UNIVERSIDADE DE SAO PAULOINSTITUTO DE FISICA

Um exemplo de formatacao emLATEXde uma dissertacao de

mestrado no Instituto de Fısica daUSP

Fabricio Marques do Carmo

Orientador: Prof. Dr. Fulano Pereira Santos

Dissertacao apresentada ao Instituto de Fısica daUniversidade de Sao Paulo para a obtencao do tıtulo deMestre em Ciencias.

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Fulano Pereira Santos (IF-USP)Prof. Dr. Cicrano da Silva Costa (IF-USP)Prof. Dr. Beltrano Marcondes Souza (IF-USP)

Sao Paulo2010

Aqui vai a ficha catalografica!

Ao meu cao, sempre fiel.

A mais alguem, so nao sei quem.

Nao importa onde voce parou...em que momento da vida voce cansou...o que importa e que sempre e possıvel e necessario ”Recomecar”.Recomecar e dar uma nova chance a si mesmo...e renovar as esperancas na vida e o mais importante...acreditar em voce de novo...Sofreu muito nesse perıodo? Foi aprendizado.Chorou muito? Foi limpeza da alma.Ficou com raiva das pessoas? Foi para perdoa-las um dia.Tem tanta gente esperando apenas um sorriso seu para ”chegar”perto de voce.Recomecar...hoje e um bom dia para comecar novos desafios.Onde voce quer chegar?Ir alto... Sonhe alto...queira o melhor do melhor...pensando assim trazemos para nos aquilo que desejamos...Se pensarmos pequeno coisas pequenas teremos...Ja se desejarmos fortemente o melhor e principalmente lutarmos pelo melhor,o melhor vai se instalar em nossa vida.Porque sou do tamanho daquilo que vejo, e nao do tamanho da minha altura.

Carlos Drmmond de Andrade, “Recomecar“

i

Agradecimentos

Ao Prof. Dr. Fulano Pereira Santos, orientador, pela orientacao e sei la

mais o que;

Aos meus amigos do Instituto de Fısica, Chico Bento, Cebolinha, Cascao e,

principalmente Franjinha (o mais inteligente de todos), por me ajudarem

no processo de constituicao desse trabalho;

Aos meus outros amigos e professores favoritos nao citados acima, pois a

lista de nomes e, felizmente, extensa demais para ser aqui colocada;

A AFF (Agencia de Fomento Fictıcia), pelo apoio concedido durante o

perıodo de realizacao deste trabalho.

ii

iii

RESUMO

A qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn

qwert poiuy asdfg clkjh o qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy

asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh o qwert poiuy asdfg clkjh

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qwert poiuy asdfg clkjh o qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy

asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg.

iv

ABSTRACT

A qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn

qwert poiuy asdfg clkjh o qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy

asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh o qwert poiuy asdfg clkjh

zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh o

qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert

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clkjh o qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn

qwert poiuy asdfg clkjh o qwert poiuy asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy

asdfg clkjh zxcvb mn qwert poiuy asdfg.

Indice

1 Introducao 1

2 Tıtulo do Capıtulo 2 3

2.1 Uma Secao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Uma Subsecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.2 Outra Subsecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Uma Segunda Secao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Uma Subsecao Dentro da Segunda Secao . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Trecho da Minha propria Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.3 Quebra da Supersimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Conclusoes 9

Referencias 10

1 Introducao

Aqui vai o texto da introducao.

2 Tıtulo do Capıtulo 2

2.1 Uma Secao

2.1.1 Uma Subsecao

A famosa equacao de Einstein que estabelece a equivalencia entre massa e energia:

E = mc2 (2.1)

Posso fazer referencia a equacao (2.1), usando o comando \eq ao inves de \ref.

Esse comando foi definido no preambulo, que se encontra no arquivo ”main.tex”. A

diferenca dele para o comando \ref e que ele coloca parenteses ao redor do numero

daquilo a que ele se refere quando e compilado.

2.1.2 Outra Subsecao

Aqui vai o texto dessa outra subsecao.

2.2 Uma Segunda Secao

2.2.1 Uma Subsecao Dentro da Segunda Secao

E aqui vai o texto dessa primeira subsecao dentro da segunda secao e por aı vai.

2.2.2 Trecho da Minha propria Dissertacao

O que pode ser visto nas linhas seguintes e um trecho da minha propria dissertacao

de mestrado (meio que sem as referencias certas). Vou deixa-lo aqui para servir como

4 Tıtulo do Capıtulo 2

exemplo de possıveis formas de se escrever equacoes e sistemas de equacoes, etc..

Vamos definir um hamiltoniano que e a soma dos osciladores bosonico e fermionico:

H = HB +HF =(a†a+ b†b

)(2.2)

onde o lado direito foi obtido substituindo as equacoes (2.1).

Tendo em vista a definicao dos operadores numero conforme (2.1), temos que os

autoestados do hamiltoniano (2.2) sao:

|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉 (2.3)

e a equacao de Schrodinger para esse hamiltoniano fica:

H |n,m〉 = (n+m) |n,m〉 (2.4)

O estado fundamental desse sistema e |0, 0〉 com energia E0 = 0. Todos os outros

estados sao duplamente degenerados uma vez que, para n > 0, podemos ter m = 0

ou m = 1, de modo que os estados |n, 0〉 e |n− 1, 1〉, conforme (2.1), tem a mesma

energia.

