Um Relato Sobre a Cicloide Cleber

Um relato sobre a Cicloide: a Helena do Seculo XVII

Cleber da Silva Medeiros1

RESUMO: Este trabalho tem como objetivo apresentar algumas caractersticas da Cicloide, uma curva quepode ser entendida como uma aplicacao do Calculo Diferencial e Integral e que fora conceituada no final do seculo

XVI. Fizemos um passeio historico sobre o desenvolvimento do Calculo Diferencial e Integral durante o Seculo

XVII e aqui apresentaremos algumas discussoes e resultados sobre a Cicloide, acentuando a importancia da mesma

na construcao desse topico da Matematica. Almejamos, nessa perspectiva, expor algumas percepcoes dos proble-

mas que tangenciavam a Matematica no perodo em que esses conceitos foram concebidos, e entao, estabelecer

relacoes entre o Calculo do Seculo XVII e o Calculo atual. Para isso, adotamos como procedimento metodologico

a pesquisa documental e bibliografica. Apresentamos aqui, majoritariamente, uma reflexao embasada em obras

secundarias, cuja razao se deve a` complexidade em se trabalhar com obras primarias, a princpio. Todavia, bus-

camos relatar alguns episodios da Historia da Matematica e exemplificar como eram as provas e demonstracoes

em Matematica no perodo, que ate entao, valiam-se predominantemente de elementos da geometria. Diante dessa

proposta, destacamos como protagonistas desses estudos Gilles Personne de Roberval, Blaise Pascal, Evangelista

Torricelli, Christiaan Huygens e os irmaos Johann e Jakob Bernoulli, dentre outros, que protagonizaram inumeras

disputas no perodo mencionado. Tambem destacamos duas percepcoes sobre a Cicloide analisadas no perodo:

a propriedade tautocrona e a braquistocrona, cujas descobertas afloraram alguns conflitos e contriburam para o

incio da teoria das evolutas e involutas, bem como das equacoes diferenciais ordinarias. Conclumos, entao, que

o estudo da Cicloide e suas propriedades estiveram em evidencia durante todo o Seculo XVII, colaborando, as-

sim como os demais problemas do perodo, para o desenvolvimento da Matematica. A valiosa contribuicao de

Roberval, Pascal, Pierre de Fermat e Rene Descartes, dentre outros, ocasionou um grande avanco cientfico nesse

perodo, propiciando o surgimento da geometria analtica e a sistematizacao do Calculo Infinitesimal, alguns anos

mais tarde.

PALAVRAS-CHAVE: Cicloide; Calculo; Historia.

1 Introducao

O Calculo Diferencial e Integral e uma area de estudo da Matematica, contudo contemaplicacoes para diversas areas, tais como a fsica, a engenharia e a arquitetura, dentre outras.Evidenciando essa tematica, a proposta desse trabalho e de estudar um topico dessa area sobuma perspectiva historica, cuja razao se deve em parte da curiosidade em compreender comoessa Ciencia se desenvolveu ao longo dos anos.

1Aluno de Iniciacao Cientfica do Grupo PET Matematica da UFTM: [email protected]. Orientacao: Pro-fessora Doutora Monica de Cassia Siqueira Martines.

Cleber MedeirosRealce






E de conhecimento que o desenvolvimento da Matematica focalizou-se na resolucao de pro-blemas dos mais diversificados motivos, como os de natureza cotidiana e os relativos a descricaode fenomenos naturais (Roque, 2012). Nessa perspectiva, varias questoes perduraram por longotempo sem respostas, como o problema da Trisseccao do Angulo ou o problema da Quadraturado Crculo, por exemplo.

Em contrapartida, outros problemas estiveram em evidencia em um perodo onde ja se ha-via um significativo avanco na generalizacao dos conceitos matematicos, e dessa forma, foramelementares para a construcao do Calculo Diferencial e Integral que hoje conhecemos. Den-tre esses, destacam-se o problema de encontrar retas tangentes a` curvas em um ponto dado,problemas de como calcular areas e volumes de regioes curvelneas, dentre outros, que esti-veram em constante estudo pelos cientistas da epoca na tentativa de construir novos metodospara resolve-los. Tambem, por estarem em evidencia quando a geometria analtica de Pierrede Fermat (1601 1665) e Rene Descartes (1596 1650) teve incio, contriburam de formaexpressiva para a algebrizacao da matematica, tornando os metodos geometricos, que ate entaoeram usados para provas e demonstracoes, obsoletos.

