Aula Processos Transf de Calor - Calculo Trocador de Calor Guia
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UNIVRSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Transmissão de calorTransmissão de calor
3º ano
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1
Aula 11 # 5. Métodos Numéricos em Transferência de Calor
Formulação de Equações Diferenciais pelo Método de
Diferenças Finitas
Condução Unidimensional em Regime Permanente
Condução Bidimensional em Regime PermanenteCondução Bidimensional em Regime Permanente
Condução Unidimensional em Regime Transiente
Condução Bidimensional em Regime Transiente
Solução das Equações de Elementos Finitos
Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 2
Solução das Equações de Elementos Finitos
5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
Até agora consideraram-se problemas de condução de calor Até agora consideraram-se problemas de condução de calor Até agora consideraram se problemas de condução de calor
relativamente simples envolvendo geometrias simples com
condições de contorno simples, pois só estes problemas
Até agora consideraram se problemas de condução de calor
relativamente simples envolvendo geometrias simples com
condições de contorno simples, pois só estes problemas
podem ser resolvidos analiticamente. Muitos dos problemas
encontrados na prática, envolvem geometrias complexas com
podem ser resolvidos analiticamente. Muitos dos problemas
encontrados na prática, envolvem geometrias complexas com
condições de contorno também complexas ou propriedades
variáveis e não podem ser resolvidos analiticamente. Em tais
condições de contorno também complexas ou propriedades
variáveis e não podem ser resolvidos analiticamente. Em tais
casos, soluções aproximadas, suficientemente precisas podem
ser obtidas por computadores usando um método numérico.
casos, soluções aproximadas, suficientemente precisas podem
ser obtidas por computadores usando um método numérico.
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5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
Os métodos numéricos para resolver equações diferenciaisOs métodos numéricos para resolver equações diferenciais,
baseiam-se na substituição das equações diferenciais por
õ l éb i N d é d l d difequações algébricas. No caso do método popular de diferenças
finitas, isso é feito através da substituição das derivadas pelas
diferenças.
As derivadas são os blocos de construção das equações
diferenciais, assim primeiro vai-se fazer uma breve revisão das
derivadas.
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5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
Considere-se uma função f que depende de x, como se apresenta na figura Ase apresenta na figura. A primeira derivada de f(x)num ponto, é equivalente a inclinação de uma linha çtangente à curva nesse ponto e é definida como:
( ) ( )0 0
( ) lim limx x
f x x f xdf x fdx x xΔ → Δ →
+ Δ −Δ= =
Δ Δ(5.1)
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dx x xΔ Δ
5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
que é a razão enrtre o incremento Δf da função e o incrementoque é a razão enrtre o incremento Δf da função e o incremento
Δx da variável independente, quando Δx→0. Se não se tomar
em conta o limite indicado tem se a seguinte relaçãoem conta o limite indicado, tem-se a seguinte relação
aproximada para a derivada:
( ) ( )( ) f x x f xdf xdx x
+Δ −≅
Δ(5.2)
Esta equação aproximada da derivada, na forma de diferenças, é
a expressão de diferenças finitas da derivada de primeira ordem
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a expressão de diferenças finitas da derivada de primeira ordem.
5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
Considere se a transferência de calorConsidere-se a transferência de calor unidimensional em regime estacionário, numa parede plana de espessura L, com geração de calor. Aespessura L, com geração de calor. A parede é subdividida em M secções de igual espessura Δx = L/M na direcção x, separadas por planos que passam p p p q ppor M + 1 pontos 0, 1, 2,. . . , m - 1, m, m + 1,. . . , M chamados nós ou pontos nodais, como se mostra na figura. A coordenada x de qualquer ponto m é simplesmente xm=mΔx, e a temperatura nesse ponto é T(xm)=Tm.
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5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
A equação de condução de calor envolve derivadas de segunda ordem de temperatura em relação às variáveis espaciais naordem de temperatura em relação às variáveis espaciais, na forma d2T/dx2 e a formulação de diferenças finitas baseia-se na substituição das derivados de segunda ordem pelas diferenças adequadas. Para iniciar o processo precisa-se de ter as derivadas de primeira ordem. Usando a Equação 5.2, a primeira derivada da temperatura dT/dx nos pontos médios m-½ e m+½ p pdas secções em torno do nó m pode ser expressa como:
T T T TdT dT1 1
1 12 2
e m m m m
m m
T T T TdT dTdx x dx x
− +
− +
− −≅ ≅
Δ Δ(5.3)
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5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
É de notar que a segunda derivada é simplesmente a derivada da primeira derivada. A segunda derivada da temperatura no nó mpode ser expressa como:
1 11 121 12 2
2 2
2 = =m m m m
m mm m m
dT dTT T T T
dx dx T T Td T x xd
+ −+ −
+ −
− − −− − +Δ Δ≅
Δ Δ Δ(5.4)
2 2mdx x x xΔ Δ Δ
que é a representação em diferenças finitas da derivada segunda num nó interno geral m. Note-se que a segunda derivada da temperatura num nó m é expressa em termos das temperaturas no nó m e dos seus dois nós vizinhos
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no nó m e dos seus dois nós vizinhos.
