Tratamento de Dados geológico Geoestatística
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MDULO 4INTRODUO
GEOESTATSTICA
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GEOESTATSTICA Estudo estatstico de variveis relacionadas com
as Cincias da Terra. Tpico especial da estatstica aplicada que trata de
problemas referentes s variveis regionalizadas(VR).
Trata com variveis que tem associada uma
posio no espao e/ou no tempo. Pode envolver a estimativa da variao
regionalizada em uma, duas ou trs dimenses.
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Varivel regionalizada
Varivel regionalizada aquela
que mostra caractersticasintermedirias entre variveisverdadeiramente casuais e ascompletamente determinsticas.
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GEOESTATSTICAOrigem: Matheron , dcada de 60 do sculo XX.
(Risk: primeiro livro).
Objetivo: - Estimar valores mdios, valores emoutra posio (interpolar), avaliar incerteza.
A interpolao clssica usa a GEOMETRIA
ANALTICA.A interpolao geoestatstica (ESTIMAO) usa
ESTATSTICA na interpolao.
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Seqenciais Espaciais
Temporais Em perfisz = f(x,y)z=varivel dependentex,y=coord. geogrficas
y = f(t)y=varivel dependente
t =var. independente
y = f(x)y = varivel dependente
x=var. independente
Software
Grapher
Software
Surfer
TcnicasSuavizao (spline)FiltragemContorno
Superfcies de tendnciaKrigagemGradientereas e volumes
TcnicasAnlise de tendnciaCorrelao e Regresso linearSuavizao (spline)Filtragem: Mdia mvel
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ANLISE DE TENDNCIA
Componentes regional e local de uma anomalia aolongo de um perfil.
a) Dados observados e anomalia regional assumida; b) Anomalia residual ou local, obtida da diferena entre
os valores observados e os valores regionais.
Regional linear
X
Residual
b)
Gradien
tereg
ionala
ssumid
o
Dad
os
obs
erv
ados
a)
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Suavizao em perfis
spline smoothing,
0 20 40 60 80 100 120 140
distncia (m)
0
2
4
6
8
cota(m)
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PERFIS EXEMPLO Exemplo de perfil: dados relativos a um perfil altimtrico, napraia do Paiva, litoral sul do Recife.
X (m) Y (m) X (m) Y (m)
0,00 6,000 53,42 2,311
6,10 5,118 60,39 2,08915,10 4,860 70,34 1,857
17,50 5,207 81,99 1,764
20,75 4,940 91,32 1,605
24,70 4,771 98,82 1,405
27,65 5,172 111,47 1,100
30,40 4,394 121,47 0,830
34,35 3,817 131,47 0,605
46,37 2,632
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Valores medidos ligados por segmentos de reta. Valores intermedirios podem ser estimados por interpolao linear. Lidos
na escala do grfico.
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0 20 40 60 80 100 120 140
distncia (m)
0
2
4
6
8
co
ta(m)
SUAVIZAO - SPLINE
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Valores intermedirios podem ser estimados atravs de leitura naescala do grfico.
Observe que os valores estimados neste grfico podem diferir
daqueles estimados no grfico anterior.
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Mdia mvel
0 40 80 120 160
0
40
0 40 80 120 160
0
40
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Mdia mvel
mdia mvel Considere as seguintes leituras ao longo de um perfil:
A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. L. M. Define-se:
Mdia mvel simples de 3 pontos:
Mdia mvel ponderada de 3 pontos:
Mdia mvel ponderada de 5 pontos:
3
CBAB
4
CB2A
B
10
ED2C4B2AC
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MDIA MVEL .A .B .C .D .E .F .G .H .I .J .L .M
Define-se:
Mdia mvel simples de 3 pontos:
.B .E .H .L
3
CBAB
3
FEDE
3
MLJL
3
IHGH
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MDIA MVEL
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Mdia mvel ponderada de 3 pontos:
Mdia mvel ponderada de 5 pontos:
4
CB2AB
4
FE2DE
4
ML2JL
10
242 EDCBAC
10
242 JIHGFH
i id d d l d C
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PERFIS EXEMPLO (Maranho, 1989):
Foram feitas leituras cintilomtricas em estaesdistanciadas de 25 ft durante um curso sobreprospeco de Urnio.
