UMA ABORDAGEM BASEADA EM M APAS AUTO-ORGANIZÁVEIS DE KOHO NEN APLICADAAO PROBLEMA DE ROTEAMENTO DE VEÍCULOS

LALINKA DE C. T. GOMES, FERNANDO J. VON ZUBEN

Departamento de Engenharia de Computação e Automação IndustrialFaculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

Universidade Estadual de CampinasCaixa Postal 6101, CEP 13083-970, Campinas, São Paulo, Brasil

E-mails: lalinka@dca.fee.unicamp.br, vonzuben@dca.fee.unicamp.br

Resumo� � Este artigo apresenta um novo método destinado à solução do problema de roteamento de veículos capacitados baseadoem mapas auto-organizáveis de Kohonen, com possibili dade de inserção e eliminação de neurônios. O algoritmo proposto provê umaestratégia competitiva que emprega uma medida de similaridade multicritério fundamentada em recompensas e punições, aplicadasaos neurônios de acordo com seu estado corrente e no sentido de sintetizar um processo adaptativo de relaxação das restrições. Visan-do investigar o desempenho do método, é apresentado um conjunto de simulações computacionais e os resultados obtidos são compa-rados com as melhores soluções conhecidas disponíveis na literatura.

Abstract� � This paper presents a new approach to solve the capacited vehicle routing problem based on Kohonen self-organizingmaps, with the possibilit y of neuron insertion and pruning. The proposed algorithm provides a competitive strategy employing a mul-ticriterion similarity measure based on rewards and punishments, which are applied to the neurons according to their current state andin order to synthesize an adaptive process of restriction relaxation. To investigate the performance of the method, computer simula-tions are provided, and the results are compared with the best known solutions available in the literature.

Keywords� � vehicle routing, Kohonen self-organizing map, neuron insertion and pruning, multicriterion similarity measure.

1 Introdução

Problemas de roteamento pertencem a uma das clas-ses mais extensivamente estudadas na área da pes-quisa operacional. São casos típicos de otimizaçãocombinatorial, nos quais a busca por soluções ótimasé inviável e apresenta nível de complexidade com-putacional crescente de acordo com o porte do pro-blema. Neste trabalho, são considerados problemasde grande porte, com espaço de busca discreto e dedimensão elevada, e que geralmente apresentammúltiplos objetivos e múltiplas restrições. Estaspropriedades levam a uma explosão combinatória decandidatos à solução, de modo que uma buscaexaustiva pela solução ótima, dentre as soluçõescandidatas, representa um procedimento computaci-onalmente intratável (Garey & Johnson, 1979). Emvista dessa inviabili dade, tem-se mostrado necessáriaa busca por métodos alternativos que conduzam asoluções sub-ótimas de forma rápida e eficiente.Além dos métodos heurísticos clássicos originadosno campo da pesquisa operacional e das técnicasmodernas chamadas “meta-heurísticas” (Reeves,1993), vêm sendo desenvolvidas diversas abordagensbaseadas em redes neurais artificiais, com o objetivode solucionar eficientemente problemas combinató-rios. Um dos segmentos de redes neurais que vêmadquirindo crescente importância e obtendo conside-rável sucesso é procedente do paradigma de aprendi-zado não-supervisionado, e constitui a classe dosmapas auto-organizáveis. Estudos efetuados nosúltimos anos vêm demonstrando que os mapas auto-

organizáveis são extremamente eficientes na soluçãode problemas combinatórios de grande porte (Moda-res et al., 1999; Somhom et al., 1999).

2 Definição do Problema

O problema de roteamento de veículos abordadoneste trabalho considera a existência de um depósitocentral no qual encontram-se armazenadas as cargasa serem entregues aos consumidores, uma frota deveículos encarregada da distribuição das cargas, eum conjunto de consumidores, cada qual associado auma demanda.Os veículos partem do depósito central e apresentamuma capacidade de carga fixa. A demanda associadaa um determinado consumidor deve ser integral-mente atendida por somente um veículo.

O objetivo do problema é definir a seqüência deconsumidores a serem atendidos pelos veículos demodo que a soma das distâncias percorridas sejamínima, as demandas sejam supridas e as restriçõesde carga sejam respeitadas.