Nesse contexto, esse trabalho apresenta o estudo de uma aplicacao ao Calculo Diferenciale Integral que esteve em evidencia no perodo acima descrito: a Cicloide. Essa curva, cujosestudos estiveram acentuados durante o seculo XVII, tornou-se uma das maiores disputas entreos cientistas desse perodo, protagonizando conflitos entre alguns conhecidos nomes da Ciencia,alem de inumeros estudos e descobertas.

Acerca desse topico, buscamos apresentar nesse relato como ocorreram alguns desses estu-dos, expondo algumas discussoes em relacao a esse perodo. A observacao da Cicloide aflorou-se em um momento oportuno da Matematica: quando um novo ramo da Matematica, a ge-ometria analtica, surgiu como uma poderosa ferramenta que auxiliaria os calculos da epoca(Whitman, 1943), e que anos mais tarde, com o advento do Calculo Diferencial e Integral de-vido em partes a Isaac Newton (16421727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716), viriaa consolidar-se como um dos principais perodos da Historia da Matematica.

Diante do problema proposto, o primeiro desafio foi determinar um processo metodologicopara a pesquisa. Evidentemente, definir uma metodologia de pesquisa na area de Historia daMatematica nao e uma tarefa facil, pois, como menciona Bloch (apud Mariotto, 2009, p.13), haduvidas em relacao a`s etapas do desenvolvimento de uma pesquisa historica. O mesmo se aplicaao trabalho, ou aos detalhamentos anteriores ao trabalho, que sao exigidos do historiador.

Inicialmente, a metodologia deste relato centrou-se em uma pesquisa bibliografica e docu-mental. Devido ao perodo analisado, buscamos a prncipio obras secundarias que abordavamo tema proposto, entretanto, tinhamos a intencao de, em momento oportuno, buscar as fontesprimarias. Contudo, no decorrer da pesquisa nos deparamos com uma grande quantidade deestudiosos do seculo XVII que dedicaram-se ao estudo da Cicloide em alguma passagem desuas trajetorias. Dessa forma, seria inviavel reunir, a princpio, uma quantidade expressiva demateriais produzidos nesse perodo. O acervo conta com inumeras obras, livros e cartas data-




das do incio ao final desse seculo, que relatam como o desenvolvimento da Ciencia se davanesse perodo. Diante disso, nos propusemos, inicialmente, analisar algumas obras que ja ha-viam abordado esse tema sob uma perspectiva historica. Dessa forma, essa pesquisa apresentamajoritariamente o reflexo dos pesquisadores a`s obras ja estudadas de alguns cientistas.

Como objetivos, destacam-se a contextualizacao de um perodo da Historia que teve grandecontribuicao para o desenvolvimento da Ciencia, e mais especificamente, da Matematica. Ainda,nos propomos a mencionar algumas caractersticas da Cicloide, a priori, considerando que nao epossvel descrever toda a historia da Cicloide, bem como os estudos acerca da curva no perodo,neste breve relato. Entretanto, nos propomos nesse momento a apresentar um estudo tentandomanter-se fiel a` realidade do seculo XVII, afim de contextualizar como a Matematica se desen-volvia no referido perodo.

2 Cicloide

A Cicloide e definida como sendo a curva descrita por um determinado ponto fixo da cir-cunferencia de um crculo, quando este rola, sem deslizar, por uma reta, conforme figura 1:

Figura 1: Cicloide

FONTE: Google

A descoberta original da Cicloide parece ser desconhecida. Segundo OConnor e Robertson(1997), Nicolas Cusa (14011464) foi o primeiro matematico a perceber a Cicloide, quandoaventurava-se em encontrar a area de um crculo por integracao. Essa afirmacao, provavel-mente, valida-se de uma carta de John Wallis (16161703) datada de 1679, onde esse atribui adescoberta dessa curva a Cusa em 1450, mencionando ainda Charles de Bovelles (14751566)como um dos que avancou no estudo da Cicloide no incio do seculo XVII. Segundo Whitman(1943), todavia, historiadores concordam que Wallis estava errado em relacao a Cusa, a menosque ele tenha tido acesso a alguns escritos que se perderam. Ha ainda indcios de que os gregosja conheciam a familia da Cicloide.

