TRIGONOMETRIA BÁSICA – LISTA PROF. ALEXANDRE /2016

1. Um aluno de engenharia civil (altura do aluno 1,70 m) decide calcular a altura de uma torre de transmissão localizada na avenida Paulista em São Paulo capital, num plano horizontal. Com um canudo de papel e um transferidor, ele estima que o ângulo formado entre a linha horizontal que passa tangente à sua cabeça e a linha que liga a sua cabeça ao topo da torre é de 15o. Andando 90 m em direção à torre, o ângulo

passa a ser de 30o. Encontre o valor da altura desta torre. √𝟑 = 𝟏, 𝟕 a) 78,20m b) 41,70 m c) 46,70 m d) 51,20m e) 52,70 m 2. Do topo de uma montanha se avistam os pontos A e B de uma planície. As linhas de visão do topo aos pontos A e B formam entre si um ângulo de 30o. A linha de visão do topo com o ponto A tem inclinação de 30o, em

relação à horizontal. Se AB = 2√3 km, qual a altura da montanha?

a) 2,75 km b) 2,8 km c) 2,9km d)3,0km e)3,1km 3.Se um avião da aeronáutica, em teste, decola com velocidade de 400 km/h, formando um ângulo de 60º com a horizontal viaja em linha reta. A altitude desse avião após meia hora de vôo é:

a) 50√3 km b) 60√3 km c) 75√3 km d)90√3 km e) 100√3 km 4.Um engenheiro civil estava projetando uma escada com 5 degraus de mesma altura de acordo com a figura abaixo,para finalização completa deste projeto é necessário calcular o comprimento total do corrimão.

O comprimento total deste corrimão é:

a) 2,2 metros b) 2,1 metros c)1,9 metros d) 1,8 metros e)1,5 metros

5.Para determinar a distância de um barco até a praia,um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A,mediu o ângulo visual fazendo mira em um ponto fixo P da Praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da

praia, no entanto sob um ângulo visual 2 .

A figura abaixo ilustra essa situação:

Dados: 6,0sen

cos..2)2( senSen

2.21)2( senCos

21

2)2(

tg

tgTg

Ao chegar no ponto B,verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 4.000 m. Com base neste dados e mantendo a mesma trajetória a menor distância do barco até o ponto P será: a) 1820 m b)2400 m c) 3260 m d) 3710 m e) 3.840 m

6.Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a altura do edifício, em metros, é:

Use os valores: sen30° = 0,5 cos30° = 0,866 tg30° = 0,577 a) 112 b) 115 c) 117 d) 120 e) 124 7.Duas escadas foram encostadas em um muro, conforme mostra a figura.

Dados: sen 65º = 0,90 ; cos 65º = 0,42 e tg 65º = 2,10 sen 27º = 0,45 ; cos 27º = 0,89 e tg 27º = 0,50 A altura total do muro é: a) 5,0 m b) 5,5 m c) 6,0 m d) 6,5 m e) 7,0 m

8. Um estudante de engenharia vê um prédio construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30°. Aproximando-se do prédio mais 24 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60° (conforme a figura) . Desprezando a altura do estudante, calcule a altura (H) desse prédio.

a) 12 m b) 312 m c) 18m d) 24 m e) 324 m

9.Uma ponte levadiça sobre um rio tem comprimento de 50 m e abre-se a partir de seu centro para dar passagem a algumas embarcações,provocando um vão AB, conforme figura baixo.Considerando que os pontos A e B tem alturas iguais.Se o tempo gasto para girar a ponte em 1o equivale a 30 segundos. Qual será o tempo necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5 metros,com relação à posição destes quando a ponte está abaixada?

a) 1 h b) 45 min c) 30 min d) 20 min e) 15 min 10. Considere um poste de luz perpendicular ao plano da calçada. Uma aranha está nesta calçada, a 2 metros do poste e, começa se aproximar dele.Nesse ,mesmo instante uma formiga começa a subir no poste. A velocidade da aranha é de 10 cm/s e da formiga é de 6,25 cm/s. Após 8 segundos do início dos movimentos, calcule a menor distância entre a aranha e a formiga. a) 2,56 m b) 2,00 m c) 1,89 m d) 1,30 m e) 1,10 m 11.Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de:

a) 0,8 3. b) 2,4. c) 1,2 3. d) 0,6 3. e) 0,6.