5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
Então a equação diferencial:2
2 0d T gdx k
+ =&
(5.5)
que é a equação governante para transferência de calor bidimensional em regime estacionário de em uma parede plana
ã d l d ti id d té i t t d
2T T T g+ &
com geração de calor e condutividade térmica constante, e pode ser expressa sob a forma de diferenças finitas como:
1 12
2 0, 1,2,3,..., -1m m m mT T T g m Mx k
+ −− ++ = =
Δ(5.6)
Onde g é a taxa de geração por unidade de volume no nó m
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Onde gm é a taxa de geração por unidade de volume no nó m.
5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
A formulação de diferenças já vista, pode ser facilmente estendida à problemas de transferência de calor bi ou tridimensionaisà problemas de transferência de calor bi ou tridimensionais, substituindo cada segunda derivada de uma equação de diferenças finitas nesse sentido. Por exemplo, a formulação de diferenças finitas para condução de calor bidimensional em regime estacionário numa região com geração de calor e ondutividade térmica constante pode ser expressa em
1 1 1 12 20m n m n m n m n m n m n m nT T T T T T g+ − + −− + − + &
(5 7)
p pcoordenadas rectangulares como:
1, , 1, , 1 , , 1 ,2 2 0m n m n m n m n m n m n m ng
x y k+ ++ + =
Δ Δ(5.7)
Para m=1,2,3,…M-1 e n=1,2,3,…N-1 num qualquer nó interiro
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(m,n)
5. 1 Formulação de Equações Diferenciais l é d d Dif i ipelo Método de Diferenças Finitas
Malha de
diferenças finitas
Malha de
diferenças finitas diferenças finitas
para a condução
diferenças finitas
para a condução
bidimensional em
coordenadas
bidimensional em
coordenadas
retangulares.retangulares.
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
Passa-se agora ao desenvolvimento da formulação Passa-se agora ao desenvolvimento da formulação Passa se agora ao desenvolvimento da formulação
de diferenças finitas de condução de calor numa
d l t é d b l d i
Passa se agora ao desenvolvimento da formulação
de diferenças finitas de condução de calor numa
d l t é d b l d i parede plana, através do balanço de energia e a
solução das equações dai resultantes. O método de
parede plana, através do balanço de energia e a
solução das equações dai resultantes. O método de
balanço de energia, baseia-se na subdivisão do
meio num número suficiente de volumes
balanço de energia, baseia-se na subdivisão do
meio num número suficiente de volumes
elementares e na aplicação do balanço de energia a
cada um dos elementos.
elementares e na aplicação do balanço de energia a
cada um dos elementos.
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PermanentePontos nodais ePontos nodais ePontos nodais e
volumes elementares
f l ã d
Pontos nodais e
volumes elementares
f l ã dpara a formulação de
diferenças finitas da
para a formulação de
diferenças finitas da
condução
unidimensional numa
condução
unidimensional numa
parede plana.parede plana.
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PermanentePara obter-se uma equação de diferenças finitas no geral, para os q ç f ç f g , pnós interiores, considere-se o elemento representado pelo nó m e os dois nós vizinhos m - 1 e m + 1. Assumindo-se que a condução de calor é para dentro do elemento em todas as superfícies o
Ta a deTa a de T d
de calor é para dentro do elemento em todas as superfícies, o balanço de energia para o elemento pode ser expresso como:
Taxa de Calor
conduzido na superfície
Taxa de Calor
conduzido na superfície
Taxa de Calor conduzido na
superfície direita
Taxa de calor gerado no elemento
Taxa de variação da
energia contida no
- + =p
esquerdap
esquerda direita contida no elemento
elementd d di l t
EQ Q G Δ− + =& & &
Ou seja:
(5.8)
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, ,cond esq cond dir elementQ Q Gt
+Δ
( )
5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
S t úd éti d i ( t d l ) ã ltSe o conteúdo energético de um meio (ou parte dele) não alterar-se em condições de equilíbrio e portanto, ΔEelemento=0. A taxa de geração de calor dentro do elemento pode ser expressa como:
elemento m elemento mG g V g A x= = Δ& & & (5.9)
ÉÉ de lembrar que quando a temperatura varia linearmente, a taxa constante de condução de calor através de uma parede plana de espessura L pode ser expressa como:p p p
condTQ kALΔ
= (5.10)
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L
5.2 Condução Unidimensional em Regime PermanenteNa formulação Na formulação a o u ação
das diferenças
finitas assume
a o u ação
das diferenças
finitas assumefinitas, assume-
se que a
finitas, assume-
se que a
temperatura
varia
temperatura
varia
linearmente
entre os nós.
linearmente
entre os nós.
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
Se a direção da transferência de calor em ambas as superfícies do elemento, for assumida como sendo na direção do nó m, a taxa de condução de calor no lado esquerdo e direito das superfícies pode ser expressa como como:superfícies pode ser expressa como como:
1 1, , e m m m m
cond esq cond dirT T T TQ kA Q kA
x x− +− −
= =Δ Δ
(5.11)
Substituindo as Equações 5.11 e 5.9 na 5.8 obtem-se:
1 1 0m m m mm
T T T TkA kA g A xx x
− +− −+ + Δ =
Δ Δ(5.12)
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
Que pode ser simplificada para:
1 12
2 0, 1,2,3,..., -1m m m mT T T g m Mx k
+ −− ++ = =
Δ&
(5.13)
que é idêntica à equação de diferença finitas obtida anteriormente. Esta equação é aplicável a cada um dos M-1 nós internos, e sua aplicação dá M-1 equações para a determinação das temperaturas nos M+1 nós. As duas equações adicionais necessários para determinar as M+1 temperaturas nodais p pdesconhecidas, são obtidas através da aplicação do balanço de energia aos dois elementos nas fronteiras (a não ser claro, que as temperaturas limites sejam especificadas)
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temperaturas limites sejam especificadas).
