Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015

Transferência de

Calor Apontamentos

José Carlos P. Lopes da Costa

Versão 2014/2015

INDICE

Versão 2014/2015 2 J. Carlos Lopes da Costa

Índice Introdução à Transferência de Calor 5

Fenómenos de Transporte 6

Mecanismos de Transporte 7

Quantidade de Calor Transferido 8

Resumo dos Mecanismos de Transferência de Calor 12

Resistência Térmica 13

Condução 17

Equação de Fourier e Equação Geral da Condução 17

Condutibilidade Térmica 18

Equação Geral da Condução 20

Casos Particulares da Equação Geral da Condução 23

Condução Monodimensional Estacionária 25

Condução Cilíndrica 27

Condução Esférica (Radial) 29

Raio crítico de isolamento 30

Resistência de contacto 16

Condução em Regime Transiente 32

Convecção 44

Modelos Físico-Matemáticos 45

Números AdimensionaisRelevantes na Convecção 48

Correlações Experimentais 53

Convecção Natural 60

Solução Numérica das Equações da Convecção Natural 64

Coorrelações para Conv. Natural 65

Cavidades Rectangulares (Fendas) 68

Permutadores de Calor 70

Introdução 70

Principais tipos de permutadores 70

Permutadores de Correntes paralelas vs. Contracorrente 74

Determinação da Transferência de Calor 75

Diferença Média Logarítmica de Temperaturas 77

Factores de Deposição 77

Radiação Térmica 87

Introdução 87

Variação espectral e direccional 88

INDICE


Definições fundamentais 89

Propriedades Radiativas das Superfícies Reais 91

Trocas de Energia por Radiação entre Superfícies de um Volume Fechado 97

Volume Fechado com duas Superfícies 106

Analogia Reo-eléctrica para Radiação Térmica 107

Volume Fechado com Várias Superfícies 109

INDICE


Introdução à

Transferência de Calor O que é a Transferência de Calor?

Trocas de energia (calor) que se estabelecem entre duas ou mais substâncias a diferentes temperaturas.

NECESSÁRIA COMPREEÇÃO PARA:

• Desenvolvimento de Máquinas Térmicas e outras de

Produção de Energia: Turbinas, Caldeiras, Condensadores, Permutadores de calor, Bombas de calor - Maquinas frigorificas, Motores de combustão interna, Sistemas solares, etc.

• Estudo de Soluções para poupança de Energia: Isolamentos para redes de transporte de calor, Optimização térmica de edifícios, etc.

• Estudo de Processos e Problemas Industriais

diversos: Isolamento térmico de componentes em máquinas, etc.

• Compreensão de diversos tipos de Fenómenos:

Metabolismo dos seres vivos, Meteorologia e Clima, Culinária, Trocas de Energia entre planetas, estrelas, etc.

Capítulo

1

T1 T2

q Nota:

T1 > T2

dt

dQq = em J/s ou W

Nota Importante:

Iremos adoptar a notação usada no Incropera:

Q - Energia Térmica, J

q - Taxa de transf. de calor, W (ou J/s)

q& - Taxa de transf. de calor por unid. de volume, W/m3

q′- Taxa de transf. de calor por unid. de comprimento, W/m

q ′′ - Fluxo térmico, W/m2

INDICE


Fenómenos de Transporte

• Transferência de Quantidade de Movimento

• Transferência de Calor

• Transferência de Massa

• ...

Transferência de Quantidade de

Movimento

Fluido

Vr

Q. mov.

Transferência de Calor T1

T2

q ′′ Meio

condutor

x

T

Transferência de Massa ρΑ1 (elevado)

ρΑ2 (Baixo)

Am&

x

ρA

x

V

∂∂

−= µτ

Notas:

Enquanto houver desequilíbrio de velocidades (V), τ (tensão) mantém-se! A q. de m. é transportada das partículas com velocidade mais alta para aquelas com velocidade mais baixa.

x

Tkq

∂∂

−=′′

Enquanto houver diferença de temperatura o fluxo de calor mantém-se! O calor flui das temperaturas mais altas para as mais baixas.

xDm A

A ∂∂

−=ρ

&

A substância A avança das zonas de maior densidade (ρ) para as zonas de menor densidade.

INDICE


Mecanismos de Transporte

Modos Mecanismos Meios

Difusão (Condução)

Para o calor

Agitação entre Moléculas

• Sólidos • Fluidos em repouso (Exemplo: Ar nos poros da esferovite ou da cortiça)

Convecção Fluido em movimento Fluidos

Convecção natural

Convecção forçada

Radiação

APENAS NA TRANSFERÊNCIA

DE CALOR

Transporte sem matéria

Meios transparentes

q ′′

Sem Mudança de Fase

Com Mudança de Fase

INDICE


Quantidade de Calor

Transferido

Condução

( )21 TTe

AkqCD −=

Condutibilidade térmica do material da parede - k

UNIDADES

CDq - [W] (isto é J/s])

A - [m2]

e – [m]

T∆ – [ºC] ou [K]

T1

T(°C)

e x

CDq

A

T2 Parede Plana

É do senso comum que o fluxo de calor entre duas faces de uma parede de material uniforme,

CDq , é

proporcional à superfície da parede A, á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2), e inversamente proporcional à espessura e.

k - [W/(m.ºC)] ou [W/(m.K)]

A condutibilidade

térmica é uma

propriedade física das

substâncias e dos

materiais. Traduz a maior ou menor capacidade que um material tem em deixar passar calor. Materiais bons condutores têm k altos (metais); materiais maus condutores têm k baixos (cortiça).

Nota:

Em muita bibliografia aparece a letra λλλλ (minúscula) no lugar de k a representar condutibilidade térmica.

INDICE


Convecção

Coefic. de Convecção de um escoamento – h

( )∞−= TTAhq pCV UNIDADES

CVq - [W] (isto é J/s])

A - [m2]

∆T – [ºC] ou [K]

Outros exemplos de geometrias de CONVECÇÃO

T(y)

Tp

y

T(y)

Tp

T∞

CVq

Vejamos um qualquer

escoamento de um

fluido sobre uma

superfície. Neste caso, a temperatura á superfície (Tp) é diferente da temperatura do fluido (T∞). Tal como se desenvolve uma camada limite de velocidades, que junto á superfície são inferiores, também se desenvolve um gradiente de temperaturas, desde Tp até T∞, que constitui a Camada Limite

Térmica.

É previsível que CVq seja

proporcional à superfície da parede A e á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2).

h - [W/(m2.ºC)] ou [W/(m2.K)]

O coeficiente de

convecção h é função

do escoamento em

causa. É função do fluido, da geometria do escoamento, e de outros factores, como veremos. Poderemos ter uma infinidade de escoamentos diferentes do exemplo apresentado em que haja trocas de calor (Exemplo: água que aquece ou arrefece dentro de tubos num radiador).

Nota:

Em muita bibliografia aparece a letra α no lugar de h a representar coeficiente de convecção.

∞∞ vT ;

pTTp

Tmédia do fluido

INDICE


Radiação

� Radiação Electromagnética →Não necessita de meio.

Desenvolve-se no vácuo ou em meios transparentes.

� Uma superfície emite radiação independentemente do que o rodeia.

� Dois corpos trocam sempre radiação nos dois

sentidos independentemente das temperaturas (desde que uma das temperaturas não seja 0K).

A radiação solar chega até nós através do vácuo no espaço. Uma boa parte chega à superfície terrestre, porque a atmosfera é transparente para uma parte dessa radiação. Se houver um obstáculo não transparente, os efeitos da radiação são eliminados ou atenuados.

Qualquer corpo que “veja” outro recebe uma parte da sua radiação. Este emite a sua radiação independentemente daquele(s) que a recebem, quer estejam mais quentes ou mais frios.

O corpo mais quente emite mais radiação que o corpo mais frio. No final o balanço é positivo para o mais frio e negativo para o mais quente, pelo que acaba por haver

transferência de

calor do corpo mais

quente para o corpo

mais frio.

INDICE


hRAD=ε.σ.(T1+T2).(T12+T2

2)

[hRAD] - W/m2K

Radiação – Calor Emitido

CORPO EmitidaRadq .

..EmRadq é proporcional a A e a T4

Nota: T em K (Kelvin)

Valor Absoluto (em K)

Superfície do Corpo

T

� Corpo Negro (Radiador Ideal)

4. .. TAq EmitidaRad σ=

� Corpo Real

4. ... TAq EmitidaRad σε=

Radiação – Calor trocado

Caso Particular: Quando uma superfície 1 se encontra envolvida por uma superfície muito maior (sup. 2), - Exemplo: Objecto 1 rodeado pelas paredes de uma sala 2 - pode-se demonstrar (como veremos) que o calor trocado entre as duas por radiação é:

σσσσ – Constante de

Steffan-Boltzmann

σσσσ=5.67*10-8 W/(m2K4)

Constante física.

εεεε– Emissividade do

Corpo Indica a eficiência do corpo real relativamente ao corpo negro. (0<ε<1)

Um corpo negro é um corpo que absorve toda a radiação que nele incide. Pode-se demonstrar que um corpo negro também emite toda a radiação que é possível um corpo emitir a uma dada temperatura. Um corpo real emite apenas uma fracção dessa radiação.

T1>T2

A2>>A1

Superfície 1: A1, ε e

Superfície 2: T2

Quando se calculam situações que envolvem vários meios de transferência de calor, pode ser mais prático utilizar uma expressão para a radiação que envolva ∆T no lugar de ∆(T4) (ver Resistências Térmicas). Daí surge a necessidade da grandeza Coeficiente de

Radiação - hRAD.

( )42

4121 ... TTAqRAD −=− σε

( )2121 .. TTAhq RADRAD −=−

INDICE


Resumo dos Mecanismos de

Transferência de Calor

Mecanismo Equações Propriedades

Associadas

Condução

Equação de Fourier

⇒∂

∂−=′′

x

Tkqx

e

TTAkq 21 −

⋅−=

k (W/m.K)

Convecção

Lei de Newton do Arrefecimento

( )21 TTAhq −⋅⋅=

hCV (W/m2.K)

Radiação

Aplicação da Lei de Steffan-

Boltzmann

4... TAq σε=

Caso particular: 2 superfícies, A2 >>A1:

( )42

4111 TTAq −= σε

( )211 TTAhRAD −=

ε

σ (W/m2.K4)

hRAD (W/m2K)

INDICE


Resistência Térmica

Esta abordagem facilita a análise de sistemas onde existem trocas de calor entre vários meios:

� Permite a análise de sistemas mais complexos.

� Permite a obtenção de resistências térmicas equivalentes a conjuntos de resistências.

& &V ou m

p∆

.HidrR

pm

∆=&

SISTEMA HIDRÁULICO

.ElectR

VI =

SISTEMA ELÉCTRICO

Ex: Quartos de uma casa ou edifício

T1

T1 T1

T1

T1

T1

T1

T2 T3

T4

T5

T5

T 1 T 2

q

Rtérmica

SISTEMA TÉRMICO

térmicaR

Tq

∆=

Meio onde se dá a transferência de calor (convecção, condução ou radiação)

V

I

R

INDICE


Quantificação das Resistência

Térmicas

• Condução

⇒∆= Te

kAq

kA

e

q

TRCond =

∆=

W

K

⇒∆=′′ Te

kq

k

e

q

TRCond =

′′∆

=′′

⋅W

mK 2

• Convecção

⇒∆⋅⋅= TAhqAhq

TRConv ⋅

=∆

=1

W

K

⇒∆⋅=′′ Thqhq

TRConv

1=

′′∆

=′′

⋅W

mK 2

• Radiação

Uma vez que qnão é proporcional a ∆T mas sim a ∆(T 4), a definição de RRad não é tão evidente.

Pode-se, como aproximação, considerar hRD e adoptar a

mesma definição de RRade RadR ′′ que foi utilizada para a convecção.

RRad =1

hRD A

W

K ;

RD

1

hRRad =′′

⋅W

mK 2

Para uma situação

concreta (A está definida).

Quando se pretende

determinar o fluxo

de calor por

unidade de área (A indefinida).

Para uma situação

concreta (A está definida).

Quando se pretende

determinar o fluxo

de calor por

unidade de área (A indefinida).