12. Observando um relógio analógico (relógio com ponteiros) é possível concluir que quando o ponteiro dos minutos dá uma volta completa (60 minutos) o ponteiro das horas sofre “certo deslocamento angular”. Qual o ângulo descrito pelo ponteiro das horas quando o ponteiro dos minutos percorre 60 minutos no relógio? a) 10o b) 20o c) 15o d) 30o e) 60o

13.Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir.

No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30° com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o farol será equivalente, em

metros, a:

a) 500 b) 500 3 c) 1.000 d) 1.000 3 e ) 1200

14. Dentro dos estudos da trigonometria encontramos um capítulo todo especial sobre as variações das funções trigonométricas,ou seja o comportamento das funções nos 4 quadrantes do ciclo trigonométrico.Observe o ciclos trigonométrico descritos abaixo e marque o item correto:

a) senxxsen O )180( b) A função seno possui seu valor máximo em 0º e o valor mínimo em 180º.

c) senxxO )90cos(

d) A função cosseno possui seu valor máximo em 90º e o valor mínimo em 270º.

e) O valor da expressão

22

3

2sensensensen é igual ao raio da circunferência

trigonométrica. 15.O maior relógio de torre de toda a Europa é o da Igreja St. Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi construído durante uma reforma do local, em 1970. (O Estado de S.Paulo. Adaptado.) O mostrador desse relógio tem formato circular, e o seu ponteiro dos minutos mede 4,35 m. Considerando pi = 3,1, a distância que a extremidade desse ponteiro percorre durante 20 minutos é, aproximadamente, a) 10 m b)9 m c) 8 m d) 7 m e) 6 m

16. Uma corda de 3,9m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto dessa polia está 1,5m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4m, na direção indicada abaixo, a distância x que o bloco deslizará será de:

a) 1 b) 1,3 c) 1,6 d)1,9 e)2,1

17. A figura abaixo representa o trecho de uma rua em que se tem uma rampa com inclinação de 5 graus.

Uma pessoa subiu essa rampa, em linha reta, caminhando do ponto P (início da rampa) até o ponto T (topo da rampa) com velocidade constante de 0,8 metros por segundo. Sabe-se que a altura do topo da rampa em relação ao seu início é 9 metros. Considerando a aproximação sen 5° = 0,09, o tempo que a pessoa gastou para percorrer a rampa toda foi: a) superior a 1 minuto, mas inferior a 1 minuto e 30 segundos. b) superior a 1 minuto e 30 segundos, mas inferior a 2 minutos e 30 segundos. c) superior a 2 minutos e 30 segundos, mas inferior a 3 minutos. d) Superior a 3 minutos e 30 segundos, mas inferior a 4 minutos e) superior a 4 minutos.

18. O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função

6

..16002100)(

xsenxf

, onde x

representa o mês do ano ( 1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x(em milhares). Quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas? a) julho e dezembro b) junho e novembro c) julho e novembro d) maio e novembro e) julho e outubro

19. Em uma chácara nas proximidades da estrada da Chapada dos Guimarães, há uma represa de criação de

peixes (pacú e pintado).Um funcionário desta chácara deseja calcular a largura (BC) desta represa de acordo

com a figura abaixo. Sabendo que a distância do ponto A até o ponto B é de 200 metros, que o ângulo

CAB^

= 30° e o ângulo ACB^

= 90° , marque o item correto :

a) A largura da represa é 200 metros b) A largura da represa é 400 metros

c) A largura da represa é 100 3 metros

d) A largura da represa é 100 metros

e) A largura da represa é 200 3 metros

20. O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função

6

..16002100)(

xsenxf

, onde x

representa o mês do ano ( 1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x(em milhares). Quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas? a) julho e dezembro b) junho e novembro c) julho e novembro d) maio e novembro e) julho e outubro 21. Batimentos cardíacos, ondas sonoras, ciclo de fertilidade de uma mulher são exemplos que podem ser modelados por funções periódicas. A função f(x) = cos(x) é um exemplo de função periódica. Sabemos que sua imagem é o intervalo [–1,1] e que o seu período é p = 2π. Na figura baixo temos o esboço do gráfico da função f(x) = c + a. cos(bx) .

