TRT 15 Matemática

1

capacapa

Nmeros inteiros e racionais: operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao). Expresses numricas.

......................................................................................................................... 1

Mltiplos e divisores de nmeros naturais............................................................................................ 10

Fraes e operaes com fraes. ..................................................................................................... 13

Nmeros e grandezas proporcionais: razes e propores. Diviso em partes proporcionais. ........... 13

Regra de trs. ..................................................................................................................................... 21

Porcentagem. ...................................................................................................................................... 26

Problemas. .......................................................................................................................................... 30

Candidatos ao Concurso Pblico,

O Instituto Maximize Educao disponibiliza o e-mail [email protected] para

dvidas relacionadas ao contedo desta apostila como forma de auxili-los nos estudos para um

bom desempenho na prova.

As dvidas sero encaminhadas para os professores responsveis pela matria, portanto, ao

entrar em contato, informe:

- Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matria);

- Nmero da pgina onde se encontra a dvida; e

- Qual a dvida.

Caso existam dvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminh-las em e-mails

separados. O professor ter at cinco dias teis para respond-la.

Bons estudos!

1

Conjunto dos Nmeros Inteiros: z

o conjunto formado pelos nmeros inteiros positivos, zero e nmeros inteiros negativos. O conjunto Z uma ampliao do conjunto N.

Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} Os subconjuntos de Z so: Z = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...} = excluir o zero do conjunto.

Z = {0, 1, 2, 3, 4...} Z

_

= {... -3, -2, -1, 0} Z = {1, 2, 3, 4...} Z

_

= {..., -3, -2, -1}

Relao de ordem nos nmeros inteiros

Quando estabelecemos uma relao de ordem entre dois nmeros, estamos identificando se eles so iguais, ou qual deles o maior. Observe a reta numrica.

Dados dois nmeros inteiros, o maior o que estiver direita. Ex: -1 maior que -3, 4 maior que zero

Mdulo ou valor absoluto

o nmero sem considerar o seu sinal. Para indicar mdulo escrevemos o nmero entre barras. Ex: 3 = 3 5 = 5

Nmeros opostos ou simtricos

So nmeros com o mesmo valor absoluto e sinais contrrios.

Ex: +4 e -4 so nmeros opostos ou simtricos.

Adio e subtrao de nmeros inteiros

Para juntar nmeros com sinais iguais, adicionamos os valores absolutos e conservamos o sinal Quando os nmeros tm sinais diferentes, subtramos os valores absolutos e conservamos o sinal

do maior. Ex:

Nmeros Inteiros e Racionais: operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao). Expresses numricas

Prof. Sonia M. Pontelli Tamoyo

2

+5+7 = +12 -5 -7 = -12 +5 7 = -2 -5 +7 = +2

Multiplicao e diviso de nmeros inteiros

Para multiplicar ou dividir nmeros inteiros efetuamos a operao indicada e usamos a regra de sinais abaixo:

+ + = + Sinais iguais, resultado positivo - - = + + - = - Sinais diferentes, resultado negativo - + = -

Ex: (+4) . (+5) = +20 (+30) : (+6 ) = +5 (-3) . (-6 ) = +18 (- 20) : (-5 ) = +4 (+8) . (-3 ) = -24 (+18) : (-3 ) = -6 (-6 ) . (+5 ) = -30 ( - 15) : (+5) = -3

Potenciao e radiciao de nmeros inteiros

Potenciao uma multiplicao de fatores iguais.

Ex: 2 3 = 2.2.2=8

2 a base, 3 o expoente e 8 a potncia Estamos trabalhando com nmeros inteiros, portanto pode aparecer base negativa e positiva.

Ex:

(+3) 2 = (+3) . (+3) = +9 (+2 ) 3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8 (-2 ) 2 = (-2 ) . (-2 ) = +4 (-2 ) 3 = (-2 ) . (-2 ) . (-2) = -8

Se a base positiva o resultado sempre positivo. Se a base negativa e o expoente par o resultado positivo. Se a base negativa e o expoente impar o resultado negativo

Importante:

Todo nmero elevado zero sempre igual a 1

Raiz quadrada de um nmero quadrado perfeito um nmero positivo cujo quadrado igual ao nmero dado.

Ex: 25 =5, pois 25 =25

OBS:

1. Para multiplicar 3 ou mais nmeros inteiros, multiplicamos os valores absolutos de todos os nmeros e contamos os sinais negativos. Se o nmero de negativos for impar e resultado ter sinal negativo , se for par o resultado ser positivo.

3

Ex:

(-3). (-5).(+2).(-1) = -30 3 negativos(impar), resultado negativo. (-2). (-3).(+6).(-1).( -2) = +72 4 negativos(par), resultado positivo. 2. Para eliminar parnteses usamos a mesma regra de sinais da multiplicao e da diviso. Ex: -(+4) = -4 -(-5) = +5

Expresses Numricas em Z

Para resolver uma expresso numrica devemos obedecer a seguinte ordem: 1) Resolver as potenciaes e radiciaes na ordem em que aparecem 2) Resolver as multiplicaes e divises na ordem em que elas aparecem 3) Resolver as adies e subtraes na ordem em elas aparecem H expresses em que aparecem os sinais de associao que devem ser eliminados na seguinte

ordem: 1) ( ) parnteses 2) [ ] colchetes 3) { } chaves

Exemplos

1. Calcule as operaes indicadas: a) (+8) + (-6) (-3) (-2)

Resoluo

+8 -6 +3 +2 = +13 - 6 = +7

b) -(-3) . (-5) + (-4)

Resoluo

+3. (-5)-4 = -15 4 = -19

c) (+55) : (-5) + (-5) . ( -2)

Resoluo

-11+(+10) = -11+10 = -1

2. Quais so os nmeros inteiros entre -2 e 1 incluindo esses dois? Resoluo -2, -1, 0, 1

3. Calcule as potncias e resolva as operaes: (-5) 1 - [(-2) 5 :4-7] + (-1) 379. (-5) 2

Resoluo

-5-[-32:4-7]+(-1).(+25) -5-[-8-7]+(-25) -5-[-15]-25 -5+15-25 +10-25 -15

4

Questes

1. Quais so os nmeros inteiros; (A) de -1 a -5, incluindo esses dois nmeros? (B) de -4 a 3, incluindo, esses dois nmeros?

