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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu 1
Transmissão de calor
3º ano
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Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 2
Aula 2. Equação diferencial de condução de calor
■ Equação diferencial de condução de calor;
■ Dedução da equação Básica;
■ Aspectos Particulares da equação diferencial
(leis de Fourier, Poisson e Laplace);
■ Solução da Equação unidimensional de
transferência de calor em regime permanente.
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2.1 Introdução
3
A transferência de calor e a temperatura estão directamente relacionadas, mas são de natureza diferente. Diferente da temperatura o fluxo de calor tem magnitude e direcção, logicamente é um vector. Dai é necessário para além da magnitude, descrever a direcção para caracterizar por completo a transferência de calor num ponto.
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2.1 Introdução
O fluxo de calor
tem direcção e
magnitude, daí ser
uma grandeza
vectorial
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2.1 Introdução
Direcção do fluxo de transferência de calor (positivo na direcção positiva e negativo na direcção negativa)
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2.1 Introdução
6
A especificação da temperatura num ponto, primeiro requer a descrição da localização do tal ponto. Isso pode ser feito através da escolha de um sistema de coordenadas que pode ser: rectangular, cilíndrico ou esférico, o que depende da forma do corpo e da posição conveniente do ponto de referência a utilizar.
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2.1 Introdução
Distâncias e ângulos envolvidos quando se descreve a localização de um ponto
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2.1 Introdução
8
Os problemas de transferência de calor são geralmente classificados em de regime transiente e de estado permanente. O termo permanente implica que não haja variações no tempo de nenhum ponto do meio, enquanto transiente, refere-se à problemas que tenham variação no tempo ou que sejam dependentes do tempo.
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2.1 Introdução
Condução transiente e estacionária em uma parede plana
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2.1 Introdução
10
Os problemas de transmissão de calor são geralmente classificados em unidirecionais bidireccionais e tridireccionais dependendo da magnitude da transferência de calor em cada uma das direcções e da precisão desejada na solução do problema. No caso geral o calor transmite-se de modo tridimensional.
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
Transferência de calor bidimensional numa barra rectangular longa
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
(W) dxdT
kAQcond −=!
(W) nT
kAQcond ∂
∂−=!
(2.1)
(2.2)
A Lei de Fourier para a transferência de Calor Unidimensional é dada por:
Se n for a normal à superfície isotérmica no ponto P, a taxa de transferência de calor nesse ponto pode ser expressa pela Lei de Fourier do seguinte modo:
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
kQjQiQQ zyxn
!"!"!"
!" ++=
e x x y y z zT T T
Q kA Q kA Q kAx y z∂ ∂ ∂
= − = − = −# # #∂ ∂ ∂
! ! !
(2.3)
(2.4)
Em coordenadas rectangulares o vector da condução de calor pode ser expresso em função dos seus componentes.
Onde i, j e k são vectores unitários e Qx, Qy e Qz são as magnitudes de transferência de calor nas direcções x, y e z.
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2.2.1 Geração de calor
(W) ∫= vdVgG !!
(W) VgG !! =
(2.5)
O meio pelo qual o calor é conduzido pode envolver a conversão de energia eléctrica, nuclear ou química em calor (energia térmica) . Quando se faz análise da condução de calor, esta conversão de calor denomina-se geração de calor. A geração de calor é um fenómeno volumétrico. Ele ocorre ao longo de todo o corpo, dai a a taxa de geração de calor ser dada em unidades por volume as suas unidades são W/m3
No caso de geração uniforme de energia, caso da resistência eléctrica, a geração de energia transforma-se em:
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Exemplo 2.1
Uma resistência de 1200 W de um secador de cabelo, tem 80 cm de comprimento e diâmetro de 0,3 cm. Determine a taxa de geração de calor na resistência, por unidade de volume, em W/cm3 e o fluxo de calor na superfície externa da resistência, como resultado da geração de calor.
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Resolução do Exemplo 2.1
( ) ( ) ( )3
22
1200 212 W/cm4 0,3 4 80res
G G WgV D L cm cmπ π
= = = =" #$ %
! !
( )( )21200 W 15,9 W/cm
0,3cm 80res
G GqA DL cmπ π
= = = =! !
!
A taxa de geração de calor determina-se dividindo o total do calor gerado, pelo volume da resistência.
Similarmente o fluxo na superfície externa da resistência, como resultado da geração de calor, é determinado pela divisão do total do calor gerado pela área superficial da resistência.
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Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu
2.3 Equação diferencial de condução de calor unidimensional
17
Os problemas de transmissão de calor unidimensionais são os problemas em que o calor é transmitido por difusão em uma única direcção. O termo unidimensional refere-se ao facto de somente uma coordenada ser necessária para descrever a variação espacial das variáveis independentes.
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2.3.1 Parede Plana
Condução de calor unidimensional através de um volume elementar numa grande parede plana.
