Tutorial Maxima

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 Introdução aos Introdução aos Sistemas Dinâmicos Sistemas Dinâmicos UMA ABORDAGEM PR ´ ATICA COM MAXIMA Jaime E. Villate 9 789729 939600 ISBN 972-99396-0-8

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Introduo aosIntroduo aosSistemas DinmicosSistemas DinmicosUMA ABORDAGEM PRATICA COM MAXIMAJaime E. Villate9789729939600ISBN 972-99396-0-8Introduc ao aos sistemas din amicosUma abordagem pr atica com MaximaJaime E. VillateFaculdade de EngenhariaUniversidade do PortoIntroduc ao aos sistemas din amicos: uma abordagem pr atica com MaximaCopyright c _2005, 2006, 2007 Jaime E. VillateE-mail: [email protected] trabalho est a licenciado sob uma Licenca Creative Commons Atribuic ao-Partilha nos termos damesma Licenca 2.5 Portugal. Para ver uma c opia desta licenca, visitehttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/pt/ ou envie uma carta para CreativeCommons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.ISBN: 972-99396-0-8Vers ao 1.2, do 27 de Fevereiro de 2007A imagem na capa e o conjunto de Julia do n umero complexo 0.75+i 0.1, com 48 iterac oes, como seexplica no captulo 12.Conte udoPref acio xiii1 Introduc ao 11.1 Equac oes diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Resoluc ao de problemas de fsica usando o Maxima. . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Sistemas din amicos discretos 92.1 Evoluc ao de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 An alise gr aca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Pontos xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Pontos peri odicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Resoluc ao num erica de equac oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.1 M etodo de iterac ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 M etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Sistemas din amicos contnuos 273.1 Equac oes diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Campo de direcc oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Sistemas din amicos de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.2 Circuito RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Sistemas aut onomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34iv CONTE UDO3.4.1 Retrato de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.5 M etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Resoluc ao analtica das equac oes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.6.1 Equac oes de vari aveis separ aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6.2 Equac oes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.6.3 Equac oes exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6.4 Equac oes homog eneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.5 Equac ao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.6.6 Equac ao de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.7 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.8 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 Sistemas contnuos de segunda ordem 534.1 Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Lancamento de proj ecteis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Sistemas de segunda ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.1 Retrato de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Resoluc ao analtica das equac oes de segunda ordem. . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.1 Equac oes aut onomas de segunda ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 Sistemas n ao aut onomos e derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . 664.6 Eliminac ao de singularidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.7 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 Sistemas lineares 715.1 Osciladores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3 Pontos xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4 Vectores e valores pr oprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.4.1 Valores pr oprios reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4.2 Razes complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.5 Classsicac ao dos sistemas de segunda ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6 N os pr oprios e impr oprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.7 Pontos xos n ao hiperb olicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86CONTE UDO v5.8 Osciladores amortecidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.9 Oscilac oes nos circuitos el ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.10 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.11 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.12 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926 Sistemas n ao lineares 956.1 Linearizac ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.2 O p endulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.3 M etodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4 Sistemas de equac oes de primeira ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.5 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.6 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117 Sistemas hamiltonianos 1137.1 Func ao hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.2 Soluc oes no espaco de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3 Pontos xos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.4 Sistemas gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.5 P endulo de Wilberforce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.6 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.7 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238 Ciclos limite 1258.1 Oscilac oes auto-excitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.2 Exist encia de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.3 Inexist encia de ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.4 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.5 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 Coexist encia de duas esp ecies 1359.1 Sistemas predador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.2 Sistemas com competic ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.3 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138vi CONTE UDO9.4 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810Bifurcac oes e caos 14110.1 Bifurcac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.1.1 Bifurcac ao sela-n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.1.2 Bifurcac ao transcrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.1.3 Bifurcac ao de forquilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.2 Exemplos fsicos de bifurcac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.3 Bifurcac oes e caos em sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.4 Diagrama de orbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.5 Teorema de Poincar e-Bendixon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.6 Caos em sistemas contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.6.1 Equac oes de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.6.2 Equac oes de R ossler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.7 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.8 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.9 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15911Sistemas discretos de segunda ordem e fractais 16111.1 Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.2 Sistemas aleat orios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16511.3 Sistemas iterativos de func oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.4 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16911.5 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012Sistemas discretos no plano complexo 17312.1 Sistemas quadr aticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17312.2 A func ao quadr atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.3 Conjunto de Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17412.3.1 Crit erio de converg encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17512.4 O conjunto de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.5 Refer encias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17912.6 Perguntas de escolha m ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18012.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181CONTE UDO viiA Tutorial do Maxima 183A.1 A interface do Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.2 Entrada e sada de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.3 Vari aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.4 Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.5 Equac oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187A.6 Gr acos de func oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188A.7 Func oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191A.8Algebra e trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192A.9 C alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193A.10 Equac oes diferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194A.11 Guardar informac ao entre sess oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195Respostas 197Indice Remissivo 201Bibliograa 204viii CONTE UDOLista de Figuras1.1 Pot encia dissipada numa resist encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Traject oria de uma partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Evoluc ao de yn+1 = cos(yn) com y0 = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Diagrama de degraus para xn+1 = cos(xn) com x0 = 2. . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Soluc oes de yn+1 = y2n0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Soluc oes do modelo logstico discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 M etodo de Newton para aproximac ao a uma raz. . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1 Campo de direcc oes da equac ao y/ = y +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Campo de direcc oes da equac ao v =g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Campo de direcc oes para a velocidade de um p ara-quedista. . . . . . . . . . . . 323.4 Circuito RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5 Campo de direcc oes do circuito RC com R = 4 k, C = 250 nF e = 5 V. . . . . 343.6 Retrato de fase para a velocidade do p ara-quedista, onde vtdesigna a velocidadeterminal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7 Retrato de fase do circuito RC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Retrato de fase do sistema aut onomo x = 4x2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.9 M etodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.10 Soluc ao num erica e soluc ao exacta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1 Altura em func ao do tempo, de um p ara-quedista. . