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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

    DISSERTAO DE MESTRADO

    Projeto e Anlise de Desempenho de Turbinas Radiais

    Autor: Eng. Rubn Alexis Miranda Carrillo Orientador: Prof. Dr. Marco Antonio Rosa do Nascimento

    Co-orientador: Prof. Dr. Osvaldo Jos Venturini

    Itajub, Agosto de 2010

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

    DISSERTAO DE MESTRADO

    Projeto e Anlise de Desempenho de Turbinas Radiais

    Autor: Eng. Rubn Alexis Miranda Carrillo Orientador: Prof. Dr. Marco Antonio Rosa do Nascimento Co-orientador: Prof. Dr. Osvaldo Jos Venturini

    Curso: Mestrado em Engenharia Mecnica rea de Concentrao: Converso da Energia

    Dissertao submetida ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Mecnica como parte dos requisitos para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia Mecnica.

    Itajub, Agosto de 2010 M.G. Brasil

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUB INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA

    PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA MECNICA

    DISSERTAO DE MESTRADO

    Projeto e Anlise de Desempenho de Turbinas Radiais

    Autor: Eng. Rubn Alexis Miranda Carrillo Orientador: Prof. Dr. Marco Antonio Rosa do Nascimento Co-orientador: Prof. Dr. Osvaldo Jos Venturini

    Composio da Banca Examinadora:

    Prof. Dr. Jesuino Takachi Tomita DCTA/ITA Prof. Dr. Waldir de Oliveira - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Marco Antonio Rosa do Nascimento (Orientador) - IEM/UNIFEI Prof. Dr. Osvaldo Jos Venturini (Co-orientador) - IEM/UNIFEI

  • Dedicatria

    Dedico est dissertao de mestrado aos meus pais, Rubn Daro e Vilma Rosa, minha irm, Maryoris Judith, ao meu cunhado, Daniel e minha sobrinha Daniela Alexandra, pelo amor, carinho, pacincia, compreenso,

    fora e formao que sempre me dispensaram durante a minha ausncia na execuo dessa pesquisa.

  • Agradecimentos

    O Deus pai todo poderoso por seu amor, apoio, fora, amizade e compreenso em todos e cada um dos momentos de minha vida. Obrigado meu Deus por trazer muitas bendies e alegrias a minha vida.

    Aos meus pais, Rubn Daro e Vilma Rosa, minha irm, Maryoris Judith, ao meu cunhado, Daniel e minha linda sobrinha Daniela Alexandra, pelo amor, carinho, pacincia, compreenso, fora e formao que sempre me dispensaram e me incentivaram durante a minha ausncia na execuo dessa pesquisa e no desenvolvimento cultural. Os quero muito.

    Ao meu Orientador, Prof. Dr. Marco Antonio Rosa do Nascimento e meu co-orientador, Prof. Dr. Osvaldo Jos Venturini pela competncia, dedicao, pacincia e amizade.

    O Prof. Dr. Electo Eduardo Silva pela pacincia e amizade.

    O Prof. Dr. Juan Carlos Campos pela amizade. Eternamente agradecido com voc.

    O Eng. Howard Donado pela pacincia e amizade.

    Ao pessoal do NEST por sua amizade e colaborao, em especial o Elkin Gutirrez por seu tempo e colaborao.

    Ao Instituto de Engenharia Mecnica (IEM) da UNIFEI, representado pelos seus dedicados Professores e Funcionrios, pela oportunidade que me concedeu na realizao deste trabalho, e aos amigos de IEM, pelo convvio profissional.

    CAPES, atravs do programa de bolsas, pelo apoio financeiro.

  • We wont see dramatic increases in turbine inlet temperature such as the 550 K

    increases in the 50s and 60s, but we will see greatly increased computer

    involvement in design optimization and the simulation of component and full engine

    operation.

    Ns no veremos um aumento dramtico da temperatura de entrada da turbina,

    acima dos 550 K para as dcadas de 50 e 60, mas vamos ver um aumento

    considervel da participao do computador em projetos de otimizao, como tambm

    na simulao de componentes de uma turbina a gs.

    Harold E. Rohlik

  • O livro da natureza est escrito em caracteres matemticos e sem um conhecimento

    dos mesmos, os homens no podero compreend-lo.

    Galileu Galilei

  • O que eu vi e aprendi mudou minha viso do mundo completamente.

    Rubn Alexis Miranda Carrillo

  • Resumo

    MIRANDA, R. A. C. (2010), Projeto e Anlise de Desempenho de Turbinas Radiais, Itajub, 224p. Dissertao (Mestrado em Converso de Energia) - Instituto de Engenharia Mecnica, Universidade Federal de Itajub.

    Est dissertao apresenta a anlise dos parmetros aerotermodinmicos de uma turbina de fluxo radial operando em regime permanente visando melhoria do desempenho em condies do ponto de projeto e fora do ponto de projeto. O procedimento baseado em parmetros adimensionais e semi-adimensionais, utilizado uma soluo unidimensional para determinar as condies do escoamento atravs da turbina ao longo da linha de corrente mdia programada na linguagem FORTRAN para o clculo dos parmetros geomtricos e aerotermodinmicos. Sendo, a anlise efetuada em um tempo inferior do que um programa de Dinmica dos Fluidos Computacional (DFC) de uso geral que pode trabalhar com at trs dimenses, possibilitando considerar os detalhes da geometria que est sendo simulada.

    Palavras-chave Linha de corrente mdia, bocal, rotor radial, Dinmica dos Fluidos Computacional (DFC).

  • Abstract

    MIRANDA, R. A. C. (2010), Design and Performance Analysis of Radial Inflow Turbine, Itajub, 224p. MSc. Dissertation - Instituto de Engenharia Mecnica, Universidade Federal de Itajub.

    This dissertation presents the numerical meanline investigations on the aerothermodynamic design and overall performance prediction of the radial inflow turbine operating at steady state aimed at improving the performance in terms of the design point and off-design point. The procedure is based on non-dimensional parameters. This program utilizes a one-dimensional solution of flow conditions through the turbine along the meanline and it using a One-dimensional Computer FORTRAN Code (OFC). Since the analysis performed in a time less than a general purpose CFD program which can handle up to three dimensions, enabling to consider the details of the geometry being simulated.

    Keywords One-dimensional Computer FORTRAN Code, Nozzle, Radial inflow rotor, Computational Fluid Dynamics (DFC).

  • i

    DEDICATRIA __________________________________________________________ IV AGRADECIMENTOS ______________________________________________________ V

    RESUMO________________________________________________________________VI ABSTRACT ______________________________________________________________ X

    LISTA DE FIGURAS_______________________________________________________ V

    LISTA DE TABELAS ____________________________________________________VIII

    SIMBOLOGIA ___________________________________________________________ IX

    LETRAS LATINAS _______________________________________________________ IX

    LETRAS GREGAS _______________________________________________________ XI

    SOBRESCRITOS________________________________________________________ XII

    SUBSCRITOS___________________________________________________________ XII

    CAPTULO 1 _____________________________________________________________ 1 INTRODUO ___________________________________________________________ 1

    1.1 CONSIDERAES GERAIS ------------------------------------------------------------------- 1 1.2 GERAO DISTRIBUDA --------------------------------------------------------------------- 2 1.3 OBJETIVOS DO TRABALHO ----------------------------------------------------------------- 2 1.4 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO ----------------------------------------------------------- 3 1.5 ORGANIZAO DO TRABALHO ----------------------------------------------------------- 4

    CAPTULO 2 _____________________________________________________________ 5 REVISO BIBLIOGRFICA _______________________________________________ 5

    2.1 GENERALIDADES DAS TURBINAS RADIAIS ------------------------------------------- 5 2.2 FUNCIONAMENTO DA TURBINA RADIAL ---------------------------------------------- 6 2.3 REVISO BIBLIOGRFICA------------------------------------------------------------------- 8

    CAPTULO 3 ____________________________________________________________ 11 MODELO UNIDIMENSIONAL DA TURBINA RADIAL: PONTO DE PROJETO _ 11

    3.1 FUNDAMENTOS AEROTERMODINMICOS -------------------------------------------11 3.1.1 Equao da Continuidade ------------------------------------------------------------------12 3.1.2 Equao de Quantidade de Movimento--------------------------------------------------12 3.1.3 Equao de Energia-------------------------------------------------------------------------13 3.1.4 Tringulos de Velocidade------------------------------------------------------------------13 3.1.5 Entalpia de Estagnao---------------------------------------------------------------------14 3.1.6 Presso e Temperatura de Estagnao ou Total ----------------------------------------15

  • ii

    3.1.7 Grandezas Adimensionais do Escoamento ----------------------------------------------15 3.1.8 Eficincia Isentrpica-----------------------------------------------------------------------17 3.1.9 Eficincia Politrpica-----------------------------------------------------------------------18 3.1.10 Parmetros Adimensionais e Semi-adimensionais na Turbina Radial -------------19

    3.2 METODOLOGIA DE CLCULO UNIDIMENSIONAL DA TURBINA RADIAL--22 3.2.1 Procedimento de Clculo ------------------------------------------------------------------24

    3.3 FORMULAO AEROTERMODINMICA-----------------------------------------------26 3.3.1 Clculo do Rotor Radial--------------------------------------------------------------------26 3.3.2 Clculo do Bocal ----------------------------------------------------------------------------44

    CAPTULO 4 ____________________________________________________________ 54 DESEMPENHO DA TURBINA RADIAL: PONTO FORA DE PROJETO _________ 54

    4.1 METODOLOGIA DE ANLISE UNIDIMENSIONAL FORA DO PONTO DE PROJETO EM TURBINAS RADIAIS----------------------------------------------------------------54

    4.1.1 Perdas no Bocal -----------------------------------------------------------------------------55 4.1.2 Perdas por Incidncia-----------------------------------------------------------------------56 4.1.3 Perdas no Rotor------------------------------------------------------------------------------56 4.1.4 Obstruo no Bordo de Fuga --------------------------------------------------------------57 4.1.5 Entupimento no Bocal e no Rotor --------------------------------------------------------57 4.1.6 Procedimento de Clculo ------------------------------------------------------------------58

    CAPTULO 5 ____________________________________________________________ 70 DINMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL (DFC) NO CLCULO DAS CARACTERSTICAS DO ESCOAMENTO___________________________________ 70

    5.1 GENERALIDADES DAS SIMULAES NUMRICAS --------------------------------70 5.2 EQUAES GERAIS DA MECNICA DOS FLUIDOS---------------------------------71

    5.2.1 Equao de Conservao da Massa ------------------------------------------------------71 5.2.2 Equao de Conservao da Quantidade de Movimento------------------------------72 5.2.3 Equao de Conservao de Energia-----------------------------------------------------72

    5.3 VALIDAO DO PROGRAMA DE CLCULO UNIDIMENSIONAL---------------74 5.4 ANLISE UNIDIMENSIONAL DA TURBINA RADIAL DE 600 kW ----------------78

    5.4.1 Avaliao do Bocal -------------------------------------------------------------------------80 5.4.2 Avaliao do Rotor Radial-----------------------------------------------------------------83 5.4.3 Mapas de Desempenho da Turbina Radial ----------------------------------------------95

