Aula 16

Modelagem de Transformador

Modelagem

Iremos apresentar o modelo do transformador para uso no cálculo de fluxo de potência em redes de alta tensão.

Estes modelos descrevem matematicamente o comportamento do transformador sob condições estacionárias, com as tensões e correntes variando senoidalmente, ou seja, em regime permanente para a freqüência fundamental do sistema (60 Hz).

Para estas condições poderemos representar os transformadores trifásicos por seu equivalente de seqüência positiva.

No caso de ligações em delta iremos converter para ligações em estrela equivalentes para podermos trabalhar com a seqüência positiva.

Modelagem (cont.)

Os transformadores utilizados em sistema de potência (alta tensão) têm algumas características diferentes dos demais.

Em geral os efeitos de corrente de magnetização podem ser desprezados (em condições de regime permanente).

Os modelos que iremos utilizar serão semelhantes aos modelos Pis utilizados para linhas de transmissão.

Iremos rever o sistema pu e aplicaremos o conceito para transformadores.

Finalmente apresentaremos as equações de fluxo de potência para os transformadores em condições de regime permanente (representados por seu equivalente de seqüência positiva em pu).

Dado o transformador monofásico a seguir

Podemos representá-lo pelo modelo abaixo.

Este modelo será utilizado para dedução da expressão de fluxo de potência através do transformador.

Equivalentes de transformador monofásico

Vp

+

rd j xd

gm j bm

- -

+

Vs

Ip Is

a : 1

No modelo o comportamento elétrico do transformador é representado por um transformador ideal, com relação de transformação a:1.

A impedância série representa o fluxo de dispersão (reatância) e a perda no cobre (resistência).

A admitância transversal representa a perda de magnetização (susceptância) e as perdas no ferro (Foucault -condutância).

Modelo teórico

Da teoria de transformadores surgem as indutâncias

• Lp – indutância própria do primário

• Ls – indutância própria do secundário

• Mps – indutância mútua primário-secundário

Estas indutâncias são descritas pela permeabilidade magnética do material, um fator que depende da geometria do trafo e um fator de dispersão, além do número de espiras dos enrolamentos primário e secundário.

Indutâncias

Analisando os fasores das tensões no primário e no secundário do transformador pode-se relacionar estas indutâncias com as impedâncias longitudinais e transversais do modelo.

Indutâncias (cont.)

Transformador monofásico ideal

dt

dNv

dt

dNv

ϕϕ2211 ==

aN

N

V

V ==2

1

2

1

02211 =− NiNi

• Relações de tensão:

• a – relação de espiras

• Relação de corrente:

aN

N

i

i 1

1

2

2

1 ==

• Circuito equivalente:

Transformador monofásico ideal

• Relações de Potência:

• Não há perdas (potência de entrada igual a potência de saida)

2*

22*

111 SIVIVS ===

• Relações de impedâncias(reflexão):

22

2

22

2

2

1

11 Za

I

Va

aI

Va

I

VZ ====

Transformador monofásico real

• Considera-se:

•Perdas ôhmicas, resistência dos enrrolamentos do primário e secundário (r1 , r2 );

• Perdas magnéticaspor dispersão de fluxo magnético Representadas por Reatâncias lineares(x1 , x2).

•Perdas no núcleo– Perdas ativas por Foulcaut e histerese representada por resistência (r c) e a magnetização do núcleo aproximada por reatâncialinear (aprox. Pela componente de 1ª h da Corrente de magnetização em quadratura com o fluxo) -xm ;

• Circuito equivalente:

• A relação de espiras é válida para V1’ e V2

’ e para I1’

e I2.

Transformador 1φ real (em vazio)

• EM VAZIO (SECUNDÁRIO EM ABERTO)

• I2 = 0 I1’ = 0;

• A impedância do ramo de magnetização (rc e xm ) émuito maior que a impedância série equivalente(pode-se desprezar os parâmetros série).

• Circuito equivalente:

)()()(1 tititi m+= ϕ

•Corrente no primário (da ordem de 5 % da correntenominal do trafo):

• Corrente no tensão no secundário:

a

VV 1

2 =

Transformador 1φ real (em vazio)

• Devido à não linearidades da curva B x H do núcleo(ciclo de histerese e eventualmente saturação):

• A corrente de excitação não é senoidal;• A análise de Fourier mostra que a corrente de magnetização possui uma componente fundamental em fase com o fluxo e harmónicas de ordem ímpar (3ª, 5ª, … )• Como a If é pequena considera-se somente a componente de primeira harmônica:

I1 = Iϕ• Diagrama fasorial

Transformador 1φ real (com carga)

• I2 ≠ 0 Todos os parâmetros do circuitoequivalente são considerados;

•Podemos eliminar o transformador ideal refletindo as impedâncias do secundário para o primário e utilizando a relação de transformação de tensão e corrente.• Circuito equivalente:

• Como Iϕ << I1 pode-se desprezar o ramo de magnetização:

• Em geral para trafos de Potência (centenas de kVA), depreza-se as perdas ôhmicas.

