TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A

B

C

a

b

c

a2 = b2 + c2

⍺

=sen ⍺ca

=cos ⍺ ba

=tg ⍺ cb

⍺ + + = 90° = 90°

cateto oposto hipotenusa

sen =

cateto adjacentehipotenusa

cos =

cateto oposto tg =

cateto adjacente

=sen ba

=cos ca

=tg b

c

Se ⍺ + + = 90° = 90°

sen sen ⍺ = cos

EXEMPLOS: EXEMPLOS:

sen 30°sen 30° = cos 60°sen 10° = cos 80°

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULOTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

A

B

C

a

b

c

⍺

=sen ⍺ca

=cos ⍺ ba

=tg ⍺ cb

cateto oposto hipotenusa

sen =

cateto adjacentehipotenusa

cos =

cateto oposto tg =

cateto adjacente

=sen ba

=cos ca

=tg b

c

a2 = b2 + c2

⍺ + + = 90° = 90°

TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUERTRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO QUALQUER

A

C

Bcc

aabb

aa

sen Asen A== 2R2R

LEI DOS SENOSLEI DOS SENOS

bb

sen Bsen B==

cc

sen Csen C==

O

A B

R

C

R

LEI DOS COSSENOSLEI DOS COSSENOS

aa22 = b = b22 + c + c2 2 – 2.b.c. (cos Â)– 2.b.c. (cos Â)

SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICOSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

B’

A’O

A

BP()

M

Q sen ⍺ =1

OQ

cos ⍺ = 0Mcos

sen

SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICOSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

sen 0º = sen 0 =

cos 0º = cos 0 =

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)/2

0 ou 2O

3/2 B’(0, –1)

A(1, 0)0

1

sen 90º = sen /2 =

cos 90º = cos /2 =B(0, 1)

1

0

sen 180º = sen =

cos 180º = cos =A’(–1, 0)

0

–1

SENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICOSENO E COSSENO NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

(–1, 0)A’ A(1,0)

B(0, 1)/2

0 ou 2O

3/2 B’(0, –1)

sen 270º = sen 3/2 =

cos 270º = cos 3/2 =B’(0,–1)

–1

0

sen 360º = sen 2 =

cos 360º = cos 2 =A(1, 0)

0

1

SENO E COSSENO - SINAISSENO E COSSENO - SINAIS

SENO+ 1

– 1

+ +__

COSSENO

+ 1– 1

+

+

_

_O

BP()

M

Q

cos

sen

O

P

M

1

cos

sen

sensen22 +cos +cos22 = 1 = 1

B’

A’O A

BP()

1

Ttg ⍺ = ATtg

TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICOTANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO

SENO+ 1

+ +__

COSSENO

+ 1– 1

+

+

_

_

TANGENTE

+

+

_

_

1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental

2) tg x =sen x

cos x (cos x ≠ 0)

3) cotg x =cos x

sen x (sen x ≠ 0)=

1

tg x

4) sec x =1

cos x (cos x ≠ 0)

5) cosec x =1

sen x (sen x ≠ 0)

Adição e Subtração de Arcos

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

cos (a b) = cos a . cos b sen a . sen b

sen 75º =

sen (30º + 45º) = sen 30º . cos 45º + sen 45º . cos 30ºsen (a + b) = sen a . cos b + sen b. cos a

2

3.

2

2

2

2.

2

1

sen 75º =4

62

cos 15º =

cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30ºcos (a – b) = cos a . cos b + sen a. sen b

cos 15º =4

62

2

1.

2

2

2

3.

2

2

O valor de cos 10o cos 35o – sen 10o. sen 35º, é:

cos (a + b) = cos a . cos b - sen a. sen b

cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos (10º + 35o) =

cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º cos 45o =

= cos 10o . cos 35o – sen 10o. sen 35º

2

2

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

cos (a b) = cos a . cos b sen a . sen b

Seno e Cosseno do arco duplo

sen (2x) = 2sen x . cos x

cos (2x) = cos2 x - sen2 x

sen (x + x) = sen x . cos x + sen x . cos xcos (x + x) = cos x . cos x – sen x . sen x

sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a

cos (a b) = cos a . cos b sen a . sen b

O 0

B

A’

B’

/2

A

sen

1

O

B

A’

B’

/2

A

sen

1

O

B

A’

B’3/2

A

sen

–1

O A

B

A’

B’3/2

2

sen

–1

C D

D C

y = f(x) = sen x

0

0–110y = sen x

23/2/20x

x

y = sen x

0/2

1

–1

3/2 2

IMAGEM:

DOMÍNIO:

[-1, 1]

CRESCENTE:

DECRESCENTE:

1º. e 4º. q

2º. e 3º. q

PERÍODO: 2

Construir o gráfico da função y = 1 + sen x:

1

0

1021y = 1 + sen x

0–110sen x

23/2/20x

x

y

0/2

1

–1

3/2 2

2

–2

y = sen x y = 1 + sen x

p = 2

Im = [–1, 1]

p = 2

Im = [0, 2]

Construir o gráfico da função y = 2 sen x:

0

0

0–220y = 2 sen x

0–110sen x

23/2/20x

x

y

0/2

1

–1

3/2

2

2

–2

y = sen x y = 2sen x

p = 2

Im = [–1, 1]

p = 2

Im = [–2, 2]

O0

B

A’

B’

/2

A

cos

1 O

B

A’

B’

/2

A

cos

–1

O

B

A’

B’3/2

A

cos–1 O

A

B

A’

B’3/2

2

cos

1

D D

C C

y = f(x) = cos x

–1

1001y = cos x

23/2/20x

x

y = cos x

0/2

1

–1

3/2 2

IMAGEM:

DOMÍNIO:

[-1, 1]

CRESCENTE:

DECRESCENTE:

3º. e 4º. q

1º. e 2º. q

PERÍODO: 2

Construir o gráfico da função y = sen 2x:

0

/2

0–110y = sen 2x

23/4/40x

23/2/202x

x

y = sen x

0

/2

1

–1

3/2 2/4

3/4

[–2, 0]4ℝy = - 1 + sen (x/2)

[-1, 3]2/3ℝy = 1 + 2cos (3x + /2)

[–3, 1]2ℝy = –1 + 2sen (x + /2)

[–2, 4]ℝy = 1 + 3sen (2x)

2

2

2

2

2

Período

[2, 4]ℝy = 3 + cos (x)

[–1, 1]ℝy = cos (x)

[4, 8]ℝy = 6 + 2 sen (x)

[1, 7]ℝy = 4 + 3sen (x)

[–1, 1]ℝy = sen (x)

ImagemDomínioFunção

f(x) = a + b sen m xf(x) = a + b cos m x

O0

B

A’

B’

/2

A

tg

O

B

A’

B’

/2

A

tg

0

O

B

A’

B’3/2

A

tg

0O

A

B

A’

B’3/2

2

tg

0

C C

C C

0

0∄∄0y = tg x

23/2/20x

x

y = tg x

0/2

3/2 2

y = f(x) = tg x

x

IMAGEM:

DOMÍNIO:

CRESCENTE:

SEMPRE

PERÍODO:

{x |x 2

+ k}