5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanenteDepois de desenvolvida a equação de diferenças finitas Depois de desenvolvida a equação de diferenças finitas Depois de desenvolvida a equação de diferenças finitas
para cada nó interior de uma parede plana que não é
aplicável aos nós fronteiriços pois ela exige a presença
Depois de desenvolvida a equação de diferenças finitas
para cada nó interior de uma parede plana que não é
aplicável aos nós fronteiriços pois ela exige a presença aplicável aos nós fronteiriços, pois ela exige a presença
de nós em ambos os lados do nó em questão, precisa-se
de obter as equações de diferenças finitas
aplicável aos nós fronteiriços, pois ela exige a presença
de nós em ambos os lados do nó em questão, precisa-se
de obter as equações de diferenças finitas de obter as equações de diferenças finitas
separadamente para os nós na fronteira. A melhor
maneira de obtê las é através da aplicação do balanço
de obter as equações de diferenças finitas
separadamente para os nós na fronteira. A melhor
maneira de obtê las é através da aplicação do balanço maneira de obtê-las é através da aplicação do balanço
de energia aos volumes de controle dos nós de fronteira.
maneira de obtê-las é através da aplicação do balanço
de energia aos volumes de controle dos nós de fronteira.
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
A condição de contorno de temperatura especificada é a condição mais simples de lidar com ela Para uma transferência de calorsimples de lidar com ela. Para uma transferência de calor tridimensional através de uma parede plana de espessura L, as condições de temperatura especificada nos limites esquerdo e direito da superfície podem ser expressas como:da superfície podem ser expressas como:
( ) 00 T T Valor especificado= =(5 14)
onde T0 e TM são as temperaturas prescritas na superfície em x=0 e
( ) MT L T Valor especificado= =(5.14)
onde 0 e M são as tempe atu as p esc itas na supe fície em x 0 ex=L, respectivamente. Portanto, as condições de contorno de temperaturas especificadas, são incorporados atribuindo simplesmente as temperaturas da superfície dada aos nós de fronteira
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as temperaturas da superfície dada aos nós de fronteira.
5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanenteFormulação das Formulação das
condições de
temperatura
condições de
temperatura
prescrita em
diferenças finitas
prescrita em
diferenças finitasdiferenças finitas
em ambas as faces
de uma parede
diferenças finitas
em ambas as faces
de uma paredede uma parede
plana.
de uma parede
plana.
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
Quando outras condições de fronteira, como o fluxo de calor prescrito, convecção, radiação ou convecção combinada com radiação são especificados na fronteira, a equação de diferenças finitas para o nó fronteiriço é obtida por meio do balanço definitas para o nó fronteiriço é obtida por meio do balanço de energia no volume de controle nessa fronteira. O balanço de energia é expresso como:
(5.15)
0elementoTodos os lados
Q G+ =∑
Para transferência de calor em regime estacionário
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanenteA formulação das diferenças finitas no nó m=0 (no limite esquerdo onde x=0) de uma parede plana de espessura L durante a condução de calor unidimensional em regime estacionário pode ser expressa como:pode ser expressa como:
(5.16)1 0superficie esquerda 0 0
2T T xQ kA g A
x− Δ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠
onde AΔx/2 é o volume do volume elementar (note-se que o elemento de fronteira tem metade da espessura), g0 é a taxa de
x ⎝ ⎠
geração de calor por unidade de volume (em W/m3) em x = 0, e A é a área de transferência de calor, que é constante para uma parede plana.
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parede plana.
5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
Esquema para a
formulação de
Esquema para a
formulação de
diferenças finitas
de um nó de
diferenças finitas
de um nó de
fronteira esquerdo
de uma parede
fronteira esquerdo
de uma paredede uma parede
plana.
de uma parede
plana.
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PermanenteA equação de diferenças finitas para diferentes condições de contorno pode ser obtida da Equação 5 16 bastando para talcontorno pode ser obtida da Equação 5.16 bastando para tal substituir Qsuperfície esquerda pela expressão adequada. Em seguida isso é feito para várias condições de contorno na fronteira esquerda.