2. Qual : (A) o valor absoluto de 7? (B) o valor absoluto de -9?

3. Verifique se estes nmeros so opostos (A) +15 e -15 (B) +9 e -9 (C) -14 e +14 (D) -4 e +2

4. Qual o valor das expresses: (A) 25 -[(-3) 3 +6]-[-(-4) 2 . 3+5. (-2) 3 ] (B) (+3) 102 )4()2( (C) (-6) 0232 )35()5(:)10()4.(

5. Descubra que nmero : (A) -(-15) (B) -(+3) (C) -(-2 001) (D) -(+217)

6. D trs exemplos de: (A) nmeros menores que +1. (B) nmeros menores que -10. (C) nmeros negativos maiores que -10

7. Qual o nmero maior (A) +44 ou -100? (B) -20 ou +8? (C) -17 ou -10? (D) -5 ou 0?

8. Encontre o valor da expresses: (A) -9-(-23+12-1)-(21-9) (B) -5.(-2) + (-3+5).(-1) (C) (-16) : 4 . (-2) + (-2) (D) 6 : (-3) + 2(-1) -20 : (-4)

9. Considere as afirmaes: I. Qualquer nmero negativo menor que zero. II. Qualquer nmero positivo maior que zero. III. Qualquer nmero negativo menor que um nmero positivo. Quais dessas afirmaes so verdadeiras?

10. Descubra o nmero que deve ser adicionado a +25 para que a soma seja +20.

Respostas

1. (A) -5,-4,-3,-2,-1 (B) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,3

5

2. (A) 7 (B) 9

3. (A) sim (B) sim (C) sim (D) no

4. (A) 25 -[(-3) 3 +6]-[-(-4) 2 . 3+5. (-2) 3 ]

5 [ -27 +6] [ - (+16) . 3 + 5 . (-8)] 5 [-21 ] [-16 . 3 + 5 . (-8)] 5 [-21 ] [ -48 -40] 5 + 21 [-88] 5 + 21 + 88 114

(B) (+3) 102 )4()2( +9 ( +1) + (-4 ) +9 -1 4 +4

(C) (-6)0232 )35()5(:)10()4.( 36 . (-4) (-1000) : (+25) + (+1)

-144 (-40) + 1 -144 + 40 + 1 -144 + 41 -103

5. (A) +15 (B) -3 (C) +2001 (D) -217

6. (A) zero e todos os n negativos (B) -11, -12, -13, ... (C) -9, -8, -7

7. (A) +44 (B) +8 (C) -10 (D) 0

8. (A) -9-(-23+12-1)-(21-9) -9-(-24+12)-(12) -9-(-12)-12 -9+12-12 -9

(B) -5.(-2) + (-3+5).(-1) 10 + (+2) . (-1)

6

10 + (-2) 10 - 2 8

(C) (-16) : 4 . (-2) + (-2) -4 . (-2) + (-2) +8 2 6

(D) 6 : (-3) + 2(-1) -20 : (-4) -2 2 + 5 -4 + 5 1

9. Todas

10. -5

Conjunto dos Nmeros Racionais: Q

O conjunto dos nmeros racionais um conjunto que engloba os nmeros inteiros (Z), nmeros decimais finitos (por exemplo, 743,8432 ) e os nmeros decimais infinitos peridicos (que repete uma sequncia de algarismos da parte decimal infinitamente), como 12,050505, so tambm conhecidas como dzimas peridicas.

Os racionais so representados pela letra Q. Todo nmero racional pode ser escrito na forma

ba

, com a ZbZ , e b 0

Um mesmo nmero racional pode ser representado por diferentes fraes, todas equivalentes entre si.

Ex: ...42

21

63

42

21

Um nmero racional pode ser representado por um nmero decimal exato ou peridico.

Ex: 5,021 75,0

43

...333,031 (dzima peridica)

Todos os nmeros inteiros pertencem aos racionais.

Reta Numrica Racional

Adio e subtrao com nmeros fracionrios

Para adicionar ou subtrair nmeros racionais na forma de frao devemos observar os seus denominadores. Se os denominadores so iguais, efetuamos as operaes e conservamos o mesmo denominador. Se os denominadores so diferentes, reduzimos ao mesmo denominador usando o mmc e depois procedemos como no caso anterior.

Ex: 1. 37

38

31

2. 43

56 =

2015

2024

=209

( o mmc entre 5 e 4 20)

Multiplicao e diviso com nmeros fracionrios

7

Para multiplicar nmeros racionais na forma de frao, devemos multiplicar os numeradores , multiplicar os denominadores , usar a regra de sinais quando necessrio e quando possvel fazer a simplificao.

Ex: 73

.

54

=

3512

(nesse caso o resultado uma frao irredutvel, pois no pode ser simplificada)

42

45

47

=21

(nesse caso o resultado foi simplificado dividindo o numerador e o denominador por 2)

Para dividir nmeros racionais na forma de frao, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, usando tambm a regra de sinais e a simplificao do resultado quando possvel.

Ex: 32

:53

=

23

.

53

=

109

1210

32

.

45

23

:45

65

Potenciao e radiciao com nmeros fracionrios

Resolver uma potenciao de frao calcular a potncia do numerador e do denominador de acordo com o expoente .

Ex: 49

973 2

(elevamos o numerador -3 e o denominador 7 ao expoente 2, lembrando que nmero negativo elevado expoente par d resultado positivo)

Extrair a raiz quadrada de uma frao encontrar a raiz do numerador e do denominador.

Ex: 43

169

169

Nmeros decimais

Os nmeros decimais exatos e as dzimas peridicas tambm pertencem ao conjunto Q .

Adio e subtrao com decimais

Na adio ou subtrao com decimais devemos escrever as parcela colocando vrgula embaixo de vrgula, e resolver a operao.

Ex: 4,879 + 13,14 Parcelas 13 , 140 Acrescentamos o zero para completar casas decimais. +4 , 879 18 , 019 Soma total

Multiplicao e diviso com decimais

Na multiplicao de nmeros decimais, multiplicamos os nmeros sem considerar a vrgula e colocamos a vrgula no resultado contando as casas decimais dos dois fatores

Ex: 2,35 x 4,3 = 10,105 (no resultado temos 3 casas decimais pois so 2 casas no fator 2,35 e uma casa no fator 4,3)

Na diviso igualamos as casas decimais, cortamos as vrgulas e resolvemos a diviso . Ex: 1,4 : 0,05 Igualamos as casas decimais 1,40 : 0,05 Cortamos as vrgulas 140:5 Resolvemos a diviso 140:5 = 28

Potenciao e radiciao com decimais

8

Para elevar um nmero decimal a um expoente dado, procedemos como a potncia com nmero inteiro, respeitando a regra de sinais da multiplicao.

Lembrar que potenciao uma multiplicao de fatores iguais. Ex: (3,2) 3 = (3,2) . (3,2) . (3,2) = 32,768 Para calcular a raiz quadrada de um nmero decimal podemos transforma-lo em uma frao e

depois calcular.

Ex: 16,0 =10016

=

104

=0,4

Expresses Numricas em Q

Para resolver uma expresso numrica devemos obedecer a seguinte ordem: 1) Resolver as potenciaes e radiciaes na ordem em que aparecem 2) Resolver as multiplicaes e divises na ordem em que elas aparecem 3) Resolver as adies e subtraes na ordem em elas aparecem H expresses em que aparecem os sinais de associao que devem ser eliminados na

seguinte ordem: 1) ( ) parnteses 2) [ ] colchetes 3) { } chaves

Questes

1. Calcule o valor de cada expresso a seguir:

(A) 22

61

35

(B) (-0,6) 3 + (-1,5) 2

(C)

163

:21

278

.