Whitman (1943) atribui a responsabilidade pela divulgacao da Cicloide no seculo XVII aGalileu Galilei (1564 1642). O termo Cicloide foi indicado por ele em 1599, quando estesugeriu que arcos na forma de Cicloide forneciam um belo arco para uma ponte (Boyer, 1996).Tendo estudado a curva durante quarenta anos, Galileu tentou encontrar a area sob um arco deCicloide, mas falhou. Os estudos entao, passaram a centrar-se na Franca, provavelmente pelapropagacao de Marin Mersenne (15881648), e simultaneamente na Italia, com os discpulos





de Galileu Evangelista Torricelli (16081647) e Vincenzo Viviani (16221703), dentre ou-tros.

Marin Mersenne foi um conhecido padre frances que teve papel fundamental no desenvol-vimento da Ciencia no seculo XV II. Admirador de Galileu, Mersenne conhecia os atritos entreIgreja e Ciencia e se incubia de propagar os trabalhos de Galileu na Franca, onde por longoperodo foi responsavel por disseminar os estudos deste e de outros estudiosos da epoca (Co-elho, 2008). Dessa forma, Mersenne conhecia grande parte dos problemas matematicos desseperodo e trocava correspodencias com importantes nomes contemporaneos, como Gilles Per-sonne de Roberval (1602 1675), Rene Descartes, Pierre de Fermat, Evangelista Torricelli, eo proprio Galileu, dentre outros. Foi responsavel pela primeira definicao rigorosa da Cicloide eainda, tentou encontrar a area sob a curva, porem nao teve exitos. Todavia, indicou proposicoesbasicas da Cicloide.

Mersenne, entao, apos nao ter obtido sucesso com os estudos sobre a Cicloide, lancou oproblema aos matematicos da epoca, como Christiaan Huygens (1629 1695), Torricelli eRoberval, e a partir da, deu-se incio a uma serie de episodios da historia que abordaremos aseguir.

2.1 Equacoes Parametricas da Cicloide

Segundo Baron e Bos (1985), Roberval equacionou parametricamente a Cicloide de formasimilar a` que demonstraremos abaixo.

Observe a figura 2:

Figura 2: Cicloide Geogebra

FONTE: Arquivo Pessoal do Autor

Vamos considerar que a circunferencia de raio r que gera a Cicloide acima desliza no sentidopositivo do eixo-x, sendo o parametro escolhido para descrever a curva. O angulo e oangulo varrido pelo raio CP quando a circunferencia desliza para uma nova posicao. Observeque quando = 0, P(x,y) esta na origem O.

Sejam x e y as coordenadas de P. Temos que:

x = OBAB = OBPQ = r rsen= r( sen)

y = BCQC = r rcos= r(1 cos)

Portanto, as equacoes parametricas da Cicloide sao:{x = r( sen)y = r(1 cos)

2.2 Area Sob um Arco de Cicloide

A area sob um arco de qualquer curva foi durante anos um problema que tangenciava odesenvolvimento do Calculo. Os metodos utilizados no Seculo XVII antecedem o metodo deintegracao hoje conhecido, e valiam-se majoritariamente de elementos da geometria. SegundoBoyer (1996), um dos primeiros matematicos a tentar encontrar a area sob um arco de Cicloidefoi Galileu Galilei. Nao tendo tido sucesso com metodos algebricos e geometricos, Galileu,entao, cortou pedacos de metal na forma de um arco de Cicloide e tentou comparar as medidascom a area do crculo gerador da curva. Encontrou que a relacao era proxma de 3, todavia,acreditou que se tratava de medidas incomensuraveis, o que o fez desistir da tarefa.

Gilles Personne de Roberval trabalhou com a Cicloide a partir de 1628, quando este che-gou a` Paris e ingressou no grupo de estudo de Mersenne, que ja havia chamado atencao dosmatematicos para a curva em 1615, ocasiao em que este ultimo provavelmente a conheceu porGalileu. Em 1634, Roberval conseguiu concluir que a area sob um arco de Cicloide e igual atres vezes a area do crculo que a gera, ou seja, Roberval demonstrou que se a a area do crculogerador e pir2, sendo r o raio da circunferencia do crculo, entao a area sob um arco de Cicloidee igual a 3pir2. Sua demonstracao, todavia, so viria a ser publicada apos a sua morte, em 1693,nas obras Traite des Indivisibles e De trochoide ejusque spatio. A explicacao para isso se deveao fato de que Roberval ocupava a Catedra de Ramus no College Royal, que a cada tres anos eracolocada a disposicao. Roberval, assim, mantinha suas descobertas consigo, para utiliza-las naepoca dos concursos, afim de que mantivesse o seu cargo. Entao, provavelmente Roberval naopublicou seus resultados na epoca porque talvez pudesse propor os seus problemas aos possveiscandidatos a sua cadeira.

