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3 - Transporte em Nanoestruturas

Regiane Ragi

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1.2 Algumas considerações físicas

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Em condutores macroscópicos, a resistência que se verifica existir entre dois contatos está relacionada

com a condutividade do bulk (*) e às dimensões do condutor.

(*) Grandes quantidades de volume de material semicondutor

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Esta relação pode ser expressa por

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Onde σ é a condutividade, e L e A são o comprimento e a área da seção transversal do condutor, respectivamente.

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Se o condutor é bi-dimensional, uma superfície, tal como uma folha fina de metal, ou de cargas, então a condutividade é a condutância por metro quadrado, e a área da seção transversal fica, neste caso, sendo apenas a largura W, como é o caso do MOSFET.

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Isto altera a fórmula básica levemente,

mas o argumento pode ser estendido a qualquer número de dimensões.

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Assim, para um condutor de d dimensões, a área da seção transversal tem a dimensão

A = Ld-1,

onde L aqui deve ser interpretado como um "comprimento característico“ na dimensão espacial considerada.

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Em seguida, pode-se reescrever a resistência de forma genérica, como

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Aqui, σd é a condutividade em d dimensões.

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Enquanto normalmente se pensa na condutividade, em termos simples, como

σ = neμ,

o termo d dimensões depende da densidade d-dimensional que se é usada nesta definição.

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Assim, em três dimensões, devemos escrever

σ3

definida a partir da densidade por unidade de volume, enquanto que, em duas dimensões, escrevemos

σ2

definida como a condutividade por unidade de área, e a densidade é a densidade dos portadores na folha de cargas ou na superfície de cargas.

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Não se espera que a condutividade, seja ela em qualquer dimensão, varie muito com a dimensão característica, de modo que podemos tomar o logaritmo da última equação,

e em seguida, tomamos a derivada em relação a ln (L), o que leva a

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Este resultado é esperado para sistemas condutores macroscópicos, onde a resistência é relacionada com a condutividade através da equação

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Podemos pensar nesse limite como o limite do

bulk, no qual qualquer comprimento característico é grande comparado com qualquer comprimento característico de transporte.

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Todavia, em condutores

mesoscópicos,

o exposto anteriormente não é necessariamente verdade, uma vez que temos de começar a considerar os efeitos de transporte balístico através do condutor.

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Para o transporte balístico, geralmente se adota a visão de que os portadores de carga se movem através da estrutura com muito pouco ou nenhum espalhamento, de modo que ele segue trajetórias normais no espaço de fase.

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Vamos primeiro considerar uma situação simples.

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Assumimos anteriormente que a condutividade é independente do comprimento, ou que σd é uma constante.

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No entanto, se houver espalhamento superficial, o qual pode dominar o caminho livre médio, então pode-se esperar que

l = L

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Desde que

l = vFτ,

onde vF é a velocidade de Fermi em um semicondutor degenerado e τ é o tempo livre médio, isto leva a

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Consequentemente, a dependência do tempo livre médio sobre as dimensões do condutor muda o comportamento básico do resultado macroscópico

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Esta é a mais simples das modificações.

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No tratamento da perturbação ou no espalhamento, os portadores são localizados, porque o tamanho do condutor cria estados localizados cuja diferença de energia é maior do que a excitação térmica, e a condutância vai ser, neste caso, muito baixa.

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Na verdade, podemos realmente ter a resistência apenas da ordem de

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Onde α é uma pequena quantidade.

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O fator exponencial surge a partir da suposição de tunelamento entre locais vizinhos:

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O fator -1 é necessário para o limite adequado quando consideramos αL > 0.

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Pensamos na forma da equação

como resultante dos portadores localizados tunelando de um local para outro

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daí a dependência exponencial no comprimento,

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com o fator de unidade adicionado para permitir o limite adequado para pequenos valores de L.

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Então, a relação de escala

se modifica para

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Nesta situação, a menos que a condutância seja suficientemente elevada, o transporte é localizado e os portadores movem-se por saltos.

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O valor necessário tem sido chamado de

condutividade metálica mínima,

mas o seu valor não é dado pelos presentes argumentos.

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Aqui nós só queremos salientar a diferença nas relações de escala entre os sistemas que são altamente condutores (tipo-bulk) com aqueles que são em grande parte localizados devido ao elevado grau de desordem.

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Em um sistema altamente desordenado, as funções de onda decaem exponencialmente para longe do local específico em que o portador está presente.

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Isto significa que não existe um comportamento ondulatório de longo alcance do aspecto do portador.

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Por outro lado, pelos estados estendidos do tipo bulk queremos dizer que o portador tem natureza ondulatória e tem um vetor de onda k bem definido e momento ħk.

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A maioria dos sistemas mesoscópicos têm espalhamento suficiente para que os portadores não tenham um comportamento totalmente ondulatório, mas eles são suficientemente ordenados para que os portadores não sejam exponencialmente localizados.

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Assim, quando falamos de transporte por difusão, geralmente significa estados quase-ondulatórios com taxas espalhamento muito elevadas.

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Esses estados não são nem do tipo de elétrons livres, nem totalmente localizados.

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Temos que adotar conceitos de ambas as situações.

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A justificativa para tal ponto de vista encontra-se nas expectativas de quantização em tais condutores mesoscópicos pequenos.

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Nós assumimos que a amostra de semicondutor éde tal modo que os elétrons se movam em um potencial que é uniforme numa escala macroscópica mas que varia na escala mesoscópica, de tal modo que os estados sejam desordenados na escala microscópica.

