trigonometria
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
FUNÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
OBJETIVO
Demonstrar a resolução de problemas envolvendo a aplicação das
funções e das identidades trigonométricas.
Ângulos
Funções trigonométricas
Identidades trigonométricas
1. Ângulos
OBJETIVO Demonstrar as relações entre graus e radianos para cálculo de medida angular.
A magnitude de um ângulo pode ser expressa em graus ou em radianos. Um ângulo de medida em graus
de 1º corresponde a de uma revolução completa na direção antihorária.
No cálculo, a unidade de medida angular mais importante é o radiano.
2 radiano = 360º
radiano = 180º
Relações entre graus e radianos
180º = radiano
Aproximando , obtemos:
1º = 0,01745 rad e 1 rad 57,29578º
Obs: Quando se dá a medida em radianos, não se indica a unidade.
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EXEMPLOS
1. Expresse 146º em radianos.
Para transformar em radiano, multiplique por
Assim,
2. Expresse 3 radianos em graus.
Para transformar radianos em graus, multiplique por
Assim,
1.1 Exercícios de Fixação
1. Converta para radianos:
a) 30º
b) 300º
c) 45º
d) 60º
e) 120º
f) 150º
2. Converta para graus:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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1.2 Saiba Mais
Site Interessante
Se você quer fazer alguns exercícios extras envolvendo graus e radianos, acesse a página http:/ /
pessoal.sercomtel.com.br/ matematica/ trigon/ trigo01a.htm
1.3 Exemplo
Determinar o domínio da função:
y = log (4x 2 x 3)
o logaritmo existe para 4x 2 x 3 > 0
= b 2 4ac
= (1) 2 4.(4).(3)
= 1 + 48
= 49
x =
x =
x =
x 1 = x 1 = x 1 =
x 2 = x 2 = x 2 = 1
logo, 4x 2 x 3 > 0, para x < ou x > 1
D =
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2. Funções Trigonométricas
OBJETIVO Demonstrar a resolução de problemas que envolvem a aplicação das funções trigonométricas.
Dado o triângulo retângulo ABC
α + β = 90º
a = hipotenusa (maior lado, oposto ao ângulo
reto)
b e c : catetos
a 2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras)
Importante
Vamos definir, para um ângulo agudo (ângulo < 90º), três números especiais. O veículo para essas é um
triângulo retângulo, mas é importante que você saiba que esses números dependem da medida do
ângulo e não do tamanho do triângulo. Isso quer dizer que, se você aumentar ou diminuir os lados do
triângulo, mantendo o ângulo, esses números não se alterarão.
DEFINIÇÕES
Seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a
hipotenusa.
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos oposto e adjacente a esse
ângulo.
Cotangente de um ângulo agudo é a razão entre os catetos adjacente e oposto a esse
ângulo.
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Cossecante de um ângulo agudo é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.
Secante de um ângulo agudo é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.
APLICAÇÃO
Utilizando um triângulo eqüilátero de lado l, calcule os senos, os cossenos e as tangentes dos ângulos
30º e 60º.
RECORDANDO...
Triângulo Eqüilátero ABC
Três ângulos de 60º
A altura AH é também mediana
A altura AH é também bissetriz
BÂH = HÂC = 30º
Lembre que...
Mediana é um segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto e, no caso do
triângulo equilátero, ele é perpendicular a esse ângulo.
Bissetriz é um segmento que divide o ângulo ao meio, formando dois ângulos
congruentes (mesma medida).
No triângulo AHC, vamos calcular o cateto h:
(por Pitágoras)
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Então:
Observação:
Em qualquer livro que tenha o conteúdo de trigonometria (Ensino Médio), você encontra uma
tabela de valores trigonométricos dos ângulos de medidas inteiras de 1º a 90º.
2.1 Exercícios de Fixação
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Utilizando um triângulo retângulo e isósceles de catetos, calcule o seno, cosseno e tangente de 45º.
Atenção: Entregue o exercício resolvido na aula de Plantão de Dúvidas.
2.2 Saiba Mais
Texto Complementar
Considerações iniciais sobre trigonometria
A trigonometria se originou dos estudos dos triângulos. O nome trigonometria referese ao estudo de
figuras de três ângulos. Dessa forma as definições iniciais referentes às funções trigonométricas foram
dadas em função dos triângulos. Elas também podem ser definidas por meio do chamado círculo
trigonométrico, em que sua periodicidade aparece de forma bem visível.
Muitos fenômenos naturais são periódicos: o nível de água das marés, a oscilação de um pêndulo, uma
corrente alternada, o batimento cardíaco, a posição de moléculas de ar transmitindo notas musicais,
dentre tantas outras.
Também é possível analisar as relações trigonométricas em estruturas cristalinas ou em estruturas que
aparecem em resistência dos materiais.
A combinação de funções trigonométricas está presente nas chamadas séries de Fourier, que é um
conceito que aparece em espectronômetros, análises de sinais (de ondas, de rádio, de som, de luz...),
nas quais, por comparação de espectros, é possível identificar composição de sinais e amostras. Pode ser
ainda utilizada em fundição, análise de vibrações de máquinas e de peças, sensores de medição de
vibração, reconhecimento de voz, análise de campos, análise das vibrações, via programas CAD/CAE/
CAM, por exemplo.
2.3 Resolução
a) Dm =
b) Dm =
c) Dm =
d) Dm = R
e) Dm =
f) Dm =
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3. Identidades Trigonométricas
OBJETIVO Demonstrar a resolução de problemas que envolvem a aplicação das identidades trigonométricas.
São cinco as relações fundamentais. Elas relacionam entre si valores das funções trigonométricas
envolvendo um mesmo arco.
I) para todo
II) para todo
III) para todo
IV) para todo
V) para todo
RELAÇÕES DERIVADAS
VI) para todo
VII) para todo
VIII) para todo
APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES
Exemplos
1º) Dado sen x = , onde 0 < x < , calcule as demais funções trigonométricas.
Resolução
Cálculo do cos x
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(positivo, pois o arco pertence ao 1º quadrante)
logo,
Cálculo da tg x
Cálculo da cotg x
Cálculo da sec x
Cálculo da cossec x
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2º) Calcule o valor da expressão:
, onde ,
sabendo que
Resolução
Escrevendo cossec x, sec x e cotg x em função de sen x e cos x, temos:
Logo, y = 3
3º) Simplifique a expressão:
Resolução
Utilizando as relações fundamentais, temos:
y = sec x
4º) Faça a substituição trigonométrica indicada e use as identidades fundamentais para obter uma
expressão trigonométrica simplificada que não contenha radicais.
; , para
Resolução
Substituindo o valor de x, temos:
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3.1 Saiba Mais
Curiosidade
Algumas informações sobre séries de Fourier
Numa pesquisa realizada em 1997 com engenheiros que atuam em empresas de grande porte da região
da serra gaúcha, constatouse que trigonometria é o conceito da matemática básica mais utilizado por
eles no seu cotidiano.
4. Gabarito
1. Ângulos
Exercício 1)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Exercício 2)
a) 150º
b) 135º
c) 210º
d) 330º
e) 22º 30'
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f) 7º 30'
5. Bibliografia
GIOVANNI, José Rui. Matemática Fundamental – 2º Grau. São Paulo: FTD, 1994.
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar – Trigonometria. São Paulo: Atual, 1993.