A seguir, definimos os operadores:

Q = a†b

Q† = b†a(2.5)

que misturam operadores de criacao e destruicao bosonicos e fermionicos.

Usando as relacoes de comutacao(2.1) e anti-comutacao (2.1) juntamente com a

definicao do hamiltoniano (2.1) e com a definicao dos operadores Q e Q†, mostramos

que:

2.2 Uma Segunda Secao 5

[Q,H] = [Q†, H] = 0 (2.6)

{Q,Q} = {Q†, Q†} = 0 (2.7)

{Q,Q†} = H (2.8)

Essas relacoes de comutacao e anti-comutacao definem a algebra da supersimetria,

sendo Q e Q† os geradores das transformacoes SUSI. A acao desses operadores sobre

os autoestados do hamiltoniano H pode ser avaliada da seguinte forma:

[Q,HB] = [a†b, a†a+ 12] = [a†b, a†a] = a†[a†, a]b = −a†b = −Q

[Q,HF ] = [a†b, b†b− 12] = [a†b, b†b] = a†(bb†)b == a†{b†, b}b = −a†b = Q

onde (2.1) e (2.1) foram usadas. De forma identica temos:

[Q†, HB] = [b†a, a†a+ 12] = [b†a, a†a] = b†[a, a†]a = b†a = Q†

[Q†, HF ] = [b†a, b†b− 12] = [b†a, b†b] = −b†(bb†)a == −b†{b, b†}a = −b†a = −Q†

Com isso, vamos agora avaliar a acao dos operadores HB e HF sobre um vetor de

estado Q |n,m〉:

HBQ |n,m〉 = (QHB − [Q,HB]) |n,m〉 = Q

(n+

1

2

)|n,m〉+Q |n,m〉

=

(n+ 1 +

1

2

)Q |n,m〉

(2.9)

HFQ |n,m〉 = (QHF − [Q,HF ]) |n,m〉 = Q

(m− 1

2

)|n,m〉 −Q |n,m〉

=

(m− 1− 1

2

)Q |n,m〉

(2.10)

6 Tıtulo do Capıtulo 2

ou seja, para m 6= 0, Q |n,m〉 e autoestado de HB e HF com autovalores(n+ 1 + 1

2

)e(m− 1− 1

2

), respectivamente. Para m = 0, o operador Q aniquila o vetor de estado

|n,m〉, ou seja, Q |n,m〉 = 0.

O mesmo desenvolvimento feito em (2.9) e (2.10) pode ser feito para um vetor de

estado Q† |n,m〉, levando a concluir que, para n 6= 0 e m 6= 1, esse estado e autoestado

de HB e HF com autovalores n− 1 + 12

e m+ 1− 12, respectivamente. Para n = 0 ou

m = 1, por outro lado, temos que Q† |n,m〉 = 0.

Em outras palavras, o operador Q atua nos autoestados de H levando o numero

quantico fermionico de m = 1 a m = 0 e o numero quantico bosonico de n a n+ 1. O

operador Q†, por sua vez, leva m = 0 em m = 1 e n em n − 1. Com isso vemos que,

uma vez que vale (2.1) e levando em conta a normalizacao, temos, de acordo com a

equacao de Schrodinger (2.1):

Q |n,m〉 = δm,1

√n+ 1 |n+ 1,m− 1〉

Q† |n,m〉 = δm,0

√n |n− 1,m+ 1〉

Enm = (n+m) (2.11)

ou seja, exceto pelo autoestado |0, 0〉, de energia E0 = 0, todos os outros autoesta-

dos de H estao esquematizados em (2.11). Esses outros estados Q |n,m〉 e Q† |n,m〉

sao degenerados, tendo ambos energia En,m = (n+m). Isso e a manifestacao da

supersimetria desse sistema que entao denominado Oscilador supersimetrico.

E, por fim, isso e apenas o exemplo de uma figura.

Ao fazer isso (conforme ilustra a figura 2.1), esses operadores modificam a forma

das funcoes originais destruindo ou criando nos.

2.2.3 Quebra da Supersimetria

Falar aqui do que pode levar a quebra e das caracterısticas de um sistema com SUSI

quebrada.

2.2 Uma Segunda Secao 7

Figura 2.1: Acao dos operadores A e A† sobre as autofuncoes associadas a um nıvelde energia E−n = E+

n−1.

3 Conclusoes

Concluimos finalmente que esse e um exemplo muito simples e que nao nos orgu-

lhamos tanto assim dele. Concluimos ainda que ajuda e sugestoes para melhora-lo sao

bem vindas e podem ser importantes para a criacao de um modelo melhor.

Referencias Bibliograficas

[1] Miyazawa, H. Prog. Theo. Phys. 36 (1966) 1266.

[2] Wess, J. and Zumino, B., Nuclear Physics, B70, 39 (1974).

[3] Ryder, L. H. Quantum Field Theory. Cambridge University Press, 1996 (Se-

cond Edition).

[4] Gradshteyn, I. S, Ryzhik, I. M. Table of Integrals, Series and Products: Cor-

rected and Enlarged Edition. Academic Press, Inc. San Diego, 1980.