    5.5 SIMULAO COMPUTACIONAL UTILIZANDO DFC --------------------------------99 5.6 ANLISE TRIDIMENSIONAL DA TURBINA RADIAL DE 600 kW -------------- 106

  • iii

    5.6.1 Anlise do Bocal -------------------------------------------------------------------------- 106 5.6.2 Anlise do Rotor Radial------------------------------------------------------------------ 112 5.6.3 Convergncia ------------------------------------------------------------------------------ 118

    CAPTULO 6 ___________________________________________________________ 121 CONCLUSES, CONTRIBUIES, RECOMENDAES E PERSPECTIVAS FUTURAS ______________________________________________________________ 121

    6.1 CONTRIBUIES----------------------------------------------------------------------------- 123 6.2 RECOMENDAES -------------------------------------------------------------------------- 123 6.3 PERSPECTIVAS FUTURAS----------------------------------------------------------------- 124

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS _______________________________________ 125 APNDICE A ___________________________________________________________ 130 MANUAL DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO DE PROJETO E FORA DO PONTO DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS _______________________________________ 130

    A.1 PARMETROS DE ENTRADA------------------------------------------------------------ 130 APNDICE B ___________________________________________________________ 138 LINHAS DE PROGRAMAO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS _______________________________________________________________ 138

    APNDICE C ___________________________________________________________ 139 FLUXOGRAMA DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS _ 139

    APNDICE D ___________________________________________________________ 140 DESCRIO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO FORA DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS _______________________________________________________________ 140

    D.1 ENTRADA DO PROGRAMA--------------------------------------------------------------- 140 D.2 OPES----------------------------------------------------------------------------------------- 141 D.3 MENSAGENS---------------------------------------------------------------------------------- 141 D.4 VARIVEIS DE ENTRADA---------------------------------------------------------------- 142 D.5 DESCRIO DE SADA DE DADOS ---------------------------------------------------- 143

    APNDICE E ___________________________________________________________ 146

  • iv

    LINHAS DE PROGRAMAO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO FORA DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS ____________________________________________________ 146

    APNDICE F ___________________________________________________________ 147 RESULTADOS DO RELATRIO NASA TN D 8164 ________________________ 147 APNDICE G ___________________________________________________________ 148 VALIDAO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO DE PROJETO E FORA DO PONTO DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS _______________________________________ 148

    APNDICE H ___________________________________________________________ 149 RESULTADOS DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS TURBINADP.EXE _____________________________________________________ 149

    APNDICE I____________________________________________________________ 150 RESULTADOS DO PROGRAMA COMPUTACIONAL DE CLCULO UNIDIMENSIONAL PARA O PONTO FORA DE PROJETO DE TURBINAS RADIAIS TURBINAODP.EXE ___________________________________________ 150

    APNDICE J ___________________________________________________________ 151 RESULTADOS DA SIMULAO NUMRICA DA TURBINA RADIAL NO DFC ATRAVS DO ANSYS CFX 12.____________________________________________ 151

  • v

    Lista de Figuras

    Figura 1 - Vista em corte de uma microturbina. ------------------------------------------------------- 6 Figura 2 - Microturbina Capstone C30.----------------------------------------------------------------- 6 Figura 3 - Configurao de uma turbina radial. ------------------------------------------------------- 7 Figura 4 - Processo de expanso. ------------------------------------------------------------------------ 8 Figura 5 - Tringulos de velocidade do rotor da turbina radial. ------------------------------------14 Figura 6 - Projeo meridional da p do rotor. -------------------------------------------------------14 Figura 7 - Vazo mssica adimensional em funo do nmero de Mach. ------------------------17 Figura 8 - Diagrama de eficincia isentrpica. -------------------------------------------------------17 Figura 9 - Variao do fator de potncia do estgio e a razo de presso.------------------------19 Figura 10 - ngulo do escoamento relativo para o nmero de Mach mnimo. ------------------19 Figura 11 - Eficincia isentrpica em funo da rotao especifica. ------------------------------21 Figura 12 Superfcies de anlises. --------------------------------------------------------------------22 Figura 13 Plano meridional de estudo: linha de corrente mdia. --------------------------------22 Figura 14 Representao geomtrica do fator de obstruo na entrada do rotor.--------------23

    Figura 15 Tringulo de velocidades na entrada do rotor para ngulos na entrada 2 90= e

    2 90> . ---------------------------------------------------------------------------------------------------24

    Figura 16 Tringulo de velocidades na sada do rotor. --------------------------------------------24 Figura 17 Geometria bsica do bocal e rotor radial: plano meridional.-------------------------25 Figura 18 Geometria bsica do bocal e rotor radial: vista frontal.-------------------------------25 Figura 19 Sees de estudo da turbomquina.------------------------------------------------------26 Figura 20 Plano meridional da p do rotor radial. -------------------------------------------------39 Figura 21 Geometria do bocal.------------------------------------------------------------------------45 Figura 22 Diagramas de velocidade na entrada e sada do bocal. -------------------------------46 Figura 23 Geometria do bocal: corda. ---------------------------------------------------------------51 Figura 24 Conjunto turbina radial. -------------------------------------------------------------------55

  • vi

    Figura 25 Estrutura de funcionamento de ANSYS CFX. -----------------------------------------73 Figura 26 Variao do ngulo absoluto do escoamento na sada do bocal em funo da rotao especfica. ----------------------------------------------------------------------------------------81

    Figura 27 Nmero mnimo de palhetas do bocal em funo do ngulo absoluto do escoamento na sada do bocal. --------------------------------------------------------------------------82 Figura 28 Plano meridional da p do rotor. ---------------------------------------------------------86 Figura 29 Eficincia isentrpica em funo da rotao especifica.------------------------------87 Figura 30 Nmero de ps do rotor radial. -----------------------------------------------------------87 Figura 31 Coeficiente de velocidade isentrpica em funo do coeficiente de vazo. -------88 Figura 32 Razo de expanso total-esttica em funo do fator de potncia do estgio.-----89 Figura 33 Razo de largura da p do rotor em funo da razo da velocidade relativa.------89 Figura 34 Razo de raios na sada do rotor em funo da razo da velocidade relativa. -----90 Figura 35 Eficincia isentrpica vs eficincia politrpica. ---------------------------------------90 Figura 36 Correlao entre o dimetro especfico em funo da rotao especifica. ---------91 Figura 37 Variao da largura adimensional da p em funo da rotao especfica. --------92 Figura 38 Raio na ponta e de entrada do rotor em funo da rotao especfica. -------------92 Figura 39 Eficincia isentrpica total-esttica em funo da rotao especfica. -------------93 Figura 40 Razo mssica adimensional vs razo de presso total-esttica. --------------------96 Figura 41 Eficincia total-esttica vs razo de presso total-esttica.---------------------------96 Figura 42 Eficincia total-esttica vs coeficiente de vazo. --------------------------------------97 Figura 43 Comparao entre as curvas de desempenho de razo mssica adimensional vs razo de presso total-esttica obtida pelo programa em FORTRAN e DFC. -------------------98 Figura 44 Comparao entre a curva de desempenho de eficincia isentrpica total-esttica vs razo de presso total-esttica obtida pelo programa em FORTRAN e das simulaes com DFC. --------------------------------------------------------------------------------------------------------98 Figura 45 Turbina radial. ---------------------------------------------------------------------------- 101 Figura 46 Periodicidade da turbina radial. -------------------------------------------------------- 101 Figura 47 Domnio da interface utilizado na simulao numrica da turbina radial. ------- 102 Figura 48 Representao esquemtica da turbina radial.---------------------------------------- 102 Figura 49 Malha utilizada na turbina radial. ------------------------------------------------------ 103 Figura 50 Malha usada na simulao computacional. ------------------------------------------- 103 Figura 51 Folga na p do rotor. --------------------------------------------------------------------- 104 Figura 52 Erro de volume negativo no refinamento da malha.--------------------------------- 105 Figura 53 Distribuio de entropia usando o modelo de turbulncia SST.------------------- 106

  • vii

    Figura 54 Distribuio de entropia usando o modelo de turbulncia k . ------------------ 106 Figura 55 Bocal da turbina radial. ------------------------------------------------------------------ 107 Figura 56 Distribuio de presso total no bocal. ------------------------------------------------ 107 Figura 57 Distribuio de presso esttica atravs do bocal: grade.--------------------------- 108 Figura 58 Distribuio dos vetores de velocidade no bocal. ----------------------------------- 108 Figura 59 Distribuio de velocidade absoluta. -------------------------------------------------- 109 Figura 60 Velocidade meridional. ------------------------------------------------------------------ 109 Figura 61 Distribuio de presso total no bocal. ------------------------------------------------ 110 Figura 62 Distribuio da velocidade absoluta no bocal. --------------------------------------- 111 Figura 63 Distribuio do nmero de Mach absoluto e relativo no bocal. ------------------- 112 Figura 64 Rotor da turbina radial. ------------------------------------------------------------------ 112 Figura 65 Distribuio dos vetores de velocidade no rotor. ------------------------------------ 113 Figura 66 Distribuio de presso total no rotor.------------------------------------------------- 114 Figura 67 Distribuio de presso total no rotor.------------------------------------------------- 114 Figura 68 Distribuio de presso esttica atravs do rotor: grade. --------------------------- 115 Figura 69 Distribuio dos vetores de velocidade meridional atravs do rotor. ------------- 115 Figura 70 Distribuio da velocidade relativa no rotor. ----------------------------------------- 116 Figura 71 Distribuio da velocidade relativa no rotor. ----------------------------------------- 116 Figura 72 Distribuio do nmero de Mach relativo do rotor. --------------------------------- 117 Figura 73 Nmero de Mach relativo e absoluto ao longo do canal de passagem.----------- 118 Figura 74 Curvas de convergncia para a turbina radial. --------------------------------------- 118 Figura 75 Folga na ponta do rotor. ----------------------------------------------------------------- 132 Figura 76 Janela do programa de clculo unidimensional de turbinas radiais. -------------- 133 Figura 77 Janela para salvar arquivos.------------------------------------------------------------- 133

    Figura 78 Janela de resultados de clculo pelo programa TurbinaDP.exe.---------------- 134 Figura 79 Dados de entrada.------------------------------------------------------------------------- 134 Figura 80 Parmetros adimensionais. -------------------------------------------------------------- 135 Figura 81 Clculos do bocal. ------------------------------------------------------------------------ 135 Figura 82 Clculos do rotor radial. ----------------------------------------------------------------- 136 Figura 83 Ponto fora de projeto. -------------------------------------------------------------------- 136 Figura 84 Inserir RPM. ------------------------------------------------------------------------------ 137 Figura 85 ngulo absoluto da p na entrada do rotor. ------------------------------------------ 137