3 Mapas Auto-Organizáveis de Kohonen

Os mapas auto-organizáveis de Kohonen (Kohonen,1997) constituem uma classe de redes neurais artifi-ciais baseadas em aprendizado competiti vo, em queos neurônios tendem a aprender a distribuição esta-tística dos dados de entrada. A Fig. 1 exibe umaarquitetura típica dos mapas auto-organizáveis, na

qual todas as unidades de entrada encontram-seconectadas a todas as unidades de saída (neurônios)através de conexões sinápticas.

O algoritmo de auto-organização envolve 4 eta-pas principais, introduzidas a seguir:� iniciali zação do mapa: consiste na definiçãodos pesos sinápticos iniciais;� processo competiti vo: mediante a apresen-tação de um padrão de entrada, os neurônios com-petem entre si através de seus níveis de ativação,sendo que apenas um neurônio será o vencedor;� processo cooperativo: é inspirado em ummecanismo neurobiológico, no qual o neurônio ven-cedor do processo competiti vo tende a influenciar oestado dos neurônios vizinhos;� adaptação sináptica: nesta fase, os pesos si-nápticos do neurônio vencedor e seus vizinhos sãoatualizados de modo a se aproximarem espacialmentedo padrão de entrada.

4 Estrutura da Rede Neural Aplicada ao Pro-blema e Algor itmo Proposto

A arquitetura da rede adotada é similar à exibida naFig. 1, com relação de vizinhança unidimensional. Aprimeira camada é composta pelos padrões de entra-da, que para o caso do problema de roteamento deveículos correspondem às coordenadas dos consumi-dores em um plano, e a segunda camada é formadapelos neurônios de saída.

As informações de entrada do algoritmo são onúmero de veículos, a capacidade de carga associadaaos veículos, as coordenadas dos consumidores esuas demandas.

O algoritmo proposto segue as 4 etapas básicasdescritas na Seção 3: iniciali zação do mapa, proces-so competiti vo, processo cooperativo e adaptaçãosináptica.

O algoritmo engloba também uma políti ca deremoção e inserção de neurônios durante o treina-mento da rede, apresentada na sub-seção 4.5, e provêuma estratégia de inibição de neurônios, na qualneurônios que vencem o processo competiti vo maisde uma vez em um mesmo ciclo de apresentação depadrões são excluídos do processo competiti vo du-rante uma época.

O pseudo-código a seguir ilustra em linhas ge-rais o procedimento reali zado para a solução do

problema de roteamento de veículos através de ma-pas auto-organizáveis. As sub-seções que se seguemdescrevem em detalhes os passos do algoritmo.

- Iniciali zação do Mapa;- Enquanto não satisfizer o critério de parada faça: - Desinibir neurônios; - Ordenar padrões de entrada aleatoriamente; - Efetuar para cada consumidor: - Determinação da rota vencedora; - Incluir neurônio auxili ar no processo competiti vo, sobre as coordenadas do depósito; - Determinação do neurônio vencedor; - Se neurônio auxili ar vencer competição, inseri-lo na rede; - Se neurônio vencedor não está Inibido:

- Se neurônio vencedor já venceu mais de 1 vez na época: - InserirNeuronio = 1; - Inibe(NeurônioVencedor) = 1; - Efetuar adaptação sináptica; - Se InserirNeuronio - Inserção de novos neurônios na rede;

- Eliminar neurônios inativos da rede;

4.1 Iniciali zação do Mapa Auto-organizável

Durante a iniciali zação do mapa, os neurônios sãodispostos em pequenos anéis em torno das coorde-nadas do depósito, sendo que o número de anéis éigual ao número de rotas/veículos. Diante da grandeinfluência que a distribuição inicial dos neurôniosapresenta sobre a configuração final do mapa, umaconformação inicial adequada é crucial para o bomdesempenho do algoritmo. Dessa forma, no intuitode encontrar uma iniciali zação conveniente, os da-dos de entrada são submetidos a um pré-processamento, que consiste na apli cação de umaoutra rede de Kohonen na qual o número de neurô-nios é igual ao número de rotas. A operação de pré-processamento reali za uma extração de característi-cas, almejando a identificação da presença de agru-pamento de consumidores e áreas de concentraçãode demanda no plano de coordenadas. Os pesossinápticos dos neurônios da rede de Kohonen parapré-processamento determinam as coordenadas dosagrupamentos, e a iniciali zação do mapa é entãoefetuada de modo que cada rota tenda a se responsa-bili zar por um agrupamento distinto.

