TX Digital

Notas de AulaEE089 - Transmisso Digital27 de maro de 2008

Sumrio

1 Introduo1.1 1.2 1.3 Analgico versus Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pr-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Relaes entre as Transformadas: Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 3 4 4 6

2 Modulao em Banda Base2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Princpios Bsicos de Modulao . . . . . . Modulao por Amplitude de Pulso . . . . . 2.2.1 Um Primeiro Estudo Sobre Alfabetos Critrio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Exemplos e Aplicaes . . . . . . . . Diagrama de Olho . . . . . . . . . . . . . . Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1112 15 17 19 23 25 27

3 Receptores de Sinais em Banda Base3.1 Receptores de Mnima Distncia . . . . . . . . . . . 3.1.1 Uma Intuio por Trs da Distncia Mnima 3.1.2 Correladores e Distncia Mnima . . . . . . O Espao de Sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3233 34 35 36

3.2

SUMRIO 3.3 Filtros de Recepo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Filtro Casado . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Relao entre o Filtro Casado e o Correlador Recepo de mltiplos pulsos . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Raz de Cosseno Levantado . . . . . . . . . 3.4.2 Detectores de Distncia Mnima . . . . . . . 3.4.3 Rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Resumo: Um Receptor Prtico . . . . . . . O porqu da distncia mnima . . . . . . . . . . . . Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii 39 39 41 42 43 43 46 47 47 50

3.4

3.5 3.6

4 Transmisso e Recepo em Banda Passante4.1 Transmisso em Fase e em Quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Recepo em Fase e Quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Transmisso e Recepo de Mltiplos Smbolos . . . . . . . . O Correlador em Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Estatsticas do Rudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espao de Sinais 2-D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representao em Banda Base de um Sinal em Banda Passante . . . 4.4.1 De Banda Passante para Banda Base . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 De Banda Base para Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Filtragem em Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalente em Banda Base da Transmisso em Fase e em Quadratura 4.5.1 Equivalente em Banda Base do Receptor em Banda Passante . 4.5.2 Equivalente em Banda Base do Sistema de Transmisso . . . . Constelaes Alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5253 55 56 59 60 62 64 65 67 68 69 70 72 74 75

4.2 4.3 4.4

4.5

4.6 4.7

5 Anlise de Desempenho5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 A Funo Q . . . . . . . . . . . . Desempenho de N -PAM . . . . . 5.2.1 Distncia Mnima, Energia Desempenho de N -QAM . . . . . Mapeamento de Gray . . . . . . . Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8081 82 85 86 88 90

SUMRIO

iv

6 Equalizao6.1 6.2 Filtros de Recepo e Modelo Discreto do Canal . . . . . . . Equalizadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Equalizao de Quadrados Mnimos . . . . . . . . . . 6.2.2 Clculo do Equalizador MMSE em Funo do Canal . 6.2.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equalizador com Realimentao de Deciso . . . . . . . . . . 6.4.1 Os Coecientes do DFE . . . . . . . . . . . . . . . . Equalizadores Adaptativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 O Algoritmo LMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 A Seqncia de Treinamento . . . . . . . . . . . . . . Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9192 95 98 103 104 105 106 108 110 111 113 114

6.3 6.4 6.5

6.6

7 Sincronizao7.1 7.2 7.3 Caracterizao do sincronismo . . . . . . . . . Modelo matemtico para o sincronismo . . . . Sincronismo de freqncia e fase da portadora 7.3.1 Tcnicas de malha aberta . . . . . . . 7.3.2 Tcnicas de malha fechada . . . . . . . Sincronismo do instante de amostragem . . . . 7.4.1 Correo do instante de amostragem . 7.4.2 Estimao do instante de amostragem 7.4.3 Tcnicas de malha fechada . . . . . . . 7.4.4 Tcnicas de malha aberta . . . . . . . Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117118 119 120 121 124 131 131 132 132 136 137 139

7.4

7.5 7.6

A Reviso de Processos EstocsticosA.1 Probabilidade de Eventos, Independncia A.2 Denio Axiomtica de Probabilidade . A.2.1 Teorema da Probabilidade Total . A.3 Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . A.4 Funo Distribuio de Probabilidade . . A.4.1 Propriedades da Distribuio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141143 144 146 147 148 150

SUMRIO A.4.2 Distribuio Conjunta . . . . . . . . . . . . A.5 Funo Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . A.6 Mdias de Variveis Aleatrias . . . . . . . . . . . . A.6.1 Variveis Aleatrias Discretas . . . . . . . . A.6.2 Variveis Aleatrias Contnuas . . . . . . . . A.7 Variveis Aleatrias Gaussianas . . . . . . . . . . . A.7.1 Vrias Variveis Conjuntamente Gaussianas A.8 Processos Estocsticos . . . . . . . . . . . . . . . . A.9 Mdias de Processos Estocsticos . . . . . . . . . . A.9.1 Processos Estacionrios . . . . . . . . . . . . A.9.2 Mdias Temporais e Ergodicidade . . . . . . A.10 Filtragem de um Processo Estocstico . . . . . . . A.11 Densidade Espectral de Potncia . . . . . . . . . . A.12 Rudo Aditivo Gaussiano Branco . . . . . . . . . . A.13 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v 151 151 153 153 155 157 159 160 162 163 163 165 167 168 170

B Funes como Espaos VetoriaisB.1 Norma, Distncia e Ortogonalidade B.2 Desigualdade de Cauchy-Schwarz . B.3 Subespaos e Bases Ortonormais . . B.4 Projees Ortogonais . . . . . . . . Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172173 173 175 176 177

CAPTULO

1

Introduo

A matria transmisso digital se preocupa com a transmisso de bits de um ponto a outro. Bits aparecem em vrias formas nas aplicaes. Eles podem ser representados por:

Orientao do campo magntico em um dado ponto de um disco rgido. Por exemplo, uma orientao corresponde ao bit 1, e a orientao oposta corresponde a 0. Reetividade em um dado ponto na superfcie de um CD ou DVD. Por exemplo, se um determinado ponto reete o laser de leitura, ele representa um bit 1. Do contrrio, ele representa 0. Voltagem na sada de um transistor. Por exemplo, 5V corresponde ao bit 1, 0V corresponde a 0.Devido s vrias formas que um bit pode assumir, nesse curso faremos uma abstrao muito comum e falaremos da transmisso de uma seqncia de bits, sem nos preocuparmos com a representao fsica original desta seqncia. O interesse nessa abstrao que, com ela, podemos estabelecer uma teoria geral para o projeto de sistemas de transmisso digital, nos desligando da forma especca que o bit assume. A transmisso desses bits se d atravs de um canal. Este pode ser o par tranado que liga a sua casa central telefnica no caso de um modem discado ou DSL; o 1

CAPTULO 1. INTRODUO

2

cabo coaxial da provedora de TV a cabo no caso de servios de internet em banda larga via cabo; os elementos de gravao e leitura de memrias como o disco rgido, CDs e DVDs; o canal de rdio (ar), no caso de transmisso de celular digital, TV digital, rdio digital e satlite. A entrada desses canais tem que ser um sinal eltrico contnuo no tempo, ao passo que a seqncia de bits um sinal discreto. De fato, voc no pode colocar um bit, que uma abstrao, em um cabo coaxial. O processo de transformar uma seqncia de bits em um sinal analgico adequado s exigncias do canal, conhecido como modulao, um dos principais tpicos desse curso. Todos os canais introduzem distores ao sinal transmitido. Cabe ao receptor a tarefa de recuperar os bits transmitidos, compensando essas distores. Assim, o outro tpico principal desse curso o estudo de tcnicas para combater essas distores, permitindo a recuperao dos bits transmitidos no receptor.

1.1 Analgico versus DigitalEm vrios exemplos prticos, trabalhamos com grandezas inerentemente binrias, tais como os dados em uma memria. Entretanto, sistemas analgicos, como voz e imagens, so cada vez mais transmitidos digitalmente. Estes sinais so contnuos tanto no tempo quanto em amplitude. Para serem transmitidos digitalmente, os sinais analgicos devem ser amostrados e quantizados periodicamente por um conversor analgico/digital (A/D), de forma que agora eles assumem valores discretos, em instantes de tempo discretos. De acordo com o teorema da amostragem, o processo de amostrar o sinal analgico no acarreta perdas, desde que as amostras assumam um valor contnuo em amplitude, e que elas tenham uma freqncia mnima correspondente ao dobro da faixa de freqncias do sinal de interesse. Entretanto, o processo de quantizao (a transformao do valor contnuo da amostra em um valor digital) inevitavelmente introduz uma perda. Mais ainda, a converso de analgico para digital tem um custo, por necessitar de um conversor A/D. Assim, natural que se pergunte porque usar transmisso digital nesses casos. So muitas as respostas a essa pergunta. De um ponto de vista mais prtico, os custos do equipamentos extras necessrios para a transmisso digital, tais como o conversor A/D e o sincronizador (que, como veremos, essencial em transmisso digital), esto diminuindo rapidamente. De um ponto de vista terico, a resposta foi

CAPTULO 1. INTRODUO

3

dada em 1948 por Claude Shannon, que, em um trabalho fundamental, inaugurou o campo da teoria da informao e possibilitou a emergncia das comunicaes digitais. Em primeiro lugar, seqncias de bits podem ser comprimidas. Por exmplo, nem tods as ltras so necssras pra que vc entnda ess txto. De fato, Shannon estabeleceu os limites de quanto se pode comprimir uma seqncia de bits, quer se aceitem perdas, quer no. O formato zip um exemplo de compresso sem perdas, enquanto que o MP3 um exemplo de compresso com perdas. Esse processo de compresso chamado de codicao de fonte. Em segundo lugar, a transmisso digital robusta a distores. A intuio por trs deste resultado simples. Se eu posso transmitir 0V ou 1V, mas eu recebo 1.5V, so grandes as chances de que eu tenha transmitido 1V. Assim, a distoro que levou o sinal de 1V para 1.5V pode ser corrigida. Mais ainda, possvel introduzir, de maneira inteligente, redundncia ao sinal transmitido, de forma a aumentar essa robustez. Considere, por exemplo, os bits de paridade. Digamos que a cada 7 bits eu introduza um oitavo, de forma que esses 8 bits sempre tenham um nmero par de 1s. Se eu recebo um grupo de 8 bits com um nmero mpar de 1s, eu sei que um erro foi cometido, e portanto eu posso pedir a retransmisso do grupo. Esse processo de introduo inteligente de redundncia chamado de codicao de canal. Shannon foi muito alm, e provou que cada canal tem uma capacidade C de transmitir informao. Se a razo entre o nmero de bits de informao e o nmero de bits transmitidos (7/8 no exemplo anterior) for menor que C , ento existe um esquema de introduo de redundncia (um cdigo de canal) tal que, a medida que o nmero de bits de informao vai a innito, a probabilidade de erro cai a zero. Em outras palavras, possvel recuperar tudo o que foi transmitido quase que sem erros! E mesmo que eu transmitisse um sinal analgico, eu no poderia transmitir mais informao do que a possibilitada pela transmisso digital. Outra vantagem de comunicaes digitais, que tambm foi estudada por Shannon, que elas possibilitam o uso de estratgias de criptograa ecientes. Para um estudo dos trabalhos de Shannon, recomendamos o curso de teoria da informao.