A partir de ensaios é possível determinaros parâmetros do modelo do transformador nas condições de regime permanente :

• Curto-circuito – Com o lado de baixa (secundário) em curto-

circuito impõe-se uma tensão menor do que a nominal no lado de alta (primário) de modo a se ter corrente nominal no secundário em curto e mede-se a tensão e a corrente no primário, além da corrente no secundário e a potência consumida no primário.

• Em Vazio– Com o terminal do lado de alta (secundário)

em vazio ompõe-se tensão nominal no lado de baixa (primário) e mede-se a tensão no secundário, além da corrente no primário e a potência consumida no primário.

Ensaios

Determinação de parâmetros (Ensaio em vazio)

• Teste em aberto:Um dos lados do transformador é deixado em aberto, normalmente o lado de alta tensão. Instrumentos de medição são conectados para medir a corrente I1, V1 e a potência ativa na entrada P1. A tensão aplicada V1 deve ser igual a tensão nominal do transformador (dado de placa).

• Como um dos lados em vazio teremos:

•I2 = 0 I1’ = 0;

• A impedância do ramo de magnetização (rc e xm ) émuito maior que a impedância série equivalente(pode-se desprezar os parâmetros série).

• Toda a corrente é responsável pela magnetização do núcleo do trafo.

• Como foram desprezadas as perdas ôhmicas no cobre, toda a potência ativa medida representa as perdas ôhmicas no núcleo do tranformador, e destaforma calculamos rc e xm:

0

21

1 P

Vrc =

cc r

VI 1= 22

1 cm III −=

• Resistência do ramo de magnetização

• Correntes Ic e Im do ramo de magnetização

• Reatância de magnetização:

mm I

VX 1

1 =

Determinação de parâmetros (Ensaio em vazio)

• Nota: Os parâmetros são referentes ao lado de aplicação da tensão V1.

• Ensaio em curto:Um dos lados do transformador é curto-circuitado, normalmente o lado de baixa tensão. Instrumentos de medição são conectados para medir as correntes I2, I1, V2 e potência ativa na entrada P2. A tensão aplicada V2 deve ser tal que I1 seja igual a corrente nominal do transformador (dado de placa).

• Com o terminal em curto (situação de plena carga) a tensão aplicada que resulta na corrente nominal é muito menor que a tensão nominal do trafo no lado em que a tensão é aplicada;

• Como vimos a corrente de magnétização é de pequena ordem de grandeza, na prática as perdas no ramo de magnetização são desprezadas neste ensaio.

Determinação de parâmetros (ensaio em curto)

Determinação de parâmetros (ensaio em curto)

• Desta forma calcula-se o módulo da impedância, Z2

2

22 I

VZ =

• Resistência de perdas no cobre:

21

22 I

Prequiv =

• Reatância de dispersão:

22

222 rZxequiv −=

Exemplos (circuito equivalente)

• (a)Encontre o circuito equivalente aproximado, com os parametros refletidos de alta e do lado de baixa tensão.

•(b)Expressa a corrente de excitação como uma porcentagem da corrente nominal.

•(c)Determine o fator de potência para os testes de circuito aberto (sem carga) e curto circuito(plenacarga).

215100Potência (W)

4,552,5Corrente (A)

150220Tensão (V)

Curto CircuitoCircuito Aberto

• Testes são feitos em um transformador monofásico, 10 kVA, 2200/220, 60 Hz e anotados na tabela abaixo.

Solução:Os valores nominais (em módulo) do trafo são descritos abaixo.

V2200V2(nominal) = V220V1(nominal) =

A4,552200

10000I 2(nominal) == A45,5

220

10000I1(nominal) ==

kVA10IVIV 1(nominal)12(nominal)2 ==•(a) Parâmetros do Circuito equivalente.•Diagrama fasorial para o teste de circuito aberto.

Ω484100

220

P

Vr

2

1

21

1c ===

A0,45484

220

r

VI

c

1c ===

A2,460,452,5III 222c

21m =−=−=

Ω89,42,46

220

I

VX

m

11m ===

10220

2200a ==

•Parâmetros referidos para o lado de alta

Ω== 48400rr 2c2

2c a Ω== 8940XX 1m2

2m a

•Circuito equivalente e diagrama fasorial para o testede curto-circuito.