Condição de Fluxo de Calor Prescrito
(5.17)1 0
0 02o
T T xq A kA g Ax− Δ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠
Co dição de luxo de Calo esc ito
( )⎝ ⎠
1 00 0T T xkA g A− Δ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟
Caso especial Fronteira isolada (q0=0)
(5.18)
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0 02
kA g Ax
+ ⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠( )
5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
(5.19)( ) 1 0 0T T xhA T T kA g A− Δ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟
Convecção como condição de contorno
(5 9)( )0 0 02
hA T T kA g Ax∞ + + ⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠
R di ã di ã d t
(5 20)
Radiação como condição de contorno
( )4 4 1 0 0T T xA T T kA A− Δ⎛ ⎞⎜ ⎟ (5.20)( )4 4 1 0
sup 0 0 02
A T T kA g Ax
εσ ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠
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5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
Convecção e Radiação como condições de contorno
(5.21)( ) ( )4 4 1 00 0 0 0
2T T xhA T T A T T kA g A
xεσ∞ ∞
− Δ⎛ ⎞− + − + + =⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠
Convecção e Radiação como condições de contorno
⎝ ⎠
( ) 1 00 0 0
2combinadoT T xh A T T kA g A
x∞
− Δ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠
ou
(5.22)
Convecção, Radiação e Fluxo prescrito como condições de t
2xΔ ⎝ ⎠ ( )
(5.23)
contorno
( ) ( )4 4 1 00 0 0 0 0
2T T xq A hA T T A T T kA g A
xεσ∞ ∞
− Δ⎛ ⎞+ − + − + + =⎜ ⎟Δ ⎝ ⎠
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( )2xΔ ⎝ ⎠
5.2 Condução Unidimensional em Regime PPermanente
Esquema para a Esquema para a Esquema para a
formulação de
diferenças finitas com
Esquema para a
formulação de
diferenças finitas com diferenças finitas com
convecção e radiação
combinadas como
diferenças finitas com
convecção e radiação
combinadas como
condição de contorno
no lado esquerdo de
condição de contorno
no lado esquerdo de
uma parede plana.uma parede plana.
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanenteMuitos problemas de transferência de calor encontrados na Muitos problemas de transferência de calor encontrados na
prática, podem ser aproximados a problemas
unidimensionais, mas isso nem sempre é possível. As vezes, é
prática, podem ser aproximados a problemas
unidimensionais, mas isso nem sempre é possível. As vezes, é
necessário considerar-se a transferência de calor em outras
direcções, quando a variação da temperatura nessas outras
necessário considerar-se a transferência de calor em outras
direcções, quando a variação da temperatura nessas outras
direcções é significativa. Considera-se agora a formulação
numérica e solução de problemas de condução de calor
á
direcções é significativa. Considera-se agora a formulação
numérica e solução de problemas de condução de calor
ábidimensional estacionária em coordenadas rectangulares
usando o método de diferenças finitas. A abordagem
apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais
bidimensional estacionária em coordenadas rectangulares
usando o método de diferenças finitas. A abordagem
apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais
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apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais.apresentada pode ser estendida para casos tridimensionais.
5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Malha para a
formulação de
Malha para a
formulação de
diferenças finitas de
condução de calor
diferenças finitas de
condução de calor
bidimensional em
coordenadas
t l
bidimensional em
coordenadas
t lretangulares.retangulares.
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Considere-se um volume elementar do tamanho Δx·Δy·1 centrado num nó geral interior (m,n) numa região em que o calor é gerado a uma taxa g e a condutividade térmica k é constante. Assume-se que a direcção de condução de calor em todas as superfícies é para o nó em consideração, o balanço de energia no volume elementar pode ser expresso como:
Taxa de Calor conduzido nas
superfícies esquerda, direita de cima e de
Taxa de Calor conduzido nas
superfícies esquerda, direita de cima e de
Taxa de calor gerado no elemento
Taxa de variação da
energia contida no
+ =direita, de cima e de
baixodireita, de cima e de
baixoelemento contida no
elemento
0elementEQ Q Q Q G Δ+ + + + = =& & & & &
Ou seja: (5.24)
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, , , , 0cond esq cond topo cond dir cond baixo elementQ Q Q Q Gt
+ + + + = =Δ
( )
5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Volume elementar de
um nó interior no geral
Volume elementar de
um nó interior no geral
(m,n), para a condução
bidimensional em
(m,n), para a condução
bidimensional em
coordenadas
retangulares.
coordenadas
retangulares.
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Assumindo-se que as temperaturas entre os nós adjacentes varia de forma linear e observando que a área de transferência de calor é Ax=Δy x 1= Δy na direcção x e Ay=Δx x 1=Δx na direcção y, a equação de balanço de energia torna-se:direcção y, a equação de balanço de energia torna se:
1, , , 1 , 1, ,m n m n m n m n m n m nT T T T T Tk k k− + +− − −Δ + Δ + Δ, , , , , ,
, 1 , 0
m n m n m n m n m n m n
m n m n
k y k x k yx y x
T Tk x g x y−
Δ + Δ + ΔΔ Δ Δ−
+ Δ + Δ Δ =
(5.25)
, 0m nk x g x yy
+ Δ + Δ ΔΔ
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Dividindo cada termo por Δy x Δy obtém-se:
1, , 1, , 1 , , 1 ,2 2
2 20m n m n m n m n m n m n m nT T T T T T g
x y k− + − +− + − +
+ + =Δ Δ
(5.26)
Para m=1,2,3,…M-1 e n=1,2,3,…N-1
Na análise de diferenças finitas é normal usar-se uma malha quadrada para simplificar, (excepto quando as magnitudes de
d di ã d i ã i dif ) d itemperatura da direcção dos eixos x e y são muito diferentes) dai Δy e Δy são tomados iguais.Dai Δy = Δy =l então a Equação 5.26 simplifica-se em:
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y y q p f
5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
2,
1, 1, , 1 , 1 ,4 0m nm n m n m n m n m n
g lT T T T T
k− + + −+ + + − + = (5.27)1, 1, , 1 , 1 ,m n m n m n m n m n k+ +
Esta é a formulação de diferenças finitas para um nó interior que se obtém pela soma das temperaturas dos quatro nós vizinhos ao p p qnó, subtraindo quatro vezes a temperatura do nó em referencia e somando o termo de também se pode expressar da seguinte forma de fácil memorizaçãode fácil memorização.