INDICE


Combinação de Resistência

Térmicas

Semelhantes ás aplicadas aos circuito eléctricos:

Resistências em Série:

21 RRReq += ou

∑=

=n

i

ieq RR1

Resistências em Paralelo:

21 /1/1/1 RRReq += ou

1

321

...111

−

+++=

RRRReq

Generalizando:

1

1

1−

=

= ∑

n

i i

eqR

R

T1 T2

q

R1 T3 T1 T3

q

R2 Req

Exemplo:

Parede de um edifício

Exemplo:

Janela de um edifício

&Q

T1 T2

T1 T2 T1 T2

21 qqq +=

1q

2q

R1

R2

Req

T1 T2

Vidro

Caixilharia

...321

:ImportanteNota

RRRReq′′+′′+′′=′′

1

321

...111

:ImportanteNota−

′′+

′′+

′′=′′

RRRReq

CONDUÇÃO


Resistência de contacto

Em sistemas com vários materiais pode haver queda de

temperatura na interface entre materiais:

Deve-se então considerar a existência de uma resistência suplementar e localizada a que se chama resistência de

contacto.

Rcontacto↑ se:

• rugosidade ↑ • pressão de contacto ↓

Tabela de valores experimentais:

Rc×104 (m2K/W) - Para condições de vácuo

Pressão de contacto 100 kN/m2 10000 kN/m2

Aço 6 … 25 0,7 … 4

Cobre 1 … 10 0,1 … 0,5

Alumínio 1,5 … 5 0,2 … 0,4

Deve-se á rugosidade das superfícies - na maioria dos casos os interstícios têm ar (que é mau condutor).

Podem-se obter mais dados sobre resistência de

contacto em bibliografia sobre Transferência de Calor

CONDUÇÃO


Condução Equação de Fourier e Equação

Geral da Condução

O que è a Condução?

O transporte molecular de calor (difusão) através de um meio sólido ou em repouso.

A condução é proporcional ao gradiente de

temperaturas nesse meio.

x

Tkqx ∂

∂−=′′

r

Equação de Fourier

O fluxo de calor é uma grandeza vectorial, isto é, podemos encarar q ′′ como um vector q

r′′ que aponta das

temperaturas mais altas para as mais baixas.

Capítulo

2

x

T1

T2

T

0>′′qr

x

T1

T2

T

0<′′qr

Nota:

A

qq =′′ em W/m2

k – Constante física do meio onde se desenvolve a condução do calor.

( )

x

Tkq

x

T

x

Tx

x

Tk

Te

kq

x ∂∂

−=′′

∂∂

→∆∆

⇒→∆

∆∆

−=

∆−=′′

r

r

0

CONDUÇÃO


Num caso geral em que a temperatura varie em 3 dimensões, dentro de um dado meio:

∂

∂

∂

∂

∂

∂⋅−=∇⋅−=′′

z

T

y

T

x

TkTkq ,,

r

O fluxo de calor desenvolve-se em linhas perpendiculares ás superfícies isotérmicas.

90º

Isotérmicas Isotérmicas Isotérmicas

qr

′′ qr

′′

qr

′′

Condutibilidade Térmica

A equação de Fourier pressupõe a existência de uma grandeza física - k - que é uma propriedade do meio onde se desenvolve o fluxo de calor por condução. Esta propriedade designa-se por condutibilidade térmica.

xT

qk

∂∂

′′−=

(num meio monodimensional)

Unidades S.I. para a condutibilidade térmica:

=

→

mK

W

K/m

W/m 2

k

CONDUÇÃO


Interpretação da Condutibilidade

Térmica

A condução ou difusão de energia térmica (isto é, passagem de calor através de um meio sem movimentação de massa) deve-se á:

• Agitação entre átomos que é transmitida através das ligações atómicas.

• Migração de eletrões livres através das ligações atómicas.

Consequências:

� k sólidos>k líquidos>k gases – uma vez que as ligações atómicas são mais fortes nos sólidos que nos líquidos, e as destes, por sua vez, mais fortes que as dos gases.

� k metais >k maus condutores eléctricos – uma vez que os metais dispõem de grande quantidade de electrões livres, que navegam facilmente através das ligações atómicas.

0.01 0.1 1 10 100

1000

λ

Gases

Líquidos

Mat. Isolantes

Sólidos não Metálicos

Ligas Metal.

Metais Puros

Gelo Plásticos Óxidos

Zinco Prata

Óleos Mercúrio Água

CO2 H2

A condutibilidade térmica varia com a temperatura, sobretudo nos líquidos e gases.

Nota:

Quando se fala na condutibilidade de

fluidos (líquidos e gases), admite-se que estes se encontram em repouso sem qualquer movimentação de massa.

Para efeitos de cálculos, determina-se geralmente valores médios de k para as temperaturas em causa.

k [W/(mK)]

CONDUÇÃO


Equação Geral da Condução

Tomemos um determinado volume elementar (com um volume dV= dx.dy.dz) num dado meio onde a temperatura é variável.

Fazendo um balaço á energia térmica neste pequeno volume elementar:

gdzzdyydxxzyx Qdqqqqqqdt

dQ &+++−++= +++ )(

Passemos a analisar cada um destes termos individualmente.

VARIAÇÃO da

Energia Interna

(CALOR) por

unidade de

Tempo

= Calor que

ENTRA por unidade

de tempo

- Calor que

SAI por

unidade de

tempo

+ Calor que é

GERADO no

seu interior por unidade de

tempo

Nota:

gQ& - Calor que “brota” do

material (gerado) por unidade de tempo.

T(x,y,z,t)

dV

x

y

z

dx

dy dz

gQd &

x x+dx

xdq dxxdq +

dyydq +

ydq

zdq

dzzdq +

x

CONDUÇÃO


• Variação da energia interna por unidade

de tempo

Pode-se exprimir da seguinte forma:

t

TcV

t

Tcm

t

Q pp

∆

∆⋅⋅⋅=

∆

∆⋅⋅=

∆∆ ρ

Como falamos de um intervalo de tempo e de um volume elementares, os Δ tornam-se infinitamente pequenos (Δ passa a d ou ∂).

t

Tcdzdydx

t

TcdV

dt

dQpp ∂

∂⋅⋅⋅⋅⋅=

∂∂

⋅⋅⋅= ρρ

• Fluxos que ENTRAM – Fluxos que SAEM

Analisemos o fluxo de calor ao longo da direcção x: (a análise será semelhante para as restantes direcções y e z)

=⋅⋅

⋅

∂

′′∂+′′−⋅⋅′′=− + dzdydx

x

qqdzdyqqq x

xxdxxx

=⋅⋅

⋅

∂

′′∂−′′−′′= dzdydx

x

qqq x

xx

=⋅∂

′′∂−=⋅⋅

⋅

∂

′′∂−= dV

x

qdzdydx

x

q xx

dVx

TkdT

x

x

Tk

⋅∂

∂⋅=⋅

∂

∂∂

⋅∂=

2

2

Considerado todas as direcções:

= k ∂2T

∂x 2 +∂2T

∂y 2 +∂2T

∂z2

dV = k ∇2T dV

Nota:

Δ… – Variação de... Exemplo: ΔQ = Qfinal – Qinicial

O volume do cubo elementar é: dV = dx . dy . dz

Segundo a equação de Forier:

x

Tkqx ∂

∂⋅−=′′

Laplaciano de uma função de x, ye z:

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

CONDUÇÃO


• Calor GERADO

Assumindo que conhecemos gq& (em W/m3),a quantidade de calor gerado por unidade de volume (ou potência calorífica por unidade de volume):

dVqQd gg && =

Por fim, juntando todos estes termos na equação de Balanço Energético:

dVqdVTkdVt

Tc gp

&+∇=∂∂

2ρ ou


k

qT

t

T

k

c gp&

+∇=∂∂ 2 ρ

Difusibilidade Térmica

Nesta equação evidencia-se o termo k

cp ρ. O inverso deste

termo k

ρ c p

é muitas vezes designado por difusibilidade

térmica do meio ou do material – α :

pc

k

ρα =

Estabelece uma relação entre a facilidade com que o calor

evolui nesse meio (k) e a forma como ele é retido ou

acumulado nesse meio ( ρ c p).

Nota:

Não esqueça:

2

2

2

2

2

22

z

T

y

T

x

TT

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

A Equação Geral da

Condução pode então ser escrita da seguinte forma:

k

qT

t

T g&

+∇=∂

∂ 21

α

CONDUÇÃO


Casos Particulares da


Regime Permanente

Quando um fluxo de calor se encontra numa situação estabilizada, nada varia com o tempo. Então:

⇒=∂∂

0t

T02 =+∇

k

qT

g&

Regime Permanente sem Fontes de

Calor

Na maior parte das situações, o calor não é gerado no seio do material que conduz o calor. Assim:

⇒

=

=∂∂

0

0

gqt

T

&02 =∇ T Equação de Laplace

Regime Instacionário sem Fontes de

Calor

⇒= 0gq&t

T

k

cT

p

∂∂

=∇ 2 ρ

Ao contrário das situações anteriores esta situação não permite uma solução analítica.

Notas:

Um fluxo de calor em regime permanente estabelece-se quando a fonte de calor não arrefece e quando a fonte fria não aquece. Existem muitas situações práticas em que isto se verifica; por exemplo, quando a fonte de calor é uma chama, e o calor se escapa para a atmosfera.

Quando estamos numa situação monodimensional:

02

2

=→dx

Td

Exemplo: quando o calor flui através de uma parede plana, da face mais quente para a face mais fria, não há razão para pensar em variações de temperatura em direcções paralelas á parede. Assim a única direcção onde interessa considerar variações é a direcção x perpendicular á parede.

Quando estamos numa situação monodimensional, em que o fluxo de calor se dá segundo a direcção x:

t

T

k

c

dx

Td p

∂∂

=

2

2 ρ

CONDUÇÃO


Condições Limite

A equação geral da condução é, na sua forma geral, uma equação diferencial de 2ª ordem, de derivadas parciais.

A obtenção do perfil de temperaturas no meio em causa é feita por integração, da qual resulta o aparecimento de constantes de integração. Estas são obtidas por aplicação das condições limite.

- Há 2 tipos de condições limite:

• Condição inicial (tempo)

• Condições fronteira (espaço)

- Há 3 espécies de condições fronteiras:

� 1ª Espécie

Condições de temperatura: Sabe-se a T na fronteira.

� 2ª Espécie

Condições de fluxo: Sabe-se o fluxo na fronteira.

k

q

x

T

x

Tkq x

xx

x −

′′=

∂∂

⇔∂∂

−=′′ =

===

0

000

Inclui o caso de uma superfície isolada:

000

0 =∂∂

⇔=′′=

=x

xx

Tq

� 3ª Espécie

Condições de convecção: Conhece-se h e T∞.

( )0

00=

=∞= ∂∂

−=−=′′x

xxx

TkTThq Relação para Tx=0

Nota:

Condição inicial

(tempo) - diz respeito ao conhecimento da distribuição de temperatura para t = 0 (para cada caso só é necessária 1). Condições fronteira

(espaço) - reportam-se ao que se passa nas fronteiras físicas do domínio (são necessárias 2 condições para cada coordenada espacial - fronteira inicial e final).

x Tx=0

x

0=xq&

x

T∞ h

CONDUÇÃO


Condução Monodimensional

Estacionária

A equação geral da condução em coordenadas cartesianas é:

k

qT

t

T g&

+∇=∂∂ 21

α

Em regime estacionário 0=∂

∂

t

T . Para uma só dimensão (x):

02

2

=+k

q

dx

Td g&

Condução plana

Considere uma placa plana, com uma espessura L.

A integração da equação anterior dá (sendo qg&

independente de x):

212

2)( cxcx

k

qxT

g ++−=&

Sendo as constantes c1 e c2 calculadas a partir das condições fronteira (x=0e x=L).

• Sendo 0≠qg& a distribuição de T é parabólica.

• Se 0=qg& (ausência de fontes):

distribuição linear (note-se que k é constante).

T(x) = c1x +c2 ⇒

x

x=0 x=L

Nota:

O fluxo de calor pode ser obtido por derivação de T, ou através da definição de

resistência de

condução plana (já conhecida):

R

Tq

kA

eR planacond

∆=→=

Note-se que a resistência só faz sentido se não houver fontes.