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No entanto, supõem-se que toda a banda de condução seja não localizada, mas que mantém uma região no centro da banda de energia que tem estados estendidos e uma condutividade diferente de zero conforme a temperatura seja reduzida a zero.

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Para este material, a densidade de estados eletrônicos por unidade de energia por unidade de volume é dada simplesmente pela familiar relação

dn/dE.

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Uma vez que o condutor tem um volume finito, os estados eletrônicos são níveis discretos determinados pelo tamanho deste volume.

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Estes níveis de energia individuais são sensíveis às condições de contorno aplicadas nas extremidades da amostra (e dos “lados") e pode estar deslocado por pequenas quantidades na ordem de ħ/τ, onde τ é o tempo necessário para um eletron difundir para a extremidade da amostra.

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Em essência, um está definindo aqui um alargamento dos níveis que é devido ao tempo de vida finito dos elétrons na amostra, um tempo de vida determinado não pelo espalhamento, mas sim pela saída dos portadores da amostra.

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O outro, por sua vez, define um comprimento máximo coerência em termos do comprimento da amostra.

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Este comprimento de coerência é aqui definido como a distância sobre a qual os elétrons perdem sua memória fase, o qual nós supomos ser o comprimento da amostra.

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O tempo requerido para se difundir para a extremidade do condutor (ou de uma extremidade para a outra) é

L2 / D,

onde D é a constante de difusão para o elétron (ou lacuna, quando for o caso).

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A condutividade do material está relacionada à constante de difusão, D, da seguinte maneira:

(Nós assumimos por enquanto que T = 0)

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onde usamos o fato de que

,

onde d é a dimensionalidade, e

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Se L é agora introduzido como um comprimento efetivo, e t é o tempo para a difusão, ambos a partir de D, encontramos

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A quantidade do lado esquerdo da equação

pode ser definida como o alargamento médio dos níveis de energia ∆Em, e a razão adimensional dessa largura com o espaçamento médio dos níveis de energia pode ser definida como

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Finalmente, alteramos o número total de portadores

de modo que,

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Esta última equação é considerada frequentemente com um fator 2 adicional para explicar a dupla degenerescência de cada nível decorrente do spin do elétron.

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Uma outra maneira de olhar para esta equação

é notar que um condutor conectado a dois reservatórios metálicos irá transportar uma corrente definida através da diferença nos níveis de Fermi entre as duas extremidades, a qual é assumida ser

eV.

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Agora há

estados contribuindo para a corrente, e cada um desses estados transporta a corrente

e/t

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Assim, a condutância total é

a qual leva diretamente à equação

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A quantidade do lado esquerdo da equação

é de interesse para se definir a condutividade metálica mínima .

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Num material desordenado, a razão entre a energia de sobreposição entre diferentes locais e o alargamento induzido por desordem dos níveis de energia é importante.

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A primeira quantidade está relacionada com a largura das bandas de energia.

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Se esta razão é pequena, é difícil corresponder a largura do nível de energia em um local, com aquele de um local vizinho, de modo que as energias permitidas não se sobreponham e não exista qualquer condutividade apreciável através da amostra.

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Por outro lado, se a razão for grande, os níveis de energia facilmente se sobrepõem e temos bandas de energia permitidas, de modo que há funções de onda estendidas e uma grande condutância através da amostra.

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A razão

apenas expressa essa quantidade.

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O fator

está relacionado com uma unidade fundamental da condutância e é apenas

siemens (o inverso é apenas 4,12 kΩ).

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Agora é possível definir uma condutância adimensional, chamada por Anderson e colaboradores de número de Thouless, em termos da condutância como

Onde

é a condutância real no sistema altamente condutor.

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Estes últimos autores realizaram uma teoria de escalonamento com base na teoria de grupo de renormalização, que nos dá a dependência em relação ao comprimento de escala L e a dimensionalidade do sistema.

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Os detalhes de tal teoria estão além do presente estudo. No entanto, podemos obter a forma limitante de seus resultados a partir dos argumentos acima.

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O fator importante é um expoente crítico para a condutância reduzida g(L) que pode ser definida por

que é apenas a equação

reescrita em termos da condutância ao invés da resistência.

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Pela mesma razão, podemos reescrever a equação

para o estado de baixa condução resultar em

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O que a teoria de escalonamento completa fornece é a conexão entre esses dois limites, quando a condutância nem é tão grande nem tão pequena.

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Para três dimensões, o expoente crítico muda de negativo para positivo à medida que se vai de baixa condutividade para alta condutividade, de modo que o conceito de uma mobilidade em condutores desordenados (e amorfos) é realmente interpretada como o ponto onde β3 = 0.

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Isto é esperado que aconteça onde a condutância reduzida é a unidade, ou para um valor de condutância total de

(O factor π/2 surge de um tratamento mais exato).

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Em duas dimensões, não existe um valor crítico do expoente, uma vez que é sempre negativo, aproximando de zero assintoticamente.

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Em vez de uma mobilidade de borda acentuada, existe uma passagem de localização universal logarítmica na grande condutância à localização exponencial na condutância pequena.

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Este mesmo crossover aparece em uma dimensão, bem como, com exceção da localização logarítmica que é muito mais forte.

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Assim, espera-se que todos os estados serão localizados para d <2 se não houver nenhuma desordem no condutor.

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Esta é a origem da dependência no tamanho que é observada em estruturas mesoscópicas.

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Na verdade, podemos constatar que, no caso de espalhamento superficial, o fator adicional de L na condutividade leva imediatamente a variação nacondutância como Ld-1, o que dá o valor resultante de

imediatamente para duas dimensões.

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Continua ...