  • viii

    Lista de Tabelas

    Tabela 1 - Classificao das turbinas a gs. ------------------------------------------------------------ 6 Tabela 2 - Dados de entrada para a validao do programa TurbinaDP.exe.------------------74 Tabela 3 - Comparao de resultados para o rotor: TurbinaDP e NASA TN D-8164 .------75 Tabela 4 - Comparao de resultados para o bocal: TurbinaDP e NASA TN D-8164.------76 Tabela 5 - Comparao dos resultados da validao no CFX e FORTRAN para o rotor.------77 Tabela 6 - Comparao dos resultados da validao no CFX e FORTRAN para o bocal. -----77 Tabela 7 - Dados de entrada para a ponto de projeto da turbina radial de 600 kW.-------------78 Tabela 8 - Parmetros adimensionais e semi-adimensionais de sada da turbina radial. -------79 Tabela 9 Parmetros aerotermodinmicos na entrada do bocal. ---------------------------------80 Tabela 10 - Parmetros aerotermodinmicos na sada do bocal. -----------------------------------81 Tabela 11 Parmetros aerotermodinmicos na entrada do rotor radial.-------------------------84 Tabela 12 - Parmetros aerotermodinmicos na sada do rotor radial. ----------------------------85 Tabela 13 - Parmetros utilizados na construo da geometria do bocal no CFX 12.0. --------99 Tabela 14 - Parmetros utilizados na construo da geometria do rotor no CFX 12.0.---------99 Tabela 15 - Condies fsicas. ------------------------------------------------------------------------ 100 Tabela 16 - Condies de setagem: bocal. ---------------------------------------------------------- 100 Tabela 17 - Condies de setagem: rotor radial. --------------------------------------------------- 100 Tabela 18 - Caractersticas da malha numrica. ---------------------------------------------------- 104 Tabela 19 - Comparao dos resultados do CFX e FORTRAN para o rotor radial. ---------- 119 Tabela 20 - Comparao dos resultados do CFX e FORTRAN para o bocal. ----------------- 120 Tabela 21 - Variveis de entrada. --------------------------------------------------------------------- 142 Tabela 22 - Entrada de dados para o ponto de projeto da turbina. ------------------------------- 143 Tabela 23 - Entrada de dados para o modo fora do ponto de projeto da turbina. -------------- 144 Tabela 24 - Variveis utilizadas no programa.------------------------------------------------------ 145

  • ix

    Simbologia

    Letras Latinas

    A rea m2

    a velocidade do som m/s b largura do rotor m C,V velocidade absoluta (V, modo ponto fora de projeto) m/s C1 constante dimensional; 720/ C2 constante dimensional; 360/ C3 constante dimensional; 550 Cp calor especfico presso constante kJ/kg

    d dimetro m F fora N

    XF fora normal aplicada na superfcie de entrada do volume de controle

    g propriedade do fluido (arbitrria), constante de converso (1 para SI) h entalpia kJ/kg i ngulo de incidncia Graus J equivalente mecnico de calor (1 para SI) KS coeficiente de perda do bocal L comprimento m

  • x

    M nmero de Mach M nmero de Mach relativo m massa kg

    m vazo mssica kg/s

    N rotao rpm

    k expoente politrpico NSS rotao especfica

    P,p presso Pa

    Q vazo volumtrica m3/s Q fluxo de calor kJ/s q coeficiente de perda de entalpia total R constante do gs J/kgK

    R constante universal dos gases ideais kJ/kmolK

    r raio mm

    SW fator de potncia do estgio ou Power ratio da turbina s entropia kJ/kgK T temperatura K

    U velocidade tangencial do rotor m/s u energia interna kJ/kg

    v volume m3

    W velocidade relativa m/s

    W potncia kW

    w trabalho especfico da turbina J/kg wid,s trabalho ideal da turbina baseado na relao entre a presso total de

    entrada e a presso esttica de sada J/kg

    wid,t trabalho ideal da turbina baseado na relao de presso total de entrada e de sada

    J/kg

    WF fator de trabalho Y coeficiente de perda de presso total

  • xi

    Letras Gregas

    ngulo de escoamento absoluto Graus

    ngulo de escoamento relativo Graus

    eficincia %

    relao de fluxo de massa adimensional, ngulo

    qf perda por atrito J/kg qbl perda de carga na p J/kg

    qk perda devido curvatura da passagem J/kg

    qcl perda devido folga de topo e radial J/kg

    qex perda na sada do rotor J/kg

    qth variao de entalpia J/kg

    densidade kg/ m3

    coeficiente de escoamento

    velocidade angular rad/s

    Fator usado para relacionar parmetros que utilizam entrada de ar nas condies normais

    s rendimento baseado na relao de presso esttica de entrada e de sada do rotor

    t rendimento baseado na relao de presso total de entrada e de sada do rotor

    cr quadrado da relao entre as velocidades crticas na entrada e na condio-padro

    , torque Nm

  • xii

    Sobrescritos

    absoluto

    relativo

    * condies ISO de temperatura e presso

    Subscritos

    iso isentrpico

    h raiz ou hub

    m componente meridional

    n direo normal

    P superfcie de presso

    r rotor, relao, direo radial, componente radial

    S superfcie de suco

    s carcaa ou shroud

    T turbina

    ts total-esttico

    tt total-total

    0 entrada do bocal, condio total absoluta

    1 sada do bocal, seo imediatamente antes da sada do bocal

    2 entrada do rotor, seo imediatamente aps a sada do bocal

    3 sada do rotor, seo imediatamente antes da entrada do rotor

  • xiii

    4 seo imediatamente antes da sada do rotor

    5 seo imediatamente aps a sada do rotor

    1-4 localizao na turbomquina

    x componente meridional, componente no plano que contm o eixo de rotao

  • 1

    Captulo 1

    INTRODUO

    1.1 CONSIDERAES GERAIS

    O custo da energia tem crescido consideravelmente nos ltimos anos, o que incentiva muitas empresas e centros de pesquisas a procurar novas tcnicas e desenvolverem ferramentas computacionais que possam aumentar a eficincia dos sistemas de gerao de energia.

    Um dos equipamentos responsveis pela gerao de energia a turbina a gs, que uma mquina projetada com o objetivo de converter a energia dos gases gerados no processo de combusto de um determinado combustvel em energia mecnica ou energia eltrica. As turbinas a gs tm sido usadas como acionadores primrios na rea industrial, em geradores de energia eltrica, em acionamentos mecnicos ou em propulsores das aeronaves. Com a evoluo tecnolgica de seus componentes e a reduo dos custos, a turbina a gs industrial tem uma importante participao no mercado mundial (Mendes, 2006). Portanto, o estudo das microturbinas e o desenvolvimento de ferramentas computacionais para o projeto e a anlise de seu desempenho, tornam-se uma interessante opo na reduo dos custos de projeto, de equipamentos associados e manuteno.

  • 2

    1.2 GERAO DISTRIBUDA

    A Gerao Distribuda (GD) o termo que se usa para a gerao eltrica junto ou prxima do consumidor com potncias em torno de 30 MW. O conceito envolve, ainda, equipamentos de medida, controle e comando que articulam a operao dos geradores e o eventual controle de cargas (ligamento/desligamento) para que estas se adaptem oferta de energia (Barroso et al., 2002). Dentre as diversas tecnologias de gerao distribuda existentes, a microturbina uma das mais utilizadas. Existem hoje diversos fabricantes no mundo com unidades disponveis para comercializao, como a Capstone, a Elliot e a Ingersoll-Rand nos E.U.A., a Bowman na Inglaterra e a Turbec na Sucia, entre outros. As microturbinas evoluram das aplicaes das turbinas nas indstrias aeroespaciais e automotivas, para as aplicaes em sistemas de gerao de energia eltrica, apresentando inovaes tecnolgicas, como o uso de mancais a ar, de ligas metlicas e cermicas, resistentes s altas temperaturas. Podem ser encontradas no mercado com potncias de 30 kW (Capstone) at 250 kW (Ingersoll-Rand) (Bona e Ruppert, 2005). A Gerao Distribuda apresenta os seguintes benefcios: Emisses atmosfricas baixas j que podem ser utilizados diferentes combustveis como gs natural, gasolina sem chumbo, gasleo, lcool, querosene, propano, etc. As menores emisses so obtidas usando gs natural (NOx: 9 25 ppm); baixos nveis de rudo e de vibrao; dimenses reduzidas; modularidade (as conexes da microturbina com a rede/carga so feitas de modo plug-and-play, podendo-se conectar diretamente em paralelo at 20 microturbinas sem necessidade de equipamentos adicionais); baixo custo, pouca manuteno e alta eficincia.

    1.3 OBJETIVOS DO TRABALHO

    Este trabalho tem por objetivo desenvolver um programa computacional de clculo unidimensional para o projeto aerotermodinmico preliminar de uma turbina radial utilizando a linguagem FORTRAN e fazer a anlise do escoamento tridimensional usando a ferramenta de Dinmica dos Fluidos Computacional (DFC). O presente programa usa uma soluo unidimensional para determinar as caractersticas de escoamento atravs da turbina ao longo da linha de corrente mdia para as condies de ponto de projeto e fora do ponto de projeto em regime permanente de turbinas de fluxo radial de ciclo simples com um eixo.

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    1.4 JUSTIFICATIVA DO TRABALHO

    Est dissertao apresenta a anlise dos parmetros aerotermodinmicos de uma turbina de fluxo radial visando melhoria do desempenho em condies de ponto de projeto e fora do ponto de projeto. Decidiu-se pelo uso da linguagem de programao FORTRAN (FORmula TRANslation) por ser uma linguagem altamente utilizada na soluo de problemas tcnicos ou cientficos na rea da engenharia, alm de ser relativamente fcil de aprender e utilizar. Embora, seja possvel utilizar a prpria linguagem FORTRAN para gerar os grficos, os includos neste trabalho foram gerados com auxlio de programas de grficos especficos, como Microsoft Office Excel e Getdata224. O programa de clculo unidimensional desenvolvido consiste em um processo iterativo que admite uma eficincia total inicial do bocal e do rotor da turbina radial. Deve-se tambm fornecer parmetros bsicos da geometria, a razo de presso e as condies de presso e temperatura na entrada. O programa inicialmente calcula o tringulo de velocidades e nmero de Mach na entrada, juntamente com as relaes termodinmicas entre as diferentes temperaturas e presses nesse ponto. O seguinte passo ser o clculo do tringulo de velocidades na sada, visando encontrar a velocidade relativa e o nmero de Mach relativo na descarga. Uma vez estabelecidos os tringulos de velocidades sero calculados os parmetros de desempenho adimensionais e semi-adimensionais, as eficincias e a velocidade especfica para finalmente calcular as dimenses do bocal e rotor radial. Uma vez, finalizada a construo da geometria do bocal e do rotor radial, os componentes so simulados em conjunto (Turbina radial). A fim de encontrar uma opo promissria, as anlises e simulaes foram realizadas atravs da Dinmica dos Fluidos Computacional (DFC) utilizando o programa ANSYS CFX 12.0 para o estudo de desempenho e as caractersticas do escoamento atravs da turbina radial. A metodologia utilizada foi a de decomposio da turbina radial em componentes cujas caractersticas de funcionamento so modeladas a partir de suas caractersticas operacionais e onde os dados de sada de cada componente, convertem-se nos dados de entrada do componente seguinte. O programa desenvolvido amigvel do ponto de vista da utilizao por outros usurios, destacando-se a montagem do arquivo de dados de entrada.

