c, e s.

9.2.2 Ramo Descendente

Suponha agora que δ = -1, ou seja, o ramo descendente da curva

B-H. Os passos anteriores, válidos para a modelagem matemática do

ramo ascendente, são igualmente seguidos para modelar o ramo

descendente. Neste último caso, do mesmo modo se aplica a equação

(9.4), sendo que o termo k é agora substituído pelo termo –k, devido ao

produto kδ. A resolução da nova equação segue também a metodologia

anterior, gerada para o ramo ascendente. Agora, simplesmente, os

pontos chaves experimentais são alterados, sendo escolhidos entre os

pontos pertencentes ao ramo experimental descendente.

9.3 RESOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES

Existem duas EDO’s não lineares (uma para delta negativo e

outra para delta positivo) em que aparecem os seis parâmetros

procurados. Partindo disso são construídos dois sistemas não lineares: o

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

P2

P3

P4

B3

B2

H3 H4H2

B4

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127

primeiro para o ramo descendente e o segundo para o ramo ascendente.

Cada sistema possui seis equações e seis incógnitas. Para cada delta é

necessário utilizar um total de 18 dados experimentais (estrategicamente

posicionados no laço experimental conforme descritos nas seções 9.2.1 e

9.2.2 deste trabalho) para escrever o sistema. São necessários 18 pontos

(6 principais mais 2 pontos auxiliares para cada ponto principal), uma

vez que os dados experimentais de dB/dH não estão disponíveis.

Dado um sistema algébrico de seis equações não lineares

1 1 1 1 1

6 6 6 6 6

/ ,

/ ,

F x s dB dH f H B

F x

F x s dB dH f H B

onde x = [ms α a k c s]

são as seis incógnitas. Cada componente do sistema F é obtida

igualando (9.5) à zero e considerando (9.4).

O sistema apresenta infinitas soluções, e para resolvê-lo utilizou-

se o seguinte método:

Um valor inicial é atribuído ao conjunto de seis

parâmetros x0 = [ms0 α0 a0 k0 c0 s0]. Para cada valor

inicial x0 é construída uma sequência de valores xn, e

no caso de convergência, limite de xn quando n tende

ao infinito é igual a uma das soluções do sistema;

O sistema F para delta negativo é resolvido, obtendo-

se assim uma candidata à solução. Avalia-se o sistema

F na candidata à solução;

Em seguida, o erro é avaliado na norma infinito, isto é,

observar se a componente de maior valor absoluto do

sistema F apresenta valor inferior a um erro dado (de

valor positivo). Para v, vetor cujas componentes são os

valores absolutos de F, a norma infinito [34] é dada

por: max iv v para 1 ≤ i ≤ 6;

Posteriormente, caso não seja uma solução plausível

por desobedecer o critério do erro, esta candidata à

solução é utilizada como dado inicial para resolver o

sistema F para delta positivo;

Após isso, o novo sistema F é resolvido obtendo-se

assim uma nova candidata à solução. Avalia-se o

sistema F na nova candidata à solução;

No próximo passo, o erro é avaliado na norma infinito;

Antes de terminar, este procedimento é repetido,

quantas vezes forem necessárias, até atingir o erro

Page 132: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

128

desejado ou o número máximo de iterações

estabelecido;

Para terminar, os parâmetros encontrados são inseridos

no algoritmo do modelo inverso, apresentado na seção

2.3.1, onde (2.21) é substituída por (9.3), para

comparar o laço medido com o laço calculado na

simulação.

9.4 DIAGRAMA DE BLOCOS

O algoritmo escrito, tendo como base a primeira metodologia

desenvolvida para identificar os seis parâmetros do modelo de histerese

de Jiles-Atherton, é constituído em sete etapas, como é possível observar

nas Fig. 44.a e 44.b.

A primeira etapa, nomeada “curva experimental”, contém os

dados experimentais da indução magnética e do campo magnético. Um

único período de regime permanente é necessário. Esta parte permite

observar o gráfico da curva B-H experimental; identificar a posição do

início e do término do ramo descendente; bem como a quantidade de

pontos experimentais existentes.

A segunda etapa, designada “separa curvas”, separa os pontos do

ramo ascendente dos pontos do ramo descendente. Além disso, organiza

estes pontos em ordem crescente, para o ramo ascendente, e em ordem

decrescente, para o ramo descendente.

A terceira etapa, chamada “escolha pontos principais”, permite

uma entrada interativa de dados em figura. O usuário seleciona seis

pontos principais pertencentes ao ramo descendente, e seis pontos

principais pertencentes ao ramo ascendente. O algoritmo seleciona

automaticamente pontos auxiliares: que são necessários ao cálculo da

derivada da indução magnética em relação ao campo magnético.

A quarta etapa, intitulada “avalia f negativa”, avalia o sistema F

no conjunto inicial de parâmetros, considerando o ramo descendente.

A quinta etapa, representada por “f negativa”, resolve o sistema

construído para o ramo descendente.

A sexta etapa, chamada “f positiva”, resolve o sistema construído

para o ramo ascendente.

A sétima e também última etapa, intitulada “principal”, tem a

função de coordenar as seis partes anteriores; calcular a curva B-H

utilizando o modelo inverso; e exibir na tela: os parâmetros encontrados,

o tempo de simulação, as distâncias (máxima, mínima e acumulada)

calculadas considerando os pontos experimentais e os pontos simulados,

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129

o erro médio quadrático MSE, e o erro calculado considerando a perda

medida e a perda calculada.

Figura 44.a – Diagrama de blocos. Sexto parâmetro.

Fonte: Autoria própria (2015).

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130

Figura 44. b – Continuação do diagrama de blocos.

Fonte: Autoria própria (2015).

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131

10 RESULTADOS DE CARACTERIZAÇÃO

Para validar as metodologias propostas neste trabalho e para

evidenciar os resultados desta pesquisa [35]-[37], [41]-[47], as

metodologias desenvolvidas foram utilizadas na caracterização de cinco

materiais. Cada caso estudado, e mostrado nas Tabelas 7-11, representa

um material diferente. Os cinco materiais apresentam laços de histerese

completamente diferentes entre si. Considerando-se os extremos, no

primeiro caso, o material apresenta uma curva B-H suave sigmoide; e no

quinto e último caso, o material apresenta um laço contendo ruído. Para

cada caso e para cada metodologia foram utilizados conjuntos iniciais de

parâmetros diferentes. Quando não indicado, foi utilizado o algoritmo

TRD para resolver o sistema de equações.

As amostras, do primeiro ao quinto caso, são feitas de aço ao

silício de grão orientado. Foram cortadas no sentido da laminação e

foram ensaiadas no quadro de Epstein. A indução magnética foi mantida

senoidal numa frequência de 1Hz.

As referências [45]-[47] mostram a aplicação das metodologias

propostas na caracterização de materiais de aço ao silício de grão não

orientado e grão orientado; cortados na direção da laminação,

transversal e 45 graus; e ensaiadas no quadro de Epstein. A indução

magnética foi mantida senoidal numa frequência de 1Hz.

10.1 PRIMEIRO CASO

O material, cujo laço de histerese experimental pode ser

observado nas Fig. 45-49, apresenta os resultados de caracterização

mostrados na Tabela 7 para cada metodologia desenvolvida.

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132

Tabela 7 – Resultado de caracterização: primeiro caso

1o caso ms (A/m) α a (A/m) k c s t(s)

Metd 1

Conjunto Inicial Utilizado

22

1,72x106 2x10

-4 172 100 0,5 -

Parâmetros Calculados

1,57

x106

1,96

x10-4

102,2

57,83

0,27

-

Metd 2

Conjunto Inicial Utilizado

1,2

1,72

x106

1,7

x10-4

129,8 195 0,47 -

H0; B0

Asc

-19;

-1

H0; B0

Desc

19; 1

Parâmetros Calculados

1,67

x106

2,38

x10-4

129,5 89,13 0,51 -

VarMetd1

Conjunto Inicial Utilizado

9,6

1,7x106 2x10

-4 171,9 98,7 0,09 -

Parâmetros Calculados

2,56

x106

6,73

x10-4

577,6 152,5 0,24 -

Metd 3

Conjunto Inicial Utilizado

1,1

3.000.009 0,5

x10-4

1399 68 0,28 -

Parâmetros Calculados

2,37

x107

8,87

x10-2

701691,9 4399,3 1,00 -

6o Parâm

Conjunto Inicial Utilizado

8,1

1.735.091 1,9

x10-4

171 101,4 0,5 1,1

Parâmetros Calculados

1,55

x106

2,38

x10-4

119,44 82,86 0,51 0,97

Fonte: Autoria própria (2015)

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133

Figura 45 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido: primeiro caso.

Fonte: Autoria própria (2011).

Figura 46 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: primeiro caso.

Fonte: Autoria própria (2014).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica (

T)

Simulado Medido

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134

Figura 47 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira

metodologia e laço medido: primeiro caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 48 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Primeiro caso: TRD

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica (

T)

Simulado Medido

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135

Figura 49 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Primeiro caso: TRD

Fonte: Autoria própria (2015).

Como pode ser observado nas Fig. 45-49, o laço simulado

apresenta boa concordância com o laço experimental (validando todas as

metodologias desenvolvidas). Os resultados apresentados na Tabela 7

sugerem que existem diferentes conjuntos de parâmetros que podem

representar o material. A primeira metodologia apresentou o maior

tempo de simulação, enquanto a terceira o menor. O tempo de simulação

é afetado pelas instruções executadas e também pelo conjunto inicial de

parâmetros utilizado: quando o conjunto estiver próximo de um

minimizador do sistema, o tempo de simulação diminui.

10.2 SEGUNDO CASO

O material, cujo laço de histerese experimental pode ser

observado nas Fig. 50-54, apresenta os resultados de caracterização

mostrados na Tabela 8 para cada metodologia desenvolvida.

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136

Tabela 8 – Resultado de caracterização: segundo caso

2o caso ms (A/m) α a (A/m) k c s t(s)

Metd 1

Conjunto Inicial Utilizado

49

1,5x106 3x10

-4 186,5 120 0,3 -

Parâmetros Calculados

2,95

x106

6,57

x10-4

668,87 105,64 0,50 -

Metd 2

Conjunto Inicial Utilizado

3

1,5x106 4x10

-4 200 200 3,12 -

H0; B0

Asc

14;

-0,8

H0; B0

Desc

-15; 0,8

Parâmetros Calculados

1,78

x106

1,54

x10-4

101,46 81,22 0,34 -

VarMet1

Conjunto Inicial Utilizado

10

1,8x106 3x10

-4 186,5 120 0,1 -

Parâmetros Calculados

3,73

x106

1,16

x10-3

1474,56 299,30 0,34 -

Metd 3

Conjunto Inicial Utilizado

1

2,9

x106

26

x10-4

903 62 0,09 -

Parâmetros Calculados

2,38

x107

6,09

x10-2

483424,83 4835,05 0,99 -

6oParâm

Conjunto Inicial Utilizado

7

1,5x106 3x10

-4 186,5 120 0,3 1,2

Parâmetros Calculados

6,23

x106

2,95

x10-3

6182,67 178,23 0,96 0,80

Fonte: Autoria própria (2015)

Page 141: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

137

Figura 50 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e

laço medido: segundo caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 51 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: segundo caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica (

T)

Simulado Medido

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

oM

ag

tica

(T

)

Simulado Medido

Page 142: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

138

Figura 52 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: segundo caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 53 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Segundo caso: TRD.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica (

T)

Simulado Medido

-150 -100 -50 0 50 100 150

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica (

T)

Simulado Medido

Page 143: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

139

Figura 54 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Segundo caso: TRD.

Fonte: Autoria própria (2015).

10.3 TERCEIRO CASO

O material, cujo laço de histerese experimental pode ser

observado nas Fig. 55-59, apresenta os resultados de caracterização

mostrados na Tabela 9 para cada metodologia desenvolvida.

Page 144: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

140

Tabela 9 – Resultado de caracterização: terceiro caso

3ocaso ms (A/m) α a (A/m) k c s t(s)

Metd1-TRR

Conjunto Inicial Utilizado

3,4

1,88

x

106

3,5

x

10-4

190,1 139,1 0,6 -

Parâmetros Calculados

2,33

x

106

2,9

x

10-4

220,26 70,55 0,31 -

Metd 2

Conjunto Inicial Utilizado

3

1,5

x

106

3

x

10-4

186,5 120 2 -

H0; B0

Asc

37;

-0,8

H0; B0

Desc

-37;

0,8

Parâmetros Calculados

1,80

x

106

1,2

x

10-4

66,36 55,68 0,10 -

VarMetd1

Conjunto Inicial Utilizado

4

1,69

x

106

3,5

x

10-4

187 99 0 -

Parâmetros Calculados

3,95

x

106

8,9

x

10-4

1163,03 288,69 0,34 -

Metd 3

Conjunto Inicial Utilizado

1,1

3

x

106

3,6

x

10-3

1000 65 0 -

Parâmetros Calculados

1,26

x

107

1,7

x

10-2

69532,27 1142,22 0,96 -

6o Parâm

Conjunto Inicial Utilizado

0,7

1,9

x

106

3,5

x

10-4

192 12,1 0,1 1

Parâmetros Calculados

1,88 3,3 192,00 12,10 0,11 0,20

Page 145: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

141

x

106

x

10-4

Fonte: Autoria própria (2015)

Figura 55 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Terceiro caso: TRR.

Fonte: Autoria própria (2012).

Figura 56 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: terceiro caso.

Fonte: Autoria própria (2014).