Evangelista Torricelli, ao mesmo tempo, se interessou pela Cicloide, provavelmente porsugestao de Mersenne ou Galileu. Em 1643 Torricelli enviou a Mersenne a quadratura da Ci-cloide, e no ano seguinte, em sua obra De Parabole, demonstrou a area sob um arco de Cicloidee uma construcao da tangente a curva. Roberval, em 1646, acusou Torricelli de plagio. Embora,obviamente, a prioridade da descoberta da area deva-se a Roberval, o resultado de Torricelli vi-ria a ser publicado antes. Comparando as demonstracoes, entretanto, percebe-se que Torricelliprovavelmente chegou a sua conclusao independentemente. Ele publicou duas demonstracoes,uma usando o metodo dos indivisveis de Cavalieri e outra pelo antigo metodo de exaustao.Roberval, por sua vez, usou o metodo dos indivisveis para calcular a area da Cicloide.

Aqui, demonstramos o calculo da area de uma Cicloide por Roberval, como traz em sua






obra Traite des Indivisibles. Para sua demonstracao, Roberval usa da figura 3:

Figura 3: Figura Cicloide

FONTE: Traite des Indivisibles

Na tentativa de nos mantermos fieis a demonstracao de Roberval, o que segue e resultadoda analise dessa figura e da interpretacao disponvel em [2]. Representaremos, nesse traba-lho, AB como sendo o segmento de reta que se inicia em A e termina em B. Assim tambemrepresentaremos 92 como sendo o segmento de reta que inicia em 9 e termina em 2.

Na figura 3, Roberval constroi uma Cicloide considerando dois movimentos: o primeiromantem o diametro AB sempre paralelo a sua posicao original, ate atingir CD; o segundo movi-mento gira o crculo de diametro AB ate que este atinja CD, de forma que o ponto A sobreponhaD. Da temos que AC e igual ao semicrculo AGB.

Entao, Roberval dividiu a linha AC e o semicrculo AGB em partes iguais, de forma que

arcAE = arcEF = arcFG = ...= linAM = linMN = linOP = ...

Em seguida, desenha-se o segmento E1, sendo este perpendicular ao diametro AB, de formaque o segmento A1 seja a altura do ponto A quando este atinge E. Da mesma forma, desenha-seF2, G3, H4, e assim sucessivamente. Em seguida, desenha-se M1, tal que este segmento sejaparalelo e igual a altura A1, e assim por diante. Roberval tambem desenha os segmentos 81,92, tal que estes sejam paralelos a AC e iguais a E1 e F2, respectivamente, e assim faz para osdemais.

Considere o ponto A, quando o crculo AEGB roda, sem deslizar, pela tangente AC. Quandoo crculo atinge M, o ponto A esta na altura 8. Quando o crculo atinge N, o ponto A atinge 9, oque forma um semiarco de Cicloide, descrito pelos pontos A,8,9, ...,D, como na figura. A outrametade e simetrica a essa. Por sua vez, Roberval descreve a curva formada por A,1,2,3, ...,D

como a acompanhante da Cicloide.Feita a construcao da curva, Roberval demonstra a area da Cicloide usando duas proposicoes:Proposicao 1: A area da figura formada entre a Cicloide e a sua acompanhante e igual a

area da metade do crculo gerador.

Demonstracao: Considere a area A,8,9,10, ...,D,7,6, ...,A. Note que 81 = E1; 92 = F1,etc. Os segmentos 81, 92, ..., 147 dividem esta figura em fatias com altura A1, 12, 23 etc., assimcomo os segmentos 1E, 2F , etc., dividem o semicrculo AGB em fatias com as mesmas respec-tivas alturas. Logo, as fatias infinitesimais correspondentes tambem serao iguais. Portanto, aarea dessa figura e igual a area do semicrculo AGB, ou seja, a metade do crculo gerador.

Logo, a area A,1,2, ...,D,14,13, ...,A = pir2

2

Proposicao 2: A area da figura formada entre uma Cicloide e sua base e igual a tres vezesa area do crculo gerador.