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    1.5 ORGANIZAO DO TRABALHO

    Captulo 1 Introduo. Contm a situao do tpico estudado, as consideraes gerais, os objetivos fixados e a justificativa da elaborao de um programa de computacional de clculo unidimensional para a anlise de turbinas de fluxo radial. Captulo 2 Reviso Bibliogrfica. Apresenta as generalidades, o funcionamento e as caractersticas das microturbinas a gs, juntamente com os principais estudos e experincias relacionadas com o projeto, desempenho e simulao numrica de bocais e rotores de turbinas radiais disponveis na literatura.

    Captulo 3 Modelo Unidimensional da Turbina Radial: Ponto de Projeto. Apresenta os fundamentos tericos e a metodologia utilizada juntamente com a formulao matemtica, a modelao e o procedimento de clculo unidimensional para a condio do ponto de projeto da turbina radial, levando-se em conta as equaes de conservao, as propriedades fsicas e termodinmicas do fluido, os parmetros geomtricos, adimensionais e semi-adimensionais de desempenho e a independncia destes, com as variveis: massa especfica, rotao e geometria de cada componente isoladamente. Captulo 4 Desempenho da Turbina Radial: Ponto Fora de Projeto. Apresenta a formulao matemtica, a metodologia utilizada e o procedimento de clculo unidimensional dos parmetros adimensionais e semi-adimensionais para as condies de desempenho fora do ponto de projeto, atravs de um programa computacional que tem como nome TurbinaODP.exe.

    Captulo 5 Dinmica dos Fluidos Computacional (DFC) no Clculo das Caractersticas do Escoamento. Apresenta os fundamentos tericos da Dinmica dos Fluidos Computacional (DFC), os resultados obtidos pelo programa de clculo unidimensional de turbinas radiais e a simulao numrica em DFC usando o programa ANSYS CFX 12.0 para o clculo tridimensional, a escolha do modelo de turbulncia, as condies de contorno, os critrios de convergncia, a definio e caractersticas da malha, os domnios do modelo e da interface utilizados.

    Captulo 6 Concluses, Contribuies, Recomendaes e Perspectivas Futuras. Apresenta as concluses obtidas sobre a pesquisa efetuada alm de apresentar sugestes para futuros trabalhos. Aps o Captulo VI, so apresentadas as referncias bibliogrficas, contendo a lista de livros, artigos, dissertaes, teses, etc., citadas no presente trabalho, seguida dos apndices.

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    Captulo 2

    REVISO BIBLIOGRFICA

    Apresenta as generalidades, o funcionamento e as caractersticas das microturbinas a gs, juntamente com os principais estudos e experincias relacionadas com o projeto, desempenho e simulao numrica de bocais e rotores de turbinas radiais disponveis na literatura.

    2.1 GENERALIDADES DAS TURBINAS RADIAIS

    As turbinas radiais do tipo inflow ou turbinas centrpetas tm sido usadas em muitas aplicaes na ltima dcada por operarem com vazes mssicas menores, sendo estas mais eficientes que as turbinas axiais, em condies de baixa potncia. As aplicaes so as unidades de potncia auxiliar (APUs), a sobre alimentao de motores automotivos e Diesel (Simpson et al., 2006), as unidades de expanso nos sistemas de resfriamento em aeronaves comerciais, a liquefao de gases, etc. (Tanns et al., 2006); devido s suas caractersticas atraentes como: a simplicidade, a confiabilidade, as baixas emisses, o uso de diferentes tipos de combustveis, o baixo custo de fabricao, o desempenho relativamente elevado e a fcil instalao e manuteno (Feng e Deng, 2005). Alm do oferecer uma montagem compacta e rgida, quando so montadas com compressores centrfugos em aplicaes onde o tamanho mais importante que o consumo de combustvel. Esta configurao tem mostrado excelentes resultados em pequenas unidades de turbina a gs para gerao de potncia de at 3 MW (Cohen et al., 1996).

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    O termo microturbina refere-se em geral a um sistema de dimenses relativamente reduzidas, com uma potncia total disponvel no superior a 500 kW (Figura 1 e 2). Para sistemas com potncias entre 500 kW e 1 MW usualmente utilizado o termo mini-turbina, como mostrado na Tabela 1.

    Figura 1 - Vista em corte de uma microturbina.

    Figura 2 - Microturbina Capstone C30. Fonte: Capstone, (2003).

    Tabela 1 - Classificao das turbinas a gs. Fonte Giampoalo, (2006).

    Tipo Faixa de potncia Turbinas a gs industriais e aero derivativa 1000 kW e superior

    Mini-turbina 500 kW 1000 kW Microturbina 20 kW 500 kW

    No Brasil, o desenvolvimento da microturbina tem sido alvo de grande interesse, por sua forma compacta. A importncia das microturbinas est relacionada principalmente com a possibilidade de conseguir nveis de desempenho satisfatrio sem um aumento considervel dos valores da razo de presso do ciclo e da temperatura da entrada da turbina, evitando assim, o aumento dos custos de manufatura dos componentes.

    2.2 FUNCIONAMENTO DA TURBINA RADIAL

    As turbinas podem ser formadas por uma srie de estgios, cujo nmero determinado em funo da razo de presso desejada e cada estgio composto por uma grade de palhetas

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    estacionrias (bocal) seguido por uma grade de ps mveis (rotor). A Figura 3 mostra a configurao tpica de uma turbina radial.

    Figura 3 - Configurao de uma turbina radial. Fonte: Tanns et al., (2006).

    Um processo de expanso tpico de uma turbina radial mostrado no diagrama de presso e temperatura da Figura 4. As linhas slidas representam a variao da presso total. Para os estados 1 e 2 observada uma pequena variao de presso que representa as perdas no bocal, no entanto, nos estados 2 e 3, h uma sbita reduo da presso total, devido mudana da quantidade de movimento, alm do termo adicional de perda por atrito, como conseqncia da passagem do fluxo pelo rotor. A linha pontilhada representa a variao da presso esttica, sendo que a maior diferena ocorre na regio de sada do bocal no estado 2, onde, a diferena entre a presso total e esttica a presso dinmica. As linhas slidas, mostradas na parte inferior da Figura 4(a), representam a variao da temperatura total. Entre os estados 1 e 2 no ocorre variao da temperatura total, mas se tem um aumento no estado 2, devido s perdas por atrito do rotor. Entre os estados 2 e 3 acontece uma reduo considervel da temperatura total devida mudana da quantidade de movimento. A temperatura esttica mostrada abaixo pela linha pontilhada, e observa-se que a diferena entre a temperatura esttica e a total, pequena na entrada e na sada da turbina, portanto, no estado 2, a alta velocidade se acentua essa diferena. O processo de expanso pode ser tambm representado num diagrama T-S (Temperatura-Entropia), como mostrado na Figura 4(b), na qual as linhas slidas representam as isobricas de presso total e o pontilhado, as linhas de isobricas de presso esttica. Observa-se, nesta figura, os detalhes das alturas manomtricas envolvidas no processo, tais como (qth) que representa a diferena de altura manomtrica devido queda de temperatura de (Tt 2) at (Tt 3) como mostrado na Figura 4(b), realizando um processo

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    isentrpico, destacando-se os termos de perdas como: as perdas no rotor (qR), as perdas na voluta (qw), e as perdas no bocal (qThr), e ainda o termos de velocidade (C2) e (C3) que representam a diferena de energia entre os estados esttico e total.

    a) Variao da temperatura total.

    b) Diagrama T-S.

    Figura 4 - Processo de expanso. Fonte: Tanns et al., (2006).

    2.3 REVISO BIBLIOGRFICA

    A anlise da literatura disponvel mostra que a NASA, desenvolveu programas de clculo de desempenho de turbinas a gs, entre os quais, Futral e Wasserbauer, (1965) desenvolveram um mtodo para a predio das condies fora do ponto de projeto com validao experimental de turbinas a gs radiais. Rohlik, (1968) desenvolveu um mtodo computacional e no faz meno do ponto de entupimento, mas os subseqentes programas desenvolvidos por Wasserbauer e Glassman, (1975), Meitner e Glassman, (1983) e Qiu e Baines, (2007) consideram o entupimento no bocal e no rotor e seus efeitos no projeto e desempenho da turbina. Wasserbauer e Glassman, (1975) desenvolveram um programa computacional baseado em parmetros adimensionais para o clculo do ponto fora de projeto de turbinas radiais na linguagem FORTRAN o qual serviu como base para logo, Glassman, (1976) desenvolver um

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    programa computacional de clculo unidimensional para o ponto de projeto de turbinas radiais na linguagem FORTRAN. Katsanis e McNally, (1977) desenvolveram o programa computacional em FORTRAN-IV, para obter em detalhe a soluo subsnica e transnica de escoamentos na raiz e na carcaa da p do rotor de turbomquinas. Whitfield e Baines, (1990), desenvolveram um programa de modelao e clculo do rotor de uma turbina radial, baseado na resoluo unidimensional das equaes termodinmicas e da mecnica de fluidos, em uma srie de pontos de interesse dentro da mquina (entrada e sada do bocal e do rotor) ao longo da linha de corrente mdia. Flack, (1990) apresentou um modelo matemtico, no qual o ponto de casamento de todos os componentes de um gerador de gs pode ser determinado para diferentes condies de operao. Um mtodo que permite a simulao do desempenho de turbinas a gs com a possibilidade de se adaptar s particularidades do sistema de gerao, foi apresentado por Stamatis et al., (1990), no qual, medidas ao longo da trajetria do gs so usadas para adaptar os modelos de desempenho dos componentes pela modificao apropriada dos seus mapas. Um programa modular escrito em linguagem FORTRAN foi desenvolvido por Ismail e Bhinder, (1991), este permite ao usurio montar e modelar os componentes da turbina da maneira desejada. Korakianitis e Wilson, (1994) desenvolveram um programa que calcula o desempenho de um ciclo de propulso a jato e um ciclo de potncia com eixos: simples, regenerativo, com refrigerao intermediria, turbojato e turbofan. Este programa pode ser usado para calcular as condies de operao no ponto de projeto e fora do ponto de projeto. Mirza e Saravanamuttoo, (1997) desenvolveram um mtodo de clculo, o qual tem como finalidade calcular o desempenho de um motor turbojato de um nico eixo, verificando a temperatura na entrada da turbina atravs da anlise termodinmica de cada um dos componentes. Baines, (1998) desenvolveu um programa para o clculo das perdas e eficincia da turbina radial ao longo da linha de corrente mdia, este programa capaz de predizer a eficincia dos componentes da turbina radial, dentro e fora das condies de projeto e foi baseado na abordagem introduzida pela NASA na dcada de 1960, mas inclui desenvolvimentos e aperfeioamentos que resultam na melhor compreenso fsica dos processos que ocorrem no interior do rotor da turbina. Haugwitz, (2002) apresenta a simulao do modelo termodinmico de uma microturbina a gs. A microturbina composta por um compressor e turbina conectada com