Page 146: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

142

Figura 57 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: terceiro caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica (

T)

Simulado Medido

Page 147: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

143

Figura 58 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Terceiro caso: TRR.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 148: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

144

Figura 59 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Terceiro caso: LM.

Fonte: Autoria própria (2015).

10.4 QUARTO CASO

O material, cujo laço de histerese experimental pode ser

observado nas Fig. 60-64, apresenta os resultados de caracterização

mostrados na Tabela 10 para cada metodologia desenvolvida.

Page 149: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

145

Tabela 10 – Resultado de caracterização: quarto caso

4ocaso ms (A/m) α a (A/m) k c s t(s)

Metd 1

Conjunto Inicial Utilizado

167

1,55

x

106

2

x

10-4

100 74 0,45 -

Parâmetros Calculados

2,49

x

106

7,79

x

10-4

646,28 75,30 0,39 -

Metd 2

Conjunto Inicial Utilizado

2,52

1

x

106

5

x

10-4

500 300 0 -

H0; B0

Asc

15;

-0,9

H0; B0

Desc

-13;

0,9

Parâmetros Calculados

1,47

x

106

1,36

x

10-4

69,69 48,06 0,16 -

VarMetd1

Conjunto Inicial Utilizado

15

1,6

x

106

1,68

x

10-4

96 74 0,01 -

Parâmetros Calculados

1,93

x

106

2,39

x

10-4

159,52 173,14 0,29 -

Metd 3

Conjunto Inicial Utilizado

1,5

2,76

x

106

25

x

10-4

903 61 0,2 -

Parâmetros Calculados

1,93

x

107

5,04

x

10-2

323643,24 2703,72 0,99 -

6o Parâm

Conjunto Inicial Utilizado

6,6

1,55

x

106

2

x

10-4

100 74 0,45 1

Parâmetros Calculados

2,62 5,67 505,41 191,55 0,38 1,70

Page 150: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

146

x

106

x

10-4

Fonte: Autoria própria (2015)

Figura 60 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido: quarto caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica (

T)

Simulado Medido

Page 151: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

147

Figura 61 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: quarto caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

nética (

T)

Simulado Medido

Page 152: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

148

Figura 62 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira

metodologia e laço medido: quarto caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 63 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Quarto caso: TRD.

Fonte: Autoria própria (2015).

-150 -100 -50 0 50 100 150 -1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (A/m)

Ind

uçã

o M

ag

tica

(T

)

Simulado Medido

Page 153: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

149

Figura 64 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Quarto caso: TRD.

Fonte: Autoria própria (2015).

10.5 QUINTO CASO

O material, cujo laço de histerese experimental pode ser

observado nas Fig. 65-69, apresenta os resultados de caracterização

mostrados na Tabela 11 para cada metodologia desenvolvida.

Page 154: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

150

Tabela 11 – Resultado de caracterização: quinto caso

5ocaso ms (A/m) α a (A/m) k c s t (s)

Metd

1

Conjunto Inicial Utilizado

0,69

1,95

x

106

2,1

x

10-4

125,9 74 0,001 -

Parâmetros Calculados

1,95

x

106

1,84

x

10-4

125,9

73,98

0,001

-

Metd

2-TRR

Conjunto Inicial Utilizado

3,29

2

x

106

4

x

10-4

71 75,99 0,01 -

H0; B0

Asc

86;

0,9

H0; B0

Desc

-83;

-0,9

Parâmetros Calculados

2,24

x

106

1,01

x

10-4

65,59 94,81 0,1 -

Var

Metd 1

Conjunto Inicial Utilizado

2,85

2,1

x

106

1,68

x

10-4

139 142 0,02 -

Parâmetros Calculados

2,06

x

106

3,06

x

10-4

195,96 195,55 0,19 -

Metd 3

Conjunto Inicial Utilizado

3,1

x

106

8 947,6 60 0,4 -

Parâmetros Calculados

2,52

x

107

8,14

x

10-2

684400,246 9652,25 0,99 - 0,93

6o

Parâm

Conjunto Inicial Utilizado

0,53

1,9

x

106

2,2

x

10-4

150 81,6 0,2 0,85

Parâmetros Calculados

1,98 2,46 150,00 81,60 0,22 0,85

Page 155: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

151

x

106

x

10-4

Fonte: Autoria própria (2015)

Figura 65 – Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido: quinto caso.

Fonte: Autoria própria (2012).

Page 156: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

152

Figura 66 – Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido: quinto caso.

Fonte: Autoria própria (2014).

Figura 67 – Curva B-H calculada utilizando a variante da primeira metodologia

e laço medido: quinto caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Page 157: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

153

Figura 68 – Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Quinto caso: TRD.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 69 – Curva B-H calculada utilizando o sexto parâmetro e laço medido.

Quinto caso: LM.

Fonte: Autoria própria (2015).

Page 158: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

154

Os parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton,

resultantes da aplicação das cinco metodologias desenvolvidas, e o

tempo de simulação decorrido estão apresentados nas Tabelas 7 - 11.

Com base nos resultados obtidos afirma-se que os algoritmos

desenvolvidos apresentam rapidez de resposta (inferior a 168 segundos).

Como pode ser observado nas Fig. 45-69, existem laços

calculados muito próximos dos laços medidos, e consequentemente, os

parâmetros calculados descrevem muito bem o comportamento

experimental do material, validando as metodologias utilizadas.

10.6 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Para auxiliar a decisão de escolher o conjunto de parâmetros que

representa melhor o comportamento experimental do material, estão

apresentadas na Tabela 12: as distâncias (máxima, mínima e acumulada)

calculadas considerando pontos experimentais e pontos simulados [48];

o erro médio quadrático MSE; e o erro percentual considerando a perda

magnética medida e a perda calculada.

Page 159: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

155

Tabela 12 – Indicadores da qualidade da solução

Distância pontos

experimentais e calculados MSE Erro%

perdas Total Menor Maior

1o caso

Metd 1 174 3,66x10-4

0,65 1,71 0,04

Metd 2 4.155 1,89x10-3

31,23 10,43 7,11

VarMetd1 3.893 7,95x10-3

11,94 3,53 7,33

Metd 3 4.739 1,22x10-2

27,56 8,79 0,20

6o Parâm 8.357 1,79x10

-3 37,96 14,08 5,43

2o caso

Metd 1 1.482 1,8x10-2

19,21 7,56 2,87

Metd 2 1.112 5x10-3

17,87 7,68 3,86

VarMetd1 2.557 1,23x10-1

14,75 7,60 6,06

Metd 3 3.343 6,84x10-3

36,29 14,78 9,49

6o Parâm 1.724 3,19x10

-2 18,37 7,55 3,44

3o caso

Metd 1- TRR 989 2,23x10-2

9,44 4,45 0,15

Metd 2 5.547 1,46x10-2

33,45 6,23 2,4

VarMetd1 2.190 1,22x10-2

13,47 6,92 4,54

Metd 3 16.265 4,62x10-2

42,24 20,5 3,19

6o Parâm 1.637 1,05x10

-5 35,45 6,3 1,27

4o caso

Metd 1 6.372 2,29x10-2

17,13 7,25 13,75

Metd 2 6.343 3,13x10-3

22,29 4,59 1,53

VarMetd1 5.044 9,69x10-3

26,12 8,02 0,44

Metd 3 13.414 4,95x10-3

30,8 9,95 0,38

6o Parâm 4.637 1,24x10

-2 24,24 6,96 2,95

5o caso

Metd 1 30.576 4,17x10-3

115,1 24,07 5,2

Metd 2 9.550 6,18x10-3

49,53 16,37 0,39

VarMetd1 16.684 2,52x10-2

23,12 10,88 7,33

Metd 3 21.601 2,46x10-2

96,96 34,05 9,24

6o Parâm 13.154 3,59x10

-2 24,53 8,40 0,64

Fonte: Autoria própria (2015)

Onde [48]: 2 2

exp expˆdistancia calc calcB B H H

Considerando o mesmo material, as diferentes metodologias não

dão como resultados conjuntos de parâmetros iguais. É verdade que as

metodologias propostas têm a mesma origem (as equações de Jiles-

Atherton e a relação constitutiva), mas as metodologias identificam o

conjunto de parâmetros, resolvendo sistemas de equações

completamente diferentes: a primeira metodologia busca os parâmetros

tendo como base cálculo aproximado de derivadas, considerando apenas

a primeira parcela da regra da cadeia; a segunda metodologia busca os

Page 160: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

156

parâmetros tendo como base aplicação de séries de potência para

resolver a integral; a terceira metodologia é mais simples e não utiliza

derivada e nem integral para identificar os parâmetros; para continuar, a

variante da primeira metodologia busca os parâmetros tendo como base

cálculo aproximado de derivadas, considerando a primeira e também a

segunda parcela da regra da cadeia; para finalizar inclui-se o sexto

parâmetro na representação do material.

Cada um dos sistemas de equações, estudado nas metodologias,

apresenta infinitas soluções embora apenas algumas poderão ser

calculadas: as equações principais, de cada uma das metodologias,

apresentam um quociente (que foi herdado das equações de Jiles-

Atherton), e consequentemente, indeterminações podem acontecer

impossibilitando o cálculo de todas as soluções existentes.

Além de tudo, existem cinco (ou seis conforme o caso)

parâmetros que também podem ser vistos como cinco (ou seis conforme

o caso) graus de liberdade: dependendo do valor assumido por um dos

parâmetros, os demais podem ser ajustados conforme o valor já

assumido.

As equações de Jiles-Atherton e a relação constitutiva deram

origem a cinco metodologias, isto é fato, e não pode ser visto como um

inconveniente: as cinco metodologias oportunizam o cálculo de diversos

conjuntos de parâmetros, que posteriormente são analisados com base

em critérios que facilitam a seleção daquele conjunto que representa

melhor o comportamento experimental do material. Para esta seleção,

recomenda-se analisar três indicadores: a distância acumulada calculada

considerando pontos experimentais e pontos simulados; o erro médio

quadrático MSE; e o erro percentual considerando a perda magnética

medida e a perda magnética calculada.

Para selecionar o conjunto de parâmetros que representa melhor o

comportamento experimental do material, particularmente para o

primeiro caso, os seguintes passos devem ser seguidos:

Inicialmente, os indicadores da primeira metodologia e da

segunda metodologia são mostrados e comparados na Tabela

13. Para o indicador distância total, o indicador da segunda

metodologia é 23,88 vezes o indicador da primeira

metodologia. Para o indicador MSE, o indicador da segunda

metodologia é 6,10 vezes o indicador da primeira metodologia.

Para o indicador erro percentual de perdas, o indicador da

segunda metodologia é 177,75 vezes o indicador da primeira

metodologia. Como 177,75 é maior que os demais valores, o

conjunto de parâmetros que melhor representa o

Page 161: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

157

comportamento experimental do material é aquele obtido

através da primeira metodologia, isto é, como o indicador da

segunda metodologia é 177,75 vezes o indicador da primeira

metodologia, selecionar o resultado dado pela primeira

metodologia;

Em seguida, os indicadores da variante da primeira metodologia

e da terceira metodologia são mostrados e comparados na

Tabela 13. Procedendo tal como o indicado no primeiro passo,

conclui-se que o conjunto de parâmetros que melhor representa

o comportamento experimental do material é aquele obtido

através da terceira metodologia;

Continuando, os indicadores da primeira metodologia e da

terceira metodologia são mostrados e comparados na Tabela 13.

Procedendo tal como o indicado no primeiro passo, conclui-se

que o conjunto de parâmetros que melhor representa o

comportamento experimental do material é aquele obtido

através da primeira metodologia;

Para finalizar, os indicadores da primeira metodologia e do

sexto parâmetro são mostrados e comparados na Tabela 14.

Procedendo tal como o indicado no primeiro passo, conclui-se

que o conjunto de parâmetros que melhor representa o

comportamento experimental do material é aquele obtido

através da primeira metodologia.

Terminada esta comparação dos pares, seleciona-se o conjunto de

parâmetros, obtido através da primeira metodologia e mostrado na

Tabela 15, para representar o material correspondente ao primeiro caso.

O procedimento anterior é repetido para todos os casos estudados,

e a metodologia que forneceu o conjunto de parâmetros que melhor

representa o comportamento experimental do material, está mostrada na

Tabela 14; os parâmetros correspondentes podem ser observados na

Tabela 15.

Page 162: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

158

Tabela 13 – Comparações numéricas

Fonte: Autoria própria (2015)

Tabela 14 – Comparações numéricas. Sexto parâmetro.