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 Traject oria de um proj ectil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3 As func oes f e g, calculadas num dado ponto (x0, y0), denem a velocidade defase nesse ponto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.4 Retrato de fase do sistema 4.13, mostrando os 4 pontos xos (0, 0), (1, 0), (0, 0.75)e (0.5, 0.5). O gr aco da direita mostra uma das soluc oes, em func ao do tempo. . 604.5 Campo de direcc oes do sistema x =y, y =x e soluc ao comestado inicial x(0) =3e y(0) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67x LISTA DE FIGURAS5.1 Esfera suspensa por uma mola vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.2 Evoluc ao do oscilador harm onico simples, no espaco de fase e no domnio do tempo. 735.3 Retrato de fase do sistema linear x = x +y, y = x/2+y. A origem e um n o inst avel. 785.4 Retrato de fase do sistema linear x = x+2y, y = x+y. A origem e um ponto de sela. 805.5 Retrato de fase do sistema linear x = x 2y, y = x y. A origem e um centro. . . 825.6 Retrato de fase do sistema linear x =x2y, y =xy. A origem e um foco est avel. 835.7 Classicac ao dos sistemas lineares de segunda ordem, em func ao do semi-traco,, e do determinante, D, da matriz do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.8 Retratos de fase com n o pr oprio e com n o impr oprio. . . . . . . . . . . . . . . . 855.9 Retrato de fase do sistema linear x = x +2y, y = x +2y. Existem pontos xos n aohiperb olicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.10 Oscilador harm onico amortecido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.11 Evoluc ao do oscilador harm onico com amortecimento fraco. . . . . . . . . . . . 885.12 Circuito LCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.1 Campo de direcc oes do sistema x = 4x24y2, y = y2x2+1. . . . . . . . . . 966.2 Retrato de fase do sistema x = 4x24y2, y = y2x2+1. . . . . . . . . . . . 996.3 Retrato de fase do sistema x = x, y = x2+y21. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.4 Retrato de fase do p endulo simples e gr aco de uma soluc ao (identicada com on umero 3), em func ao do tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.5 Oscilac oes do p endulo, com amplitude angular de 29 (esquerda) e 115 (direita). 1046.6 Os quatro valores da derivada usados no m etodo de Runge-Kutta de quarta ordem.Neste caso para o sistema x = x +t2; a verde, mostra-se a soluc ao exacta dessesistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.7 Soluc oes do sistema x =t x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.8 Uma traject oria do sistema x = 4x24y2, y = y2x2+1. . . . . . . . . . . . 1107.1 Retrato de fase para a func ao hamiltoniana H = (y2x2)/2x3/3. . . . . . . . 1167.2 P endulo de Wilberforce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.3 Evoluc ao do alongamento e do angulo de rotac ao no p endulo de Wilberforce. . . 1207.4 Soluc ao do sistema, no plano formado pelo alongamento e o angulo. . . . . . . . 1207.5 Evoluc ao do alongamento e o momento linear (azul) e do angulo e momento an-gular (verde); o tempo aumenta na vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.1 Circuito que d a origem a oscilac oes auto-excitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.2 Caracterstica corrente an odica-tens ao da grelha de um trodo de v acuo. . . . . . 1268.3 Soluc ao da equac ao de van der Pol para um valor pequeno do par ametro = 0.17. 1278.4 Soluc ao da equac ao de van der Pol para um valor interm edio do par ametro = 1. 127LISTA DE FIGURAS xi8.5 Soluc ao da equac ao de van der Pol para o par ametro = 1.28. . . . . . . . . . . 1288.6 Retrato de fase de um sistema com ciclo limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.7 Retrato de fase do sistema x =y +x(12x23y2), doty = x +y(12x23y2). 1309.1 Possvel ciclo num sistema predador-presa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.2 Retrato de fase do modelo de Holling-Tanner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710.1 Retrato de fase para negativo; n ao existem pontos xos. . . . . . . . . . . . . . 14210.2 Retratos de fase para = 0 (esquerda) com um ponto xo n ao-hiperb olico, e para positivo (direita) com um ponto de sela e um n o est avel. . . . . . . . . . . . . . 14310.3 Diagrama de bifurcac oes para x = x2, y =y. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14410.4 Bifurcac ao transcrtica do sistema x = x x2, y =y. . . . . . . . . . . . . . . 14510.5 Diagrama de bifurcac ao do sistema x = x x2, y =y. . . . . . . . . . . . . . 14510.6 Bifurcac ao de forquilha no sistema x = x x3, y =y. . . . . . . . . . . . . . . 14610.7 Diagrama de bifurcac ao do sistema x = x x3, y =y. . . . . . . . . . . . . . 14710.8 P endulo simples ligado a uma mola e diagrama de corpo livre. . . . . . . . . . . 14810.9 Diagrama de bifurcac ao do ponto de equilbrio do p endulo com mola e energiapotencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.10Dois membros da famlia de mapas quadr aticos, com c = 1 e c = 1/4. . . . . . . 15110.11As func oes Q (vermelho) e Q2(verde) para c = 0 e c =3/4. . . . . . . . . . . 15210.12Para c =1 o sistema tem um ciclo de ordem 2 e para c =2 existem ciclos comqualquer perodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.13c=-2.2 e conjunto de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.14Diagrama de bifurcac oes do mapa quadr atico e amplicac ao de uma regi ao. . . . 15410.15Os tr es possveis tipos de Soluc oes limitadas num sistema contnuo de segundaordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15510.16Oscilac oes do sistema de Lorenz para dois valores muito pr oximos do valor inicial:x(0) = 5 (vermelho) e x(0) = 5.005 (azul). Par ametros: a = 10, b = 8/3, r = 28,y(0) = 5, z(0) = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.17Soluc ao ca otica do sistema de Lorenz, projectada no plano xz. Os par ametros s aoos mesmos da gura 10.16, com x(0) = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15610.18Ocaso c =2.3 (compar ametros a =b =0.2) conduz a umciclo limite comperodosimples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15710.19Ocaso c =3.3 (compar ametros a =b =0.2) conduz a umciclo limite comperododuplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711.1 Evoluc ao do sistema de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16211.2 Mapa de H enon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16311.3 Uma regi ao do mapa de H enon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163xii LISTA DE FIGURAS11.4 O fractal obtido e uma regi ao amplicada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16411.5 Tri angulo de Sierpinski e quadrado fractal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.6Arvore fractal, gerada com um sistema iterativo de 3 func oes. . . . . . . . . . . . 16711.7 Fractal em forma de folha, gerado com 4 transformac oes. . . . . . . . . . . . . . 16811.8 As 4 transformac oes usadas para obter o feto de Barnsley. . . . . . . . . . . . . . 16912.1 Conjunto de Julia para c =0.55+i0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17512.2 Conjunto de Julia para c =0.75+i0.1, com 36 iterac oes e 48 iterac oes. . . . . 17612.3 Conjunto de Julia para c =0.75+i0.1, com 160 e 300 iterac oes. . . . . . . . . 17712.4 Conjunto de Julia para c = 1, com 24 iterac oes, e ampliac ao da regi ao perto de(0+i0.6), com 36 iterac oes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17712.5 O conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.6 Uma pequena regi ao dentro do conjunto de Mandelbrot. . . . . . . . . . . . . . . 179A.1 Xmaxima, vers ao 5.9.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184A.2 Gr aco do polin omio 3x3+5x2x +6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188A.3 Gr aco das func oes seno e co-seno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.4 Gr aco da func ao sin(x)sin(y), obtido com Gnuplot. . . . . . . . . . . . . . . . 190A.5 Gr aco da func ao sin(x)sin(y), obtido com Openmath. . . . . . . . . . . . . . . 190Pref acioEste manual e modicado com bastante frequ encia. O n umero da vers ao actual aparece na con-tracapa, e a vers ao mais recente pode ser sempre obtida na Web emhttp://fisica.fe.up.pt/maxima/. Esta vers ao foi escrita para ser usada em conjunto com a vers ao 5.11 do Maxima(http://maxima.sourceforge.net).A escrita deste livro foi feita para servir de apoio a uma disciplina de Fsica dos Sistemas Din ami-cos, leccionada a partir 2003 na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. A disciplinados sistemas din amicos encontra-se na fronteira entre a fsica, a matem atica e a computac ao, efoi criada em substituic ao da antiga disciplina de Fsica Experimental, leccionada no curso deEngenharia Inform atica e Computac ao. Por ser uma area cientca que n ao e leccionada usandoo tradicional m etodo axiom atico da fsica e da matem atica, e mais apropriado utilizar um m etodopr atico de ensino, baseado em projectos realizados com o computador.As d ecadas de 1960 e 1970 marcaram o renascimento do estudo dos sistemas din amicos comouma nova area de investigac ao, com caracter pr oprio, que por ser inovador deu origem a agita-das pol emicas nos meios cientcos. O impulso inovador foi propiciado pelo desenvolvimentoacelerado dos meios computacionais.Surgiu uma gerac ao de investigadores que usavam os seus computadores como aut enticos labo-rat orios para explorar equac oes e descobrir novos fen omenos. Os matem aticos tradicionais criti-caram a sua falta de rigor cientco, por n ao existir uma teoria s olida que explicasse os resultadosobtidos. Grande parte desses resultados encontram-se no domnio da fsica: din amica n ao linear,mat eria condensada, electromagnetismo. Mas, para muitos fsicos, essa nova disciplina e vistacomo uma simples implementac ao computacional de conhecimentos antigos e j a bem estabeleci-dos, sem nenhuma inovac ao do ponto de vista fsico.E comum o coment ario: isto e tudo muitointeressante, mas onde entra a fsica?.Assim, os pioneiros da nova area dos sistemas din amicos foram confrontados com rejeic oes depublicac ao em revistas de renome, e avaliac oes negativas. Mas, por outro lado, a sua actividadedespertou um interesse que foi aumentando exponencialmente e foi uma lufada de ar fresco paraa comunidade cientca, j a que os seus m etodos adaptam-se facilmente ` a realidade actual do tra-balho cientco.O novo paradigma inltrou-se