UDESC – UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

Lista de CVE

 

1. Calcule   𝑥 + 𝑦 𝑑𝑠!  onde  C  é  o  segmento  de  reta  𝑥 = 𝑡, 𝑦 = 1 − 𝑡  𝑒  𝑧 = 0  de  (0,1,0)  a  (1,0,0).  

R:   2    

2. Calcule   𝑥𝑦 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑠!  ao  longo  de  𝑟 𝑡 = 2𝑡𝚤 + 𝑡𝚥 + 2 − 2𝑡 𝑘,    0 ≤ 𝑡 ≤ 1.  

R:  13 2    3. Encontre  a  integral  de  linha  de  𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧  sobre  o  segmento  de  reta  de  (1,2,3)  a  (0,-­‐1,1).  R:  3 14    

4. Calcule  a  integral   2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑠!  onde  C  é  o  segmento  de  reta  que  liga  A(1,2,3)  e  B(2,0,1).  

R:12    

5. Encontre   2𝑥𝑦 𝑑𝑠! ,  onde  C  é  o  arco  da  circunferência  𝑥! + 𝑦! = 4  de  (2,0)  a  (1, 3)  R:  6    

6. 3y − z ds!  onde  C  é  o  arco  da  parábola  z = y!e  x = 1  de  A(1,0,0)  a  (1,2,4).  

R:  !!17 17 − 1  

 

7. y ds!  ,  onde  C  é  a  curva  dada  por  y = x!  de  (-­‐1,-­‐1)  a  (1,1)  

R:   !!"

10 10 − 1  

 

8.   x + y + z ds!  onde  C  é  o  quadrado  de  vértices  (1,0,1),  (1,1,1),  (0,1,1)  e  (0,0,1)  

R:  8    

9. Calcular  o  trabalho  realizado  pela  força  𝑓 = !!!!

, !!!!

 para  deslocar  uma  partícula  em  linha  reta  do  ponto  P(3,4)  até  o  ponto            

Q(-­‐1,0).  

R:  𝑙𝑛 335  

 

10.  Calcule  a  integral  de  linha  de  𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥!𝚤 + 𝑥𝑦𝚥  ao  longo  de  𝑟 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝚤 + 2𝑠𝑒𝑛𝑡𝚥,  0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.  R:  0    

11.  Calcule  o  trabalho  realizado  pela  força  𝑓  na  partícula  que  se  move  ao  longo  de  C:  

a) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦𝚤 + 𝑥!𝚥,    C:  𝑥 = 𝑦!  de  (0,0)  até  (1,1)  R:  3 5  

b) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦𝚤 + 𝑦𝑧𝚥 + 𝑥𝑧𝑘,  C:  𝑟 𝑡 = 𝑡𝚤 + 𝑡!𝚥 + 𝑡!𝑘,    0 ≤ 𝑡 ≤ 1  R:  27 28    

12. Calcule     xydx + x + y dy!  ao  longo  da  curva  y = x!  de  (-­‐1,1)  a  (2,4).  

R:  69 4    

13. Encontre  o  trabalho    realizado  por  uma  força  𝑓 = (𝑦 − 𝑥!, 𝑧 − 𝑦!, 𝑥 − 𝑧!)  sobe  a  curva  𝑟 𝑡 = (𝑡, 𝑡!, 𝑡!)    0 ≤ 𝑡 ≤ 1  R:  29 60  

 

14. O  campo  de  velocidade  de  um  fluido  é  𝑓 = (𝑥, 𝑧, 𝑦).  Encontre  o  escoamento  ao  longo  da  hélice  𝑟 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡)  0 ≤ 𝑡 ≤ !!  

R:  !!!!  

 

15. Encontre  a  circulação  do  campo  𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 − 𝑦)𝚤 + 𝑥𝚥  ao  longo  da  circunferência  𝑟 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡)  0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋  R:  2𝜋    

16. Encontre  a  circulação  dos  campos  (a)  𝑓! = (𝑥, 𝑦)  e  (b)  𝑓! = (−𝑦, 𝑥)  ao  longo  da  elipse  𝑟 𝑡 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 4𝑠𝑒𝑛𝑡),  0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋  R:  0  𝑒  8𝜋    

17. Calcule   x 𝑑y!  ,  onde  C  é  o  segmento  de  reta  x = 2y − 1  ,  do  ponto  A(-­‐3,-­‐1)  ao  ponto  B(1,1).  

R:  5 2    

18. Calcular  a  integral  do  campo  vetorial    𝑓 = (−𝑦, 𝑥)  ao  longo  dos  seguintes  caminhos  fechados,  no  sentido  anti  horário:  a) a  elipse  𝑥! + 36𝑦! = 36  b) o  triângulo  de  vértices  (1,1),  (-­‐1,1)  e  (0,-­‐1).  R:  12𝜋  e  4    19. Mostre  que  as  integrais  a  seguir  são  independentes  do  caminho  e  determine  seus  valores:  

a) 3𝑦𝑑𝑥 + 3𝑥𝑑𝑦(!,!)(!,!)  