Fonte: Autoria própria (2015)

Seleção Seleção

Parcial Parcial

Metd 1 174 1,71 0,04

Metd 2 4155 10,43 7,11 23,88 6,10 177,75

Var Metd1 3893 3,53 7,33 36,65

Metd 3 4739 8,79 0,20 1,22 2,49 27,24 5,14 5,00

Metd 1 1482,1 7,56 2,87 1,33

Metd 2 1111,7 7,68 3,86 1,02 1,34

Var Metd1 2556,8 7,60 6,06 Var 1,73 1,01 2,11

Metd 3 3343 14,78 9,49 1,31 1,94 1,57 Metd 1

Metd 1 989 4,45 0,15

Metd 2 5547 6,23 2,40 5,61 1,40 16,00

Var Metd1 2189,9 6,92 4,54 1,42 Var

Metd 3 16265 20,50 3,19 7,43 2,96 Metd1 2,21 1,55 30,26

Metd 1 6371,6 7,25 13,75 1,00 1,58 8,99

Metd 2 6342,5 4,59 1,53 1,26 3,46 Var

Var Metd1 5044 8,02 0,44 1,16 Var 1,75 Metd1

Metd 3 13414 9,95 0,38 2,66 1,24 Metd1

Metd 1 30576 24,07 5,20 3,20 1,47 13,33

Metd 2 9550 16,37 0,39 1,50

Var Metd1 16684 10,88 7,33 Var 1,75 18,79

Metd 3 21601 34,05 9,24 1,29 3,13 1,26 Metd1

Dist. Total MSEErro%

Perdas

Razão Razão

Dist. Total MSEErro%

PerdasDist. Total MSE

Erro%

Perdas

Metd 2

Metd 2

10

caso

20

caso

30

caso

40

caso

50

caso

Metd 1

Metd 1

Metd 2

Metd 3

Metd 1

Metd 1

Metd 1

Metd 1

Metd 1 174 1,71 0,04

60 Param 8357 14,08 5,43 48,03 8,23 135,75

60 Param 1724 7,55 3,44 1,16 1,20

Metd 1 1482,1 7,56 2,87 1,00

Metd 1 989 4,45 0,15

60 Param 1637 6,3 1,27 1,66 1,42 8,47

Var Metd1 5044 8,02 0,44 1,09 1,15

60 Param 4637 6,96 2,95 6,67

60 Param 13154 8,4 0,64 1,38 1,64

Metd 2 9550 16,37 0,39 1,95

Metd 1

Metd 1

10 caso

Dist. Total MSEErro%

Perdas

Dist. Total MSEErro%

Perdas

RazãoDecisão

Final

60 Param

20 caso

30 caso

40 caso

50 caso

Metd 1

Var Metd1

Page 163: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

159

Tabela 15 – Parâmetros que melhor representam o material

Caso Método ms (A/m) α a (A/m) k c s

1o Metd 1 1,57

x106

1,96

x10-4

102,2

57,83

0,27

-

2o Metd 1 2,95

x106

6,57

x10-4

668,87 105,64 0,5 -

3o Metd 1 2,33

x106

2,95

x10-4

220,26 70,55 0,31 -

4o VarMetd1 1,93

x106

2,39

x10-4

159,52 173,14 0,29 -

5o 6

o Param 1,98

x106

2,46

x10-4

150,00 81,60 0,22 0,85

Fonte: Autoria própria (2015)

Para o laço de histerese contendo ruído (quinto caso), de fato a

metodologia proposta, que utiliza seis parâmetros, forneceu um conjunto

de parâmetros que melhor representa o comportamento experimental do

material, como mostrado na Tabela 15.

Para selecionar o conjunto de parâmetros que melhor representa o

comportamento experimental do material, recomendou-se analisar três

indicadores. Entretanto na Tabela 16 são mostradas outras comparações,

que consideram apenas um único indicador.

Page 164: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

160

Tabela 16 – Outras comparações

Caso Obs à

olho nu

proxim

laços

Fig. 45-69

Mín k

Tabela

7-11

Mín

dist.

total

Tabela

12

Mín

MSE

Tabela

12

Mín

perda

Tabela

12

Dist.

total,

MSE e

perdas

Tabela

15

1o Metd1 Metd1 Metd1 Metd1 Metd1 Metd1

2o Metd2 Metd2 Metd2 6

o

parâm

Metd1 Metd1

3o Inconc 6

o

parâm

Metd1 Metd1 Metd1 Metd1

4o Metd2 Metd2 6

o

parâm

Metd2 Metd3 Var

Metd1

5o Inconc Metd1 Metd2 6

o

parâm

Metd2 6o

parâm

Obs Escala:

laços próximos

podem

parecer

distantes

5o caso: os

laços não

estão

próximos

Fig. 65

2o caso: os

laços não estão

próximos

Fig. 54

Laços

distintos podem

ter

mesma

área

interna

Fonte: Autoria própria (2015)

Como é possível observar na Tabela 16, considerando apenas o

indicador mínimo valor da distância total, a metodologia proposta, que

evita o cálculo de derivada e utiliza integral, fornece o conjunto de

parâmetros que melhor representa o comportamento experimental do

material correspondente ao quinto caso.

10.7 RESULTADOS ADICIONAIS

As metodologias desenvolvidas foram aplicadas para caracterizar

diversas amostras de material cortadas nas direções longitudinal,

transversal e 45 graus. Os parâmetros calculados podem ser observados

na Tabela 17.

Page 165: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

161

Tabela 17 – Resultado de caracterização

Amostra de aço ao silício de grão não orientado.

B senoidal, f = 1Hz.

Teste de Epstein

Caso

Metd

ms

(A/m)

α a (A/m) k c s Corte

Algoritmo

Metd

1

1,46

x

106

9,09

x

10-4

509,15 358,07 0,005 - Longitudinal

TRD

Metd

1

5,20

x

106

1,32

x

10-2

23.018 1.293 0,76 - Transversal

TRD

Metd

1

1,41

x

106

1,22

x

10-3

527,86 631,66 0,61 - 45 graus

TRD

Metd

2

1,80

x

106

1,64

x

10-3

1.020 1.284 0,64 - Longitudinal

TRD

Metd

2

1,55

x

106

1,07

x

10-3

518,41 459,91 0,3 - Transversal

TRD

Metd

2

1,33

x

106

7,88

x

10-4

363,71 330,27 0,45 - 45 graus

TRR

Metd

3

2,32

x

107

2,96

x

10-1

2.293.121 16.400 0,98 - Transversal

TRD

Metd

3

2,20

x

107

3,26

x

10-1

2.386.871 17209 0,99 - 45 graus

TRD

Fonte: Autoria própria (2016)

Page 166: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

162

Figura 70– Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Sexto caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

Figura 71– Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Sétimo caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

Page 167: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

163

Figura 72– Curva B-H calculada utilizando a primeira metodologia e laço

medido. Oitavo caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

Page 168: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

164

Figura 73– Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido. Sexto caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

Figura 74– Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido. Sétimo caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

-2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 1500 2000 2500-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Campo Magnético (Aesp/m)

Indução M

agnética (

T)

Calculado

Medido

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (Aesp/m)

Indução M

agnética (

T)

Calculado

Medido

Page 169: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

165

Figura 75– Curva B-H calculada utilizando a segunda metodologia e laço

medido. Nono caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

Figura 76– Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Sétimo caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético (Aesp/m)

Indução M

agnética (

T)

Calculado

Medido

Page 170: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

166

Figura 77– Curva B-H calculada utilizando a terceira metodologia e laço

medido. Nono caso.

Fonte: Autoria própria (2016).

Como pode ser observado nas Fig. 70–77, os laços calculados

estão muito próximos dos laços medidos, e consequentemente, os

parâmetros calculados descrevem muito bem o comportamento

experimental do material, validando as metodologias utilizadas.

Page 171: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

167

11 CONCLUSÃO

Neste trabalho de pesquisa foi abordado o assunto identificação

dos parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton. Para

esta identificação foram desenvolvidas cinco metodologias: a primeira

metodologia utiliza o cálculo de derivadas; a segunda metodologia evita

o cálculo de derivadas utilizando integrais; a variante da primeira

metodologia acrescenta o segundo termo relacionado à derivada; a

terceira metodologia evita o cálculo de derivadas e também o de

integrais; e a última metodologia utiliza seis parâmetros para representar

o material. Deste estudo concluiu-se que as metodologias propostas

podem reproduzir adequadamente o comportamento experimental do

material. Os objetivos que haviam sido propostos foram cumpridos. Este

trabalho contribuiu para o aprofundamento do tema, permitiu

compreender melhor o fenômeno da histerese magnética, além de ter

permitido aperfeiçoar competências de investigação.

O trabalho de pesquisa permitiu descobrir a possibilidade de

congregar todas as equações do modelo de Jiles-Atherton e uma relação

constitutiva em uma única equação, em função somente das variáveis de

interesse: campo magnético; indução magnética; e parâmetros do

modelo. Esta última equação permite organização dos dados; evidencia

o problema por trás da identificação dos parâmetros; e permite ainda a

construção do sistema de equações cuja solução é o conjunto de

parâmetros procurado. Uma vez identificado este problema, inicialmente

oculto, foi possível selecionar a ferramenta mais adequada para

solucioná-lo: sistema de equações algébrico, equilibrado, resolvido pelo

método de mínimos quadrados não linear. Esta ferramenta permitiu uma

rápida identificação dos parâmetros do modelo.

Na primeira metodologia é possível caracterizar o material

utilizando uma única equação que relaciona campo magnético; indução

magnética; derivada da indução magnética em relação ao campo

magnético; com os parâmetros do modelo. A equação é válida para os

ramos ascendente e descendente do laço de histerese. Com um total de

trinta pontos, estrategicamente posicionados no laço experimental, é

possível caracterizar o material. A derivada, avaliada no ponto

experimental, pode ser estimada utilizando pontos na vizinhança.

A segunda metodologia pode melhorar o desempenho da primeira

metodologia evitando o cálculo de derivadas, e consequentemente,

reduzindo a quantidade de pontos experimentais utilizados. A partir das

equações do modelo é possível levantar uma EDO linear de primeira

ordem. O problema de Cauchy associado foi construído e foi possível

Page 172: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

168

resolvê-lo aplicando-se o método do fator integrante. Uma única

equação, que relaciona campo magnético e indução magnética com os

parâmetros do modelo, foi obtida. As integrais da equação proposta

podem ser resolvidas utilizando série de MacLaurin. A fórmula proposta

permite calcular os parâmetros do modelo; mostra também uma relação

implícita, do campo magnético com a indução magnética, considerando-

se o fenômeno da histerese; e vale para os ramos, ascendente e

descendente, do laço de histerese. Com dez pontos, estrategicamente

posicionados no laço experimental, e mais dois pontos experimentais

para os valores iniciais de campo magnético e de indução magnética, é

factível caracterizar o material.

A variante da primeira metodologia é análoga à primeira

metodologia: houve a inclusão de uma parcela da derivada na

modelagem.

Na terceira metodologia é possível caracterizar o material

utilizando uma única equação que relaciona campo magnético e indução

magnética com os parâmetros do modelo. A equação é válida para os

ramos ascendente e descendente do laço de histerese. Com um total de

dez pontos, estrategicamente posicionados no laço experimental, é

possível caracterizar o material. Esta metodologia evita o cálculo

aproximado de derivadas, ao contrário do que acontece na primeira

metodologia; e também evita o cálculo aproximado de integrais, ao

contrário do que acontece na segunda metodologia.

Na última metodologia é incluído mais um parâmetro no modelo,

totalizando seis para representar o material. Nesta metodologia também

é possível caracterizar o material utilizando-se uma única equação que

relaciona campo magnético; indução magnética; derivada da indução

magnética em relação ao campo magnético; com os parâmetros do

modelo. A equação é válida para os ramos ascendente e descendente do

laço de histerese. Com um total de trinta e seis pontos, estrategicamente

posicionados no laço experimental, é possível caracterizar o material. A

derivada, avaliada no ponto experimental, pode ser estimada utilizando

pontos na vizinhança.

Resolvendo os sistemas não lineares de infinitas soluções, foi

possível encontrar os parâmetros do modelo. Os parâmetros encontrados

foram incluídos no modelo inverso para comparar o laço experimental

com o laço simulado. Quando o laço de histerese simulado está próximo

do laço de histerese experimental, o conjunto de parâmetros é válido

para representar o material. Os algoritmos são rápidos e o tempo de

caracterização do material transcorrido é reduzido.

Page 173: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

169

Quanto ao conceito físico dos parâmetros, ms é a magnetização de

saturação, α representa o acoplamento inter domínios, a caracteriza a

forma da magnetização anisterética, k representa a dificuldade de

movimentar as paredes de domínio. A flexão sofrida pela parede de

domínio é linearmente dependente da diferença entre a magnetização

anisterética e a magnetização e c é o coeficiente de proporcionalidade.

Os parâmetros do modelo assumem valores positivos: Ms ≈ Bs/μ0, 10-

6<α<10

-4, a é aproximadamente igual ao campo coercitivo e 0<c<1.

As metodologias para determinar parâmetros de materiais foram

desenvolvidas e validadas em conformidade com o propósito deste

trabalho. Quanto à relevância, este trabalho pode permitir: modelar com

maior precisão o comportamento de materiais magnéticos; fornecer

informações para elaborar relatórios de caracterização de materiais;

projetar máquinas elétricas de maneira mais eficiente; comparar

materiais; e avaliar informações de catálogo de fabricantes.

Quanto aos ganhos do estudo além dos já citados, os sistemas de

equações desenvolvidos poderão ser estendidos a outras metodologias

de caracterização existentes. As vantagens dos métodos são a rapidez de

cálculo dos parâmetros e a representação adequada do comportamento

experimental do material, que garante resultados confiáveis para a

modelagem de dispositivos eletromagnéticos.

Quanto à multidisciplinaridade, este trabalho mostrou a aplicação

de EDOs; problema de Cauchy; método do fator integrante; e séries na

caraterização de materiais.

Quanto à originalidade do trabalho, foram desenvolvidas cinco

metodologias inéditas para determinar os parâmetros do modelo escalar

de histerese de Jiles-Atherton.

A primeira metodologia é mais recomendável para a

caracterização de materiais que apresentam laços de histerese suaves,

mas nada impede que as cinco metodologias sejam utilizadas para

caracterizar um dado material. E neste caso, o tomador de decisão deve

analisar qual dos conjuntos de parâmetros obtidos melhor representa o

comportamento experimental do material. Esta análise pode ser feita

com base em três critérios: distância acumulada calculada considerando

pontos experimentais e pontos simulados; erro médio quadrático MSE; e

erro percentual considerando a perda magnética medida e a perda

magnética calculada.