1.2 ObjetivosO objetivo desse curso tratar da transmisso de bits. Cobriremos os seguintes tpicos:

CAPTULO 1. INTRODUO

4

Modulao em banda bsica, para canais cuja resposta em freqncia admite sinais de baixa freqncia, tais como os pares tranados. Modulao em banda passante, para sistemas onde os sinais devem ter componentes de freqncia elevada, tais como sistemas celulares. Anlise do desempenho das tcnicas de modulao estudadas. Efeitos das duas principais distores introduzidas pelos canais de comunicaes: o rudo aditivo e a interferncia entre smbolos. Caso haja tempo, cobriremos outros tpicos, tais como sincronizao, espalhamento espectral, e codicao.Espera-se que, ao nal do curso, o aluno saiba projetar e entender transmissores e receptores de sistemas de transmisso digital simples.

1.3 Pr-requisitosNeste curso, sero usados alguns conceitos de processos estocsticos, que sero brevemente revisados. Basicamente, usaremos os conceitos de variveis aleatrias discretas e contnuas, mdia e varincia. Para processos estocsticos, usaremos os conceitos de funes de correlao e densidade espectral de potncia. Finalmente, usaremos alguns conceitos de lgebra linear, como projees ortogonais. Sero tambm necessrios alguns conhecimentos dos vrios tipos de transformadas de Fourier, bem como a relao entre eles. Por sua importncia, esses conceitos sero revistos a seguir.

1.3.1 TransformadasExistem basicamente quatro tipos de transformadas de Fourier, uma para cada tipo de sinal temporal. Essas transformadas so resumidas a seguir:

Srie de Fourier (FS, do ingls Fourier Series ). A FS denida para sinais que so contnuos e peridicos no tempo, com perodo T0 = 1/f0 . A transformada

CAPTULO 1. INTRODUO

5

resultante discreta e aperidica em freqncia. As transformadas direta e inversa so dadas por

X[k] = f0

x(t) exp (j2kf0 t) dt x(t) =

X[k] exp (j2kf0 t) .(1.1)

Transformada de Fourier (FT, do ingls Fourier Transform ). A FT denida para sinais que so contnuos e aperidicos no tempo. A transformada resultante contnua e aperidica em freqncia. As transformadas direta e inversa so dadas por X(f ) = x(t) exp (j2f t) dt x(t) = X(f ) exp (j2f t) df.(1.2)

Transformada de Fourier a tempo discreto (DTFT, do ingls Discrete Time Fourier Transform ). A DTFT denida para sinais que so discretos e aperidicos no tempo. A transformada resultante contnua e peridica em freqncia, com perodo 1. As transformadas direta e inversa so dadas por X(f ) = x[n] exp (j2f n) x[n] =

X(f ) exp (j2f n) df. (1.3)

Em vrios cursos, vemos a transformada em funo de , no em funo de f . Nesse caso, a DTFT peridica com perodo 2 .

Transformada discreta de Fourier (DFT, do ingls Discrete Fourier Transform ). A DFT denida para sinais que so discretos e peridicos no tempo, com perodo N . A transformada resultante discreta e peridica em freqncia, tambm com perodo N . As transformadas direta e inversa so dadas por X[k] =

X[k] exp (jkn2/N ) x[n] =

1 N

X[k] exp (jkn2/N ) .

(1.4)

Nas denies de transformada, indica soma em qualquer perodo de durao N . O perodo escolhido irrelevante, pois as funes somadas possuem perodo N . Da mesma forma, indica a integral em qualquer perodo de durao 1. O perodo escolhido tambm irrelevante, pois as funes integradas possuem perodo 1.

CAPTULO 1. INTRODUO

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interessante notar uma certa dualidade entre a FS e a DTFT. De fato, suas frmulas so muito parecidas, mas invertendo-se os papis dos sinais no tempo e na freqncia. Ainda dentro dessa dualidade, interessante notar que sinais peridicos no tempo levam e a sinais discretos em freqncia e vice-versa: sinais discretos no tempo levam a sinais peridicos em freqncia.

1.3.2 Relaes entre as Transformadas: AmostragemSe uma seqncia discreta obtida atravs da amostragem de um sinal contnuo, podemos relacionar suas transformadas de Fourier atravs dos teoremas da amostragem. O objetivo dessa seo revisar essas relaes.

Sinais de durao innitaSuponha que o sinal a tempo discreto x[n] seja obtido a partir da amostragem de x(t), ou seja, x[n] = x(nTa ), onde Ta = 1/fa o perodo de amostragem. Como relacionar a DTFT de x[n], Xd (f ), com a FT de x(t), X(f )? Para isso, usamos uma funo auxiliar, obtida passando x(t) por um amostrador consistindo de um trem de impulsos. O resultado uma espcie de sinal amostrado mas a tempo contnuo,

xa (t) =n=

x(t)(t nTa ).

(1.5)

Esse sinal no existe na prtica, e nenhum amostrador usa trens de impulsos. Entretanto, ele serve para encontrar a relao entre a FT e a DTFT de interesse, como segue. O sinal xa (t), por ser a tempo contnuo, possui transformada de Fourier, Xa (f ). O teorema da amostragem diz que

Xa (f ) =

1 Ta

X fk

k Ta

.

(1.6)

Por outro lado, para um n qualquer, x(t)(t nTa ) = x(nTa )(t nTa ) = x[n](t nTa ). Temos ento que a FT de x(t)(t nTa ) x[n] exp(j2f nTa ). Finalmente, usando a linearidade da FT e a denio de xa (t) em (1.5), podemos escrever

Xa (f ) =n=

x[n] exp(j2f nTa ).

(1.7)

CAPTULO 1. INTRODUO

7

Note que (1.7) muito semelhante denio da DTFT de x[n]. De fato, podemos escrever que f Xd (f ) = Xa . (1.8) Ta Finalmente, usando esta observao e (1.6), obtemos a relao desejada entre a DTFT de x[n] e a FT de x(t):

Xd (f ) =

1 Ta

Xk

f k Ta

.

(1.9)

Notas: interessante notar que se no houver aliasing, ento temos que, Xd (f ) = 1 X Ta f Ta ,para

1 1 fa /2. A menor freqncia de amostragem que garante a eliminao de aliasing chamada de freqncia de Nyquist.

De (1.6), vemos que Xa (f ) peridico com perodo 1/Ta . De (1.9), vemos que a DTFT Xd (f ) peridica com perodo 1, como desejado para uma DTFT.

Sinais de durao nitaAs relaes obtidas acima so para sinais de durao innita. Revisamos um fato muito importante da teoria de sinais: se um sinal for limitado em freqncia, ele pode ser perfeitamente representado por amostras tomadas com uma freqncia que seja maior ou igual freqncia de Nyquist do sinal. Entretanto, os sinais armazenados em um computador so de durao nita, o que causa algumas complicaes. Nessa seo, revisaremos as relaes entre transformadas de Fourier para esse caso. Considere um sinal x(t), e seja x[n] = x(nTa ) um vetor de tamanho N representando N amostras do sinal x(t), tomadas entre os instante 0 e T com perodo de amostragem Ta . Assim, Ta = T /N 1 . O computador vai trabalhar em cima dessas Nque amostrar x(t) com perodo Ta corresponde a assumir que as freqncias em X(f ) variam entre fa /2 e fa /2, onde fa = 1/Ta .1 Note

CAPTULO 1. INTRODUO

8

amostras, mas para isso necessrio fazer algumas hipteses sobre o que acontece com o sinal fora do intervalo 0 n N 1. Em particular, ele pode assumir que x[n] uma seqncia de durao innita, mas que vale 0 para n < 0 ou n N . Essa hiptese corresponde a assumir que o sinal x(t) tem durao nita, sendo no nulo apenas no intervalo 0 t T . Nesse caso, a seqncia x[n] possuiria uma DTFT. Entretanto, a DTFT contnua em freqncia, e portanto no pode ser manipulada muito convenientemente pelo computador. Uma hiptese mais conveniente assumirmos que x[n] uma seqncia peridica com perodo N , e que as N amostras representam um perodo de x[n]. Nesse caso, podemos calcular a DFT. Essa transformada, por ser discreta tambm em freqncia, pode ser facilmente manipulada pelo computador. Mais ainda, a DFT tambm peridica com perodo N , e portanto pode ser representada por um nmero nito, N , de valores. Talvez mais importante, a DFT pode ser computada por um algoritmo de baixa complexidade computacional, a transformada de Fourier rpida (FFT, do ingls Fast Fourier Transform ). Na seqncia, examinaremos a relao entre a DFT e outras transformadas. Em primeiro lugar, vamos relacionar a DFT do sinal de durao nita x[n] com a DTFT de um sinal tambm discreto no tempo, mas de durao innita. Seja y[n] esse sinal, com DTFT Y (f ). Considere que a DFT de x[n], X[k], seja obtida a partir de N amostras igualmente espaadas em um perodo de Y (f ). Ou seja, X[k] = Y (k/N ), para k = 0, . . . N 1. Note que Y (f ) peridico com perodo 1, e portanto X[k] peridico com perodo N , como desejado. Aplicando um raciocnio semelhante ao teorema da amostragem, possvel mostrar que a DFT inversa de X[k] dada por x[n] = y[n + kN ]. (1.11)k

Ou seja, x[n] dado pela soma de verses y[n] deslocadas no tempo de N . Algo semelhante ocorre no teorema da amostragem original, s que no domnio da freqncia: o espectro do sinal amostrado dado pela soma de cpias do espectro original, deslocadas de fa . Uma conseqncia de (1.11) que x[n] peridico com perodo N . Isso esperado, pois x[n] uma DFT inversa. Entretanto, vemos outra analogia com o teorema da amostragem. No teorema original, uma amostragem no tempo leva a uma periodicidade na freqncia. Aqui, uma amostragem em freqncia leva a uma periodicidade no tempo. Outra conseqncia de (1.11) que s possvel recuperar

CAPTULO 1. INTRODUO

9

y[n] a partir de x[n] se y[n] valer zero para n < 0 e n N 1. Do contrrio, haver sobreposio entre as cpias deslocadas de y[n] em (1.11), de forma semelhante ao problema de aliasing no teorema de amostragem clssico. Vamos agora relacionar a DFT de x[n] com a FT de x(t). Como vimos acima, x[n] pode ser usado para representar um sinal de durao nita. Assumimos, assim, que x(t) tem durao nita, valendo zero para t < 0 e t > T . Nesse caso, podemos escreverT

X(f ) =0

x(t) exp (j2f t) dt.

(1.12)

Podemos tambm aproximar a integral acima como uma soma de Riemann dividindo o intervalo entre 0 e T em N segmentos de largura Ta :N 1

X(f ) n=0

x(nTa ) exp (j2f nTa ) Ta .

(1.13)

Considere agora o clculo X(f ) para f = kfa /N . De certa forma, como se amostrssemos o sinal X(f ), tomando N amostras para f variando entre 0 e fa . Como fa /N = 1/T , temos queN 1

X(k/T ) Tan=0

x(nTa ) exp (j2kn/N ) .

(1.14)

Podemos ento relacionar o lado direito da equao acima com a DFT de x[n], X[k]:

X(k/T ) Ta X[k] .

(1.15)

Em resumo, se amostrarmos o sinal x(t) em um perodo T , a DFT do sinal amostrado, X[k], aproximadamente igual FT do sinal original, X(f ), calculada em f = k/T , vezes Ta . A relao (1.15) apenas uma aproximao, mas vale a pena considerar algumas das hipteses feitas. Alm do fato de aproximarmos uma integral por uma soma, a hiptese de durao nita pode levar a confuses. De fato, considere N = 10 amostras de x(t) = cos(t) entre os instantes 0 e 1. Nesse caso, T = 1 e a DFT calcula X(f ) nas freqncias 0, 1, 2, etc. Entretanto, sabemos que X(f ) deveria possuir apenas um delta em f = 0.5. Ou seja, nunca calculamos X(f ) na freqncia mais importante. Por outro lado, o fato de que X(f ) = 0 para f = 0.5 no quer dizer que X[k] seja sempre nulo, o que pode ser vericado em MATLAB. De fato, X(f ) seria um

CAPTULO 1. INTRODUO

10

delta se o sinal tivesse durao innita. Na realidade, a DFT aproxima a FT do produto entre cos(t) e uma janela retangular entre 0 e 1.

