Tutoria 2 2016
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Métodos Matemáticos IIITutor: Johana Vega, Marcelo Quiroga
Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
!&'!(&(N)* '+ !&IM'& *NT&*+1
'-ercicio 1 . )eri"adas de orden superior
Demuestre que:
( ) ( )4
4
3
3
2
2
22
2
2
2
321
3dx
yd x Ln
dx
d
xdx
yd
xdx
yd x Ln
dx
yd y++−=
Respuesta
( ) ( )
( ) ( )
=
++−=
2
2
2
2
2
2
4
4
3
3
2
2
22
2
2
2
33
321
3.
dx
yd x Ln
dx
d
dx
d
dx
yd x Ln
dx
yd ee
dx
yd x Ln
dx
d
xdx
yd
xdx
yd x Ln
dx
yd d p
y
( )
( )
( )
( ) d eqdx
yd x Ln
dx
yd
xdx
yd
x
dx yd x Ln
dx yd
xdx yd
xdx yd
x
dx
yd x Ln
dx
d
dx
yd
xdx
d
dx
yd x Ln
dx
yd
xdx
d
..321
33311
31
33
3
4
4
3
3
2
2
2
4
4
3
3
3
3
2
2
2
3
3
2
2
3
3
2
2
++−=
+++−=
+
=
+=
1 Cualquier duda nos escriben a [email protected] y
1
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]
-
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Métodos Matemáticos IIITutor: Johana Vega, Marcelo Quiroga
Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
'-ercicio # )eri"ada implícitas
Si y f!"#$ determine la derivada de y con respecto a " en forma impl%cita en la
ecuaci&n:
ln ( xy )=e x+ x y
2
&espuesta
Derivamos con respecto a "$ recordando la relaci&n impl%cita.
1
xy ( y+ x y ' )=e x+( y2+2 xy y ' )
1
x + y
'
y =e x+ y2+2 xy y '
1
x−e
x− y
2=2 xy y
' −
y'
y
1
x−e x− y2=(2 xy− 1 y ) y '
y' =
1
x−
e
x−
y
2
2 xy−1
y
'
-
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Métodos Matemáticos IIITutor: Johana Vega, Marcelo Quiroga
Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
'-ercicio / Noci0n de gradiente
(
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Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
'-ercicio )i2erencial de primer orden
)
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Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
'-ercicio % )eri"adas !arciales
Sea la funci&nf ( x , y )= xyln
(
y
x
)+ ln (2 x−3 y )2
. Determinedf (1,1)
dy
+df (1,1)
dx
&espuesta
Calculamos la derivada con respecto a cada variable:
7)1,1(
;)32(
6)ln(
5)1,1(
;)32(
4)ln(
=
∂
∂
−
−+=
∂
∂
−=∂
∂−
+−=∂∂
y
f
y x x
x
y x
y
f
x
f
y x y
x
y y
x
f
*ntonces$ la suma es '.
'-ercicio 3 )eri"adas !arciales
32
223
)3(
3:0
x z
x z
y x
z quedemostrar y xz z Si
−
+−=
∂∂
∂=−−
Derivando parcialmente c+r a las variables " e y se tiene:
01303 22 =−∂
∂−
∂
∂=−
∂
∂−
∂
∂
y
z x
y
z z y z
x
z x
x
z z
De la ecuaciones anteriores ,uye:
x z y
z y
x z
z
x
z
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂22
3
1
3
Derivando parcialmente la segunda c+r a " se obtiene:
)16()3(
122
2
−∂∂
−−=
∂∂∂
x
z z
x z y x
z
-
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Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
inalmente$ reempla/ando el valor x z
z
x
z
−
=
∂
∂2
3 obtenido antes$ se llega
a :
32
2
2
2
22222
2
)3(
3
3
3
)3(
1)1
36(
)3(
1
x z
x z
x z
x z
x z x z
z z
x z y x
z
−+
−=−+
•−−
=−−−
−=
∂∂∂
'-ercicios 4 deri"adas parciales
0na empresa genera un bien 23 con la siguiente funci&n de producci&n:
33),( vuvu P +=
Donde u y v representan los insumos requeridos para producir el bien 23. *stos
insumos dependen a su ve/ de los siguientes factores u y v de acuerdo a la
siguiente relaci&n
22 y xu +=
22 y xv −=
Determinar la tasa de variaci&n de
),( vu P
cuando se produce una variaci&n en
".
5oluci0n:
4a tasa de variaci&n en la producci&n 5 cuando se presenta una variaci&n en la
cantidad " queda determinada por:
6
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x
v
v
P
x
u
u
P
x
P
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
223;3 v
v
P uu
P =∂∂=
∂∂
x x
v x
x
u2;2 =
∂
∂=
∂
∂
xv xu x
P 2323 22 ×+×=
∂
∂
( ) ( ) x y x x y x x
P 2323
222222 ×−+×+=∂
∂
( ) ( ) x y y x x x y y x x x
P 223223 42244224 ×+−+×++=
∂
∂
4544 1212)22(6 xy x y x x x
P +=+=
∂
∂
'-ercicio 6
Si f!u$v$7# es diferenciable. 2dem8s u"9y $ v y9/ 7/9"
Demuestre que
0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
f
y
f
x
f
Soluci&n
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Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
0=∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
w
f
v
f
v
f
u
f
w
f
u
f
z
f
y
f
x
f
;
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Tutoría 1_No presencial !rima"era, #$1%
'-ercicio 7
Dada la funci&n
xy
y x
y x f ++=11
),(
calcular los valores de " e y para los que se
veri estas e"presiones se tiene que:
( ) 1 00101
01
01
34
2
2
2
=∨=⇔=+−⇔=+−⇒=⇒
=+−
=+− x x x x x x
x y
x y
y x
5ero "> inde
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