Para continuidade desta pesquisa, os seguintes temas são

sugeridos: comparar as metodologias propostas com aquelas

apresentadas na literatura; variar a amplitude máxima da indução

magnética e identificar o conjunto ótimo de parâmetros; aplicar as

Page 174: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

170

metodologias desenvolvidas em problemas envolvendo elementos

finitos; desenvolver o equacionamento da terceira metodologia

considerando a indução magnética como variável independente; analisar

a ordem de grandeza do erro de truncamento da série da segunda

metodologia proposta e se necessário incluir mais termos da série para

representar a integral; automatizar a seleção dos pontos principais

utilizados para construir o sistema de equações de cada uma das

metodologias propostas, desenvolver método de previsão de laços

menores utilizando os parâmetros calculados em nível de indução

magnética maior, utilizar as metodologias para determinar os parâmetros

do modelo vetorial de Jiles-Atherton, analisar a sensibilidade da solução

ao sexto parâmetro quando os demais são mantidos constantes,

identificar os parâmetros utilizando um único ramo do laço de histerese

experimental, identificar os parâmetros excluindo-se a rotina de cálculo

da norma infinito.

Page 175: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

171

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Eletromagnética de Lâminas de Aço ao Silício. 2001. 227f. Tese

(Doutorado em Engenharia Elétrica) – Centro Tecnológico,

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[31] SALVADOR GONZALES, M. L., Máquinas Elétricas Estáticas.

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[32] SALVADOR GONZALES, M.L., Máquinas Elétricas Estáticas.

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[33] LEITE, Jean Vianei. Análise de Modelos Diferenciais de

Histerese Magnética Considerando Laços Menores de Indução.

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Centro Tecnológico, Universidade Federal de Santa Catarina,

Florianópolis, 2002.

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[34] RUGGIERO, Márcia A. Gomes, LOPES, Vera Lúcia da Rocha,

Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª

edição. Makron Books, 1997-1998. p. 197.

[35] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N.J., SADOWSKI,

N., SUÁREZ, F. M. S. A New Methodology to Obtain the

Parameters of the Scalar Jiles-Atherton Hysteresis Model, 15th

Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation -

CEFC 2012 Proceedings, 2012, Oita/Japão.

[36] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N. J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. Uma Nova Metodologia para

Obtenção de Parâmetros do Modelo de Histerese de Jiles-Atherton.

MOMAG 2012, Décimo CBMag Congresso Brasileiro de

Eletromagnetismo, João Pessoa/Brasil.

[37] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N.J., SADOWSKI,

N., SUÁREZ, F. M. S. An Improved Methodology for Obtaining

Jiles-Atherton Hysteresis Model Parameters , Conference on the

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[38] HAASER, Norman B., LASALLE, Joseph P., SULLIVAN, Joseph

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Trillas, 1970, v.2. p. 517.

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S. Paulo: Makron Books, 2006.

[40] ZILL, Dennis. G., CULLEN, Michael R.. Equações Diferenciais.

3ª edição. S. Paulo: Makron Books, 2001. v. 1, p. 69.

[41] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N. J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. Uma Nova Metodologia para

Obtenção dos Parâmetros do Modelo Escalar de Histerese de Jiles-

Atherton. MOMAG 2016, Décimo segundo CBMag Congresso

Brasileiro de Eletromagnetismo, Porto Alegre/Brasil.

[42] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N. J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. Uma Metodologia

Aprimorada para Obtenção dos Parâmetros do Modelo Escalar de

Histerese de Jiles-Atherton. MOMAG 2016, Décimo segundo

CBMag Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Porto

Alegre/Brasil.

[43] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N. J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. Uma Metodologia

Simplificada para a Obtenção dos Parâmetros do Modelo Escalar de

Histerese de Jiles-Atherton. MOMAG 2016, Décimo segundo

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175

CBMag Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Porto

Alegre/Brasil.

[44] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N. J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. Inserção do Sexto Parâmetro

no Modelo Escalar de Histerese de Jiles-Atherton e Metodologia

para Identificação dos Parâmetros. MOMAG 2016, Décimo

segundo CBMag Congresso Brasileiro de Eletromagnetismo, Porto

Alegre/Brasil.

[45] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N.J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. A New Method for

Parameters Obtaining of Jiles-Atherton Hysteresis Scalar Model,

17th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field

Computation - CEFC 2016 Proceedings, 2016, Miami, FL/USA.

[46] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N.J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. A Simplified Method for

Acquisition of the Parameters of Jiles-Atherton Hysteresis Scalar

Model Without Use of Derivatives, 17th Biennial IEEE Conference

on Electromagnetic Field Computation - CEFC 2016 Proceedings,

2016, Miami, FL/USA.

[47] MENDES, F. B. R., LEITE, J. V., BATISTELA, N.J.,

SADOWSKI, N., SUÁREZ, F. M. S. Insertion of a Sixth Parameter

in Jiles-Atherton Hysteresis Scalar Model and the Method for

Parameters Identification, 17th Biennial IEEE Conference on

Electromagnetic Field Computation - CEFC 2016 Proceedings,

2016, Miami, FL/USA.

[48] LEHMANN, Charles H., Geometria Analítica. 6ª edição. Rio de

Janeiro: Globo, 1987. p. 286.

[49] Ajuste de Curvas, Regressão Não Linear. Computação. 08 de

maio de 2012. Disponível em:

http://ssdi.di.fct.unl.pt/comp/1112/aulas/teoricas/aulaT10.pdf.

Acesso em: 24 de set. 2015.

[50] MATSUMOTO, ÉliaYathie, Matlab7 Fundamentos. São Paulo:

Érica, 2008. p. 314-317.

[51] WEBER MENDONÇA, Melissa. Matlab Avançado. Universidade

Federal de Santa Catarina.

[52] QUEIROZ LIMA, Roberta de, SAMPAIO, Rubens. Identificação

de Parâmetros pelo Método dos Mínimos Quadrados Não Linear. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. DEM

Departamento de Engenharia Mecânica. Rio de janeiro, agosto de

2009. Disponível em: http://www.puc-

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em: 24 de set de 2015.

[53] Equation Solving Algorithms. Mathworks. Disponível em:

http://www.mathworks.com/help/optim/ug/equation-solving-

algorithms.html. Acesso em 30 de setembro de 2015.

[54] MACIEL ROSA, Rodrigo. Estudo e Implementação do Método

Dogleg para Programação Não-Linear. 2005. 51f. Trabalho de

conclusão de curso (Bacharelado) - Centro de Ciências Físicas e

Matemáticas, Universidade Federal de Santa Catarina,

Florianópolis, 2005.

[55] Mathworks. Disponível em: http://www.mathworks.com. Acesso

em 30 de setembro de 2015.

[56] FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo

A: funções, limite, derivação, integração. 5ª edição. SP: Makron,

1992.

[57] TELLO, J. Manuel Sotomayor. Lições de Equações Diferenciais

Ordinárias. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e

Aplicada, Projeto Euclides, 1979.p. 5-7.

[58] RIVERA, Jaime E. Muñoz. Cálculo Diferencial II & Equações

Diferenciais. Textos de graduação. Petrópolis: Editora Gráfica

Rondon Ltda, 2007. p. 35-36.

[59] MENDES, Filomena B. R., LEITE, Jean V., BATISTELA, Nelson

J., SADOWSKI, Nelson, SUÁREZ, Fredy M. S., “An Improved

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Hysteresis Scalar Model Using Integral Calculus”, JMOe, vol. 16,

no.1, pp. 165-179, March. 2017.

[60] HOFFMANN, Kleyton, BASTOS, João P. A., LEITE, Jean V.,

SADOWSKI, Nelson, BARBOSA, Filomena, “A Vector Jiles-

Atherton Model for Improving the FEM Convergence”, IEEE

Trans. Magn., to be published.

[61] SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado. Rio de Janeiro: Editora

McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1971. p.135-136.

Page 181: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

177

APÊNDICE A – Primeira Metodologia

A.1 MODELAGEM MATEMÁTICA

As equações do modelo de Jiles-Atherton são as seguintes:

irr revM M M (A.1)

rev an irrM c M M (A.2)

coth ean s

e

H aM m

a H

(A.3)

irr an irr

e

dM M M

dH k

(A.4)

eH H M (A.5)

0B H M (A.6)

Onde: M é a magnetização; Mirr é a magnetização irreversível;

Mrev é a magnetização reversível; Man é a magnetização anisterética; ms,

α, a, k, e c são os parâmetros do material; He é o campo magnético

efetivo; δ assume os valores ±1; H é o campo magnético; B é a indução

magnética e µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo.

As equações (A.1)-(A.6) permitem obter uma EDO, equação

diferencial ordinária, não linear em função de H, e de B: onde os cinco

parâmetros do modelo, ms; α; a; k; e c, também aparecem. A

metodologia é mostrada a seguir. Isolando a magnetização total das

demais variáveis em (A.6) decorre imediatamente: M = (B/µ0)-H.

Levando esta expressão para (A.5), o campo magnético efetivo pode ser

escrito da seguinte forma: He = H+α((B/µ0)-H). Colocando o campo

magnético em evidência, segue:

0

1e

BH H

. (A.7)

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178

Para conduzir a modelagem matemática, a Fig. 78 mostra uma

curva B-H de um material ferromagnético. Existe interesse em modelar

este laço segundo a abordagem de Jiles-Atherton, e matematicamente o

laço poderia ser representado por duas funções: a primeira função para

modelar o ramo ascendente, pertencente ao primeiro, terceiro, e quarto

quadrantes; e a última função para modelar o ramo descendente,

pertencente ao primeiro, segundo, e terceiro quadrantes.

Figura 78 – Curva B-H.

Fonte: Autoria própria (2011).

Considerando (A.4), para δ = 1 tem-se o ramo ascendente, e para

δ = -1 tem-se o ramo descendente. Posto isto, organiza-se a análise em

duas etapas: observando no primeiro momento o ramo ascendente da

curva B-H.

A.2 MODELAGEM DO RAMO ASCENDENTE

Para o ramo ascendente tem-se δ = 1.

Observa-se que a equação (A.4) estabelece a taxa de variação da

magnetização irreversível com o campo magnético efetivo dMirr/dHe = (Man-Mirr)/k, e isto permite formalizar a primeira afirmação: a

magnetização irreversível é dependente do campo magnético efetivo,

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H (A/m)

B (

T)

Ramo Descendente

Ramo Ascendente

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179

isto é, Mirr = Mirr(He). Por outro lado, observando (A.7) é possível

formalizar a segunda afirmação: o campo magnético efetivo é

dependente do campo magnético e da indução magnética, de outro

modo, He = He(H,B). Levando estas duas afirmações em consideração,

evidentemente segue: Mirr = Mirr(He(H,B)), em consequência, pode-se

derivar a magnetização irreversível em cadeia e considerar a primeira

parcela, como segue:

irr irr e

e

dM dM dH

dH dH dH (A.8)

irr irr e

e

dM dM dH

dB dH dB (A.9)

Nas seções C, e 7.2 são apresentados os impactos de se

considerarem as duas parcelas da derivada da magnetização irreversível,

provenientes da regra da cadeia. Para denotar derivadas está sendo

utilizada a notação empregada no modelo inverso, apresentado na seção

2.3.

Considerando o termo dHe/dH de (A.8), e com base em (A.7) é

possível determinar a expressão da derivada do campo magnético

efetivo com respeito ao campo magnético, como segue:

0

1edH dB

dH dH

. (A.10)

Por sua vez, a equação (A.6) permite escrever: B/µ0 = H+M.

Isolando a magnetização total das demais variáveis nesta última equação

tem-se:

0

BM H

(A.11)

Como M = M(H,B), e como a magnetização total é a soma de

suas componentes reversível e irreversível, então: Mirr = Mirr(H,B) e Mrev

= Mrev(H,B).

Substituindo (A.2) em (A.1) tem-se: M = Mirr+c(Man-Mirr), isto é,

M = Mirr+cMan-cMirr, ou seja, M = Mirr(1-c)+cMan. Isolando a

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180

componente irreversível da magnetização, das demais variáveis nesta

última equação, é também verdade que:

1

anirr

M cMM

c

. (A.12)

Substituindo (A.11) em (A.12) obtém-se:

0

1

1 1irr an

B cM H M

c c

. (A.13)

A equação (A.13) permite obter a expressão da derivada da

magnetização irreversível em relação ao campo magnético como segue:

0

1 11

1 1

irr andM dB c dM

dH c dH c dH

(A.14)

Por outro lado, substituindo (A.4) em (A.8), e considerando δ = 1

tem-se: dMirr/dH = [(Man-Mirr)/k]dHe/dH que com a equação (A.10)

geram: dMirr/dH = [(Man-Mirr)/k]{1-α+[(α/µ0)(dB/dH)]}, isto é,

0 0

1 1irr

an irr

dM dB dBM M

dH k k dH k k dH

que com a

equação (A.13) permitem escrever:

0 0

0

1 1

1 1

1

irran an

dM dB B cM H M

dH k k dH c c

dB

k k dH

A equação anterior pode ser escrita como:

0 0 0

0

1 11

1

1

1

irran

an

dM dB B dBM H

dH k k dH c k k dH

c dBM

c k k dH

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181

Colocando Man em evidência é também verdade que:

0 0

0 0

1 1

1

11

1

irran

dM dB c dBM

dH k k dH c k k dH

B dBH

c k k dH

,

e consequentemente,

0 0

0 0 0

1 1

1 1

1 1 1

1 1

irran

dM dB c c dBM

dH k k dH c k c k dH

B B dBH H

c k c k dH

(A.15)

A equação (A.14) pode ser alterada, sem prejudicar a igualdade, e

escrita em uma nova forma como:

0

1 11

1 1

irr an e

e

dM dB c dM dH

dH c dH c dH dH

.