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Taxa de Calor conduzido em
x
Taxa de Calor conduzido em x + Δx
Taxa de calor gerado no elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQ telemenelementxxx Δ
Δ=+− Δ+
!!!
Ou seja:
(2.6)
2.3.1 Parede Plana
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( ) ( )tttttttttelement TTxCATTmCEEE −Δ=−=−=Δ Δ+Δ+Δ+ ρ
xAgVgG elementelement Δ== !!!
tTT
xCAxAgQQ tttxxx Δ
−Δ=Δ+− Δ+
Δ+ ρ!!!
tTT
CgxQQ
Atttxxx
Δ
−=+
Δ
−− Δ+Δ+ ρ!
!!1
(2.7)(2.8)
(2.9)
(2.10)
2.3.1 Parede Plana
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de energia no elemento, podem ser dadas pela expressão:
Substituindo na Equação 2.6 obtém-se:
Dividindo por AΔx:
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tTCg
xTkA
xA ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
ρ!1
!"
#$%
&∂∂
−∂∂
=∂∂
=Δ−Δ+
→Δ xTkA
xxQ
xQQ xxx
x
!!!0
lim
tTCg
xTk
x ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
ρ!
(2.11)
(2.12)
(2.13)
2.3.1 Parede PlanaCalculado o limite quando Δx→0 e Δt→0:
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução obtém-se:
Note-se que A é constante para a parede plana. Então a equação transiente unidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
Condutibilidade térmica variável
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Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 22
tT
kg
xT
∂∂
=+∂∂
α1
2
2 !
02
2
=+kg
dxTd !
tT
xT
∂∂
=∂∂
α1
2
2
02
2
=dxTd
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
2.3.1 Parede PlanaA condutibilidade térmica em muitos problemas é considerada constante então a Equação 2.13 transforma-se em:
Onde α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material e denota a velocidade de propagação do calor pelo material
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente
Regime transiente sem geração de calor
Regime estacionário sem geração de calor
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2.3.2 Cilindro Longo
Condução de calor unidimensional através de um volume elementar num cilindro longo
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2.3.2 Cilindro Longo
Taxa de Calor conduzida em
r
Taxa de Calor conduzida em r + Δr
Taxa de calor gerada no Interior do elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQ telemenelementrrr Δ
Δ=+− Δ+
!!!
Ou por outra
(2.18)
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2.3.2 Cilindro Longo
( ) ( )tttttttttelement TTrCATTmCEEE −Δ=−=−=Δ Δ+Δ+Δ+ ρ
rAgVgG elementelement Δ== !!!
tTTrCArAgQQ ttt
rrr Δ−
Δ=Δ+− Δ+Δ+ ρ!!!
tTTCg
rQQ
Atttrrr
Δ−
=+Δ−
− Δ+Δ+ ρ!!!1
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de energia no elemento podem ser dadas pela expressão:
Substituindo na Equação 2.18 obtém-se:
Dividindo por A·Δr obtém-se:
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2.3.2 Cilindro Longo
tTCg
rTkA
rA ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
ρ!1
!"
#$%
&∂∂
−∂∂
=∂∂
=Δ−Δ+
→Δ rTkA
rrQ
rQQ rrr
r
!!!0
lim
tTCg
rTrk
rr ∂
∂=+"
#
$%&
'∂
∂
∂
∂ρ!1
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Calculado o limite quando Δr→0 e Δt→0
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução obtém-se:
Condutibilidade térmica variável
Note-se que A=2πrl para este caso. Então a equação transiente unidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
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Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 27
2.3.2 Cilindro Longo
tT
kg
rTr
rr ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
α11 !
01=+!
"
#$%
&kg
drdTr
drd
r!
tT
rTr
rr ∂∂
="#
$%&
'∂∂
∂∂
α11
0=!"
#$%
&drdTr
drd
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Para o caso da condutibilidade térmica constante então a Equação 2.25 transforma-se em:
Condutibilidade térmica constante
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Regime permanente
Regime transiente sem geração de calor
Regime estacionário sem geração de calor
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2.3.3 Esfera
Condução de calor unidimensional através de um volume elementar de uma esfera
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Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 29
2.3.3 Esfera
tTCg
rTkr
rr ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
ρ!221
tT
kg
rTr
rr ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
α11 2
2
!
(2.30)
(2.31)
Condutibilidade variável
No caso da condutibilidade térmica constante reduz-se a:
Condutibilidade térmica constante
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Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 30
2.3.3 Esfera
01 22 =+!
"
#$%
&kg
drdTr
drd
r!
tT
rTr
rr ∂∂
="#
$%&
'∂∂
∂∂
α11 2
2
02 =!"