Os valores de a, b e c são, respectivamente:

a) 2, 2 e 2 b) – 2, 2 e – 2 c) 1, 1 e – 2 d) 1, 2 e – 2 e) 2, 2

1 e – 2

22.Uma equipe de biólogos coletou dados da temperatura (em oC ) do solo em uma determinada região,durante três dias, a intervalos de 1 hora.A medição da temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e terminou 72 horas depois (t = 72).Os dados puderam ser representados pela

função

2

3.

121015)(

tsentH , em que t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da

observação e H(t), a temperatura máxima (em oC) no instante t. Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação. a) A temperatura máxima é 15oC e ocorreu às 12 horas b) A temperatura máxima é 25oC e ocorreu às 13 horas c) A temperatura máxima é 20oC e ocorreu às 14 horas d) A temperatura máxima é 25oC e ocorreu às 15 horas e) A temperatura máxima é 15oC e ocorreu às 16 horas 23. Um aluno de engenharia civil ( altura do aluno 1,80 m) decide calcular a altura de uma torre localizada em uma avenida, num plano horizontal. Com um canudo de papel e um transferidor, ele estima que o ângulo formado entre a linha horizontal que passa tangente à sua cabeça e a linha que liga a sua cabeça ao topo da torre é de 30o. Andando 80 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60o. Encontre o valor da

altura desta torre. √𝟑 = 𝟏, 𝟕𝟑 a) 41 m b) 55,8 c) 65,2m d) 71m e) 80,8m 24. Considere um depósito para combustível na forma de um cilindro, como mostra a figura abaixo 1.

A função )](.[80)( xsenxxV , para valores de x no intervalo ]2;0[ , permite calcular o volume, em

metros cúbicos, do combustível existente neste depósito cilíndrico, em razão da amplitude do arco ABC (igual à amplitude do ângulo x mostrado na figura 2). A capacidade total deste depósito (completamente cheio) com essas características é, em m³, aproximadamente igual a: Atenção: use 14,3

a)350,54 b)482,4 c)502,4 d) 601,33 e) 632,3

25. O cálculo da temperatura média semanal T,em graus centígrados,para determinada região pode ser ,

modelado pela função

26.620)(|

xsenxT

em que x representa o tempo em número de semanas.A maior

e a menor temperatura média semanal nessa região,em graus centígrados,são respectivamente iguais a: a) 20 e 14 b) 26 e 14 c) 26 e 20 d) 26 e 12 e) 20 e 12 26 .Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante do Colégio MASTER, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e conclui que o mesmo era periódico e podia ser aproximado por uma expressão:

P (t) =

4

5.

6cos.2

2

21 t em que t é o tempo ( em horas) decorrido após o início da observação

(t = 0) e P(t) é a profundidade da água ( em metros) no instante t. Deste modo marque a alternativa CORRETA: a) Após o início da observação (t = 0) a primeira maré alta (maior profundidade) ocorre em 3 horas b) A maior profundidade (maré alta) é de 12,5 metros c) A menor profundidade (maré baixa) é de 8 metros d) O valor da profundidade P (3) = 10,5 e) Após o início da observação (t = 0) a primeira maré alta (maior profundidade) ocorre em 2 horas

27.Uma guitarrista profissional possui um equalizador gráfico ( GE – 70 / OLIVER), este equalizador é um aparelho (dispositivo) que altera as frequências do som . Ao equalizar o som de sua guitarra percebeu que o formato (desenho gráfico), representava uma função trigonométrica. Marque o item correto:

a) Im = [ -2, 8 ] b) O período da função é P = 8 rad c) Im = [ -5, 0 ]

d) A função do gráfico acima pode ser expressa por y = 5. sen2

x e) O período da função é P = 2 rad

28. Uma máquina produz diariamente x dezenas de certo tipo de peças.Sabe-se que o custo de produção C(x) e o valor de venda V(x) são dados,aproximadamente,em milhares de reais,respectivamente,pelas

funções

6cos2)(

xxC

e

12.2.3)(

xsenxV

, 60 x .O lucro em reais,obtido na produção de 3

dezenas de peças é: a) 500 b) 750 c) 1000 d) 2000 e ) 3000

29.Supõe-se que em um determinado local a intensidade média I da radiação solar possa ser expressa em

função do tempo s, em semanas, pela fórmula: Em um período inferior a seis meses, quando ocorre a intensidade máxima de radiação solar? a) na vigésima sexta semana b) na vigésima semana c) na vigésima quarta semana d) na vigésima sétima semana e) na vigésima terceira semana

30. Dois homens carregam um cano de diâmetro desprezível, paralelamente ao chão, por um corredor de 3

3 metros de largura, que encontra ortogonalmente,outro corredor de 1 metro de largura.Na passagem de

um corredor para o outro, as extremidades do cano tocaram as paredes dos corredores e outro ponto do

cano tocou a parede onde os corredores se encontram, formando um ângulo conforme a figura abaixo.