tamb em no ensino, e as tradicionais disciplinas de fsica e ma-tem atica t em sido contaminadas com essa nova metodologia experimental/ computacional, emcontraste com o tradicional m etodo axiom atico. Tal como nos crculos cientcos, no sector edu-cativo a mudanca tem sido tamb em pol emica e, ao mesmo tempo, tem despertado grande interessepor ser f acil de adaptar` a realidade actual com que s ao confrontados os alunos. Temas como ocaos e os fractais despertam facilmente o interesse dos alunos.xiv Pref acioNeste livro pretendemos explorar alguns temas da din amica de sistemas, numa forma activa, apoi-ados sempre nas ferramentas computacionais e sem entrar em muitos pormenores abstractos. Ouso de um Sistema Computacional Alg ebrico (CAS) n ao elimina a necessidade de raciocnio ma-tem aticoporpartedosalunosnemtornaoensinopuramentet ecnico. Umadascomplicac oesinerentes aos programas de algebra no computador e o facto de n ao existirem respostas unicas.Diferentes m etodos podem produzir respostas a um mesmo problema que aparentemente s ao di-ferentes, masquerepresentamamesmafunc ao. Ouasrespostaspodemserfunc oesdefactodiferentes, que s o coincidem num determinado domnio. Em alguns casos o sistema n ao pode d aonenhuma soluc ao ou at e pode dar soluc oes erradas.E preciso ganhar alguma experi encia para poder utilizar as ferramentas CAS com sucesso e podertestar a veracidade dos resultados obtidos. No processo de obtenc ao dessa experi encia, o utilizadoracaba por adquirir novos conhecimentos sobre os m etodos matem aticos usados pelo sistema.Hoje em dia a grande maioria dos prossionais de engenharia e ci encias exactas dependemos dasm aquinas de calcular para obter a raz quadrada de um n umero real, por exemplo, 3456. Algunsde n os aprendemos na escola como calcular essa raz, usando papel e l apis, na epoca em que n aoexistiamcalculadoras electr onicas. N ao me parece que essa depend encia na calculadora seja grave.Tamb em n ao acho necess ario ensinar as criancas como calcular razes com papel e l apis antes depermitir-lhes utilizar a calculadora. O que sim acho muito importante e que o algoritmo que eraensinado para calcular razes quadradas permaneca disponvel e bem documentado na literatura;faz parte do nosso legado de algoritmos matem aticos.Por outro lado, hoje em dia que os alunos podem usar calculadoras para calcular razes quadradas,podem avancar mais rapidamente para outros temas como o estudo das equac oes quadr aticas; e atrav es desse estudo poder ao ganhar uma compreens ao mais profunda da func ao x, o que n ao eprov avel que aconteca enquanto aprendem o algoritmo para calcular razes quadradas com papele l apis. No caso das equac oes diferenciais e equac oes de diferencas, com a ajuda de um SistemaComputacional Alg ebrico o aluno pode avancar mais rapidamente para outros temas como o caos efractais, em vez de dedicar um semestre completo a aprender v arios algoritmos para obter soluc oesanalticas de alguns poucos tipos de equac oes.Agradeco aos meus colegas Helena Braga e Francisco Salzedas, com quem tenho leccionado adisciplina de Fsica dos Sistemas Din amicos, e aos alunos que t em frequentado a disciplina nos ultimos anos; os seus coment arios positivos encorajaram-me a escrever este livro.Os alunos t emtido que realizar projectos para esta disciplina; alguns desses projectos foram muito interessantese ajudaram-me a aprender alguns dos temas abordados aqui. Agradeco especialmente ao alunoPedro Martins e ao professor Francisco Salzedas por terem feito uma revis ao cuidadosa do texto.Jaime E. VillatePorto, Fevereiro de 2007Captulo 1Introduc ao1.1 Equac oes diferenciaisAs equac oes diferenciais desempenham um papel muito importante na engenharia e nas ci enciasexactas. Muitosproblemasconduzemaumaouv ariasequac oesdiferenciaisquedever aoserresolvidas. Otipodeequac oesquet emrecebidomaioratenc aos aoasequac oesdiferenciaislineares; existem t ecnicas analticas para resolver esse tipo de equac oes.As equac oes diferenciais n ao lineares s ao mais difceis de analisar e n ao existem t ecnicas geraisde resoluc ao. O tipo de problemas que podem ser analisados com maior facilidade s ao os sistemasque conduzem a equac oes lineares. A partir da segunda parte do s eculo XX, com o r apido desen-volvimento dos computadores, tem sido possvel resolver problemas n ao-lineares usando m etodosnum ericos. Os sistemas n ao lineares permitem estudar muitos fen omenos interessantes que n aoaparecem em sistemas lineares.Com o estudo dos sistemas n ao lineares tem ganho popularidade uma nova abordagem das equa-c oes diferenciais, que d a mais import ancia ` a analise geom etrica e menos import ancia ` as t ecnicasanalticas de resoluc ao. Muitos dos conceitos utilizados, como o espaco de fase, s ao uma genera-lizac ao dos m etodos utilizados na din amica para estudar o movimento de um sistema.Paraintroduzir essanovametodologia, nospr oximoscaptulosvamosestudar problemases-peccos de din amica e circuitos el ectricos que conduzem a equac oes an alogas` as equac oes dadin amica. Antes de comecar, vamos introduzir o sistema computacional, Maxima, que vamosutilizar.1.2 Resoluc ao de problemas de fsica usando o MaximaMaxima e um sistema de software na categoria dos sistemas designados de CAS (Computer Alge-bra System), nomeadamente, sistemas que para al em de n umeros, permitem manipular equac oesalg ebricas com vari aveis indeterminadas.Existem v arios sistemas CAS; optamos por usar o Ma-xima por ser software livre; isso implica que pode ser instalado e utilizado pelos alunos sem teremque obter uma licenca e os alunos podem at e estudar o c odigo fonte para compreender o seu fun-cionamento. Outra vantagem importante e a possibilidade de poder modicar e adaptar o sistema2 Introduc ao` as nossas necessidades, o que facilitou a nossa tarefa de escrever m odulos especcos para estemanual.O Maxima pode realizar muitas operac oes com func oes matem aticas, incluindo derivac ao, primi-tivac ao, aproximac ao com s eries de pot encias, transformadas de Laplace, resoluc ao de equac oesdiferenciais ordin arias, resoluc ao de sistemas de equac oes lineares, realizac ao de gr acos em duase tr es dimens oes. Permite tamb em trabalhar com matrizes e vectores. O Maxima pode ser usadotamb em para resolver problemas em forma num erica, e escrever programas, como uma linguagemde programac ao tradicional.Os exemplos que se seguem dever ao ser sucientes para dar uma vis ao inicial do funcionamentodo Maxima. Ao longo dos pr oximos captulos vamos aprofundar mais no tema, mas quem n aoestiver familiarizado com o Maxima e preferir comecar com uma descric ao mais extensa dessepacote, pode consultar o ap endice A. Os exemplos que vamos resolver nesta secc ao s ao na area dadin amica de partculas e circuitos de corrente contnua, por serem os temas centrais deste manual.Ser ao precisos alguns conhecimentos mnimos desses dois temas.Exemplo 1.1Um gerador liga-se a uma resist encia externa R, e a diferenca de potencial produzida na resist encia e medida com um voltmetro V. Para calcular o valor da forca electromotriz e da resist enciainterna do gerador, r, usaram-se duas resist encias externas de 1.13 k e 17.4 k. As diferencasde potencial nos dois casos foram 6.26 V e 6.28 V. Calcule a corrente no circuito, em cada caso.Calcule os valores de e de r. Desenhe o gr aco da pot encia dissipada na resist encia externa, emfunc ao de R, para valores de R compreendidos entre 0 e 5r.R , r VResoluc ao: A corrente na resist encia R calcula-se usando a lei de Ohm:I = VR(1.1)Usando os valores dados para a diferenca de potencial, V, e a resist encia, R, podemos usar oMaxima para calcular as correntes:(%i1)6.26/1.13e3;(%o1) .005539823008849558A etiqueta (%i1) a aparece inicialmente na consola do Maxima e indica que o sistema est a pre-parado para receber o primeiro comando; o i que dizer input. A express ao 1.13e3 e a forma deescrever 1.13 103no Maxima. Cada comando dever a terminar com ponto e vrgula. Quandocarregar na tecla de Enter, o sistema responde com a etiqueta (%o1), o o quer dizer output,seguida do resultado do comando dado em (%i1).A corrente no segundo caso calcula-se de forma an aloga:1.2 Resoluc ao de problemas de fsica usando o Maxima 3(%i2)6.28/17.4e3;(%o2) 3.609195402298851E-4Assim, a corrente na resist encia de 1.13 k e de 5.54 mA, e na resist encia de 17.4 k e de 0.361mA.Para calcular a forca electromotriz e a resist encia interna do gerador, usamos a equac ao da carac-terstica tens ao-corrente para um gerador:V = rI (1.2)substituindo os valores dados de Ve R para cada resist encia externa, obteremos duas equac oes.No Maxima vamos guardar essas duas equac oes em duas vari aveis que chamaremos eq1 e eq2(%i3)eq1:6.26=fem-r*%o1;(%o3) 6.26=fem-.005539823008849558r(%i4)eq2:6.28=fem-r*%o2;(%o4) 6.28=fem-3.609195402298851E-4rde salientar que o smbolo usado para armazenar um valor numa vari avel s ao os dois pontos. Nasvari aveis do Maxima pode ser armazenado um valor num erico, ou algo mais abstracto, neste caso,uma equac ao matem atica. O smbolo de igualdade faz parte das equac oes que est ao a ser arma-zenadas. Para n ao termos que escrever manualmente os valores da corrente obtidos anteriormentenos passos 1 e 2, foram usados os smbolos %o1 e %o2, que identicam esses resultados.As duas equac oes anteriores formam um sistema linear com duas vari aveis. Esse tipo de sistemaspode ser resolvido usando o comando solve do Maxima:(%i5)solve([eq1,eq2]);983100 79952407(%o5) [[r=------,fem=--------]]254569 12728450(%i6)%,numer;(%o6) [[r=3.861821352953423,fem=6.281393806787158]]A express ao[eq1,eq2] foi usada para criar uma lista, com dois elementos, que e o que o co-mandosolve precisa para resolver um sistema de duas equac oes. Na listagem anterior foramomitidos alguns avisos de advert encia que aparecem no Maxima. O comando em %i6 foi utilizadopara forcar um resultado num erico, em ponto utuante, em vez da forma exacta, com n umerosracionais, apresentada na alnea anterior. O smbolo % representa o resultado do ultimo comandoque tenha sido executado; neste caso, e equivalente a %o5.Conclumos que a forca electromotrizdo gerador e aproximadamente 6.2814 V, e a sua resist encia interna e 3.8618 .A pot encia dissipada na resist encia R eP = RI2a corrente I que circula pela resist encia externa calcula-se em func ao da forca electromotriz e dasduas resist encias r e RI =R+r4 Introduc aoportanto, a pot encia dissipada na resist encia externa eP = R_R+r_2para esbocar o gr aco pedido, no Maxima, usamos o comando seguinte(%i7)plot2d(R*(6.2814/(R+3.8618))2,[R,0,5*3.8618]);e o resultado e apresentado na gura 1.1. Deslocando o cursor na janela do gr