#$%
&drdTr
drd 022
2
=+drdT
drTdrou
(2.32)
(2.34)
(2.34)
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente
Regime estacionário sem geração de calor
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Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 31
2.4 Equação geral de condução de calor 2.4.1 Coordenadas rectangulares
Condução de calor tridimensional através de um volume elementar rectangular
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2.4 Equação geral de condução de calor
32
A maioria dos problemas de transferência de calor encontrados na prática podem ser aproximados à problemas unidimensionais. Porém, este nem sempre é o caso, e às vezes é preciso considerar que o calor se transfere também em outras direcções. Nesse caso a condução de calor é multidimensional, e a equação diferencial desses sistemas pode ser apresentada em coordenadas rectangulares, cilíndricas ou esféricas.
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
Taxa de Calor conduzido em
x, y e z
Taxa de Calor conduzido em x+Δx,
y+Δy e z+Δz
Taxa de calor gerado no Interior do elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQQQQQ telemenelementzzyyxxzyx Δ
Δ=+−−−++ Δ+Δ+Δ+
!!!!!!!
Ou seja
(2.35)
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
( ) ( )element t t t t t t t t tE E E mC T T C x y z T Tρ+Δ +Δ +ΔΔ = − = − = Δ Δ Δ −
element elementG gV g x y z= = Δ Δ Δ! ! !
tTTzyxgQQQQQQ ttt
zzyyxxzyx Δ−
=ΔΔΔ+−−−++ Δ+Δ+Δ+Δ+ !!!!!!!
tTTCg
zQQ
yxyQQ
zxxQQ
zytttzzzyyyxxx
Δ−
=+Δ−
ΔΔ−
Δ
−
ΔΔ−
Δ−
ΔΔ− Δ+Δ+Δ+Δ+ ρ!
!!!!!! 111
(2.36)
(2.37)
Note-se que o volume elementar é dado por Velement = Δx·Δy·Δz. A relação entre a variação de energia do elemento e a taxa de geração pode ser dada por:
Substituindo na Equação 2.35 obtém-se:
Dividindo por Δx·Δy·Δz recebe-se:
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
tTCg
zTk
zyTk
yxTk
x ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
+""#
$%%&
'
∂∂
∂∂
+"#
$%&
'∂∂
∂∂
ρ!
!"
#$%
&∂∂
∂∂
−=!"
#$%
&∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
!!"
#$$%
&
∂∂
∂∂
−=!!"
#$$%
&
∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂
∂
ΔΔ=
Δ
−
ΔΔ
!"
#$%
&∂∂
∂∂
−=!"
#$%
&∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
zTk
zzTyxk
zyxzQ
yxzQQ
yx
yTk
yyTzxk
yzxyQ
zxyQQ
zx
xTk
xxTzyk
xzyxQ
zyxQQ
zy
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
111lim
111lim
111lim
0
0
0
!!!
!!!
!!!
(2.38)
As áreas de transferência de calor do elemento nas direcções x, y e z são Ax= ΔyΔz, Ay= ΔxΔz e Az= ΔxΔy, respectivamente e o limite de Δx,Δy,Δz e Δt→0 dá:
Da definição de derivada e da Equação de Fourier obtém-se:
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
tT
kg
zT
yT
xT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2 !
02
2
2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
kg
zT
yT
xT !
tT
zT
yT
xT
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zT
yT
xT
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)Regime permanente, sem geração de calor (Equação de Laplace)
Regime transiente, sem geração de calor (Equação da Difusão)
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente (Equação de Poisson)
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2.4.2 Coordenadas cilíndricas
Volume elementar diferencial em coordenadas cilíndricas
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2.4.2 Coordenadas cilíndricas
tTCg
zTk
zTkr
rrTkr
rr ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
+""#
$%%&
'∂∂
∂∂
+"#
$%&
'∂∂
∂∂
ρφφ
!211
zzryrx === e sin ,cos φφ
(2.43)
A equação de calor em coordenadas cilíndricas pode ser obtida do balanço de energia de um elemento volumétrico da equação diferencial usando as seguintes transformações:
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2.4.3 Coordenadas esféricas
Volume elementar diferencial em coordenadas esféricas
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2.4.3 Coordenadas esféricas
tTCgTk
rTk
rrTkr
rr ∂∂
=+"#
$%&
'∂∂
∂∂
+""#
$%%&
'∂∂
∂∂
+"#
$%&
'∂∂
∂∂
ρθ
θθθφφθ
!sinsin1
sin11
2222
2 (2.44)
φθφθφ cos e sinsin ,sincos === zryrx
A equação de calor em coordenadas esféricas pode ser obtida do balanço de energia de um elemento volumétrico da equação diferencial usando as seguintes transformações:
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Problema de transferência
de Calor
Formulação Matemática Equação diferencial e condições de contorno
Solução geral da equação
diferencial
Aplicação das condições de fronteira
Solução do problema
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Obtendo a solução geral de uma simples equação de segunda ordem por meio de integração.
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Quando se aplica as condições de fronteira à solução geral num ponto específico as variáveis dependentes e independentes devem ser substituídas pelos seus valores específicos.