Transformada Laplace Solucao Edlit

1

ENGENHARIA DE CONTROLE - MECATRNICA

Maro / 2015

Controle de Sistemas Mecnicos

Anotaes para Estudo

Reviso Matemtica Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

Maro / 2015 Controle de Sistemas Mecnicos 2

Sumrio Transformada de Laplace

Sumrio Transformada de Laplace

Conceitos Bsicos


Transformada de Laplace Inversa

Expanso em Fraes Parciais

Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes

no Tempo (EDLIT) usando Laplace



Conceitos Bsicos

Conceitos Bsicos

Nmero Complexo

Mdulo e Fase de um Nmero Complexo

Teorema de Euler



Transformada de Laplace - Definio




Transformada de Laplace - Propriedades

Transformada de Laplace PROPRIEDADES

1. Homogeneidade

2. Aditividade

3. Translao no Tempo

4. Mudana de Escala de Tempo

5. Multiplicidade por Exponencial

6. Multiplicao por Varivel Independente

7. Convoluo de duas funes

8. Diferenciao no Tempo

9. Integrao no Tempo

10. Funo Peridica de Perodo T




EXEMPLO de Transformada de Laplace (TL)

de uma funo Pulso Retangular (peridico)

2



Transformada de Laplace - Teoremas

TEOREMAS

1. Teorema do Valor Inicial

2. Teorema do Valor Final



Transformada de Laplace de Algumas Funes Elementares

Transformada de Laplace de Algumas Funes Elementares

(Funes Teste)

1. Funo Degrau Unitrio

2. Funo Rampa Unitria

3. Funo Pulso Unitrio

4. Funo Impulso Unitrio

5. Funo Exponencial

6. Funo Seno

7. Funo Cosseno




EXEMPLO de Transformada de Laplace (TL)

de uma Funo



Transformada de Laplace Inversa - Definio

Transformada de Laplace INVERSA



Transformada de Laplace Inversa - Expanso em Fraes Parciais

Expanso em Fraes Parciais



Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo (EDLIT)

Soluo de Equaes Diferenciais Lineares e

Invariantes no Tempo (EDLIT)

3




Para resolver esse tipo de equao (EDLIT) usando Laplace so necessrios trs passos:

1. Aplicar a Transformada de Laplace (TL) a cada um dos

lados da EDLIT, transformando-a, assim, numa

equao algbrica;

2. Isolar a varivel dependente, rearranjando a equao

algbrica;

3. Obter a soluo da EDLIT em funo do tempo, usando

a Transformada de Laplace Inversa (TLI).




Exemplo: Obter a soluo x(t) da equao diferencial

(EDLIT) mostrada abaixo:

( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 (0) ; ( ) ;x t x t x t x a x o b -




Exemplo: Obter a soluo x(t) da equao diferencial (EDLIT) mostrada abaixo:

( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 (0) ; ( ) ;x t x t x t x a x o b

Soluo:

Inicialmente, lembrar que (transformadas de Laplace

(TL) da funo x(t) e suas derivadas de primeira e

segunda, com as condies iniciais, so:

[ ( )] ( )L x t X s

[ ( )] ( ) (0) ( )L x t s X s x s X s a

2[ ( )] [ ( ) (0)] (0) ( )L x t s s X s x x s X s as b




Portanto, a EDLIT torna-se:

2 ( ) 3 ( ) 3 2 ( ) 0s X s as b X s a X s

2( 3 2) ( ) ( 3 ) 0s s X s as b a

2( 3 )

( )( 3 2)

as b aX s

s s

Isolando X(s):

Fatorando o denominador:

( 3 )( )

( 1)( 2)

as b aX s

s s




Lembrete:

Esse tpico, a seguir, sobre determinao analtica (dedues) dos Resduos da

Expanso em Fraes Parciais para a soluo de EDLIT no ser objeto de

avaliao nesta disciplina, pois considera-se como tpico de conhecimento prvio.

Espera-se que o profissional utilize um software para manipulao simblica

nesses procedimentos.




Calculando os

Resduos da Expanso em Fraes Parciais:

1 1( 1) ( ) (2 )sr s X s a b

Calculando os resduos:

Nesse ponto, aps aplicao do procedimento de determinao dos

Resduos da Expanso em Fraes Parciais, utiliza-se a tabela de

transformadas de Laplace (ver apndice do livro) e finalmente, obtem-se a

Resposta no Tempo.

2 2( 2) ( ) ( )sr s X s a b

1 2( )

( 1) ( 2)

r rX s

s s

4




Calculando os Resduos da Expanso em Fraes Parciais:

1 1( 1) ( ) (2 )sr s X s a b Calculando os resduos:

Finalmente, a resposta no tempo:

2

1( ) (2 ) ( ) ( )t tx t a b e a b e u t

2 2( 2) ( ) ( )sr s X s a b

1 2( )

( 1) ( 2)

r rX s

s s




Exemplo: Obter a soluo x(t) da equao diferencial

(EDLIT) mostrada abaixo:

( ) 3 ( ) 2 ( ) 0 (0) ; ( ) ;x t x t x t x a x o b

Soluo:

Finalmente, a resposta no tempo:

2

1( ) (2 ) ( ) ( )t tx t a b e a b e u t

Em resumo:




Transformada de Laplace FINAL de etapa

Transformada Laplace Solucao Edlit

Documents

Transcript of Transformada Laplace Solucao Edlit