aco obtido peloMaxima, e possvel ler as coordenadas do ponto onde se encontra o cursor. Podemos conferirque a pot encia dissipada na resist encia externa e m axima quando a resist encia externa for igual ` aresist encia interna.Figura 1.1: Pot encia dissipada na resist encia externa, em func ao da resist encia externa.H a que ter cuidado de n ao cometer dois erros frequentes no Maxima:Uma express ao comoa=3;n ao armazena nenhum valor na vari avel a. A seguir a essa express ao, a vari avel a e aindaconsiderada como uma vari avel indeterminada. Para dar o valor de 3 ` a vari avel a, usa-sea:3;H a que ter atenc ao ` a diferenca entre equac oes e express oes em Maxima. Uma equac ao e,por exemplo1.2 Resoluc ao de problemas de fsica usando o Maxima 5x2-3*x=2*x+5enquanto que uma express ao e algo como2*x+5Alguns comandos do Maxima s o admitem como argumento equac oes, outros admitem ex-press oes, e ainda outros podem admitir as duas, mas terem comportamentos diferentes nosdoiscasos. Porexemplo, ocomandoplot2d, usadonoexemploanterior, aceitaunica-mente express oes e n ao equac oes. O comandosolve precisa de uma equac ao, ou umalista de equac oes, mas tamb em aceita express oes, que s ao automaticamente convertidas emequac oes; por exemplo, se escreversolve(x2-5*x+5);ser aconstrudaumaequac ao, igualandoaexpress aodadaazero, eser aocalculadasassoluc oes dessa equac ao.Exemplo 1.2O vector posic ao de uma partcula, em func ao do tempo t, e dado pela equac ao:r =_5t2et/5_ ex +_3et/12_ eyem unidades SI. Calcule os vectores posic ao, velocidade e acelerac ao nos instantes t = 0, t = 15s, e quando o tempo se aproximar para innito. Desenhe a traject oria da partcula durante osprimeiros 60 segundos do movimento.Resoluc ao: Comecamos por representar o vector posic ao por meio de uma lista com dois elemen-tos; o primeiro elemento ser a a componente no eixo dos x e o segundo elemento ser a a componenteno eixo dos y. A lista ser a guardada numa vari avel r, para poder ser utilizada mais tarde.(%i8)r:[5-t2*exp(-t/5),3-exp(-t/12)];2 -t/5 -t/12(%o8) [5-t %e ,3-%e ]o vector velocidade e igual ` a derivada do vector posic ao e o vector acelerac ao e a derivada dovector velocidade. No Maxima usa-se o comando diff para derivar uma express ao, em func ao deuma vari avel. O comando diff pode tamb em ser aplicado a uma lista; a velocidade e a acelerac aoobtidas s ao:(%i9)v:diff(r,t);2 -t/5 -t/12t %e -t/5 %e(%o9) [-----------2t%e ,--------]5 12(%i10)a:diff(v,t);6 Introduc ao2 -t/5 -t/5 -t/12t %e 4t%e -t/5 %e(%o10) [-----------+------------2%e ,---------]25 5 144a constante %e no Maxima representa o n umero de Euler, e. Para calcular a posic ao, velocidade eacelerac ao no instante t = 0, usam-se os comandos seguintes(%i11)r,t=0,numer;(%o11) [5,2](%i12)v,t=0,numer;(%o12) [0,.08333333333333333](%i13)a,t=0,numer;(%o13) [-2,-.006944444444444444]O argumento numer foi utilizado para que a resposta seja aproximada em forma num erica, em vezde car indicada como um n umero irracional. Escritos em forma vectorial, os resultados anterioress ao:r(0) = 5 ex +2 eyv(0) = 0.08333 ey a(0) = 2ex0.006944 eyPara t = 15 s fazemos os c alculos de forma an aloga(%i14)r,t=15,numer;(%o14) [-6.202090382769388,2.71349520313981](%i15)v,t=15,numer;(%o15) [.7468060255179592,.02387539973834917](%i16)a,t=15,numer;(%o16) [0.0497870683678639,-.001989616644862431]Os limites quando o tempo se aproximar para innito podem ser calculados com o comando limitdo Maxima; o smbolo utilizado para representar o innito e inf(%i17)limit(r,t,inf);(%o17) [5,3](%i18)limit(v,t,inf);(%o18) [0,0](%i19)limit(a,t,inf);(%o19) [0,0]Assim, a partcula aproximar-se- a para o ponto 5 ex +3 ey, onde car a em repouso.Finalmente, para desenhar o gr aco da traject oria ser a preciso usar a opc ao parametric do co-mando plot2d. As componentes x e y do vector posic ao dever ao ser dadas em forma separada;o comando plot2d n ao admite que sejam dadas como uma lista. O primeiro elemento da lista r(componente x) identica-se como r[1] e o segundo elemento (componente y) e r[2]1.3 Refer encias 7(%i20)plot2d([parametric,r[1],r[2],[t,0,60],[nticks,100]]);O domnio de tempo, desde 0 at e 60, e dado usando a notac ao [t,0,60]. A opc ao nticks foiusada para aumentar o n umero de intervalos de t utilizados, pois por omiss ao o seu valor e muitopequeno (10 intervalos) e o gr aco n ao seria muito exacto. O gr aco obtido e apresentado nagura 1.2.Figura 1.2: Traject oria da partcula durante os primeiros 60 segundos, desde o instante inicial,em (5.2).1.3 Refer enciasPara aprender mais sobre o Maxima, consulte o ap endice A, ou o livro do Maxima (de Souza etal., 2003).1.4 Perguntas de escolha m ultipla1. UnicamenteumdoscomandosdoMaximaque se seguem e correcto. Qual?A. solve(t-6=0,u-2=0,[t,u]);B. solve(t+4=0,u-4=0,t,u);C. solve([x3+4=2,y-4],x,y);D. solve(x-6=0,y-2=0,[x,y]);E. solve([t+3,u-4],[t,u]);2. Foi denida a segunda lei de Newton no Ma-xima, usando:(%i6)F=ma;paracalcularovalordaforca, seamassafor igual a 7 e a acelerac ao igual a 5 (uni-dades SI), qual ser a o comando que dever aser usado?8 Introduc aoA. solve(F,m=7,a=5);B. solve(F,[m=7,a=5]);C. solve(%o6,m=7,a=5);D. %o6,m=7,a=5;E. solve(F:m=7,a=5)3. SeescrevermososseguintescomandosnoMaxima:(%i1)x:3$(%i2)x=5$(%i3)x;qual ser a o valor do resultado (%o3)?A. 5B. xC. 3D. trueE. 01.5 Problemas1. Nocircuitorepresentadonodiagrama, usou-seumampermetroparamediracorrentenospontos De F. No ponto D, a corrente medida foi 0.944 mA, no sentido ADC, e no ponto F, 0.438mA, no sentido CFE. (a) Guarde a equac ao da lei de Ohm, V = IR, numa vari avel ohm doMaxima. (b) Dena o valor da corrente I igual ` a corrente no ponto D, e a seguir substitua o valorde cada uma das resist encias de 2.2 k e 6.8 k, na lei de Ohm, para calcular a diferenca depotencial em cada resist encia; use o mesmo procedimento para calcular a diferenca de potencialem todas as outras resist encias.A6.8 kB3.3 kE9 VF4.7 kC6 V1.0 k2.2 kD3 V2. Aposic aodeumapartculaquesedeslocanoeixodosx eaproximadapelarelac aox =2.5t362t2+10.3t, onde x e medido em metros e o tempo t em segundos. (a) Encontreas express oes para a velocidade e a acelerac ao em func ao do tempo. (b) Encontre o tempo,posic ao e acelerac ao nos instantes em que a partcula est a em repouso (v = 0). (c) Desenhe osgr acos da posic ao, velocidade e acelerac ao, em func ao do tempo, para t entre 0 e 20 s.3. O vector posic ao de uma partcula, em func ao do tempo t, e dado pela equac ao:r =_5.76et/2.51_ex +et/2.51cos(3.4t)eyem unidades SI. (a) Calcule os vectores posic ao, velocidade e acelerac ao nos instantes t=0, t=8s, e quando o tempo se aproximar para innito. (b) Desenhe os gr acos das componentes x ey da posic ao, em func ao do tempo, para t entre 0 e 15 s. (c) Desenhe o gr aco da traject oria,para t entre 0 e 15 s, no plano xy.Captulo 2Sistemas din amicos discretosUm sistema din amico discreto, e um sistema em que o seu estado s o muda durante os instantest0, t1, t2, . . .. No intervalo de tempo entre dois desses instantes, o estado permanece constante.Neste captulo estudaremos unicamente sistemas discretos em uma dimens ao; nos captulos se-guintes estenderemos esse estudo ao caso dos sistemas contnuos e num dos ultimos captulosregressaremos ao tema dos sistemas discretos de segunda ordem.O estado de um sistema discreto em uma dimens ao e determinado completamente por uma vari a-vel, y. O valor da vari avel de estado nos instantes t0, t1, t2, . . . ser a uma sequ encia y0, y1, y2,. . .. O intervalo de tempo entre diferentes pares de instantes sucessivos tn e tn+1 n ao tem que sero mesmo.A equac ao de evoluc ao permite calcular o estado yn+1, num instante tn+1, a partir do estado yn,no instante anterior tn:yn+1 = F(yn) (2.1)onde F(y) e uma func ao conhecida. A equac ao anterior e uma equac ao de diferencas de primeiraordem. Dado um estado inicial y0, aplicac oes sucessivas da func ao F permitem obter facilmente asequ encia de estados yn. Em alguns casos pode ser possvel obter uma express ao geral para yn emfunc ao de n.Exemplo 2.1Encontre os primeiros 4 termos da evoluc ao do sistema xn+1 = cosxn, com estado inicial x0 = 2Resoluc ao: Aplicando a equac ao de diferencas tr es vezes, obtemos os quatro primeiros termos nasucess ao:2, cos(2), cos(cos(2)), cos(cos(cos(2))) (2.2)Exemplo 2.2Pede-se um empr estimo de 500 ao banco, a uma taxa de juro anual de 5%, com prazo de 20meses. A prestac ao mensal e de 26.11. Qual ser a o montante em dvida ap os 10 meses?10 Sistemas din amicos discretosResoluc ao: No m es n umero n, o montante em dvida, yn, ser a igual ao montante em dvida no m esanterior, yn1 mais os juros devidos nesse perodo, menos a prestac ao p paga nesse m es:yn = yn1 + j yn1p (2.3)ondej e a taxa de juro mensal (0.05/12). No Maxima, a sequ encia de valores em divida yn podeser obtida aplicando de forma repetida a relac ao de recorr encia acima:(%i1)j:0.05/12$(%i2)y:500$(%i3)y:y+j*y-26.11;(%o3) 475.9733333333333(%i4)y:y+j*y-26.11;(%o4) 451.8465555555555(%i5)y:y+j*y-26.11;(%o5) 427.619249537037ser a preciso repetir o comando (%i3) dez vezes. Outro m etodo, mais simples, consiste em deniruma func ao de argumento inteiro, a partir da relac ao de recorr encia, e us a-la directamente paracalcular y10:(%i6)y[0]:500$(%i7)y[n]:=y[n-1]+j*y[n-1]-26.11;(%o7) y :=y +jy -26.11n n-1 n-1(%i8)y[10];(%o8) 255.1779109580579E preciso ter algum cuidado com o uso de func oes de argumento inteiro no Maxima. No exemploanterior, quando calcul amos y[10], os valores de y[9], y[8],. . ., y[1], foram tamb em calculadose armazenados na memoria. Se mudarmos a relac ao de recorr encia, esses valores que j a foramcalculados n ao ser ao actualizados. Assim, antes de modicar a relac ao de recorr encia, ou o valorinicial y[0], ser a necess ario apagar a sequ encia j a calculada, usando o comando kill.Por exemplo, se o valor do empr estimo fosse duplicado para 1 000, e a prestac ao fosse tamb emduplicada, ser a que o montante em dvida ap os o d ecimo m es tamb em passaria para o dobro?vejamos:2.1 Evoluc ao de sistemas discretos 11(%i9)kill(y)$(%i10)y[0]:1000$(%i11)y[n]:=y[n-1]+j*y[n-1]-52.22;(%o11) y :=y +jy -52.22n n-1 n-1(%i12)y[10];(%o12) 510.3558219161157consequentemente, o montante em dvida e tamb em duplicado.Outra pergunta que pode surgir, no exemplo anterior, e qual dever a ser o valor da prestac ao se emvez de 20 meses o prazo do empr estimo fosse de 40 meses?Para responder a esta quest ao, usamos uma vari avel p para representar a prestac ao, calculamos ovalor em dvida, em func ao dep, ap os quarenta meses, e igualamos essa express ao a zero, paracalcular a prestac ao necess aria para que a dvida seja paga ap os as 40 prestac oes.