4.2 Processo Competiti vo e Critério de Similaridade

Quando um consumidor é apresentado à rede, éselecionado um neurônio vencedor, cujo cálculoenvolve um critério de similaridade entre os neurô-nios e o consumidor. Devido à existência de restri-ções a serem respeitadas no problema de roteamento

� � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

Figura 1. Arquitetura de uma rede neural auto-organizável.

de veículos, a seleção do neurônio vencedor se dá deforma bastante distinta daquela proposta em (Angé-niol et al., 1988) para o problema do caixeiro via-jante simétrico.

O critério de similaridade envolvendo apenas adistância euclidiana entre o neurônio em processo decompetição e o padrão de entrada é bastante adequa-do a problemas do tipo caixeiro viajante (Aras et al.,1999), que podem ser vistos como casos particularesde um problema de roteamento de veículos. Entre-tanto, quando se consideram classes mais complexasde problemas de roteamento, mostra-se necessário ouso de critérios de similaridade mais elaborados. Nocaso do problema de roteamento de veículos, o pro-cedimento de obtenção de uma função de similarida-de é bem mais complexo, pois muitas vezes envolveo tratamento de múltiplos objetivos, geralmenteconflitantes, não correlacionados e expressos emescalas e/ou unidades distintas.

No algoritmo descrito neste trabalho, os objeti-vos são devidamente ponderados e agregados emuma única função-objetivo.

Visando tratar eficientemente os múltiplos ob-jetivos, o algoritmo opera com base em uma políti cade “punição e recompensa”, na qual neurônios quesatisfazem os critérios estipulados são recompensa-dos, enquanto que aqueles que não satisfazem sãopunidos.

O cálculo do critério de similaridade envolvecertas características estatísticas que refletem o esta-do global do mapa auto-organizável:

- centro de massa de cada anel/rota, calculadocom base nos pesos sinápticos dos neurônios associ-ados àquela rota;

- variância das demandas associadas a cadarota, calculada com base nas magnitudes das de-mandas associadas à rota.

O processo de cálculo do critério de similarida-de é sub-dividido em duas etapas principais: cálculoda rota vencedora e cálculo do neurônio vencedor.

4.2.1 Cálculo da Rota Vencedora

O cálculo da rota vencedora tem por função deter-minar o veículo que apresenta maior probabili dadede satisfazer a demanda relacionada ao consumidorem questão e ao mesmo tempo minimizar a somadas distâncias percorridas pelos veículos. São consi-derados os seguintes fatores:� carga total associada à rota/veículo: paracada consumidor, calcula-se o neurônio mais próxi-mo e adiciona-se a demanda associada ao consumi-dor à demanda total suprida pela rota da qual oneurônio é membro;� capacidade dos veículos;� distância euclidiana entre as coordenadasdo consumidor e os centros de massa de cada rota;

� variância relacionada ao conjunto de todasas demandas supridas pela rota.

O cálculo da rota vencedora é efetuado com baseem um esquema de penalizações. Penalizações muitorígidas, sobretudo em etapas iniciais do processo deorganização do mapa, não conduzem a soluçõessatisfatórias. Embora as restrições sejam satisfeitas,a minimização da distância total é sacrificada. As-sim, as penalizações são relaxadas, assumindo umafaixa relativamente ampla nas épocas iniciais e tor-nando-se mais severas com o transcorrer das épocas.O tratamento da restrição de capacidade propostoneste trabalho considera o grau de violação da capa-cidade, dado pela Eq. (1):

LS C se 1

LS C LI se LI LS

LI C

LI C se 0

�� ����

�

����

��

�gv

onde C é a carga correntemente suportada pelo veí-culo, LI e LS são os limitantes inferior e superior,respectivamente, para a faixa de adequabili dade decarga relacionada à rota em análise. LI e LS sãocalculados com base na capacidade dos veículos, demodo que LI deve ser menor ou igual à capacidadedo veículo e LS deve ser maior ou igual à capacidadedo veículo. O grau de violação de capacidade podeassumir qualquer valor dentro do intervalo [0,1],sendo que o valor 0 denota grau de violação mínimoe o valor 1 representa grau de violação máximo.Dessa forma, gv reflete a adequabili dade de cadarota em termos da carga total correntemente supor-tada com relação à capacidade do veículo. Assim,um dos fatores a serem considerados no cálculo darota vencedora é a minimização do grau de violação.

