Transformada de Fourier para um problema de vibrações mecânicas

Vibrações Mecânicas – 2014/2 Discente: Orlindo Wagner SOARES PEREIRA

Prof.: Libardo Andrés González Torres Matrícula: 20131026009

ANÁLISE DE UMA EXCITAÇÃO HARMÔNICA

UTILIZANDO SÉRIE DE FOURIER

1. Objetivo

O presente trabalho tem por objetivo apresentar a resolução do exemplo 4.1 do livro

utilizando a série de Fourier, assim como apresentar os cálculos feitos manualmente e também

com o auxílio do software MatLAB.

2. Introdução

Quando a força externa F(t) é periódica com período T = 2π/ω, ela pode ser expandida

em uma série de Fourier. Embora o movimento harmônico seja o mais simples de tratar, o

movimento de muitos sistemas vibratórios não é harmônico. Contudo muitos casos as

vibrações são periódicas.

Qualquer função periódica de tempo pode ser representada por série de Fourier como

a soma infinita de termos em seno e cosseno.

3. Formalização do problema

A figura abaixo descreve o funcionamento de uma válvula hidráulica em regime contínuo de

funcionamento (regime permanente). A válvula pode ser considerada como uma massa ligada

à uma mola e a um amortecedor de um lado e sujeita à uma função forçante F(t) do outro lado.

A função forçante pode ser expressa como:

F(t) = A p(t) A = π.(0,05)2/4 m2

Onde A é a área da seção transversal e p(t) é a pressão exercida pela válvula no instante t.

Note que A é uma constante e F(t) é uma função periódica de período τ = 2s. Deste modo

ω = 2π/ τ = π rad/s.



Figura 1: Vibração periódica de uma válvula hidráulica

A equação de movimento para o sistema é:

𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝐹(𝑡)

𝐹(𝑡) = 𝑎02 + ∑𝑎𝑗 𝑐𝑜𝑠𝑗𝜔𝑡

∞

𝑗=1

+ ∑𝑏𝑗 𝑠𝑒𝑛𝑗𝜔𝑡

∞

𝑗=1

Pelo princípio da superposição, a solução em regime permanente, isto é a força é periódica

sem mudanças. A solução é a soma das seguintes equações:

{

𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 =

𝑎0

2

𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝑎𝑗 𝑐𝑜𝑠𝑗𝜔𝑡

𝑚𝑥 ̈ + 𝑐�̇� + 𝑘𝑥 = 𝑏𝑗 𝑠𝑒𝑛𝑗𝜔𝑡

O objetivo aqui é encontrar os coeficientes da série de Fourier, ao, aj, bj. Pois sabe-se que a

solução para as três equações anteriores são respectivamente:

{

𝑥𝑝 = 𝑎0

2𝑘

𝑥𝑝 = (𝑎𝑗

𝑘) cos (𝑗𝜔𝑡− 𝜙𝑗)

𝑅

𝑥𝑝 = (𝑏𝑗

𝑘) sen (𝑗𝜔𝑡− 𝜙𝑗)

𝑅

onde,

𝑅 = √(1 − 𝑗2𝑟2)2 + (2𝜉𝑗𝑟)2

𝑟 = 𝜔/𝜔𝑛

𝜙𝑗 = arctan (2𝜉𝑗𝑟

1 −𝑗2𝑟2 ) 𝑗 = 1,2, 3…



Observação: Note que esta solução depende de j. Se jω = ωn isso implica que a amplitude da

harmônica será comparativamente grande. Isso será válido em particular para pequenos

valores de j e de ξ. A medida que j fica maior a amplitude torna-se maior e os termos

correspondentes tendem à zero. Alguns dos primeiros termos são suficientes para obter a

resposta com precisão razoável.

Para determinarmos os coeficientes aj, bj, multiplicamos a função F(t) que define o

comportamento do sistema, por cos(nωt) e sen(nωt) respectivamente e integramos sobre o

período τ = 2π/ω.1

𝑎𝑛 = 𝜔

𝜋 ∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

2𝜋𝜔

0

= 2

𝜏 ∫ 𝑥(𝑡) cos(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝜏

0

𝑛 = 0, 1, 2, 3…

𝑏𝑛 = 𝜔

𝜋 ∫ 𝑥(𝑡) sen(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

2𝜋/𝜔

0

= 2

𝜏 ∫ 𝑥(𝑡) sen(𝑛𝜔𝑡) 𝑑𝑡

𝜏

0

𝑛 = 1, 2, 3…

A função definida por parte

𝐹(𝑡) =

{

5000 𝐴𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤

𝜏

2

5000 𝐴 (2 − 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜏

2 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏

1 Isso é o que chamamos aplicar a transformada de Fourier



Aplicando – se as devidas condições iniciais e equações abaixo:

