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Uma breve historia da Geometria Diferencial(ate meados do seculo XIX)
Ryuichi Fukuoka - DMA - UEM
29 de novembro de 2006
Ryuichi Fukuoka - DMA - UEM Uma breve historia da Geometria Diferencial (ate meados do seculo XIX)
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
1- Dois pontos distintos determinam uma reta.
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
1- Dois pontos distintos determinam uma reta.
2- A partir de qualquer ponto de uma reta dada, e possıvel marcarum segmento de comprimento arbitrario.
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
1- Dois pontos distintos determinam uma reta.
2- A partir de qualquer ponto de uma reta dada, e possıvel marcarum segmento de comprimento arbitrario.
3- E possıvel descrever um cırculo com centro arbitrario e raioarbitrario.
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
1- Dois pontos distintos determinam uma reta.
2- A partir de qualquer ponto de uma reta dada, e possıvel marcarum segmento de comprimento arbitrario.
3- E possıvel descrever um cırculo com centro arbitrario e raioarbitrario.
4- Todos os angulos retos sao iguais.
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
1- Dois pontos distintos determinam uma reta.
2- A partir de qualquer ponto de uma reta dada, e possıvel marcarum segmento de comprimento arbitrario.
3- E possıvel descrever um cırculo com centro arbitrario e raioarbitrario.
4- Todos os angulos retos sao iguais.
5- Dado uma reta r e um ponto p 6∈ r , existe no maximo uma retaparalela a r passando por p.
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
1- Dois pontos distintos determinam uma reta.
2- A partir de qualquer ponto de uma reta dada, e possıvel marcarum segmento de comprimento arbitrario.
3- E possıvel descrever um cırculo com centro arbitrario e raioarbitrario.
4- Todos os angulos retos sao iguais.
5- Dado uma reta r e um ponto p 6∈ r , existe no maximo uma retaparalela a r passando por p.
Pergunta natural: Sera que o quinto postulado e realmenteindependente dois demais?
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Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)
1- Dois pontos distintos determinam uma reta.
2- A partir de qualquer ponto de uma reta dada, e possıvel marcarum segmento de comprimento arbitrario.
3- E possıvel descrever um cırculo com centro arbitrario e raioarbitrario.
4- Todos os angulos retos sao iguais.
5- Dado uma reta r e um ponto p 6∈ r , existe no maximo uma retaparalela a r passando por p.
Pergunta natural: Sera que o quinto postulado e realmenteindependente dois demais?
Resposta: Sim (felizmente).
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.
Denote o quarto angulo por α.
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.
Denote o quarto angulo por α.
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.
Denote o quarto angulo por α.
Teorema (Lambert):
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.
Denote o quarto angulo por α.
Teorema (Lambert):1- Se α for agudo, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emenor que π. Alem disso, π−Σ e proporcional a area do triangulo.
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.
Denote o quarto angulo por α.
Teorema (Lambert):1- Se α for agudo, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emenor que π. Alem disso, π−Σ e proporcional a area do triangulo.2- Se α for reto, entao a soma dos angulos de um triangulo e π.
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Um resultado preliminar: Lambert 1766
Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.
Denote o quarto angulo por α.
Teorema (Lambert):1- Se α for agudo, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emenor que π. Alem disso, π−Σ e proporcional a area do triangulo.2- Se α for reto, entao a soma dos angulos de um triangulo e π.3- Se α for obtuso, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emaior que π. Alem disso, Σ− π e proporcional a area do triangulo.
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Trecho de uma carta de Gauss a Taurinus: 1824
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Trecho de uma carta de Gauss a Taurinus: 1824
“A hipotese que a soma dos angulos internos de um triangulo emenor do que π conduz a uma geometria separada, totalmentediferente de nossa geometria (euclidiana), que e em si propriainteiramente consequente, e que desenvolvı de maneirainteiramente satisfatoria para mim, exceto a determinacao de umaconstante que nao pode ser fixada a priori”.
(Traducao da carta extraıda de [2])
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O inıcio da Geometria Diferencial: 1827
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O inıcio da Geometria Diferencial: 1827
Publicacao da obra de Gauss, Disquisitiones circa superficiescurvas; Considerado por muitos como “marco zero” da Geometria
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A Geometria Hiperbolica: 1829
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A Geometria Hiperbolica: 1829
N. Lobachevsky (1829) e J. Bolyai (1832), construiram, demaneira independente, uma geometria fundamentada com osquatro primeiros postulados de Euclides mais a negacao do quintopostulado. Essa geometria e chamada de Geometria Hiperbolica.
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O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica
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O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica
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O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica
H2 : Modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica.
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O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica
H2 : Modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica.
H2 := {(x , y) ∈ R2; y > 0} + “ Estruturas geometricas”
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O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica
H2 : Modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica.
H2 := {(x , y) ∈ R2; y > 0} + “ Estruturas geometricas”
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O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica
H2 : Modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica.
H2 := {(x , y) ∈ R2; y > 0} + “ Estruturas geometricas”
Retas em H2
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O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica
H2 : Modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica.
H2 := {(x , y) ∈ R2; y > 0} + “ Estruturas geometricas”
Retas em H2
-
6
x
y
'$
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O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.
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O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.
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O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.
Angulos em H2
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O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.
Angulos em H2
Coincide com o angulo euclidiano.
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O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.
Angulos em H2
Coincide com o angulo euclidiano.
Ryuichi Fukuoka - DMA - UEM Uma breve historia da Geometria Diferencial (ate meados do seculo XIX)
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O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.
Angulos em H2
Coincide com o angulo euclidiano.
Comprimento de um segmento de reta
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O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.