(%i13)kill(y)$(%i14)y[0]:500$(%i15)y[n]:=expand(y[n-1]+j*y[n-1]-p)$(%i16)solve(y[40]=0,p);72970398(%o16) [p=--------]5366831(%i17)%,numer;(%o17) [p=13.59655222979818]Ovalordaprestac aodever aser 13.60. Afunc aoexpandfoi usadaparaforcaroMaximaa calcular os produtos na express ao para yn,evitando assim express oes complicadas com mui-tos par entesis. As mensagens adicionais que o Maxima escreve, indicam neste caso que algunsn umeros de ponto utuante foram substitudos por fracc oes, para evitar erros num ericos.2.1 Evoluc ao de sistemas discretosA evoluc ao de um sistema discreto de primeira ordem:yn+1 = F(yn) (2.4)12 Sistemas din amicos discretosE obtida aplicando sucessivamente a func ao F, ao estado inicial y0 = c:c, F(c), F(F(c)), F(F(F(c))), . . . (2.5)ou, em forma mais compacta:c, F(c), F2(c), F3(c), . . . yn = Fn(c) (2.6)2.2 An alise gr acaUma forma gr aca de representar a evoluc ao do sistema consiste em desenhar um ponto para cadapasso na sequ encia, com abcissa igual ao ndice n e ordenada igual a yn. No Maxima, o programaevolution, includo no pacote adicional dynamics, permite desenhar esse tipo de diagrama1.Dever ao ser dados 3 argumentos a esse programa. O primeiro argumento dever a ser uma express aoque dependa unicamente da vari avel y;essa express ao especica a func ao F(y) no lado direitoda equac ao de diferencas 2.1. O segundo argumento dever a ser o valor inicial y0e o terceiroargumento ser a o n umero de elementos, na sequ encia, que ser ao desenhados.Por exemplo, no exemplo 2.1, usando a vari avel y, temos F(y) = cosy, com valor inicial y0 = 2.Para obter o gr aco de evoluc ao dos primeiros 20 termos, usamos os comandos:(%i18)load("dynamics");(%i19)evolution(cos(y),2,20);A gura 2.1 mostra o gr aco obtido em (%i19).nyn5 10 15120.5Figura 2.1: Evoluc ao de yn+1 = cos(yn) com y0 = 2.Outro tipo de diagrama que ser a muito util para analisar os sistemas din amicos discretos em umadimens ao e o diagrama de degraus, 2que consiste em representar as func oes y = F(x) e y = x, euma s erie alternada de segmentos verticais e horizontais que unem os pontos (y0,y0), (y0,y1), (y1,y1), (y1,y2), etc. Por exemplo, a gura 2.2 mostra o diagrama de degraus para o caso da sequ enciarepresentada na gura 2.1.1O pacote dynamics do Maxima s o existe a partir da vers ao 5.10; se tiver uma vers ao anterior, ter a que actualiz a-lapara poder utilizar esse pacote.2Em ingl es staircase diagram ou cobweb diagram.2.2 An alise gr aca 13ynyn+11 1121Figura 2.2: Diagrama de degraus para xn+1 = cos(xn) com x0 = 2.A func ao staircase, includa no pacote adicional dynamics, permite obter o gr aco de degraus.Essa func ao precisa dos mesmos tr es argumentos que a func aoevolution; nomeadamente, afunc ao F(y) no lado direito da equac ao de diferencas 2.1, o valor inicial y0 e o n umero de passosna sequ encia. Repare a vari avel na express ao para F dever a ser sempre y; se a vari avel de estadono seu problema for outra, dever a fazer a mudanca necess aria.Por exemplo, o gr aco 2.2 foi obtido com o comando(%i20)staircase(cos(y),2,8)$Repare que n ao foi preciso carregar novamente o pacotedynamics porque j a foi carregado em(%i18). O diagrama de degraus permite-nos saber quando uma sequ encia diverge ou convergee qual o valor para onde converge. Por exemplo, consideremos o sistema yn+1 = y2n0.2. Secomecarmos com um valor y0 = 1.1 obtem-se o gr aco no lado esquerdo da gura 2.3;vemosque a sequ encia converge para um valor y negativo que e o ponto de intersecc ao entre as func oesF(y) = y20.2 e G(y) = y, nomeadamente, y = (535)/10.As duas func oes interceptam-se num outro ponto positivo y = (5+35)/10. No gr aco podemosobservar que apesar do valor inicial estar muito perto do segundo ponto de intersecc ao, a sequ enciaafasta-se para o primeiro ponto, devido ` a func ao y20.2 se encontrar por baixo de G(y) = y, naregi aoentreosdoispontosdeintersecc ao. Seusarmosumvalorinicial ` adireitadosegundoponto de intersecc ao, pro exemplo, y0 = 1.5, a sequ encia cresce r apidamente afastando-se parainnito (lado direito da gura 2.3). Para que as sequ encias convergissem para o segundo ponto deintersecc ao, seria necess ario que entre os dois pontos, F(y) > G(y); isto e, que o declve de F(y)fosse menor que 1, em vez de maior que 1, no segundo ponto de intersecc ao.Exemplo 2.3Analise as soluc oes do modelo logstico, que consiste em considerar uma populac ao P com umataxa de natalidade constante, a, e uma taxa de mortalidade directamente proporcional ` a populac ao,bP, onde a e b s ao constantes.Resoluc ao: A populac ao em quest ao pode ser por exemplo um grupo duma esp ecie animal, ondea sequ encia P0, P1, P2, . . . representa o n umero de esp ecimes durante v arios anos sucessivos.14 Sistemas din amicos discretosynyn+111ynyn+12 424Figura 2.3: Soluc ao do sistema yn+1 = y2n0.2 com valor inicial 1.1 (esquerda) e 1.5 (direita).Seja Pn o n umero de esp ecimes no inicio do perodo n. Durante esse perodo nascem, em m edia,aPn esp ecimes e morrem bP2n. Assim, no incio do pr oximo perodo, n+1, a populac ao ser aPn+1 = (a+1)Pn_1ba+1Pn_(2.7)Conv em denir uma vari avel y por meio de yn = bPn/(a+1). Obtemos assim uma equac ao comum unico par ametro c = a+1yn+1 = cyn(1yn) (2.8)A gura 2.4 mostra as soluc oes obtidas com um valor inicial y0 = 0.1, nos casos em que c = 2 ec = 4. Para c = 2, a soluc ao converge rapidamente para o ponto xo y = 0.5.Parac = 4, o estado do sistema passa por muitos valores diferentes, entre 0 e 1, sem parecerobedecer a nenhuma regra. Esse tipo de comportamento e designado de ca otico. O estado numinstante qualquer est a perfeitamente determinado pelo estado no instante anterior, mas uma pe-quena modicac ao do estado no instante inicial conduz a uma evoluc ao completamente diferentenos instantes seguintes.ynyn+1110.50.5ynyn+1110.50.5Figura 2.4: Soluc oes do modelo logstico com valor inicial 0.1. Para c = 2 (esquerda) asequ encia converge, mas para c = 4 (direita) o comportamento e ca otico.2.3 Pontos xos 152.3 Pontos xosUm ponto xo do sistema 2.1 e um ponto y0 onde o estado do sistema permanece constante. Paraisso acontecer ser a necess ario e suciente queF(y0) = y0(2.9)isto e, sucessivas aplicac oes da func ao Fn ao modicam o valor inicial. A soluc ao do sistema,com valor inicial y0, e uma sequ encia constante: y0, y0, y0, . . .Do ponto de vista gr aco, os pontos xos ser ao todos os pontos onde a curva F(x) intersectaa recta y = x no diagrama de degraus. Por exemplo, no caso do modelo logstico, a gura 2.4mostra que nos casos c = 2 e c = 4 existem dois pontos xos, um deles em y = 0.Podemos usaro comando solve do Maxima para encontrar os pontos xos; no caso c = 4(%i21)flogistico:4*y*(1-y);(%o21) 4(1-y)y(%i22)fixos:solve(flogistico-y);3(%o22) [y=-,y=0]4Os pontos xos s ao 0 e 0.75.Consideremos um ponto xo, onde a func ao F(x) intersecta a recta y = x, e com a derivada dafunc ao, F/(x), maior que 1 nesse ponto. Nomeadamente, no ponto de intersecc ao da curva F(x) ea recta y = x, a curva Fpassa de baixo, no lado esquerdo, para cima, no lado direito. Assim, seesbocarmos o diagrama de degraus a partir de um ponto perto do ponto xo, a sequ encia afastar-se- a do ponto xo, formando uma escada. Designamos esse tipo de ponto xo de n o repulsivo.Se a derivada for negativa e menor que -1, as sequ encias tamb em se afastam do ponto xo, masneste caso alternando de um lado para o outro, formando uma teia de aranha no diagrama dedegraus. Dizemos que o ponto xo e um foco repulsivo.Se a derivada da func ao Ftiver um valor compreendido entre 0 e 1, as squ encias a comecaremperto do ponto xo aproximam-se dele, descrevendo uma escada no diagrama de degraus. Essetipo de ponto xo designa-se de n o atractivo (um exemplo e o lado esquerdo na gura 2.4).Se a derivada da func ao F tiver um valor compreendido entre 0 e -1, as sequ encias a comecaremperto do ponto xo aproximam-se dele, alternando de um lado para o outro, e descrevendo umateia de aranha no diagrama de degraus. O ponto designa-se de foco atractivo (por exemplo, oponto xo na gura 2.2).Resumindo, temos os seguintes tipos de pontos xos y0:1. N o atractivo, se 0 F/(y0) < 12. N o repulsivo, se F/(y0) > 116 Sistemas din amicos discretos3. Foco atractivo, se 1 < F/(y0) < 04. Foco repulsivo, se F/(y0) 0, e a forca de atrito ser a para baixo ([v[ v negativo).2O comando plotdf actualmente falha quando a func aof e constante; esse erro dever a ser corrigido em vers oesfuturas.32 Sistemas din amicos contnuosA segunda lei de Newton para o objecto em queda livre em v =mg12CdA[v[ v (3.11)Para poder desenhar o campo de direcc oes, ser a preciso substituir os valores num ericos dos par a-metros. Alguns valores realistas para um p ara-quedista s ao: Cd = 0.8, m = 70 kg e A = 7 m2. Aacelerac ao da gravidade e aproximadamente g = 9.8 m/s2. A massa vol umica do ar varia com atemperatura, a humidade relativa e a altura sobre o nvel do mar.`A temperatura ambiente e algunsmetros por cima do nvel do mar, a massa vol umica do ar e aproximadamente 1.2 kg/m3. Assim,em unidades SI, a equac ao 3.11 e igual a v =9.80.048[v[ v (3.12)para usar o comando plotdf, h a que ter em conta que o comando admite sempre que a vari avelindependente e x e a vari avel dependente y. No caso da equac ao anterior, a vari avel dependente,v, dever a ser identicada como y no argumento de plotdf, e a vari avel t dever a ser identicadacomo x nos argumentos de plotdf. O campo de direcc oes, apresentado na gura 3.3, foi obtidocom(%i9)plotdf(-9.8-0.048*abs(y)*y,[xradius,4],[xcenter,4],[yradius,30])$1 2 3 4 5 6 7-30-20-100102030tvFigura 3.3: Campo de direcc oes para a velocidade de um p ara-quedista.A gura 3.3 mostra que a velocidade j a n ao diminui indenidamente,mas aproxima-se de umlimite,designado de velocidade terminal. O sinal negativo da velocidade terminal indica queessa velocidade e atingida quando o objecto desce.Nas soluc oes apresentadas na gura 3.3 a regi ao de interesse e onde a velocidade e negativa, poiso p ara-quedas est a sempre a descer. De facto, a soluc ao mais realista na gura 3.3 e a curva3.3 Sistemas din amicos de primeira ordem 33de baixo, comecando num valor da velocidade com m odulo maior do que a velocidade terminal,j a que a equac ao estudada e v alida apenas ap os o p ara-quedas ser aberto. Antes da abertura dop ara-quedas, o p ara-quedista desce com uma velocidade maior do que a velocidade terminal.3.3.2 Circuito RCUm circuito RC e constitudo por um condensador, em s erie com uma resist encia R e uma fontede tens ao com forca electromotriz constante, .RCFigura 3.4: Circuito RC.A soma alg ebrica das diferencas de potencial nos tr es elementos do circuito, dever a ser nula. Adiferenca de potencial na fonte e , a diferenca de