Um outro fator a ser considerado é a minimiza-ção da distância euclidiana entre as coordenadas doconsumidor em questão e o centro de massa da rotaà qual pertence o neurônio vencedor. O algoritmotrabalha no sentido de sacrificar neurônios membrosde rotas cujas coordenadas do centro de massa este-jam muito distantes do consumidor, numa tentativade evitar que as rotas se estendam demasiadamente eprejudiquem a minimização da distância total. Otratamento desse fator de ponderação é feito combase em uma distância relativa (dr). Calculam-se asdistâncias euclidianas máxima, que corresponderáao limitante superior MaxD , e mínima, que corres-ponderá ao limitante inferior MinD, entre o consu-midor e as coordenadas do centro de massa de cadauma das rotas. O limitante inferior assume um graude afastamento igual a 0, enquanto que o limitantesuperior assume grau 1. As distâncias relativas entreo consumidor e centros de massa das rotas situadasentre os limitantes serão associadas a um valor dadopela função linear mostrada na Fig.2.

O algoritmo considera também a variância dasdemandas servidas pelas rotas. De modo similar aoprocedimento reali zado para distância relativa, é

(1)

obtida a variância relativa (vr): calculam-se as rotasde variância mínima (minV) e máxima (maxV) eatribui-se às demais rotas um grau de variância. Esseartifício visa evitar uma distribuição de demandasexcessivamente heterogênea, com rotas responsá-veis por um conjunto de demandas predominante-mente grandes e rotas responsáveis por um conjuntode demandas predominantemente pequenas. Qual-quer uma destas situações tende a sacrificar a mini-mização da distância total e a prejudicar o processode ordenação do mapa.

Uma vez obtidos o grau de violação (gv), a dis-tância relativa (dr) e a variância relativa (vr), a rotavencedora será aquela que apresentar menor valor desaída para a Eq. (2):

vradragvarv ������321

onde 1a , 2a e 3a são constantes positi vas, determi-

nadas empiricamente, que ponderam os objetivos.

4.2.2 Cálculo do Neurônio Vencedor

Em seguida ao cálculo da rota vencedora é selecio-nado o neurônio vencedor. Para cada consumidor,são obtidos os neurônios mais distante e mais pró-ximo em termos de distância euclidiana. SejamMinDN a distância euclidiana entre as coordenadasdo consumidor e as coordenadas do neurônio maispróximo a ele e MaxDN a distância entre o consu-midor e o neurônio mais distante. Para cada neurô-nio, a distância euclidiana com relação ao consumi-dor será mapeada para um valor drN entre [0,1],com base em MinDN e MaxDN. O neurônio vence-dor será aquele que apresentar maior similaridadecom o consumidor em questão, ou seja, aquele queapresentar menor saída para a função de similarida-de computada de acordo com a Eq. (3):

FIdrNFadrNaJ ������54

onde,F: é uma variável de controle e assume o valor 0caso a rota à qual pertence o neurônio em processode competição seja a rota vencedora, e 1 caso contrá-rio;

4a e 5a : são constantes positi vas destinadas a pon-

deração dos objetivos. Foram definidas empirica-mente por tentativa e erro; FI: constitui uma variável de ponderação cujo valoraumenta com o transcorrer das épocas. A introduçãodessa variável visa reduzir a probabili dade de queneurônios que não pertençam à rota vencedora ven-çam o processo competiti vo em etapas finais doprocedimento de auto-organização do mapa.

4.3 O Processo Cooperativo

O processo cooperativo é inspirado em um meca-nismo neurobiológico, no qual um neurônio que se

encontra no estado ativo tende a influenciar o estadodos neurônios vizinhos. A vizinhança consideradano algoritmo proposto neste trabalho é unidimensio-nal, limitada ao anel onde se encontra o neurôniovencedor, e variável, uma vez que decresce com onúmero de épocas transcorridas. A Fig. 3 ilustra arelação de vizinhança.

Para vizinhança unidimensional, a função deativação de vizinhança é definida de acordo com aEq. (4):

�� !

""#$

%&'2

2)(,

)(,2

exp ( xijxij

dh

onde )(xi é o índice do neurônio vencedor para o

consumidor x, j é o índice de um neurônio vizinho,

ijd , representa a distância lateral entre o neurônio

vencedor i e o neurônio vizinho j, e ) é uma medidade desvio padrão. Para o caso de vizinhança unidi-

mensional, a distância lateral ijd , é dada pelo grau

de vizinhança. O raio de vizinhança afetado peloneurônio vencedor decai com o número de iterações.Esse decaimento é controlado pelo desvio padrãoassociado à função de vizinhança gaussiana, e écalculado de acordo com a Eq. (5):

)/exp()( 10 *++ nn ���onde 0

, é o valor inicial de , , e 1- é uma cons-

tante de tempo que define o fator de redutibili dadeda vizinhança.