  • 10

    um gerador eltrico de alta velocidade, alm da cmara de combusto, recuperador e um trocador de calor e os resultados obtidos foram comparados com os proporcionados por a microturbina T100 TURBEC. O mtodo usado foi na maior parte manual, tornando o processo lento cada vez que um novo compressor analisado. Os tipos de modelagem de turbomquinas segundo Balje, (1980) so: a anlise baseada em dados de grade, argumentos de canal e coeficientes de velocidade. No entanto, Benson, (1970) avaliou uma variedade de mtodos para representar as perdas em turbinas radiais em operao fora do ponto de projeto. Para essa avaliao, dividem-se as perdas em duas principais: perdas no bocal e no rotor, sendo que as perdas no bocal incluem as perdas da voluta. Benson, (1970) conclui que os modelos para o bocal apresentaram bons resultados, quando so comparados com os experimentais e que o modelo de Futral e Wasserbauer, (1965) apresentaram os melhores resultados para as perdas, quando so comparados com os resultados experimentais. Mseddi et al, (2002) desenvolveram uma metodologia de turbinas radiais fundamentado no clculo da razo de expanso em dois estados da turbina: esttico e dinmico, e a eficincia isentrpica. As consideraes realizadas para o tratamento foram que o modelo estacionrio e unidimensional. Simpson et al., (2006) apresenta a simulao numrica com validao experimental de cinco diferentes tipos de bocais de uma turbina radial com trs diferentes tipos de palhetas. Os ensaios experimentais foram realizados com diferentes valores de vazes mssicas e razes de presso, utilizando uma turbina de 86 milmetros de dimetro do rotor, encontrando-se variaes da eficincia de 1 - 4% entre a simulao numrica e validao experimental. Qiu et al., (2009) apresenta um programa computacional para o projeto de turbinas radiais usando a metodologia unidimensional ao longo da linha de corrente mdia, mas este programa utilizado para bocais de rea varivel. Finalmente Cox et al., (2009) descrevem uma nova abordagem para o projeto preliminar de rotores de turbinas radiais, no qual utilizam um mtodo quase-3D, que permite variar cargas aerodinmicas e a espessura da p do rotor e desta forma realizar uma anlise paramtrica da turbina antes de avanar na anlise com DFC.

  • 11

    Captulo 3

    MODELO UNIDIMENSIONAL DA TURBINA RADIAL: PONTO DE PROJETO

    Este captulo apresenta os fundamentos tericos e a metodologia utilizada juntamente com a formulao matemtica, a modelao e o procedimento de clculo unidimensional para a condio do ponto de projeto da turbina radial, levando-se em conta as equaes de conservao, as propriedades fsicas e termodinmicas do fluido, os parmetros geomtricos, adimensionais e semi-adimensionais de desempenho e a independncia destes, com as variveis: massa especfica, rotao e geometria de cada componente isoladamente. Finalmente, no APNDICE A descreve-se em detalhe o programa computacional de clculo unidimensional, no APNDICE B so mostradas as linhas de programao que utiliza o programa computacional para a realizao do clculo para a condio do ponto de projeto e a utilizao desses algoritmos na linguagem FORTRAN, gerando o programa computacional TurbinaDP.exe e j no APNDICE C apresentado o fluxograma do programa desenvolvido.

    3.1 FUNDAMENTOS AEROTERMODINMICOS

    O estado termodinmico para um fluido ideal pode ser definido por duas propriedades. Normalmente so usadas para esta definio a presso e a temperatura, porque podem ser

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    medidas diretamente. Nos fluidos em movimento a magnitude e direo da velocidade tambm devem ser especificadas. Para o projeto preliminar de turbomquinas normalmente se assume o escoamento como unidirecional e seguindo a geometria das palhetas ou ps. Assim, o escoamento pode ser caracterizado por cinco parmetros, os quais so: presso, temperatura, velocidade, ngulo do escoamento e vazo.

    3.1.1 Equao da Continuidade

    Estabelece simplesmente que, em regime permanente, a vazo mssica na entrada e na sada do volume de controle constante, como mostrado na equao (1).

    .

    1 1 1 2 2 2m = C A = C A ou .

    1 m1 1 2 m2 2m = C A = C A (1)

    3.1.2 Equao de Quantidade de Movimento

    A Segunda Lei de Newton estabelece que, para um fluido escoando atravs de um volume de controle, a taxa de variao da quantidade de movimento igual fora aplicada no fluido dentro do volume de controle na direo do escoamento, ou seja:

    .

    x x2 x1F m(C -C )= (2)

    Portanto, o trabalho especfico produzido pela turbina pode ser calculado atravs da equao (3). As posies 1 e 2 correspondem entrada e sada do escoamento do rotor.

    .

    T2 2 1 1

    . .

    W = = U C -U C

    m m

    (3)

  • 13

    3.1.3 Equao de Energia

    A Primeira Lei da Termodinmica estabelece que a variao de energia de um fluido atravs de um processo, igual diferena entre o calor e o trabalho transferido entre o fluido e no meio. No caso do escoamento em regime permanente, pode ser demonstrado que o balano de energia para um volume de controle com uma entrada e uma sada dado por:

    . .

    2 22 1 2 1 2 1

    . .

    Q W 1- =(h -h )+ (C -C )+g(z -z )

    2m m (4)

    Para turbomquinas trmicas (Turbomquinas que operam com gs), a variao de

    energia potencial desprezvel e o processo pode ser considerado adiabtico ( .Q=0 ) como mostra a equao (5).

    .

    2 2T1 1 2 2

    .

    W 1 1=(h + C )-(h + C )

    2 2m (5)

    3.1.4 Tringulos de Velocidade

    Os tringulos de velocidade estabelecem a relao entre a velocidade do rotor e a velocidade do gs (absoluta e relativa) para movimentar as ps do rotor ou direcionar o fluxo, como no caso do bocal da turbina radial. Isto pode ser feito pela representao de um diagrama em forma de tringulo, como mostrado na Figura 5. A velocidade (C ) a velocidade absoluta do escoamento, a velocidade (U ) a velocidade tangencial da p dada por (r ) e (W ) a velocidade relativa do escoamento, vista desde um referencial no-inercial fixado no rotor. Os tringulos tambm fornecem os ngulos

    ( ) e ( ), que estabelecem a direo das velocidades absoluta e relativa respectivamente e descrevem o comportamento do escoamento na entrada e na sada do rotor. A Figura 6 mostra a projeo meridional da p de um rotor sobre a qual sero desenvolvidas as equaes para a anlise do escoamento e o dimensionamento da turbomquina com a hiptese de escoamento unidimensional.

  • 14

    a) Entrada.

    b) Sada.

    Figura 5 - Tringulos de velocidade do rotor da turbina radial. Fonte: Moustapha, (2003).

    Figura 6 - Projeo meridional da p do rotor.

    3.1.5 Entalpia de Estagnao

    A entalpia de estagnao (oh ) a entalpia que uma corrente de gs, com entalpia esttica

    ( h ) e velocidade (C ) teria quando desacelerado adiabaticamente at a condio de repouso e sem transferir trabalho. Aplicando a equao de energia para o escoamento permanente unidimensional, tem-se:

  • 15

    . . .

    2 22 1 2 1 2 1

    1Q-W = m (h - h )+ (C - C )+ g(z - z )2

    (6)

    Fazendo: 2 oh =h , 1h =h , 2C =0 , 1C =C , 2 1z =z . A equao (6) se reduz a:

    2

    0Ch = h+2

    (7)

    3.1.6 Presso e Temperatura de Estagnao ou Total

    Sabe-se que para um gs perfeito ( 0 p 0h =C T ), substituindo na equao (6), tem-se:

    22

    0p

    C k -1T = T + 1+ M2C 2

    (8)

    A presso de estagnao definida por:

    kk -1

    0 0p T=

    p T

    (9)

    Substituindo a equao (8) na equao (9), tem-se:

    kk -12

    0k -1p = p 1+ M

    2

    (10)

    Assim, a presso ( 0p ) e temperatura ( 0T ) de estagnao, so propriedades da corrente do gs, as quais podem ser usadas para determinar as condies termodinmicas da mesma.

    3.1.7 Grandezas Adimensionais do Escoamento

    Ao longo da turbomquina o escoamento adiabtico e a temperatura de estagnao constante exceto no rotor, onde ocorre transferncia de trabalho. Neste caso, pode-se recorrer temperatura ou entalpia de estagnao. Numa primeira aproximao, se o escoamento

  • 16

    tratado como isentrpico, a presso de estagnao constante fora do rotor, e pode ser calculada como a presso de estagnao relativa dentro do rotor. Portanto, junto com a equao da continuidade dada pela equao (1) e introduzindo o nmero de Mach e a equao dos gases perfeitos, tem-se:

    .

    m p= M kRT

    A RT

    (11)

    Combinando a equao (11) juntamente com as equaes (8) e (10), tem-se:

    .

    0 (k+1)-

    2(k-1)

    0

    RTm 1- kk

    = M 1+Ap 2

    (12)

    O lado esquerdo da equao (12) adimensional, o qual chamado de funo adimensional do escoamento. O lado direito funo apenas do nmero de Mach. Como o lado esquerdo normalmente conhecido, pode-se calcular o nmero de Mach. A equao anterior pode ser resolvida de modo rpido utilizando o mtodo de Newton-Raphson. Para clculos manuais a funo acima se encontra resolvida na forma grfica (Figura 7) mostrando a vazo mssica adimensional nas ordenadas contra o nmero de Mach nas abscissas. O prximo passo mostrar como a equao (12) pode ser usada no escoamento de fluidos. Portanto, ser considerado um caso simples, adiabtico, isentrpico, sem transferncia

    externa de trabalho, com presso e temperatura de estagnao constante. Se ( 0p ) e ( 0T ), so conhecidas para qualquer ponto do escoamento na entrada da turbina e introduzindo a rea

    ( 1A ) e o ngulo de escoamento absoluto ( 2 ); o nmero de Mach na sada do rotor pode ser obtido pela equao (13). Assim:

    '.

    0 (k+1)-

    2(k -1)222 2 2'

    1 0 1

    RTm A 1- kk

    = cos M 1+ MA p A 2

    (13)

    A equao (13) tem um mximo para o valor do nmero de Mach igual a 1, ou seja para escoamento snico, isto determina o limite de vazo mssica para um valor dado de

  • 17

    estagnao, que pode fluir atravs de uma rea definida, e esta relao definida como o valor de entupimento (valor obtido para escoamento snico).

    s

    Figura 7 - Vazo mssica adimensional em funo do nmero de Mach.

    Fonte: Whitfield e Baines, (1990).

    Figura 8 - Diagrama de eficincia isentrpica.

    Fonte: Dixon, (1998).

    3.1.8 Eficincia Isentrpica

    Para uma turbina, a eficincia isentrpica pode ser calculada por:

    .

    realtt .

    ideal

    W =

    W (14)

    Para a turbina radial, a Figura 8 mostra as diferenas existentes nas condies ideais de um processo de expanso, onde a entropia constante e um processo real onde existem irreversibilidades.