CONDUÇÃO


Parede plana com Geração de Calor

Exemplo: Barramento de cobre atravessado por uma corrente eléctrica, “gera” uma quantidade de calor (Efeito

de Joule) proporcional a I 2.

Distribuição da Temperatura: 212

2)( cxcx

k

qxT

g ++−=&

Parede Plana sem Geração de Calor

Ex.: Parede exterior de uma habitação

CVeCDCVi

ei

eq RRR

TT

R

Tq

++

−=

∆= x

h2

T

q ′′

x=L x=0

T2

T1

h1

Ti

Te

x

T1 h 2, T∞

T

x=L x=-L x=0

T2 h 1, T∞

h 1= h 2⇒T1=T2

Fronteira com Condições Simétricas

T1

T

x=L x=-L x=0

T2

h 1, T∞

h 1 ≠h 2⇒T1 ≠ T2

Fronteira com Condições Não Simétricas

Tmax

Qd &

Tmax

Qd &

x

h, T∞

T

Tmax=Tx=0

Fronteira isolada: 00 =′′=xq

Tmax

ra Isolamento

x=0 x=L

q ′′ q ′′ q ′′ q ′′

q ′′

x

21.)( cxcxT +=

CONDUÇÃO


Condução Cilíndrica

De modo semelhante ao que foi feito em coordenadas cartesianas, pode traduzir-se a equação geral da condução em coordenadas cilíndricas (fazendo o balanço de um volume elementar em coordenadas cilíndricas).

Obter-se-ia, no caso geral:

t

T

k

q

z

TT

rr

Tr

rr

g

∂∂

=+∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

αθ111

2

2

2

2

2

&

� No caso monodimensional estacionário - condução radial - s/

fontes

; A solução é do tipo:

21 ln)( crcrT +=

• Pode deduzir-se a resistência de condução radial cilíndrica:

(dR – resistência de uma fatia elementar dr)

∫∫∫ ===e

i

e

i

e

i

r

r

r

r

r

rr

dr

kLkrL

dr

Ak

drR

ππ 2

1

2

W

K

Nota: para determinar q’ [W/m] – Fluxo de calor por unidade de comprimento de tubo:

( )k

rrR ie

π2

lnCilíndrica Parede

=′

W

Km

∂∂r

r∂T

∂r

= 0

dR =dr

k Ar

RParede Cilíndrica

=ln re ri( )2πkL

z + ∂z

r

z

θθθθ

r + ∂r

r

θ

θ + ∂θ

z

∂r

∂z r∂θ

Para um cilindro oco (tubo) as constantes c1 e c2 determinam-se pelas condições fronteira nas 2 superfícies (interior e exterior).

CONDUÇÃO


Comparação entre Condução

Cilíndrica e Condução Plana

Para a determinação do fluxo de calor através de uma parede cilíndrica poderíamos eventualmente aplicar o valor determinado para a resistência de uma parede plana

R =e

A k no lugar de

( )Lk

R i

e

r

r

..2

ln

π= .

No entanto, para um tubo cilíndrico a área é variável. Assim, a expressão R =

e

A k só poderá ser

usada como aproximação e sob certas condições. Por

exemplo, quando a espessura do tubo é muito reduzida

(Ai≈Ae), utilizando-se uma Amédia, como 2

eim

AAA

+= .

Exemplo: um tubo de aço (k=15W/mK, L=1m)

Erro cometido, para diferentes espessuras (ri= 15)

e (mm) 2 4 6 8 10 15 20

re ( mm) 17 19 21 23 25 30 35

Am (m2) 0,100 0,107 0,113 0,119 0,126 0,141 0,157

e

Amk (

mK

W) 0,00133 0,00250 0,00354 0,00447 0,00531 0,00707 0,00849

ln re /ri( )2πkL

(mK

W) 0,00133 0,00251 0,00357 0,00454 0,00542 0,00735 0,00899

Erro (%) 0 0,4 0,8 1,5 2 4 6

e

q

re

ri

q q

q

Nota:

Ai– Área Interior Ae – Área Exterior

LrA ii ...2 π= LrA ee ...2 π=

CONDUÇÃO


r

θθθθ

r

θ

∂r

∂θ

φ

∂φ

φφφφ

Condução Esférica (Radial)

A equação geral da condução em coordenadas esféricas é:

t

T

k

qT

r

T

rr

Tr

rr

g

∂

∂=+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

αφφ

φφθφ1

sinsin

1

sin

1122

2

222

2

&

• Condução radial permanente e sem fontes:

1

r2

∂∂r

r2 ∂T

∂r

= 0

• Resistência de condução radial (esfera oca):

∫∫∫ ===e

i

e

i

e

i

r

r

r

r

r

rr

dr

krk

dr

Ak

drR

22 4

1

4 ππ

−=

ei rrkR

11

4

1Esférica Parede π

W

K

r

dr

CONDUÇÃO


Raio crítico de isolamento

Caso Típico: Isolamento térmico de um tubo metálico, onde circula um fluido.

• O fluxo do interior para o exterior é:

eeisol

e

t

i

ii

ei

AhLk

r

r

Lk

r

r

Ah

TTq

1

2

ln

2

ln1

+

+

+

−=

ππ

• Ao aumentar re:

Ae↑⇒R conve↓

re/r↑⇒R condisol↑

• Há um valor de Req mínimo:

dq

dre

= 0⇒ q(re) = qmax para re=rcrítico.

Trabalhando-se a equação anterior obtemos que:

iscrítico

e

kr

h=

Raio crítico de isolamento

Efeitos diferentes

em Req

Rconvi Rcondtubo Rcondisol Rconve

Isolamento

Metal

ri

r

re

re e=0 re=r

0

qmáxq

rcrítico rOK

Nota:

Se o isolamento não for suficientemente eficiente (kisol baixo), a colocação de material isolante sobre o tubo pode aumentar a perda de calor (área exterior aumenta).

Só valerá a pena colocar isolamento para raios re superiores a rOK.

CONDUÇÃO


• Nota Importante:

Se kis/he = rcr<r

tal significa que já o máximo para ( )erfq = se

encontrará para re=r, isto é e=0.

Nesta situação vale a pena aplicar qualquer espessura de isolamento, uma vez que q diminui sempre.

• Conclusão:

Deverá se ter em conta o raio crítico de isolamento quando este for pouco eficiente (kisol pouco baixos), ou quando o raio exterior do tubo a isolar for relativamente baixo.

Esfera Oca Uma análise equivalente feita para esferas ocas conduz á seguinte definição de raio crítico de

isolamento:

2 iscrítico

e

kr

h=

re e=0 re=r

0

q

máxq

rcrítico não existe na prática!

Nota:

Repare na figura que se o raio exterior do tubo sem isolamento (r) fosse muito pequeno, aí entraríamos numa região em que teríamos um raio

crítico de isolamento.

CONDUÇÃO


Condução em Regime

Transiente

Neste ponto vamos analisar a equação geral da condução, mas para situações que evoluem no tempo. Para tornar essa análise mais simples vamos considerar uma situação de condução mono dimensional (em x) sem geração de calor.

t

T

αx

T

∂

∂=

∂

∂ 12

2

Resolúvel através de:

� Métodos Analíticos (solução exacta)

� Métodos Numéricos (não abordados aqui)

� Se atemperaturafor Uniforme – Sistema Global ∂T

∂x≈ 0

Solução Exacta Placa Plana

θ (x, t)

θ (x, t = 0)= Cn

n =1

∞

∑ cos ζn

x

L

e

− ζ n2 αt

L2

h, T∞∞∞∞

x 0

h, T∞∞∞∞

x=-L x=L

Em que:

• θ ( x , t ) = T ( x , t ) − T∞

• nC e ζn são

funções de hL

k.

CONDUÇÃO


A dedução matemática da equação anterior é relativamente complicada, no entanto a sua dedução põe em relevo duas grandezas adimensionais:

� Nº. de Fourier - 2CL

tFo

α=

� Nº. de Biot - k

LhBi C=

LC é um comprimento característico da geometria em

estudo. Tipicamente LC = VAsuperfície

.

Assim: T(x,t) −T∞

Tinicial −T∞

=θ(x,t)

θinicial

= f (x,Fo,Bi)

O mesmo tipo de análise pode ser feito para outro tipo de

geometrias:

Tempo adimensional

para a condução.

Capacidade de se transmitir calor por convecção face à capacidade de se transmitir calor por condução.

0 h, T∞

r=r0 r

Cilindro infinito – comprimento muito grande (→∞). A

uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou aquece) por acção de um fluido (h, T∞).

Esfera –A uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou

aquece) por acção de um fluido (h, T∞).

h, T∞

r=r0

r

0

θ (x, t)

θ (x, t = 0)= Cn

n=1

∞

∑ e− ζn

2 αt

ro

J0 ζnrro

( ) θ (x, t)

θ (x, t = 0)= Cn

n=1

∞

∑ e− ζn

2 αt

ro

1

ζnrro

sin ζnrro

( )Em que :

Cn e ζn são funções de Bi ;

J0 - Função de Bessel do primeiro tipo.

Nota IMPORTANTE:

• Placa Plana:Espessura2

1== LLC

• Cilindros: LC =ro

2

• Esferas: LC =ro

3

CONDUÇÃO


Analisando os resultados de θ(x, t)

θ(x, t = 0), verifica-se:

� Se Bi < 0,1⇒ T (x, t ) ≈ T (t ) 0≈∂

∂

x

T

A convecção no exterior do sólido é mais intensa que a condução que se dá no seu interior.

Para cada instante de tempo, no interior do sólido, a temperatura é praticamente uniforme.

Todo o sólido comporta-se um sistema único com uma só temperatura para cada instante de tempo – Sistema de

Capacitância Global – ver secção seguinte.

� Se Bi > 0,1⇒ T (x, t ) diversos para cada x e t

Existem para cada instante gradientes de temperatura

importantes no interior do sólido.

x

T

T inicial

T

t=0

t=∞∞∞∞

Arrefecimento

x

T

T inicial

T

t=∞∞∞∞

t=0

Aquecimento

x

T

T inicial

T∞∞∞∞

t=0

t=∞∞∞∞

Arrefecimento

x

T

T inicial

T∞∞∞∞ t=∞∞∞∞

t=0

Aquecimento

Exemplos em que

isto pode ocorrer: • Material sólido muito bom

condutor • Sólido muito fino (agulha,

chapa fina) • Coeficiente de convecção h

muito elevado.

Soluções de

Cálculo:

• Solução

Aproximada a partir da Solução exacta.

• Recurso às Cartas de

Heisler para as geometrias mais elementares (placa e cilindro infinitos, e esfera).

• Recurso a Métodos

Numéricos. Não abordado na disciplina.

CONDUÇÃO


( )

⇒

−

=⇒

=⇒−=−

⇒−=−=⇒−=

−−=⇒−=

∫∫

∞∞ −=

tpcV

hA

dt

d

dt

dT

et

tcV

hA

dtcV

hAdθθ

dtcV

hAdhA

dt

dcV

TtThAdt

dTcVq

dt

dQ

ip

i

t

p

θ

θp

p

psai

i

TtTθ(t)

ρ

θ

θθ

ρθθ

ρρθ

θθ

θρ

ρ

)(lnln

1

1

)(

0

:Integrando

)(:Adoptando

Sistema de Capacitância Global

O que traduz 0,1Bi < ?

RCD =L

kA ; RCV =

1

hA

RCD

RCV

=LkA

1hA

=hL

k= Bi

Se Bi<0,1, a diferença de temperaturas entre o núcleo (T0) e a superfície (TP) é pouco significativa, em comparação com a diferença global (T0-T∞). Quanto menor for Bi, mais nos aproximamos da seguinte situação:

Dedução de T(t)

Balanço energético:

∆Energia Interna = Energia que sai

RCV

Tcorpo T∞

Corpo Sólido

O corpo sólido forma um só sistema global de temperatura

uniforme T(t).

Exemplo: Placa plana

RCV RCD T∞

TP

T0

x

L 0

Se Bi<0,1, é porque a resistência de condução é inferior a 10% da resistência de convecção.