23 32

(D) (1,1) 3 .2-(-0,2) 3 +3

2. Uma garota, caminhando rapidamente, desenvolveu uma velocidade de aproximadamente 5,2 km/h. Nessas condies, se caminhar 18,72 quilmetros, ela demorar quantos horas?

3. O nmero racional X = (-0,62) : (-3,1) . (-1,2) + 0,4 2 Est compreendido entre dois nmeros inteiros a e b consecutivos. Determine os nmeros a e b

4. Encontre o valor dos radicais:

(A) 12181

(B) -196225

5. Encontre o valor das expresses:

(A) 251

.

65

:32

(B)

67

.243

.

31

9

6. A cidade de Peixoto de Azevedo tem aproximadamente 19.224 habitantes. Se um tero da populao composta de jovens, pode-se dizer que: (A) o nmero de jovens superior a 7.000 (B) o nmero de jovens igual a 648 (C) o nmero de jovens est entre 6.000 e 7000 (D) o nmero de jovens inferior a 5.000 (E) o nmero de jovens igual a 6.480

Respostas

1. (A) 22

61

35

4113699

361100361

925

361

925

(B) (-0,6) 3 + (-1,5) 2 - 0,216 + 2,25 2,034

(C)

163

:21

278

.

23 32

163

:81

278

.

49

316

.

81

10872

2416

10872

216144

216144

= 0

(D) (1,1) 3 .2-(-0,2) 3 +3 1,331 . 2 ( -0,008) + 3 1,331.2+0,008+3 2,662+0,008+3 5,67

2. 18,72 : 5,2 = 3,6 Resp: 3,6 horas ou 3 horas e 36 minutos

3. x = (-0,62) : (-3,1) . (-1,2) + 0,4 2 X = 0,2 . (-1,2) + 0,4 2 X= -0,24 + 0,4 2 X= -2,24 + 0,4

10

X= -1,84 um n que est entre -1 e -2 x = -1,84 os nmeros a e b so -2 e -1

4. (A) 119

(B) 1415

5. (A)

2.51

.

65

:32

251

.

56

.

32

27512

7515012

75138

2546

(B)

67

.243

.

31

67

.212

3

67

.

12243

67

.

1227

72189

simplificando por 9

821

6. 1/3 de 19224 1/3. 19224 = 6408 Alternativa C

Mltiplos de um nmero natural:

Mltiplos e Divisores de Nmeros Naturais


11

So todos os nmeros que so originados pela multiplicao do prprio nmero por um nmero natural.

Se quisermos determinar os mltiplos de um nmero natural, devemos multiplicar esse nmero pela sucesso dos nmeros naturais. Como a sucesso dos nmeros naturais infinita, os mltiplos de um nmero natural tambm formam uma sucesso infinita.

Ex: O mltiplos de 5 so: 0, 5, 10, 15, 20, 25... Indicamos: M (5) = { 0, 5, 10, 15, 20, 15, 30 ,...} Podemos constatar que o conjunto dos mltiplos de um nmero um conjunto infinito. Devido a este

fato, no podemos representar todo o conjunto em extenso. Deste modo, coloca-se as reticncias no fim do conjunto, para simbolizar os outros mltiplos.

Divisores de um numero natural

Divisores de um nmero natural so todos os nmeros naturais que ao dividirem tal nmero, resultaro em uma diviso exata, isto , com resto igual a zero.

O conjunto dos divisores de um nmero um conjunto finito, mas como determinar quantos divisores um nmero natural possui?

Tanto para a identificao da quantidade de divisores de um nmero, assim como para que possamos encontrar tais divisores, iremos recorrer fatorao ou decomposio em fatores primos.

Na prtica determinamos todos os divisores de um nmero utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1 Decompomos o nmero em fatores primos; 2 Traamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele divisor de qualquer nmero.

3 Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores j obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo

4 os divisores j obtidos no precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 so 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

12

Para calcular o nmero de divisores de um nmero natural procedemos da seguinte maneira: Vamos calcular o nmero de divisores de 200: Primeiramente iremos decompor o nmero 200 em fatores primos:

Temos ento que 200 fatorado igual a 23 . 52. O nmero 200 decomposto possui dois fatores primos. Um com expoente 3 (23) e outro com

expoente 2 (52). A multiplicao destes expoentes adicionados em uma unidade cada um deles, ir nos fornecer a informao procurada:

(3 + 1) . (2 + 1) = 12 Portanto o nmero natural 200 possui um total de 12 divisores naturais.

Questes

1. Quantos elementos possui e como escrito o conjunto dos mltiplos de zero?

2. Obtenha o conjunto dos divisores de cada um dos nmeros: 13, 18, 25, 32

3. Qual o elemento dos nmeros naturais que divisor de todos os nmeros?

4. O n 5 divisor do n 16? Justifique sua resposta.

5. Quantos divisores tem o n 20? Quais so eles.

6. Escreva o conjunto dos 5 primeiros mltiplos de: (A) 6 (B) 10

7. O nmero cuja fatorao completa igual a 2 x 3 x 5 divisvel pelo nmeros abaixo, exceto : (A) 2 (B) 6 (C)15 (D)18

8. O n de divisores positivos do n 40 : (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) 2 (E) 20

Respostas:

1. M(0) = { 0 } pois, M(0) = { 0x0, 0x1, 0x2, 0x3, 0x4, ...}

2. D (13) = { 1, 13 }, D (18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }, D (25) = { 1, 5, 25 } D (32) = { 1, 2, 4, 8, 16, 32 }

3. O nmero 1, pois se dividirmos um nmero natural n por 1 obteremos o prprio n.

4. No porque no existe qualquer n natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

5. Fatorando o n 20 temos: 2 . 5. Multiplicamos os expoentes acrescidos de 1 temos: (2+1) . (1+1) = 3 . 2 = 6 So 6 divisores

13

D (20) = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 }

6. a) { 0, 6, 12, 18, 24 } b) { 0, 10, 20, 30, 40 }

7. 2x3x5= 30 que no divisvel por 18. Alternativa d

8. Decompondo 40 em fatores primos temos: 40 = 2 . 5 Adicionando 1 a cada expoente e efetuando a multiplicao temos: (3+1) . (1+1) = 4 . 2 = 8

Respsotas a

Este assunto j foi abordado no primeiro item desta apostila.

Nmeros e grandezas proporcionais

Podemos definir grandeza como tudo aquilo que pode ser medido. O nmero de pessoas em um elevador, o seu peso e a sua altura so exemplos de grandezas.