2
4 0nóesquerda topo direita baixo nó
g lT T T T Tk
+ + + − + = (5.28)k
Apresentam-se em seguida algumas das equações mais utilizadas para a solução de problemas bidimensionais em regime
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permanente.
5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Caso1 - Nó interior
m,n+1
Δy04TTTTTm-1,n
m+1,n
m,n 04 ,,1,11,1, =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT
m,n-1Δx
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanenteCaso2 - Nó num vértice interior com convecção
m,n+1
Caso2 Nó num vértice interior com convecção
Δym,n
m+1,nm-1,n
m,n-1Δx
T∞, h
( ) ( ) 03222 ,1,,11,,1 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ+−
Δ++++ ∞−++− nmnmnmnmnm T
kxhT
kxhTTTT
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⎠⎝ kk
5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanenteCaso 3 - Nó numa superfície plana com convecção
m,n+1
Δy
p f p ç
T∞, h
1
Δym,n
m-1,n
m,n-1Δx
( ) 02222 ,1,1,,1 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Δ
−Δ
+++ ∞−+− nmnmnmnm Tk
xhTk
xhTTT
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⎠⎝ kk
5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Caso 4 Nó num vértice externo com convecção
m-1,n
Caso 4 - Nó num vértice externo com convecção
m,n-1Δy m,n
Δx
⎞⎛( ) 0122 ,,11, =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Δ
−Δ
++ ∞−− nmnmnm Tk
xhTk
xhTT
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanenteCaso 5 - Nó numa superfície plana com um fluxo de calor
m,n+1
Caso 5 Nó numa superfície plana com um fluxo de calor uniforme
Δym,n q´´ ( ) 0422 111 =−
Δ′′+++ −+− nmnmnmnm T
kxqTTT
m-1,n
m n 1Δx
q ( ) ,1,1,,1 + nmnmnmnm k
m,n-1Δx
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanenteA formulação de diferenças finitas de nós na fronteira de problemas bi ou tri dimensionais é similar ao dos problemas unidimensionais. A região é dividida em nós, formando volumes elementares ao redor dos mesmos e um balanço energético é feitoelementares ao redor dos mesmos e um balanço energético é feito para cada nó de fronteira. Para a transferência de calor em regime estacionário, a equação básica que se deve ter em mente quando se estiver a fa er obásica que se deve ter em mente quando se estiver a fazer o balanço de energia num volume elementar é:
∑
0elementoTodos os lados
Q gV+ =∑ (5.29)
Se o problema for uni bi ou tridimensional
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Se o problema for uni, bi, ou tridimensional
5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanenteEm problemas com geometrias simples, pode-se preencher toda a Em problemas com geometrias simples, pode-se preencher toda a
região, usando elementos de volume simples, como as faixas de uma
parede plana ou elementos retangulares de duas dimensões de
região, usando elementos de volume simples, como as faixas de uma
parede plana ou elementos retangulares de duas dimensões de
condução numa região rectangular. Também pode-se usar elementos
de casca cilíndrica ou esférica, para cobrir totalmente um corpo
condução numa região rectangular. Também pode-se usar elementos
de casca cilíndrica ou esférica, para cobrir totalmente um corpo
cilíndrico e esférico. No entanto, muitas geometrias encontradas na
prática, tais como as pás de turbinas ou os blocos de motor, não têm
cilíndrico e esférico. No entanto, muitas geometrias encontradas na
prática, tais como as pás de turbinas ou os blocos de motor, não têm
formas simples e é difícil preencher as geometrias com essas fronteiras
irregulares através de volumes elementares simples.
formas simples e é difícil preencher as geometrias com essas fronteiras
irregulares através de volumes elementares simples.
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5.3 Condução Bidimensional em Regime PPermanente
Uma maneira prática
de lidar com
Uma maneira prática
de lidar com
geometrias irregulares
é substitui-las por uma
geometrias irregulares
é substitui-las por uma
série de volumes
elementares simples,
t
série de volumes
elementares simples,
tcomo se mostra na
figura.
como se mostra na
figura.
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5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransienteEm problemas de regime transiente há variação da temperatura com o Em problemas de regime transiente há variação da temperatura com o
tempo, bem como no espaçoe, portanto, a solução de diferenças finitas
de problemas em regime transiente, requer a discretização no tempo,
tempo, bem como no espaçoe, portanto, a solução de diferenças finitas
de problemas em regime transiente, requer a discretização no tempo,
além da discretização no espaço. Isto é feito selecionando um intervalo
de tempo adequado Δt e resolvendo as temperaturas nodais
além da discretização no espaço. Isto é feito selecionando um intervalo
de tempo adequado Δt e resolvendo as temperaturas nodais
desconhecidos repetidamente para cada Δt, até que a solução no
tempo desejado seja obtida.
desconhecidos repetidamente para cada Δt, até que a solução no
tempo desejado seja obtida.
Em problemas de regime transiente o sobrescrito i é usado como índice
ou contador de intervalos de tempo, i = 0 corresponde à condição
inicial
Em problemas de regime transiente o sobrescrito i é usado como índice
ou contador de intervalos de tempo, i = 0 corresponde à condição
inicial
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inicial.inicial.