θ ( t)

θ i

= e−Bi ⋅Fo

Nota : θ(t)

θi

=T (t)− T∞

Ti − T∞

dQ

dt… se consideramos arrefecimento

qsai qentra

CONDUÇÃO


Análise de um Sistema Global (cont.)

θ (t)

θ i

= e−Bi ⋅Fo

Calor transferido durante um período 0 →t:

( ) [ ]JouleJ)( −−= ip TtTcmQ

Analogia reo-eléctrica

Vρ c p

dT

dt= −hA T(t) − T∞( )

C – Capacidade Térmica/Eléctrica do Corpo

R – Resistência Térmica/Eléctrica

T≡V – Potencial Térmico/Eléctrico (Temperatura)

CdV

dt=

1

RV (t) −V0( )⇒

∆V (t)

∆Vi

= e− 1

RCt = e

− 1τ t

Nota: 1

RCτ = - constante de tempo; R↑ ou C↑ – resposta

mais lenta. Maior inércia.

RCV=1/(hA)

C=ρVcp

T∞=V0

T=V

No início (t=0)…

Ti

T∞

T

t

θ

0

θι

Ti

T∞

T

t

θ

0

θι

Aquecimento Arrefecimento

CONDUÇÃO

Versão 2014/2015

Solução Aproximada

Para a generalidade dos casos, nomeadamente quando

€

Bi > 0.1, a solução passa pelo cálculo de soluções aproximadas. As equações das soluções exactas têm uma extensão infinita. No entanto, passada uma fase muito inicial do aquecimento/arrefecimento, temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações:

( ) ( Fo

Lx eC

21 cos* 1 1

ζζθ −≈( ) ( )

orrFo

JeC 10*

1

21* ζθ ζ−≈

( ) (orr

FoeC

1

*1 sin

1*

21 ζ

ζθ ζ−≈

As funções C1 e ζ1e as funções de Bessel ncontram

37 J. Carlos Lopes da Costa

Solução Aproximada

Para a generalidade dos casos, nomeadamente quando , a solução passa pelo cálculo de soluções

As equações das soluções exactas têm uma extensão ita. No entanto, passada uma fase muito inicial do

aquecimento/arrefecimento, para valores de

€

Fo > 0.2, a temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações:

)Fo - Placa Plana

- Cilindros

( )orr

1ζ - Esferas

e as funções de Bessel ncontram-se tabeladas.

J. Carlos Lopes da Costa

Nota IMPORTANTE:

• θ*=θ (x, t)

θ (x, t = 0)

• Placa Plana:

Fo =αt

L2 ; Bi =

h L

k

L − 12

Espessura

• Cilindros e Esferas:

Nestas equações e

tabelas os números de

Biot e Fourier são

calculados usando

LC = ro :

Fo* =αt

ro

2 ; Bi* =h ro

k

Na tabela: Bia = Bi Placas planas

Bia = Bi * Cilindros e Esferas

Tabelas - Fonte: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentals of heat and mass transfer (4th.Edition)

x

T

θθθθi(T inicial)

T∞∞∞∞

t=0

t =∞∞∞∞

Exemplo: Arrefecimento

t

θθθθ0

θθθθ

CONDUÇÃO


x

T

θθθθi(T inicial)

T∞∞∞∞

t=0

t =∞∞∞∞ Exemplo: Arrefecimento

t

θθθθ0

θθθθ

A energia transferida nestes processos de aquecimento/arrefecimento pode ser obtida com base nestas equações:

( ) *

1

1sin1 o

oQ

Qθ

ζζ

−= - Placa Plana

( )111

*21 ζ

ζθ

JQ

Q o

o

−= - Cilindros

( ) ( )[ ]11131

*

cossin3

1 ζζζζθ

−−= o

oQ

Q - Esferas

em que: ( )∞−TTVcQ inicialpo = ρ , θo

* − θ * no núcleo, para x = 0 ou r = 0

, J1 - Funções de Bessel.

Quando os meios de cálculo eram limitados, estes cálculos poderiam ser feitos por estimativas através do...

Recurso ás cartas de Heisler Notas Prévias

Nota 1:

Geralmente pretende-se determinar uma temperatura T para um instante t, que equivale a uma temperatura θθθθ para um instante Fo. Nestas cartas lida-se com:

� θ i = Tinicial − T∞

� θ0 = Tnúcleo −T∞

� θ = Tqualquer − T∞

Nota 2:

As cartas de Heisler usam os mesmos números Bi* e Fo*,

referidos atrás LC = ro( ) nas equações aproximadas.

CONDUÇÃO


Leitura das cartas de Heisler

� Quando se pretende conhecer a temperatura T para um ponto x no instante t: Calcula-se Bi*, Fo*, e θi. Em seguida…

� Quando se pretende conhecer o instante tem que no

ponto x a temperatura é T: Calcula-se Bi*, θ, e θi. Em seguida…

Fo*→ t

1

*Bi

iθθ0

*

1

Bi

0θθ

or

r

L

xou

iθθ

θθθθ 0

00

e se-determina e Conhecendo →

Determinado!

Fo*

*

1

Bi

iθθ 0

*

1

Bi

0θθ

or

r

L

xou

∞

∞

−

−==

TT

TT

iii θθ

θθ

θθ 0

0

Determinada!

� As cartas de Heisler permitem resolver outros tipos de problemas e a sua aplicação não se cinge a situações em que Bi<0,1.

� Também existem cartas de Heisler para determinar o calor trocado para cada instante de tempo durante um aquecimento ou arrefecimento.

CONDUÇÃO


Apêndice: Cartas de Heisler Estas cartas podem ser consultadas em: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentos da transferência de calor e de massa (4ª Edição), LTC Editora.

Placa Plana

*

*

*

CONDUÇÃO

Versão 2014/2015

Cilindro


*

*


*

CONDUÇÃO

Versão 2014/2015

Esfera


*

*


*

CONDUÇÃO

Versão 2014/2015

Cartas para determinar a energia trocada

*

*

*


Cartas para determinar a energia trocada

* *

* *

* *


CONVECÇÃO


Convecção O que é a Convecção?

É o transporte de calor através de um meio fluido, feito principalmente devido à movimentação de massa – fluido

mais quente transporta consigo calor.

Se esse movimento for provocado (forçado) por um sistema exterior ao fluido (ventiladores, bombas, movimento de veículos), diz-se convecção forçada.

Se esse movimento for induzido pelo próprio fluido, devido à diferença de densidades (provocada pela diferença de temperaturas) do fluido na presença de um campo gravítico (ou outro tipo de aceleração), então diz-se convecção natural.

No estudo da convecção, vamo-nos debruçar sobre a entrada ou a saída de calor de um dado sítio, devido à presença de um fluído ou melhor, devido à presença de um escoamento. Iremos estudar a passagem de calor de/para um fluido para/de uma superfície.

Capítulo

3

T(y) Tp

y

T(y)

Tp

T∞

q

T∞

CONVECÇÃO


Modelos Físico-Matemáticos

A convecção pressupõe um meio fluido ou um escoamento onde existem gradientes de temperatura –

fluxo de calor.

Equação da Energia para um dado

Escoamento

Analisando o que se passa no ponto (x,y,z)…

rodeia o que o com Troca

em actuantes Forças em Pot

Total Energia

dM

dMdM

qt

+

=∆

∆

Esta equação pode ser expressa para uma situação genérica por …

Massa dM

dx dy

dz (x,y,z)

x y

z

0

Campo de Temperaturas

Equação da Conservação da Quantidade de Movimento (Navier-Stokes) (insuficiente)

Condiciona

Campo de Velocidades

Equação da Energia

CONVECÇÃO


( )

( )TkTk

VfepVVpV

uvV

ut

turb

diss

∇⋅∇+∇+

++∇+⋅∇−=

+∇⋅+

+

∂∂

2

22

22

rr&

rrr

r

r

ρρρρ

Decomposição desta expressão:

�� Variação da Energia Total em dM por unidade de

tempo (potência):

Cinética Energia - 2

calor); (incluido Interna Energia-

a devido Energia de Transporte

2

Tempo o com Variação

2

2.

2

Vu

v

VuV

Vu

t

r

r44 344 21

rr

44 344 21

r

+∇+

+

∂∂

ρρ

�� Potência das forças que actuam em dM:

( )876 rr4444444 84444444 76

321&

44 344 21

rrExteriores Forças das Pot.isSuperficia Forças das Pot.

Viscoso Atrito de Forças a RelativoPressão de Forças a Relativo

VfepVVp diss ρρ ++∇+⋅∇−

�� Fluxo de calor (potência calorífica) que entra e sai de dM:

Para conhecermos o que se passa num escoamento em termos de fluxo de calor, será necessário integrar esta

equação – equação da energia.

Nota:

Operadores Cartesianos Derivativos • Gradiente:

_ _ __ , ,

x y z

∂ ∂ ∂∇ ≡ ∂ ∂ ∂ Aplica-se a uma grandeza escalar _.

• Divergente:

zyx

zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂≡∇

____.

Aplica-se a uma grandeza vectorial _ur

.

( )zyx _,_,__ =

( )43421321

Turbulenta Condução-Pseudopor Calor de Fluxo)(Molecular Conduçãopor Calor de Fluxo

2 TkTk turb∇⋅∇+∇

CONVECÇÃO


Integração da Equação da Energia

• Resolução Analítica: só viável em muito poucos casos em que é possível muitas simplificações. Exemplo: Em Regime Estacionário, e Escoamento Laminar a simplificação resulta em…

Tkx

VuV

disse

i

iij

2

2

v

2∇+

∂

∂=

+∇⋅

876rr

&ρ

τρ

Numa situação monodimensional, pode-se integrar analiticamente.

• Recurso a Métodos Numéricos Computacionais: Aplicável à maior parte das situações. No entanto padece dos problemas e da complexidade das modelações numéricas em Mecânica de Fluidos.

• Obtenção de Correlações Experimentais em Laboratório: Existem em publicações da especialidade correlações semi-empíricas obtidas experimentalmente, para as geometrias e situações mais comuns em engenharia. – Iremos sobretudo abordar esta via.

Em qualquer dos casos:

Para quantificar os fluxos de calor por

convecção, é necessário conhecer:

conhecer.

• Características do Escoamento

• Condições Fronteira

� Geometria � Regime (Laminar ou Turbulento)

CONVECÇÃO


Números Adimensionais Relevantes na Convecção

Quando se analisa um dado sistema físico, é vantajoso o recurso a variáveis adimensionais:

• Diminuem o número de variáveis independentes. • A escala dos fenómenos é irrelevante (podem-se

aplicar os mesmos conceitos a situações dimensionalmente diferentes).

Escoamentos em regime estacionários:

�� Número de Reynolds – Re

..

.v.v.Re refrefrefref

MovimdeQdaDissipação

MovimentodeQuantidadeLL≡==

νµρ

�� Número de Grashof – Gr

ViscosoAtritodeForças

ImpulsãodeForças...Gr

densidade de diferença àDevido

2

3refref

444 8444 76

≡∆

=ν

β LTg

⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Energia

⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Q. de Mov. Adimensionalização

5 parâmetros adimensionais

Re, Gr, Ec, Pr, Prturbulento

Nota Importante: Convecção Natural � Convecção Forçada

1Re

Gr2

<< - Convecção Forçada – Forças ascensionais muito menores que as forças de inércia.

1Re

Gr2

>> - Convecção Natural – Os gradientes de temperatura impõem as movimentações do fluido.

2

Gr1

Re≈ - Convecção Mista – Natural+Forçada.