Medir comparar duas grandezas, utilizando uma delas como modelo ou padro. Uma costureira, por exemplo, para obter as medidas de uma pessoa utiliza uma fita mtrica, que lhe permite comparar as medidas da pessoa com as da fita mtrica, que se baseia no metro como unidade de medida. Ela ento ir desenhar um molde e o ir utilizar como padro para o corte do tecido. As medidas deste molde sero ento uma grandeza que ser utilizada para fazer a roupa nas mesmas propores da pessoa.

Razo entre dois nmeros no nulos a e b o quociente entre esses dois nmeros. Em uma razo

do tipo ba

, o primeiro termo , o a, o antecedente , e o segundo termo, o b, chamado consequente.

Ex: Numa pesquisa indica que no Rio de Janeiro h 12 gatos para cada 10 ratos.

Indica-se : 1012

onde 12 o antecedente e 10 o consequente.

Existem algumas razes especiais muito utilizadas em nosso cotidiano:

Fraes e Operaes com Fraes


Nmeros e Grandezas Proporcionais: razes e propores. Diviso em Partes Proporcionais


14

1. Velocidade media: A ''velocidade media'' ,em geral , e uma grandeza obtida pela razo entre uma distancia percorrida ( expressa em quilmetros ou metros ) e um tempo por ele gasto (expresso em horas , minutos e segundos)

Vm = velocidade mdia d = distncia t = tempo Vm =

2. Escala: uma das aplicaes da razo entre duas grandezas se encontra na escala de reduo ou escala de ampliao , conhecidas simplesmente por escala. Chamamos de escala de um desenho a razo entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente ,ambos medidos na mesma unidade.

Usamos escala quando queremos representar um esboo grfico de objetos como mveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prdios, mapas, maquetes, etc.

Escala =

3. Densidade demogrfica: o clculo da densidade demogrfica , tambm chamada de populao relativa de uma regio e considerada uma aplicao de razo entre duas grandezas. Ela expressa a razo entre o nmero de habitantes e a rea ocupada em certa regio.

Densidade demogrfica =

OBS: (Pi), uma razo muito famosa. Os egpcios trabalhavam muito com certas razes e descobriram a razo entre o comprimento de uma circunferncia e seu dimetro. Este um fato fundamental pois esta razo a mesma para toda circunferncia. O nome desta razo (Pi) e seu valor aproximadamente 3,14

Se C o comprimento da circunferncia e D a medida do dimetro da circunferncia, temos uma razo notvel:

= = 3,1415926535...

Logo C = . d ou C = 2..r

Questes

1. Moacir fez o percurso Rio - So Paulo (450 km) em 5 horas. Qual foi a sua velocidade mdia?

2. O estado do Cear no ltimo censo teve uma populao avaliada em 6 701 924 habitantes. Sua rea de 145 694 km. Qual a densidade demogrfica desse estado?

3. Num mapa, 1,5 cm representam 7,5 km. As localidades A e B distam em linha reta 20 km. Qual a escala do mapa?

Respostas

1. Vm =

Vm =

= 90 km/h R: A velocidade mdia foi de 90 km/h

2. Densidade Demogrfica = nmero de habitantes / rea total Densidade Demogrfica = 6 701 924 hab / 145 694 km Densidade Demogrfica = 46 hab / km R: A densidade demogrfica desse estado de 46 hab/ km.

3. 7,5 km= 750000 cm Escala =

15

=

1,5 x = 1 . 750000 X =

X = 500000 R: A escala 1:500000

Proporo uma igualdade entre duas razes. A proporo

dc

ba lida como a est para b assim como c est para d

Os termos a e d so os extremos e b e c so os meios.

Propriedades das propores

1 propriedade (propriedade fundamental): Em uma proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

Ex: 32

128

8 . 3 = 2 . 12

2 propriedade: Em toda proporo, a soma ou diferena dos dois primeiros termos est para o primeiro(ou para o segundo) termo, assim como a soma ou diferena dos dois ltimos est para o terceiro(ou para o quarto) termo.

ddc

bba

ouc

dca

badc

ba

ddc

bba

ouc

dca

badc

ba

3 propriedade: Em toda proporo, a soma(ou diferena) dos antecedentes est para a soma (ou diferena) dos consequentes, assim como cada antecedente est para o seu consequente .

dc

dbca

ouba

dbca

dc

ba

dc

dbca

ouba

dbca

dc

ba

Exemplos

1. A razo da idade de Paulo para a idade de Ana de 1415

, e a soma das duas idades 58. Quais

so as idades?

Resoluo: 1415

AP

e P + A = 58

Pela 2 propriedade temos: 142958

141415

AAAP

29.A=58.14

A = 29

812 A = 28

P + A = 58 P + 28 = 58 P = 30

Resposta: Paulo tem 30 ano e Ana tem 28 anos.

2. Determine as medidas dos ngulos internos de um tringulo sabendo que elas so proporcionais aos nmeros 10, 12 e 14 e que a soma dos ngulos internos de qualquer tringulo 180.

Resoluo: 36

180141210

cba

= 5

50510

aa

16

60512

bb

70514

cc

Resposta: Os ngulos medem 50 , 60 e 70

Questes

1. Aplicando as propriedades das propores, vamos determinar os nmeros a e b de acordo com a seguintes condies:

(A) 45

ba

com a + b = 108

(B) 7

10

ba

com a b = 54

(C) com a + b = 80

(D) com a b = 55

2. Numa sala de aula h 21 alunos entre homens e mulheres. A razo do n de homens para o n de mulheres de 3 para 4. Quantos homens e quantas mulheres h nessa sala?

3. A diferena entre as quantias que Karina e Cristina tm de 200 reais. Sabendo que a razo entre a quantia de Karina e a quantia de Cristina de 7 para 5. Calcule as duas quantias.

4. Em uma quitanda o n de mas est para 5 assim como o n de bananas est para 3. Sabendo que entre mas e bananas so 120, determine quantas so as mas e as bananas.

5. Para fazer uma limonada, misturamos suco de limo com gua na razo de 2 para 5. Quantos litros de suco de limo e quantos litros de gua sero necessrios para fazer 42 litros de limonada?

6. Sabendo que a massa do cubo est para 5 assim como a massa da esfera est para 4 e que as duas juntas pesam 36 gramas, calcule quantos gramas tem cada um.

7. Um time de basquete disputou em um campeonato 81 partidas, entre as quais o n de vitrias est para o n de derrotas assim como 7 est para 2. Quantas partidas esse time venceu no campeonato?

Respostas

1.

(A) 45

ba

com a + b = 108

=

=

9 . a = 108 . 5 9 .a = 540 a = 60 b = 108 60 b = 48

Resposta: a = 60 e b = 48

17

(B) 7

10

ba

com a b = 54

=

=

3a = 54 . 10 3a = 540 a = 180 a b = 54 180 b = 54 -b = 54 180 -b = -126 (-1) B = 126

Resposta: a= 180 e b = 126

(C) 79ba

com a + b = 80

=

=

16 . a= 80 . 9 16 . a = 720 a = 45 b = 80 45 b = 35 Resp: a = 45 e b = 35

(D) 611ba

com a b = 55

=

=

5.a = 55 . 11 5.a = 605 a = 121 a b = 55 121 b = 55 - b = 55 121 - b = - 66 ( -1) b = 66


2.