Demonstracao: Na figura 3, a acompanhante da Cicloide divide o paralelogramo ABDCem duas areas iguais, ja que cada linha ACD1 tem uma linha correspondente em ABD1, ou seja,a area abaixo da acompanhante da Cicloide e igual a area acima da acompanhante da Cicloide.Sendo o diametro AB do crculo igual a 2r e sendo o permetro desse crculo igual a 2pir, a curvaAGB sera igual a metade do permetro, ou seja, pir. Como a dimensao da curva AGB e igual aosegmento AC, conclui-se que a area do paralelogramo ABCD e igual ao produto entre os ladosAB e AC, isto e, (2r)(pir) = 2pir2, o que e exatamente a area de dois crculos AEGB.

Logo, a area de ACD1 = 12 area de ABDC, e sendo a area de ABDC = area de 2 crculosAEGB, entao a area de ACD1 = a area do crculo AEGB. Portanto, a area ACD8 e igual a somadessa area com a demonstrada na 1a Proposicao, ou seja ACD8 = pir

2

2 +pir2 = 3pir

2

2 .A area representa a metade de um arco de Cicloide, portante, a area de uma Cicloide e

2 3pir2

2= 3pir2

Em notacao atual, sabemos que a area sob uma curva pode ser calculada por meio de integralcom limites em x. Dessa forma, acompanhemos esse resultado utilizando notacao atual.

Proposicao 3: O comprimento da base de uma Cicloide e igual ao comprimento da cir-cunferencia que a gera.

A proposicao acima ja havia sido indicada por Mersenne, quando este tentou estudar aCicloide. De fato, se considerarmos um ponto na circunferencia quando x = 0, ao deslizar peloeixo x, este ponto so tocara o eixo das abcissas novamente quando a circunferencia der umavolta completa, ou seja, o comprimento da base de um arco cicloidal e igual a 2pir.

Para r = 1, temos uma integral da seguinte forma:

A = 2pi

0ydx

Sendo a equacao parametrica da Cicloide{x = r( sen)y = r(1 cos)

Temos que:

dxd

= r(1 cos)

dx = r(1 cos)d

Da:

A = 2pi

0ydx =

2pi0

yr(1 cos)d=

2pi0

r(1 cos)r(1 cos)d=

2pi0

r2[(1 cos)]2d=

2pi0

r2(12cos+ cos2)d=

r2 2pi

0d2r2

2pi0

(cos)d+ r2 2pi

0(cos2)d

Tomando cos2= cos(2)+12 , temos:

A = r2 2pi

0d2r2

2pi0

(cos)d+ r2 2pi

0

(cos(2)+1

2

)d=

r2[()2pi0 +(2(sen))

2pi0

(14

sen(2))2pi

0+

(2

)2pi0

]= 3pir2

Dessa forma, conclumos que o resultado de Roberval esta em concordancia com os calculosatuais, o que nos faz perceber que a demonstracao de Roberval comprova a versatilidade dosmatematicos desse perodo, que detinham das ferramentas da geometria para provar os maisdiversificados resultados, cada qual a seu modo.

3 Outras Discussoes

Segundo Whitman (1943), alem do problema da area de uma Cicloide, o grupo de Mersennetambem resolveu o problema de tracar uma trangente a Cicloide, e entao, Mersenne enviou

as suas solucoes a Galileu em 1638, que ja velho, passou o estudo a dois de seus discpulos,Torricelli e Viviani . Galileu estudou a Cicloide durante 40 anos, e em 1639 escreveu a Torricellirelatando seus estudos. Provavelmente, da surgiram as inumeras controversias em relacaoao estudo dessa curva entre Roberval e Torricelli, Roberval e Descartes, dentre outras, cujasdiscussoes omitiremos nesse relato. Tambem, nao abordaremos aqui um desafio que BlaisePascal propora sobre a Cicloide em 1658, como era de costuma na epoca, nos incubindo apenasde relatar os estudos subsequentes a esse perodo.

Em 1658, Christiaan Huygens estava interessado em encontrar algum metodo para aprimo-rar seus relogios, de modo que estes nao adiantassem ou atrasassem. No mesmo perodo, aCicloide estava em evidencia devido ao desafio de Pascal, e Huygens, entao, decidiu observar oque acontecia se usasse uma superfcie cuja seccao fosse um arco de cicloide invertido. Ficousatisfeito ao observar que, nesse caso, o objeto chegara ao ponto mais baixo no mesmo tempo,independente da altura na qual o objeto foi colocado. Tendo proposto um problema a si mesmo,Huygens provou que a Cicloide e Tautocrona, e ainda, verificou que se o pendulo girar entredois arcos cicloidais de mesmo tamanho, a trajetoria percorrida pela haste, desde que essa sejado tamanho dos arcos cicloidais, e uma tautocrona, ou seja, a Cicloide e isocrona.