    Inicialmente o fluido de trabalho encontra-se no estado inicial a ( 1p ) e ( 1T ) ou nas condies de estagnao ( 01p ) e ( 01T ), logo com a entropia e a entalpia definidas para o processo ideal, o incremento de presso feito isentropicamente at os estados ( 2Sp ) e ( 2ST ) ou ( 02Sp ) e ( 02ST ).

  • 18

    O trabalho do processo pode ser calculado como a diferena de entalpias entre os dois estados. No entanto, o processo real realizado com aumento de entropia, at atingir os

    pontos ( 2p ) e ( 2T ) ou ( 02p ) e ( 02T ), neste caso, ao calcular a diferena de entalpia entre os estados iniciais e finais, obtm-se um valor maior que o obtido para o caso ideal.

    Eficincia Isentrpica Total-Total Se as velocidades ( 1C ) e ( 2C ) na entrada e na sada da turbina forem iguais, esta eficincia aproximadamente igual eficincia sem ter em conta as propriedades de estagnao. Utilizando a relao isentrpica entre as razes de temperatura e presso, tem-se:

    ( )( )

    02 01tt k -1

    k02 01

    1- T T =

    1- P P (15)

    Eficincia Isentrpica Total-Esttica Outra eficincia adiabtica que pode ser usada a total-esttica, definida como:

    ( )( )

    02 0101 02ts k -1

    01 2s k2 01

    1- T TT -T = =

    T -T 1- P P (16)

    3.1.9 Eficincia Politrpica

    Uma desvantagem da utilizao da eficincia isentrpica que ela funo da razo de presso do processo. Por isso, impossvel comparar mquinas trabalhando com diferentes razes de presso. Para resolver este problema, possvel definir uma nova eficincia chamada de politrpica, como aquela onde a razo de presso da mquina se aproxima ao valor de um (1) e a diferena de entalpia ao valor de zero (0). Assim, tem-se:

    ( )( )

    pk -1

    k

    02 01tt k -1

    k02 01

    1- P P =

    1- P P

    (17)

  • 19

    3.1.10 Parmetros Adimensionais e Semi-adimensionais na Turbina Radial

    O fator de potncia do estgio ( WS ) um parmetro adimensional desenvolvido para permitir a comparao entre diferentes turbomquinas (Whitfield e Baines, 1990). Esta varivel relacionada razo de presso e a eficincia do estgio a ser projetado, portanto:

    .

    03W

    .

    0101

    TWS = = 1-Tm h

    (18)

    A Figura 9 mostra a relao entre o fator de potncia do estgio e a razo de presso para uma turbina radial, em duas condies de eficincia total-esttica. Pode ser visto que existe uma relao do tipo parablica entre as duas variveis, ou seja, na medida em que a razo de potncia aumenta tambm se pode esperar um aumento da temperatura e da velocidade absoluta do fluido na entrada.

    Figura 9 - Variao do fator de potncia do estgio e a razo de presso.

    Fonte: Whitfield e Baines, (1990).

    Figura 10 - ngulo do escoamento relativo para o nmero de Mach mnimo.

    Fonte: Whitfield e Baines, (1990).

    No caso da descarga do rotor, importante garantir que no se obtenha um nmero de Mach muito alto, pois s vezes possvel que ocorra a formao de ondas de choque. Este efeito foi apresentado por Rohlik, (1968), juntamente com a relao entre o nmero de Mach

  • 20

    relativo na descarga ( 3M ) e o ngulo de escoamento ( 3 ) mostrado na Figura 10. Neste caso, e para vrias anlises efetuadas foi demonstrado que para uma razo de presso e eficincia

    estabelecidas, um ngulo de o60 garante o menor nmero de Mach relativo na descarga. Alm disso, Rohlik, (1968) tambm sugere projetar o rotor da turbina com uma razo de velocidades relativas (entrada/sada) de 2,0; como critrio para operar dentro da faixa de mxima eficincia.

    No projeto do rotor da turbina tambm deve ser feita a determinao do nmero adequado de ps em funo dos tringulos de velocidade encontrados para cada caso. Assim, existem vrias relaes empricas desenvolvidas para o clculo do nmero de ps a partir do ngulo de escoamento absoluto, dentro das quais se destacam as equaes de Glassman, (1976) e Whitfield e Baines, (1990), como as mais utilizadas para diversos tipos de projetos desenvolvidos por serem validadas experimentalmente. Dentro dos parmetros adimensionais e semi-adimensionais utilizados para a descrio

    do comportamento das turbomquinas, a rotao especfica ( SSN ) tem sido amplamente utilizada. Como pode ser observado, o parmetro no est relacionado com as dimenses fsicas, mas sim com as grandezas de funcionamento da turbomquina: rotao do rotor, velocidade, vazo volumtrica e trabalho especfico. O valor numrico desta relao fornece uma idia geral da capacidade de fluxo volumtrico em relao ao trabalho desejado. Valores baixos de rotao especfica ( SSN ) esto associados com reas de fluxo relativamente pequenas e valores altos com reas de fluxo maiores. A rotao especfica tambm utilizada como indicador da eficincia mxima.

    .

    3ss 0 ,75

    espos

    QN

    W

    = (19)

    Rohlik, (1968) estudou o desempenho de turbinas radias com entrada a 90, buscando encontrar um procedimento de projeto timo para vrias aplicaes, relacionando as variveis com a rotao especfica. Seu procedimento foi desenvolvido a partir do trabalho de Wood, (1963), que determinou basicamente as perdas no ponto de projeto para vrios rotores e bocais projetados para diferentes condies. A Figura 11 mostra a variao da eficincia em funo da rotao especfica para diferentes ngulos absolutos do escoamento no bocal. Observa-se um valor mximo de

    eficincia de 0,87 quando se atinge uma velocidade especfica de ssN = 0,58. Em outro

  • 21

    trabalho Kofskey e Wasserbauer, (1966) encontrarem o mesmo valor de eficincia para um valor de ssN = 0,64.

    Rotao especfica (Nss)

    Figura 11 - Eficincia isentrpica em funo da rotao especifica. Fonte: Rohlik, (1968).

    Finalmente, outros coeficientes adimensionais para descrever as caractersticas de funcionamento de uma turbomquina so:

    Coeficiente de Carregamento

    Sendo 0Y p / 2 h = = , define-se, o coeficiente de carregamento ( p ), por:

    2p = 2h U (20)

    Coeficiente de Fluxo

    Sendo ACQ m= e sabendo-se que (A) proporcional a (D2), conclui-se que (Q) tambm proporcional ao produto (Cm D2). Logo, o coeficiente de fluxo, ( ) definido por:

    mC U = (21)

  • 22

    3.2 METODOLOGIA DE CLCULO UNIDIMENSIONAL DA TURBINA RADIAL

    Na metodologia unidimensional tem-se o uso das equaes de conservao, onde o estudo realizado em apenas uma direo, no plano meridional da turbomquina, como mostrado nas Figuras 12 e 13.

    a) Meridional. b) P-a-p. Figura 12 Superfcies de anlises.

    Figura 13 Plano meridional de estudo: linha de corrente mdia.

    O programa de clculo desenvolvido em neste trabalho uma ferramenta de grande utilidade na fase preliminar do projeto e pode ser usado para calcular e testar de forma rpida, diferentes tipos de configuraes antes de qualquer detalhe da palheta do bocal ou da p do rotor seja construda.

  • 23

    O programa consiste em um processo iterativo que admite uma eficincia inicial total do bocal, difusor e a total-esttica ou de estgio da turbina, assim como os parmetros geomtricos: razo de raios na sada do rotor, relao de velocidades relativas do rotor, razo de raios de entrada e sada do bocal, largura adimensional do difusor, espessura da palheta do bocal, espessura da p do rotor, espessura da lingeta da voluta, os ngulos relativos de entrada e sada do rotor e o ngulo absoluto de entrada do rotor, a folga ideal entre o bocal e o rotor (o termo ideal refere-se variao da folga em funo das iteraes, o qual produz correes na geometria dos componentes da turbomquina, devido ao fator de obstruo no bocal e no rotor e aos loops de perdas). O fator de obstruo a diferena entre a rea real que escoa o fluido e a rea geomtrica do componente (Equao 22), como mostrado na Figura 14.

    efetivaf

    geomtrica

    AB =1-

    A (22)

    Figura 14 Representao geomtrica do fator de obstruo na entrada do rotor.

    Os loops de perdas consistem em calcular os parmetros adimensionais e as condies geomtricas e aerotermodinmicas utilizando as eficincias iniciais ou de entrada para assim avaliar as perdas e com base nelas, calcular uma nova eficincia para logo ser comparado com a inicial, atingir uma porcentagem mnima de erro e obter convergncia entre os resultados obtidos. Finalmente necessrio fornecer a vazo mssica do projeto juntamente com as propriedades termodinmicas na entrada e sada da turbina e as propriedades qumicas do fluido de trabalho, a razo de presso e as condies de presso e temperatura total na entrada da turbina radial.

  • 24

    3.2.1 Procedimento de Clculo

    O programa inicialmente realiza o clculo do tringulo de velocidades como o mostra a Figura 15 e o nmero de Mach na entrada do rotor, juntamente com as relaes termodinmicas entre as diferentes temperaturas e presses totais ou de estagnao e as propriedades fsicas (massa especifica, vazo mssica, etc.) nesse ponto.

    Figura 15 Tringulo de velocidades na entrada do rotor para ngulos na entrada 2 90= e

    2 90> .

    O passo seguinte o clculo do tringulo de velocidades na descarga do rotor como o mostra a Figura 16, visando encontrar a velocidade relativa e o nmero de Mach relativo na descarga.

    Figura 16 Tringulo de velocidades na sada do rotor.

  • 25

    Uma vez estabelecidos os tringulos de velocidades, so calculados os parmetros de desempenho adimensionais, semi-adimensionais e aerotermodinmicos para finalmente obter as dimenses do bocal e do rotor em funo da geometria do componente antes calculado, as quais so apresentadas nas Figuras 17 e 18.

    Figura 17 Geometria bsica do bocal e rotor radial: plano meridional.

    Figura 18 Geometria bsica do bocal e rotor radial: vista frontal.

    Neste mtodo, a modelagem do escoamento atravs da turbina radial consiste em dividir a turbomquina em diferentes componentes, ou seja, cada parte modelada por separado. Como foi mencionado anteriormente, as condies de sada de cada componente so as

  • 26

    condies de entrada do outro, a Figura 19 mostra o duto imaginrio de entrada da turbina (a - 0), o bocal (0 - 1), a interface bocal-rotor (1 2), o rotor radial (2 3) e o duto imaginrio de sada da turbina (3 - b).

    a) Bocal.

    b) Rotor radial.

    Figura 19 Sees de estudo da turbomquina.

    3.3 FORMULAO AEROTERMODINMICA

    O clculo passo a passo realizado ao longo da linha mdia da turbina radial no plano meridional como mostrado na Figura 13. O procedimento inicia com o clculo do rotor para depois ser calculado o bocal.