CONVECÇÃO


�� Número de Eckert – Ec

( ) FluidodoTérmicaEnergia

FluidodoCinéticaEnergia

TcEc

TérmicaEnergiaemtranformarpodeseQue

p

44444 844444 76

≡∆

=ref

2ref

.

v

�� Número de Prantl – Pr

4444 34444 21

4444 84444 76

calordomoleculardifusãoparaAptidão

massademoviementoporcalordoeotransportparaAptidão

pp

k

c

k

c

TérmicadadeDifusibili

CinemáticadadeDifusibili...Pr ≡===

ανρνµ

�� Número de Nuselt – Nu

FluidodoidadeCondutibil

CausaemConvecção

fluido

Ref ≡=k

LhNu

Nota: Número de Prandtl “Turbulento”

Em escoamentos em regime turbulento, a agitação turbilhonar de pequena escala pode ser encarada como um fenómeno difusivo, complementar à difusibilidade molecular. Daí, podem-se criar novas propriedades difusivas: a Viscosidade

Turbulenta- turbµ ou turbν - e a Condutibilidade Turbulenta- turbk . Daí que

certos modelos de convecção considerem um Número de Prandtl Turbulento.

turbturb

turb

.Pr pc

k

µ=

Não iremos abordar

Nota: Fluido a Alta Velocidade �Dissipação Significativa

Se a velocidade do fluido for muito elevada, a energia dissipada pelo atrito nas superfícies (que se transforma em calor) começa a ser significativa. Esse calor começa a alterar o campo de temperaturas. Este factor começa a ser notório para valores do número de Eckert muito

elevados. Exemplo 1: Ar a 45m/s (162 km/h) faz subir a temperatura junto ás superfícies cerca de 1ºC, apenas devido à dissipação de energia por atrito.

Não iremos abordar

Notas:

• Há convecção significativa se Nu>1. • Basicamente podemos interpretar Nu

como sendo o coeficiente de

convecção (h) adimensional, de uma dada situação.

CONVECÇÃO


T∞, v∞

x

v(y)

v∞ y

Camada Limite

Dinâmica

v(y)

v∞

T∞, v∞

x

y

Camada Limite

Térmica

T∞

T(y)

Tp

T∞

T(y)

Tp

Camada Limite

Dinâmica q

Conceito de camada limite térmica Exemplo: Escoamento sobre uma Placa Plana

Camada limite dinâmica:

Zona de um escoamento, junto a uma parede, onde os

gradientes de

velocidade são

importantes, devido à viscosidade do fluido.

Camada limite Térmica:

Zona do escoamento junto a uma superfície, mais quente (ou mais fria), onde os gradientes de temperatura são

importantes.

Nota: Na figura Tp>T∞ ; Se Tp<T∞ o raciocínio será semelhante. O fluxo de calor será de cima para baixo.

CONVECÇÃO


Definição do Nº de Nusselt

Junto à parede (y=0):

=′′′′=′′A

qqxqxq CVCD )()(

Para uma dada situação, o número de Nusselt pode ser determinado pela resolução da equação da Energia, ou (mais geralmente) por via experimental.

(Geometria,Re,Pr,condições de fronteira)Nu f=

Existem vários trabalhos científicos que determinaram coorelações empíricas para a determinação do nº de Nusselt para um grande número de situações práticas.

( )

( )

( ) ⇒∂∂−

−=−

⇒∂∂−

=∂∂

−∂

=∂⇒−

−=

=∂⇒=

→∂∂

−=−

←−=′′

←∂∂

−=′′

=

∞∞

∞

∞∞

∞

=

∞

∞

=

=

0

0

0

)()(

)()(

Convecção)()()(

Condução)(

:aisadimensionepara valoresAdoptemos

)0 em parado está fluido (o

Yref

p

fluidop

ref

p

pp

refref

y

fluidop

p

y

fluido

YL

TTkTxTxh

YL

TT

y

T

TT

T

TT

TT

L

dyY

L

yY

T yy

TkTxTxh

TxTxhxq

y

Tkxq y

θ

θ

θθ

(x)

fluidok

refh(x)L

Y

θNu==

∂∂

−

T∞, v∞

x

y

Camada Limite

Térmica

T∞

T(y)

Tp

T∞

T(y)

Tp 0

q

Nota:

O número de Nusselt traduz assim o fluxo de

calor adimensional numa situação em que existe convecção junto a uma superfície.

CONVECÇÃO


Coeficiente de Convecção – Valores

Locais e Valores Médios

A camada limite aumenta de espessura com x; logo:

∞

=

====

−

∂∂

=

∂∂

<

∂∂

TT

y

Tk

xh

y

T

y

T

p

y

fluido

xxyxxy

0

00

)(:Como

12

Então h(x) decresce com x.

Nota: h(x) é o coeficiente de convecção local (para um dado x).

Se pretendermos calcular o fluxo de calor total numa placa plana:

Coef. de Convecção Médio -

Nº de Nusselt Médio -

Na maior parte das situações práticas o valor que mais nos interessa é o valor médio do calor trocado. Por isso, na generalidade dos casos iremos sobretudo nos preocupar com o cálculo do coeficiente de convecção médio.

x

y

Camada Limite

Térmica

T∞

T(y)

Tp

T∞

T(y)

Tp

0 x2 x1

)( 1xq′′ )( 2xq ′′

supsup

sup

1( ).

Ah h h x d A

A= = ∫

supsup

sup

1Nu Nu Nu . ref

xAfluido

hLd A

A k= = =∫

CONVECÇÃO


Camada Limite Laminar e Camada

Limite Turbulenta

Se o comprimento da placa for suficientemente grande, a partir de xcrítico, a camada limite dinâmica torna-se turbulenta. Se a Camada Limite cresce, em princípio a resistência à passagem de calor também cresce. No entanto, a agitação na camada limite turbulenta aumenta muito, o que quase uniformiza a temperatura acima da sub-camada limite laminar. Daí que os gradientes de

temperatura vão quase só existir nesta sub-camada mais fina. Isto é:

O cálculo do coeficiente de

convecção médio (para toda a placa) deve ter em consideração estas duas zonas:

Admitindo a zona de xcrítico muito pequena.

aumenta)( aumenta aumenta xhqy

T

oy

⇒′′⇒∂∂

=

x

y T∞

Tp 0

C. L. Laminar C. L. Turbulenta Transição Sub-Camada Laminar

Transição

Zona T

urbulenta

v∞ v∞ T∞

Tp

T(y)

T(y)

xcrítico

x

y

0

C. L. Laminar C. L. Turbulenta Trans.

xcrítico

h

h(x)

h(x)

lam turb0

1( ) ( )

critico

critico

x L

x

h h x dx h x dxL

= + ∫ ∫

CONVECÇÃO


Camada Limite Laminar e Camada

Limite Turbulenta (cont.)

O desenvolvimento de camadas limite dinâmica e térmica ocorre em outros tipos de escoamentos: Escoamentos Externos

Corpos completamente imersos no fluido.

� Placa Plana:

� Cilindro Perpendicular a um escoamento:

Escoamentos Internos:

� Tubos e Condutas:

Regime Turbulento Regime Laminar



CONVECÇÃO


Especificidades na Análise de

Escoamentos Internos

É usual definir-se Tm – Temperatura média do Fluido

Para um dado x: ( )mp TTxhxq −=′′ )()(

Sendo Te e Ts as respectivas temperaturas médias, na entrada e saída.

Como os mp TTT −=∆ variam ao longo do tubo (de x), demonstra-se que o mais indicado para todo o tubo será usar um T∆ médio designado por Diferença de

Temperaturas Média Logarítmica:

ln.. TAhq ∆=Em todo o tubo Interior

∆

∆

∆−∆=∆

saída

entrada

saídaentradaln

ln

:Sendo

T

T

TTT

Tmax1 T

r Tp

Tmax2 T

r Tp

Tm Tm

Te

Ts

Tmin1 T

r Tp

Tmin2 T

r Tp

Tm Tm

Te

Ts

Admitindo Tp uniforme: Te>Tmax1>Tmax2>Ts

Admitindo Tp uniforme: Te<Tmin1>Tmin2>Ts

Caso II: Parede quente aquece o fluido

Caso I: Parede fria arrefece o fluido

x

x

Nota:

Para mais detalhes acerca

de lnT∆ , consultar o capítulo relativo a Permutadores de Calor.

CONVECÇÃO


Correlações Experimentais

para a Convecção

Notas Prévias

• Para os cálculos dos fluxos de calor em problemas de convecção forçada geralmente basta-nos conhecer:

(Geometria,Re,Pr,Condições de Fronteira)Nu f= • Iremos apenas analisar escoamentos:

� Em regime permanente � Escoamentos incompressíveis (isobáricos no

caso de gases) � Dissipação desprezável ( 0Ec ≈ )

• Normalmente iremos determinar Nu através de funções do tipo: Nu .Re Prb c

a= a, b e c são constantes para :

� Cada geometria � Cada Regime (Re laminar ou turbulento) � Tipo de condição fronteira

( )etc ;const ;const ≅′′≅ qTp � Fluido que banha a superfície

• Existirão expressões para valores locais e para valores médios:

1 2Nu ( ); Nu ( )x f f= =K K • Em diferentes publicações poderemos encontrar

diferentes expressões de Nu para um mesmo caso. Tratam-se de resultados experimentais semi-empíricos, que podem diferir conforme o trabalho cientifico. Não esquecer que este tipos de cálculos fazem estimativas e não determinam valores exactos.

• As propriedades dos fluidos (k, µ, ν, etc) são supostos valores constantes e uniformes nos cálculos. No entanto, variam com T!

CONVECÇÃO


As correlações são muitas vezes definidas com base em propriedades à temperatura T∞ ou Tp (na parede), A sua contabilização pode ser feita de dois modos: � Com base numa das temperaturas

nas fronteiras - T∞∞∞∞ ou Tp (na parede).

� Com base numa temperatura

média de referência (maior parte dos casos).

� Por vezes, as correlações já trazem um factor que contabiliza a variação das propriedades com a temperatura. Apresentam a seguinte forma:

No entanto pT ou mT não são conhecidos à partida. Nestes casos é preferível partir para valores estimados, que serão rectificados iterativamente, até o resultado do cálculo convergir.

• As grandezas adimensionais que caracterizam um (Re,

Nu, Gr) escoamento são determinadas com base num comprimento característico Lref do escoamento. Esse valor é indicado como índice destas grandezas:

v. .Re ; Nux D

fluido

x h D

kν= =

Como é óbvio, que num mesmo cálculo acerca de um dado escoamento, é conveniente manter sempre o valor de Lref para as diversas grandezas Re, Nu ou Gr.

Exemplos:

Escoamento sobre uma placa plana: Lref = L (comprim.) …ou Lref = x (posição) Escoamento dentro de um tubo: Lref = D (diâmetro hidráulico) Escoamento à volta de um cilidro: Lref = D (diâmetro)

( ou )

( ou )

( )

( )

.Re Pr ;líquidos

.Re Pr ;gases

m

m

p

p

T T

T T

b c

b c

T

T

Nu a

kNu a

k

µ

µ∞

∞

=

→

=

internossescoamentonos,2

externossescoamentonos,2

mp

ref

p

ref

TTT

TTT

+=

+=

→

∞

CONVECÇÃO


Correlações Experimentais Placa plana com escoamento paralelo � Regime Laminar ReL<5×105

50Pr6,0PrRe664,0Nu

PrRe332,0Nu~~3/11/2

3/11/2

<<

=

=

L

xx

6,0PrPrRe906,0Nu

PrRe453,0Nu~3/11/2

3/11/2

>

=

=

L

xx

Outras correlações: Exemplo: Líquidos viscosos, metais líquidos – Pr baixos.

Nux

= 0,565 Re.Pr( )1 2= 0,565.Pe1 2 ← Pr

%< 0,05

1 2 1 3valores de elevadosNu 0,339.Re Pr Pr x = ←

� Regime Turbulento ReL>5×105

( )

←−=

=→

←=

<<<

>

<<<

) e 0 (entre placa a todaPara

10~

Re;60~

Pr~

6,0 8

3/14/5

3/14/5

8

3/14/5

Pr871Re037,0Nu

PrRe0308,0NuPrRe0296,0Nu10

~Re;60

~Pr

~6,0

LL

xx

crítico

xx

xx

y

0 x

h

h(x)

L

x uniforme q ′′

Fluxo de calor uniforme em toda a placa y

0 x

h

h(x)

L

x T uniforme

Temperatura uniforme em toda a placa

y

0 x

h

h(x)

L

x uniforme q ′′

Fluxo de calor uniforme em toda a placa y

0 x

h

h(x)

L

x T uniforme

Temperatura uniforme em toda a placa

Notas:

• Em regime laminarOs valores de Nu são 36% superiores para Tp uniforme. Em regime turbulento não há praticamente diferenças. • Pode-se demonstrar que Nu 2.Nu para x x L= =

• Para alguns autores Re.Pr Pe= - Nº. de Peclet

CONVECÇÃO

Versão 2014/2015

Escoamento no Interior de Tubos

Para a região de escoamento desenvolvidocamadas limite ao longo do tubo

x constanteNuNu ==

� Regime Laminar

Em regime laminar, Nu é independente de

Secção T

Equilátero

∞

a

2a

a

a

xe Zona de Entrada

Camada Limite Térmica

05,0 :que Em e Dx ≅

x

O Nu varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica.(Ver caixa abaixo, á direita).