CAPTULO

2

Modulao em Banda Base

Conforme falamos na introduo, a entrada dos canais de comunicaes tem que ser um sinal contnuo. Anal de contas, um bit , para ns, uma abstrao, de forma que no podemos colocar um bit em um cabo telefnico. Neste captulo, discutiremos o processo, chamado de modulao, de transformar bits em sinais contnuos adequados ao canal de transmisso. Restringiremos aqui nossa ateno a canais em banda bsica. A denio destes sistemas no muito clara na literatura, sendo possvel encontrar vrias denies relativamente equivalentes. Em princpio, um canal em banda bsica aceita freqncias prximas ao zero. Uma denio equivalente que um canal em banda bsica aceita uma faixa de freqncias que da mesma ordem de grandeza da sua freqncia central (a mdia entre a maior e a menor freqncia que passam pelo canal). Assim, um modem discado, que transmite aproximadamente entre 100Hz e 3.400Hz, um canal em banda bsica. Por outro lado, o sistema celular, que transmite faixas de freqncia de cerca de 30kHz a uma freqncia de 900MHz, conhecido como um canal em banda passante. Lidaremos com esse tipo de canal no prximo captulo.

11

CAPTULO 2. MODULAO EM BANDA BASE)t(s

12

Figura 2.1: Exemplo de sinal na entrada do canal.

2.1 Princpios Bsicos de ModulaoImagine que queiramos transmitir a seqncia de bits 01101 por um canal. Inspirados em nosso laboratrio de circuitos lgicos, podemos pensar em colocar uma tenso de 0V no canal se o bit a ser transmitido for 0, ou 5V se o bit a ser transmitido for 1. Assim, para a nossa seqncia, o sinal na entrada do canal seria como visto na gura 2.1. Note que, nessa gura, ns transmitimos um bit a cada 0.5s. Obviamente, essa uma soluo que funciona. Entretanto, ela est longe de ser a nica. Considere, por exemplo, as formas de onda mostradas na gura 2.2. Na gura 2.2(a), temos que a distncia entre as formas de onda para 0 e 1 so iguais gura 2.1. Entretanto, a energia transmitida , na mdia, menor na gura 2.2(a) que na gura 2.1. J o sinal na gura 2.2(b) tem a vantagem adicional de no possuir descontinuidades, e portanto ocupar uma faixa mais estreita do que o sinal na gura 2.1. Finalmente, considere o esquema mostrado na gura 2.2(c), onde ns transmitimos dois bits a cada 0,5s. Em outras palavras, usando o esquema na gura 2.2(c) podemos transmitir a uma taxa de bits maior que a possibilitada pelos esquemas anteriores. O processo mostrado nas guras 2.1 e 2.2, onde uma seqncia de bits convertida em formas de onda, chamado de modulao. Mais genericamente, podemos pensar em um modulador como um bloco que, a cada Ts segundos, recebe um grupo de M bits em sua entrada. Para cada possvel combinao desses M bits (existem

). ges(t

5.2

02

15. 1

01

15.0

10

V5

). ges(t

5.2

0

CAPTULO 2. MODULAO EM BANDA BASE

Figura 2.2: Exemplos alternativos de sinais na entrada do canal.). ges(t 5.2 2 5. 1

00

01

V5 .2

2

5. 1

1

5. 0

0

). ges(t

5.2

2

5. 1

1

0

1

1)t(s

V5. 2

0

1

(a)

(c)V 3 V 1 1 5. 0 0 V1 V3

10

10

11)t(s

(b)

V5 .2

1

5. 0

0

0

1

1)t(s

V5. 2

13


14

N = 2M possibilidades), o modulador produz uma forma de onda diferente. Assim, a cada Ts segundos o sistema transmite um dos sinais {si (t)}N 1 . i=0 Note que esse um modulador sem memria, pois o sinal associado a um determinado grupo de M bits no depende de bits anteriores. Existem ainda moduladores com memria, mas esses fogem ao escopo deste curso. As modulaes mostradas nas guras 2.1 e 2.2 so apenas alguns exemplos. As alternativas so, literalmente, innitas. No restante desse curso, buscaremos estabelecer uma estratgia para anlise e comparao entre os esquemas mostrados nas guras anteriores, bem como qualquer outro esquema de modulao. Os parmetros nos quais estaremos interessados so: Faixa de freqncia ocupada pelo sinal transmitido (B ), medido em Hz. Este parmetro de interesse pois nos permite determinar se o sinal transmitido est de acordo com as caractersticas do canal. Se um sinal possui freqncias alm das especicadas pelo canal, duas coisas podem ocorrer. Em primeiro lugar, podemos estar desperdiando energia, tentando transmitir em freqncias para as quais a resposta do canal nula. Outra possibilidade causar interferncia com outros usurios, como pode ocorrer se uma estao de rdio tenta transmitir em freqncias correspondentes a outras estaes. Apesar de no haver exatamente um consenso na literatura, incluiremos na faixa de freqncia apenas aquelas positivas com energia maior do que a metade da maior energia do sinal (tambm conhecida como faixa de freqncia de 3dB). Desempenho do sistemas, medido pela taxa de erro de bits (BER, do ingls bit error rate ), dado como uma probabilidade de erro. Este parmetro mede a qualidade do sistema de transmisso. Energia usada para transmisso de um bit (Eb ). Essa quantia ligada, por exemplo, vida til da bateria de telefones celulares. Claramente, entre dois sistemas com as mesmas caractersticas, devemos escolher o que tem a menor energia de transmisso. Quantidade de informao que uma modulao pode transmitir (Rb ), dada em bits por segundo. Por exemplo, a modulao da gura 2.1 transmite 1 bit a cada 0.5s, ao passo que na gura 2.2(c) temos a transmisso de dois bits a cada 0.5s.


15

Ecincia espectral ( ). Como veremos, para uma dada modulao, podemos aumentar Rb simplesmente aumentando a faixa de freqncia ocupada pelo sinal. Como isso nem sempre interessante ou possvel, gostaramos de comparar modulaes levando em conta Rb e B . Denimos assim a ecincia espectral = Rb /B , dada em bits por segundo por Hz.A comparao entre diferentes esquemas de modulao envolve o tratamento de grandezas aleatrias, tais como o rudo e a seqncia de bits a ser transmitida. Assim, recomendamos que, nesse ponto, o aluno deve fazer uma reviso de alguns conceitos de variveis aleatrias e processos estocsticos.

2.2 Modulao por Amplitude de PulsoA tcnica de modulao em banda bsica mais comum, tanto na teoria quanto na prtica, chamada de modulao por amplitude de pulso (PAM, do ingls pulse amplitude modulation ). Nessa tcnica, a cada grupo de M bits associamos um nmero ai , conhecido como um smbolo. A esta regra (ou funo) que associa grupos de bits a smbolos damos o nome de mapeamento. Obviamente, os smbolos podem assumir N = 2M valores, nmero conhecido como a ordem da modulao. Ao conjunto de todos os smbolos damos o nome de alfabeto ou constelao, que denotaremos por A. Ou seja, A = {ai }N 1 . Em geral, por motivos que caro claros adiante, para i=0 modulao em banda bsica temos que A = {(N 1)d, (N 3)d, . . . (N 1)d}, onde d um parmetro que ajusta a energia transmitida. A esta modulao damos o nome de N -PAM. Para gerar o sinal contnuo a ser transmitido, o modulador PAM simplesmente multiplica uma forma de onda g(t), chamada de pulso conformador (shaping pulse, em ingls), pelo smbolo. Em outras palavras, o sinal transmitido em uma modulao PAM dado por si (t) = ai g(t). Nesse caso, podemos pensar no modulador como consistindo de dois blocos: um que mapeia os M bits em um nmero, outro que gera um pulso g(t) multiplicado por este nmero. A necessidade de gerar apenas uma forma de onda um dos motivos por trs da popularidade de modulaes PAM. Anal de contas, isso pode ser feito com o uso de um nico ltro linear, o que diminui o custo de PAM. Note que transmitimos sempre o mesmo pulso, mas com amplitudes que esto ligadas aos bits que queremos transmitir. Ou seja, a informao de interesse (os bits)


16

Bits

Smbolos

Figura 2.3: Diagrama de um modulador N-PAM. est representada na amplitude dos pulsos, da o nome de modulao por amplitude de pulso. Temos tambm que esse um esquema de modulao bastante genrico, pois permite a livre escolha do pulso de modulao. (Em breve, veremos que essa escolha no to livre assim.) Agora, assuma que queiramos transmitir KM bits. A primeira etapa da modulao gera uma seqncia de nmeros {sk }K1 , onde cada sk A o smbolo k=0 correspondente ao k -simo grupo de M bits. Na segunda etapa da modulao, vamos gerar uma forma de onda para cada um dos sk . A forma de onda para os primeiros M bits ser transmitida no instante 0. Teremos ento a transmisso de s0 g(t). A forma de onda para os M bits seguintes ser transmitida no instante Ts , onde Ts conhecido como o perodo de smbolo. Equivalentemente, Rs = 1/Ts conhecido como a taxa de smbolos, ou, no ingls, baud rate. De qualquer forma, teremos a transmisso de s1 g(t Ts ). Procedendo desta maneira, vamos transmitir a superposio dessas formas de onda. Em outras palavras, o sinal transmitido serK1

s(t) =k=0

sk g(t kTs ).

O diagrama de blocos da modulao N-PAM est mostrado na gura 2.3. Nesta gura, vemos que o pulso conformador est implementado como um ltro. Esta a congurao mais encontrada na prtica, e o ltro chamado ltro conformador de pulso, ou ltro de transmisso. Note, ainda, que o ndice dos bits e dos smbolos no so os mesmos. Isto feito para explicitar o fato de que a cada M bits temos um smbolo. Por exemplo, nas guras 2.1, 2.2(a) e 2.2(c), o pulso g(t) dado por um sinal retangular. J na gura 2.2(b), o pulso um seno, limitado ao intervalo de 0 a Ts . Por outro lado, na gura 2.1 temos que a0 = 0 se o bit a ser transmitido for 0, e a0 = 5 se o bit a ser transmitido for 1. Nas guras 2.2(a) e 2.2(b), temos que a0 = 2.5 se o bit a ser transmitido for 0, e a0 = 2.5 se o bit a ser transmitido for 1. J na gura 2.2(b), temos que a0 = 3 se os bits a serem transmitidos forem 10, a1 = 1 se os bits a serem transmitidos forem 00, a2 = 1 se os bits a serem

k

n

b

Mapeamento

s

g(t)

s(t)

(2.1)


17

transmitidos forem 01, e a3 = 3 se os bits a serem transmitidos forem 11. Neste ponto, j podemos estabelecer alguns parmetros da modulao PAM. Assuma que os bits transmitidos so descorrelacionados. (Como veremos, essa uma hiptese razovel.) Nesse caso, pode-se mostrar1 que a densidade espectral de potncia do sinal transmitido dada por

SS () =

2 x |G()|2 , Ts

(2.2)

2 onde G() a transformada de Fourier de g(t), e x = E |sk |2 . Assim, a caracterstica do sinal transmitido no domnio da freqncia completamente determinada pelo pulso conformador. A taxa de transmisso pode ser calculada se notarmos que transmitimos Rs smbolos a cada segundo, e cada smbolo corresponde a M bits. Assim, Rb = M Rs bits por segundo. A ecincia espectral , portanto, = Rb /B , onde B a faixa de freqncias ocupada por g(t). Finalmente, a energia necessria para a transmisso de um smbolo, denotada por Es , dada por

Es =

Ts 2

Ss () d =

2 x 2

2 |G()|2 d = x

|g(t)|2 dt,

(2.3)

onde a ltima igualdade segue da identidade de Parseval. Como cada smbolo equivale a M bits, temos que a energia necessria para a transmisso de um bit dada por Es Eb = . (2.4) M

2.2.1 Um Primeiro Estudo Sobre AlfabetosNo comeo desta seo, dissemos que normalmente o alfabeto usado para modulaes N -PAM dado por A = {(N 1)d, (N 3)d, . . . (N 1)d}. Agora, daremos um primeiro passo na direo de explicar o motivo da popularidade de tal alfabeto.isso, devemos assumir que ns no tenhamos uma origem do tempo xa. De fato, essa uma hiptese razovel, j que no existe uma sincronizao entre o transmissor e o receptor. K1 Temos, ento, que s(t) = k=0 sk g(t + kTs ), onde uma varivel aleatria uniformemente distribuda entre 0 e Ts .1 Para


18

Para este m, considere um alfabeto genrico A = {ai }N 1 . A energia gasta i=0 para a transmisso do smbolo ai dada por

Ei = a2 i

|g(t)|2 dt.