Vamos usar a tabela a seguir com as leiturasefetuadas para elaborar um grfico yversus xcom a posio das estaes.
Para elaborar o grfico necessrio escolher e
usar uma escala adequada aos valores medidos. Representar as leituras cintilomtricas usando amdia mvel ponderada para trs estaes.
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Exemplo (Maranho, 1989):
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x (ft) x (m) Y0 0 11
25 7,62 11
50 15,24 12
75 22,86 15100 30,48 18
112,5 34,29 21
125 38,1 24
150 45,72 25
175 53,34 30
200 60,96 36
225 68,58 22
250 76,2 18
275 83,82 15
U i id d F d l d C
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PERFIS EXEMPLO
(Maranho, 1989):
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05
10152025303540
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90Leit.cint.(choques/min.
distncia (m)
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SRIES TEMPORAIS - EXEMPLO Nas sries temporais o objetivo usar
dados histricos para determinartendncias e fazer previses.
A tabela exibe a produo deconcentrados de tungstnio no
Brasil, no perodo compreendido entre1963 e 1974 (Maranho, 1989). A significncia da correlao
avaliada a partir do clculo docoeficiente de correlao linear dePearson.
Caso a correlao seja significantecalcula-se a reta de regresso linear. Ento pode-se estimar a produo
prevista para 1976, assumindo que areta de regresso representa atendncia da produo.
t (ano) Y (ton)
1963 609
1964 354
1965 420
1966 5811967 630
1968 766
1969 876
1970 995
1971 1444
1972 1508
1973 1668
1974 1641
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Produo anual de tungstnio y = 126.97x - 248987
R2= 0.8936
0
500
1000
1500
2000
1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976
Y(
ton)
1900 ton
Equao da reta
1905248987197697,126 xy
Coeficiente dedeterminao
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DADOS NO ESPAO 3D Quando um conjunto de medidas de uma
varivel est posicionado em mapa, tem-se o interesse de construir um mapa decontorno para representar esta varivelatravs de linhas de isovalores (linhas decontorno).
Para isso torna-se necessrio utilizarprocedimentos de interpolao ou deestimao.
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DADOS NO ESPAO
ESTATSTICA ESPACIAL:
OBJETIVO: Estudo estatstico de dadosque apresentam distribuio espacial.
Processos espaciais:O objeto de interesse a varivel z, onde:
z = f(x) : x D (domnio espacial).10/06/2015 21
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DADOS NO ESPAO
Superfcie de tendncia: a interpolao efetuadacalculando o valor de z em expresses (polinmos), taiscomo:
z=a+bx+cy (polinmio linear equao de 1 plano)
z=a+bx+cy+dx2
+ey2
+fxy (expresso polinomial de grau 2)(as representaes so definidas pelas funes ajustadas
aos valores medidos)
A estimao de valores de variveis regionalizadas
efetuada a partir de um conjunto de valores medidos. As linhas de contorno ou isolinhas so obtidas a partir da
estimao de valores nos ns de uma malha regular(grid).
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Varivel regionalizadaA varivel regionalizada pode ser
expressa atravs de umafuno numrica
com uma distribuio espacial, que variade uma posio a outra com continuidadeaparente, mas cujas variaes no podem
ser representadas por uma funodeterminstica (fonte: Blais &Carlier, 1968, Olea, 1975).
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Varivel regionalizada
Exemplos:
teor, espessura, acumulao e densidade de
um minrio; porosidade e permeabilidade de um aqfero;
cota do fundo ocenico ou de um terreno;
profundidade ou espessura de uma camada; precipitao pluviomtrica;
altura potenciomtrica de um aqfero.
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Varivel regionalizadaAs principais caractersticas de uma varivel
regionalizada so: Localizao: f (x,y, caracterstica/atributo), ou z = f(x,y). Carter aleatrio: variaes imprevisveis de um ponto
para outro. Continuidade ou Transio: a continuidade geogrfica
atribuda se manifesta pela tendncia que a varivel temde apresentar valores muito prximos em dois pontos
vizinhos e mais diferentes medida que estes pontosvo ficando mais distantes.Anisotropia: podem apresentar variaes graduais em
uma certa direo e rpida ou irregular em outradireo.