Solução:

Ω10,44,55

215

I

Pr

221

22equiv ===

Ω== 97,3255,4

1502Z

Ω=−=−= 3,314,1097,32 2222

222 equivequiv rZx

•Parâmetros referidos para o lado de baixa

Ω== 104,0r1

r 2c21equiv aΩ== 313,0

1221 equivequiv x

ax

Solução:

•(b) Relação porcentual entre corrente de magnetização e nominal. Do teste de circuito aberto, a corrente (magnetização) é de 2,5 A. Portanto:

%5,55,45

5,2%

min

==alnoI

Iϕ

•(c) Fatores de potência

•Teste de circuito aberto

•Teste de curto-circuito

182,02205,2

100 =⋅

==S

Pfp

315,01505,4

100 =⋅

==S

Pfp

Nos modelos para regime permanente o transformador é representado por um transformador ideal, com sua relação de transformação e a impedância série referida a um dos lados. O ramo da magnetização e as perdas no ferros são desprezados.

Modelo referido ao secundário

Modelo referido ao primário

Modelos referidos ao primário e secundário

Vp

+

zs

- -

+

Vs

Ip Is

a : 1

Vp

+

zp = a2zs

- -

+

Vs

Ip Is

a : 1

Conexões de transformadores trifásicos

Transformadores trifásicos são utilizados para mudar a tensão dos sistemas trifásicos. Normalmente em alta tensão se utiliza bancos de transformadores trifásicos formador por 03 unidades monofásicas.

Os enrolamentos primário e secundário podem ser conectados em delta ou estrela, formando bancos ∆- ∆; ∆ Y ; Y ∆ ou Y Y.

Os transformadores Y-Y têm um menor custo de isolamento (tensão do enrolamento menor) e permitem acesso ao neutro para aterramento. Para eliminar harmônicas um terceiro conjunto de enrolamento (terciário) é conectado em delta (harmônicas de seqüênciazero – 3a harm.).

O enrolamento terciário é utilizado para alimentação local e instalação de compensação reativa.

Conexões de transformadores trifásicos (cont.)

A tensão do enrolamento terciário é normalmente menor (por ex., 500 Y – 230 Y –69 ∆).

A conexão em delta tem que se isolada para tensão de linha (custo maior).

As conexões∆ Y e Y ∆ são bastante freqüentes e são utilizadas como transformadores elevadores junto a usinas e transformadores abaixadores junto a cargas. O neutro do Y normalmente é aterrado.

Relação de transformação de transformadores trifásicos

Define-se a relação de transformação dos transformadores trifásicos como sendo a relação entre as tensões nominais dos enrolamentos primário e secundário (relaçãoentre o número de espiras).

Vamos analisar o banco de transformador Y-Y e Y-∆ .

VenrS VenrP

c'

b'

a'

c

b

a

carga

Zc

Zc

Zc

Transformador

enrS

enrPeq V

Va =

Transformador Y-Y ou ∆∆∆∆−−−−∆∆∆∆Como definimos, a relação de transformação aé definida pela razão entre as tensões dos enrolamentos primário e secundário.

No caso do banco trifásico com conexão Y-Y (ou ∆−∆) a relação entre as tensões de linha primário/secundário é igual à relação entre as tensões de fase primário/secundário (igual à tensão dos enrolamentos) e não há defasagem entre as tensões dos lados de alta e baixa :

Vs Vp

c'

b'

a'

c

b

a

carga

Zc

Zc

Zc

φφ

φφ

φφ

φφ

φ

φ ====s

p

s

p

s

p

s

p

V

V

3

V3

V

V

V

V

Va

t

t

Ou seja, para o transformador trifásico Y-Y (ou ∆−∆) a relação de transformação apode ser obtida da razão entre as tensões nominais de linhaou da razão entre as tensões nominais de fase dos lados primário/secundário.

Exercício 1

Um banco de transformador conectado em Y-Y alimenta uma carga de 80 MVA fp 0,85 ind. Representar o conjunto transformador + carga emΩ.