(2.5)

Assim, na mdia, a energia gasta para transmitir um smbolo dada por

1 Es = N

N 1

a2 ii=0

|g(t)|2 dt,

(2.6)

o que est de acordo com (2.3). Imagine, agora, que todos os pontos do alfabeto sejam deslocados de um valor a. Nosso novo alfabeto ser, ento, B = {ai a}N 1 . Intuitivamente, esperamos que i=0 os alfabetos B tenham o mesmo desempenho, qualquer que seja o valor de a. Dessa forma, podemos nos perguntar qual o valor de a que minimiza a energia transmitida j que, para sistemas com o mesmo desempenho, devemos escolher aquele que usa a menor energia para transmisso. Ora, para o alfabeto deslocado, temos que a energia transmitida proporcional a N 1 1 (ai a)2 . (2.7) N i=0 Diferenciando em relao a a e igualando a zero, temos que o valor de a que minimiza a energia deve satisfazer N 1 1 2 (ai a) = 0. (2.8) N i=0 Em outras palavras, devemos ter que

1 a= N

N 1

ai ,i=0

(2.9)

ou seja, a deve ser igual mdia dos ai . Finalmente, observe que A = {(N 1)d, (N 3)d, . . . (N 1)d} possui mdia nula. Assim, o deslocamento que minimiza sua energia zero. Ou seja, ele j um alfabeto de mnima energia, o que um dos aspectos que justicam sua popularidade.


19

2.3 Critrio de NyquistO pulso retangular mostrado na gura 2.1 tem uma desvantagem sria. Apesar de ser completamente limitado no tempo, permitindo a perfeita separao temporal entre os smbolos transmitidos, esse pulso decai muito lentamente em freqncia, causando forte interferncia com canais adjacentes (aqueles que transmitem em freqncias contguas s do pulso). Este problema inviabiliza o seu uso em canais limitados em freqncia, e na realidade afeta todas as formas de onde limitadas abruptamente no tempo, como tambm o caso do pulso usado na gura 2.2(b). Nesta seo, veremos algumas alternativas para solucionar este problema. Assim, considere o uso de um pulso g(t) com durao maior do que o perodo de smbolo Ts . Neste caso, fcil encontrar um pulso com melhor limitao em freqncia. O pulso perfeitamente limitado em freqncia, por exemplo, dado por sinc(t) e tem uma durao temporal innita. Infelizmente, neste caso, a transmisso de um smbolo dura obviamente mais do que um perodo de smbolo. Com isso, durante o segundo intervalo de transmisso, o sinal correspondente ao primeiro smbolo ainda est sendo transmitido, e assim sucessivamente. Desta forma, h uma sobreposio temporal dos sinais correspondentes a smbolos adjacentes. Este tipo de distoro conhecido como interferncia intersimblica (IIS), e obviamente um bom projeto de um sistema de comunicaes deveria limit-lo. Para um melhor estudo dos efeitos da IIS, consideremos um canal ideal, que no introduza nenhuma distoro. Assim, o sinal recebido igual ao transmitido:K1

r(t) =k=0

sk g(t kTs ).

(2.10)

Como os smbolos so transmitidos a cada Ts segundos, gostaramos que a cada Ts segundos o canal produzisse uma sada que represente, o mais perfeitamente possvel, o smbolo transmitido. Seja, ento, rk = r(kTs ) o sinal amostrado na sada do canal, obtido a cada Ts segundos. Temos queK1 K1 K1

rk =n=0

sn g(kTs nTs ) =n=0

sn g((k n)Ts ) =n=0

sn gkn ,

(2.11)

onde gk = g(kTs ) a seqncia obtida atravs da amostragem do pulso conformador a uma taxa Rs . Em outras palavras, rk a convoluo dos smbolos transmitidos, sk , com as amostras do pulso conformador, gk .


20

Gostaramos que, no instante k , rk fosse igual a sk . Assim, vamos reescrever rk de forma a explicitar o smbolo de interesse:K1

rk = g0 sk +n=0 n=k

sn gkn .

(2.12)

O segundo termo em (2.12) o impacto que os outros smbolos transmitidos tm sobre a recepo de sk . Ou seja, este termo a IIS. De (2.12), ca claro que, para que rk = ak , devemos ter que

gk =

1, se k = 0 0, caso contrrio.

(2.13)

Esta funo conhecida como o delta de Kronecker, e em geral denotada por k . interessante notar que (2.13) especica o comportamento do pulso apenas nos instantes de amostragem: para no gerar IIS, o pulso deve obedecer (2.13), no importando seu comportamento entre os instantes de amostragem. Em resumo, para que no tenhamos IIS quando transmitimos por um canal ideal, devemos usar um pulso conformador g(t) tal que gk = k . fcil obter um pulso com essas caractersticas. Por exemplo, se g(t) = sinc(t/Ts ), ento gk = k . Ou seja, o uso da funo sinc como um pulso conformador leva, em um canal ideal, a um sistema de transmisso sem IIS. Ora, o pulso sinc idealmente limitado em freqncia e no introduz IIS, ento porque no us-lo? So dois os principais motivos. Em primeiro lugar, sua implementao prtica impossvel, devido descontinuidade de sua resposta em freqncia. Boas aproximaes so possveis, mas caras. Em segundo lugar, este pulso no muito robusto a erros no instante de amostragem, conforme veremos adiante. Para entendermos como obter outros pulsos satisfazendo (2.13), vejamos o signicado desta equao no domnio da freqncia. Lembre-se que o sinal gk a amostragem de g(t), com freqncia de amostragem Rs . Assim, pelo teorema da amostragem, a transformada de Fourier de gk , Gd (f ) proporcional soma das verses deslocadas da transformada de g(t). Mais especicamente, temos que

Gd (f ) = Rsn=

G (f nRs ) .

(2.14)

CAPTULO 2. MODULAO EM BANDA BASEG(f+2R )s

21G(f2R )s

G (f)d

1

Figura 2.4: Uma funo que satisfaz o critrio de Nyquist, bem como uma visualizao grca deste fato. Por outro lado, de (2.13) temos que Gd (f ) = 1. Juntado estes dois resultados, chegamos ao critrio de Nyquist : para transmisso sem IIS, devemos usar um pulso conformador cuja resposta em freqncia satisfaa

Rsn=

G (f nRs ) = 1 .

Este critrio ilustrado na gura 2.4 para um pulso com resposta em freqncia triangular. Podemos ver, do critrio de Nyquist, que g(t) = sinc(t/Ts ), que ocupa freqncias de Rs /2 a Rs /2, o pulso de menor faixa de freqncias que possibilita a transmisso sem IIS. Anal de contas, um pulso com uma faixa de freqncias inferior a Rs /2 no pode satisfazer o critrio, conforme mostrado na gura 2.5. Nessa gura, vemos que a transformada Gd (f ) sempre ser nula em uma faixa em torno de Rs /2 se G(f ) ocupar uma faixa inferior a Rs /2. Visto de outra forma, para que possamos transmitir a uma taxa Ts sem IIS, devemos usar um pulso conformador com uma faixa de freqncias de no mnimo Rs /2. Neste caso, o nico pulso que satisfaz o critrio de Nyquist o sinc. Por outro lado, se permitimos que G(f ) se extenda alm de Rs /2, possvel obter innitos pulsos que possibilitam a transmisso sem IIS. Possivelmente, o pulso de transmisso mais encontrado na prtica o cosseno levantado. Ele ocupa uma faixa de freqncia de (1 + )Rs /2, com 0 1. O parmetro chamado de fator de roll-o, e determina o excesso de faixa, ou seja, o quanto a faixa do pulso excede o mnimo de Rs /2. Mais especicamente, a transformada de Fourier do cosseno

s

s

s

s

s

s

s

s

2R

3R /2

R

R /2

0

R /2

R

s

G(f+1R )s

G(f)

s

T

G(fR )

3R /2

2R

f

(2.15)


22

G(f+T)

G(f)

G(fT)

Figura 2.5: Uma funo que no pode satisfazer o critrio de Nyquist. levantado dada por Ts G(f ) = 1 sin 2

Ts , 0 |f | Ts

f

1 2Ts

,

1 2Ts

|f |1+ 2Ts

1 2Ts 1+ 2Ts

0, |f |

e est ilustrada na gura 2.6. Invertendo esta transformada, chegamos (no muito facilmente, verdade) a

g(t) = sinc

t Ts

cos(t/Ts ) , 1 (2t/Ts )2

que tambm est mostrado na gura 2.6. Note que, quando = 0, o cosseno levantado igual a um ltro passa-baixas ideal, cuja resposta ao impulso um sinc. Um exemplo de um sinal modulado em 2-PAM usando um cosseno levantado com = 0,5 mostrado na gura 2.7. A seqncia de smbolos transmitidos 1, 1, +1, +1, 1, +1, +1, 1, 1, 1, +1. Note que nos instantes de amostragem, t = 0, Ts , 2Ts , . . ., o sinal recebido idntico ao smbolo transmitido. importante ressaltar as diferenas entre o teorema de Nyquist para amostragem e o critrio de Nyquist para transmisso sem IIS. De fato, para recuperarmos um sinal a partir de suas amostras, o teorema de Nyquist diz que as amostras devem ser tomadas com uma freqncia que seja pelo menos o dobro da maior freqncia do sinal amostrado. No critrio de Nyquist para transmisso sem IIS, no assumimos nada a respeito da maior freqncia de g(t), e a amostragem feita com a freqncia dos smbolos, que de certa forma um dado do problema. De fato, observe que um cosseno levantado amostrado com o dobro de sua maior freqncia leva a um pulso

s

s

s

s

s

3R / 2s

R

R / 2

0

R /2

R

3R /2

f

,

(2.16)

(2.17)

CAPTULO 2. MODULAO EM BANDA BASEg(t)G(f)

23

=0 = 0,5

=1

=10

= 0,5T

=0

(a)

Figura 2.6: Resposta em freqncia (a) e temporal (b) de um cosseno levantado com roll-o de 0, 0,5 e 1. que no satisfaz o critrio de Nyquist. De certa forma, podemos dizer que o critrio de Nyquist explora a ocorrncia de aliasing para obter um sinal amostrado que no gera IIS. Em resumo, na amostragem queremos evitar aliasing, mas para transmisso sem IIS queremos explorar aliasing. Nota: Nesta seo, bem como na seqncia do curso, consideraremos alguns pulsos, como sinc(t), de durao innita e que no so causais. Obviamente, uma implementao prtica de sistemas envolvendo esses pulsos seria obrigada a gerar pulsos causais de durao nita, o que pode ser obtido atravs da introduo de atrasos no sistema e da truncagem do pulso. Assim, ao invs de usarmos g(t), na prtica poderamos usar o pulso g (t) dado por

g (t) =

g(t 10Ts ), 0 t 20Ts . 0, caso contrrio

Como o uso de pulsos no causais de durao innita facilita tremendamente a notao e as derivaes matemticas, e como eles podem ser bem aproximados na prtica, usaremos esses pulsos na seqncia do curso.