=

H + M = 21

=

=

7 . H = 21 . 3 7 . H = 63 H =

H = 9 M = 21 9 M = 12

18

Resposta: 9 homens e 12 mulheres

3. K C = 200

=

=

=

2K = 7 . 200 2K = 1400 K =

K = 700 K C = 200 700 C = 200 - C = 200 700 - C = - 500 ( -1) C = 500

Resposta.; Karina tem 700 reais e Cristina tem 500 reais

4. =

M + B = 120

=

=

8 . M = 120 . 5 8 . M = 600 M =

M = 75 B = 120 75 B = 45

Resposta: so 75 mas e 45 bananas

5. =

=

=

7 . L = 42 . 2 7 . L = 84 L =

L = 12 A = 42 12 A = 30 Resposta: 12 litros de suco de limo e 30 litros de gua.

6.

=

=

=

9 . C = 36 . 5 9 . C = 180 C =

C = 20 E = 36 20

19

E = 16

Resposta: So 20 cubos e 16 esferas

7. =

=

=

9.V = 81 . 7 9.V = 567 V = 63

Resposta: Venceu 63 partidas

Diviso proporcional

A diviso proporcional muito usada em situaes relacionadas matemtica financeira, contabilidade, administrao, na diviso de lucros e prejuzos proporcionais a valores investidos.

Ex: 1. Manuela, Jose e Alberto resolveram formar uma sociedade e abriram uma empresa que, ao fim de um ano deu lucro de R$ 660 000,00. Para abrir a empresa Manuela investiu R$ 40 000,00, Jos R$ 50 000,00 e Alberto R$ 30 000,00. Como esse lucro dever ser dividido entre os scios para que cada um receba uma quantia proporcional ao investimento inicial?

Resoluo: M, J e A so as quantias que os scios devem receber .

5,5120000660000

300005000040000300005000040000

AJMAJM

5,540000

M

, logo M=R$ 220 000,00

5,550000

J

logo J=R$ 275 000,00

5,530000

A

logo A=R$ 165 000,00 Resposta: Manuela receber R$ 220 000,00: Jose receber R$ 275 000,00 e Alberto receber R$

165 000,00

Ex: 2. Um professor tem 171 figurinhas para distribuir aos quatro alunos que menos faltaram durante o semestre. Para ser justo, a diviso dever ser feita de forma inversamente proporcional ao nmero de faltas de cada um. Joo faltou 4 vezes, Ana faltou 3, Marcos faltou 2 e Cintia faltou 2. Quanto deve receber cada aluno?

Resoluo: Sejam J, A, M e C as quantias que cada um deve receber.

10819

20521912

.

1171

1219

:1

171

1219171

126643

171

21

21

31

41

CMAJ

4J=3A=2M=2C=108 4J=108 J=27 3A=108 A=36 Resposta: Joo recebeu 27 figurinhas, Ana recebeu 36, Marcos recebeu 2M=108 54 e Cintia 54. M=54 2C=108 C=54

20

Questes

1. Decidi dividir R$ 247,00 entre meus dois filhos de modo proporcional s suas idades. O mais velho tem onze anos e o mais novo tem oito. Quantos reais devo dar a cada um?

2. Trs profissionais com a mesma capacidade de trabalho, devem executar uma tarefa por R$ 1800,00. O primeiro deles, porm, trabalhou apenas trs dias, o segundo, quatro, e o terceiro trabalhou 5 dias. Para que o pagamento seja justo quanto dever receber cada um?

3. Trs trabalhadores devem dividir 1200 reais referentes ao pagamento de um servio realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcional ao nmero de dias trabalhados. Quanto dever receber cada um?

4. Dois ambulantes obtiveram R$ 1560,00 pela venda de certas mercadorias. Esta quantia deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais a 5 e 7 respectivamente. Quanto ir receber cada um?

5. Os trs jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador iro receber um prmio de R$ 3340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiao referente a cada um deles respectivamente?

6. Para estimular a frequncia s aulas, um professor resolveu distribuir a ttulo de premio aos alunos, 60 CDs para suas 3 classes, repartidas em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas ocorridas durante o ms em cada uma das classe. Aps esse perodo, ele constatou que houve 8, 12 e 24 faltas totais respectivamente nas classes A, B e C. Quantos CDs devem ser entregues para cada classe?

Respostas

1. 143 reais para o mais velho e 104 reais para o mais novo.

2. O primeiro receber 450 reais, o segundo 600 reais e o terceiro 750 reais

3. O que trabalhou 2 dias recebeu 240 reais, 3 dias recebeu 360 reais e por 5 dias 600 reais

4. 910 proporcional a 7 e 650 proporcional a 5

5.

=

=

=

=

:

=

.

=

= 7700

5A=7B=11C=7700 5A=7700 A=

A = 1540

7B=7700 B =

B = 1100

11C=7700 C =

C = 700

5 faltas recebeu 1540 reais, 7 faltas recebeu 1100 reais e 11 faltas 700 reais.

6. Classe A 30 CDs, classe B 20 CDs e classe C 10 CDs.

21

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Como resolver uma regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais. 3) Montar a proporo e resolver a equao.

Exemplo: 1. Uma roda d 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dar em 28 minutos?

Resoluo: as grandezas envolvidas so nmero de voltas e tempo(minutos). Se em 20 minutos d 80 voltas, aumentando o tempo, aumenta o nmero de voltas. Quando as duas grandezas aumentam ou diminuem na mesma proporo, a regra de trs direta.

voltas minutos 80 20 X 28 Quando a regra de trs direta indicamos com flechas no mesmo sentido e resolvemos

multiplicando em cruz. 20.x= 80.28 20.x = 2240

x = 20

2240= 112

Resposta: 112 voltas

2. Um avio velocidade de 800 km por hora, leva 42 minutos para ir de So Paulo a Belo Horizonte. Se a velocidade do avio fosse 600 km por hora, em quanto tempo iria fazer a mesma viagem?

Resoluo: As grandezas envolvidas so velocidade e tempo(minuto). A 800 km/h o tempo gasto 42 minutos, diminuindo a velocidade o tempo gasto dever aumentar. Quando uma grandeza diminui e a outra aumenta na mesma proporo a regra de trs inversa . Nesse caso as flechas so em sentidos contrrios.

Velocidade tempo 800 42 600 x Invertemos uma das flechas e procedemos como no caso anterior. Velocidade tempo 800 x 600 42 600.x = 800.42 600.x = 33600

Regra de Trs


22

x = 600

33600= 56

Resposta: 56 minutos

Questes

1. Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

2. Uma equipe de operrios, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o nmero de horas de servio for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe far o mesmo trabalho?

3. Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois trabalhadores constroem uma casa?

4. Certo homem percorre uma via de determinada distncia com uma bicicleta. Sabendo-se que com a velocidade de 5 Km/h, ele demora 6 horas, quanto tempo este homem gastar com sua bicicleta para percorrer esta mesma distncia com uma velocidade 3 Km/h.

5. Um carro, velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

6. Para transportar certo volume de areia para uma construo foram utilizados 30 caminhes, carregados com 4 m 3 de areia cada um. Adquirindo-se caminhes com capacidade para 12 m 3 de areia, quantos caminhes seriam necessrios para fazer o servio?

7. Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levar para engarrafar 4000 refrigerantes?

8. Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m. Quantos litros so necessrios para pintar 15 m 2 de parede?

9. Para se obterem 28 kg de farinha, so necessrios 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo so necessrios para se obterem 7 kg de farinha?

10. Se 3 torneiras conseguem encher um tanque em 2 horas, quanto tempo demorar em esse tanque encher quando uma das torneiras no for aberta?

11. Para fazer trs bolos, um confeiteiro usa 750 g de farinha de trigo. Quantos bolos iguais aos anteriores podem ser feitos com 3 kg de farinha?

Respostas

1. velocidade (km/h) tempo(h) 400 3 480 x

480 . x = 400 . 3 480 . x = 1200 X = 2,5 horas

2. Horas dias 8 20 5 x 5x = 8 . 20

23

X = 160 : 5 X= 32 dias

3. Trabalhadores dias 4 8 2 x 2x = 32 X = 16

4. Velocidade tempo 5 6 3 x 3x = 30 X = 10 horas

5. velocidade tempo

60 4 80 x 80x = 240 X = 3 horas

6. caminhes capacidade(m) 30 4 X 12 12x = 120 X = 10 caminhes

7. Refrigerantes tempo(h)

3000 6 4000 x 3000x = 24000 X = 8 horas

8. litros parede(m)

14 35 X 15 35x = 210 X = 6 m

9. Farinha trigo

28 40 7 x 28x = 280 X = 10 kg

10. Torneiras tempo(h)

3 2 2 x 2x = 6 X = 3 horas

11. Bolos farinha

3 750 X 3000 750x = 9000

24

X = 12 bolos

Regra de trs composta

A regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais

Ex: Para alimentar 12 porcos durante 20 dias so necessrios 400 kg de farelo. Quantos porcos podem ser alimentados com 600 kg de farelo durante 24 dias?

Resoluo: As grandezas so porcos, farelo e dias. Organizamos os dados de modo que a pergunta fique sempre na primeira coluna e comparamos a coluna da pergunta com cada uma das outras grandezas, uma cada vez.

Porcos farelo(kg) dias 12 400 20 X 600 24 Comparando porcos com farelo: Se 400 kg alimentam 12 porcos, mais farelo alimenta mais porcos,

logo as grandezas so diretamente proporcionais Comparando porcos e dias: se a quantidade de farelo suficiente para alimentar durante 20 dias

12 porcos, aumentando os dias o mesmo farelo alimentar menos porcos, logo as grandezas so inversamente proporcionais.

Vamos agora inverter a flecha dos dias e resolver multiplicando em cruz as duas primeiras grandezas , seguindo reto nas outras grandezas.

Porcos farelo(kg) dias 12 400 24 X 600 20 400 . 24 . x = 12 . 600 . 20 9600 x = 144000

X = 9600

144000 = 15 Resposta : 15 porcos

Questes

1. Em uma empresa, 10 funcionrios produzem 3 000 peas, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O nmero de funcionrios necessrios para que essa empresa produza 7 000 peas em 15 dias, trabalhando 4 horas por dia, ser de:

2. Doze operrios, em 90 dias, trabalhando 8 horas por dia, fazem 36 m de certo tecido. Podemos afirmar que, para fazer 12 m do mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 operrios, trabalhando 6 horas por dia levaro:

3. Em 18 dias, 12 homens, trabalhando 8 horas por dia, fabricam 9 mquinas. Em quantos dias 8 homens, trabalhando 6 horas por dia, fabricariam 15 mquinas?

4. Uma famlia composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de po. Quantos quilos de po sero necessrios para aliment-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

5. Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual ser o tempo necessrio para completar esse muro?

6. Vinte operrios, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levar uma turma de 16 operrios, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

Respostas

25

1. Func. Peas horas dias 10 3000 8 5 X 7000 4 15

10 3000 4 15 X 7000 8 5

X = 15.4.3000

5.8.7000.10

X = 1800002800000

X = 15,5 X = 16 funcionrios

2. dias horas metros oper. Larg. 90 8 36 12 1 X 6 12 15 2

90 6 36 15 1 X 8 12 12 2

X = 1.15.36.6

2.12.12.8.90

X = 3240

207360

X = 64 dias

3. dias homens horas maq. 18 12 8 9 X 8 6 15

X 12 8 15 18 8 6 9

X = 9.6.8

15.8.12.18

X = 432

25920

X = 60 dias

4. kg pessoas dias 3 6 2 X 4 5

X = 2.65.4.3

X = 1260

X = 5 kg

5. dias pedreiros alt.(m) 9 2 2

26

X 3 4

9 3 2 X 2 4

X = 2.34.2.9

X = 6

72

X = 12 dias

6. dias oper. Horas metros 18 20 8 300 X 16 9 225

18 16 9 300 X 20 8 225

X = 300.9.16

225.8.20.18

X = 43200

648000

X = 15 dias

Porcentagem

Diariamente jornais, TV, revistas apresentam notcias que envolvem porcentagem; em um passeio pelo comrcio de nossa cidade vemos cartazes anunciando mercadorias com desconto e em boletos bancrios tambm nos deparamos com porcentagens.

A porcentagem de grande utilidade no mercado financeiro, pois utilizada para capitalizar emprstimos e aplicaes, expressar ndices inflacionrios e deflacionrios, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. No campo da Estatstica possui participao ativa na apresentao de dados comparativos e organizacionais.

frequente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.

Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00 O funcionrio recebeu um aumento de 10% em seu salrio. Significa que em cada R$100 foi dado um aumento de R$10,00

Porcentagem


27

As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais Porcentagem o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

representado por uma frao de denominador 100 ou em nmero decimal.

Ex: 25% = 10025

= 0,25 = 41

(frao irredutvel)

Porcentagem na forma decimal

43% = 43/100 = 0,43, ento 0,43 corresponde na forma decimal a 43% 0,7 = 70/100= 70%

Importante: Fator de Multiplicao.

