Transformações Geométricas Grafos de Cena - Autenticação · Referencial de mão direita...

Transformações GeométricasGrafos de Cena

Instituto Superior Técnico

Edward Angel, Cap. 4

Instituto Superior Técnico Computação Gráfica

2009/2010

1

Na última aula...

� Transformações Geométricas� Translação� Escala� Rotação

©2010, CG&M/IST e Figuras Addison Wesley

� Rotação

� Espaço Homogéneo� Coordenadas Homogéneas� Transformações no Espaço Homogéneo

Sumário

� Transformações Geométricas

� Composição de Transformações

Deformação Lateral


� Deformação Lateral

� Transformações no espaço 3D

� Matriz de transformação composta

� Grafos de Cena

Transformações no Espaço Homogéneo (1/2)

Translação Escala

1 0 dx0 1 dy0 0 1

MT = T(dx,dy) = ME = S(SX,SY) = SX 0 00 SY 00 0 1


Rotação

MR = R(β) =cos(β) -sin(β) 0sin(β) cos(β) 0 0 0 1

Transformações no Espaço Homogéneo (2/2)

Translação x´ 1 0 dx xy´ 0 1 dy y

1 0 0 1 1=

.

� Em coordenadas homogéneas� Transformação = Produto de Matrizes


1 0 0 1 1

Escala

Rotação

x´ Sx 0 0 xy´ 0 Sy 0 y

1 0 0 1 1=

.

x´ cos(β) -sin(β) 0 xy´ sin(β) cos(β) 0 y1 0 0 1 1

=.

Computação Gráfica

Composição de TransformaçõesComposição de Transformações

Composição de Transformações (1/4)

P P´ P´´T1 T2

P´ = T1 · P e P´´= T2 · P´

� No espaço homogéneo� Composição de Transformações = Produto de Matrizes


� Transformações associam-se � Da direita para a esquerda� Pela ordem inversa de aplicação

P´´= T2 · (T1 · P)

P´´= (T2 ○ T1) · P = (T2 · T1) · P

Exemplo: rotação em torno de um ponto


Problema: Rotação definida em relação a (0, 0). Como rodar em torno de um ponto qualquer?

Resposta: sequência de 3 transformações básicas.

Y Y YY T(-x1,-y1) R(θ) T(x1,y1)


X X

P1

XT(-x1,-y1)

P1

X

x1

y1

R (θ) T(x1,y1)

T = T(x1,y1) . R(θ) . T(-x1,-y1) =

1 0 x1 cos θ -sin θ 0 1 0 -x1 cos θ -sin θ x1(1 - cos θ) + y1sin θ0 1 y1 sin θ cos θ 0 0 1 -y1 sin θ cos θ y1(1 - cos θ) - x1sin θ0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

. . =

T(-x1,-y1) R(θ) T(x1,y1)


� Em geral não é comutativa� Produto de matrizes não o é

� Alguns pares comutativos


� Alguns pares comutativos� Translação ○ Translação

(Translação + Translação)

� Escala ○ Escala (Escala + Escala)

� Rotação ○ Rotação (Rotação + Rotação)


Exemplos de Comutatividade

1 0 dx2 1 0 dx1 1 0 (dx1 + dx2)0 1 dy2 0 1 dy1 0 1 (dy1 + dy2)

0 0 1 0 0 1 0 0 1=

.


Sx2 0 0 Sx1 0 0 Sx1.Sx2 0 0 0 Sy2 0 0 Sy1 0 0 Sy1.Sy2 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1=

.

cos α -sin α 0 cos β -sin β 0 cos (α + β) -sin (α + β) 0sin α cos α 0 sin β cos β 0 sin (α + β) cos (α + β) 00 0 1 0 0 1 0 0 1

=.


Exemplo de composições não comutativas

Translação + Escala

≠

Escala + Translação



Transformações Geométricas:Transformações Geométricas:


Deformação Lateral (shear transformation)

� Transformação primitiva� Não se define por composição



Deformação lateral em X

MSH = SHX(a) = 1 a 00 1 00 0 1

x´ 1 a 0 xy´ 0 1 0 y

1 0 0 1 1=

.


1 0 0 1 1


Deformação lateral em Y

x´ 1 0 0 xy´ b 1 0 y

1 0 0 1 1=

.MSH = SHY(b) = 1 0 0

b 1 00 0 1


1 0 0 1 10 0 1


� Tipo de transformação?

� Questões:� Preserva ângulos?


� Preserva comprimentos?� Preserva paralelismo de linhas?

� É transformação linear?� É transformação afim?� É transformação projectiva?

Transformações Geométricas

Classificação

Projectivas ⊃⊃⊃⊃ Afins ⊃⊃⊃⊃ Lineares

� Projectivas� Podem não preservar o paralelismo das linhas� A imagem de uma linha é um ponto ou uma linha

� Nunca uma curva


� Nunca uma curva

� Afins� Mantêm paralelismo de linhas� A imagem do vector (0,0) pode não ser (0,0)

� Lineares� Transformam linhas em linhas ou em pontos� A imagem do vector (0,0) é sempre (0,0)

Transformações Geométricas 2D

Transformações ElementaresTranslação Escala

Rotação

1 0 dx0 1 dy0 0 1

MT = T(dx,dy) = ME = S(SX,SY) = SX 0 00 SY 00 0 1


Rotação

MR = R(β) =cos(β) -sin(β) 0sin(β) cos(β) 0 0 0 1


MSH = SHX(a) = 1 a 00 1 00 0 1

MSH = SHY(b) = 1 0 0b 1 00 0 1


Transformações Geométricas 3DTransformações Geométricas 3D

Espaço vectorial tri-dimensional (1/2)

� Usa o referencial de mão direita“Right handed coordinate system”� Rotações positivas

� Sentido oposto ao da rotação dos ponteiros do relógio“counterclockwise”


“counterclockwise”

� Eixo ZZ “aponta” para “fora” da página

XZ

Y

(fora da página)

Espaço vectorial tri-dimensional (2/2)

� Referencial de mão direita� Convenção matemática

� Referencial de mão esquerda


� Interpretação natural em CG� Objecto com maiores valores na coordenada Z

� Encontram-se mais distantes do observador

� Na prática usam-se ambos os referenciais� Conforme sistema gráfico, aplicação ou biblioteca

Transformações Geométricas 3D

� Transformações 2D � Matrizes 3x3 no espaço homogéneo

Analogamente


� Transformações 3D� Matrizes 4x4 no espaço homogéneo

Analogamente

Coordenadas Homogéneas

� Espaço 3D representado num espaço 4D� Ponto (x,y,z) transformado num ponto (x,y,z,W)

P3d(x, y, z) → Ph(Wx, Wy, Wz, W), W ≠ 0


� Semelhante a 2D� Ponto 3D tem inúmeras representações em 4D

� Infinitos pontos no espaço homogéneo � representam o mesmo ponto em 3D

� Homogeneização idêntica

Homogeneização em 3D� Idêntica à realizada em 2D

� Dividem-se coordenadas homogéneas por W

(x, y, z, W) =3d (x/W , y/W, z/W, 1)

x/W, y/W e z/W: coordenadas


x/W, y/W e z/W: coordenadas Cartesianas do ponto homogéneo

(x, y, z, W) → (x/W , y/W, z/W)

(x, y, z) → (x , y, z, 1)W=1

Transformações Elementares 3D

Translação

1 0 0 dx0 1 0 dy

MT = T(dx, dy, dz) =


0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

x´ 1 0 0 dx xy´ 0 1 0 dy yz´ 0 0 1 dz z

1 0 0 0 1 1

= .


Escala

Sx 0 0 00 Sy 0 0

MS = S(Sx, Sy, Sz) =


0 Sy 0 00 0 Sz 00 0 0 1

x´ Sx 0 0 0 xy´ 0 Sy 0 0 yz´ 0 0 Sz 0 z

1 0 0 0 1 1

= .

Transformações Elementares 3DRotação

Y


XZ

� Definir matriz de rotação única� Não trivial� Usam-se quaterniões

� Para definir rotações espaciais

Transformações Elementares 3DRotação

Y

Rz(ψ)

Ry(φ)

Rx(θ)


28

XZ

Rx(θ)

� Abordagem mais simples� Realizar rotações apenas sobre eixos de coordenadas� Três matrizes distintas


Rotação

cos θ -sin θ 0 0sin θ cos θ 0 0

Rz(ψ): em torno do eixo dos ZZY

Ry(φ)


sin θ cos θ 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 cos θ -sin θ 00 sin θ cos θ 00 0 0 1

cos θ 0 sin θ 00 1 0 0-sin θ 0 cos θ 00 0 0 1

Rx(θ): em torno do eixo dos XX Ry(φ): em torno do eixo dos YY

XZ

Rz(ψ) Rx(θ)