Sendo = 60°, determine em metros o comprimento do cano.

33

0,1

a) 4,5 metros b) 6 metros c) 8 metros d) 8,5 metros e) maior que 8, 5 metros

31. Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

32. Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um certo ponto era dada por

𝑓(𝑥) = 4 + 3. cos (𝜋.𝑥

6) em que x representa o número de horas decorridas a partir de zero hora de

determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros. Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia? a)5 e 9 horas b) 7 e 12 horas c) 4 e 8 horas d) 3 e 7 horas e) 6 e 10 horas

33. O dono do restaurante percebeu que a temperatura média mensal afeta não apenas a venda de sorvetes, mas também o movimento de seu restaurante como um todo. Ele contratou os serviços de uma consultoria especializada em metereologia, que lhe forneceu uma série de fórmula para prever as temperaturas, dentre elas uma expressão do tipo T(x) = A + f (Bx + C), em que A, B e C são coeficientes que devem ser atualizados no início de cada ano. Abaixo dessa fórmula, havia uma observação, informando que a função f deveria modelar as subidas e descidas periódicas da temperatura ao longo do ano. Das funções a seguir, a única que poderia representar

34. A função real f(t) = 100 – 20 cos (θt), com t expresso em segundos, pode ser usada para modelar o comportamento ideal da pressão sanguínea de uma pessoa. O modelo por função cossenoidal está intimamente ligado ao comportamento oscilatório e periódico dos batimentos cardíacos. Considere que cada batimento se dá em um período da função. Para um indivíduo que apresenta uma frequência de 100 batimentos por minuto, o valor de θ é:

35.

36.Do solo,você observa um amigo numa roda-gigante.A altura h,em metros,de seu amigo em relação

ao solo é dada pela expressão:

)26.(

12.105,11)( tsenth

, em que t é dado em segundos e a

medida angular em radianos. Encontre o tempo gasto em uma volta completa (ou seja o período) a) P = 6 seg b) P = 12 seg c) P = 24 seg d) P = 36 seg e) P = 48 seg 37. Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita,está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que,para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por :

𝑟(𝑡) =5865

1 + 0,15. cos (0,06. 𝑡)

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de: a)12.765 km b) 12.000 km c) 11.730 km d)10.965 km e)5.865 km 38. Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude na forma decimal é: a)124,02° b) 124,05° c) 124,20° d) 124,30° e)124,50° 39. O perfil de uma telha ondulada,representada na figura abaixo pode ser descrito pela função

2cos.4)(

xxf , em que os valores absolutos de x e f(x) indicam as mediadas em

centímetros.Calcule as medidas h e d ,indicadas na figura,sendo que A e B são as cristãs de ondas. (Adotar 1,3 )

a) h = 4 cm e d = 3,1 cm b) h = 6 cm e d = 9,3 cm c) h = 8 cm e d = 12,4 cm d) h = 10 cm e d = 15,5 cm e) h = 12 cm e d = 18,6 cm 40.Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra. A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo

produto sazonal pode ser descrito pela função: 𝑃(𝑥) = 8 + 5. cos (𝜋.𝑥−𝜋

6) onde x representa o mês do

ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. Na safra, o mês de produção máxima desse produto é : a)janeiro b)abril c)junho d)julho e)outubro

GABARITOS: 1.C 2.D 3.E 4.B 5.E 6.C 7.E 8.B 9.E 10.D 11.B 12.D 13.B 14.C 15.B 16.C 17.B 18.C 19.D 20.C 21.E 22.D 23.D 24.C 25.B 26.B 27.D 28.C 29.C 30.C 31.B 32.C 33.A 34.E 35.D 36.C 37.B 38.B 39.C 40.D