𝜔𝑛 = √𝑘

𝑚 𝜔 =

2𝜋

𝜏 𝑟 = 𝜔/𝜔𝑛 𝑐𝑐 = 2𝑚𝜔𝑛 𝜉 =

𝑐

𝑐𝑐

n Xa Xb fi

1 -0.0159 0 0.0126

2 0 0 0.0252

3 -0.0018 0 0.0380

4 0 0 0.0510

5 -0.0006 0 0.0643

Chegamos à solução que descreve o comportamento do sistema, desenvolvendo a série de Fourier até

o quinto termo:

𝒙𝒑(𝒕) = 𝝅/𝟏𝟔𝟎 − 𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟗 𝐜𝐨𝐬(𝝅𝒕 − 𝟎. 𝟏𝟐𝟔) − 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟖 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝝅𝒕 − 𝟎, 𝟎𝟑𝟎𝟖)

− 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝝅𝒕 − 𝟎, 𝟎𝟔𝟒𝟑)

4. Análise computacional

Para o presente trabalho foi desenvolvido um

algoritmo contendo todas as condições iniciais do

problema assim como o cálculo das integrais

utilizando o MatLAB.

O código encontra-se no anexo deste trabalho e

também no e-mail em que foram enviados os

mesmos.

5. Conclusão

O presente trabalho possibilitou o entendimento da série de Fourier e sua aplicação em

sistemas vibratórios harmônicos. De modo que foi possível realizar uma aplicação e uma

análise tanto manual quanto computacional utilizando o software matLab.

Figura 2: Gráfico obtido com auxílio do MatLAB após aplicação da série de Fourier



ANEXO : ALGORITMO UTILIZADO PARA A RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 4.1 NO

MATLAB

clear; clc; % Tarefa para o aprendizado da Série de Fourier (13/10/2014) % A % NOME: Orlindo Wagner Soares Pereira % MATRICULA: 2013 10 26 009 % Este programa encontra os coeficientes da serie de Fourier para o exemplo % 4.1, pagina 141 do livro de Vibrações mecânicas - Rao - 4Ed

% Variáveis do sistema:

k = 2500; % constante da mola equivalente m = 0.25; % massa equivalente do sistema T = 2; % período de oscilação w = 2*pi/T; % frequencia de oscilação do sistema w_n = sqrt(k/m); % frequencia natural do sistema c = 10; % coeficiente de amortecimento do aortecedor cc = 2*m*w_n; % coeficiente de amortecimento devido à w_n F_am = c/cc; % fator de amortecimento A = pi*(0.050^2)/4; % area da seção da camara de saída r = w/w_n; % razão entre as frequencias

syms x n t ; N = 5; a = sym('a', [N 1]); b = sym('b', [N 1]); fi = zeros(N,1); Xa = zeros(N,1); Xb = zeros(N,1); ao = 0.5 *( A * 50000 * ( int(t,0,1) + int((2-t),1,2) )); Xo = ao/k; R = sqrt( (1-(j*r)^2)^2 + (2*F_am*j*r)^2 );

for j = 1 : N

a(j) = A * 50000* ( int(t*cos(j*pi*t),0,1) + int((2-t)*cos(j*pi*t),1,2) ); b(j) = A * 50000* ( int(t*sin(j*pi*t),0,1) + int((2-t)*sin(j*pi*t),1,2) ); fi(j) = atan( (2*j*F_am*r)/(1-(j*r)^2) ); Xa(j) = (a(j)/k)/R; Xb(j) = (b(j)/k)/R; end

% Apresentação dos Resultados % X = Xo + Xa(j)*cos(pi*t - fi(j)) + Xb(j)*sin(pi*t - fi(j));

Xo Xa Xb fi tt = 0:0.01:4; pp = pi/160 - 0.0159* cos(pi*tt-0.126) - 0.0018 * cos(3*pi*tt - 0.0308) - 0.0006

* cos(5*pi*tt - 0.0643); plot(tt,pp); xlabel('Tempo(s)'); ylabel('Pressão(Pa)');

Transformada de Fourier para um problema de vibrações mecânicas

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