4.4 O Processo Adaptativo

O processo adaptativo consiste em um mecanismo dealteração dos pesos sinápticos reali zado durante aauto-organização do mapa. A adaptação dos pesos

.

/ 0 1 2 / 3 4 2Figura 2. Distância Relativa.

V iz i nhança de grau 1

V iz i nhança de grau 2

12

45

6

1 2 3 4 5 6

D epósi to

N eurôniovencedor

3

Figura 3. Relação de vizinhança adotada.

(2)

(3)

(4)

(5)

sinápticos para o neurônio vencedor e sua vizinhan-ça na iteração n+1 é feita de acordo com a Eq. (6).

))(()()()()1( )(, nnhnnn jxijjj wxww 566787 9onde : é o parâmetro de taxa de aprendizado, x

representa as coordenadas do consumidor em ques-tão, e jw é o vetor de pesos referente ao neurônio j.

A taxa de aprendizado : assume inicialmente

um valor próximo de 0.1, e decai com o número deépocas, de acordo com a Eq. (7):

;;<=>>?@ 568

20 exp)( A99 n

n

onde n é a época atual e B 2 é uma constante de tem-po.

4.5 Inserção e Eliminação de Neurônios na Rede

O processo de inserção e remoção de neurôniosdurante o treinamento da rede foi introduzido porAngéniol et al. (1988) (veja também Aras et al.,1999) e foi apli cado ao problema do caixeiro via-jante simétrico. Neste trabalho, o procedimento éestendido para o problema de roteamento de veícu-los.

A políti ca de inserção e eliminação de neurôniosimplementada obedece, em parte, ao procedimentodescrito em Angéniol et al. (1988): caso um neurô-nio específico vença o processo competiti vo duasvezes em um mesmo ciclo (uma apresentação doconjunto de consumidores), um novo neurônio éinserido na rede como vizinho de grau 1 sobre as

mesmas coordenadas do neurônio vencedor. Umadiferença entre o processo de inserção de neurôniosno procedimento de Angéniol et al. (1988) e noprocedimento implementado neste trabalho reside nofato de que novos neurônios podem ser incluídos nascoordenadas do depósito durante o treinamento darede. A necessidade de inserção de novos neurônioscom pesos associados ao depósito é determinada combase na avaliação do critério para seleção do neurô-nio vencedor, de modo que, para um determinadoconsumidor, além da avaliação da função-objetivopara cada neurônio presente na rede, é reali zadatambém uma avaliação de um neurônio auxili ar,cujas coordenadas coincidem com as do depósito.Caso o neurônio auxili ar vença o processo competi-tivo, ele será inserido na rede como membro da rotaadequada. Este artifício objetiva evitar que neurôniospertencentes a rotas sobrecarregadas vençam o pro-cesso competiti vo devido à ausência de neurônios

Figura 4. Evolução da solução para a instância eil51.

Instância Nº de con-sumidores

Nº derotas

CapacidadeMelhor solução

conhecida(distância total)

Solução obtida(distância total)

Violação máxi-ma de capaci-

dade (%)

TempoCPU (s)

eil22 21 4 6000 375 383.51 0 1eil30 29 3 4500 534 574.00 0.56 3eil33 32 4 8000 835 881.34 0 3eil51 50 5 160 521 542.76 0 9eila76 75 10 140 830 873.68 2.8 43eilb76 75 15 100 1021 1094.20 7 57eilc76 75 8 180 736 784.40 1.67 38eila101 100 8 200 815 876.57 0.5 104

Tabela 1 – Resultados computacionais obtidos para o problema de roteamento de veículos comparados com as melhoressoluções conhecidas, as quais podem ser encontradas em C http://www.tem.nctu.edu.tw/~network/ D ,C http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/comopt/software/TSPLIB95/vrp/ D e (Modares et al., 1999).

Figura 5. Solução para um problema com 300 consumidoresposicionados aleatoriamente e veículos sem restrições.

.

Figura 6. Solução para um problema com 1000 consumidoresposicionados aleatoriamente e veículos sem restrições.

(7)

(6)

associados a rotas não sobrecarregadas nas proximi-dades do consumidor. Caso um neurônio não vençao processo competiti vo na rota à qual ele pertencedurante 3 épocas consecutivas, ele será eliminado darede. A convergência do mapa se dará quando cadaneurônio se encontrar associado a um único consu-midor, de acordo com um limiar de distância.