Substituindo (A.10) nesta nova forma de (A.14) tem-se:

0 0

1 11 1

1 1

irr an

e

dM dB c dM dB

dH c dH c dH dH

. (A.16)

As equações (A.15), e (A.16) mostram a expressão da derivada da

magnetização irreversível em relação ao campo magnético, e

consequentemente, (A.15) é igual a (A.16), e segue:

0 0

0 0 0

0 0

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 11 1

1 1

an

an

e

dB c c dBM

k k dH c k c k dH

B B dBH H

c k c k dH

dB c dM dB

c dH c dH dH

(A.17)

No entanto, substituindo (A.7) em (A.3) obtém-se o seguinte

resultado:

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182

0

0

1coth

1an s

H B aM m

Ba aH

. (A.18)

A equação (A.3) permite a obtenção da expressão da derivada da

magnetização anisterética em relação ao campo magnético efetivo,

como segue:

cothan es

e e e e

dM d H d am

dH dH a dH H

Sendo 2coth csce e e

e e

d H H d Hh

dH a a dH a

.

O que implica em 21coth csce e

e

d H Hh

dH a a a

.

Como coth2(He/a) = 1+csch

2(He/a), segue:

2 2

2

1 1coth csc coth 1

1 1coth

e e e

e

e

d H H Hh

dH a a a a a

H

a a a

.

Por outro lado, 2

e e e

d a a

dH H H

, e consequentemente,

2

2

21 cothan s e

e e

dM m H a

dH a a H

(A.19)

Para finalizar, substituindo as equações (A.18), (A.19), e (A.7) na

equação (A.17), tem-se:

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183

0

0

0 0

0 0 0

0

2

0

1coth

1

1 1

1 1

1 1 1

1 1

1 11

1

11 coth

11

s

s

H B am

Ba aH

dB c c dB

k k dH c k c k dH

B B dBH H

c k c k dH

dB

c dH

Hc m B a

c a a aH

2

0

0

1

B

dB

dH

. (A.20)

A equação (A.20) está escrita em termos de H, B, dB/dH, e dos

cinco parâmetros procurados: ms, α, a, k, e c. O termo dB/dH pode ser

isolado das demais variáveis em (A.20), como segue:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

dB T T T T T T T T T

dH T T T T T T T

(A.21)

Onde:

1

0

1 1coths

H BT m

a a k

2

0

1 1coth

1s

H B cT m

a a c k

3

0

1

1

sm aT

kBH

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184

4

0

1

11

sm a cT

c kBH

5

0

1 1

1

BT H

c k

6

1

1T

c

7 1

1

sc mT

c a

2

8

0

1coth 1

1

sHc m B

Tc a a a

2

9

0

11

1

sc m aT

Bc aH

10

0 0 0

1coth

1s

H B cT m

a a k c k

11

0 0

0

11

sm a cT

k c kBH

12

0 0

1

1

BT H

c k

13

0

1 1

1T

c

14

01

sc mT

c a

2

15

0 0

1coth

1

sHc m B

Tc a a a

2

16

0

0

11

sc m aT

Bc aH

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185

A equação precedente tem importância especial: (A.21) é a

equação principal utilizada na identificação dos parâmetros do modelo.

Esta EDO não linear pode ser representada, de forma simplificada, por:

,dB

f H BdH

(A.22)

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186

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187

APÊNDICE B – Segunda Metodologia

B.1 MODELAGEM MATEMÁTICA

As fórmulas que permitem identificar os parâmetros do modelo

são as próprias equações do modelo escalar de histerese de Jiles-

Atherton, e uma relação constitutiva. Conforme [28] são consideradas as

seguintes equações:

irr revM M M (B.1)

rev an irrM c M M (B.2)

coth ean s

e

H aM m

a H

(B.3)

irr an irr

e

dM M M

dH k

(B.4)

eH H M (B.5)

0B H M . (B.6)

B.1.1 Construção do Problema de Cauchy Associado

Tendo em mente que o propósito nesta seção é encontrar os cinco

parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton, sem

recorrer ao cálculo de derivadas, a modelagem matemática é iniciada

substituindo (B.2) em (B.1): irr an irrM M c M M , isto é,

1 irr anM c M cM . (B.7)

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188

Além disso, considerando (B.5) tem-se eM H H , ou seja,

eH HM

que por sua vez, substituída em (B.6) permite escrever

0eH H

B H

. Desta última equação tem-se:

00

11 eB H H

. (B.8)

De (B.8) procede 00

11eH B H

que também significa:

0

1eH B H

. (B.9)

Por outro lado, a equação (B.7) permite calcular a derivada da

magnetização em relação ao campo magnético efetivo:

1 irr an

e e e

dM dM dMc c

dH dH dH . (B.10)

Desta forma, substituindo (B.4) em (B.10) decorre:

1 1an

an irr

e e

c cdM dMM M c

dH k k dH

. (B.11)

Ao multiplicar (B.7) por 1/(kδ) é verdade que:

1irr an

cM cM M

k k k

(B.12)

Depois disto, (B.11) somada a (B.12) permite escrever:

1an

an an

e e

cdM M dM cM c M

dH k k dH k

, ou por outra,

an an anan

e e

dM M M cM dM cc M

dH k k k dH k , isto é,

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189

an an

e e

dM M M dMc

dH k k dH (B.13)

Considerando (B.3) certamente é possível observar que Man =

Man(He), e dMan/dHe = f(He), isto é, Man e dMan/dHe ambas dependem de

He, e consequentemente, afirma-se que (B.13) é uma equação diferencial

ordinária linear de primeira ordem, com variável dependente M, e

variável independente He.

Constrói-se o problema de Cauchy [57] associado a (B.13). Um

problema de Cauchy é definido por uma equação, ou sistemas de

equações de primeira ordem, e uma condição inicial. Da equação (B.6)

B/µ0 = H+M, ou por outra, M = (B/µ0)-H, e consequentemente, a

condição inicial é: M(He0) = M0 = (B0/µ0)-H0.

Considerando (B.9), He0 = (α/µ0)B0-(α-1)H0, e por consequência,

00 0 0 0 0

0 0

1e

BM H M B H M H

(B.14)

O seguinte problema de Cauchy é estabelecido:

00 0 0 0 0

0 0

1

an an

e e

e

dM M M dMc

dH k k dH

BM H M B H M H

B.1.2 Resolução do Problema de Cauchy

O método do fator integrante [58] é utilizado na resolução do

problema de Cauchy. Determina-se o fator integrante supondo que

existe uma função u(He) tal que:

an ane e e e

e e

dM M M dMu H u H u H u H c

dH k k dH e

e e e

e e

dM M du H u H u H M

dH k dH

Dado que u(He) ≠ 0 e M(He) ≠ 0 então

Page 194: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

190

e e e

e e e

dM M du dMu H u H M u H

dH k dH dH

Na equação anterior são comparados os termos do lado direito

com aqueles termos do lado esquerdo. Diante disso conclui-se que:

e

e

u Hdu

dH k , ou seja,

1e

e

u H

u H k

Como d(ln[u(He)])/dHe = u'(He)/u(He), segue d(ln[u(He)])/dHe =

1/(kδ). Separando as variáveis existentes na equação anterior, e

integrando vem ʃdln(u(He)) = ʃ[1/(kδ)]dHe, e consequentemente,

ln(u(He)) = [He/(kδ)]+cte. Em particular para cte = 0 tem-se ln(u(He)) =

He/(kδ), o que então implica em u(He) = eHe/(kδ)

. O fator integrante é

eHe/(kδ)

.

A equação (B.13) é multiplicada pelo fator integrante e como

resultado, tem-se:

e e e eH H H H

an ank k k k

e e

dM M M dMe e e ce

dH k k dH

(B.15)

Como e e eH H H

k k k

e e

dM M de e e M

dH k dH

, decorre imediatamente:

(B.15) pode ser escrita sob a forma e e eH H H

an ank k k

e e

d M dMe M e ce

dH k dH

.

Integrando a equação anterior tem-se:

e e eH H H

an ank k ke e

e

M dMd e M e dH c e dH

k dH

, que também significa,

0

0 0

0

1 e ee e

e e

H HH H x x

ank k k kan

H H

dMMe M e M e dx c e dx

k dx

(B.16)

Aplica-se o método de integração por partes [56], dada por ʃUdV

= UV-ʃVdU, no segundo termo do lado direito de (B.16).

Dessa maneira, para U = ex/(kδ)

tem-se dU = (1/(kδ))ex/(kδ)

dx. Para dV = (dMan/dx)dx segue ʃdV = ʃ(dMan/dx)dx, isto é, V = Man. É também

verdade que:

Page 195: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

191

0 00

1e

e e

e ee

HH Hx x x

ank k kan an

H HH

dMc e dx c M e e M x dx

dx k

(B.17)

Substituindo (B.17) em (B.16) obtém-se:

0

0 0

0

0

1e

ee e

e e

e

e

HHH H x x

k k k kan an

H H

H x

kan

H

Me M e M e dx c M ek

ce M x dx

k

, ou ainda,

0 0

0

0 0

1 ee e e e

e

HH H H Hx

k k k k kan an e an e

H

cMe M e e M x dx cM H e cM H e

k k

0

0

0

0

0

11

ee e

e

e e

HH H x

k k kan

H

H H

k kan e an e

Me M e c M x e dxk

cM H e cM H e

(B.18)

Multiplicam-se ambos membros da igualdade (B.18) por e-He/(kδ)

,

e se obtém:

0

0

0

0

0

11

ee e e

e

e e

HH H H x

k k kan

H

H H

kan e an e

M M e c e M x e dxk

cM H cM H e

.

Isolando a magnetização total das demais variáveis na equação

anterior, vem:

0

0

0

0

0

11

ee e e

e

e e

HH H H x

k k kan

H

H H

kan e an e

M M e c e M x e dxk

cM H cM H e

.

Considerando a equação anterior e (B.3) é possível escrever:

Page 196: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

192

0

0

0

0

0

0

11 coth

coth

coth

e e

ee

e

e e

H H

k

HH x

k ks

H

es

e

H H

e ks

e

M M e

x ac e m e dx

k a x

H acm

a H

H acm e

a H

. (B.19)

B.1.3 Relação Proposta: Indução Magnética com o Campo

Magnético

Uma vez resolvido o problema de Cauchy associado, é

extremamente relevante observar que: é possível retornar as equações

originais do modelo para escrever uma equação que relaciona a indução

magnética com o campo magnético, onde aparecem também os

parâmetros do material. Levando isto em consideração, da igualdade

(B.6) tem-se: M = (B/µ0)-H que juntamente com (B.9) são substituídas

em (B.19) possibilitando escrever:

0 00 0

00

0 00

1 1

00

0 0

11

1

0

0

0 0

0

1 coth

1

coth

1

1

coth

B H B H

k

B HB Hx

s k k

B H

s

s

B BH H e

m x ac e e dx

k a x

B Ha

cma

B H

B Ha

cma

0 00 0

0 0

0

1 1

1

B H B H

k

B H

e

. (B.20)

Page 197: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

193

Observa-se que a equação (B.20) envolve apenas: a indução

magnética; o campo magnético; e os cinco parâmetros do modelo

escalar de histerese de Jiles-Atherton [59], [60]. Entretanto (B.20)

relaciona o campo magnético e a indução magnética de forma implícita.

Através de (B.20) é possível descobrir os cinco parâmetros do modelo

quando a indução magnética, e o campo magnético são ambos

conhecidos. Além disso, outro ponto atraente em (B.20) é a ausência da

derivada. Quando o cálculo de derivadas for necessário, isto pode

conduzir a instabilidade numérica, especialmente se existirem ruídos nos

dados experimentais. É importante lembrar que [56] a derivada de uma

função B(H) no ponto H1 é definida pelo limite

1 1

10

limH

B H H B HB H

H

quando este limite existe. Este limite

fornece a inclinação da reta tangente à curva B(H) no ponto (H1, B(H1)).

B.1.4 Resolução Numérica das Integrais

A igualdade (B.20) envolve duas integrais dadas por:

ʃex/(kδ)

coth(x/a)dx e ʃ(a/x)ex/(kδ)

dx. Demasiado tempo de pesquisa foi

dedicado à tentativa de resolver estas integrais de forma exata,

utilizando os bem conhecidos métodos de integração (integrais por

partes, método de substituição, entre outros). Desafortunadamente, este

desafio ainda não foi superado.

Para contornar o problema, as duas integrais são resolvidas de

forma aproximada, utilizando séries de potência. Não utilizaremos um

pacote de matemática simbólica, por exemplo, o Maple, uma vez que

estes pacotes além de resolverem a integral de forma aproximada são

também um bloco fechado. Isto geralmente impossibilita o usuário fazer

a seleção do termo de truncamento.