5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransiente
Os nós e os volumes elementares em problemas de regimeOs nós e os volumes elementares, em problemas de regime transiente, são selecionados como no caso do regime estacionário e novamente assume-se que toda a transferência de calor é feita
l t P iê i b l d ipara o elemento. Por conveniência, o balanço de energia num volume elementar, durante um intervalo de tempo Δt, pode ser expresso como:
Calor transferido para dentro do elemento
Calor transferido para dentro do elemento Taxa de calor
d
Taxa de variação da
ipor todas a superfícies durante
Δt
por todas a superfícies durante
Δt
gerado no elemento
durante Δt
energia contida no elemento
durante Δt
+ =
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5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransiente
Ou seja:
(5.30)elemento elementot Q t gV EΔ × +Δ × =∑ Todos os lados
onde a taxa de transferência de calor Q consiste normalmente naonde a taxa de transferência de calor Q, consiste normalmente na condução para os nós internos, mas pode envolver tambem fluxo de calor por convecção e radiação para os nós de fronteira.É d d éÉ de notar que Eelemento=mCΔT=ρVelemento CΔT, onde ρ é a massa específica e C o calor específico do elemento.
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5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransienteDividindo a relação anterior por Δt obtém-se:
(5.31)
elementoelemento elemento
Todos os lados
E TQ gV V Ct t
ρ Δ+ = =
Δ Δ∑
ou, para qualquer nó m no meio e seu volume elementar:1i i
m mT TQ G V C+ −∑ (5 32)
m melemento elemento
Todos os ladosQ G V C
tρ+ =
Δ∑ (5.32)
onde Tim e Ti+1
m são as temperaturas do nó m no tempo ti=iΔt e m m p p iti+1=(i+1) Δt, respectivamente e Ti+1
m - Tim representam a
variação da temperatura do nó durante o intervalo de tempo Δtentre o passo de tempo i e i+1
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entre o passo de tempo i e i+1.
5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransiente
As temperaturas nodais em problemas em regime transientenormalmente alteram se a cada intervalo de tempo e existenormalmente alteram-se a cada intervalo de tempo, e existe sempre a interrogação se deve-se usar temperaturas no passo de tempo anterior i ou no novo passo de tempo i+1 nos termos do lado esquerdo da Equação 5.32. Ambas são abordagens razoáveis e usadas na prática. A abordagem de diferenças finitas é chamada método explícito no primeiro caso e método implícito no segundo
(5 33)Método explícito1i i
i i m mT TQ G V Cρ+ −
+ =∑
p p p gcaso.
(5.33)Método explícito
Método implícito (5.34)
elemento elemento
Todos os ladosQ G V C
tρ+ =
Δ∑1
1 1i i
i i m ml t l t
T TQ G V Cρ+
+ + −+ =∑
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p (5.34)
elemento elementoTodos os lados
Q G V Ct
ρ+Δ∑
5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransiente
Considere a condução de calor bidimensional em regime transiente numa parede plana de espessura L, com geração de calor g(x,t), que pode variar no tempo g( , ), q p pe no espaço e com a condutividade kconstante com uma malha Δx=L/M e nós 0 1 2 M na direcção x como0, 1 , 2. . . , M na direcção x, como mostrado na figura. A formulação de diferenças finitas em regime transiente
(5.35)
para um nó interior fica:1
1 1i i
m m m m m mm
T T T T T TkA kA g A x A xCρ+
− +− − −+ + Δ = Δ
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( )mgx x t
ρΔ Δ Δ
5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransienteCancelando a área A da superfície e multiplicando por Δx/k, simplifica-se em:
( )2 2
1i ig x x +Δ Δ(5.36)( )1
1 12 i imm m m m m
g x xT T T T Tk tα
+− +
Δ Δ− + + = −
Δ
Onde α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material da parede. Definamos a malha adimensional do número de Fourier como:
2
tx
ατ Δ=Δ (5.37)
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5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransiente
Então a Equação 5 36 transforma se em:Então a Equação 5.36 transforma-se em:
(5 38)( )12 i iT Tg x + −Δ (5.38)( )1 12 m mm
m m m
T Tg xT T Tk τ− +
Δ− + + =
(5.35)
Note que o lado esquerdo desta equação é simplesmente a formulação de diferenças finitas do problema para o caso estacionário. Isto não é surpreendente uma vez que a p qformulação reduz-se para o regime estacioonário no caso em que Ti+1
m = Tim.