Escoamento no Interior de Tubos e Condutas

Para a região de escoamento desenvolvido, uma vez que existirá limite ao longo do tubo, e considerando kfluido

xemconstante

Regime Laminar ReDh<2300

é independente de Re ou Pr:

Tp Uniforme

NuDh =

pq ′′ Uniforme

NuDh =

3,66 4,36

2,98 3,63

3,39 4,11

7,54 8,23

2,47 3,11

Escoamento Desenvolvido

Dh

Zona mais relevante para a maior parte dos casos! Até porque geralmente L>>x

L

PrRehD

varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica.

Zona de Entrada:

Nusselt local, nos diferentes tipos de zon


e Condutas

, uma vez que existirá estabilização das fluido constante, então:

Escoamento Desenvolvido

para a maior

L>>xe!

Zona de Entrada:

Nusselt local, nos diferentes tipos de zona de entrada:

CONVECÇÃO


Escoamento no Interior de Tubos e Condutas

(cont.)

� Regime Turbulento ReDh>10 4

Hipóteses consideradas:

• Escoamento desenvolvido • Tubos lisos interiormente (ou de baixa rugosidade)

Em regime turbulento não existirão diferenças de h ou Nu entre

situações de Tp uniforme ou pq ′′ uniforme.

� Correlação 1 (Equação de Dittus-Boelter):

<<←=

=

=

fluido do ntoarrefecime o para

fluido do oaqueciment o para

3,0

4,0

100Pr7,0PrRe023,0Nu 8,0

n

n

n

Dh

� Correlação 2 (Sieder e Tate): A utilizar quando houver grande variação de propriedades.

<<←

=

parede de ra temperatuà fluido do eViscosidad

referência de ra temperatuà fluido do eViscosidad

16700Pr7,0PrRe027,0Nu14,0

3/18,0

P

P

Dh

µ

µ

µµ

Nota: 60 seNu Nu >≅D

L, uma vez que o que se passa na zona de

entrada é irrelevante. Lembrete:

4.Secção

PerímetroHD =

CONVECÇÃO


Escoamento Perpendicular a um Cilindro

� Regime Laminar ReD≤ 105

� Regime Turbulento ReD>105

Valores Locais:

Coeficiente de transferência de calor adimensionalNu para diferentes posições θθθθ.

Note-se as diferenças entre a evolução para regimes laminares e regimes turbulentos.

Ângulo de Separação

θθθθsep

θθθθ

T∞∞∞∞ Ts

Ângulo de Separação

θθθθsep

θθθθ

T∞∞∞∞ Ts

Tp

80ºsepθ ≈

500

600

700

800

0 40 80 120 1600 180 θθθθ

Nuθθθθ

100

200

300

400

0

ReD=2,2×105

ReD=105

ReD=0,71×10 5

ReD=1,4×105

140ºsepθ ≈

22

876médiaT

sp

ref

TTT

T

++

=

∞

CONVECÇÃO


• Valores Médios

(Tpou pq ′′ uniformes): � Correlação proposta por Hilpert

(1933), amplamente utilizada:

1/ 3Nu = .Re PrmD DC

Cilindros Não Circulares (Jakob – 1949)

ReD C m

Qua

drad

o

5×103 – 105 0,246 0,588

5×103 – 105 0,102 0,675

Hex

ágon

o

5×103 – 1,95×104 0,160 0,638 1,95×104 – 105 0,0385 0,782

5×103 – 105 0,153 0,638

Placa Vertical

4×103 – 1,5×104 0,228 0,731

Outras correlações (Cilindros Circulares): � Zhukauskas (1972):

…em que todas as propriedades são obtidas para T∞, excepto Prp, que é obtido à temperatura da parede.

� Churchill e Bernstein (1977) :

Cilindro Circular ReD C m

0,4 – 4 0,989 0,330

4 - 40 0,911 0,385

40 – 4 000 0,683 0,466

4 000 – 40 000 0,193 0,618

40 000 – 400 000 0,027 0,805

ReD C m

1 – 40 0,75 0,4

40 – 1 000 0,51 0,5

1 000 – 200 000 0,26 0,6

200 000 – 106 0,076 0,7

v D

v D

v D

v D

v D

36,010Pr;37,010Pr

500Pr7,0

10Re1

Pr

PrPrReNu

64/1

=→>=→≤

<<

<<←

=

nn

C D

p

nm

DD

<<

>←

+

+

+=7

5/48/5

4/13/2

3/12/1

10Re100

2,0PrRe

282000

Re1

Pr

4,01

PrRe62,03,0Nu

D

DDDD

CONVECÇÃO


Escoamento em Torno de uma Esfera

� Equação mais geral – Whitaker (1972):

( )

++=

<<

×<<

<<

←

2,3/0,1

4106,7Re5,3

380Pr71,04/1

4,03/22/1 PrRe06,0Re4,02Nu

p

D

p

DDD

µµµµ

Todas as propriedades à temperatura de T∞, excepto µp (à temperatura da parede).

� Fluido gasoso – McAdams (1954):

4107Re176,0Re37,0Nu ×<<←= DDD

<<

×<<

<<

2,3/0,1

4106,7Re5,3

380Pr71,0

p

D

µµ

� Fluido líquido – Kramers (1946):

( ) 2000Re13,05,0 PrRe68,097,0Nu <<←+= DDD

Existem muitas outras correlações, para diversas situações práticas, na bibliografia relativa a este ramo da engenharia.

A título de exemplo, no “Fundamentos de transferência de calor e de massa” – Incropera e DeWitt, podemos encontrar correlações para:

Jactos colidentes Leito de

partículas sólidas

CONVECÇÃO

Versão 2014/2015

Escoamento num Feixe de Tubos

= Re13,1Nu 1CD

Nota:

=

=

=SD

D

2vv

vvv

Re

max

max

maxv, max ν

No caso de termos menos que 10 linhas de tubos:

Alinhados


Escoamento num Feixe de Tubos

≥

<<

≥

←

7,0Pr

40000Re2000

10 linhas) de (nº

PrRe 3/1v, max D

N L

m

D

( ) ( )

( )( ) (<−←

−

−>−−

SDSDS

S

DSDSDS

S

TD

D

T

TDT

T

2 com Alternados2

2 com Alternados

Alinhados

No caso de termos menos que 10 linhas de tubos:

Alternados

10 10Nu Nu

L L

D DN N< ≥


)

)− D

210 10Nu Nu

L L

D DN N

C< ≥

=

CONVECÇÃO


Convecção Natural

� A convecção natural pressupõe a presença da gravidade – g ou outra aceleração (*) - que induza o deslocamento das massas mais pesadas na sua direcção (para baixo, no caso da gravidade).

� Geralmente, as velocidades em jogo são menores.

vConv. Natural < vConv. Forç. ⇒⇒⇒⇒ hC.Nat. < hC. Forç.

� Interesse do estudo da Convecção Natural: • Dissipação de Calor (radiadores, equipamentos,

electrónicos). • Equipamentos de captação solar. • Aquecimento de edifícios. • Ciências do ambiente (meteorologia, correntes de ar

atmosférico, correntes marítimas).

Capítulo

4

Nota:

(*) Forças centrifugas, aceleração de Coriolis, por exemplo.

• Convecção

Forçada

•Convecção

Natural

Movimento do Fluido

Imposto exteriormente (bomba, ventilador, vento exterior ao volume de controle)

Devido a forças mássicas associadas a gradientes de temperatura (fluido mais frio, é geralmente mais pesado)

CONVECÇÃO


� Exemplos de escoamentos em Convecção Natural:

�

� Nota importante: a existência de gradientes de densidade (ou ρ) não implica correntes de convecção importantes.

Exemplo:

Camada Limite Dinâmica

• • x, vx

y

Fio Aquecido

Tp> T∞∞∞∞

Tp> T∞

vx(y)

T∞

ρ∞

y, vy

Convecção Natural

Placa Vertical Aquecida

Camada Natural

Formação de um Penacho

x

vx

ρjunto à parede<ρ∞

Tp

T∞ ρ∞

Há forte Convecção Natural

Duas Placas Horizontais Separadas por Fluido

Convecção Natural muito baixa. Há sobretudo Condução.

x Placa Fria ρρρρ2 T2

Placa Quente ρρρρ1 T1 T, ρ

x

Placa Fria ρρρρ2 T2

Placa Quente ρρρρ1

T, ρ

T1

CONVECÇÃO


Equações necessárias ao estudo da

Convecção Natural

Pressupostos da seguinte análise:

• Regime permanente e laminar • Escoamento bidimensional • Força gravítica actua na direcção negativa do

eixo dos x.

� Equação da conservação da quantidade de movimento:

( )}

( )( ) ( ) ⇒+−+=×87648476r48476 rr

Atrito de ForçasPressão de ForçasExterioresForças

Mov. de Quat. deFluxo do Variação

divgradvgradv τρρ pf

4444444 84444444 76 y

yxyx

pg

yx

y

p

xe

y

dedirecçãoNa

2x

2yx

yy

v1vv

vv

0

0vv

∂∂

+∂∂

−−=∂

∂+

∂∂

≈∂∂

≈∂

∂

∂

∂

νρ

( )maxUma vez que: p

p gh g x x gx

ρ ρ ρ∞ ∞ ∞∂

= = − ⇒ = −∂

( )2x

2

ImpulsãodeForça

yx vvv

vv

y

g

yxyx ∂

∂+−=

∂

∂+

∂

∂⇒ ∞ νρρ

ρ43421

Formulação Diferencial

Equações do Movimento

Equação da Energia

Equações da Quantidade de Movimento

Equação da Continuidade

x

y

T∞∞∞∞

Tp ρρρρ∞∞∞∞

CONVECÇÃO


Coeficiente de Dilatação

Térmica - ββββ

Nota Importante:

β líquidos – Tabelados

βgases perfeitos ≈T

1(T em K)

Por fim:

� Equação da conservação da quantidade de movimento:

( )2

2

vv vv v yx x

x y g T Tx y y

β ν∞

∂∂ ∂⇒ + = − +

∂ ∂ ∂

� Equação da Energia:

2

2v vx y

T T T

x y yα

∂ ∂ ∂⇒ + =

∂ ∂ ∂

� Equação da continuidade

0vv

=∂

∂+

∂∂

yx

yx

1 1. . T

T T T

ρ ρ ρβ ρ ρ β

ρ ρ∞

∞

∂ − = − ≈ − ⇒ −∆ = ∆ ∂ −

Considerando: • Dissipação desprezável (velocidades

baixas) • Condução segundo x<< convecção

••••Equação da Quantidade de Movimento

••••Equação da Energia

••••Equação da Continuidade

Efeitos da Impulsão (diferença de densidades)

Influencia do campo de velocidades no campo de temperaturas

Solução para o campo de velocidades e temperaturas exige a resolução simultânea das três equações.

CONVECÇÃO


Solução Numérica das Equações da

Convecção Natural

Placa plana quente e vertical, Tp uniforme.

Para a mesma situação com pq ′′ uniforme, os resultados são semelhantes aos anteriores (5%

de erro).→ Para o cálculo dos coeficientes de convecção (Nu) podemos então utilizar as

mesmas correlações para Tp uniforme e pq ′′ uniforme.