Por esta razão, atenção especial é dada ao termo

0

cothe

e

H x

k

H

x ae dx

a x

pertencente à igualdade (B.20). Esta integral será

calculada utilizando a série de MacLaurin dada por:

0 !

ny

n

ye

n

válida para todo e qualquer y . (B.21)

Page 198: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

194

Em primeiro lugar é realizado um pequeno progresso no termo do

integrando que multiplica a exponencial; e posteriormente o integrando

completo é preparado. Consideram-se os seguintes desdobramentos:

1coth coth

x a x

xa x a

a

e multiplicando-se ambos membros

desta igualdade pela exponencial segue que:

1coth coth

1

x x

k k

x x x xx x

a a a ax xa a

k kx x x x

a a a a

x a xe e

xa x a

a

x xe e e e

e e a ae ex x x

e e e ea a a

x x x x

a a a ax x x x

x xa a a ak k

x x x x

a a a a

x x x x x x

xa a a k a k

kx x x x

a a a a

xe xe ae aexe xe ae aea e e

xe xe xe xe

a

x a e x a e x a e x a ee

xe xe x e e

k x ax xk ax

ak ak

x x

a a

k x ax xk ax x

ak ak a

xx x

aa a

x a e x a e

x e e

x a e x a e e

ex e e

Page 199: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

195

2

1

k x ax x xk ax x

ak a ak a

x x x x

a a a a

k x ax k x k x ax k x

ak ak

x

a

x a e x a e

x e e

x a e x a e

x e

2

2

2

2

1

1

k x ax ax

ak ak

x

a

k a xxak k

x

a

x a e x a e

x e

x a e x a e

x e

O integrando pode ser imediatamente posto na forma:

2

2coth

1

k a xxakx k

k

x

a

x a e x a ex ae

a xx e

(B.22)

Em segundo lugar, os três termos exponenciais do lado direito de

(B.22) podem ser escritos na forma apresentada em (B.21). Assim tem-

se:

2

0 0

0

2 2

! !

2

!

n n

nk a

xak

n n

n n

n n nn

k a k ax x

ak ake

n n

k a x

a k n

E depois disto considera-se:

2

0 0 0

2 22

! ! !

nn n

x n nna

nn n n

x xxa ae

n n a n

Por fim, observa-se que:

Page 200: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

196

0 0 0! ! !

nn

x nn nk

n nn n n

x xxk ke

n n k n

Os termos envolvendo exponenciais são agora levados para

(B.22) e permitem escrever:

0 0

0

coth

2

! !

21

!

x

k

n n n

n n n n nn n

n n

nn

x ae

a x

k a x xx a x a

a k n k n

xx

a n

0 0

0

0 0

0

2

! !

21

!

2

! !

21

!

n n n

n n n n nn n

n n

nn

n n n n

n n n n n nn n

n n

nn

x a k a x x a x

a k n k n

xx

a n

x a k a x x a x a

a k n a k n

xx

a n

0

0

0

0

2

!

21

!

2

!

21

!

n n n n

n n nn

n n

nn

n n n

n n nn

n n

nn

x a k a x x a x a

a k n

xx

a n

x a k a x a a x

a k n

xx

a n

Page 201: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

197

1

0

0

0

0

2 2

!

21

!

2 2

!

21

!

n n n n n

n n nn

n n

nn

n nn n n

n n nn

n n

nn

x k a a k a xa a x

a k n

xx

a n

x k a a a k a a x

a k n

xx

a n

Após executar estas operações envolvendo séries é também

verdade que o integrando pode ser colocado na forma:

0

0

2 2

!coth

21

!

n nn n n

x n n nnk

n n

nn

x k a a a a k a x

x a a k ne

a x xx

a n

(B.23)

B.1.4.1 Para a igualdade (B.23) são calculados os dez primeiros termos do

numerador

Para prosseguir, tn denota os termos do numerador de (B.23), isto

é,

0 1 2 3 9

0

2 2

!

n nn n n

n n nn

x k a a a a k a x

t t t t ta k n

.

Onde, para n = 0:

0 00 0 0

0 0 0 0

2 2

0!

1 1 1 1 12

1

x k a a a a k a x

ta k

x ax

Para n = 1:

Page 202: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

198

1 11 1 1

1 1 1 1

2

2 2

1!

2 2 2

2 2 2 2 22

x k a a a a k a x

ta k

x k a a a k a x

ak

x k a k a x x k ax

ak ak

Para n = 2:

2 22 2 2

2 2 2 2

2 23 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2!

2 2

2! 2!

x k a a a a k a x

ta k

x k a a a a k a x

a k a k

Para n = 3:

3 33 3 3

3 3 3 3

3 34 3 3 3

3 3 3 3 3 3

2 2

3!

2 2

3! 3!

x k a a a a k a x

ta k

x k a a a a k a x

a k a k

Para n = 9:

9 99 9 9

9 9 9 9

9 910 9 9 9

9 9 9 9 9 9

2 2

9!

2 2

9! 9!

x k a a a a k a x

ta k

x k a a a a k a x

a k a k

A etapa seguinte consiste em ordenar os termos tn em potências

de x. Tn denota estes termos ordenados. Isso implica em: 0 0

0 0

1 1

1 1

0

2 2 0

T x a x

T x x x a x

Page 203: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

199

22 22

2 2 2 2

22 22

2 2

22

2 2

22 2

22 2

2!

22 2

2!

2 2 2 2

2!

a a k a xx k aT

ak a k

a k a xx k a

ak ak

k k a a k ax a x

ak

2 33 2 3 3

3 2 2 2 3 3 3

2 33 2 3 3

2 2 2 2 3 3

2 33 2 3 3

2 2 2 2 3 3

2 32 3

3

32 3 3

2 2

2! 3!

3 2 2

2!3 3!

3 2 2

3! 3!

3 2 2

3!

x k a a a a k a xT

a k a k

x k a a a k a x

a k a k

x k a a a k a x

a k a k

k k a a a k ax a

a k

3x

3 44 3 4 4

4 3 3 3 4 4 4

3 44 3 4 4

3 3 3 3 4 4

3 44 3 4 4

3 3 3 3 4 4

3 43 4

4

43 4 4

2 2

3! 4!

4 2 2

3!4 4!

4 2 2

4! 4!

4 2 2

4!

x k a a a a k a xT

a k a k

x k a a a k a x

a k a k

x k a a a k a x

a k a k

k k a a a k ax a

a k

4x

Page 204: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

200

8 98 9

9 9

9 98 9 9

9 2 2

9!

k k a a a k aT x a x

a k

1 1

1

2 2

!

n nn n

n n

n nn n n

nk k a a a k aT x a x

a k n

Após este desenvolvimento, o consequente numerador de (B.23)

é:

0

0 1 2 9

2 3

2 3

2 2

!

n nn n n

n n nn

n

n n

n n

x k a a a a k a x

a k n

T T T T T

a x a x a x a x

(B.24)

B.1.4.2 Para a equação (B.23) são calculados os dez primeiros termos do

denominador

Antes de calcular os dez primeiros termos do denominador de

(B.23) é possível fazer uma pequena evolução deste denominador, como

segue: 1

0 0 0

2 2 21

! ! !

n n n n n n

n n nn n n

x x xx x x x

a n a n a n

A princípio, dn denota os termos de 1

0

2

!

n n

nn

x

a n

. De forma

equivalente: 1

0 1 2 3 9

0

2

!

n n

nn

xd d d d d

a n

Onde para n = 0:

Page 205: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

201

0 0 1

0 0

2

0!

xd x

a

Para n = 1: 1 1 1 2

1 1

2 2

1!

x xd

a a

Para n = 2: 2 2 1 2 3

2 2 2

2 2

2! 2!

x xd

a a

Para n = 3: 3 3 1 3 4

3 3 3

2 2

3! 3!

x xd

a a

Para n = 9: 9 9 1 9 10

9 9 9

2 2

9! 9!

x xd

a a

A seguinte expansão, do denominador de (B.23), é verdadeira:

0 1 2 9

0

2 2 3 3 4 9 10 1

2 3 9

2 2 3 3 4 9 10 1

2 3 9

2 3 4 10

2 3 4 10

21

!

2 2 2 2 2

2! 3! 9! !

2 2 2 2 2

2! 3! 9! !

n n

nn

n n

n

n n

n

n n

n n

xx d d d d x

a n

x x x x xx x

a a a a a n

x x x x x

a a a a a n

b x b x b x b x b x b x

(B.25)

A igualdade (B.23) leva para [coth(x/a)-(a/x)]ex/(kδ)

=

∑anxn/∑bnx

n. Onde as séries ∑anx

n, e ∑bnx

n são aquelas mostradas em

(B.24) e (B.25). Para conhecer [coth(x/a)-(a/x)]ex/(kδ)

é suficiente efetuar

a divisão das séries ∑anxn/∑bnx

n. Nesse caso, suponha que:

n

n n n n n

n n n nn

n

a xc x a x c x b x

b x

, ou de forma equivalente:

2 3

2 3

0 1 2 3

0 1 2 3

2 3 4 10

2 3 4 10

n

n

n

n

n

n

a x a x a x

c x c x c x c x c x

b x b x b x b x b x

Page 206: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

202

2 3

2 3

2 3 4 10

0 2 0 3 0 4 0 10 0

3 4 5 11 1

1 2 1 3 1 4 1 10 1

4 5 6 12 2

2 2 2 3 2 4 2 10 2

5 6 7 13 3

3 2 3 3 3 4 3 10 3

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

a x a x a x

c b x c b x c b x c b x c b x

c b x c b x c b x c b x c b x

c b x c b x c b x c b x c b x

c b x c b x c b x c b x c b x

Cada termo do lado esquerdo da equação anterior é igualado aos

termos correspondentes do lado direito. Isto significa que: 2 2

2 0 2

3 3 3

3 0 3 1 2

4 4 4 4

4 0 4 1 3 2 2

5 5 5 5 5

5 0 5 1 4 2 3 3 2

a x c b x

a x c b x c b x

a x c b x c b x c b x

a x c b x c b x c b x c b x

Desta maneira são conhecidos os coeficientes da série ∑cnxn, ou

seja, isolando-se os coeficientes das demais variáveis na equação

anterior segue:

20

2

3 0 31

2

4 0 4 1 32

2

5 0 5 1 4 2 33

2

ac

b

a c bc

b

a c b c bc

b

a c b c b c bc

b

Depois de levar as expressões dos coeficientes an, e bn, dados em

(B.24) e em (B.25), para a equação anterior decorre:

Page 207: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

203

22

0 2 2

2 32 32

1 02 3 3 2

3 43 43 2

2 0 13 4 4 3 2

3

2 2 2

2! 2

3 2 2 2

3! 2! 2

4 2 2 2 2

4! 3! 2! 2

5 2

k k a a a k a ac

ak

k k a a a k a ac c

a k a

k k a a a k a ac c c

a k a a

k k

c

4 54 5

4 3 2

0 1 24 5 5 4 3 2

2 2 2 2

5! 4! 3! 2!

2

a a a k ac c c

a k a a a

a

Com maior relevância e importância, os coeficientes cn (com

índice) não devem ser confundidos com o parâmetro do material c (sem

índice).

Por consequência, o integrando é o mesmo que:

2 3

2 3

2 3

2 3

0 1

0 1

coth

nxnk

n

n

n

n

n

n

n

n

a xx ae

a x b x

a x a x a x

b x b x b x

c x c x c x

Uma vez que o integrando foi escrito na forma de uma soma de

potências de x segue que a resolução da integral é simplesmente

imediata. Por este motivo, integrando a fórmula anterior obtém-se o

seguinte resultado:

Page 208: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

204

0 0

0 1

0 1

0 0 0

0 0

2 2

10 0

0 0

3 3

20 0

0 0

coth

1 1

1 12

1 13

e e

e e

H Hx

nkn

H H

x ae dx c x c x c x dx

a x

c B H B H

cB H B H

cB H B H

10 10

90 0

0 0

1 110

cB H B H

0

1 1

0 0

0 0 0

coth

1 11

e

e

H x

k

H

n n

n

n

x ae dx

a x

cB H B H

n

Para finalizar, a equação principal (B.20) proposta pode ser

escrita como:

Page 209: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

205

0 00 0

0

1 1

00

0 0

1

1 1

0 0

0 0 0

0

0

0

0

1

1 11

1

coth

1

coth

B H B H

k

B H

s k

n n

n

n

s

s

B BH H e

mc e

k

cB H B H

n

B Ha

cma

B H

B

cm

0 00 0

0

0 0

0

1 1

1

1

B H B H

k

Ha

aB H

e

. (B.26)

Onde os coeficientes cn dependem dos parâmetros do material a,

k, e do valor de δ.

Page 210: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

206

Page 211: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

207

APÊNDICE C – Variante do Modelo Inverso

Para o modelo inverso são válidas as seguintes equações:

irr revM M M (C.1)

rev an irrM c M M (C.2)

coth ean s

e

H aM m

a H

(C.3)

irr an irr

e

dM M M

dH k

(C.4)

eH H M (C.5)

0B H M . (C.6)

Levando (C.2) para (C.1) tem-se irr an irrM M cM cM , ou seja,

1 irr anM c M cM . (C.7)

Derivando (C.7) com respeito ao campo magnético segue que:

1 irr andM dM dMc c

dH dH dH . (C.8)

Mas,

e e

e e

dM dM H dH dM H dB

dH dH H dH dH B dH

. (C.9)

Isolando a magnetização total das variáveis restantes em (C.6)

obtém-se: M = (B/µ0)-H. Isolando o campo magnético das demais

variáveis em (C.5) tem-se: H = He-αM. Portanto, M = (B/µ0)- He+αM em

consequência destas manipulações, isto é,

Page 212: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

208

0 1 1

eB HM

.