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5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransienteObtem-se a formulação explícita de diferenças finitas,
d l d d d E ã 5 36 dexpressando o lado esquerdo da Equação 5.36 no passo de tempo i como:
2 1i i iT T+Δ (5.39)
Esta equação pode ser resolvida explicitamente para a nova
2 1
1 12i i i
i i i m m mm m m
g x T TT T Tk τ
+
− +
Δ −− + + =
Esta equação pode ser resolvida explicitamente para a nova temperatura Ti+1
m (e, portanto, o método explícito) obtendo-se:
( ) ( )2
1 1 2i
i i i i mg xT T T T+ Δ(5.40)( ) ( )1
1 1 1 2i i i i mm m m m
gT T T Tk
τ τ τ+− += + + − +
Para todos os nós internos m=1,2,3,…M-1 na parede plana
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, , , p p
5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransienteExpressando a parte esquerda da Equação 5.36 no tempo i+1
d t i bté f l ã d ét d i lí it
(5.41)
em vez do tempo i obtém-se a formulação do método implícito1 2 1
1 1 11 12
i i ii i i m m m
m m mg x T TT T T
k τ
+ ++ + +− +
Δ −− + + =
Que pode ser rearranjado resultando em:
(5 42)
k τ
( )1 2
1 1 11 2 0i
i i i img xT T T T+
+ + + Δ+ + + + (5.42)( )1 1 1
1 11 2 0i i i imm m m m
gT T T Tk
τ τ τ τ+ + +− +− + + + + =
A aplicação de uma formulação explícita ou implícita para cada d M 1 ó dá M 1 õ A dum dos M-1 nós interiores dá M-1 equações. As duas restantes
equações são obtidas aplicando o mesmo método para os dois nós de fronteira a menos, que as temperaturas limites sejam
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f q p jespecificados como constantes (invariantes com o tempo)
5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransientePor exemplo, a formulação da condição de contorno de convecção na fronteira esquerda (nó 0) para o caso explícito pode ser expressa como:
(5.43)( )1
1 0 0 00 0 2 2
i i i ii iT T T Tx xhA T T kA g A A C
x tρ
+
∞
− −Δ Δ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠
Que se simplifica para:
(5.44)21 0
0 0 11 2 2 2 2i
i i i g xh x h xT T T Tk k k
τ τ τ τ τ+∞
ΔΔ Δ⎛ ⎞= − − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
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k k k⎝ ⎠
5.4 Condução Unidimensional em Regime T iTransiente
Se o passo de tempo Δ t não é suficientemente pequeno, as p p f p q ,soluções obtidas pelo método explícito podem oscilar descontroladamente e divergir da solução real. Para evitar tais oscilações divergentes nas temperaturas nodais o valor de Δtoscilações divergentes nas temperaturas nodais, o valor de Δt deve ser mantido abaixo de um certo limite máximo estabelecido pelo critério de estabilidade. O é d b l d d ó bl dO critério de estabilidade para nós internos em problemas de transferência de calor unidimensionais em coordenadas rectangulares é dado por:g p
(5 45)2
12
tατ Δ= ≤Δ
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(5.45)2 2xΔ
5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransienteConsidere-se uma região retangular em que a condução de calor é Considere-se uma região retangular em que a condução de calor é
significativa nas directções x e y, e considere-se a espessura Δz = 1 na
direção z. O calor pode ser gerado no meio a uma taxa de g(x, y, t), que
significativa nas directções x e y, e considere-se a espessura Δz = 1 na
direção z. O calor pode ser gerado no meio a uma taxa de g(x, y, t), que
pode variar com o tempo e posição, com a a condutividade térmica do
meio k assumida constante.
pode variar com o tempo e posição, com a a condutividade térmica do
meio k assumida constante.
Dividinda-se o plano da região numa malha retangular de pontos
nodais espaçadas Δx e Δy nas direcções x e y respectivamente, e
Dividinda-se o plano da região numa malha retangular de pontos
nodais espaçadas Δx e Δy nas direcções x e y respectivamente, e
considere-se um nó geral interior (m, n), cujas coordenadas são x = mΔ
X e Y = nΔy.
considere-se um nó geral interior (m, n), cujas coordenadas são x = mΔ
X e Y = nΔy.
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5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransiente
A formulação transiente de diferenças finitas para um nó interiorA formulação transiente de diferenças finitas para um nó interior em geral pode ser expressa como:
1, , , 1 , 1, ,m n m n m n m n m n m nT T T T T Tk y k x k y
x y x− + +− − −
Δ + Δ + ΔΔ Δ Δ
1, 1 ,
,
i im n m n m m
m n
T T T Tk x g x y x yCy t
ρ+
− − −+ Δ + Δ Δ = Δ Δ
Δ Δ
(5.46)
Utilizando-se uma malha quadrada Δx=Δy=l e dividindo cada termo da expressão por k, após a simplificação obtém-se:
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5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransiente
2 1,
1, 1, , 1 , 1 ,4i i
m n m mm n m n m n m n m n
g l T TT T T T Tk
+
− + + −
−+ + + − + = (5.47)1, 1, , 1 , 1 ,m n m n m n m n m n k τ+ +
Onde α=k/ρC é a difusividade térmica do material e τ= α Δt/l2 é o número adimensional da malha de Fourier. Também se pode pexpressar em termos das temperaturas dos nós vizinhos pela seguinte formula fácil de memorizar:
2 1
4i i
nó nó nóesquerda topo direita baixo nó
g l T TT T T T Tk τ
+ −+ + + − + = (5.48)
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5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransienteObtem-se a formulação explícita de diferenças finitas, expressando o lado esquerdo no passo de tempo i como:
(5.49)2 1
4i i i
i i i i i nó nó nóesquerda topo direita baixo nó
g l T TT T T T Tk τ
+ −+ + + − + =
expressando o lado esquerdo no passo de tempo i como:
Expressando o lado esquerdo na etapa de tempo i + 1 em vez de i obtém-se a formulação implícita. Esta equação pode ser resolvida
k τ
f p q pexplicitamente para a nova temperatura Tnó
i+1 para se obter:
(5.50)( ) ( )2
1 1 4i
i i i i i i nóó d d b ó
g lT T T T T Tτ τ τ+ = + + + + − + ( )( ) ( )1 4nó esquerda topo direita baixo nóT T T T T Tk
τ τ τ+ + + + +
Para todos os nós internos (m,n) onde m=1,2,3,…M-1 e n=1 2 3 N-1 no meio
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n 1,2,3,…N 1 no meio
5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransiente
O critério de estabilidade requer que o coeficiente de Tmi na
ã T i+1 d i i l d óexpressão Tmi+1 deva ser maior ou igual a zero para todos os nós,
é igualmente válida para os casos bi ou tri dimensionais e limita severamente o tamanho do passo de tempo Δt que pode ser usado p p q pno método explícito.Para nós internos de transferência de calor bidimensional em coordenadas retangulares o critério de estabilidade é dado por:coordenadas retangulares o critério de estabilidade é dado por:
(5.51)2
14
tlατ Δ
= ≤l
Apresentam-se em seguida algumas das equações mais utilizadas para a solução de problemas bidimensionais em regime
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transiente.
