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UFOP
Controle de Processos por Computador
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Representação no espaço de estados– Modelagem de um sistema físico (planta ou
processo industrial, por exemplo) no domínio do tempo
– Modelagem de sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas
– Simulação em computador do comportamento dinâmico do sistema
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Modelagem no Domínio do Tempo• Procedimento
– Selecionar um subconjunto de variáveis de interesse, as quais são chamadas de variáveis de estado
– Para um sistema de ordem “n”, escrever n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas em termos das variáveis de estado
– Sabendo-se as condições iniciais das variáveis de estado e a entrada do sistema, pode-se resolver tais equações diferenciais em função das variáveis de estado
– A combinação algébrica das variáveis de estado com as entradas pode ser utilizada para a determinação das demais variáveis do sistema, cada qual correspondendo a uma equação de saída
– As equações de estado e as equações de saída constituem a representação de um sistema físico no espaço de estados
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Exemplo: Dado o sistema abaixo, obtenha uma representação no espaço de estados, utilizando i(t) como variável de estado
Dados: condições iniciais nulas e entrada em degrau
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Modelagem no Domínio do Tempo
– 1 – Selecionar a variável de estados i(t), por exemplo
– 2 – Para um sistema de ordem 1, necessita-se de uma equação diferencial (equação de estado)
– 3 – Resolver a equação diferencial em função da condição inicial e entrada dadas
0di t
v t L Ri tdt
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Modelagem no Domínio do Tempo
– 4 – Podem-se obter todas as outras variáveis do sistema em função de i(t) e da entrada
Continuação 0L sI s i RI s V s
01 1 1 iI s R RR s s s
L L
1 0R Rt tL Li t u t e i e
R
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Modelagem no Domínio do Tempo
e ou• vR e vL são as equações de saída
– 5 – As equações de estado e de saída constituem uma representação do comportamento do sistema analisado no espaço de estados
Continuação Rv t Ri t Lv t v t Ri t 1di tv t Ri t
dt L
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Exercício: repita o exemplo anterior, utilizando vR(t) como variável de estado
• Exemplo: Dado o sistema abaixo, determine a representação no espaço de estados utilizando i(t) e q(t) como variáveis de estado
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Modelagem no Domínio do Tempo– 1 – Escolher as variáveis de estado
• i(t) e q(t)– 2 – Escrever as equações de estado
• Sistema de 2ª ordem requer 2 equações de estado
e, a partir da equação acima, obtém-se as equações de estado
as quais podem ser resolvidas no domínio da
transformada e posteriormente calculadas no tempo (transformada inversa de Laplace) durante o passo 3
1 0di t
v t Ri t L i t dtdt C
Usando a definição
de corrente
dq ti t
dt
2
2
1 0dq t d q t
v t R L q tdt dt C
1 1di t R i t q t v tdt L LC L
dq ti t
dt
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Modelagem no Domínio do Tempo
e Continuação 2
1
1LI s Rs s
L LC
2
111
LQ s Rs s sL LC
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Modelagem no Domínio do Tempo– 4 – A partir das funções obtidas no passo 3, pode-se
calcular as demais variáveis do sistema, como por exemplo a tensão sobre o indutor (equação de saída)
– 5 – As equações de estado e as equações de saída constituem a representação do sistema no espaço de estados
– Observação:• Uma equação diferencial de ordem “n” pode ser convertida
em “n” equações diferenciais de 1ª ordem
1Lv t q t Ri t v t
C
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Exercício: Represente as equações de estado e as equações de saída do exercício anterior na forma matricialx = Ax+Bu
dq tdt
di tdt
x
q ti t
x
0 11 RLC L
A
01L
B
u t v t y Du Cx
Ly v t
1 RC C
q ti t
x
1D
u t v t
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Exercício: repita o exemplo anterior utilizando vR(t) e vc(t) como variáveis de estado
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Resumidamente– O espaço de estados é aquele cujos eixos são as
variáveis de estado, sendo definido, pois, pelas equações de estado e de saída
– As variáveis de estado devem ser linearmente independentes
– O número mínimo de variáveis de estado é, em geral, igual a ordem da equação diferencial que descreve o comportamento do sistema.
• Entretanto, pode-se também utilizar na representação em espaço de estados um número de variáveis de estado maior do que o mínimo necessário
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Modelagem no Domínio do Tempo• Conversão da representação em função de
transferência para o espaço de estados– Selecionar um conjunto de variáveis de estado de
modo que cada variável seja a derivada da variável subseqüente (variáveis de fase)
– Dada uma equação diferencial na forma
uma forma conveniente de selecionar as variáveis consistem em definir a saída y(t) e as (n-1) derivadas como variáveis de estado (serão chamadas de variáveis de fase)
1
1 1 0 01
n n
nn n
d y t d y t dy ta a a y t b u t
dt dt dt
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Modelagem no Domínio do Tempo
1
2
2
3 2
1
1
n
n n
x ydy t
xdtd yxdt
d yxdt
1
2
2 2
3
3 3
n
n n
dy tx
dtd y t
xdtd yxdt
d yxdt
Derivando ambos os lados
1 2
2 3
1
0 0 1 1 2 1
n n
n n n
x xx x
x xx b u t a x a x a x
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Modelagem no Domínio do Tempo
que na forma matricial pode ser escrita como
e a saída y pode ser escrita na forma matricial por
Continuação
1
2
3
1
1 0 0 0 0
n
n
xxx
y
xx
1 1
2 2
3 3
1 1
0 1 2 3 4 5 1 0
0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0n n
n n n
x xx xx x
u
x xx a a a a a a a x b
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Exercício: Determinar a representação no espaço de estados da seguinte função de transferência
• Exercício: Determinar a representação no espaço de estados da seguinte função de transferência
3 2
249 26 24
C sR s s s s
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Modelagem no Domínio do Tempo
• Conversão da representação no espaço de estados para função de transferência– Dadas as equações de estados e de saída
abaixo, determina-se inicialmente a transformada de Laplace de cada equação
x Ax Buy = Cx +Du Transformada de Laplace
s s s s
s s s
X AX BU
Y = CX +DU
1s s s s s s I A X BU X I A BU
1 1s s s s s s s Y = C I A BU +DU Y = C I A B D U
1s
ss
Y
= C I A B DU
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Resposta no Domínio do Tempo
• Inicialmente deve-se estudar a resposta transitória de sistemas físicos– Análise de pólos (raízes do denominador) e
zeros (raízes do numerador)• Determinam as características da resposta
temporal transitória do sistema– Serão analisados sistemas de primeira e de segunda
ordem
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Resposta no Domínio do Tempo
• Motivação: – efeito dos pólos e
zeros de um sistema de primeira ordem sobre a resposta transitória (natural) e forçada
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Resposta no Domínio do Tempo
• Um pólo real produz o efeito de decaimento exponencial na resposta transitória
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Resposta no Domínio do Tempo
• Sistemas de primeira ordem
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Resposta no Domínio do Tempo
– Parâmetros• Constante de tempo
– É o tempo 1/a, necessário para atingir exp(-1) ≈ 63% do valor final de regime permanente
• Tempo de subida Tr
– É o tempo gasto pela resposta do sistema entre 10% e 90% do valor final
• Tempo de assentamento Ts
– É o tempo necessário para que a resposta do sistema permaneça em torno de 2% do valor final de regime permanente
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Resposta no Domínio do Tempo
• Exercício: para o sistema indicado na figura abaixo, determine a resposta transitória (natural) e a forçada (de regime permanente), dada uma entrada em degrau. Na seqüência, calcule a constante de tempo, Tr e Ts
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Resposta no Domínio do Tempo
• Sistemas de segunda ordem– A forma da resposta transitória dependerá da
localização dos pólos e zeros no plano “s” (plano complexo ou de Argand-Gauss)
= jω
= σ
σ + j ω
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Resposta no Domínio do Tempo• Resposta superamortecida
– Dois pólos reais puros em -σ1 e -σ2– Reposta natural da forma
• Resposta subamortecida– Dois pólos complexos em -σd ± jωd– Resposta natural da forma
• Resposta sem amortecimento– Dois pólos imaginários puros em ± jω1– Resposta natural na forma
• Resposta criticamente amortecida– Dois pólos reais e iguais a -σ1– Resposta natural na forma
1 21 2
t tc t k e k e
cosd tdc t Ae t
1cosc t A t
1 11 2
t tc t k e k te
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Resposta no Domínio do Tempo
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Resposta no Domínio do Tempo
• Especificações quantitativas de sistemas de segunda ordem– Freqüência natural ωn
• É a freqüência de oscilação do sistema – Relação de amortecimento ζ
• ζ = freqüência exponencial de decaimento |σ| / freqüência natural ωn
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Resposta no Domínio do Tempo
• A forma geral da função de transferência de segunda ordem pode ser escrita como
cujas raízes do denominador (pólos) são
2
2 22n
n n
H ss s
2 2
21,2
2 2 41
2n n n
n ns
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Resposta no Domínio do Tempo
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Resposta no Domínio do Tempo
• Para o sistema subamortecido, define-se:– Instante de pico Tp
• Primeiro valor de pico (máximo)– Ultrapassagem porcentual (%UP)
• O quanto (porcentual) o valor de pico ultrapassa o valor de regime estacionário
– Tempo de assentamento• Tempo necessário para que as oscilações do
regime transitório permaneçam no interior de uma faixa de valores de ±2% em torno do valor de estado estacionário
21p
n
T
max% 100final
final
c cUP
c
2ln 0,02 1s
n
T
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Resposta no Domínio do Tempo
– Tempo de subida Tr
• Intervalo de tempo da forma de onda da resposta do sistema gasto entre 0,1 e 0,9 da amplitude final de regime estacionário
• Resumindo
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Resposta no Domínio do Tempo
• Exemplo: efeito da localização dos pólos sobre a resposta transitória de sistemas subamortecidos
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Resposta no Domínio do Tempo
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Resposta no Domínio do Tempo
• Resposta do sistema com pólos adicionais– No caso de um sistema com dois pólos
complexos e um real (no semi-plano “s” negativo), pode-se desprezar o efeito do pólo real quando o mesmo se encontra mais de 5 vezes distante do pólo dominante (convencionado arbitrariamente)
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Resposta no Domínio do Tempo
Caso 1:15r d
Caso 2:
Caso 3:
15r d
1r
2 2cosn rtn d tLaplace
d drn d
B s CA DC s c t Au t e B t Csen t Des ss
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Resposta no Domínio do Tempo
• Resposta de sistema com zeros– Podem resultar no cancelamento de pólos,
caso estejam muito próximos– Podem resultar em uma simples mudança de
amplitude na resposta, caso o zero esteja bastante distante dos pólos (à esquerda)
b a c as a b c c bA BT s
s b s c s b s c s b s c
1 1b c c b aT s a
s b s c s b s c
a b e a c sendo
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Resposta no Domínio do Tempo