Angulos em H2
Coincide com o angulo euclidiano.
Comprimento de um segmento de reta
Sera definido a seguir. Para isso, recordemos como se calcula ocomprimento de uma curva
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Comprimento de uma curva no plano
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Comprimento de uma curva no plano
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Comprimento de uma curva no plano
γ : [a, b] → R2 uma curva diferenciavel tal que γ′ e contınua.
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Comprimento de uma curva no plano
γ : [a, b] → R2 uma curva diferenciavel tal que γ′ e contınua.
l(γ): Comprimento da curva γ.
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Comprimento de uma curva no plano
γ : [a, b] → R2 uma curva diferenciavel tal que γ′ e contınua.
l(γ): Comprimento da curva γ.
l(γ) :=
∫ b
a|γ′(t)|dt
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Comprimento de uma curva no plano
γ : [a, b] → R2 uma curva diferenciavel tal que γ′ e contınua.
l(γ): Comprimento da curva γ.
l(γ) :=
∫ b
a|γ′(t)|dt
Uma das ideias fundamentais da Geometria elaborada porRiemann: Redefinir o modulo de um vetor.
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(Re)definindo o modulo de um vetor.
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(Re)definindo o modulo de um vetor.
A funcao modulo atribui para cada vetor v nao nulo, um valorpositivo, que e o modulo de v , e e denotado por |v |.
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(Re)definindo o modulo de um vetor.
A funcao modulo atribui para cada vetor v nao nulo, um valorpositivo, que e o modulo de v , e e denotado por |v |.
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(Re)definindo o modulo de um vetor.
A funcao modulo atribui para cada vetor v nao nulo, um valorpositivo, que e o modulo de v , e e denotado por |v |.
A funcao modulo deve satisfazer as seguintes condicoes:
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(Re)definindo o modulo de um vetor.
A funcao modulo atribui para cada vetor v nao nulo, um valorpositivo, que e o modulo de v , e e denotado por |v |.
A funcao modulo deve satisfazer as seguintes condicoes:
(C1) A funcao modulo ao quadrado e uma “funcao diferenciavel”.
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(Re)definindo o modulo de um vetor.
A funcao modulo atribui para cada vetor v nao nulo, um valorpositivo, que e o modulo de v , e e denotado por |v |.
A funcao modulo deve satisfazer as seguintes condicoes:
(C1) A funcao modulo ao quadrado e uma “funcao diferenciavel”.
(C2) Seja v um vetor com a origem em p ∈ H2 e c ∈ R. Entao|c .v | = |c ||v |.
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(Re)definindo o modulo de um vetor.
A funcao modulo atribui para cada vetor v nao nulo, um valorpositivo, que e o modulo de v , e e denotado por |v |.
A funcao modulo deve satisfazer as seguintes condicoes:
(C1) A funcao modulo ao quadrado e uma “funcao diferenciavel”.
(C2) Seja v um vetor com a origem em p ∈ H2 e c ∈ R. Entao|c .v | = |c ||v |.
Veja a ilustracao no quadro.
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
|v |: Modulo de v em H2.
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
|v |: Modulo de v em H2.
|v | := |v |y
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
|v |: Modulo de v em H2.
|v | := |v |y
O comprimento de uma curva γ : [a, b] → H2 e dado por
l(γ) :=
∫ b
a|γ′(t)|dt =
∫ b
a
|γ′(t)|y(t)
dt
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
|v |: Modulo de v em H2.
|v | := |v |y
O comprimento de uma curva γ : [a, b] → H2 e dado por
l(γ) :=
∫ b
a|γ′(t)|dt =
∫ b
a
|γ′(t)|y(t)
dt
Exemplo: O comprimento de uma reta vertical.
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
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Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2
Com esse modo de medir comprimento de segmentos de retas, H2
define uma geometria em que os quatro primeiros postulados e anegacao do quinto postulado sao satisfeitos.
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Uma ideia do que e a Geometria Riemanniana
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Uma ideia do que e a Geometria Riemanniana
“Construindo” variedades Riemannianas.
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Uma ideia do que e a Geometria Riemanniana
“Construindo” variedades Riemannianas.
Ryuichi Fukuoka - DMA - UEM Uma breve historia da Geometria Diferencial (ate meados do seculo XIX)
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Uma ideia do que e a Geometria Riemanniana
“Construindo” variedades Riemannianas.
1- Tome uma famılia (Ui )i∈N de abertos de Rn.
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Uma ideia do que e a Geometria Riemanniana
“Construindo” variedades Riemannianas.
1- Tome uma famılia (Ui )i∈N de abertos de Rn.
2- “Cole” a famılia de abertos.
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Uma ideia do que e a Geometria Riemanniana
“Construindo” variedades Riemannianas.
1- Tome uma famılia (Ui )i∈N de abertos de Rn.
2- “Cole” a famılia de abertos.
3- Atribua uma funcao modulo para cada Ui , satisfazendo C1 e C2de modo que os “todos modulos coincidam na colagem”. Alemdisso, suponha que para todo p ∈ Ui , o conjunto dos vetoresunitarios com origem em p sejam elipsoides. Entao teremos umavariedade Riemanniana.
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Referencias
[1] - C. Boyer, U. C. Merzbach, A History of Mathematics, JohnWiley & Sons, New York, 1989.[2] - M. P. do Carmo, Geometrias Nao-Euclidianas, MatematicaUniversitaria, n.6, 1987, 25-48.[3] - C. Sagan, Cosmos, Episodio 7, Backbone of the night, vıdeo.[4] - M. Spivak, A Comprehensive Introduction to DifferentialGeometry, vol. 2, Publish or Perish, 1999.
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