2.3.1 Exemplos e AplicaesConsideraremos agora algumas conseqncias do critrio de Nyquist e da modulao PAM. Assumiremos sempre um canal passa-baixas ideal, limitado a |f | < F , e analisaremos os efeitos de alguns parmetros: a ordem da modulao N , a taxa de smbolos Rs = 1/Ts , e o fator de roll-o .

s

s

s

s

R

R /2

0

R /2

R

f

(b)

(2.18)

s

s

s

s

s

s

3T

2T

T

2T

3T

t

CAPTULO 2. MODULAO EM BANDA BASEs(t)

24

1

1

Figura 2.7: Exemplo de um sinal modulado com um cosseno levantado com roll-o de 0,5.

Exemplo 2.1:

Assuma a transmisso digital por um modem discado, onde o canal est limitado a |f | < 3kHz. Para transmitirmos a uma taxa de 16kbps usando um cosseno levantado com = 0,5, qual deve ser a ordem da modulao? Resposta: O cosseno levantado est limitado a |f | < (1 + )Rs /2. Assim, o maior valor que Rs pode assumir aquele que satisfaz (1 + )Rs /2 = 3000, ou seja, Rs = 4000 smbolos por segundo. Para uma taxa de 16kbps usando essa taxa de smbolos, devemos transmitir 4 bits por smbolo, o que implica no uso de uma modulao 16-PAM.

Exemplo 2.2:

Assuma a transmisso de uma modulao 32-PAM por um modem discado, onde o canal est limitado a |f | < 3kHz. Qual a maior taxa de bits possvel para transmisso sem IIS? Resposta: Neste caso, devemos primeiramente determinar a taxa de smbolos mxima. Ora, da gura 2.5, sabemos que para transmitir a uma taxa de smbolos Rs sem IIS, necessitamos de um pulso com faixa de freqncias de no mnimo Rs /2.

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

0 T

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T 10T

t


25

No caso do modem discado, a maior faixa de que podemos dispor Rs /2 = 3000, o que leva a uma taxa de smbolos mxima de Rs = 6000 smbolos por segundo. Considerando que numa modulao 32-PAM temos 5 bits por smbolo, podemos transmitir no mximo a 30kbps sem IIS.

Exemplo 2.3:

Qual a maior ecincia espectral possvel para um sinal N -PAM? Resposta: Como no exemplo 2.2, devemos primeiramente determinar a taxa de smbolos mxima. Usando novamente a gura 2.5, vemos que para transmitir a uma taxa de smbolos Rs sem IIS, necessitamos de um pulso com faixa de freqncias de no mnimo Rs /2. Ora, para uma modulao N -PAM, transmitimos M bits por smbolo. Assim, para transmitir a M Rs bits por segundo, precisamos ocupar no mnimo Rs /2Hz. Assim, para um sinal N -PAM, a maior ecincia espectral dada por = 2M bits/s/Hz.

2.4 Diagrama de OlhoO diagrama de olho, a ser descrito nessa seo, consiste em uma ferramenta simples e rpida para observao do desempenho de um sistema de transmisso digital. Em particular, ele mostra a robustez de um sistema a rudo e a erros no instante de amostragem. Para obt-lo, considere que voc coloque um osciloscpio na sada de um canal, ajustado de forma que a tela do osciloscpio corresponda a um perodo de smbolo. Tambm considere que o osciloscpio esteja ajustado de forma que as formas de onda que ele mostre no se apaguem. Finalmente, considere que voc ligue o osciloscpio no instante Ts /2. Assim, na tela do osciloscpio aparecer a forma de onde recebida entre Ts /2 e Ts /2. A esta ser sobreposto o sinal recebido entre Ts /2 e 3Ts /2, e assim sucessivamente. Seguindo este procedimento, poderamos obter na tela do osciloscpio um sinal como o mostrado na gura 2.8 para um cosseno levantado com = 0.5 e uma modulao 4-PAM, transmitido pelo canal ideal descrito em (2.10). Idealmente, gostaramos de amostrar a sada do canal nos instantes t = kTs . Anal de contas, o pulso conformador projetado para no introduzir IIS apenas


26

5 4 3 2A

Sinal recebido r(t)

1 0B

1 2 3 4

5 Ts

Ts /2

0 Instante de amostragem

Ts /2

Ts

Figura 2.8: Diagrama de olho de um cosseno levantado com roll-o de 0,5. O ponto central corresponde a um instante de amostragem t = 0, quando no h IIS. A distncia indicada por A a imunidade do pulso conformador a erros no instante de amostragem. A distncia indicada por B a imunidade do pulso conformador a rudos. quando o sinal transmitido amostrado nesses instantes. Entretanto, os instantes de amostragem no so conhecidos no receptor, e portanto devem ser estimados. Essa estimao est sujeita a erros, de forma que o sinal recebido acaba sendo amostrado nos instantes t = t0 +kTs , para Ts /2 < t0 < Ts /2. Neste caso, o pulso conformador vai fatalmente introduzir IIS, o que pode levar a uma degradao no desempenho do sistema. Ora, por construo, os pontos que possuem a mesma coordenada t0 no diagrama de olho correspondem sada do canal nos instantes t = t0 + kTs . Ou seja, para um erro de t0 no instante de amostragem, o sinal rk assumir os valores marcados no diagrama de olho no instante t0 . Assim, o diagrama de olho nos d duas informaes importantes sobre o desempenho do sistema. Em primeiro lugar, a largura da abertura central, indicada por A na gura 2.8, nos d a imunidade do sistema a erros no instante de amostragem. De fato, se amostrarmos em qualquer lugar dentro desta abertura central, seremos capazes de distinguir entre um 1 e um +1. Por outro lado, a altura da abertura, indicada por B na gura 2.8, nos d a imunidade do sistema ao rudo. De fato, a presena de rudo poder mover o sinal amostrado na sada do canal levemente para cima ou para baixo. Se a abertura do olho for pequena, um pequeno rudo


27

ser suciente para que o sistema no seja mais capaz de determinar se o smbolo transmitido foi 1 ou +1. Neste ponto, instrutivo comparar o diagrama de olho de um cosseno levantado com = 0,5, mostrado na gura 2.8, com o de um sinc, mostrado na gura 2.9. Claramente, o sinc muito mais sensvel a erros no instante de amostragem do que o pulso com = 0,5, conforme evidenciado pela sua pequena abertura horizontal. Para entendermos o porqu da maior sensibilidade do sinc a erros no instante de amostragem, considere, por exemplo, que comeamos a amostrar no instante t0 = Ts /10. Nesse caso, gk = g(kTs + t0 ) = 0 para todo k , e portanto teremos IIS. Este fato comum maioria (se no a todos) os pulsos conformadores, mas o sinc tem um agravante. Ocorre que, quando g(t) = sinc(t/Ts ), ento

(1)k sin(t0 /Ts ) sin(k + t0 /Ts ) = . k + t0 /Ts k + t0 /Ts (2.19) Lembre-se, agora, que 1/k uma srie divergente, ou seja, sua soma innita. Ora, de (2.19), temos que |gk | = a/(k + b), onde a = sin(t0 /Ts )/ e b = t0 /Ts , de forma que o termo corresponde IIS em (2.12) tambm uma srie divergente. Ou seja, a IIS pode ir a innito. Assim, teremos uma taxa de erro muito grande se no amostrarmos o sinal recebido no instante t0 = 0. Este fato no to grave quanto parece, pois a srie diverge muito lentamente, e isto s ocorre para uma seqncia especca de smbolos, com baixa probabilidade de ocorrncia. Ainda assim, o diagrama de olho da gura 2.9 deixa claro que o instante de amostragem tem que ser melhor estimado em um sistema com pequeno. Neste ponto, voc j capaz de projetar o transmissor de um modem bsico. Programas como MATLAB so capazes de gerar um cosseno levantado e, por exemplo, jogar a forma de onda obtida no alto falante do computador, criando assim um modem acstico. Agora que j sabemos alguns princpios sobre a transmisso de smbolos, vamos estudar um pouco sobre a sua recepo. gk = g(kTs + t0 ) = sinc kTs + t0 Ts =

2.5 ExercciosExerccio 2.1:

Nesse exerccio, voc vai usar o MATLAB para gerar um sinal digital. Para isso, converta os 4 ltimos dgitos do seu RA para binrio, usando para isso 14 bits.


28

6

4

2Sinal recebido r(t)

0

2

4

6 Ts

Ts /2

0 Instante de amostragem

Ts /2

Ts

Figura 2.9: Diagrama de olho de um cosseno levantado com roll-o de 0. Depois, usando uma constelao 4-PAM e um cosseno levantado com = 0,25, gere o seu sinal modulado. Por exemplo, se seu RA 001093, voc vai converter 1093 para binrio, obtendo 00010001000101. Em seguida, voc vai gerar os smbolos 4-PAM, e us-los para modular um cosseno levantado com = 0,25. Obviamente, o cosseno levantado tem durao innita, e portanto deve ser truncado. Para isso, use apenas 6 perodos de smbolo, entre 3Ts e 3Ts . Para dar uma aparncia suave ao grco, use dez amostras do pulso conformador por perodo de smbolo. Voc deve entregar um grco com o sinal modulado e o mapeamento usado, ou seja, quais grupos de bits voc associou a quais smbolos. O grco ser semelhante ao da gura 2.7 das notas, com a diferena que nas notas usamos uma modulao 2-PAM.Exerccio 2.2:

Agora, use o comando soundsc do MATLAB para transmitir o sinal obtido no exerccio 1 pelo alto-falante do seu micro, usando o valor default de Ra = 8192 Hz. A que taxa de smbolos voc est transmitindo? Note que, a cada segundo, soundsc envia 8192 amostras do seu sinal para o alto-falante, interpolando-as com um ltro passa-baixas (que voc pode assumir como ideal) com freqncia de corte 4096 Hz. Ou seja, soundsc assume que o sinal que voc quer transmitir foi amostrado a uma freqncia que o dobro da maior freqncia do sinal. Tambm importante notar


29

que existem duas taxas distintas: a taxa de smbolos propriamente dita, Ts , e a taxa Ta = 1/8192 s com que as amostras do pulso so enviadas para o alto falante.Exerccio 2.3:

Qual a maior taxa de smbolos possvel usando o comando sound com Ra = 8192 Hz e = 0,25? (Dica: pense na resposta em freqncia do pulso conformador contnuo, que consiste na cascata do pulso conformador discreto obtido no exerccio 1 com o ltro passa-baixas contnuo e ideal implementado pelo comando soundsc.) Como voc modicaria o pulso no problema 1 para obter essa taxa?Exerccio 2.4:

O objetivo desta questo projetar modens discados. Assuma, para isso, que temos um canal passa-baixas ideal com freqncias at 3 kHz, e que voc vai usar uma modulao PAM. Voc vai precisar da probabilidade de erro de modulaes PAM, mostrada na gura 2.10.100

10

1

10

2

16 P AM

Pe

10

3

8 M PA

4 M PA

PA 2

10

4

M

10

5

10

6

0

5

10 Eb/ (dB)2

15

20

Figura 2.10: Probabilidade de erro de smbolo para vrias modulaes N -PAM. a. Voc dispe de uma energia tal que, na recepo, Eb / 2 = 10 dB, e voc deseja


30

uma probabilidade de erro menor que 0,004. Que constelao voc usaria para maximizar a taxa de bits dadas estas restries? b. Qual a maior taxa de bits que pode ser transmitida neste canal usando esta constelao, em termos de bits por segundo? c. Qual pulso conformador atinge esta taxa, eliminando a IIS? d. Agora, voc precisa transmitir 18kbps a uma probabilidade de erro menor que 105 . Qual valor de Eb / 2 necessrio? e. Supondo agora uma Eb / 2 = 15 dB e uma probabilidade de erro inferior a 106 , qual a maior taxa de bits que podemos atingir se usarmos um cosseno levantado com roll-o de 0,25?