Turbulência na C.L. em Convecção

Natural

Como na convecção forçada, se o fluxo de calor se tornar muito intenso, poderemos gerar um escoamento em regime turbulento. Tal é função de Gre Pr (em conv. natural o Re não se aplica)

• Para uma placa vertical:

Transição: 9Ra Gr .Pr 10x x= ≈

• Tal como na conv. Forçada:

↑ Turbulência ⇒↑h (Taxa de transferência de calor)

1

∞

∞∗

−

−=

TT

TTT

p

41

4

Gr

x

y

41

4

Gr

x

y

5,02 x

x

Gr

xv

ν

Campo de Temperaturas Campo de Velocidades

2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 1

0,4

0,6

0,8

0,2

1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Pr = 0,01

0,72

10 100

0,72

10

Pr = 0,01

←Distância à parede y adimensional →

Temperatura T adimensional

Velocidade vx adimensional

CONVECÇÃO


Coorrelações para Convecção Natural Placa vertical (aquecida ou arrefecida):

� Regime Laminar ( )9Ra =Gr Pr 10L L < :

4 9___

10 Ra 101/4Nu 0,59.Ra

LL L ← < <= – McAdams (1954)

Nu___

L = 0,68 +0,670.Ra

L

1/4

1+ 0,492 Pr( )9/16

4/9← Ra

L< 10

9– Churchill e Chu (1975)

� Regime Turbulento ( )9Ra =Gr Pr 10L L > ___

1/3Nu 0,10.RaL L= –Warner e Arpaci (1968)

25Nu 0,021.RaL L= – Eckert e Jackson (1951)

� Para toda a gama de RaL=GrLPr:

Nu___

L = 0,825 +0,387.Ra

L

1/6

1+ 0,492 Pr( )9/16

8/27

10−1<RaL<1012

1 24444444 34444444

2

– Churchill e Chu (1975)

Tp> T∞

T∞

ρ∞

y, vy

Tp L

Tp< T∞

T∞ ρ∞

x vx

Tp L

y, vy

x vx

CONVECÇÃO


Cilindro Vertical

� Se 4

1

35

LGrL

D ≥ → Análise semelhante ao da placa vertical –

Lref=L

� Se 4

1

35

LGrL

D ≤ :

Placas Inclinadas

Placas inclinadas podem ser abordadas da mesma forma que as placas verticais (em ambas as faces), desde que:

• 0º<θθθθ<60º

• Se utilizeg.cosθ θ θ θ no lugar deg, quando se calcula o número de Grashoff -Gr.

1 2 3 4 5

1

2

3

1/ 4

4 2

L

L

DGrξ =

Pr = 0,01

0,1

0,72 1

10

100

____

____cilindro

placa vert.

Nu

Nu

4

L

D

L

θθθθ

L

θθθθ

CONVECÇÃO


Placa Horizontal

( )___

Nu Gr .Prm

LrefC= Área

PerímetrorefL =

Tipo de escoamento

Orientação da Placa Intervalo

Ra Gr PrL L= C m

Laminar

104 a 10

7 0,54 4

1

Turbulento

107a10

11 0,15 3

1

Laminar

105 a 10

10 0,27 4

1

Cilindro horizontal

( )___

Nu Gr .Prn

D DC= - Morgan (1975)

Churchill e Chu (1975)

Esfera

( )

1/ 4____

4 / 99 /16

0,589.RaNu 2

1+ 0,469/Pr

DD = +

- Churchill (1983)

Cilindro Circular Horizontal RaD=GrD.Pr C n

10-10 – 10-2 0,675 0,058

10-2 – 102 1,02 0,148

102 – 104 0,850 0,188

104 – 107 0,480 0,250

107 – 1012 0,125 0,333

q ou

q

q ou

q

q ou

q

( )

2

1/ 612

8 / 279 /16

0,387.RaNu 0,60 Ra 10

1 0,559 / Pr

DD D

= + ← < +

CONVECÇÃO


Espaços Confinados (Fendas) Existem casos práticos de Convecção Natural em que esta se dá entre duas superfícies.

Fluxo de calor (q) depende da resistência térmica da cavidade. � Se H for muito pequeno (para um dado ∆T=T1-T2) ⇒Condução(o ar pouco se movimenta)

� Se H aumentar, o ar movimenta-se melhor ⇒Convecção

Natural O Hcrítico também depende de ∆T

Valores normalmente adaptados para exemplos indicados acima: • Hcaixa de ar = 4 - 5 cm

• Hcolector solar =2,5 cm ( 1____

>∆T )

Caixa de Ar de uma

Parede Dupla

Colector Solar

2T∞

q

Tijolos Ar

1T∞

H

T1 T2

Ar

q

T2

T1

H

Vidro

Água

Radiação

H <Hcrítico→ TAH

kq ar ∆=

H>Hcrítico→ TAH

kTAhq

efectivo ∆=∆=

Para que as duas situações sejam comparáveis criamos kefectivo:

kefec.=h.H

∆Tconstante

H H crítico

q

mínimoqConvecção Natural Condução

CONVECÇÃO


Espaços confinados rectangulares

Correlações Experimentais(extraídas do “Incropera”):

Para τ = 0°°°°⇒ Se Ra 1708 Nu 1H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura.

5 90,074 3 10 Ra 7 101/3Nu 0,069.Ra Pr

HH H ← × < < ×=

Para τ = 180°°°°⇒Fluido fica estático: Nu 1H = ; Temos condução pura.

Para τ = 90°°°°⇒ Se 3Ra 10 Nu 1

H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura.

Para 0°°°°<τ<90°°°°⇒

NuH = NuH (τ =0º)NuH (τ =90º)

NuH (τ =0º)

τ /τ*

sinτ *( )τ

4τ* ←L / H ≤ 12

0 < τ < τ *

NuH = NuH (τ =90º) sinτ( )1/4← τ* < τ < 90º

Ângulos críticos (τ∗τ∗τ∗τ∗) para cavidades rectangulares

inclinadas:

Para 90°°°°<τ<180°°°°⇒NuH = 1+ NuH (τ =90º) −1

sinτ

L/H 1 3 6 12 >12

τ∗τ∗τ∗τ∗ 25º 53º 60º 67º 70º

→

g

Fluido

W

H

T1

τ L

T2> T1

H<<L

H<<W Lref = H

q

Nuk

Hh

T

Th

q

q

Hk

cond

conv ==∆∆

=′′

′′

3 10

5

0,28 1/ 4 10 Ra 10

Pr 102 / 10

PrNu 0, 22 .Ra

0, 2 Pr

H

H HL H

L

H

− < <

<< <

= ← +

( )30,29 1/ 4

3 510 Ra Pr/ 0,2 Pr

PrNu 0,18 .Ra 10 Pr 10

0,2 Pr 1 / 2

H

H H

L

H L H

−−

←

< + = < < + < <

4 70,3

1/ 4 0,012 410 Ra 10

Nu 0, 42.Ra Pr 1 Pr 2 1010 / 40

H

H H

L

H L H

−

←

< < = < < ×

< <

6 9

1/ 310 Ra 10

Nu 0,046.Ra 1 Pr 201 / 40

H

H HL H

←

< <= < <

< <

PERMUTADORES DE CALOR


Permutadores de Calor Introdução

Dispositivo que efectua transferência de energia térmica de um fluido para outro.

• Geralmente os fluidos estão separados por uma parede (recuperadores).

• Princípios de transferência de calor: condução, convecção e por vezes radiação (para temperaturas elevadas).

• Mecanismos para aumentar as trocas de calor: alhetas, chicanas, passes múltiplos, etc.

Principais tipos de permutadores

• Placas

• Tubo e carcaça

• Correntes cruzadas

• Outros ...

Capítulo

5

Permutador de Calor

Fluido B

TB Saída↓

Fluido A

TA Saída↑ Fluido B

TB Entrada↓↓

Fluido A

TA Entrada↑↑



Isolamento

Isolamento

Correntes Paralelas

Isolamento

Isolamento

Em Contra-Corrente

q

q

Permutador de Placas

Princípo básico: Placa Plana

Construção prática dos Permutador de Placas: ● Em Sandwich, alternando fluido quente e frio. ● Ondulações (ou alhetas) nas placas para maximizar a troca de calor.


Versão 2014/2015

Permutador de Carcaça e TubosTubo duplo ou Bitubular

Carcaça e tubos

Isolamento

Fluido A Fluido B

Fluido A


Permutador de Carcaça e Tubos Tubo duplo ou Bitubular

A

A

Correntes Paralelas

Contra-corrente

Fluido B


Corte A-A



Correntes cruzadas

Distância do trajecto do fluido frio

Distância do trajecto do fluido

quente

Tqe

Tfs Tqs

Tfe

Saída do fluido quente, Tqo

Saída do fluido frio, Tfo

Entrada do fluido quente, Tqi

Entrada do fluido frio, Tfi

Ambos Fluxos Não “Misturados” Um Fluxo Não “Misturado”

Fluxo “Misturado” Fluxo não “Misturado”



Outros …

Permutadores de Correntes

paralelas vs. Contracorrente (Placa Plana ou Bitubular)

O perfil de temperaturas é diferente para cada um dos casos. Um permutador em contra corrente pode conseguir que a temperatura do fluido frio à saída seja superior à do fluido quente à saída.

CORRENTCONTRA CORRENTE

entrada saída x

T

∆T2 ∆T1

Fluido Quente

Fluido Frio

Fluido Quente

∆T1

∆T2 Fluido Frio

saída

entrada

entrada

T entrada

saída

x

CORRENTES PARALELAS

Permutador de Calor Rotativo

(neste caso, em “contra-corrente)

Torres de Arrefecimento



Determinação da

Transferência de Calor

Podemos definir a seguinte expressão para determinar a transferência de calor num permutador de calor:

____

TAUq ∆=

Coeficiente Global de Transferência

de Calor

No interior de um permutador existem várias resistências térmicas a separar o fluido quente do fluido frio:

∑=

=n

i

itotal RR1

CVfCDCVq RRRR ++=permutadortotal

Atendendo a que ____

ref. sup. TAUq ∆= :

∑=

′′=

′′=

n

i

iRR

U

1

permutadortotal

11

Diferencia de

temperaturas média

efectiva para todo o

permutador

Superfície de

transferência

Coeficiente global de

transferência de calor

Fluido Quente

Resist. de

Condução

RCVq RCDf RCD

Resist.

Convecção no Fluido

Quente

Fluido Frio

Resist. Convecção

no Fluido

Frio



Permutador de paredes planas:

11 1

q parede f

Ue

h k h

=+ +

Permutador com paredes cilíndricas (tubos):

1

ln1

e

ee

ie

i i e

Ur

rrr

r h k h

= + +

ou 1

ln1

i

ei

i i

i e e

Ur

rr r

h k r h

= + +

Nota: iiiee TAUTAUq ∆=∆=____

É necessário definirmos qual a superfície de transferência: Ae ou Ai e utilizar Ue ou Ui em consonância.

Valores típicos de U:

De: Para: U (W/m2.K) De: Para: U (W/m2.K)

Água:

Álcool 284 – 850 Óleo Óleo 170 - 312

Salmoura 567 – 1135 Fluido Orgânico

Fluído Orgânico

57 – 314

Ar comprimido 57 – 170

Vapor:

Soluções Aquosas

567 – 3400

Álcool condensado 255 – 680 Óleo combustível pesado

57 – 170

Amónia condensada

850 – 1420 Óleo combustível leve

170 – 340

Freon 12 condensado

454 – 850 Gases 28 – 284

Óleo condensado 227 - 567 Água 993 - 3400

Água 850 - 1700

Gasolina 340 - 510

Óleo lubrificante 113 - 340

Solventes Orgânicos

284 - 850

k

he

Ai Ae

re

ri hi



Factores de Deposição (Fouling Factor)

Os fluidos que circulam num permutador podem:

� Provocar corrosão � Depositar sujidade em suspensão …nas suas paredes

Teremos que considerar a soma de resistências à passagem de calor devidas ao aparecimento destas substâncias nas paredes – Factores de Deposição.

Encontramos em várias publicações sobre permutadores, o valor de resistências

típicas relativas a sujidade e/ou incrustações associadas ao tipo de fluido no permutador:

limposujo

11

UUR f −=′′

[ ]K/Wm2

Estas resistências muitas vezes designam-se por “Fouling Factor”. Valores típicos dos Factores de Deposição: Fluido R’’f (m

2K/W) Água salgada abaixo de 50°C 0.00009 Água salgada acima de 50°C 0.00020 Água tratada de caldeira acima de 50°C 0.00020 Óleo combustível 0.00090 Óleo refrigerante 0.00070 Vapores alcoólicos 0.00009 Vapor 0.00009 Ar industrial 0.00040 Líquido refrigerante 0.00020

\

R”CVq R”CDf R”CD

Nota:

∑=

′′=

n

i

iR

U

1

1



Diferença Média Logarítmica

de Temperaturas

Na expressão ____

TAUq ∆⋅⋅= , como determinaremos o

valor T∆ ?