    3.3.1 Clculo do Rotor Radial

    A anlise do rotor inicia considerando a hipteses segundo Glassman, (1976) da temperatura total ( 00 01 02T = T = T ) constante atravs do bocal e na interface bocal-rotor, portanto, se pode resolver:

    3.3.1.1 Clculo do Nmero de Mach Mnimo na Entrada O projeto inicia com o clculo da razo de presso esttica-total da turbina, a qual definida pela equao (23).

  • 27

    3

    00 ts

    P 1=

    P PR (23)

    Uma vez calculada a razo de presso esttica-total da turbina, possvel obter o fator de potncia do estgio, definido pela equao (24).

    k-1k

    w tsts

    1S = 1-PR

    (24)

    Desta maneira possvel calcular a razo de temperaturas totais na entrada e sada da turbina, assim:

    03w

    00

    T= 1- S

    T (25)

    A temperatura total na sada do rotor :

    03 00 wT = T (1- S ) (26)

    Agora, so calculadas as velocidades do som nas diferentes estaes da turbina. A velocidade do som na entrada do bocal :

    00 00a = kRT (27)

    A velocidade do som na sada do bocal :

    01 01a = kRT (28)

    A velocidade do som na entrada do rotor :

    02 02a = kRT (29)

  • 28

    A velocidade do som na sada do rotor :

    03 03a = kRT (30)

    Como mencionado anteriormente, inicialmente se calcula o nmero de Mach mnimo de estagnao na entrada do rotor (esta condio foi escolhida devido que o programa calcular a rotao mnima da turbomquina como uma primeira aproximao, devido que tambm pode ser inserido o valor da rotao desejada) e o tringulo de velocidades na entrada, juntamente com as relaes termodinmicas entre as diferentes temperaturas e presses totais, de estagnao e as propriedades fsicas (massa especifica, vazo mssica, etc.) nesse ponto. Portanto, o nmero de Mach mnimo de estagnao na entrada do rotor dado pela equao (31):

    22 w2 202 2

    00 2

    SC 2cosM = =a k-1 1+cos

    (31)

    O nmero de Mach mnimo absoluto na entrada do rotor :

    [ ]202

    2 202

    MM =1- (k-1)/2 M (32)

    3.3.1.2 Clculos das Condies Aerotermodinmicas de Entrada do Rotor O clculo das condies aerotermodinmicas comea com a avaliao da velocidade absoluta em funo da velocidade do som na entrada do rotor, dado pela equao (33), portanto:

    2202

    00

    C Ma

    = (33)

    Assim, desta forma so calculadas as relaes termodinmicas entre as diferentes temperaturas e presses totais, de estagnao e as propriedades fsicas nesse ponto, logo se tem a razo de temperaturas total-esttica na entrada do rotor:

  • 29

    2022

    2

    T (k-1)=1+ M

    T 2

    (34)

    A razo de presso total-esttica na entrada do rotor :

    kk-1

    02 02

    2 2

    P T=

    P T

    (35)

    A razo de massa especfica esttica-total na entrada do rotor :

    1k-1

    02 2

    2 02

    T=

    T

    (36)

    A razo de presso esttica-total na entrada do rotor e entrada do bocal :

    kk-1

    2 2b

    00 02

    P T= 1- 1- /

    P T

    (37)

    A razo de presso total-esttica na entrada e sada do rotor :

    02 02 2ts

    3 2 00

    P P P= PR

    P P P

    (38)

    A razo de presso total-total na entrada do rotor e sada do bocal :

    02 02

    00 3 ts

    P P 1=

    P P PR

    (39)

    A razo de massa especfica total-total na entrada do rotor e na entrada do bocal :

    02 02

    00 00

    P=

    P (40)

  • 30

    A razo de massa especfica esttica-total na entrada do rotor e sada do bocal :

    022 2

    00 02 00

    =

    (41)

    3.3.1.3 Clculo do ngulo do Escoamento Absoluto na Entrada do Rotor O ngulo absoluto do escoamento 2 medido em relao componente radial e pode

    ser calculado ou usado como dado de entrada, como mostrado a seguir:

    Para o 2 0 ( 2 com valor negativo) e o 2 2minM M= , ento a tangente do ngulo absoluto da p na entrada do rotor dada por:

    22

    2

    sintan =

    cos -1 (42)

    O ngulo absoluto do escoamento da p na entrada do rotor :

    12 2 tan

    = (43)

    Para 2 =0 e 2 como dado de entrada, ento:

    2 = Valor de entrada estabelecido. (44)

    3.3.1.4 Clculos do Tringulo de Velocidade na Entrada do Rotor Para o 2 0 ( 2 com valor negativo) e o 2 2minM M= , tem-se que a velocidade absoluta calculada pela equao (33), logo os demais componentes do tringulo de velocidade (Figura 15) so calculados da seguinte maneira: A velocidade absoluta na direo tangencial na entrada do rotor em funo da velocidade do som, dada pela equao (45) :

    2 22

    00 00

    C C= sin

    a a

    (45)

  • 31

    Assim, as outras componentes do tringulo de velocidades como a velocidade tangencial na entrada do rotor em funo da velocidade do som :

    w 002

    00 2

    S aU=

    a k-1 C

    (46)

    A velocidade meridional na entrada do rotor em funo da velocidade do som :

    m2 22

    00 00

    C C= cos

    a a

    (47)

    A velocidade relativa na entrada do rotor em funo da velocidade do som :

    m222

    00 00

    CW= /cos

    a a

    (48)

    Finalmente, a velocidade relativa na direo tangencial na entrada do rotor funo da velocidade do som :

    22 2

    00

    W=W cos

    a (49)

    O trabalho especfico do rotor ( esp 2 2W =U C ) dado pela equao (50):

    222esp 00

    00 00

    CUW = aa a

    (50)

    Para 2 =0 e 2 como dado de entrada, tem-se que a velocidade tangencial igual

    velocidade absoluta na direo tangencial na entrada do rotor em funo da velocidade do som:

    ( )2 w2

    00 00 2

    C SU= =

    a a k-1 cos (51)

  • 32

    Logo, a velocidade meridional igual velocidade relativa na entrada do rotor em funo da velocidade do som:

    m2 2 22

    00 00 00

    C W U= = cotg

    a a a

    (52)

    A velocidade absoluta na entrada do rotor em funo da velocidade do som :

    2 22

    00 00

    C U= / sin

    a a

    (53)

    O trabalho especfico do rotor ( 2esp 2W =U ) dado pela equao (54):

    2

    22esp 00

    00

    UW = aa

    (54)

    O nmero de Mach relativo na entrada do rotor :

    ' 0222

    00 2

    TWM =a T

    (55)

    Segundo Glassman, (1976), o nmero de ps do rotor dado pela equao (56):

    ( )br 2 2Z = 110- tan30

    (56)

    Segundo Whitfield e Baines, (1990), o ngulo relativo timo da p na entrada do rotor :

    12opt

    br

    0.63 =cos 1-

    Z

    (57)

  • 33

    O ngulo de incidncia na entrada do rotor :

    2inc 2 2opti = - (58)

    3.3.1.5 Clculos do Tringulo de Velocidade na Sada do Rotor Para o 3=0 e sada do fluxo axial, tem-se que a velocidade absoluta ( 3 m3C =C ). Portanto, a velocidade relativa na sada do rotor em funo da velocidade do som dada pela equao (59):

    ( )( )

    R 2 003

    03 03 00

    W W aW=

    a T T (59)

    A velocidade absoluta igual velocidade meridional na sada do rotor em funo da velocidade do som, logo:

    3 m3 33

    03 03 03

    C C W= cos

    a a a

    =

    (60)

    E a velocidade tangencial igual velocidade relativa na direo tangencial na sada do rotor em funo da velocidade do som:

    3 3 33

    03 03 03

    U W Ctan

    a a a

    = =

    (61)

    3.3.1.6 Clculos das Condies Aerotermodinmicas de Sada do Rotor As relaes termodinmicas entre as propriedades fsicas e as diferentes temperaturas e presses totais e de estagnao, nesse ponto so: A razo de temperaturas total-esttica na sada do rotor :

    2

    03 3

    3 03

    T Ck-1=1+

    T 2 a

    (62)

  • 34

    O nmero de Mach absoluto na sada do rotor :

    3 033

    03 3

    C TMa T

    =

    (63)

    O nmero de Mach relativo na sada do rotor :

    ' 3 33

    03 03

    W TM 1 /a T

    =

    (64)

    O ngulo relativo da p na sada do rotor timo :

    13opt

    br

    0.63 =cos 1-

    Z

    (65)

    O ngulo de incidncia na sada do rotor :

    3inc 3 3opti = - (66)

    A razo de massa especfica esttica-total na sada do rotor :

    1k-1

    3 3

    03 03

    T=

    T

    (67)

    A razo de presso total-esttica na sada do rotor :

    kk-1

    03

    3 3 03

    P 1=

    P T T

    (68)

  • 35

    A razo de presso total-total na sada e entrada do rotor :

    03 03ts

    00 3

    P P= /PR

    P P

    (69)

    A razo de massa especfica total-total na sada do rotor e sada do bocal :

    03 03 03

    00 00 00

    P T= /

    P T

    (70)

    A razo de massa especfica total-total na entrada e sada do rotor :

    02 02 03

    03 00 00

    = /

    (71)

    A razo de massa especfica esttica-total na sada do rotor e entrada do bocal e:

    3 3 03

    00 03 00

    =

    (72)

    3.3.1.7 Parmetros Adimensionais de Desempenho do Rotor O grau de reao :

    32RT w w

    00 03

    TTD = - (1-S ) /ST T

    (73)

    A funo de fluxo na entrada do rotor :

    -(k+1)2(k-1)2

    2 2 2 2k-1

    =cos M 1+ M2

    (74)

  • 36

    A funo de fluxo na sada do rotor :

    -(k+1)2(k-1)2

    3 3 3k-1

    =M 1+ M2

    (75)

    A razo de rea na sada e entrada do rotor :

    3 02 002

    2 3 03 03

    A T=

    A T

    (76)

    A razo de raios na sada do rotor :

    3h

    3s

    r=

    r (77)

    A largura adimensional da p na entrada do rotor :

    ( )2

    23s2 2

    2 2 3

    rb A1= 1-

    r 2 r A

    (78)

    A funo de fluxo :

    02 22

    00 2

    P b=2

    P r

    (79)

    A razo de raios na ponta e entrada do rotor segundo Whitfield e Baines, (1990) :

    3s 3 2

    2 00 00

    r U U= /

    r a a

    (80)

  • 37

    A razo de raios na ponta e entrada do rotor segundo Rohlik, (1968) :

    3sss

    2

    r=1,29N

    r (81)

    O fator de obstruo do rotor, segundo Moustapha, (2003) :

    efetiva r br 2f

    geometrica 2 2

    A t Z bB =1- =1-A 2r b

    (82)

    O fator de obstruo do rotor, segundo Aungier, (2006) :

    r brf

    2 2

    t ZB =1-2r sin( 90 )

    +

    (83)

    A razo de raios mdio quadrtico :

    23rms 3s

    2 2

    r r 1+=

    r r 2

    (84)

    A vazo volumtrica na sada do rotor :

    . .