Exerccio 2.5:

O objetivo deste exerccio chamar a ateno para a diferena entre dois critrios de Nyquist, um para amostragem e outro para transmisso sem IIS. Para ns de telefonia, consideramos que o sinal de voz ocupa uma faixa de 4 kHz. Suponha que desejamos amostrar esse sinal menor taxa possvel e quantiz-lo usando um quantizador de 8 bits. Determine a taxa de amostragem fa e a freqncia de bits resultante. Suponha agora que esse sinal ser transmitido por um canal com faixa de 16 kHz usando modulao M -PAM. Suponha tambm que usaremos o pulso que permita a transmisso mais alta taxa de smbolos, mas evitando IIS. Determine o valor de M .Exerccio 2.6:

Efeito do roll-o na abertura do olho: Neste exerccio, voc usar o MATLAB para traar o diagrama de olho para diferentes valores de roll-o. Para traar o diagrama de olho, use o seguinte algoritmo:Ns=1000; s=gera_pam(N,Ns); Rs=16; s_interp=zeros(1,Ns*Rs); s_interp(1:Rs:end)=s; % % % % % Ns define o numero de smbolos. Gera Ns smbolos N-PAM, igualmente provveis Rs define a taxa de super-amostragem Gera vetor para interpolao Atribui os smbolos nas posies corretas

CAPTULO 2. MODULAO EM BANDA BASEh=rcos(Rs,rolloff); % % r=conv(h,s_interp); % % r=r((Rs*8+1):(end-Rs*8)); % neye=5; % c=floor(length(r)/(neye*Rs)); % rplot= r(end-neye*Rs*c+1:end); plot(reshape(rplot,neye*Rs,c))%Pede-se:

31

Gera um cosseno levantado super-amostrado de Rs com roll-off e janelamento de [-8T,8T] Convolui vetor de smbolos interpolados com filtro cosseno levantado Elimina regime transitrio na convoluo Define o numero de olhos por plot

Traa diagrama de olho

a. Gere as funes gera_pam(N,Ns) e rcos(Rs,rolloff) com janelamento de 16 perodos de smbolos, i.e, [8Ts , 8Ts ]; b. Trace o diagrama de olho para N=4 e os seguintes valores de roll-o: 0, 0.25, 0.5 e 1; c. Comente os resultados! Dicas: 1) Para a funo gera_pam, use a funo rand que gera uma varivel aleatria uniformemente distribuda entre 0 e 1. Particione este intervalo em N intervalos, associando cada um a um diferente smbolo PAM. Selecione o smbolo correspondente toda vez que a varivel aleatria "cair"neste intervalo. Na construo da modulao, assuma d = 1 para simplicar o problema e a visualizao; 2) Para a funo rcos use a funo sinc do prprio MATLAB.

CAPTULO

3

Receptores de Sinais em Banda Base

No captulo anterior, estudamos os primeiros conceitos de um transmissor, um dispositivo que transforma uma seqncia de bits em um sinal contnuo que pode ser transmitido por um canal em banda bsica. Neste captulo, estudaremos alguns princpios bsicos do projeto de um receptor, ou seja, do dispositivo responsvel pela recuperao dos bits transmitidos a partir da sada do canal. A funo do receptor em um sistema de transmisso digital observar a sada do canal e decidir, de acordo com algum critrio, quais bits foram transmitidos. Para uma modulao PAM podemos, equivalentemente, decidir quais smbolos foram transmitidos. Assim, considere um sinal transmitido como descrito em (2.1), repetido aqui por convenincia:K1

s(t) =k=0

sk g(t kTs ).

(3.1)

Ao observar o sinal recebido r(t), o receptor deve disponibilizar, em sua sada, a seqncia de estimativas xk , onde xk deve ser uma boa estimativa do k -simo smbolo transmitido, sk . Obviamente, o melhor critrio para a escolha dos bits transmitidos o que minimiza a probabilidade de erro. Neste captulo, veremos como este critrio pode ser implementado na prtica. 32

CAPTULO 3. RECEPTORES DE SINAIS EM BANDA BASE

33

3.1 Receptores de Mnima DistnciaDe agora em diante, assumiremos que o canal introduza rudo aditivo branco e Gaussiano1 . Alm disso, para facilitar as dedues, assumiremos inicialmente que apenas um smbolo PAM isolado seja transmitido. Desta forma, o sinal recebido dado por r(t) = s0 g(t) + n(t), (3.2) onde s0 g(t) o pulso transmitido e n(t) um rudo Gaussiano de mdia zero e funo de autocorrelao 2 (t). Um critrio intuitivo para um receptor o de distncia mnima. Receptores de distncia mnima escolhem os bits que geram o sinal transmitido que mais se aproxima do sinal recebido, usando o conceito de distncia entre dois sinais que denido no apndice B. Ou seja, para cada possvel seqncia de bits, medimos a distncia entre r(t) e o que seria recebido se esta seqncia tivesse sido transmitida. Decidimos ento pela seqncia que minimiza esta distncia. Note que o rudo est fora de nosso controle. Assim, quando falamos do sinal que seria recebido se uma determinada seqncia fosse transmitida, no levamos em conta o rudo. Vamos pensar sobre esse conceito com mais detalhe. Imagine que o smbolo transmitido seja a0 , ou seja, o sinal recebido r(t) = a0 g(t) + n(t). Este o valor observado pelo receptor. De posse da observao do sinal recebido, o receptor passa agora para a fase de testes. Em primeiro lugar, ele gera os N sinais ai g(t), para i = 0, . . . N 1, onde cada um desses sinais corresponde a uma das N possveis seqncias de M bits. (Lembre-se que existem N = 2M valores possveis para cada grupo de M bits.) Em seguida, o receptor mede a distncia entre a0 g(t) e r(t). Conforme visto no apndice B, essa distncia dada por

d2 = 0

|r(t) a0 g(t)|2 dt.

(3.3)

As outras N distncias di entre ai g(t) e r(t), para i = 0, . . . N 1, so tambm computadas. Finalmente, o receptor verica qual a menor distncia. Sua sada , ento, a seqncia de bits que gera esta distncia mnima. Neste caso, esperamos que, se o rudo for pequeno, d0 ser a menor distncia, e o receptor decidir assim que a0 foi o smbolo transmitido.no uma hiptese muito restritiva. Canais de comunicaes via satlite, por exemplo, podem ser modelados desta forma.1 Esta


34

Ainda que a descrio do procedimento seja relativamente simples, sua implementao pode ser extremamente complexa. Anal, o valor de N pode ser bastante alto. Nesses casos, gerar todos os possveis sinais recebidos e calcular todas as distncias pode ser extremamente complexo. Mais ainda, preciso se perguntar se o critrio de distncia mnima tem alguma razo de ser. Projetar um sistema baseado apenas em observaes intuitivas nem sempre o melhor. Assim, na seqncia, mostraremos uma implementao de baixa complexidade do receptor de mnima distncia para sistemas PAM. Buscaremos, tambm, mostrar que o receptor de mnima distncia minimiza a probabilidade de erro.

3.1.1 Uma Intuio por Trs da Distncia MnimaPara uma explicao intuitiva da validade do critrio de distncia mnima, imagine que o receptor queira decidir que o sinal transmitido foi ai g(t), para um dado i. Esta deciso equivalente a dizer que o sinal recebido dado por r(t) = ai g(t)+n(t) ou, ainda, que o rudo que afetou a sada do canal dado por n(t) = r(t) ai g(t). Ora, nesse caso estamos dizendo que a energia do rudo que afeta a sada do canal dada por n(t) 2 = r(t) ai g(t) 2 , ou seja, ela igual distncia entre r(t) e ai g(t). Assim, considere que o detector tenha que escolher entre as hipteses de que ai g(t) ou aj g(t) foi transmitido. Se escolhermos que ai g(t) foi transmitido, estaremos dizendo que o rudo tem energia d2 . Se escolhermos que aj g(t) foi transmitido, i estaremos dizendo que o rudo tem energia d2 . Entretanto, mais provvel que o j rudo tenha uma energia pequena do que uma energia grande, da mesma forma que mais provvel que uma varivel aleatria Gaussiana de mdia nula assuma um valor 1 do que um valor 10. Assim, se d2 < d2 , mais provvel que o rudo seja i j dado por r(t) ai g(t) do que por r(t) aj g(t). Por isso, mais provvel que ai g(t) tenha sido transmitido, e portanto essa deve ser a deciso. Nota: O uso da palavra provvel no pargrafo anterior no muito preciso, ainda que esteja mais de acordo com o que se pensa em geral a respeito de probabilidade. De fato, a probabilidade de uma varivel aleatria Gaussiana de mdia nula assumir um valor 1 ou 10 a mesma: zero. O conceito com que trabalhamos aqui chamado na literatura de verossimilhana. De fato, mais verossmil dizer que nossa varivel aleatria assumiu um valor 1 do que um valor 10, ainda que ambos eventos sejam igualmente provveis.


35

3.1.2 Correladores e Distncia MnimaNesta seo, mostraremos uma implementao de um detector de distncia mnima para sistemas PAM baseado no uso de correladores. Esta uma implementao relativamente simples que de fato usada em sistemas prticos. Uma primeira observao a fazer que minimizar a distncia equivalente a minimizar o quadrado da distncia. Assim, deste ponto em diante, buscaremos minimizar o quadrado da distncia, e no a distncia em si. Esta abordagem evita o uso desnecessrio da raz quadrada em alguns pontos do processamento e das derivaes. Para um sistema PAM, o sinal transmitido dado por s(t) = s0 g(t), onde s0 um dos N possveis smbolos do alfabeto A. Conforme vimos, o receptor decide que o smbolo transmitido foi a, onde a g(t) , entre todos os smbolos possveis, o sinal mais prximo do recebido. Matematicamente, temos que

a = arg min aA

|r(t) ag(t)|2 dt.

(3.4)

Assim, considere a distncia entre o sinal recebido e o sinal ai g(t), que corresponde a um determinado smbolo transmitido. Conforme vimos, esta distncia dada por

d2 = iExpandindo, obtemos que

|ai g(t) r(t)|2 dt.

(3.5)

d2 = i

|ai g(t)|2 dt 2

ai g(t)r(t) dt +

|r(t)|2 dt.

(3.6)

Observe que o primeiro termo de (3.6) corresponde energia necessria para a transmisso do i-simo smbolo. Este termo no depende do sinal recebido, e portanto pode ser computado de antemo. Chamemos este termo de Ei . O segundo termo de (3.6) corresponde ao produto interno entre r(t) e ai g(t), de acordo com a denio do apndice B. J o ltimo termo de (3.6) corresponde energia do sinal recebido. Este termo no depende do sinal que estamos considerando, e portanto pode ser ignorado. Em outras palavras, qualquer que seja a nossa escolha de ai g(t), esse termo no muda. Desta forma, o valor de ai g(t) que minimiza di o mesmo que minimiza Ei 2 r(t), ai g(t) . (3.7) Agora, note que podemos dividir (3.7) por 2 sem alterar a minimizao. Tambm, como ai um escalar, obtemos que o receptor de mnima distncia deve escolher o

CAPTULO 3. RECEPTORES DE SINAIS EM BANDA BASEDigital Analgico0 0

36

r(t)

...

