Tunel do Tempo - Algebra

Matheus Secco

June 17, 2014

1. (IMO 70) Seja 1 = a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ · · · uma sequencia de numeros reais. Considere asequencia b1, b2, · · · definida por

bn =

n∑k=1

(1− ak−1

ak)

1√ak.

Prove que:(a) Para todo natural n, 0 ≤ bn < 2,(b) Dado um real arbitrario 0 ≤ b < 2, existe uma sequencia a0, a1, · · · , an, · · · como acima deforma que bn > b e verdade para infinitos numeros naturais n.

2. (IMO 72) Sejam f e φ funcoes reais definidas no intervalo (−∞,+∞) satisfazendo a equacaofuncional

f(x+ y) + f(x− y) = 2φ(y)f(x)

, para quaisquer x, y reais. Prove que se f nao e identicamente nula e |f(x)| ≤ 1 para todo x,entao |φ(x)| ≤ 1 para todo x.

3. (IMO 73) Sejam a1, a2, · · · , an reais positivos e seja 0 < q < 1 um real dado. Encontre n numerosreais b1, b2, · · · , bn que satisfazem:(1) ak < bk para k = 1, 2, · · · , n(2) q < bk+1

bk< 1

q para k = 1, 2, · · · , n− 1

(3) b1 + b2 + · · ·+ bn <1+q1−q (a1 + a2 + · · ·+ an)

4. (IMO 73) Determine o valor mınimo de a2 + b2, se a e b sao numeros reais para os quais a equacao

x4 + ax3 + bx2 + ax+ 1

possui pelo menos uma solucao real.

5. (IMO 75) Seja f(x, y) um polinomio homogeneo de grau n nas variaveis x e y. Suponha quef(1, 0) = 1 e que, para todos a, b, c, vale que

f(a+ b, c) + f(b+ c, a) + f(c+ a, b) = 0.

Prove que f(x, y) = (x− 2y)(x+ y)n−1

.

6. (IMO 76) Defina a sequencia (un) por un+1 = un(u2n−1 − 2)− u1, u0 = 2 e u1 = 52 . Prove que

3 log2 bunc = 2n − (−1)n.

7. (IMO 77) Seja f : N→ N uma funcao que satisfaz f(n+ 1) > f(f(n)) para todo n natural. Proveque f(n) = n para todo n natural.

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8. (IMO 82) Considere sequencias infinitas (xn) de reais positivos com as seguintes propriedades:x0 = 1 e para todo i ≥ 0, xi+1 ≤ xi.(a) Prove que para toda tal sequencia, existe um n ≥ 1 tal que

x20x1

+x21x2

+ · · ·+x2n−1

xn≥ 3.999

. (b) Encontre uma sequencia para a qualx20

x1+

x21

x2+ · · ·+ x2

n−1

xn< 4 para todo n.

9. (IMO 85) A sequencia f1, f2, · · · , fn, · · · de funcoes e definida para x > 0 recursivamente por

f1(x) = x, fn+1(x) = fn(x)(fn(x) +1

n).

Prove que existe um unico real positivo a tal que 0 < fn(a) < fn+1(a) < 1 para todo inteiropositivo n.

10. (IMO 87) Sejam x1, x2, · · · , xn reais tais que x21 + x22 + · · ·+ x2n = 1. Prove que para todo inteirok > 1, existem inteiros ei, nao todos nulos, e com |ei| < k tais que

|e1x1 + e2x2 + · · ·+ enxn| ≤(k − 1)

√n

kn − 1.

11. (OBM-U 2005 / SL 88) Sejam v1, v2, · · · , vn vetores em R2 tais que |vi| ≤ 1 para 1 ≤ i ≤ n e∑ni=1 vi = 0. Prove que existe uma permutacao σ de (1, 2, · · · , n) tal que∣∣∣∣∣∣

k∑j=1

vσ(j)

∣∣∣∣∣∣ ≤ √5

para todo k, 1 ≤ k ≤ n.Obs: A norma considerada e a norma euclideana usual.

12. (IMO 89 - Em busca da solucao algebrica) Uma permutacao (x1, x2, · · · , x2n) do conjunto {1, 2, · · · , 2n}e dita bacana se existe i ∈ {1, 2, · · · , 2n − 1} tal que |xi − xi+1| = n. Prove que, para cada n, hamais permutacoes bacanas do que nao bacanas.

13. (IMO 90) Existe um polıgono equiangulo de 1990 vertices cujos lados sejam, em alguma ordem, osnumeros 12, 22, · · · , 19902?

14. (IMO 91) Dado um real a > 1, construa uma sequencia limitada x0, x1, x2, · · · tal que para quais-quer naturais i 6= j, vale que

|xi − xj ||i− j|a ≥ 1

15. (SL 00) Sejam a, b, c inteiros positivos tais que b > 2a e c > 2b. Prove que existe um real t tal queos tres numeros ta, tb, tc possuem parte fracionaria no intervalo (1/3, 2/3].

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