Derivando a magnetização total com relação ao campo

magnético efetivo:

0 0

1 1 1 1 10

1 1 1 1 1e e

dM dB

dH dH

De (C.5) é possível obter as seguintes derivadas:

1eH M

H H

e eH H M M

B B B B

De (C.6): M = (B/µ0)-H

0 0

1 11 1 1 1eH M B H dB

H H H H dH

e

0 0

1eH H M M B H

B B B B B B

De (C.6) é possível obter a derivada da indução magnética com

respeito ao campo magnético dada por: 0 1dB dM

dH dH

Logo:

0

0 0

1 11 1 1 1 1 1

1

eH dB dM dM

H dH dH dH

dM

dH

Em (C.6) afirma-se que:

0B H M . (C.10)

A consequência das derivadas acima calculadas é que (C.9)

pode ser escrita da seguinte forma:

Page 213: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

209

0

0

1 11 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

11

1 1 1 1

dM dM dM

dH dH dH

dM dM dM

dH dH dH

dM dM dM

dH dH dH

dM

dH

1

1 1

11 1

1

1 1

1 2

1 1

1

1 1

11 2

1

11

1 1

dM

dH

dM

dH

dM

dH

dM

dH

1dM

dH . (C.11)

Considerando (C.8) é necessário escrever a expressão de andM

dH:

an an e e

e

dM dM H dH H dB

dH dH H dH B dH

. (C.12)

De (C.5) e de (C.6) obtém-se:

Page 214: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

210

0

0

1

1

e

e

H dM

H dH

H

B

dB dM

dH dH

. (C.13)

Levando (C.13) para (C.12) tem-se:

0

0

1 1

1

1

an an

e

an

e

an

e

dM dM dM dM

dH dH dH dH

dM dM dM

dH dH dH

dM dM

dH dH

Considerando (C.11) segue:

1an an

e

dM dM

dH dH

1 1an an an

e e

dM dM dM

dH dH dH (C.14)

Deriva-se (C.3) com respeito ao campo magnético efetivo, isto

é,

cothan es

e e e

dM d H am

dH dH a H

.

Esta derivada é calculada no Apêndice A, assim, de (A.19) tem-

se:

2

21 cothan s e

e e

dM m H a

dH a a H

. (C.15)

A equação (C.8) contém o termo dMirr/dH, e consequentemente,

esta taxa de variação da magnetização irreversível com o campo

magnético é calculada como segue:

Page 215: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

211

irr irr e e

e

dM dM H dH H dB

dH dH H dH B dH

.

Levando (C.13) para esta última expressão implica em:

1irr irr e

e

dM dM dM H dB

dH dH dH B dH

. (C.17)

Levando (C.4) para (C.17) segue:

1irr an irr edM M M dM H dB

dH k dH B dH

.

Levando (C.11) para esta última expressão segue:

1irr an irr edM M M H dB

dH k B dH

.

Levando (C.13) e (C.11) para a expressão anterior tem-se:

0

0

0

0

1 1

1 1 1

irr an irr

irr an irr

dM M M dM

dH k dH

dM M M

dH k

.

1irr an irrdM M M

dH k

(C.18)

Aplicando (C.2) em (C.1) tem-se:

1irr rev irr an irr irr anM M M M cM cM M c cM .

Isolando a magnetização irreversível das demais variáveis nesta

última expressão obtém-se:

1

anirr

M cMM

c

.

Escrevendo (C.8) utilizando (C.18), (C.14), e (C.11) tem-se:

1

1 1 1

irr an

an irr an

e

dM dM dMc c

dH dH dH

dM M M dMc c

dH k dH

.

Page 216: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

212

1 1 1 1an irr an

e

M M dMc c

k dH

(C.20)

É muito importante observar que o termo dM/dB foi eliminado

de (C.20) em consequência de dM/dH=-1. Na seção 2.3.1 deste trabalho

foram apresentadas: a equação (2.22) que mostra que dM/dB é

necessária ao cálculo de M; e a equação (2.23) que mostra que M é

necessária ao cálculo de H. Em decorrência disto, o algoritmo do

modelo inverso não poderá ser utilizado considerando (C.20), isto é, o

modelo inverso não lida com a taxa irr irr e irr e

e e

dM dM H dM H dB

dH dH H dH B dH

.

Propõe-se utilizar a seguinte taxa:

0 0

1

1 1 2 1 1 2

an irr an

e

an irr an

e

M M c dMc

k dHdM

dB M M dMc c

k dH

(C.40)

A equação principal do modelo inverso de Jiles-Atherton

proposta é (C.40).

O algoritmo numérico, para obter a magnetização total e o

campo magnético partindo da indução magnética em um procedimento

passo a passo no tempo, é mostrado na sequência.

B(t) e H(t) são calculados no passo anterior.

B B t t B t

0

B tM t H t

eH t H t M t

coth

e

an s

e

H t aM t m

a H t

1

an

irr

M t cM tM t

c

2

21 cothean s

e e

H tdM m a

dH a a H t

Page 217: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

213

0 0

1

1 1 2 1 1 2

an irr an

e

an irr an

e

M t M t c dMc

k dHdM

dB M t M t dMc c

k dH

dM

M t t M t BdB

0

B t tH t t M t t

A equação (C.40) apresentada no desenvolvimento da variante

do modelo inverso é comparada com sua equação correspondente (2.20)

apresentada no desenvolvimento do modelo inverso. Disto se conclui

que as duas equações não são semelhantes devido ao fator multiplicador

dois: que aparece nos termos (1-α).

Page 218: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

214

Page 219: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

215

APÊNDICE D – Tópicos Adicionais

Os parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton

foram identificados utilizando-se as metodologias desenvolvidas neste

trabalho de pesquisa. Uma explicação adicional, de tópicos relacionados

com o problema pesquisado, é apresentada nesta seção. Estes tópicos

são os seguintes: regressão linear; regressão não linear; método de

mínimos quadrados não linear; função Fsolve; sistema

sobredeterminado; otimização restrita utilizando algoritmo genético; e

filtragem e suavização de dados.

D.1 REGRESSÃO LINEAR

O método de mínimos quadrados é uma técnica que minimiza a

soma dos quadrados dos erros residuais. Este método, apresentado em

[49], é utilizado no ajuste de um polinômio ao conjunto de dados, e o

problema é escrito na forma de um sistema linear.

A relação da indução magnética com o campo magnético é não

linear, como pode ser observado no comportamento do laço de histerese.

Mesmo sendo não linear, aplica-se regressão linear no problema para

ajustar um polinômio ao conjunto de pontos experimentais (H, B).

Foram considerados os pontos experimentais da curva suave (primeiro

caso) e da curva contendo ruído (quinto caso).

D.1.1 Primeiro Caso

Um polinômio de grau n é ajustado ao conjunto de pontos

experimentais (H, B) correspondentes ao primeiro caso. Observou-se

que polinômios de graus n<12 não descrevem satisfatoriamente o

comportamento experimental do material. Para um polinômio de grau

n=12 os resultados podem ser observados nas Fig. 79-80 e nas equações

(D.1) e (D.2).

Page 220: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

216

Figura 79 – Ajuste de um polinômio ao ramo ascendente da curva suave:

primeiro caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

3 12 11 10 9

8 7 6 5 4

3 2 1

1 10 0,2480 0,2131 0,8928 0,7007

1,2042 0,8408 0,7419 0,4290 0,2055

0,1158 0,0218 0,0018 0,0399

H B B B B

B B B B B

B B B

(D.1)

2 0,9998R

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnético(A/m)

Indução M

agnética(T

)

Ramo Ascendente

Medido

Calculado

Page 221: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

217

Figura 80 – Ajuste de um polinômio ao ramo descendente da curva suave:

primeiro caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

3 12 11 10 9

8 7 6 5 4

3 2 1

1 10 0,2464 0,2075 0,8867 0,6808

1,1957 0,8152 0,7368 0,4147 0,2042

0,1126 0,0217 0,0020 0,0399

H B B B B

B B B B B

B B B

(D.2)

2 0,9998R

Como o valor do coeficiente de determinação R2 é

aproximadamente unitário, o polinômio de grau 12 descreve muito bem

os dados medidos (para ambos os ramos do laço de histerese).

Entretanto, treze parâmetros seriam necessários para representar o ramo

do laço de histerese. Esses parâmetros assumem valores positivos e

negativos como mostram as equações (D.1) e (D.2).

D.1.2 Quinto Caso

De maneira similar, um polinômio de grau 12 é ajustado aos

dados experimentais (H, B) de cada ramo do laço de histerese para o

laço contendo ruídos (quinto caso). Também obteve-se um excelente

ajuste.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Ramo Descendente

Campo Magnético(A/m)

Indução M

agnética(T

)

Page 222: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

218

Este modelo polinomial empírico apresenta uma quantidade

excessiva de parâmetros, quando comparado com o modelo de histerese

de Jiles-Atherton.

Neste trabalho de pesquisa não se tem interesse em identificar os

parâmetros do modelo polinomial, mas em se identificar os parâmetros

do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton. O modelo de Jiles-

Atherton apresenta vantagens quando comparado ao modelo polinomial:

utiliza uma quantidade menor de parâmetros na representação do

material; os parâmetros assumem somente valores positivos; e não é um

modelo empírico.

D.2 REGRESSÃO NÃO LINEAR

O método de mínimos quadrados, apresentado em [49], é

utilizado no ajuste de um polinômio ao conjunto de dados. Entretanto,

como nem todos os modelos são lineares, e como nem todas as equações

não lineares podem ser transformadas em equações lineares, utilizou-se

a regressão não linear.

O problema 1

0

ay a x é apresentado em [49] onde: os valores

experimentais de x e de y são conhecidos; os valores dos parâmetros a0 e

a1, que minimizam a função, são determinados utilizando a função

fminsearch disponível no Matlab [50], [51].

Na segunda metodologia é encontrada a equação (4.1), que

contém H, B, e os cinco parâmetros do modelo escalar de histerese de

Jiles-Atherton: os valores experimentais de H e de B são conhecidos; os

valores dos cinco parâmetros que minimizam a função, não podem ser

determinados utilizando a função fminsearch porque (4.1) é uma

equação implícita, isto é, não é possível isolar B da variável H tal como

y é isolada da variável x em 1

0

ay a x . Vale lembrar também que os

cinco parâmetros do modelo assumem somente valores positivos.

O mesmo ocorre à primeira metodologia, isto é, a equação (3.1) é

implícita.

As equações utilizadas na identificação dos parâmetros e

desenvolvidas neste trabalho de pesquisa são implícitas, e

consequentemente, não é possível a utilização de todos os pontos (H, B)

pertencentes ao ramo, considerando-se uma solução do tipo mínimos quadrados.

D.3 MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS NÃO LINEAR

Page 223: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

219

O método dos mínimos quadrados não linear, utilizado no ajuste

de curvas não lineares, é apresentado em [52]. Neste caso, o problema

não pode ser representado por um sistema linear.

Utilizando as equações do modelo escalar de histerese de Jiles-

Atherton e uma relação constitutiva, constrói-se um sistema de equações

não lineares em todas as metodologias propostas neste trabalho de

pesquisa. Pretende-se calcular os parâmetros (do modelo) da curva que

melhor se ajusta aos dados experimentais (de indução magnética e de

campo magnético) para um determinado material. Estes parâmetros, que

ajustam (através da técnica dos mínimos quadrados) a função não linear

(obtida em cada uma das metodologias) ao conjunto de pontos

experimentais (de indução magnética e de campo magnético), podem ser

identificados, por exemplo, pelo método de Levenberg-Marquardt. Entre

outros, este método está implementado na função fsolve, disponível no

Matlab. Considerando todas as metodologias propostas, os algoritmos

desenvolvidos para determinar os parâmetros do modelo utilizam a

função fsolve e, portanto, aplicam o método dos mínimos quadrados não

linear.

D.4 FSOLVE

Dado um conjunto de n=5 funções não lineares Fi(x=[ms,α, a, k,

c]) ou um conjunto de n=6 funções não lineares Fi(x=[ms,α, a, k, c,s]),

onde n é o número de componentes do vetor x, o objetivo é encontrar

um vetor x que satisfaz todas as Fi(x) = 0 [53], i=1, ..., n.

A função fsolve, disponível no Matlab, resolve o sistema de

equações Fi(x)=0, minimizando a soma dos quadrados das componentes.

Se a soma dos quadrados for nula, então o sistema de equações Fi(x)=0

está resolvido. O fsolve resolve o sistema utilizando um dos três

algoritmos: região de confiança reflexiva (TRR); região de confiança

dogleg (TRD) [54]; e Levenberg-Marquardt (LM). Quando nada é

especificado, o fsolve seleciona automaticamente o algoritmo região de

confiança dogleg.

O tempo de execução do programa está apresentado nas Tabelas

7-11. Cada uma das metodologias propostas neste trabalho implementa

uma equação diferente. Assim, para cada metodologia, as instruções

executadas diferem, e consequentemente, o tempo de simulação também

difere. Além disso, o tempo de simulação depende do conjunto inicial de

parâmetros utilizado: quando o conjunto estiver distante de um

minimizador do sistema, o tempo de simulação é maior.

Page 224: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

220

D.4.1 Método da Região de Confiança Reflexiva

Seja o problema de minimização: minimizar f(x), onde a função

tem como argumento um vetor e retorna um escalar. Seja um ponto x no

espaço n. Pretende-se movimentar da posição atual para um ponto onde

o valor da função é mínimo, logo a função f é representada por uma

função mais simples q, que reflete razoavelmente o comportamento da

função f numa vizinhança N ao redor do ponto x. Esta vizinhança é

chamada região de confiança. Um passo de teste s1 é calculado com base

na minimização em N: o ponto atual é alterado para x + s1 se f(x+ s1) <

f(x), do contrário o ponto atual permanece inalterado; N (a região de

confiança) é reduzido; e o cálculo do passo de teste é repetido.