potencial na resist encia e RI e a diferenca depotencial no condensador e Q/CRI + QC= (3.13)Toda a carga que passa pela resist encia, ou sai de uma das armaduras do condensador, ou e arma-zenada nessa armadura. Isso implica que a corrente atrav es da resist encia e igual` a derivada dacarga no condensador. A equac ao reduz-se a uma equac ao diferencial para a carga no condensadorem func ao do tempoQ =RQRC(3.14)Para desenhar o campo de direcc oes,vamos substituir alguns valores tpicos dos elementos docircuito: R = 4 k, C = 250 nF e = 5 V.Conv em usar um sistema de unidades apropriado, para evitar os erros num ericos associados aosn umeros muito grandes ou muito pequenos. Usaremos unidades de micro-coulombs, C, paraa carga, e o tempo em ms. Nesse sistema de unidades, e substituindo os valores da resist encia,capacidade e forca electromotriz, a equac ao 3.14 toma a formaQ = 1.25Q (3.15)O campo de direcc oes, indicado gura 3.5, obteve-se com o comando(%i10)plotdf(1.25-y,[xradius,5],[xcenter,5])$A carga aproxima-se do valor limite 1.25 C, que e C, o valor ideal se a resist encia fosse nula.34 Sistemas din amicos contnuos0 2.5 5 7.5-8-4048t/msQ /CFigura 3.5: Campo de direcc oes do circuito RC com R = 4 k, C = 250 nF e = 5 V.3.4 Sistemas aut onomosAs duas equac oes diferenciais, 3.12 e 3.15, s ao duas formas particulares da denic ao geral dasequac oes diferencias de primeira ordem (equac ao 3.2). As duas equac oes t em uma forma maissimples que a express ao 3.2: x = f (x) (3.16)Nos dois casos a func aof n ao depende da vari avel independente t. Do ponto de vista fsico, aevoluc ao da vari avel independente n ao depende do instante inicial; isto e, a partir de uma veloci-dade inicial o movimento do sistema ser a exactamente o mesmo, independentemente do instanteem que o sistema obteve essa velocidade inicial. Se repetirmos uma experi encia de queda livreuns dias mais tarde, o resultado da experi encia ser a o mesmo.Do ponto de vista geom etrico,as soluc oes formam famlias de curvas id enticas,deslocadas nadirecc ao do eixo horizontal. O campo de direcc oes e invariante se for deslocado na horizontal(eixo do tempo).Esse tipo de equac oes diferenciais, em que a func aof n ao depende da vari avel independente,s aodesignadasdeequac oesdiferenciaisaut onomas. S aoequac oesmuitoimportantes, poisaparecem em muitos problemas e inclusivamente nos problemas que conduzem a equac oes n aoaut onomas, e sempre possvel transformar as equac oes num sistema de equac oes aut onomas, comoveremos no pr oximo captulo.Assim, a partir desta secc ao vamos estudar unicamente sistemas aut onomos, em que as equac oesdo sistema s ao equac oes diferenciais aut onomas. Um sistema din amico aut onomo, de primeiraordem e um sistema caracterizado por:Uma vari avel dependente do tempo, x(t), que designamos por vari avel de estado.3.4 Sistemas aut onomos 35Uma equac ao diferencial ordin aria, aut onoma, de primeira ordem: x = f (x) (3.17)que dene a evoluc ao da vari avel de estado, a partir de um estado inicial x0, e designaremosde equac ao de evoluc ao.3.4.1 Retrato de faseOs pontos xosdeumsistemadin amicocontnuo, deprimeiraordem, s aoospontosondeaderivada da vari avel de estado e nula. Nesses pontos o estado do sistema permanece constante. Oretrato de fase de um sistema din amico e um esboco do campo de direcc oes, mostrando os pontosxos e algumas soluc oes que comecam ou terminam nesses pontos. Os pontos xos representam-se por meio de um ponto.Como a derivada x num sistema aut onomo (equac ao 3.17) depende apenas da vari avel de estado,x, o declive do campo de direcc oes e o mesmo em todos os pontos com o mesmo valor de x.Porexemplo, nas guras 3.3 e 3.5, os vectores sobre uma recta horizontal (pontos com o mesmo valorda vari avel de estado v) s ao todos iguais.Assim, para representar o campo de direcc oes, basta desenhar a projecc ao do campo ao longo doeixo da vari avel de estado (eixo vertical). O retrato de fase ser a uma linha onde se mostram ospontos xos e as direcc oes das traject orias. O retrato de fase do campo da gura 3.3 e apresentadona gura 3.6.vt0v vv. .Figura 3.6: Retrato de fase para a velocidade do p ara-quedista, onde vt designa a velocidadeterminal.A velocidade terminal obt em-se a partir da equac ao 3.11, no ponto em que a derivada for igual azerovt = 2mgCdA(3.18)Assim, neste caso, existe um unico ponto xo, correspondente ` a velocidade terminal.Na regi ao ` a esquerda da velocidade terminal, do retrato de fase 3.6, o lado direito de 3.11 e positivoe, portanto, a derivada da velocidade e positiva. Tal facto e indicado pela seta que aponta para adireita. A soluc ao que se aproxima do ponto xo (velocidade terminal) pela esquerda, correspondeao caso em que no instante inicial o p ara-quedista est a a descer com uma velocidade com m odulomaior que a velocidade terminal; o p ara-quedas trava a queda at e que o p ara-quedista alcancaa velocidade terminal. A soluc ao que se aproxima do ponto xo, pela direita, corresponde aoscasos em que o p ara-quedista salta para cima, ou salta do repouso, no instante inicial, ou quandoo p ara-quedista j a estiver a descer no instante inicial, mas com velocidade de m odulo menor que avelocidade terminal. O ponto xo e um n o atractivo; todas as soluc oes aproximam-se dele.36 Sistemas din amicos contnuosNo caso do circuito RC, que tamb em e um sistema aut onomo de primeira ordem, o retrato de fase e semelhante ao do p ara-quedista. O retrato de fase 3.7 representa a mesma informac ao contidano campo de direcc oes 3.5.1.25 C 0Q QQ. .Figura 3.7: Retrato de fase do circuito RC.O ponto xo e o ponto Q = 1.25, que faz com que a derivada seja nula.E um n o atractivo; a cargano condensador aproximar-se- a de 1.25 C, independentemente do seu valor inicial. Em geral,o ponto xo localiza-se em C. Os valores negativos da carga representam situac oes em que ocondensador encontra-se carregado em modo inverso ` a bateria.Exemplo 3.2Esboce o retrato de fase do sistema x = 4x2(3.19)e analise a evoluc ao do sistema, para diferentes valores do estado inicial.Resoluc ao: Os pontos xos encontram-se calculando as razes da equac ao obtida igualando o ladodireito da equac ao a zero:4x2= 0h a dois pontos xos x = 2 e x = 2. Se o valor de x for menor que 2, o lado direito 4 x2ser a negativo e a vari avel x diminui. Para x compreendido em 2 < x < 2, o valor da derivada epositivo e x aumenta. Finalmente, se x for maior que 2, a derivada e negativa e x diminui. O retratode fase e apresentado na gura 3.82 0 2x x xx. . .Figura 3.8: Retrato de fase do sistema aut onomo x = 4x2.Se x0 =2, ou, x0 = 2, o sistema permanece sempre no mesmo estado.Se x0 2, x diminui, aproximando-se para 2.O ponto x0 =2 e um n o repulsivo.O ponto x0 = 2 e um n o atractivo.3.5 M etodo de Euler 373.5 M etodo de EulerOs m etodos de resoluc ao num erica de equac oes diferenciais ordin arias de primeira ordem x = f (x, t) (3.20)consistem em calcular o valor da vari avel de estado numa sequ encia discreta de instantes t0, t1, t2,. . ., usando alguma estimativa dos valores m edios das derivadas durante cada intervalo de tempo[ti, ti+1], a partir da func aof (x, t) que e a derivada instant anea.Podemos usar uma sequ encia de instantes tiigualmente espacados entre si, com incremento detempo h:t0, t0 +h, t0 +2h, . . . tn =t0 +nh (3.21)assim, substituiremos a vari avel contnua x(t) por uma vari avel discreta:x0, x1, x2, . . . xn = x(tn) = x(t0 +nh) (3.22)O sistema contnuo e substituido por um sistema discreto. A equac ao de evoluc ao desse sistemadiscreto depender a do m etodo num erico usado para fazer a estimativa do valor m edio da derivadaem cada intervalo [tn, tn+h]. Existem muitos m etodos num ericos para resolver sistemas din amicoscontnuos. Nesta secc ao apresentaremos um m etodo muito simples, o m etodo de Euler.Usando a notac ao introduzida na equac ao 3.22, a denic ao da derivada x, no instante tn =t0 +nh,escreve-se x(tn) = limh0x(tn +h) x(tn)h= limh0xn+1xnh(3.23)assim, se h for sucientemente pequeno, a equac ao anterior conduz a uma forma aproximada decalcular xn+1 em func ao do estado, xn, e da derivada no instante tnxn+1 xn +h x(tn) (3.24)-2 -1 0 1 2-2-1012(t0, x0)h f(t0, x0) (t1, x1)hxtFigura 3.9: M etodo de Euler para calcular as sooluc oes de um sistema contnuo de primeiraordem.38 Sistemas din amicos contnuosCombinando essa aproximac ao com a equac ao do sistema din amico, 3.20, obtemos a equac ao dosistema discreto equivalente:xn+1 = xn +hf (tn, xn) (3.25)A condic ao inicial (t0, x0) permite-nos calcular (t1, x1), usando a equac ao de recorr encia 3.25, eassim sucessivamente podemos calcular (t2, x2), (t3, x3),etc.E de salientar que a aproximac ao que se fez consiste em admitir que o valor m edio da derivada xno intervalo [tn, tn +h] e igual ao valor da derivada no instante inicial do intervalo. Do ponto devista gr aco, o que estamos a fazer e deslocarmos-nos, desde o ponto (t0, x0), uma dist ancia h,segundo o eixo t, na direcc ao do campo de direcc oes, como se mostra na gura 3.9.Como mostra a gura, a direcc ao do campo no ponto i j a n ao e a mesma no ponto i +1 e, assim,a curva obtida n ao segue perfeitamente o campo de direcc oes. Mas se h for suciente pequeno,obt em-se uma boa aproximac ao.Exemplo 3.3Usando o m etodo de Euler, encontre a carga em func ao do tempo, no circuito RC com equac ao(carga em micro-coulombs e tempo em mili-segundos)Q = 1.25Qdurante os primeiros 6 ms, se a carga inicial for nula.Resoluc ao: Conv em guardar os resultados em listas para poder fazer gr acos. Vamos comecarpor usar incrementos de tempo de 0.1 ms.Teremos que iniciar 3 listas3para as vari aveis t, Q e aderivadaQ (corrente I):(%i11)h1:0.1$(%i12)t1:[0]$(%i13)Q1:[0]$(%i14)I1:[1.25]$Ser a utilizado o comando endcons para acrescentar n umeros no m de cada lista. Para avancar 6ms, precisamos 60 iterac oes:(%i15)forn:1thru60do(t1:endcons(last(t1)+h1,t1),Q1:endcons(last(Q1)+h1*last(I1),Q1),I1:endcons(1.25-last(Q1),I1))$Em cada iterac ao, os ultimos valores calculados, (tn, Qn, In) est ao no m das listas t1, Q1 e I1, epodem ser obtidos com o comando last.No m do ciclo podemos ver o ultimo elemento de cada lista, usando o comando3Os ndices 1 indicam que esta e a nossa primeira tentativa de encontrar a soluc ao do sistema.3.5 M etodo de Euler 39(%i16)last(t1);(%o16) 5.999999999999995(%i17)last(Q1);(%o17) 1.247753737125107(%i18)last(I1);(%o18) .002246262874892935Conv em repetir o processo, com um valor menor de h, para termos alguma justicac ao da validadedo m etodo num erico.