Figura 3.1: Implementao de um receptor de distncia mnima com um correlador. smbolo que minimiza

Ei /2 ai r(t), g(t) .

Seja, ento, r0 = r(t), g(t) . Este valor pode ser computado com o uso de um nico ltro analgico, chamado correlador. Temos, ento, que o receptor de mnima distncia pode ser implementado com um nico ltro analgico, seguido de uma camada de processamento digital, conforme mostrado na gura 3.1. Antes de tentarmos explicar o bom desempenho de receptores de distncia mnima, discutiremos mais alguns aspectos de sua implementao, e veremos com um pouco mais de detalhe algumas propriedades do correlador. Em particular, na prxima seo veremos uma interpretao geomtrica do critrio de distncia mnima que leva a uma implementao mais simples da parte digital do detector da gura 3.1. Na seo seguinte, veremos como o correlador em si pode ser implementado de uma forma mais conveniente.

3.2 O Espao de SinaisConforme vimos, o conceito da distncia entre o sinal recebido e os possveis sinais transmitidos de importncia em sistemas de comunicaes. Receptores so baseados neste conceito e, como veremos, a distncia entre dois possveis sinais transmitidos determina o desempenho do sistema. Ainda que seja possvel denir o conceito de distncia entre duas funes, nossa intuio funciona melhor com vetores. Assim, nesta seo, veremos como representar o sinal recebido, bem como os possveis sinais transmitidos, como vetores de um espao Euclidiano tradicional. Para sistemas de comunicaes, este espao chamado de espao de sinais. Veremos

N

N

a

E /2

N

+

g(t)

0

0

r

a

E /2

d

+

Selecionar menor

a

d

(3.8)

CAPTULO 3. RECEPTORES DE SINAIS EM BANDA BASEr(t)0

37

d

Figura 3.2: Representao do detector de distncia mnima no espao de sinais. tambm uma interpretao do detector de distncia mnima que , em princpio, mais intuitiva do que a abordagem anterior. A maior diculdade aqui, assim como no apndice B, pensar em funes como vetores. Elas so vetores no sentido de que todas as propriedades de um espao vetorial so satisfeitas pelo conjunto das funes. Ou seja, o conjunto das funes formam um espao vetorial. O maior interesse em nosso caso que isso possibilita a denio de subespaos do espao de funes. De fato, considere o vetor g(t). Este vetor gera um subespao de dimenso 1, dado por V = {ag(t) | a R}. Ou seja, V formado pelos mltiplos de g(t). Note, assim, que todos os pulsos transmitidos de uma modulao PAM pertencem a V . Como V um subespao de dimenso 1, ele pode ser representado como uma reta. Em outras palavras, os sinais transmitidos podem ser representados geometricamente como na reta mostrada na gura 3.2 para uma modulao 8-PAM. Por exemplo, o ponto marcado 3 na gura representa o sinal transmitido 3g(t). Como todos os sinais de interesse podem ser representados em um mesmo espao V , chamamos este espao de espao de sinais. O sinal r(t) tambm est mostrado na gura 3.2. Observe que, devido ao rudo, r(t) dicilmente um mltiplo de g(t) e, portanto, ele em geral no est no subespao V . Por isso, na gura, r(t) no est representado sobre a reta gerada por g(t). Finalmente, mostramos na gura 3.2 a projeo ortogonal de r(t) no subespao V , dada pelo ponto r0 . Note que o ponto r0 em V corresponde ao sinal r0 g(t). Do curso de lgebra linear, temos que a projeo ortogonal possui algumas propriedades importantes. Em primeiro lugar, ela o ponto de V mais prximo de r(t). Alm disso, a projeo ortogonal dada por r0 = r(t), g(t) , ou seja, ela dada pela sada do correlador. Cabe aqui uma observao. Para que o produto interno r(t), g(t) represente a projeo ortogonal, necessrio que g(t) seja um vetor de norma unitria. Em outras palavras, devemos assumir que o pulso conformador

0

7

5

3

1

1

3r

5

7

g(t)


38

satisfaa g(t), g(t) = 1. Ou seja, g(t) deve ser um sinal de energia unitria. Esta hiptese facilita tremendamente a notao, e ser usada deste ponto em diante. A ltima propriedade importante da projeo ortogonal que ela , justamente, ortogonal. Isso est representado pelo ngulo reto na gura 3.2 e, matematicamente, quer dizer que o vetor r(t) r0 g(t) ortogonal a qualquer vetor de V . Ou seja, r(t) r0 g(t), ag(t) = 0 para qualquer valor de a. Considere, agora, o clculo de di no espao de sinais, onde di corresponde distncia entre r(t) e um sinal dos possveis sinais transmitidos, dado por ai g(t). Na gura 3.2, representamos este clculo para o sinal 7g(t). Devido ortogonalidade e ao teorema de Pitgoras, temos que d2 = r0 g(t) ai g(t) 2 + r(t) r0 g(t) 2 . i Note que o segundo termo desta equao no depende de ai . Em outras palavras, o detector de distncia mnima pode, equivalentemente, tentar minimizar a distncia entre r0 g(t) e ai g(t). Entretanto, r0 g(t) ai g(t) 2 = |r0 ai |2 g(t) 2 = |r0 ai |2 , pois assumimos que o pulso conformador tem energia unitria. E assim chegamos, nalmente, maior vantagem da representao no espao de sinais: r0 g(t) e ai g(t) so sinais no mesmo espao V de dimenso 1. Podemos, ento, pensar no detector de distncia mnima como a busca do valor de ai mais prximo de r0 , onde ai e r0 so pontos em uma reta. Sob essa perspectiva, ca claro que, para a congurao da gura 3.2, o detector de distncia mnima deve decidir que o smbolo transmitido foi 3. Claramente, temos assim uma interpretao mais intuitiva do critrio de distncia mnima. Esta interpretao permite tambm uma implementao interessante do detector de distncia mnima. Ele deve, inicialmente, calcular r0 . O estgio seguinte depende da modulao em questo. Para o sistema mostrado na gura 3.2, temos que, se r0 < 6, o receptor deve dizer que o smbolo transmitido foi 7. Se 6 r0 < 4, o receptor deve dizer que o smbolo transmitido foi 5, e assim sucessivamente. Em outras palavras, o receptor implementado como um correlador seguido de um quantizador. Esta implementao pode ser consideravelmente mais simples do que a mostrada na gura 3.1. Terminamos essa seo com uma ltima denio. Conforme vimos, tudo que o detector precisa saber a respeito de r(t) para fazer a sua deciso de distncia mnima o valor de r0 . Assim, r0 chamado de estatstica suciente para o processamento de r(t). Falaremos um pouco mais sobre isso no nal desse captulo.

CAPTULO 3. RECEPTORES DE SINAIS EM BANDA BASEz(t) r amostrador s Deciso

39

Figura 3.3: Filtro de recepo e o amostrador.

3.3 Filtros de RecepoNas sees anteriores, vimos que a primeira etapa de um receptor de distncia mnima consiste em um correlador. Nesta seo, obteremos uma implementao alternativa do correlador como um ltro linear, a partir de uma abordagem alternativa da seo anterior. Obteremos tambm uma propriedade importante do ltro resultante. Comearemos com um cenrio genrico. No captulo anterior, assumimos que o sinal s(t) era amostrado diretamente. Entretanto, a presena de rudo foi ignorada. Se o sinal recebidor(t) for corrompido por rudo, ele no deve ser amostrado diretamente. Isso porque o rudo est presente em todas as freqncias (por se tratar de um rudo branco), ao passo que o sinal de interesse est limitado a freqncias entre W e W . Assim, se passarmos r(t) por um ltro passa baixas, podemos eliminar muito do rudo sem afetar em nada o sinal de interesse. Um ltro como o descrito acima, colocado antes do amostrador, chamado de ltro de recepo, e est mostrado na gura 3.3. Nesta gura, temos que

z(t) = r(t) h(t) = s0 (g(t) h(t)) + n(t) h(t),

onde h(t) a resposta ao impulso do ltro e * indica convoluo. Ainda que o ltro passa baixas seja uma opo vivel e intuitiva para um ltro de recepo, ele no o nico nem o melhor, como veremos na seqncia.

3.3.1 Filtro CasadoNesta seo, proporemos um critrio para o projeto de um ltro de recepo, e estabeleceremos algumas propriedades do ltro resultante. Para isso, considere que o sinal em (3.9) seja amostrado no instante 0. Teremos, ento, que a sada do ltro de recepo dada por r0 = p(0)s0 + v(0), (3.10)

k

k

r(t)

h(t)

(3.9)


40

onde p(t) = g(t) h(t) e v(t) = n(t) h(t). Vemos, assim, que existem dois componentes na sada do ltro: um que traz informao sobre o sinal de interesse, dado por p(0)s0 , e outro que corresponde ao rudo, dado por v(0). Podemos, ento, pensar no seguinte critrio para o projeto do ltro de recepo: gostaramos que, no instante de amostragem, a relao entre a potncia do sinal de interesse e a do componente de rudo seja a maior possvel. Esta relao entre as potncias conhecida como relao sinal-rudo (SNR, do ingls signal-to-noise ratio ), e pode ser escrita como

SN R =

E [|p(0)s0 |2 ] |p(0)|2 E [|s0 |2 ] = , E [|v(0)|2 ] E [|v(0)|2 ]

(3.11)

onde a ltima igualdade segue do fato que p(0) uma constante determinstica. Buscaremos agora uma forma de escrever a expresso em (3.11) em termos das formas de onda g(t) e h(t). Para isto, note que podemos escrever

p(0) =

h(t)g( t) dt =0

=

h(t)g(t) dt.

(3.12)

Mais ainda, podemos escrever

E |v(0)|2 = E [v(0)v(0)] = E [(n(t) h(t))|t=0 (n(t) h(t))|t=0 ] .

(3.13)

Usando diferentes variveis para descrever as convolues em (3.13), obtemos que

E |v(0)|2 = E =

h(t)n(t)dt

h( )n( )d(3.14)

E [n(t)n( )] h(t)h( )dtd .

Finalmente, lembrando que o rudo branco e portanto E[n(t)n( )] = 2 (t ), temos que

E |v(0)|2 = 2 =2

(t )h(t)h( ) dt d |h(t)| dt.2

(3.15)

Assim, substituindo (3.12) e (3.15) em (3.11), temos que

SN R =

E [|s0 |2 ] | g(t)h(t) dt|2 . 2 |h(t)|2 dt

(3.16)


41

De posse desta expresso para a SN R em termos de g(t) e h(t), podemos agora passar para a obteno de um ltro de recepo que maximize a SN R. Para isso, usaremos a desigualdade de Cauchy-Schwarz que, conforme mostrado no apndice B, implica que2

g(t)h(t) dt

|g(t)|2 dt

|h(t)|2 dt,

(3.17)

com igualdade se e somente se h(t) um mltiplo de g(t). Substituindo essa desigualdade em (3.16), temos que

SN R

E [|s0 |2 ]

g(t)|2 dt , 2

(3.18)

com igualdade se e somente se h(t) um mltiplo de g(t). Ou seja, o maior valor que a SN R pode assumir dado pelo lado direito de (3.18), o que ocorre quando h(t) um mltiplo de g(t). Por simplicidade, escolhemos h(t) = g(t). Neste caso, dizemos que o ltro h(t) est casado ao pulso g(t), e o ltro resultante chamado de ltro casado. A expresso do ltro casado no domnio da freqncia tambm bastante simples. De fato, usando propriedades da transformada de Fourier, pode-se mostrar que se h(t) = g(t), ento H(f ) = G (f ). Em outras palavras, a magnitude da resposta em freqncia do ltro casado igual do pulso conformador, ao passo que suas fases possuem sinais invertidos.