    033Q m/ = (85)

    A rotao especfica do rotor :

    .

    3ss 0 ,75

    espos

    QN

    W

    = (86)

  • 38

    O torque adimensional :

    2ND

    00

    C =

    a

    (87)

    O coeficiente de velocidade :

    ( )( )

    22 002

    k-1s k

    03 00

    U aU k-1=

    C 2 1- P P

    (88)

    O coeficiente de velocidade isentrpica :

    ( )( )

    22 002

    k-1OD k

    3 00

    U aU k-1=

    C 2 1- P P

    (89)

    O coeficiente de fluxo segundo Dixon, (1998) :

    m3 3m3m

    2 2

    C rcot

    U r = =

    (90)

    A relao de velocidades meridionais segundo Aungier, (2006) :

    2

    m3 2

    m2 2

    C b=1+ 5

    C r

    (91)

    O dimetro especfico :

    0 ,752 espos

    s.

    3

    D WD

    Q= (92)

  • 39

    O nmero de Reynolds do rotor, segundo Glassman, (1976) :

    3 3 rrr

    r

    w CRe =

    (93)

    onde, a corda da p do rotor mostrada na Figura 20(a) e dada pela equao (94):

    ( )2

    22rr 2 3s 2 m

    bC = r - r + + r - r2

    (94)

    O comprimento da linha da corrente mdia do rotor mostrada na Figura 20(a), segundo Glassman, (1976) :

    ( )2

    22cm 2 3s 2 m

    b1L = r - r + + r - r2 2 2pi

    (95)

    a) Corda da p do rotor.

    b) Equaes da elipse.

    Figura 20 Plano meridional da p do rotor radial.

    Finalmente, a Figura 20(b) mostra as curvaturas da carcaa (shroud) e da raiz (hub) no plano meridional do rotor, as quais so geradas a partir da equao da elipse (Equaes 96 e 97), onde a largura axial do rotor representa o semi-eixo menor e o raio de entrada representa o semi-eixo maior.

  • 40

    2 2h h

    2 2Z 2

    X Y 1L r

    = Raiz (96)

    ( ) ( )2 2s s

    2 2Z 2 2 3

    X Y 1L b r b

    =

    Carcaa (97)

    3.3.1.8 Clculo da Geometria do Rotor Radial Para o clculo da geometria do rotor so apresentados dois mtodos, os quais esto em funo da rotao do rotor.

    a) Condies de Entrada: Para a Rotao (Nrpm) Calculada pelo Programa Unidimensional: A largura adimensional da p na entrada do rotor :

    ( )2

    23s2 2f

    2 2 3

    rb A1= 1- / B

    r 2 r A

    (98)

    O raio de entrada do rotor :

    .

    200 00

    mr =

    a

    (99)

    A largura da p na entrada do rotor :

    22 2

    2

    bb = rr

    (100)

    O espaamento das ps na entrada do rotor :

    2er

    br

    2rt =

    Z (101)

  • 41

    A rotao do rotor :

    rpm 230N =pi

    (102)

    Para a Rotao (Nrpm) como Dado de Entrada: O raio de entrada do rotor :

    22

    rpm

    U 30r =

    N

    (103)

    A largura da p na entrada do rotor :

    .

    22 2 m2 f

    mb =2r C B

    (104)

    O espaamento das ps na entrada do rotor :

    2er

    br

    2rt =

    Z (105)

    b) Condies de Sada: O raio na ponta das ps do rotor na sada :

    ( )3s 3s 2 2r = r r r (106)

    O espaamento na raiz das ps na sada do rotor :

    3hsr

    br

    2rt =

    Z (107)

  • 42

    O raio de raiz das ps na sada do rotor :

    3s3h rr = (108)

    A largura da p na sada do rotor :

    3 3s 3hb =r -r (109)

    O raio meio na sada do rotor :

    3s 3hm

    r -rr =

    2 (110)

    A largura axial do rotor segundo Glassman, (1976) :

    ( )z 2 2 3sL b r r= + (111)

    O raio mdio quadrtico :

    3rms3rms 2

    2

    rr r

    r

    =

    (112)

    A vazo mssica do rotor :

    .

    2 m2 2 3 m3 3m= C A = C A (113)

    onde, rea de entrada do rotor :

    2 2 2A =2r b (114)

  • 43

    E rea de sada do rotor :

    ( )2 23 3sA =r 1 (115)

    3.3.1.9 Perdas no Rotor Segundo Whitfield e Baines, (1990) as perdas no rotor so divididas em cinco (5) tipos, as quais so:

    1) A perda por atrito :

    2 2

    32

    00 00

    f 2h 2

    h 00

    WW0,03a a

    qD U4L a

    +

    =

    (116)

    onde, a razo de dimetro hidrulico e largura hidrulica so:

    ( ) ( )23s 2hh 1 2

    4 r r 1D b2 18L r2 x x

    = +

    (117)

    3rms2 z 21 br

    2 2 2 2

    rb L b1x Z 2 1

    r r r 2 rpi

    = + +

    (118)

    ( )( ) ( ) 3rms 22 br br2 2

    r b1x Z 1 1 1 Z

    r 2 r pi

    = + +

    (119)

    2) A perda devido curvatura da passagem :

    ( )3rms22 2 2

    2 2 2 3 00k 2 2

    00 23rms

    2

    rb 1r r W W aq

    2a Ur1r

    +

    + =

    (120)

  • 44

    3) A perda de carga na p :

    ( )( )

    22 2

    blbr z 2

    2 C Uq

    Z L r = (121)

    4) A perda devido folga de topo e radial :

    ( )2

    br 2cl

    2 2 2

    f Cq 0,4b r U

    =

    (122)

    5) A perda na sada do rotor :

    2

    3ex

    2

    C1q2 U

    =

    (123)

    O coeficiente de perda total do rotor :

    total f k bl cl exq q q q q q = + + + + (124)

    A eficincia total-esttica do rotor calculada :

    ( )th

    tsrcth total

    qq q

    =

    + (125)

    onde, a variao de entalpia dada pela equao (126):

    2th

    2

    CqU

    = (126)

    3.3.2 Clculo do Bocal

    As funes principais do bocal so: uniformizar o escoamento na entrada e promover a acelerao do fluido. A estratgia de dimensionamento consiste em considerar constante a

  • 45

    temperatura total ( 00 01T = T ) e a largura da palheta atravs do bocal, ou seja, ( 0 1b =b ) e idntico largura de entrada do rotor ( 1 2b =b ) como mostrado na Figura 21, a qual tambm apresenta a geometria do bocal, portanto:

    Figura 21 Geometria do bocal.

    3.3.2.1 Clculo do ngulo Absoluto na Sada do Bocal Para o 2 0 ( 2 com valor negativo), segundo Whitfield e Baines, (1990) o ngulo absoluto da palheta na sada do bocal ( 1 ) (Figura 22) calculado pela equao (127), visto que a massa especfica na interface bocal-rotor no considerada constante, ou seja, ( 1 2 ).

    1 21

    2 1 2

    1 2 1

    tan = tan

    r A r A

    (127)

    Para 2 =0 como dado de entrada, tem-se:

    1 2 = (128)

  • 46

    3.3.2.2 Clculos do Diagrama de Velocidade na Sada do Bocal Conhecidas as condies de entrada do rotor, o tringulo de velocidades mostrado na Figura 22 calculado assim:

    Figura 22 Diagramas de velocidade na entrada e sada do bocal.

    O raio de sada do bocal (Figura 21) :

    1 2r = r + r (129)

    Segundo Glassman, (1976), a velocidade absoluta na direo tangencial na sada do bocal :

    ( )1 2 1 2C = r r C (130)

    A velocidade absoluta na sada do bocal :

    1 1 1C =C sin (131)

    A velocidade meridional na sada do bocal :

    m1 1 1C =C tan (132)

  • 47

    3.3.2.3 Clculos das Condies Aerotermodinmicas na Sada do Bocal A razo de temperatura esttica e total na sada do bocal :

    21 1

    01 P 01

    T C=1-

    T 2C T (133)

    Segundo Dixon, (1998), a velocidade absoluta ideal quadrtica na sada do bocal :

    2 21s 1 bC C = (134)

    A velocidade absoluta ideal na sada do bocal :

    22 1

    1s 1sb

    CC C

    = = (135)

    A razo de temperaturas esttica e total isentrpica na sada do bocal :

    21s 1s

    01s P 01

    T C=1-

    T 2C T (136)

    A razo de presses estticas na sada e total na entrada na do bocal :

    kk-1

    1s1

    00 01s

    TP=

    P T

    (137)

    A temperatura esttica isentrpica na sada do bocal :

    ( )( )1 011s 01

    b

    1- T TT =T 1-

    (138)

  • 48

    A razo de presso total-esttica na sada do bocal :

    k2 k 1

    00 1s

    1 P 01

    P C1P 2C T

    = +

    (139)

    A massa especfica na sada do bocal :

    ( )1 1 1 = P RT (140)

    O volume especfico na sada do bocal :

    1 1v =1 (141)

    O nmero de Mach absoluto na sada do bocal segundo Sutton, (2001) :

    1 012M = RT

    k-1

    (142)

    A velocidade absoluta mxima na sada do bocal segundo :

    1max 012kC = RTk-1

    (143)

    A presso esttica crtica na sada do bocal segundo :

    kk-1

    1cr 12P =P

    k+1

    (144)

    A velocidade absoluta crtica na sada do bocal :

    1cr 012kC = RT

    k+1

    (145)

  • 49

    A razo de velocidades absoluta e crtica na sada do bocal :

    crC 1 1crr =C C (146)

    O volume especfico crtico na sada do bocal :

    1k-1

    1cr 1k+1

    v =v2

    (147)

    A massa especfica crtica na sada do bocal :

    1cr 1cr =1 v (148)

    A temperatura esttica crtica na sada do bocal :

    1cr 1k+1T =T

    2

    (149)

    3.3.2.4 Clculo do ngulo Absoluto do Escoamento na Entrada do Bocal O ngulo absoluto do escoamento ( 0 ) mostrado na Figura 22 medido com respeito componente radial e calculado como mostrado a seguir:

    1 1 10

    0

    r sin=sin

    r

    (150)

    3.3.2.5 Clculos das Componentes de Velocidade na Entrada do Bocal Conhecidas as condies e a geometria na sada do bocal, o tringulo de velocidades mostrado na Figura 22 calculado da seguinte maneira: O raio de entrada do bocal :

    ( )0 1 0 1r =r r r (151)

  • 50

    A velocidade absoluta na entrada do bocal :

    .

    00 0 0 0

    mC =2r b cos

    (152)

    A velocidade absoluta na direo tangencial na entrada do bocal :

    0 0 0C =C sin (153)

    E a velocidade meridional na entrada do bocal :

    m0 0 0C =C cos (154)

    3.3.2.6 Clculos das Condies Aerotermodinmicas na Entrada do Bocal A temperatura esttica na e