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Interpolao X Estimao
Interpolao: CALCULA o valor do atributoem uma posio atravs de umaexpresso matemtica obtida a partir deum conjunto de valores medidos.
Estimao: ESTIMA o valor do atributo
utilizando a estatstica aplicada a umconjunto de valores medidos em vriasposies.
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Interpolao usandogeometria
y
cm
5
20100
2520
500y
25150 y
150
250
520
100 y
175
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U e s dade ede a do Cea Centro de CinciasDepartamento de Geologia
Interpolao X Estimao
Os procedimentos de interpolao soaqueles que utilizam expresses
matemticas (geometria analtica). Os procedimentos de estimao usamcritrios probabilsticos.
O valor do atributo ESTIMADOutilizando a estatstica aplicada a umconjunto de valores medidos em vriasposies.
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Interpolao e contorno (exemplo)
Os dados a seguir so hipotticos; os valores dex e y do o posicionamento das medidasrepresentadas por z, que podem ser cotas da
superfcie, por exemplo.Deseja-se traar as curvas de nvel de valores80, 90 e 100 m.
Traar manualmente as curvas de nvel usando
uma interpolao linear para os valoresvizinhos.O traado destas linhas de contorno pode ser
realizado usando softwares (Surfer).10/06/2015 29
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x (m)
(W E)
y (m)
(S N)
z (m)
110 795 75
130 435 85
155 75 92
575 940 81
590 455 91
615 725 84
660 145 97
1100 945 89
1100 210 101
1130 610 9610/06/2015 30
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Mapa de pontos
75
85
92
81
91
84
97
89
101
96
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 12000
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
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Representao
da tendncia poruma superfcieplanar.
Representao da
tendncia por umasuperfcie estimadapor krigagem.
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In terpo lao/Est imao
Grid - malha
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Superfcie de tendncia
Exemplo (Davis, 1986):Dez furos de sonda executados em uma rea
para a prospeco de petrleo atingiram a basede um horizonte-guia nas profundidadesindicadas na tabela abaixo. A partir destesdados, calcule e determine os mapas detendncia e de resduo de primeira ordem.Mapa de contorno das cotas do horizonte-guia
(escala de 1/1.000.000).Clculo da equao do plano
cybxaz
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Anlise de tendncia
Superfcie de tendnciaGrau da superfcie de tendncia Nmero mnimo de pontos
1a ordem 9
2a ordem 18
3a ordem 30
4a ordem 45
5a
ordem 63
6a ordem 75
7a ordem 108
8a ordem 135
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Universidade Federal do Ceard
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x (km) y(km) z(m)
W - E S - N Cota10 17 -665
21 89 -613
33 38 -586
35 20 -440
47 58 -544
60 18 -343
65 74 -45582 93 -437
89 60 -354
97 15 -142
Universidade Federal do CearC t d Ci i
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539x
482y
4579z
36943x2
31692y 2
2312049z2
27030xy
211098xz
232337 y z10/06/2015 37
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10n
9,53x
2,48y 9,457z
9,7890n
x
xS
2
22
x
6,8459n
yyS
2
22
y
9,215324
n
zzS
2
22
z
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2,1050
n
yxxyS
xy
1,35710n
zxxzS
xz
2,11629n
zyy zS
yz
xzxy
2
x ScSbS
yz
2
yxy ScSbS
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1,35710c2,1050b9,7890
2,11629c6,8459b2,1050
7960,4b 9701,1c
2850,621
2,48.9703,1
9,53.7932,49,457
a
a
ycxbza
y9701,1x7960,42850,621z
Da,
Obteno de a na expresso:
Da,
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z= valor observado
= valor calculado ou regionalz
zzResduo =
Poo x y Z Resduo
1 10 17 -665 -607 -58
2 21 89 -613 -696 83
3 33 38 -586 -538 -48
4 35 20 -440 -493 53
5 47 58 -544 -510 -34
6 60 18 -343 -369 26
7 65 74 -455 -456 1
8 82 93 -437 -411 -26
9 89 60 -354 -313 -41
10 97 15 -142 -186 44
z
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2
z
2
z
S
Sr
9,194316
n
zzS
2
22
z
95,09,215324
9,194316r 90100
2r
Clculo do coeficiente de correlao linear mltipla:
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(interpolao): Exemplo
X (Km) Y (Km) T (m2/dia)
0,876 0,138 2,9
0,188 0,214 2,5
2,716 2,119 4,7
2,717 2,685 4,2
3,739 0,031 4,2
1,534 1,534 2,1
2,078 0,267 2,4
3,324 1,670 5,8
+
Fonte:KITANIDIS, 199710/06/2015 43
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Mtodos de estimao:exemplo
Vamos agora utilizar os valoresobservados de Transmissividade paracalcular o valor de To (+) na posio (2,2).