Diagrama unifilar

carga

N2 N1

Vnominal13,8 kVPotência nominal S = 100 MVA

fp – 0,85 atras.Xdispersão : 15,23 Ω (alta)

S = 80 MVA138 kV/13,8 kV

CargaTransformador

Dados

( )( )

Ω====⇒=φ−

•

−3805,2

80

8,13

10.3/80

10.3/8,13

S

VZ

Z

V

S2

6

62

1

2f

2

Carga no lado de baixa

Carga vista do lado de alta

Ω=

×= 05,238

8,13

1383805,2Z

2

alta

Reatância de dispersão no lado de baixa

Ω=

×= 01523,0138

8,1323,15X

2

°==θ − 79,3185,0cos 1

Ângulo da impedância

Sistema visto do lado de alta

carga

N2 N1

trafo

20

2,3

4 +

j 1

25

,40

Ω j 15,23 Ω

Sistema visto do lado de baixa

carga

N2 N1

trafo

2,0

23

4 +

j 1

,25

40

Ω j 0,1523 Ω

Transformador Y- ∆ ∆ ∆ ∆ ou ∆∆∆∆−−−−Y

Analisando o transformador trifásico Y-∆ e lembrando que a relação de transformação é dada pela relação entre as tensões dos enrolamentos primário/secundário vemos que :

• No lado em Y a tensão do enrolamento corresponde à tensão de fase do sistema,

• No lado em ∆ a tensão do enrolamento corresponde à tensão de linha do sistema.

Vs Vp

c'

b' a'

c

b

a

carga

Zc

Zc

Zc

Desta forma temos :

No caso do banco trifásico com conexão Y-∆a relação entre as tensões de linha é igual a ◊3 vezes a relação entre as espiras.

Lembrando do diagrama fasorial trifásico vemos que um transformador ∆-Y atua como um elemento defasador, por incluir uma defasagem de 30º entre as tensões ∆/Y.

a3V

Vou

V

Va

s

p

s

p t ==φφ

φφ

φφ

φ

a

b

c ab

bc

ca −b

A relação de transformação passa a ser vetorial, onde a tensão no lado do ∆ está adiantada de 30º em relação a do lado Y.

A relação de transformação pode ser representada como a associação em série de dois elementos, o primeiro com relação de transformação real e o segundo somente com a defasagem.

6/j

s

p

6/js

pe.

V3

V

e.V

Va t π−

π

−

φφ

φφ

φφ

φ ==

6/jd

s

p

r

6/j

s

p

drT

e.1a

V3

V

a

e.V

3

V

aaa

π−−

π−−−

=

=

=+=

φφ

φφ

φφ

φφ

Normalmente a defasagem é cancelada devido à existência de vários transformadores em cascata.

Num sistema radial a defasagem pode ser ignorada a não ser que haja interesse no ângulo das tensões. Com relação ao fluxo de potência no sistema radial não há impacto porque tanto a tensão quanto a corrente sofrem o mesmo defasamento.

Em sistemas com malha fechada é preciso verificar se a defasagem precisa ser representada.

No Brasil existe uma interligação entre Cemige Escelsa onde foi instalado um transformadorY-∆ (300 MVA 230/138 kV) para gerar a defasagem devido à restrições de fluxo de potência e esta defasagem deve ser corretamente modelada.

Vamos então desprezar a defasagem e lembrar que estamos trabalhando com a representação de seqüência positiva (“uma fase”).

Iremos representar a conexão ∆ por um Y equivalente e assim trabalharemos somente com uma fase, supondo que o sistema esteja equilibrado (para que os neutros estejam no mesmo potencial).

Quando uma impedância for referida ao lado do ∆ ela deve ser corrigida para o Y equivalente, lembrando que

Neste caso a relação de transformação Y-Yeq passa a ser dada pelas relações entre as tensões de linha (como no caso Y-Y).

3

ZZY

∆=

Y equivalente

Exercício 2 – Trafo Y-∆∆∆∆

Represente o transformador conectado em Y-∆ por seu equivalente de seqüência positiva. Desprezar a defasagem gerada pelo transformador.

Diagrama unifilar

Dados

N2 N1

Potência nominal S = 100 MVA

Xdispersão : 15,23 Ω (alta)

138 kV/13,8 kV – Y-∆Transformador

Reatância de dispersão no lado de baixa

Ω=

×= 4569,0

3/138

8,1323,15X

2

Trabalhando com Y equivalente

Reatância de dispersão no lado de baixa

Ω== 1523,03

4569,0X

Transformador visto do lado de alta

138 kV

N2 N1

trafo

j 15,23 Ω

Transformador visto do lado de baixa (Y equivalente seq pos)

N2 N1

trafo

j 0,1523 Ω

13,8 kV

Reparem que as impedâncias variam com a relação de entre as tensões de linha.

O transformador Y-∆ pode ser substituído por um equivalente Y-Y :

As relações de transformação serão :

138 kV-13,8 kV

N2 N1

N2 N1

138 kV-13,8 kV

2L

1fV

Va =

2L

1LV

Va =