Se h um acrscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 30%, multiplicamos por 1,30, e assim por diante. Veja:

Acrscimo Fator de Multiplicao 11% 1,11 15% 1,15 20% 1,20 65% 1,65 87% 1,87

Ex: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal). Veja :

Desconto Fator de Multiplicao 12% 0,88 26% 0,74 36% 0,64 60% 0,40 90% 0,10

Ex: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 . 0,90 = R$ 9,00

Voc deve lembrar que em matemtica a palavra de indica uma multiplicao, logo para calcularmos 12% de R$ 540,00 devemos proceder da seguinte forma:

12% de 540 = 10012

. 540 = 1006480

= 64,8 ; logo 12% de R$ 540,00 R$ 64,80 Ou 0,12 de 540 = 0,12 . 540 = 64,8 (nos dois mtodos encontramos o mesmo resultado) Utilizaremos nosso conhecimento com porcentagem pra a resoluo de problemas.

Ex: 1. Sabe-se que 20% do nmero de pessoas de minha sala de aula so do sexo masculino. Sabendo que na sala existem 32 meninas, determine o nmero de meninos.

Resoluo: se 20% so homens ento 80% so mulheres e x representa o n total de alunos, logo: 80% de x = 32 0,80 . x = 32 x = 40

Resp: so 32 meninas e 8 meninos

28

2. Em uma fabrica com 52 funcionrios, 13 utilizam bicicletas como transporte. Expresse em porcentagem a quantidade de funcionrios que utilizam bicicleta.

Resoluo: Podemos utilizar uma regra de trs simples. 52 funcionrios .............................100% 13 funcionrios ............................. x% 52.x = 13.100 52x = 1300 x= 1300/52 x = 25%

Portanto, 25% dos funcionrios utilizam bicicletas.

Podemos tambm resolver de maneira direta dividindo o n de funcionrios que utilizam bicicleta pelo total de funcionrios 13 : 52 = 0,25 = 25%

Questes

1 (Concurso de Agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de Indaiatuba-SP-2013) Ao comprar um eletrodomstico em uma loja que estava dando 20% de desconto, o cliente ganhou um desconto de R$ 500,00. Qual era o preo do eletrodomstico e quanto foi pago por ele respectivamente.

(A) R$ 2.720,00 e R$ 2.240,00 (B) R$ 1.900,00 e R$ 1.400,00 (C) R$ 2.500,00 e R$ 2.000,00 (D) R$ 3.500,00 e R$ 3.000,00

2. Concurso de Agente Fiscal Sanitrio-Prefeitura de Indaiatuba-SP-2013) Todo ms vem descontado na folha de pagamento de um trabalhador o valor de 280,00 reais. Sabendo que o salrio bruto deste trabalhador de R$ 1.400,00, este desconto equivale a quantos por cento do salrio do trabalhador?

(A) 5% (B) 20% (C) 2% (D) 25%

3. O preo de uma casa sofreu um aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preo desta casa antes deste aumento?

4. Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

5. Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matria. Qual o nmero mximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele ser reprovado, caso tenha faltado a 30% das aulas ?

6. Um comerciante que no possua conhecimentos de matemtica, comprou uma mercadoria por R$ 200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor?

7. Numa sorveteria, 30% dos 250 sorvetes vendidos por dia so de sabor morango. Quantos sorvetes de morango so vendidos por dia nessa sorveteria?

8. Numa eleio, 65000 pessoas votaram. O candidato que venceu recebeu 55% do total dos votos. O outro candidato recebeu 60% dos votos do candidato que venceu. Os demais foram votos brancos ou nulos. Quantos votos brancos ou nulos existiram nessa eleio?

9. O professor Andr trabalha 150 horas por ms e ganha R$ 20,00 (vinte reais) por hora trabalhada. No ms que vem, ele vai ter um aumento de 25% sobre o valor da hora trabalhada. Quanto o professor Andr vai passar a receber em um ano de trabalho com o seu novo salario?

29

10. Tiago, Andr e Gustavo foram premiados em um bolo do Campeonato Brasileiro. Tiago vai car com 40% do valor total do premio enquanto Andr e Gustavo vo dividir o restante igualmente entre dois. Se Gustavo vai receber R$ 600,00, ento qual o premio total?

Respostas

1. Para resolver usamos uma regra de Trs simples e direta valor % 500 20 X 100 Multiplicando em Cruz temos 20 x = 500 . 100 20 x = 50000 X = 50000/20 X = 2500 O preo do eletrodomstico era 2500 reais e o valor pago foi 2000 reais

Resposta: Alternativa C

2. Para saber a porcentagem do desconto de maneira rpida dividimos o desconto pelo salrio bruto 280 : 1400 = 0,20 = 20%

Resposta: Alternativa B

3. 35000 representa 120% que o valor da casa(100%) mais 20% que foi o aumento . Se queremos saber o valor da casa antes do aumento, ento vamos procurar o valor de 100%.

Montamos uma regra de trs % valor em real 120 35000 100 x Multiplicando em cruz teremos: 120.x = 35000 . 100 120.x = 3500000 X = 3500000/120 X = 29166,67 reais

Resposta: O valor da casa era 29.166,67 reais.

4. 40 : 300 = 0,13333... = 13,33%

5. 30% de 30 representa 9 faltas. Ento o aluno poder faltar no mximo 8 aulas.

6. Preo de custo: 200 Preo de venda: 200 . 1,50 = 300 (1,50 representa preo de custo + 50% ) Preo com desconto : 300 . 0,60 = 180 (0,60 representa 60% do valor porque o desconto foi de

40%)

Resposta: 20 reais de prejuzo

7. 250 . 0,30 = 75 sorvetes

8. Candidato que venceu: 65000 . 0,55 = 35750 votos Outro candidato: 60% de 55% = 0,60 . 0,55 = 0.33 = 33% do total = 65000 . 0,33 = 21450 votos Os votos do candidato vencedor +outro candidato = 35750 + 21450 = 57200 Votos brancos e nulos: 65000 57200 = 7800

Resposta: 7800 votos brancos e nulos

9. 150 . 20 = 3000 reais

30

Com 25% de aumento : 3000 . 1,25 = 3750 reais por ms Em um ano : 3750 . 12 = 45000 reais

10. Se Tiago vai ficar com 40% ento Andr e Gustavo ficaro com 30% cada um Sabemos que Gustavo recebeu 600 reais que representa 30% do premio 600: 3 = 200 que 10% do premio 200 . 10 = 2000 reais que o total do premio.

1. (Concurso Cmara Munic. De S. Carlos/2013) Muitos restaurantes adotam o sistema de comida por quilo, isto , o cliente paga de acordo com o peso dos alimentos que consome. Se o preo do quilograma de comida de 30 reais, o refrigerante custa 2 reais, e uma pessoa consome 300 g de alimentos e 1 refrigerante, ela gastar

(A) 6 reais. (B) 7 reais. (C) 9 reais. (D) 11 reais.