Para calcular este valor necessrio
estabelecer os valores dos coeficientesa serem utilizados.
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Tipos de estimadores Lineares:
No lineares: os estimadores no lineares exigemque a varivel seja gaussiana ou normal.
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1
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EXEMPLOX (Km) Y (Km) T (m
2
/dia) Critrio
0,876 0,138 2,9
0,188 0,214 2,5
2,716 2,119 4,7
2,717 2,685 4,2
3,739 0,031 4,2
1,534 1,534 2,1
Pto. prximo
Pto. prximo
0,24
0,24
2,078 0,267 2,4
0,07
0,07
0,07
0,07
3,324 1,670 5,8
Pto. a mdia distncia
Pto. a mdia distncia
0,12
0,12
Soma 1,00
Pto. distante
Pto. distante
Pto. distante
Pto. distante
T
0,21
0,18
1,12
0,50
0,30
0,50
0,17
0,69
3,67
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Representao dos coeficientes utilizados e
valores de transmissividade medidos e o valor calculado.
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INTERPOLADORES EXEMPLOO arquivo de dados foi retirado do arquivo example.dat, que acompanha o programa
GeoEas, para a varivel Cadmio (Cd).LANDIM, P.M.B. Introduo aos mtodos de estimao espacial para confeco de mapas.
DGA,IGCE,UNESP/Rio Claro, Lab. Geomatemtica,Texto Didtico 02, 20 pp. 2000. Disponvel em http://www.rc.unesp.br/igce/aplicada/
X Y Cd X Y Cd X Y Cd
288 311 11,5 434,4 312 5,5 412,8 150 10
285,6 288 8,5 451,2 295 4 492 282 7,1
273,6 269 7 448,8 268 7 492 249 4,4
280,8 249 10,7 432 252 5,3 492 315 10,4
273,6 231 11,2 441,6 228 11,6 492 150 1,6
276 206 11,6 441,6 204 9 444 190 15285,6 182 7,2 444 182 14,5 436,8 240 3,4
288 164 5,7 441,6 160 12,1 360 195 6,8
292,8 137 5,2 432 140 0,9 345,6 210 10,8
278,4 119 7,2 444 119 0 254,4 216 14,9
360 315 3,9 254,4 172 3,2 280,8 216 9,9
355,2 291 9,5 254,4 128 1,2 307,2 216 11,6
367,2 272 8,9 254,4 299 1,7 333,6 216 6,5
367,2 250 11,5 333,6 301 1,2 360 216 10,1352,8 226 10,7 333,6 271 7,6 386,4 216 11,8
350,4 203 8,3 333,6 194 11,6 412,8 216 11
369,6 180 6,1 333,6 163 8,7 439,2 216 16,7
369,6 165 6,7 412,8 285 5,8 465,6 216 11,6
357,6 139 6,2 254,4 257 3,8 492 216 6,9
355,2 118 0
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rpido, porm tem uma tendncia de gerar olhos de isolinhasconcntricas em torno dos pontos de observao.
Original: com fator para suavizao:
Z = valor da varivel no n da malhaZi = menor distncia entre o ponto de observao e o n
hij = distncia entre o n e o ponto de observao = potncia utilizada = parmetro de suavizao
A potncia determina quo rapidamente decresce o valor dainfluncia do valor observado quando a distncia aumenta.
INVERSO DA DISTNCIA
n
i i j
n
i i j
i
h
h
z
Z
1
1
1
n
i ij
n
i ij
i
h
h
z
Z
1
1
)(
1
)(
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KRIGING
um dos mtodos mais flexveis, indicado para interpolar qualquer dos
diversos tipos de observaes. Em geral, este o mtodopreferencialmente
recomendado, porm pode ser maislento quando o nmero deobservaes muito grande.