21

3 TRELIÇAS

3.1 Definição

Treliça é toda estrutura constituída de barras ligadas entre si nas extremidades. O

ponto de encontro das barras é chamado nó da treliça. Os esforços externos são aplicados

unicamente nos nós.

Denomina-se treliça plana, quando todas as barras de uma treliça estão em um

mesmo plano.

Para se calcular uma treliça deve-se:

a) determinar as reações de apoio;

b) determinar as forças nas barras.

A condição para que uma treliça de malhas triangulares seja isostática é:

vbn2

onde:

b= número de barras

n= número de nós

v= número de reações de apoio

Adota-se como convenção de sinais:

barras tracionadas: positivo

setas saindo do nó

barras comprimidas: negativo

setas entrando no nó

Os esforços nas barras das treliças podem ser resolvidos por métodos gráficos e

analíticos.

Um dos vários processos analíticos usuais é o Método do Equilíbrio dos Nós,

abaixo exemplificado.

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

22

3.2 Método do equilíbrio dos nós

Inicialmente devem-se identificar os nós e verificar os tipos de reações de apoio.

No caso da treliça da figura, no

nó A tem-se um apoio móvel e no nó

B, um apoio fixo.

Como os apoios móveis

restringem somente deslocamentos os

perpendiculares ao plano do apoio,

tem-se uma reação vertical RA.

Como os apoios fixos

restringem deslocamentos paralelos e

perpendiculares ao plano do apoio,

tem-se uma reação vertical RB e uma

reação horizontal HE.

C

RA

A F

2 m

B

50 kN 100 kN

D

2 m

RE

E

2 m

HE

50 kN

Verificar se a treliça é uma estrutura isostática

barras b = 9

nós n = 6

reações v = 3

vbn2 Conclusão:

3962 a treliça é uma estrutura isostática

Cálculo do ângulo de inclinação das barras º452

2

adjacentecateto

opostocatetoarctg

a) Cálculo das reações de apoio

Equação de equilíbrio das forças na horizontal:

0HF conclusão: HE = 0

Equação de equilíbrio das forças na vertical:

0VF 05010050EA RR 200EA RR kN (1)

Equação de equilíbrio de momentos:

Como a estrutura está em equilíbrio, a somatória dos momentos em relação a qualquer

ponto da estrutura deve ser nula. Tomando-se por exemplo o nó A como referência, tem-se

0AM 021004504 ER 4

400ER 100ER kN

Substituindo o valor de RE na equação (1), tem-se:

200100AR kN logo 100AR kN

b) Cálculo das forças nas barras

Iniciar a resolução pelo nó que tiver no máximo duas forças incógnitas. As forças

devem estar tracionando o nó (seta saindo). Como não se sabe a priori se as forças nas

barras são de tração ou de compressão, adotam-se como se fossem tracionadas. Se o valor

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

23

determinado for negativo, significa que a barra está comprimida, portanto, o sentido da seta

deve ser mudado.

Nó A

A

RA

N2

N1

0HF 02N

0VF

01100 N 1001N kN

Nó B

B

100

45°

N4

50

N3

0HF

0º45cos43 NN 503N kN

0VF

0º45450100 senN 7,704N kN

Nó C

N550

100

N6

C

0HF

0550 N 505N kN

0VF

06100 N 1006N kN

Nó D

45°

50

50

N7 N8

D

0HF

0º45cos750 N 7,707N kN

0VF

0º457,70850 senN 1008N kN

Nó E

100

100

EN9

0HF 09N

Nó F Verificação

45° 45°

100

70,770,7

0,0 0,0F

0HF

0º45cos7,70º45cos7,70 0 = 0 ok

0VF

0º457,70º457,70100 sensen 0 = 0 ok

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

24

Como a treliça é simétrica, com carregamentos simétricos, os resultados das forças

que agem nos nós D e E são iguais às dos nós B e A, respectivamente. Portanto, não há

necessidade de se calcular as forças nos nós D e E.