b) 2𝑥𝑒!𝑑𝑥 + 𝑥!(!,!)(!,!) 𝑒!𝑑𝑦  

c) 2𝑥𝑦!𝑑𝑥 + 3𝑦!(!!,!)(!,!!) 𝑥!𝑑𝑦  

R:  a)  -­‐6,  b)    9𝑒!,  c)  32    

20. Mostre  que  a  integral     yzdx + xzdy + y𝑥!𝑑𝑧!  é  dependente  do  caminho.  

 

21. Encontre  uma  função  não  nula  h  para  a  qual  o  campo  vetorial  f = h(x)(xseny + ycosy)ı + h(x)(xcosy − yseny)ȷ  é  conservativo.  R:  ce!    

22. Dada  a  integral  de  linha     𝑦!! 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦  ,  pede-­‐se:  a) Mostre  que  a  integral  é  independente  do  caminho.  b) Calcule  a  integral  ao  longo  do  segmento  de  reta  (-­‐1,2)  a  (1,3)  usando  a  parametrização  de  C.  

c) Calcule  a  integral     𝑦!(!,!)(!!,!) 𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦  usando  os  conceitos  de  integrais  de  linha  independente  do  caminho  e  confirme  que  o  

valor  é  o  mesmo  obtido  em  b.  R:  13  

 

23. Seja  𝑓 = ∇(𝑥!𝑦!)  e  seja  C  o  caminho  no  plano  xy  de  (-­‐1,1)  a  (1,1)  que  consiste  no  segmento  de  reta  de  (-­‐1,1)  a  (0,0)  seguido  pelo  

segmento  de  reta  de  (0,0)  a  (1,1).  Calcule   𝑓.𝑑𝑟!  de  duas  formas:  a)    Encontre  parametrizações  para  os  segmentos  que  formam  C  e  calcule  a  integral.  

b) Use  u = 𝑥!𝑦!  como  função  potencial  de  𝑓  R:  2    

24. Pediram  para  você  encontrar  o  caminho  ao  longo  do  qual  um  campo  de  força  𝑓  realizará  o  menor  trabalho  para  mover  uma  

partícula  entre  dois  locais.  Cálculos  rápidos  de  sua  parte  mostram  que  𝑓  é  conservativo.  Como  você  deve  responder?  Justifique  a  sua  resposta.  R:  Não  importa  qual  caminho  você  use.  O  trabalho  será  o  mesmo  sobre  qualquer  caminho  porque  o  campo  é  conservativo.  

 

25. Calcular   𝑓.𝑑𝑟!  onde  𝑓 = !!!!!!

, !!!!!!!

 ao  longo  dos  caminhos:  

a) circunferência  de  centro  em  (4,4)  e  raio  2,  no  sentido  anti-­‐horário.  b) Quadrado  de  vértices  A(1,0),  B(2,0),  C(1,-­‐1)  e  D(2,-­‐1)  no  sentido  anti-­‐horário.  

R:  a)  0  e  b)  0    

26. Determinar  as  seguintes  integrais  ao  longo  dos  caminhos  fechados:  a) 2𝑥𝑦 + 4 𝑑𝑥 + (𝑥! + 𝑧! 𝑑𝑦 + 2𝑧𝑦𝑑𝑧  ;  𝑟 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡,𝜋)  0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋  b) 𝑥𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 + 4𝑧𝑑𝑧  ;  𝑟 𝑡 = (𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡,𝜋)  0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋  R:  a)  0    b)  –  𝜋  

 27. Calcule  as  integrais  de  linha  dadas,  usando  o  Teorema  de  Green:  a) 𝑦!𝑑𝑥 + 𝑥!𝑑𝑦,  onde  C  é  o  quadrado  de  vértices  (0,0),  (1,0),  (1,1)  e  (0,1)  orientada  no  sentido  anti-­‐horário.  b) 3𝑥𝑦𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦𝑑𝑦,  onde  C  é  o  retângulo  limitado  por  x=-­‐2,  x=4,  y=1  e  y=2.  c) 𝑥𝑦𝑑𝑦 − 𝑦!𝑑𝑥,  onde  C  é  o  quadrado  cortado  do  primeiro  quadrante  pelas  retas  x=1  e  y=1.  