Na busca de minimizadores locais para o problema, o método

de Cauchy tem convergência global (independe do ponto inicial), mas é

muito lento; já o método de Newton é muito rápido (quando se parte de

um ponto perto de um minimizador de f), mas diverge facilmente; o

método da região de confiança une o que há de melhor nos dois métodos

anteriores.

D.4.2 Método da Região de Confiança Dogleg

O método da região de confiança dogleg é um subproblema do

método da região de confiança. Um sistema linear de equações é

resolvido para encontrar a direção de busca.

O método de Newton tem dificuldades: quando a matriz

jacobiana é singular (sem inversa); e quando o ponto inicial está distante

da solução (o método pode não convergir). Introduzindo técnicas de

região de confiança é possível melhorar a robustez quando o ponto

inicial está distante da solução, e para lidar com o caso em que a matriz

jacobiana é singular. Uma função de mérito é utilizada para decidir se

xk+1 é melhor ou pior que xk.

No método da região de confiança dogleg, o passo d é

construído a partir de uma combinação convexa do passo de Cauchy e

do passo de Gauss-Newton. O algoritmo dogleg é eficiente porque

requer somente uma resolução linear por iteração (para o cálculo do

passo de Gauss-Newton), e pode ser mais robusto do que o método de

Gauss-Newton com busca linear.

D.4.3 Método de Levenberg-Marquardt

Page 225: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

221

O método de Levenberg-Marquardt utiliza uma direção de

busca, que é uma solução de um conjunto linear de equações: um escalar

λk controla magnitude e direção da direção dk. O escalar pode ser

controlado para garantir descida, o que restringe a eficiência do método

Gauss-Newton.

D.5 SISTEMA SOBREDETERMINADO

Considerando a primeira metodologia para determinar os cinco

parâmetros do modelo escalar de histerese de Jiles-Atherton, são

utilizados dois sistemas de cinco equações e cinco incógnitas: um

sistema para cada ramo que compõe o laço de histerese.

Um sistema sobredeterminado é aquele em que o número de

equações é maior do que o número de incógnitas. Para a curva suave

(primeiro caso) é construído um único sistema sobredeterminado de dez

equações e cinco incógnitas. Entre as dez equações, cinco são

provenientes do ramo ascendente e as outras cinco são provenientes do

ramo descendente. As cinco incógnitas são os cinco parâmetros do

modelo.

Para o sistema sobredeterminado assim constituído, o resultado

pode ser observado na Fig. 81 e na equação (D.3).

Figura 81 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia e sistema

sobredeterminado, e laço medido: primeiro caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Page 226: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

222

6 42,23 10 2,1 10 147 105 0,49sm a k c (D.3)

O laço de histerese simulado não está próximo do laço de

histerese experimental, como pode ser observado na Fig. 81, e

consequentemente, o conjunto de parâmetros mostrado na equação (D.3)

não pode ser utilizado na representação do material correspondente ao

laço de histerese experimental.

D.6 OTIMIZAÇÃO RESTRITA UTILIZANDO ALGORITMO

GENÉTICO

O algoritmo genético resolve o seguinte problema de

minimização:

min F(x) sujeito à Ceq(x) = 0

0 <= x

Onde: Ceq são as restrições não lineares de igualdade; x possui

limite inferior igual à zero porque os parâmetros do modelo são todos

positivos; x = [ms α a k c].

Para a primeira metodologia proposta neste trabalho de pesquisa

tem-se:

1 1 1( ) ( , )dB

F x f H B PdH

2 2 2

5 5 5

( , )

( )

( , )

eq

dBf H B P

dH

C x

dBf H B P

dH

Para o laço de histerese suave (primeiro caso), o resultado pode

ser observado na Fig. 82 e na equação (D.4). O resultado foi obtido após

1h46min de simulação.

Page 227: UMA CONTRIBUIÇÃO PARA IDENTIFICAÇÃO DOS PARÂMETROS … · non-linear ordinary differential equation in terms of the magnetic flux density and the magnetic field strength, where

223

Figura 82 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia e

algoritmo genético, e laço medido: primeiro caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

2 35,75 10 2,42 10 507,79 683,68 552,47sm a k c

(D.4)

O laço de histerese simulado não está próximo do laço de

histerese experimental, como pode ser observado na Fig. 82, e

consequentemente, o conjunto de parâmetros mostrado na equação (D.4)

não pode ser utilizado na representação do material correspondente ao

laço de histerese experimental.

D.7 FILTRAGEM E SUAVIZAÇÃO DE DADOS

Seis métodos para filtragem e suavização de dados são

apresentados em [55], sendo estes: filtragem média móvel; filtragem Savitzky-Golay; e suavização com regressão local (Lowess, Loess,

método de regressão local, regressão local robusta).

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224

A função smooth, disponível no matlab, suaviza dados utilizando

um dos seguintes métodos: média móvel; Lowess; Loess; Savitzky-

Golay; Lowess robusto; e Loess robusto.

Nesta seção são considerados o laço de histerese com conteúdo

ruidoso (quinto caso) e a primeira metodologia, que utiliza cálculo de

derivada no processo de caracterização do material.

Para suavizar os dados de indução magnética correspondentes ao

laço de histerese com conteúdo ruidoso, utilizou-se o método Lowess,

com base na regressão ponderada. Cada valor de indução magnética

suavizado é determinado por pontos na vizinhança definidos dentro de

uma distância. Para nosso caso utilizou-se 10 % de distância dos dados

totais experimentais, porque este valor permite uma curva mais suave e

mais próxima da curva experimental. Nenhum ponto de indução

magnética é descartado: os pontos de indução magnética são corrigidos,

isto é, suavizados.

O laço de histerese experimental, e o laço de histerese suavizado

podem ser observados nas Fig. 83-85. Figura 83 – Curva B-H suavizada, utilizando o método Lowess, e laço medido:

quinto caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -100 0 100 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Experimental

Suaviz Lowess

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225

Figura 84 – Curva B-H suavizada utilizando o método Lowess: quinto caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

Figura 85 – Curva B-H medida: quinto caso.

Fonte: Autoria própria (2015).

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Laco suavizado

-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Laco experim

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226

Para o laço de histerese com conteúdo ruidoso, os dados (Hexp,

Bexp) são substituídos por (Hexp, Bsuavizado). Em cada ramo do laço

suavizado são selecionados cinco pontos principais. A primeira

metodologia é aplicada para caracterizar o material, e os resultados

podem ser observados nas Fig. 86-88.

Figura 86 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia, e laço

medido suavizado: LM.

Fonte: Autoria própria (2015).

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227

Figura 87 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia, e laço

medido suavizado: TRR.

Fonte: Autoria própria (2015).

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228

Figura 88 – Curva B-H calculada, utilizando a primeira metodologia, e laço

medido suavizado: TRD.

Fonte: Autoria própria (2015).

O laço de histerese simulado não está próximo do laço de

histerese medido suavizado, como pode ser observado nas Fig. 86-88, e

consequentemente, o conjunto de parâmetros não pode ser utilizado na

representação do material correspondente ao laço de histerese

experimental. Para o ramo ascendente do laço de histerese com conteúdo

ruidoso, pontos pertencentes ao segundo trecho de reta são mostrados na

Tabela 18.

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229

Tabela 18 – Dados experimentais e dados suavizados: quinto caso Hexp (A/m)

x101

Bexp (T)

x10-1

Hexp (A/m)

x101

Bsuave (T)

x10-1

5,51063843 -9,502634 5,51063843 -9,067692

5,51063843 -9,438502 5,51063843 -9,067692

5,51063843 -9,307273 5,51063843 -9,067692

5,51063843 -9,175409 5,51063843 -9,067692

5,51063843 -9,108737 5,51063843 -9,067692

5,51063843 -8,906814 5,51063843 -9,067692

5,65957451 -9,041429 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,974544 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,838025 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,769024 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,700024 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,630812 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,491752 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,42254 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,352481 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -8,21067 5,65957451 -8,615233

5,65957451 -7,923027 5,65957451 -8,615233

5,80851059 -8,560964 5,80851059 -8,028998

5,80851059 -8,281999 5,80851059 -8,028998

5,80851059 -8,13913 5,80851059 -8,028998

5,80851059 -7,777619 5,80851059 -8,028998

5,80851059 -7,704808 5,80851059 -8,028998

Fonte: Autoria própria (2015)

Para o ramo ascendente do laço de histerese suave, pontos

pertencentes ao segundo trecho de reta são mostrados na Tabela 19.

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230

Tabela 19 – Dados experimentais: primeiro caso Hexp (A/m) Bexp (T)

35,5322 -0,4206

35,6740 -0,4136

35,8125 -0,4065

35,9479 -0,3994

36,0802 -0,3923

36,2094 -0,3851

36,3357 -0,3780

36,4590 -0,3708

36,5794 -0,3636

36,6971 -0,3564

36,8119 -0,3492

36,9241 -0,3420

37,0336 -0,3348

37,1405 -0,3275

37,2449 -0,3203

37,3468 -0,3130

37,4463 -0,3057

37,5435 -0,2984

37,6384 -0,2911

37,7310 -0,2838

37,8215 -0,2765

37,9098 -0,2691

37,9961 -0,2618

Fonte: Autoria própria (2015)

Como pode ser observado nas Tabelas 18 e 19, para a curva suave

existe variação de H e de B, para cada passo de tempo; e isto não

acontece na curva, experimental ou suavizada, com conteúdo ruidoso.

A derivada dB/dH = ∆B/∆H é calculada utilizando pontos

auxiliares situados na vizinhança do ponto principal. Três requisitos são

necessários para que a inclinação da curva no ponto, dB/dH, seja

computada com sucesso: variação em B; variação em H; e pontos

auxiliares muito próximos do ponto principal.

Além disso, a derivada de uma função B(H) no ponto H1 é

definida pelo limite [56] 1 1

10

limH

B H H B HB H

H

quando este

limite existe. Poderia a suavização de dados garantir a existência deste

limite? Os resultados encontrados após suavização de dados sugerem

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que a utilização de filtro pode não eliminar a segunda metodologia (que

evita cálculo de derivadas utilizando integrais).

D.8 PREVISÃO DE LAÇO DE INDUÇÃO MENOR

Para uma amostra de material testada em diferentes níveis de

indução magnética máxima pretende-se prever o comportamento do

material num nível de indução magnética menor utilizando-se os

parâmetros obtidos num nível de indução magnética maior.

A amostra correspondente ao 6º caso (Tabela 17) foi ensaiada no

nível de indução magnética máxima 1,495 T e caracterizada segundo a

primeira metodologia proposta. Os parâmetros obtidos serão utilizados

para prever o comportamento experimental do material no nível de

indução magnética máxima 1,091 T. Como pode ser observado na Fig.

89, o laço previsto não está próximo do laço experimental, e

consequentemente, os parâmetros obtidos em 1,495 T não descrevem o

comportamento experimental do material em 1,091 T.

Figura 89 – Curva B-H prevista e laço medido.

Fonte: Autoria própria (2017).

-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Campo Magnetico (A/m)

Indução M

agnetica (

T)

Simulado

Medido

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233

APÊNDICE E – Demonstrações Matemáticas

E.1 PRIMEIRA DEMONSTRAÇÃO

Seja a função de duas variáveis He = He(H,B), onde além disso,

B = B(H). Tem-se:

0

:

, , 1

:

e

e

H

H B H H B H B

B

H B H

Para a função de duas variáveis He é possível determinar as

derivadas parciais com relação às variáveis H e B=B(H). Observa-se

que:

0

0

, 1

, 1

e

e

H H H B H H B H H

H H B B H B H B H

(E.1)

Utilizando a definição de derivadas parciais [61] calcula-se a

derivada parcial do campo magnético efetivo em relação ao campo

magnético. Isto é:

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0

0 0

0.5

0 0

0

0 0

0

00

0

, ,, lim

1 1

lim

1 1 1

lim

lim 1

1 lim

1

e e

eH

HE

H

H

H

H H H B H H H B HH H B H

H H

H H B H H H B H

H

H H B H H H B H

H

B H H B H

H

B H H B H

H

dB

dH

Portanto,

0

, 1e

dBH H B H

H dH

(E.2)

Utilizando a definição de derivadas parciais [61] calcula-se a

derivada parcial do campo magnético efetivo em relação à indução

magnética. Isto é:

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0

0 0

0.5

0 0 0

0

0

0

00

0

, ,, lim

1 1

lim

lim

lim

lim

e e

eB H

B HE

B H

B H

B H

H H B H B H H H B HH H B H

B B H

H B H B H H B H

B H

B H B H B H

B H

B H

B H

Portanto,

0

,eH H B HB

(E.3)

De (E.2) e (E.3) tem-se:

0

0

1e

e

H dB

H dH

H

B

E.2 SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO

Seja 00

1, e eB B H H H H

. Isto é:

00

:

1, ,e e e

B

H H B H H H H

O diferencial total da função de duas variáveis B = B(H, He) é

dado por [61]:

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236

e

e

B BdB dH dH

H H

(E.4)

Dividindo (E.4) por dHe tem-se:

e

e e e e

dB B dH B dH

dH H dH H dH

Como H é imposto e portanto não depende de He, tem-se:

0 e

e e e

dB B B dH

dH H H dH

Portanto,

e e

dB B

dH H