TRIGONOMETRIA - colegioideologia.com.br professores... · Além de GRAUS e RADIANOS há ... 1ª...
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TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIGONOMETRIA
ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS
GRAUS RADIANOS
MULTIPLIQUE POR180º
TROQUE POR 180º
12º
Exercícios sobre Transformações
pág. 07
∙
GRAUS
∙
180º
180º
RADIANOS
180º=
15
Resp. : d
Exercícios sobre Transformações
pág. 07
GRAUS
∙
180º
180º
RADIANOS
Resp. : b
2
5
2∙180º
52∙36º 72º
3
4
3∙180º
43∙45º 135º
8
180º
822,5º
1 rad 57º
rad 180º
Além de GRAUS e RADIANOS há
também os GRADOS
0º180º
90º
270º
360º
GRAUS
0
/2
3 /2
2
RADIANOS
300gr
0200gr
100gr
400gr
GRADOS
Ângulo formado pelos ponteiros de um
relógio
12
6
9 3
1
2
4
5
11
10
8
7
30º30º
30º30º
30º30º
30º30º
30º30º
30º30º
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
9 3
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 4:00
30º
30º
30º
90º
30º
30º
30º
30º
120º
depois de 60
minutos o
ponteiro menor
se moveu 30º
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 3:30
depois de 30
minutos o
ponteiro menor
se moveu 15º
15º
15º
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 3:20
10º
depois de 20
minutos o
ponteiro menor
se moveu 10º
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
3:00 3:10
5º
depois de 10
minutos o
ponteiro menor
se moveu 5º
Logo, o valor numérico do ângulo (em graus) de
deslocamento do ponteiro menor é sempre a metade do
valor numérico do tempo decorrido (em minutos)
tempo
(minutos)
ângulo
(graus)
60 30º
40 20º
30 15º
20 10º
15 7,5º
10 5º
2 1º
1 0,5º
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 07
Resp. : b
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
30º
30º
30º
30º
30º
30º + 30º + 30º + 30º + 30º
150º
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 08
Resp. : c
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
22º30’
30º
30º
30º + 30º + 22º30’
82º30’
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 08
Resp. : a
1
12
6
93
2
4
5
11
10
8
7
20º
30º + 30º + 30º + 30º + 30º + 20º
170º
30º
30º
30º
30º30º
+1-1
-1
+1
CICLO TRIGONOMÉTRICO
180º
90º
270º
0º
150º
135º
120º
30º
225º
60º
330º
300º
210º
240º
45º
315º
360º 2
/2
3 /2
/32 /3
4 /3 5 /3
/65 /6
7 /6 11 /6
/43 /4
5 /4 7 /4
-300º
ÂNGULOS PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS
0º
60º +
--60º
180º
90º
270º
-90º
-270º
-180º
-150º 210º
300º
ÂRCOS CÔNGRUOS
50º
0º180º
90º
270º
-310º
410º 770º 1130º ...
-670º -1030º -1390º ...
ÂRCOS CÔNGRUOS
0º180º
90º
270º
50º
-310º
410º 770º 1130º ...
-670º -1030º -1390º ...
50º
410º
770º
1130º
-310º
-670º
-1030º
-1390º
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
= 50º + 360 ∙
( 0 )
( -1 )
( -2 )
( -3 )
( -4 )
( 3 )
( 2 )
( 1 )
1ª det. positiva
2ª det. positiva
3ª det. positiva
4ª det. positiva
4ª det. negativa
3ª det. negativa
2ª det. negativa
1ª det. negativa
x = 50º + 360 ∙ k
1ª det. positiva
número
inteiro
COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA
DE UM ÂNGULO, EM GRAUS.
EXEMPLO:
ENCONTRAR A
MENOR
DETERMINAÇÃO
POSITIVA DO ÂNGULO
DE 1850º
1850º 360º
51800º
50º
VOLTAS
COMPLETAS1ª DETERMINAÇÃO
POSITIVA
COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA
DE UM ÂNGULO, EM RADIANOS.
EXEMPLO: ENCONTRAR A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DO
ÂNGULO DE 28
3
28
3=
6
3+
6
3+
6
3+
6
3+
4
3
VOLTAS
COMPLETAS
1ª DETERMINAÇÃO
POSITIVA
SENO E CO-SENO DE
UM ÂNGULO
NO CICLO
TRIGONOMÉTRICO
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 0º = 0
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 90º = 1
positivo
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
segundo
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 180º = 0
positivopositivo
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo
terceiro
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 270º = -1
positivopositivo
negativo
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivopositivo
negativo negativo
quarto
quadrante
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
sen 360º = 0
360º
positivopositivo
negativo negativo
SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
360º
quarto
quadrante
terceiro
quadrante
segundo
quadrante
primeiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 0º = 1
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
primeiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 90º = 0
positivo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
segundo
quadrante
negativo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
segundo
quadrante
negativo positivo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
segundo
quadrante
negativo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
segundo
quadrante
negativo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 180º = -1
positivonegativo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivonegativo
negativo
terceiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivonegativo
negativo
terceiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
negativo positivo
negativo
terceiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivonegativo
negativo
terceiro
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 270º = 0
positivo
negativo
negativo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
positivo
negativo
negativo
positivo
quarto
quadrante
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
cos 360º = 1
360º
positivo
negativo
negativo
positivo
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
0º180º
90º
270º
360º
quarto
quadrante
terceiro
quadrante
segundo
quadrante
primeiro
quadrante
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
Resp. : c
450º
1
360º
360º
90º
sen 450º = sen 90º
sen 450º = 1
900º
2
360º
720º
180º
cos 900º = cos 180º
cos 900º = -1
-1
+1
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
Resp. : c
-1 sen x 1
-1 12m - 1
3
-3 32m - 1
+ 1 - 3 3 + 12m
- 2 42m
- 2 4m
2 2
- 1 2m
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
Resp. : c
sinal do
seno
sinal do
co-seno
a
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 22
Resp. : e
0º
90º
270º
180º
b