R:  a)  0    b)  0    c)  3 2    

28. Encontre  a  circulação  no  sentido  anti-­‐horário  para  o  campo  𝑓  e  a  curva  C:  a) 𝑓 = (𝑥 − 𝑦)𝚤 + (𝑦 − 𝑥)𝚥  ;  C  é  o  quadrado  limitado  por  x=0,  x=1,  y=0  e  y=1.  

b) 𝑓 = (𝑦! − 𝑥!)𝚤 + (𝑥! + 𝑦!)𝚥  ;  C  é  o  triângulo  limitado  por  y=0,  x=3  e  y=x.  𝑅:  a)  -­‐2    b)  9  

 

29. Encontre  a  circulação  no  sentido  anti-­‐horário  do  campo  𝑓 = 𝑥𝑦𝚤 + 𝑦!𝚥  da  região  limitada  pelas  curvas  𝑦 = 𝑥!  e  𝑦 = 𝑥  no  primeiro  quadrante.  

R:  −1 12    

30. Encontre  o  trabalho  realizado  por  𝑓 = 2𝑥𝑦!𝚤 + 4𝑥!𝑦!𝚥  para  mover  uma  partícula  no  sentido  anti-­‐horário  ao  redor  da  fronteira  da  região  no  primeiro  quadrante  limitada  pelo  eixo  x,  pela  reta  x=1  e  pela  curva  𝑦 = 𝑥!.  R:  2 33  

 31. Aplique  o  Teorema  de  Green  para  calcular  a  integral   𝑦!𝑑𝑥 + 𝑥!𝑑𝑦  dada  C:  o  triângulo  limitado  por  x=0,  𝑦 + 𝑥 = 1  e  y=0.  R:  0  

 32. Use  a  fórmula  da  área  do  Teorema  de  Green  para  encontrar  a  área  da  circunferência    𝑟 𝑡 = 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑡𝚤 + 𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡𝚥,  0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.  R:  𝑎!𝜋  

 33. Usando  o  Teorema  de  Green,  Calcule  a  integral   𝑦𝑥!𝑑𝑥 + (𝑦 + 𝑥𝑦!)𝑑𝑦,  onde  C  é  a  fronteira  da  região  compreendida  por  𝑦 = 𝑥!  e    𝑥 = 𝑦!.  R:  0  

 

34. Calcular  a  área  delimitada  pela  elipse  !!

!+ !!

!= 1.  

 R:  6𝜋    35. Seja  S  uma  superfície  descrita  pela  equação  𝑟 𝑢, 𝑣 = (𝑢  𝑐𝑜𝑠𝑣, 2𝑢!,𝑢  𝑠𝑒𝑛𝑣),  onde  0 ≤ 𝑢 ≤ 2  e  0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋.  

a) Encontrar  as  curvas  coordenadas  no  ponto  𝑃 !!, 2, !

!  e  representá-­‐las  graficamente.  

b) Determinar  os  vetores  !!!",    !!!"  e  !!

!"× !!!"  no  ponto  𝑃  e  representá-­‐los  graficamente.  

R:  a)   !!𝑢, 2𝑢!, !

!𝑢 , 0 ≤ 𝑢 ≤ 2    𝑒     𝑐𝑜𝑠𝑣, 2, 𝑠𝑒𝑛𝑣 , 0 ≤ 𝑣 ≤ 2𝜋      b)   !

!, 4, !

!, − !

!, 0, !

!, 2 2,−1, 2 2  

 36. Dada  a  superfície  parametrizada  𝑟 𝑢, 𝑣 = (𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣,𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣,−2𝑢!)  e  o  ponto  dado  por  𝑃 1,1 − 4 .  pede-­‐se:  a) Determine  a  equação  da  reta  normal.  b) Determine  a  equação  do  plano  tangente  à  superfície.    R:  a)   1 + 4 2𝑡, 1 + 4 2𝑡,−4 + 2𝑡      b)  4𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 − 4 = 0          

37. Dada  a  superfície  S  representada  por  𝑟 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝚤 + 𝑦𝚥 + 𝑧(𝑥, 𝑦)𝑘,  pede-­‐se:  

a)  Mostre  que  a  integral  que  define  a  área  A(s)  é  dada  por:   1 + !"!"

!+ !"

!"

!

! 𝑑𝑥𝑑𝑦.  

b)  Encontre  a  área  da  superfície  do  plano  2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 16  interceptado  por  𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 = 2  e  𝑦 = 3,  usando  a  integral  do  item  a).  

R:  b)  9  u.a.  

38. Calcular   𝑥𝑦𝑧  𝑑𝑆! ,  sendo  𝑆  a  superfície  plana  3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 12,  delimitada  pelos  planos    𝑦 = 0, 𝑦 = 2,    𝑥 = 1  e  𝑥 = 0.  

R:  !! !"!