Finalmente, relatamos o que e, provavelmente, o ultimo resultado encontrado acerca daCicloide durante o seculo XVII. Johann Bernoulli (1667 1748), tendo descoberto qual era acurva de descida mais rapida, lancou o desafio aos matematicos da epoca na Acta Eruditorum,publicacao cientfica alema fundada por Leibniz, como de costume. Newton e Leibniz enviaramsolucoes, mas o que viria a ser publicado era o resultado que seu irmao mais velho, JakobBernoulli (16541705), alcancara. Jakob provou, entao, que a curva de descida mais rapida euma Cicloide invertida. Johann, na ocasiao, referenciou-se a Cicloide como a curva fatdicado seculo XVII.

4 Consideracoes finais

Procuramos apresentar nesse relato, um exemplo de estudo da Cicloide antes da sistematiza-cao do Calculo Diferencial e Integral, com o objetivo de valorizarmos essa ferramenta tao pre-cisa e que hoje esta presente em nossos cursos de graduacao. Dessa forma, vimos que essacurva foi arduamente estudada durante o seculo XVII e que, nesse contexto, contribuiu para aconstrucao do Calculo Diferencial e Integral hoje conhecido.

Pela enorme quantidade de matematicos que estudaram a curva, a Cicloide ficou conhecidacomo A Helena da Geometria, em alusao a` Helena de Troia, cuja mitologia perpetua ser amulher mais bonita da Grecia, e consequentemente, a mais disputada. Apos os estudos iniciais,constatou-se que a Cicloide possui propriedades fsicas importantes, como a de ser tautocrona(tempos iguais) e braquistocrona (menor tempo). Tais propriedades merecem atencao e mos-tram a importancia do Calculo Diferencial e Integral na epoca, que sucintamente consistia emresolver problemas relacionados a` Fsica e a Mecanica. Tambem, no mesmo perodo em que

os estudos se sucederam, nota-se o incio do estudo das equacoes diferenciais ordinarias, poisos irmaos Bernoulli se depararam com equacoes dessa forma quando se propuseram a resolvero problema da braquistocrona, e da teoria das evolutas e involutas, que foram propostas porChristiaan Huygens quando este estudou a Cicloide e demais assuntos relacionados ao pendulo.

Os estudos tambem evidenciaram que existia uma grande interlocucao entre os cientistas daepoca, o que permitiu com que a sua maioria tivesse conhecimento da Cicloide, e entao, nelatrabalhassem. Tambem comprovaram o quao rica foi a contribuicao desses estudiosos para odesenvolvimento da Matematica.

A ideia, nesse momento, nao e abordar todos os estudos relacionados a Cicloide. Todavia,pretendemos expandir esse trabalho futuramente, cujo objeto de estudo e tema de IniciacaoCientfica do autor.

Referencias

[1] BARON, Margaret E. Curso de Historia da Matematica: origens e desenvolvimento docalculo, por Margaret E. Baron e H. J. M. Bos. Traducao de Jose Raimundo Braga Coelho,Rudolf Maier e Maria Jose M. M. Mendes. Braslia, Editora Universidade de Braslia,1985, c1974.

[2] BUSTILLOS, O. C.; SASSINE, A. A Magia da curva Cicloide: braquistocrona etautocrona. Sao Paulo: Stortecci, 2011.

[3] BOYER, Carl B. Historia da Matematica, por Uta C. Merzbach. Traducao de Elza F.Gomide. 3. ed. Sao Paulo: Edgard Blucher, 2010.

[4] OCONNOR, J. J.; ROBERTSON, F. E. Historia da Matematica MacTutor. Baseado emum projeto de honras por Jessica Daniell (University of St Andrews) (1997) Disponvelem: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Curves/Cycloid.html. Acesso em 15/09/14, 12 :30.

[5] MARIOTTO, Rachel. A imersao em um mundo magico e maravilhoso: um estudo sobrea obra literario-educacional de Mario Tourasse Teixeira. Dissertacao de Mestrado, RioClaro : [s.n.], 2009.

[6] ROQUE, T. Historia da Matematica: uma visao crtica, desfazendo mitos e lendas. Riode Janeiro: Zahar, 2012.

[7] WHITMAN, E. A. Some Historical Notes on the Cycloid. In: The American MathematicalMonthly, Vol. 50, n 5. Mathematical Association of America, 1943.

Um Relato Sobre a Cicloide Cleber

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