(%i19)h2:0.01$(%i20)t2:[0]$(%i21)Q2:[0]$(%i22)I2:[1.25]$(%i23)forn:1thru600do(t2:endcons(last(t2)+h2,t2),Q2:endcons(last(Q2)+h2*last(I2),Q2),I2:endcons(1.25-last(Q2),I2))$(%i24)last(Q2);(%o24) 1.246993738385861Este problema pode ser resolvido analiticamente. A soluc ao exacta e:Q = 1.25_1et_Para comparar com os resultados obtidos com o m etodo de Euler, vamos criar uma lista com asoluc ao exacta, usando a mesma sequ encia (t2) com 600 instantes de tempo tn = nh(%i25)Q3:makelist(float(1.25*(1 -exp(-n*h2))),n,0,600)$Para representar as tr es soluc oes,Q1,Q2 eQ3, num unico gr aco, usaremos a func aograph2d,includa num programa adicional com o mesmo nome, distribudo com o Maxima (a partir davers ao 5.11):(%i26)load("graph2d")$(%i27)graph2d([label,"h=0.1"], t1,Q1,[label,"h=0.01"],t2,Q2,[label,"exacta"],t2,Q3)$Oresultado e apresentado na gura 3.10. Na gura, a soluc ao obtida comh =0.01 n ao se conseguedistinguir da soluc ao exacta.A func ao graph2d, por omiss ao, junta os pontos em cada conjunto de dados por meio de linhasrectas, fazendo parecer os resultados func oes contnuas, quando na realidade se trata de sequ enciasdiscretas de pontos.40 Sistemas din amicos contnuosh=0.1h=0.01exacta1 2 3 4 5 600.20.40.60.811.2t/msQ /CFigura 3.10: Soluc ao exacta da equac aoQ = 1.25Q, e duas aproximac oes obtidas com om etodo de Euler.Pode ser util apresentarmos os resultados obtidosnuma tabela. Por exemplo, para mostrar osresultados das ultimas 5 iterac oes, com t na primeira coluna, Q na segunda coluna, e I na terceiracoluna, usamos o comando:(%i28)forn:597thru601doprint(t2[n],Q2[n],I2[n])$5.9599999999999171.246870420465166.0031295795348338375.9699999999999171.246901716260514.0030982837394855085.9799999999999171.2469326990979090.003067300902090735.9899999999999171.24696337210693.0030366278930697995.9999999999999171.246993738385861.003006261614139083E possvel tamb em guardar os resultados num cheiro, para serem usados com outros programas.Por exemplo, para guardar as 3 listas num cheiro dados.txt, usaremos o comando withstdout(%i29)display2d:false$(%i30)with_stdout("dados.txt",fornthru601doprint(t2[n],Q2[n],I2[n]))$foi dado um valor falso ` a vari avel display2d para que n ao sejam escritos espacos entre os sinaisnegativos e os n umeros.3.6 Resoluc ao analtica das equac oes diferenciais 41Um tipo de cheiro de dados bastante util e o designado por cheiro CSV (Comma Separated Va-lues), usualmente com extens ao .csv, que pode ser importado pelos programas de folha de c alculo.Para criar esse tipo de cheiro, basta separar os valores num ericos em cada linha, com vrgulas.(%i31)with_stdout("dados.csv",fornthru601doprint(t2[n],",",Q2[n],",",I2[n]))$Outro tipo de cheiro de texto bastante util consiste em imprimir a lista de forma a que possa serlida novamente por Maxima numa sess ao futura. O comando:(%i32)with_stdout("lista.txt",print("resultados:["),fornthru600doprint("[",t2[n],",",Q2[n],",",I2[n],"],"),print("[",t2[601],",",Q2[601],",",I2[601],"]"),print("]$"))$cria um cheiro com o conte udo seguinte (s o mostramos as 3 primeiras e as 2 ultimas linhas:resultados:[[0,0,1.25],[0.01,0.0125,1.2375],...[5.999999999999917,1.246993738385861,.003006261614139083]]$esse cheiro pode ser lido no Maxima, com o comando batchload, para recuperar os dados, numasess ao futura:(%i33)batchload("lista.txt")$criando uma lista resultados com os 601 pontos calculados.3.6 Resoluc ao analtica das equac oes diferenciaisExistem alguns tipos de equac oes ordin arias de primeira ordem que podem ser resolvidas ana-liticamente. Os m etodos mais conhecidos de resoluc ao de equac oes diferenciais ordin arias deprimeira ordem est ao implementados no Maxima, na func ao ode2. A sintaxe dessa func ao e:ode2(eq,var_dep,var_ind);ondeeq e uma equac ao diferencial ordin aria, vardep e a vari avel dependente,evarind e avari avel independente.O resultado ser a uma func ao com uma constante de integrac ao, %c, que pode ser avaliada a partirda condic ao inicial, usando a func ao ic142 Sistemas din amicos contnuosic1(sol,var_ind=v0,var_dep=u0);vamos explicar alguns casos em que existe um m etodo para obter a soluc ao na forma analtica.3.6.1 Equac oes de vari aveis separ aveisSe a equac ao tiver a formadydx =f (x)g(y)(3.26) e designada por equac ao de vari aveis separ aveis. Para resolver este tipo de equac ao, primeiroobservemos que a primitiva da func ao g(y) pode ser calculada da seguinte formaZg(y)dy =Zg(y(x))dydx dx (3.27)a equac ao diferencial pode ser escrita comog(y)dydx = f (x) (3.28)a primitiva do lado esquerdo,em ordem a x, e igual ` a primitiva de g(y),em ordem a y,comoacabamos de ver; assim, temos queZg(y)dy =Zf (x)dx +c (3.29)Se conseguirmos calcular as primitivas a cada lado da equac ao, obteremos a soluc ao analtica daequac ao diferencial.3.6.2 Equac oes linearesUma equac ao diferencial linear, de primeira ordem, tem a forma geraldydx + p(x)y = f (x) (3.30)ondep(x)e f (x)s aoquaisquerduasfunc oesquedependemapenasdex(podemtamb emserconstantes).No caso particular emque a func ao p for uma constante a, o lado esquerdo ter a alguma semelhancacom a seguinte derivadaddx(yeax) = eax(y/+ay) (3.31)consequentemente, se multiplicarmos os dois lados da equac ao diferencial 3.30 por eaxobteremosddx(yeax) = eaxf (x) (3.32)yeax=Zeaxf (x)dx +c3.6 Resoluc ao analtica das equac oes diferenciais 43No caso geral em quep depender de x, usaremos a primitiva dep(x) em vez de ax, e o factorintegrante pelo qual deveremos multiplicar a equac ao ser a(x) = exp_Zp(x)dx_(3.33)multiplicando os dois lados da equac ao diferencial por obt em-seddx(y(x)) = (x) f (x) (3.34)y =Z(x) f (x)dx +cExemplo 3.4Encontre a soluc ao da equac ao diferencialdydx =yy32xy(2) = 1A equac ao n ao e de vari aveis separ aveis, nem linear, mas se invertermos a equac ao obtemosdxdy = y32xy(3.35)a qual e uma equac ao linear, onde a vari avel independente e agora y e as soluc oes s ao func oesx(y). Escrita na forma padr aodxdy + 2yx = y2(3.36)vemos que o factor integrante e = exp_Z2ydy_= y2(3.37)multiplicando os dois lados da equac ao por y2obtemosy2dxdy +(2y)x = ddy(y2x) = y4(3.38) y2x = y55+C (3.39)Para calcular o valor da constante de integrac ao, substituimos a condic ao inicial2 = 15 +C C = 95(3.40)e a soluc ao (na forma implcita) e5y2x = y5+9 (3.41)44 Sistemas din amicos contnuos3.6.3 Equac oes exactasQualquer equac ao de primeira ordem pode ser escrita na forma:dydx = M(x, y)N(x, y)(3.42)que conduz aM(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 (3.43)esta forma e semelhante ` a express ao da diferencial de uma func ao de duas vari aveisdF(x, y) = Fx dx + Fy dy (3.44)Esta equac ao sugere-nos admitir que existe uma func ao F(x, y) cujas derivadas parciais s ao iguaisa M(x, y) e N(x, y); no entanto a segunda derivada parcial de F seria2Fxy =My= Nx(3.45)Assim, para que a conjectura da exist encia da func ao F(x, y) seja consistente, e necess ario que asfunc oes M e N veriquem a seguinte condic aoNx=My(3.46)nesse caso diz-se que a equac ao e exacta e existir a uma func ao F(x, y) tal que a equac ao diferencial e equivalente ` a condic aodF(x, y) = 0 (3.47)assim, a soluc ao geral da equac ao diferencial ser a a famlia de curvasF(x, y) = c (3.48)Afunc aoFcalcula-seencontrandoafunc aocujasderivadasparciaissejamiguaisaN(x, y)eM(x, y).Exemplo 3.5Encontre a soluc ao geral da seguinte equac aodydx = 9x2+y 14y x(3.49)A equac ao pode ser escrita da seguinte forma diferencial(4y x)dy (9x2+y 1)dx = 0 (3.50)e verica-se facilmente que e uma equac ao exacta:x(4y x) =1 = y(9x2y +1) (3.51)3.6 Resoluc ao analtica das equac oes diferenciais 45existe uma func ao F(x, y) tal queFy= 4y x F = 2y2xy + f (x) (3.52)Fx=9x2y +1 F =3x3xy +x +g(y) (3.53)repare que na primitiva em ordem a x admitimos que y e uma constante, e na primitiva em ordema y admitimos que x e uma constante. Isso foi possvel porque as derivadas s ao parciais. Se as de-rivadas fossem ordin arias, n ao podiamos calcular as primitivas assim, pois seria preciso substituiry em func ao de x, ou x em func ao de y. As constantes de integrac ao que aparecem nas primitivaspassam a ser func oes da vari avel que se manteve constante.Comparando os dois resultados obtidos para F vemos quef (x) = x 3x3(3.54)g(y) = 2y2(3.55)e a func ao F(x, y) e (para al em de uma constante que n ao e importante aqui)F(x, y) = 2y23x3xy +x (3.56)a soluc ao geral da equac ao diferencial obt em-se igualando F a uma constante2y23x3xy +x = c (3.57)Exemplo 3.6Resolva a equac ao do exemplo 3.4, usando o MaximaResoluc ao: antes de comecar, vamos desfazer a alterac ao feita em (%i29), para que o Maximavolte a apresentar as equac oes na forma habitual:(%i34)display2d:true$A equac ao a ser resolvida edydx =yy32xno Maxima vamos guardar essa equac ao numa vari avel eq3, para ser usada posteriormente(%i35)eq3:diff(y,x)=y/(y3-2*x);dy y(%o35) --=--------dx 3y -2xA soluc ao geral da equac ao encontra-se com o comando ode246 Sistemas din amicos contnuos(%i36)ode2(eq3,y,x);5 2y -5xy(%o36) -----------=%c5E a soluc ao particular obt em-se aplicando a condic ao inicial(%i37)ic1(%,x=2,y=1);5 2y -5xy 9(%o37) -----------=--5 5a soluc ao obtida e equivalente ` a que j a tinhamos obtido no exemplo 3.4. A vari avel global methodter a a informac ao sobre o m etodo que foi usado por ode2 para encontrar a soluc ao:(%i38)method;(%o38) exactisso indica que foi usado o m etodo para equac oes exactas.3.6.4 Equac oes homog eneasUma equac ao de primeira ordem diz-se homog enea se tiver a seguinte forma geraldydx = f_yx_(3.58)para resolver esse tipo de equac ao usa-se a substituic aov = yxdydx = v +xdvdx(3.59)aqualtornaaequac aonumaequac aodevari aveissepar aveis. Parareconhecerfacilmenteseuma func ao racional e da formaf (y/x) observam-se os expoentes de cada termo no numeradore denominador (soma do expoente de x mais o expoente de y) os quais dever ao ser iguais. Porexemplo, das duas func oes seguintes as duas primeiras tem a formaf (y/x) mas a terceira n aoxy2x3yx2y2cos(x/y)xy+5xy +y2+x3.6 Resoluc ao analtica das equac oes diferenciais 47Exemplo 3.7Resolva o problema de valor inicialdydx = x +yx yy(2) = 0 (3.60)Resoluc ao: Esta equac ao e homog enea. Para a converte-la numa equac ao de vari aveis separ aveis,denimos uma nova vari avel dependente zz = yxdydx = z +xdzdx(3.61)substituindo na equac ao diferencialz +xdzdx = 1+z1z(3.62)dzdx = 1x_1+z1zz_=z2+1x(1z)esta equac ao de vari aveis separ aveis pode ser integradaZ1zz2+1 dz =Zdxx+c (3.63)arctg(z) 12 ln_1+z2_= lnx +cpara calcular o valor da constante c, substituimos a condic ao inicial y = 0, x = 2arctg0ln12= ln2+c arctgz 12 ln(1+z2) = lnx (3.64)3.6.5 Equac ao de BernoulliUm tipo de equac ao diferencial que pode ser reduzida a equac ao linear, e a chamada equac ao deBernoulli, denida pordydx + p(x)yn= f (x)y (3.65)onde n e um n umero racional, diferente de 0 e de 1. A substituic aov = y1n v/ = (1n)yny/(3.66)transforma