3.3.2 Relao entre o Filtro Casado e o CorreladorNesta seo, mostraremos como o detector de distncia mnima pode ser implementado com um ltro casado. Isso de interesse, pois a implementao de um ltro linear como o ltro casado bastante simples. Para estabelecer esta relao, note que a sada do ltro casado no instante t = 0 dada por r0 = r(t) h(t)|t=0

= =

r(t)h(t) dt(3.19)

r(t)g(t) dt

= r(t), g(t) ,


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onde usamos o fato que h(t) = g(t). Vemos, ento, que no instante t = 0, a sada do ltro casado igual sada do correlador. Esta observao pode ser generalizada. De fato, a sada do ltro casado no instante t = kTs dada por

rk = r(t) h(t)|t=kTs = = r(t)h(kTs t) dt(3.20)

r(t)g(t kTs ) dt

= r(t), g(t kTs ) .Em outras palavras, a sada do ltro casado no instante t = kTs igual correlao entre o sinal recebido, r(t), e uma verso deslocada do pulso de transmisso, g(t kTs ). Este resultado ter conseqncias importantes na implementao de um receptor de distncia mnima para a deteco de mltiplos pulsos.

3.4 Recepo de mltiplos pulsosConsidere agora a transmisso de mltiplos pulsos, de forma que o sinal transmitido dado por s(t) = K1 sk g(tkTs ). Para a discusso nesta seo assumiremos k=0 inicialmente um sistema sem rudo, de forma que o sinal recebido r(t) = s(t). Assumiremos tambm o uso de um ltro de recepo, com resposta ao impulso h(t). Neste caso, a sada do ltro de recepo, expressa em (3.9), dada porK1 K1

z(t) = h(t) r(t) = h(t) k=0

sk g(t kTs ) =k=0

sk p(t kTs ),

(3.21)

onde p(t) = h(t)g(t), e onde usamos o fato de que a convoluo linear e invariante no tempo. Podemos agora seguir um raciocnio semelhante ao da seo 2.3, que levou ao critrio de Nyquist. De fato, na seo 2.3 tentamos decidir qual foi o smbolo transmitido amostrando o sinal recebido r(t) a cada Ts segundos, onde Ts o perodo de smbolo. Aqui, podemos tentar fazer a mesma deciso baseado na sada do ltro de recepo, ou seja, amostramos z(t) a cada Ts segundos e tentamos com isso decidir qual foi o smbolo transmitido. Observe que z(t) muito semelhante ao sinal r(t) da seo 2.3, mas com p(t) ocupando o lugar de g(t). De certa forma, como se a presena do ltro de recepo transformasse o pulso de transmisso em p(t).


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Seja ento z[k] = z(kTs ). Gostaramos que z[k] fosse igual a sk , ou seja, que no houvesse interferncia entre os smbolos. Seguindo os passos da seo 2.3, possvel ver que, para que isso seja verdade, necessrio que p[k] = [k], onde p[k] = p(kTs ). Ou seja, devido presena do ltro de recepo, necessrio que p(t), e no g(t), satisfaa o critrio de Nyquist. Como p(t) = g(t) h(t), ento P (f ) = G(f )H(f ). Finalmente, temos que o critrio de Nyquist para sistemas com ltro de recepo dado por 1 n n G f H f = 1. (3.22) Ts n= Ts Ts Caso o sistema empregue um ltro casado, temos que H(f ) = G (f ). Portanto, de (3.22), para que no tenhamos IIS nas amostras da sada do ltro casado, o pulso conformador deve satisfazer

1 Ts

n=

n G f Ts

2

= 1.

(3.23)

Em outras palavras, o quadrado da resposta em freqncia do pulso conformador que deve satisfazer o critrio de Nyquist. Dizemos que um pulso com esta caracterstica um pulso de raz de Nyquist.

3.4.1 Raz de Cosseno LevantadoUm pulso raz de Nyquist muito usado na prtica o raz de cosseno levantado, cuja resposta em freqncia a raz quadrada de (2.16), equao que dene a resposta em freqncia do cosseno levantado. Aplicando a transformada de Fourier inversa, obtemos que a raz de cosseno levantado dada port 4 cos (1 + ) Ts + g(t) = Ts 1 Ts 4t 4t Ts t sin (1 ) Ts 2

.

(3.24)

3.4.2 Detectores de Distncia MnimaNesta seo, veremos como podemos projetar um detector de distncia mnima para a deteco de mltiplos pulsos. Assuma inicialmente a transmisso de dois pulsos, s0 e s1 , de forma que r(t) = s0 g(t) + s1 g(t Ts ) + n(t). Assuma tambm o uso de 2-PAM, de forma que os pulsos podem assumir valores +1 ou 1. Neste caso, existem quatro possveis pulsos transmitidos:


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g(t) + g(t Ts ), g(t) g(t Ts ), g(t) + g(t Ts ), g(t) g(t Ts ).Teoricamente, deveramos calcular a distncia entre r(t) e cada uma dessas quatro possibilidades, fazendo a deciso pelos smbolos que levam menor distncia2 . Obviamente a complexidade deste detector grande. Pior ainda, se houvssemos transmitido 1000 smbolos, deveramos comparar r(t) com 21000 possveis sinais transmitidos. Este nmero excede a estimativa atual para o nmero de tomos no universo, indicando que a complexidade deste detector invivel. A simplicao do detector de distncia mnima neste caso passa por uma hiptese importante: assumiremos que o pulso g(t) seja um pulso raz de Nyquist, satisfazendo (3.23). Estes pulsos possuem a importante propriedade de que g(t) e g(t kTs ) so ortogonais3 . De fato, como h(t) = g(t),

g(t), g(t kTs ) = =

g(t)g(t kTs ) dt g(t)h(kTs t) dt(3.25)

= (g(t) h(t))|t=kTs .Ora, de (3.22) e (3.23) vemos que o pulso g(t) h(t) satisfaz o critrio de Nyquist, de forma que g(t), g(t kTs ) = k . (3.26) Como conseqncia desta ortogonalidade, podemos representar o sistema com dois pulsos como na gura 3.4. Como os dois tringulos retngulos desta guraque a idia de distncia mnima comparar r(t) com todos os possveis sinais transmitidos. Uma dessas comparaes ser com o sinal que foi de fato transmitido, e nesse caso estaremos medindo apenas a energia do rudo. Nos outros casos, medimos a energia do rudo mais um outro termo. Espera-se que a energia nesses outros casos seja maior do que no caso com rudo apenas. por isso que selecionamos a hiptese com menor energia, ou de distncia mnima 3 Esta propriedade tambm importante para o projeto de constelaes, conforme veremos adiante.2 Lembre-se


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r(t)

r0 r1 a1

a0

g(t)

r0 g(t) + r1 g(t Ts )

a0 g(t) + a1 g(t Ts ) g(t Ts )

Figura 3.4: Espao de sinais com a transmisso de dois smbolos. deixam claro,

r(t) (a0 g(t) + a1 g(t Ts ))

2

= r(t) (r0 g(t) + r1 g(t Ts )) 2 + (r0 g(t) + r1 g(t Ts )) (a0 g(t) + a1 g(t Ts )) = r(t) (r0 g(t) + r1 g(t Ts )) 2 + (r0 g(t) a0 g(t) + |r0 a0 |2 g(t)2 2

+ r1 g(t Ts ) a1 g(t Ts ) + |r1 a1 |2 g(t) 2 .

2

= r(t) (r0 g(t) + r1 g(t Ts )) 2 +2

(3.27) Claramente, o termo a0 aparece em apenas um lugar na equao acima, no termo |r0 a0 |2 . Da mesma maneira, o termo a1 aparece em apenas um lugar na equao acima, no termo |r1 a1 |2 . O problema de determinar o sinal transmitido mais prximo ao recebido foi ento desacoplado em dois problemas. Basta determinar o smbolo a0 mais prximo de r0 e o smbolo a1 mais prximo de r1 . Em cada uma destas hipteses, necessrio fazer duas comparaes para cada smbolo. No caso de 1000 smbolos transmitidos, isto resulta em 2000 comparaes, valor muito menor do que as 21000 comparaes do mtodo no incio desta seo.


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3.4.3 RudoConsidere novamente o sinal na sada do amostrador da gura 3.3. Para podermos analisar o desempenho deste sistema, necessrio conhecer as estatsticas do rudo. Assim, nesta seo, estudaremos as estatsticas da seqncia aleatria nk , que representa o componente de rudo de rk . De (3.9), temos que nk = (n(t)h(t))|t=kTs . Obviamente, nk o resultado da ltragem linear de um processo Gaussiano, e portanto Gaussiano. Mais ainda, como E[n(t)] = 0, E[nk ] = 0. Falta determinar a funo de autocorrelao de nk . Assim, considere

E[nk nl ] = E[

n(t)h(kTs t) dt

n( )h(kTs ) d ],

(3.28)

onde usamos duas variveis de integrao distintas para representar nk e nl . Trocando a ordem das integrais com a esperana, e reconhecendo que n(t) a nica grandeza aleatria, temos que

E[nk nl ] = = =

E[n(t)n( )]h(kTs t) dt h(lTs ) d N0 /2(t )h(kTs t) dt h(lTs ) d N0 /2h(kTs )h(lTs ) d .(3.29)

Ora, se h(t) um ltro casado, ento h(t) = g(t). Portanto,

E[nk nl ] =

N0 /2g( kTs )h(lTs ) d

(3.30)

= N0 /2(g(t) h(t))|t=(lk)Ts .Se, alm disso, os pulsos satiszerem (3.23), ento a convoluo acima d zero, a no ser que k = l. Assim, conclumos que se usarmos um ltro de recepo casado que satisfaz (3.23), ento E[nk nl ] = N0 /2kl , (3.31) ou seja, os rudos tm varincia N0 /2 e so descorrelacionados. Como eles so Gaussianos, isto signica que eles so independentes. A independncia entre amostras consecutivas de rudo de suma importncia para o esquema de deteco da gura 3.3. De fato, ela indica que o sinal nl no traz nenhuma informao sobre o sinal nk . Como assumimos que os smbolos transmitidos tambm so independentes, isso implica que o sinal rl tambm no traz nenhuma


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informao sobre rk . Em outras palavras, usar apenas o sinal rk para decidir sobre o k -simo smbolo transmitido no acarreta nenhuma perda de desempenho. Ou seja, para canais que introduzem apenas rudo aditivo, um receptor smbolo-a-smbolo timo se o ltro de recepo satiszer (3.23). Se, por outro lado, os rudos fossem correlacionados, ns seramos capazes de extrair alguma informao sobre nk a partir de rl . Em outras palavras, poderamos usar rl para melhorar a nossa deciso sobre o k -simo smbolo transmitido. Infelizmente, esta informao no bvia, e sua demonstrao no simples.

3.4.4 Resumo: Um Receptor PrticoNesta seo, estudamos um receptor como o mostrado na gura 3.3. Principalmente, mostramos as vantagens de usar um ltro casado como ltro de recepo. Este ltro maximiza a relao sinal rudo em sua sada. Alm disso, se amostrarmos sua sada nos instantes t = kTs , obteremos um sinal rk igual correl

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