5 Resultados Computacionais

Nesta seção, são apresentados os resultadoscomputacionais referentes a um conjunto de 10 ins-tâncias. As simulações e a codificação foram reali-zadas em linguagem C e Matlab versão 5.3, e foramexecutadas em um microcomputador PC com pro-cessador Celeron e clock de 400MHz. A Tabela 1sumariza os resultados computacionais obtidos para8 instâncias. São apresentadas as soluções ótimasconhecidas e as soluções obtidas pelo algoritmoproposto neste trabalho. Repare que, embora o de-sempenho obtido via mapa auto-organizável tenhasido sempre um pouco inferior ao ótimo, deve-sesalientar que o algoritmo é o mesmo para todos oscasos, sem nenhum tipo de ajuste às característicasespecíficas de cada instância, sendo que as melhoressoluções conhecidas foram produzidas por algorit-mos especificamente ajustados para tratar cada ins-tância separadamente. A Fig. 4 ilustra quatro etapaspara a instância eil51: configuração inicial, mapaem processo de ordenação em dois momentos dis-tintos e solução final. Em Fig. 5 e Fig. 6 é mostradaa configuração final do mapa para 2 problemas degrande porte, com veículos não capacitados e com oobjetivo de gerar rotas de tamanhos equivalentes. AFig. 5 mostra a solução para um problema com 300consumidores, obtida em aproximadamente 30 mi-nutos, e a Fig. 6 mostra a solução de um problemacom 1000 consumidores, obtida em aproximada-mente 5 horas. A codificação nestes dois casos foifeita integralmente em Matlab. Embora não se co-nheçam as soluções ótimas para esses casos, umasimples análise visual permite constatar que a solu-ção produzida é de boa qualidade, evidenciando queo procedimento proposto é também adequado paraproblemas de grande porte.

6 Conclusões

Existem abordagens diversas para problemas deotimização combinatória, sendo que os mapas auto-organizáveis representam uma alternativa de grandepotencial sempre que o problema puder ser expressona forma de uma busca por percursos mínimos quedevem respeitar uma distribuição espacial. Esta foi amotivação que conduziu à apli cação de mapas auto-organizáveis de Kohonen à solução do problema deroteamento de veículos. No entanto, a apli cação nãoé imediata, tendo sido necessário elaborar uma me-

dida de similaridade multi critério fundamentada emrecompensas e punições. Além disso, procedimentosde iniciali zação do mapa e técnicas adaptativas pararelaxação das restrições mostraram-se fundamentaispara o desempenho do algoritmo. Em algumas exe-cuções ocorreu violação de demanda de, no máximo,7% da capacidade. Considerando que, na prática, asrestrições geralmente são definidas levando emconta alguma folga, o desempenho do algoritmo foibastante satisfatório. As duas grandes vantagens daabordagem proposta são a ausência de necessidadede ajuste de parâmetros de acordo com as peculiari-dades de cada instância do problema e a possibili da-de de apli cação a problemas de grande porte, semque haja uma explosão do custo computacional.Sendo assim, dentre as principais contribuições destetrabalho destacam-se:E extensão do método de Angéniol et al. (1988),proposto para caixeiro viajante simétrico, para oproblema de roteamento de veículos;E definição de medidas de similaridade multi critério:estratégias de punição e recompensa;E relaxação adaptativa das restrições;E extração de características estatísticas do problema.

7 Referências Bibliográficas

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Aras, N., Oommen, B.J. & Altinel, I.,K., (1999).The Kohonen Network Incorporating ExplicitStatistics and its Application to The Travelli ngSalesman Problem, Neural Networks, 12, 1273-1284.

Garey, M. R. & Johnson, D., (1979), Computers andIntractabilit y: A Guide to the Theory of NP-completeness, Freeman.

Kohonen, T. (1997). Self-Organizing Maps, 2ndEdition, Springer Verlag.

Modares, A., Somhom, S. and Enkawa, T. (1999). ASelf-Organizing Neural Network Approach forMultiple Traveling Salesman and VehicleRouting Problems. International Transactionsin Operational Research, 6, 591-606.

Reeves, C, (1993). Modern Heuristic Techniques forCombinatorial Problems, Wiley & Sons.

Somhom, S., Modares, A. and Enkawa, T. (1999).Competition-Based Neural Network for theMultiple Travelli ng Salesman Problem withMinMax Objective. Computers & OperationsResearch, 26, 295-407.