Resultados

NAB= -100 kN compressão

NAF= 0

NBC= -50 kN compressão

NBF= +70,7 kN tração

NCF= -100 kN compressão

NCD= -50 kN compressão

NDF= +70,7 kN tração

NDE= -100 kN compressão

NFE= 0 kN

C

RA

A F

2 m

B

50 kN 100 kN

D

2 m

RE

E

2 m

HE

50 kN

2. Calcular as forças em cada barra da treliça “mão francesa” da figura.

1.0

m

C

2.0 m

40 kN

AHA

1.0

m

E

2.0 m

D

20 kN

RB

HB B

Cálculo dos ângulos de inclinação das barras

º43,631

2arctg º56,26

2

1arctg

a) Cálculo das reações de apoio

0HF 40BA HH kN

0VF 020BR 20BR kN

0BM 01402402AH 60AH kN 20BH kN

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

25

b) Cálculo das forças nas barras

Nó B

N2

N1

63.4°

20 kN

20 kN

B

0HF

022 senN 4,222N kN

0VF

0cos2120 NN 101N kN

Nó A

60

N3

100

26.6°

A

N4

10

0HF

0346 senNN

04,2246 senN 404N kN

0VF

0cos310 N 4,223N kN

Nó E

40 N6

E

N5

0HF 406N kN

0VF 05N kN

Nó D

26.6°

N7

40D

20

0VF

0720 senN 7,447N kN

0HF

0cos7,4440 sen 0 = 0 ok

Nó C

22,4 44,70,0

22,4

26.6° 40C

0HF

0cos7,4440cos4,22cos4,22 =0 kN

0VF

07,444,224,22 sensensen

10+10-20 =0 ok

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

26

Resultados

NAB= +10 kN tração

NAC= -22,4 kN compressão

NBC= +40 kN tração

NBC= +22,4 kN tração

NCE= 0

NCD= +44,7 kN tração

NED= +40 kN tração

1.0

m

C

2.0 m

40 kN

AHA

1.0

m

E

2.0 m

D

20 kN

RB

HB B

Exercícios

1. Determine a força em cada barras das treliças ilustradas. Indique se cada barra está

tracionada ou comprimida.

1.

FAB = 8 kN C

FAC = 10 kN T

FBC = 8,545 kN T

C1.2m

A

9000 N

2.4m

0.9

m

B

A

400mm

B C

500mm

37

5m

m

1200 N

2.

FAB = 3 900 N T

FAC = 4 500 N C

FBC = 3600 N C

3.

FAB = FDE = FBG = FDI = 0;

FAF = FCH = FEJ = 400 N C;

FBC = FCD = 800 N C;

FBF = FDJ = 849 N C;

FBH = FDH = 283 N T;

FFH = FGH = FHI = FIJ = 600 N T

a a a

a

B C D E

G H I J

400 N 400 N 400 N 400 N

F

a

A

400 N

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �

27

2,7

m

9000 N

F

3,6m

E

2,7

m

DC

9000 N BA

4.

FAB = 9 kN;

FAC = 0;

FBC = 11,25 kN C

FBD = 6,75 kN T;

FCD = 18 kN T

FCE = 6,75 kN C;

FDE = 22,50 kN C

FDF = 20,25 kN T

5.

FAB = FDE = 8 kN C

FAF = FFG = FHE = 6,93 kN T

FBC = FCD = FBG = FDE = 4 kN C

FBF = FDH = FCG = 4 kN T

a a aa

30° 30° 30° 30°

G

C

F H

4 kN4 kN

A E

DB

FD E3,6 m 3,6 m

100 kN

A1,5 m

1,5 m

1,5 m

B

C6.

FAB = 130 kN T

FAD = 100 kN T

FAE = 130 kN C

FBC = 173,5 kN T

FBE = 50 kN T

FBF = 52,05 kN C

FCF = 33,35 kN T

FDE = 0

FEF= 1120 kN C

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � �