Transformações de variáveis

As transformações das bandas podem ser usadas para obter informação quantitativa sobre a imagem e reduzir a dimensionalidade dos dados

Principais tipos de transformações

• Transformações não lineares:– Exemplo: Índices de vegetação

• Transformações lineares:– Exemplos: componentes principais, transformação de

Kauth-Thomas

Índices de vegetação

• Exemplos:

– Quociente simples: NDivp(i)/NDv(i)

– Normalized Difference Vegetation Index

NDVI=( NDivp - NDv)/ ( NDivp + NDv).

Índice NDVI

• Este índice toma valores entre –1 e 1.

• Chuvieco (2000) sugere que um coberto vegetal corresponde a NDVI>0.1 e que vegetação densa corresponde a NDVI>0.5

Exemplo: imagem Landsat-TM, Castanheira de Pera

• Índices como o NDVI permitem atenuar o efeito do relevo na imagem obtida. Essa característica é importante, por exemplo, em análise multitemporal de imagens (para atenuação sos efeitos da variação da geometria de iluminação).

)()()()(

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

)()()()(

''

''

iriririr

iribiribiribirib

iribiribiribirib

iNDiNDiNDiND

vivp

vivp

vivp

vivp

vvivpivp

vvivpivp

vivp

vivp

ND’ – número digital (com correcção radiométrica) r - reflectância

Modelo digital do terreno Composição colorida

Efeito do relevo nas bandas de satélite: exemplo

Ocupação agrícola e florestalNDVI > 0.5

Exemplo: imagem Landsat-TM

Componentes principais

• Redução da dimensionalidade• Possivelmente relacionadas com características

quantitativas do coberto– Exemplo:

• Brilho da imagem na região do visível• Quantidade de vegetação verde• …

A matriz de variância-covariância

TjSj j

sx xxxx

m)()(

11

é uma matriz com n linhas e n colunas. Cada entrada utv da matriz x é a covariância entre a u-ésima banda e a t-ésima banda. As entradas da diagonal principal uuv são as

variâncias das bandas. Se se dividir cada entrada utv por ttuuvv obtem-se uma matriz R

chamada matriz de correlação para a qual cada entrada utr é o coeficiente de correlação entre a u-ésima banda e a t-ésima banda.

Decomposição da matriz de variância-covariância ou da matriz de correlação

As matrizes x e R são matrizes simétricas (B é simétrica se B=BT, em que BT é a transposta de B). Podemos então escrever para x (para R a decomposição é análoga) :

DPP xT ,

sendo P uma matriz de vectores próprios P=[v1...vn] de x , ortonormais (i.e. PPT=I, a matriz identidade), e D uma matriz diagonal cujas entradas não nulas são os valores próprios l1,...,ln associados aos vectores próprios v1...vn . (Vamos supôr, no que se segue, que os valores próprios estão ordenados por ordem decrescente, i.e., l1>...>ln).

Transformação linear das variáveis

Podemos realizar uma transformação linear dos dados num novo conjunto de eixos (eixos principais) tal que as correlações nesse novo referencial sejam nulas. Seja G uma matriz n por n tal e y=Gx a transformação de um vector x no referencial original (valores nas bandas do sensor por exemplo). Pretendemos escolher G tal que a matriz y de variância-covariância dos y’s seja diagonal (covariâncias nulas). Como

Tx

TTTy GGGxxxxGExGGxxGGxE )))((()))(((

(em que E representa o operador valor médio), então escolhendo G=PT asseguramos que y seja diagonal.

Prova-se igualmente que v1 (o vector próprio de x associado ao maior valor próprio) é o vector, entre todos os vectores v de norma 1, que maximiza a variância de Av (A é a matriz de dados original) isto é, define a direcção segundo a qual a projecção dos dados originais tem maior variância. A variância de Av1 é justamente o maior valor próprio de

x . Da mesma forma, v2 é a direcção (entre as direcções ortogonais a v1) que maximiza a variância, e assim sucessivamente para os restantes vectores próprios de x .

Numa matriz simétrica, a soma dos elementos da diagonal principal é igual à soma dos valores próprios da matriz. No contexto da análise de dados em detecção remota, isto significa que a soma das variâncias das bandas (elementos da diagonal principal de x ) é a soma dos valores próprios de x . Dado que cada valor próprio de x é a variância dos dados segundo a direcção do vector próprio associado, então considera-se que a proporção da variabilidade total dos dados explicada pelos k primeiros eixos principais é soma dos k primeiros valores próprios sobre a soma das variâncias.

VAR/COVAR xs1 xs2 xs3 xs1 568.45 604.43 139.18 xs2 604.43 689.10 161.27 xs3 139.18 161.27 465.79 COR MATRX xs1 xs2 xs3 xs1 1.000000 0.965725 0.270483 xs2 0.965725 1.000000 0.284650 xs3 0.270483 0.284650 1.000000

Exemplo: matriz de variância-covariância e matriz de correlação para 3 bandas SPOT-XS

Exemplo: 3 bandas SPOT-XS. Percentagem da variância explicada por cada componente e vectores próprios da matriz de variância-covariância

COMPONENT C 1 C 2 C 3 % var. 74.92 23.84 1.24 eigenval. 1291.16 410.90 21.29 eigvec.1 0.649060 -0.175795 0.740147 eigvec.2 0.718539 -0.177869 -0.672357 eigvec.3 0.249846 0.968225 0.010868

Projecção dos dados sobre asegunda componente: associado à vegetação

Terceira componente

Projecções sobre as últimas componentes: associado a “ruído” nas imagens

Transformação de Kauth-Thomas

TM1 TM2 TM3 TM4 TM5 TM7 Brilho .0243 .4158 .5524 .5741 .3124 .2303 Teor de verde -.1603 -.2819 -.4939 .794 -.0002 -.1446 Teor de água .0315 .2021 .3102 .1594 -.6806 -.6109

Coeficientes para Landsat-TM