2. ( Concurso Soldado PM/MG-2013) Marque a alternativa CORRETA. O preo de uma blusa, para pagamento atravs de carto de crdito, de R$ 15,00. Com pagamento vista, com dinheiro, a blusa pode ser comprada pelo valor de R$ 12,00. J com pagamento com carto de dbito, o preo cobrado R$ 14,40. Considerando estas ofertas desta loja, as taxa de juros cobrados nas vendas por carto de crdito e de dbito so, respectivamente:

(A). 30% e 12 % (B) 25 % e 20 % (C) 27% e 3 % (D). 15% e 10%

3. (Vestibulinho ETC-2 semestre/2013) De acordo com as companhias de seguro, por serem consideradas mais cautelosas e terem um comportamento mais disciplinado no trnsito, as mulheres pagam menos pelo seguro de seu automvel. Suponha que um homem e uma mulher possuam o mesmo modelo de automvel e, alm disso, que esses motoristas tenham a mesma idade, o mesmo tempo de habilitao e usem o veculo nas mesmas condies. Pelo seguro de seu automvel, o homem paga R$ 2.400,00 e a mulher$ 1.680,00.

Assim sendo, em relao a esse homem, essa mulher paga X% a menos de seguro. O valor de X (A) 17. (B) 27. (C) 30. (D) 63. (E) 70.

4. (Concurso Banco Central) Em uma disputa, h 34 pessoas: 20 homens e 14 mulheres. A cada etapa da competio, trs concorrentes so eliminados, sendo sempre 2 homens e 1 mulher. O nmero de homens igualar-se- ao nmero de mulheres aps a eliminao de nmero

(A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4

Problemas


31

(E) 3

5. (Concurso Fundao casa/2013) Hoje houve uma fuga de 21 internos de uma das unidades da Fundao Casa e, no momento da fuga, essa unidade estava com 70% de sua capacidade ocupada pelos internos e os que fugiram representam 50% deles. Assim, pode-se afirmar que, hoje, a capacidade total de internos dessa unidade

(A) 72. (B) 60. (C) 56. (D) 50. (E) 45

6. (Concurso PROCON/SP-2013) Mensalmente, Marcos gasta 1/3 do seu salrio com despesas fixas e aplica no banco 2/3 do restante. O que sobra do seu salrio, ele gasta com despesas do dia a dia, sendo que tal gasto representa do seu salrio, aproximadamente,

(A) 30%. (B) 28%. (C) 26%. (D) 24%. (E) 22%.

7. Um caminhoneiro entrega uma carga em um ms, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade mdia de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade mdia de 60 km/h?

8. (Concurso DETRAN/SP 2013-Oficial Est. De Transito-VUNESP) O semforo para travessia de pedestres na rua Aurora programado para ficar fechado para automveis por 50 segundos e aberto por 2 minutos e meio. O semforo da rua Glria, que conserva a mesma razo entre o tempo aberto e o tempo fechado do semforo da rua Aurora, programado para ficar fechado para automveis por 35 segundos e aberto por

(A) 1min. 10s. (B) 1min. 30s. (C) 1min. 05s. (D) 1min. 55s. (E) 1min .45s.

Respostas

1. 0,300 x 30 = 9 reais 9 + 2 = 11 reais

Resposta: D

2. Preo vista 12,00 No carto de crdito 15,00 ( acrscimo de 3,00 ) 3 : 12 = 0,25 = 25% No carto de dbito 14,40 (acrscimo de 2,40 ) 2,40 : 12 = 0,20 = 20%

Resposta: Alternativa B

3. 2400 1680 = 720 Para calcular que porcentagem representa 720 em 2400 devemos dividir 720 por 2400 720 : 2400 = 0,3 = 30%

Resposta: C

4. x representa o n de eliminaes 2x representa 2 homens eliminados

32

X representa 1 mulher eliminada 20 2x = 14 x - 2x + x = 14 20 - x = -6 X = 6

Resposta: B

5. 0,50 . 0, 70 x = 21 0,35 x = 21 x = 60

Resposta: B

6. Desp. Fixa

Guarda no banco de

=

Total das despesas:

=

=

= 0,22 = 22%

Resposta: E

7. Horas dias veloc. 8 30 50 X 20 60

X 30 50 8 20 60

X = 60.2050.30.8

X = 1200

12000

X = 10 horas por dia

8. =

=

50.x = 150 . 35 50 . x = 5250 x = 105 seg. x = 1 min e 45 seg.

Resposta: Alternativa E

1

capacapa

Nmeros inteiros e racionais: operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao). Expresses numricas.

......................................................................................................................... 1

Mltiplos e divisores de nmeros naturais............................................................................................ 10

Fraes e operaes com fraes. ..................................................................................................... 13

Nmeros e grandezas proporcionais: razes e propores. Diviso em partes proporcionais. ........... 13

Regra de trs. ..................................................................................................................................... 21

Porcentagem. ...................................................................................................................................... 26

Problemas. .......................................................................................................................................... 30

Candidatos ao Concurso Pblico,

O Instituto Maximize Educao disponibiliza o e-mail [email protected] para

dvidas relacionadas ao contedo desta apostila como forma de auxili-los nos estudos para um

bom desempenho na prova.

As dvidas sero encaminhadas para os professores responsveis pela matria, portanto, ao

entrar em contato, informe:

- Apostila (concurso e cargo); - Disciplina (matria);

- Nmero da pgina onde se encontra a dvida; e

- Qual a dvida.

Caso existam dvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminh-las em e-mails

separados. O professor ter at cinco dias teis para respond-la.

Bons estudos!

1

Conjunto dos Nmeros Inteiros: z

o conjunto formado pelos nmeros inteiros positivos, zero e nmeros inteiros negativos. O conjunto Z uma ampliao do conjunto N.

Z= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} Os subconjuntos de Z so: Z = {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...} = excluir o zero do conjunto.

Z = {0, 1, 2, 3, 4...} Z

_

= {... -3, -2, -1, 0} Z = {1, 2, 3, 4...} Z

_

= {..., -3, -2, -1}

Relao de ordem nos nmeros inteiros

Quando estabelecemos uma relao de ordem entre dois nmeros, estamos identificando se eles so iguais, ou qual deles o maior. Observe a reta numrica.

Dados dois nmeros inteiros, o maior o que estiver direita. Ex: -1 maior que -3, 4 maior que zero

Mdulo ou valor absoluto

o nmero sem considerar o seu sinal. Para indicar mdulo escrevemos o nmero entre barras. Ex: 3 = 3 5 = 5

Nmeros opostos ou simtricos

So nmeros com o mesmo valor absoluto e sinais contrrios.

Ex: +4 e -4 so nmeros opostos ou simtricos.

Adio e subtrao de nmeros inteiros

Para juntar nmeros com sinais iguais, adicionamos os valores absolutos e conservamos o sinal Quando os nmeros tm sinais diferentes, subtramos os valores absolutos e conservamos o sinal

do maior. Ex:

Nmeros Inteiros e Racionais: operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao). Expresses numricas