5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransienteCaso1 - Nó interior
m,n+1
Δy 1≤Fo
Critério de estabilidadeCritério de estabilidadeCaso1 Nó interior
m-1,n
m+1,n
Δym,n 4
≤Fo
m,n-1Δx
T h
( ) ( )1, , 1 , 1 1, 1, ,1 4i i i i i i
m n m n m n m n m n m nT T T T T Tτ τ++ − + −= + + + + −
T∞,hEquação nodal Equação nodal ΔΔx = x = ΔΔyy
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( ) ( ), , , , , ,
5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransienteCaso2 - Nó num vértice interior com convecção
m,n+1 Critério de estabilidadeCritério de estabilidade
Caso2 Nó num vértice interior com convecção
Δym,n ( )
433 ≤+ BiFo
m+1,nm-1,n
m,n-1Δx
T∞, h
( )1, 1, , 1 1, , 1 ,
2 42 2 2 1 43 3
i i i i i i im n m n m n m n m n m nT T T T T Bi T Bi Tτ τ τ+
+ + − − ∞⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + + + − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Equação nodal Equação nodal ΔΔx = x = ΔΔyy
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( ), 1, , 1 1, , 1 ,3 3m n m n m n m n m n m n+ +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransienteCaso 3 - Nó numa superfície plana com convecção
m,n+1
Δy Critério de estabilidadeCritério de estabilidade
Caso 3 Nó numa superfície plana com convecção
T∞, h
1
Δym,n 1
4τ ≤
m-1,n
m,n-1Δx
4
( ) [ ]1, 1, , 1 , 1 ,2 1 4i i i i i
m n m n m n m n m nT T T T Tτ τ+− + −= + + + +
Equação nodal Equação nodal ΔΔx = x = ΔΔyy
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( )
5.5 Condução Bidimensional em Regime T iTransienteCaso 4 - Nó num vértice externo com convecção
m-1,n Critério de estabilidadeCritério de estabilidade
Caso 4 Nó num vértice externo com convecção
m,n-1Δy m,n ( ) 11
4Biτ + ≤
Δx
( ) ( )1, , 1 1, ,2 2 1 4 4i i i p i
m n m n m n m nT T T Bi T Bi Tτ τ τ+− − ∞⎡ ⎤= + + + + −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦
Equação nodal Equação nodal ΔΔx = x = ΔΔyy
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5.6 Solução das Equações de Elementos i iFinitos
Considerando um sistema de N equações diferentes correspondentes a N temperaturas desconhecidas, a metodologia de solução começa por expressar as equações:
NN
NN
CTaTaTaTaCTaTaTaTa
=++++=++++
L
L
22323222121
11313212111
NNNNNNN
NN
CTaTaTaTa
CTaTaTaTa
=++++
++++
L
MMMMMM
332211
22323222121
(5.52)
Onde a11, a12,...C1,...são coeficientes e constantes conhecidas relacionadas com Δx, k, h e T
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relacionadas com Δx, k, h e T∞
5.6 Solução das Equações de Elementos i iFinitos
Usando a notação Matricial pode-se escrever:
[ ][ ] [ ]CTA = (5.53)
⎤⎡⎤⎡⎤⎡
Onde:
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
≡⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
≡⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
≡ N
N
CC
CTT
Taaaaaa
AMMMMM
L
L
2
1
2
1
22221
11211
,, (5.54)⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣ NNNNNN CTaaaMM
L
MMM
21
,, (5.54)
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5.6 Solução das Equações de Elementos i iFinitos
O vector solução de temperaturas pode então ser escrito como:
[ ] [ ] [ ]CAT 1−= (5.55)
Onde [A]-1 é a matriz inversa de [A] e é definida por:
[ ] ⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
≡− N
N
bbbbbb
AL
L
22221
11211
1 (5 56)[ ]⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣
≡
NNNN bbb
A
L
MMM
21
(5.56)
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5.6 Solução das Equações de Elementos i iFinitos
Resolvendo o lado direito da Equação 5.52 segue a solução:
NN
NN
CbCbCbTCbCbCbT
+++=+++=
L
L
22221212
12121111
(5 57)
NNNNNN
NN
CbCbCbT +++= L
MMMMM
2211
22221212 (5.57)
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