Rotação

� Aproximação Incremental� Para pequenos ângulos

� sin (α) ≈ α� cos(α) ≈ 1


� cos(α) ≈ 1

31

1 -ψ φ 0ψ 1 -θ 0-φ θ 1 00 0 0 1

Rz(ψ) Ry(φ) Rx(θ) =


Deformação Lateral em 3D� Semelhante a 2D

� 2D� Um eixo fixo� Variação no outro

� 3D


3D� Um eixo fixo� Variação nos outros dois


Deformação Lateral em 3D


1 0 shx 00 1 shy 00 0 1 0

SHxy(shx, shy) =

©2010, CG&M/IST e Figuras Addison Wesley33

0 0 1 00 0 0 1

1 shx 0 00 1 0 00 shz 1 00 0 0 1

SHxz(shx, shz) =1 0 0 0shy 1 0 0shz 0 1 00 0 0 1

SHyz(shy, shz) =

Transformações de Corpo Rígido

� Preservam ângulos e comprimentos

� Objecto (corpo) não é� “Transformado” nem distorcido

� Cubo unitário


Cubo unitário� Permanece um cubo unitário

1 0 0 dx0 1 0 dy0 0 1 dz0 0 0 1

T(dx, dy, dz) = cos θ 0 sin θ 00 1 0 0-sin θ 0 cos θ 00 0 0 1

Ry(θ) =


Matriz de Matriz de Transformação Composta

Matriz de Transformação Composta

� Qualquer sequência de� Translações� Rotações� Escalas


� Pode ser representada numa única matriz:

r11 r12 r13 txr21 r22 r23 tyr31 r32 r33 tz0 0 0 1

M =

Matriz de Transformação Composta

� Matriz de transformações genérica (MTC)� Permite aplicar transformação

� Com 9 somas e 9 multiplicações (4+4 se 2D)


x´= x · r11 + x · r12 + x · r13 + tx

y´= y · r21 + y · r22 + y · r23 + ty

z´= z · r31 + z · r32 + z · r33 + tz

xyz

.=x’y’z’

R + T

� Aumento de eficiência (+ eventuais optimizações)

� Avião definido no sistema de coordenadas local

� Problema:� Orientar o avião de acordo com a direcção de voo

Composição de Transformações em 3D

Exemplo Prático


� Numa posição determinada

� Solução:� Aplicar rotação seguida de translação

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Exemplo Prático



Mudança de Sistema de Coordenadas

P(2) = M2←3 · P(3) P(1) = M1←2 · P(2)


P = M2←3 · P

M1←3 = M1←2 · M2←3

P

P = M1←2 · P



� Exemplo de aplicação:� Decomposição em sub-objectos

Y

Y

Z


X

Z

X

X

Y

Z



� Para mover o triciclo� Temos de saber as relações das suas partes com o WCS� Exemplo:

� Roda da frente em relação ao WCS

©2010, CG&M/IST e Figuras Addison Wesley51




P(wh) = Rz(β) · Pori(wh)

Mwo←wh = T(βr, 0, 0)

P(wo) = T(βr, 0, 0) · Rz(β) · P(wh)


Grafo de CenaGrafo de Cena

Grafo de Cena

� Cenas 3D armazenadas em DAG� Grafo de Cena

� Java3D� VRML� OpenSceneGraph

Como descrever um paralelepípedo numa cena?


� OpenSceneGraph� OpenSG

� Grafo de Cena contém� Objectos (primitivas gráficas)

� Cubos, esferas, cones, superfícies,....)� Atributos e Transformações

(com estas primitivas)

Transformações em Grafos de Cena

raíz

t0

g1

t1 t2

t5 t6

p3 p4

g3

Exemplo de um Grafo de Cena


t1 t2

t3 t4

p1

p2

g3 g2

g3

transformações

grupos de obj

primitivas

� Neste grafo de cena� A transformação t0 afecta todos os objectos� Enquanto t2 só afecta p2 e uma instância do grupo g3

� t2 não afecta p1 e a outra instância de g3

Múltipla Instanciação

raíz

t0

g1

t1 t2

t5 t6

p3 p4

g3

Exemplo de um Grafo de Cena


� Múltiplas instâncias de uma sub-árvore� Podem utilizar-se várias� É necessário definir antes de instanciar

� Mais simples de concretizar

t1 t2

t3 t4

p1

p2

g3 g2

g3

transformações

grupos de obj

primitivas

Transformações Hierárquicas (1/2)

� Matriz de Transformação Composta (MTC)� Matriz a aplicar a cada objecto

� Cálculo da MTC� Concatenação de todas as transformações


� Concatenação de todas as transformações� Em nós superiores no caminho

� Desde a raiz até ao objecto

� Detalhes variam consoante o sistema� Tenham atenção

� OpenGL e VRML têm diferenças� Vejam a ordem com que são realizadas as transofrmações

� RTFM

Transformações Hierárquicas (2/2)

Exemplo

m0

� No grafo� para g0, temos MTC = m0

� para p1, MTC = m1 * m0


g0

m1

m3

p1

p3 p4

m2

g2



� para p4, MTC = m3 * m2 * m0

� Em que� mi - matriz de transformação� pi - primitiva associada ao nó i� gi - sub-árvore com raíz em i

?

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