a equac ao de Bernoulli numa equac ao linear.48 Sistemas din amicos contnuos3.6.6 Equac ao de RiccatiOutra equac ao redutvel a equac ao linear e a equac ao de Riccati:dydx = a(x) +b(x)y +c(x)y2(3.67)onde a(x), b(x) e c(x) s ao tr es func oes que dependemde x. Se conhecermos uma soluc ao particularda equac ao, por exemplo y1, a seguinte mudanca de vari avel transformar a a equac ao de Riccatinuma equac ao lineary = y1 + 1vdydx = dy1dx 1v2dvdx(3.68)Exemplo 3.8Encontre a soluc ao geral da seguinte equac ao sabendo que y1(x) e soluc ao particulary/ = exy2y +exy1(x) =excot x (3.69)Resoluc ao: Trata-se de uma equac ao de Riccati e para a resolver usamos a seguinte substituic aoy = y1 + 1v y/ = y/1 v/v2(3.70) econveniente n aosubstituiry1pelafunc aodada, j aque ofacto destasersoluc aoda equac aosimplicar a os resultados. Substituindo na equac ao de Riccati obtemosy/1 v/v2= ex_y21 +2y1v+1v2_y11v +ex(3.71)v2_y/1exy21 +y1ex_= v/+(2y1ex1)v +excomo y1 e soluc ao, o termo nos par entesis no lado esquerdo e zero e obt em-se a seguinte equac aolinear para v(x)v/(2cot x +1)v =ex(3.72)o factor integrante desta equac ao linear e(x) = expZ(12cot x)dx = exp[x 2ln(sinx)] =exsin2x(3.73)multiplicando os dois lados da equac ao linear por e seguindo os passos explicados na secc aosobre equac oes linearesv/(2cotx +1)v =csc2x (3.74)ddx(uv) =csc2xuv = cot x +cv = exsin2x(cot x +c) = exsinx(cosx +csinx)y = y1 + 1v =exsinx_cosx1cosx +csinx_y = exsinx ccosxcosx +csinx3.7 Refer encias 49a soluc ao geral est a constituda por esta ultima famlia de func oes, junto com a soluc ao particulary1.3.7 Refer enciasDifferential equations (Sanchez et al., 1988). Numerical methods for physics (Garcia, 2000). Ele-mentary Differential Equations and Boundary Value Problems (Boyce & DiPrima, 2004). Ecua-ciones Diferenciales (Blanchard et al., 1999).3.8 Perguntas de escolha m ultipla1. O gr aco mostra o retrato de fase dum sis-tema aut onomo numa dimens ao. Se o valorinicial da vari avel x for 5, qual ser a o seu va-lor limite para um tempo muito grande?2 0 2 xA.B. 2C. D. 5E. 02. Um sistema e designado de aut onomo se:A. n aoapresentapontossingularesondeaderivada n ao pode ser calculada.B. n ao depende do tempo.C. a evoluc ao do sistema a partir de um es-tado inicial e igual em diferentes instan-tes.D. n ao depende de outros sistemas.E. evolui em forma espont anea, sem preci-sar de agentes externos.3. Para encontrar a evoluc ao do sistemadin amico x = 3xt, com estado inicial x = 2em t = 0, um aluno usou o m etodo de Euler,criando tr es listas com os valores de t, de xe da derivada de x. Se ap os duas iterac oes alista de t tiver os valores [0, 0.5, 1.0], quaisdever ao ser os valores na lista da vari avel x?A. 2, 2, 3.25B. 2, 2, 3.5C. 2, 5.0, 12.75D. 1, 1, 1.75E. 2, 2, 3.04. A equac ao de evoluc ao de umsistemadin amico e y = (2 y)(3 y). Se em t = 0o estado do sistema for y = 2, 5, qual ser a ovalor de y ap os um tempo muito elevado?A. 2B. C.D. 2,5E. 35. A gura representa o retrato de fase para aequac ao aut onoma x = f (x). Qual poder a sera func ao f(x)?0 1 xA. 1x2B. (x +1)2C. (x 1)2D. x21E. x2+16. Para encontrar a evoluc ao do sistemadin amico x =3x+t, com estado inicial x =250 Sistemas din amicos contnuosem t = 0, um aluno usou o m etodo de Euler,criando tr es listas com os valores de t, de xe da derivada de x. Se ap os duas iterac oes alista de t tiver os valores [0, 0.5, 1.0], quaisdever ao ser os valores na lista da vari avel x?A. 2, 2, 3.25B. 2, 5.0, 12.75C. 2, 2, 3.0D. 1, 1, 1.75E. 2, 2, 3.57. Usando o m etodo de Euler, calcule o valoraproximado de x, em t = 1.5, se a equac aodo sistema for x = x2+t, com estado inicialx =2 emt =0, e com intervalos de tempo de0.5A. 12.25B. 16.5C. 151.06D. 8.24E. 87.788. Quecomando eutilizadonoMaximapararesolver equac oes diferenciais emformaanaltica?A. diffB. ode2C. taylorD. ic2E. plotdf9. Asoluc aogeraldaequac aoy//y = 0foiguardada na vari avel g. Para aplicar ascondic oes y(0) =2, y(1) =3, qual dever a sero comando a utilizar?A. ode2(g,x=0,y=2,y=3)B. ic2(g,x=0,y=2,y=3)C. bc2(g,y(0)=2,y(1)=3)D. bc2(g,x=0,y=2,x=1,y=3)E. ic2(g,y(0)=2,y(1)=3)3.9 Problemas1. Desenhe o retrato de fase da equac ao aut onoma x = (2x)sin(x)identique os pontos xos e diga quais s ao atractivos ou repulsivos.2. Faca o desenho do campo de direcc oes de cada uma das equac oes que se seguem, e esboce asoluc ao que verica a condic ao inicial dada (encontre um domnio que mostre bem o compor-tamento do campo)(a)dydt +y = 1+t2y(1) = 2(b)dydx = x +yx +2yy(2) = 3(c)dydt cosy =t siny1+t2y(1) = 23. Uma bola que cai a partir do repouso, desde o terraco de um pr edio, est a sujeita` a forca doatrito com o arFa =12CdA[v[ vadmita a massa vol umica do ar igual a 1.2 kg/m3e acelerac ao da gravidade 9.8 m/s2; paraesferas a constante aerodin amica e Cd =0.5. Use o m etodo de Euler para calcular a velocidade,durante os primeiros 5 segundos, para os seguintes casos:3.9 Problemas 51(a) Uma bola de t enis com m = 0.062 kg e r = 0.0325 m.(b) Uma bola de ping-pong com m = 0.0024 kg e r = 0.019 m.(c) Uma gota de chuva com r = 0.003 m.Desenhe um gr aco mostrando as velocidades dos 3 objectos em func ao do tempo e outrogr aco das acelerac oes. Pode concluir que quanto menor for uma esfera menor ser a a suavelocidade terminal? Qual dos objectos tem velocidade terminal menor? Qual dos tr es objectosse aproxima mais rapidamente da velocidade terminal?Porque e que uma bola de t enis podeser lancada muito mais longe do que uma bola de ping-pong, se a bola de t enis pesa muitomais?4. Usando o m etodo de Euler, encontre a soluc ao de cada um dos seguintes sistemas, no intervalopedido, e desenhe o gr aco da soluc ao.(a) y = t2y2yy(0) = 1 0 t 3(b) x = cost +2x x(2) = 0 2 t 1(c) y +y = 1+t2y(0) = 2 0 t 45. Um tanque cilndrico, cheio de agua, tem um orifcio na base. A velocidade de escoamento da agua atrav es do orifcio e directamente proporcional ` a raz quadrada da altura da agua. Assim,quando o tanque est a completamente cheio, esvazia mais rapidamente e a altura diminui maisdepressa, mas ` a medida que o tanque ca mais vazio a altura diminui mais lentamente. A alturada agua, y, verica a seguinte equac ao: y =kyonde k e uma constante que depende do tamanho do orifcio e da area da base do cilindro. Paraum determinado tanque, a constante e k = 0.05, se a altura for medida em metros, e o tempoem minutos. Use o m etodo de Euler, com incrementos de tempo de 1 segundo, para calcular otempo que demora o tanque a esvaziar completamente, se a altura inicial da agua for 1 m.Sugest ao:para evitar que y que negativa e y seja um n umero imagin ario, dena a func aoseguinte no Maxima para calcular a derivada:f(y):=if(y 0.Resoluc ao: Em func ao da velocidade v = x, podemos obter uma equac ao de primeira ordem, comduas vari aveis:vdvdx =3x 5vA condic ao inicial e v = 0 em x = 1.Essa equac ao pode ser resolvida analticamente, usando o Maxima. Primeiro denimos a equac ao:(%i40)eq6:v*diff(v,x)=-3*x-5*v;dv(%o40) v--=-3x-5vdxE encontramos a soluc ao geral usando ode2(%i41)sol6:ode2(eq6,v,x);(%o41)%cx=2 23x +5vx+v (5-sqrt(13))x+2vsqrt(13)log(-----------------)-5log(----------------------)2 (sqrt(13)+5)x+2vx----------------------------------------------------------------2sqrt(13)%ee aplicamos a condic ao inicial:(%i42)ic1(sol6,x=1,v=0),radcan,numer;(%o42).1634602357404146x=.6933752575084029.5246501896168432x(9043x+12970v)----------------------------------------------------------.6933752575084029 2 20.5(22013x+5116v) (3x +5vx+v)o modicador radcan usou-se para que as func oes exponenciais e logartmicas fossem simpli-cadas.64 Sistemas contnuos de segunda ordemDesta express ao n ao e possvel obter v(x) explicitamente. Para calcular x(t) neste caso ser a maisf acil resolver directamente a equac ao inicial(%i43)eq7:diff(x,t,2)=-3*x-5*diff(x,t);2dx dx(%o43) ---=-5---3x2 dtdt(%i44)sol7:ode2(eq7,x,t);(sqrt(13)-5)t (-sqrt(13)-5)t---------------- ------------------2 2(%o44)x=%k1%e +%k2%e(%i45)ic2(sol7,t=0,x=1,diff(x,t)=0);(sqrt(13)-5)t----------------2(5sqrt(13)+13)%e(%o45)x=------------------------------------26(-sqrt(13)-5)t------------------2(5sqrt(13)-13)%e---------------------------------------26Se em vez de partir do repouso, soubessemos que a partcula passa pelo ponto x=1 (com algumavelocidade) nos instantes t=0 e t=1, usavamos a func ao bc2 para introduzir as condic oes fron-teira:(%i46)bc2(sol7,t=0,x=1,t=1,x=1),numer;(%o46)x=2.036330668199991%e-4.302775637731995t-1.036330668199991%eNo exemplo anterior, a substituic ao de x por uma func ao v(x) complicou o problema.A equac ao4.19 ser a muito util nos casos em que a acelerac ao x n ao depende da velocidade x, isto e, quandon ao existem forcas dependentes da velocidade. A seguir veremos um exemplo.4.4 Resoluc ao analtica das equac oes de segunda ordem 65Exemplo 4.5A acelerac ao de uma partcula, em func ao do tempo e x =3x. No instante t =0, a partcula partedo repouso no ponto x = 1. Calcule a posic ao e a velocidade da partcula em func ao do tempo,para t > 0.Resoluc ao: Usando a equac ao 4.19, a equac ao da acelerac ao escreve-se assim:(%i47)eq8:v*diff(v,x)=-3*x;dv(%o47) v--=-3xdxA soluc ao geral dessa equac ao diferencial de primeira ordem obt em-se com o comando ode2(%i48)sol8:ode2(eq8,v,x)$para encontrar a soluc ao particular, substitue-se a condic ao inicial(%i49)ic1(sol8,x=1,v=0);2 2v x -1(%o49) ---=------6 2a equac ao da velocidade em func ao da posic ao encontra-se resolvendo essa soluc ao:(%i50)vel:solve(%,v);2 2(%o50) [v=-sqrt(3)sqrt(1-x),v=sqrt(3)sqrt(1-x)]obtivemos duas soluc oes para a velocidade. O resultado (%o49) e a lei da conservac ao da energiamec anica. A equac ao diferencial para a posic ao em func ao da velocidade e:(%i51)eq9:diff(x,t)=v;dx(%o51) --=vdtpodemos substituir uma das express oes obtidas para a velocidade, e resolver a equac ao com acondic ao inicial dada(%i52)sol9:ode2(ev(eq9,vel[1]),x,t)$(%i53)solve(ic1(sol9,t=0,x=1),x);(%o53) [x=cos(sqrt(3)t)]se usarmos a segunda express ao obtida para a velocidade, obt em-se a mesma resposta para x emfunc ao de t.66 Sistemas contnuos de segunda ordem4.5 Sistemas n ao aut onomos e derivadas de ordem superiorSe as func oes f ou g, no sistema 4.12, dependessem do tempo, o sistema deixaria de ser aut onomo.No entanto o sistema pode ser convertido num sistema aut onomo, considerando o tempo comomais uma vari avel de estado, e introduzindo uma equac ao diferencial trivial para a derivada de t(a derivada de t em func ao de t e 1).Outra forma em que um sistema pode diferir da forma padr ao 4.12 ser a se aparecerem derivadasde ordem superior. Nesse caso as derivadas de ordem superior podem ser reduzidas a primeiraordem, introduzindo mais vari aveis. Vamos ilu