È previsível que a temperatura do fluído quente (Tq) e do fluído frio (Tf) varie ao longo dos seus percursos no permutador.

No exemplo mostrado na figura – Permutador de placa plana com

correntes paralelas – à medida que os fluidos trocam calor o ∆T diminui o que faz com que a troca de calor diminua e, por isso diminuam também as variações de temperatura.

Para calcular o T∆ vamos assumir as seguintes aproximações:

• U constante em todo o permutador.

• A troca de calor dá-se apenas entre os dois fluidos – Sistema Adiabático.

• Tf e Tq uniformes para cada secção x.

• cp’s dos fluidos constantes.

Assim, numa secção infinitesimal dx temos:

( )fq TTdAUdq −⋅⋅= (Troca de calor)

e

T

Tqe

Tq

Tf

dq

Tfe dx

dTf

dTq

Tqs

Tfs

∆T2

x

Tqs

Tfs Tfe

Tqe

∆T1



qqpqffpf dTcmdTcmdq && −==

⇒ qq

qcpm

dqdT

&−= ;

ff

fcpm

dqdT

&=

Como : )( fqfq TTddTdT −=−

( ) ( ) dAcmcm

UTTdTT

AaToda

constantes

qpqfpf

fq

T

Tfq

∫∫

+−=−

−

∆

∆

444 3444 21&&

1112

1 ⇒

+−=

∆∆

qpqfpf cmcmUA

T

T

&&

11ln

1

2 (*)

como: sqeq

qpqTT

qcm

−=& e

efsf

qpfTT

qcm

−=&

(*)

( ) ( )q

TTTTUA

T

T efsfsqeq −+−−=

∆

∆

1

2ln

saída entrada

Aumento da energia térmica do fluído frio

Diminuição de energia térmica do fluído quente

⇒ ( ) dqcmcm

TTd

qpqfpf

fq

+−=−

&&

11 ⇒ ( ) ( )[ ]fq

qpqfpf

fq TTUAdcmcm

TTd −

+−=−

&&

11

⇒( )

( ) dAcmcm

UTT

TTd

qpqfpffq

fq

+−=

−

−

&&

11 ; integrando:

Nota:

Índices:

q – Fluido quente

f – Fluido frio

e – Entrada

s – Saída

Nota:

Permutadores de correntes paralelas:

efeq TTT −=∆ 1

sfsq TTT −=∆ 2

(Ver figura da página anterior)

T

Tqe

Tq

Tf

dq

Tfe dx

dTf

dTq

Tqs

Tfs

∆Ts

x

Tqs

Tfs Tfe

Tqe

∆Te



⇒

∆∆

∆−∆=

1

2

12

lnT

T

TTUAq

⇒

lmTDMLT

TT

TTT ∆≡=

∆∆

∆−∆=∆

1

2

12_____

ln

Chama-se a este valor Diferença Média Logarítmica de

Temperaturas – DMLT

Na bibliografia anglo-saxónica é designada LMTD – Log

Mean Temperature Difference.

Pode–se demonstrar que a DMLT é válido para todos os outros permutadores de uma passagem, i. e., também se aplica a permutadores em contra corrente

T

∆T2

∆T1

x

T

∆T2

∆T1

Correntes

paralelas Contra corrente

x s e

e

e

s s

Nota:

Para permutadores em contra corrente, o

lmT∆ deverá ser

calculado com base nos

seguintes T∆ :

sfeq TTT −=∆ 1

efsq TTT −=∆ 2



Factores de Correcção da DMLT para

Permutadores de Calor Complexos

A utilização da expressão lmTAUq ∆⋅⋅= é válida para permutadores simples de uma só passagem: permutador de placa plana (correntes paralelas ou contracorrentes) e de tubo duplo (correntes paralelas ou contracorrente).

Mas para permutadores mais complexos (multitubulares - com ou sem diversos passes na carcaça - ou correntes

cruzadas) o cálculo de um T∆ é quase impossível. O procedimento usual é utilizar um factor de correcção F experimental:

lmTAUFq ∆⋅⋅⋅=

Existem diagramas para a determinação de F para as diferentes geometrias de permutadores:

Pemutador de carcaça e tubos: Uma passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos.

Nota

Importante:

Nestes casos o lmT∆deverá ser calculado como para permutadores em contra corrente.

sfeq TTT −=∆ 1

efsq TTT −=∆ 2

P=(ts-te)/(Te-te)

es

se

tt

TTZ

−

−=

Te

Ts

te

ts



Pemutador de carcaça e tubos: Duas passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos.

Permutador de Correntes cruzadas: Um fluido “misturado”.

Permutador de Correntes cruzadas: Ambos os fluidos não “misturados”.

P=(ts-te)/(Te-te)

es

se

tt

TTZ

−−

=

Te

Ts

ts

te

P=(ts-te)/(Te-te)

es

se

tt

TTZ

−−

=

Te

Ts

te ts

P=(ts-te)/(Te-te)

es

se

tt

TTZ

−−

=

Te

Ts

te ts



Método NTU

Eficiência de um permutador de calor

Em muitas situações, apenas conhecemos: � as temperaturas de entrada dos fluidos (quente e

frio) ou � as temperaturas de entrada e saída de um deles!

Ao aplicarmos um cálculo recorrendo ao conceito DMLT, teremos que arbitrar as restantes temperaturas e caudais. Entramos por isso num processo iterativo.

Exploremos então outro método:

Conceito: Eficiência de um permutador

max)(CalordeTrocaMax.

RealCalordeTroca

q

q

ideal

real=≡ε

� ( ) ( )efsf

C

ffpsqeq

C

qqpreal TTmcTTmcq

fq

−=−=876&

876& (**)

� ( ) ( )efeq

C

mínimop TTmcq −=48476

&

min

max ⇒ ( )efeqmínimo TTCq −=max

( )feqemínimoreal TTCq −⋅= ε

ε – Pode ser cálculado analiticamente ou determinado por expresões empíricas para comfigurações mais complexas.

Nota:

A Máxima Troca de

Calor possivel seria o fluido com a menor capacidade témica (

•

mCp ) baixar da maior temperatura no permutador (Teq) até á menor temperatura do permotador (Tef). Simplificação:

qqpq mcC &∗=

ffpf mcC &∗=



Exemplo da Determinação

da Expressão de εεεε

Permutador de Correntes Paralelas

( )( )

( )( )

feqe

fefsf

feqe

qsqeq

TTC

TTC

TTC

TTC

−

−=

−

−=

minmin

ε

Se Cq < Cf ⇒ Cmin = Cq ⇒ feqe

qsqe

TT

TT

−

−=ε

Se Cq > Cf ⇒ Cmin = Cf ⇒ feqe

fsfe

TT

TT

−

−=ε

Voltando à equação (*) – pág.79:

+−

=−

−⇒

+−=

−

−fq CC

UA

feqe

fsqs

fqfeqe

fsqse

TT

TT

CCUA

TT

TT11

11ln

Da equação (**) – pág. anterior:

( ) ( )efsffsqeqq TTCTTC −=− ⇒ ( )qsqe

f

q

fefs TTC

CTT −+=

Se Cmin = Cq:

f

q

f

q

q

C

C

C

C

C

UA

+

+

−−

=

1

1exp1

ε

Se Cmin = Cf:

q

f

q

f

f

C

C

C

C

C

UA

+

+

−−

=

1

1exp1

ε

⇒

( )( )1 exp 1

1

NTU C

Cε

− − +=

+

T

Tqe

q

Tfe

Tqs

Tfs

∆T2

x

Tqs

Tfs Tfe

Tqe

∆T1

( ) ( )q

TTTTUA

T

T efsfsqeq −+−−=

∆∆

1

2ln

Nota:

NTU – Número de Unidades de Transferência (de calor.

Adoptando:

minC

UANTU =

min

C

CC =



Tipo de Permutador Relações Eficiência εεεε vs. NTU

Ver Gráfico

Correntes

paralelas: um único passe

( )[ ]C

CNTU

+

+−−=

1

1exp1ε ;

( )[ ]C

CNTU

++−

=1

11ln ε Gráfico A

Contracorrente: um único passe

( )[ ]( )[ ]CNTUC

CNTU

−−−−−−

=1exp1

1exp1ε ;

−−

−=

1

1ln

1

1

CCNTU

εε

=−

= 1se1

CNTUε

ε Gráfico B

Tubos e carcaça (um passe na carcaça; 2, 4, 6 etc... passes nos

tubos)

( )

( )( )

1

21

2

21

2

21

2

1 11exp1

1exp112

−

+

+−−

+−+

++= C

CNTU

CNTU

Cε ;

( ) ( )( ) 5.02

15.02

1

1/2;

1

1ln1

C

CE

E

ECNTU

+

+−=

+−

+−=− ε

Gráfico C

Tubos e carcaça (n passes na

carcaça; 2n, 4n, 6n etc... passes nos

tubos)

1

1

1

1

1

1

11

1

1−

−

−

−

−

−

−= C

CCnn

n εε

εε

ε

Tirar ε1 da expressão anterior. Tirar NTU da linha acima, considerando n

CF

CF

F/1

1 1

1;

1

−−

=−−

=ε

εε

Gráfico D para n = 2

Correntes

cruzadas (ambos os fluxos não misturados)

( ) ( )0.22 0.7811 exp exp 1NTU C NTU

Cε = − − −

Gráfico E

Correntes

cruzadas (ambos os fluxos

misturados) ( )

( )( )( )( )[ ]

1

1exp1exp1

−

−

−−+

−−=

CNTU

CNTU

NTU

NTUNTUε

Correntes

cruzadas (fluxo Cmín não

misturado)

( )[ ][ ]{ }NTUCC

−−−−= exp1exp11

ε ;

( )

−+−= CC

NTU ε1ln1

1ln

Gráfico F

(curvas tracejadas)

Correntes

cruzadas (fluxo Cmax não

misturado)

( )( )[ ][ ]

−−

−−= CNTUC

exp11

exp1ε ;

( )[ ]11lnln1

+−−= εCC

NTU

Gráfico F

(curvas sólidas)

Todos os

Permutadores 0

max

min ≅=C

CC

( )NTU−−= exp1ε


Versão 2014/2015

Gráfico A

Gráfico C

Gráfico E


Gráfico B

Gráfico D

Gráfico F


Gráfico B

Gráfico D

RADIAÇÃO


Radiação Térmica

Introdução

Neste momento está a ser emitida radiação térmica de toda a matéria que nos rodeia:

� No interior: mobília, paredes, pessoas,...

� No exterior: chão, edifícios, atmosfera, sol,...

A radiação deve-se à emissão de energia por parte da matéria, embora o seu transporte não requeira a existência de matéria. Todas as formas de matéria emitem radiação.

A radiação pode ser vista como a propagação de fotões ou ondas electromagnéticas, sendo:

υλ

C=

λλλλ - Comprimento de onda C - Velocidade da luz no meio de propagação υ - Frequência

Espectro de radiação electromagnética

Capítulo

6 Na maior parte dos sólidos e líquidos a radiação emitida é originária de moléculas que estão dentro de uma distância de 1 mm da superfície exposta. Pode ser considerada um fenómeno superficial Nos gases e meios semitransparentes é um fenómeno volumétrico.

10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 10 103 104 102

Micro-ondas Infravermelho

Micro-ondas

Visível

U.V.

Raios γ

Raios x

λ [µm] ( ν [Hz] )

.7 .4

Como geralmente a velocidade da luz num meio – C - é considerada contante, a cada comprimnto

de onda

λλλλ corresponde uma

frequência υ . Daí que seja quase sempre indiferente falar de conprimento de onda ou frequência de uma dada emissão.

RADIAÇÃO


Variação espectral e

direccional

Dependência Espectral: A radiação térmica emitida por uma superfície inclui diversos comprimentos de onda. A radiação varia com λ (em magnitude) –

Dependência Direccional: Certas superfícies emitem preferencialmente em certas direcções, criando uma distribuição direccional.

Para quantificar adequadamente a transferência de calor por radiação é necessário tratar os dois efeitos (espectral

e direccional).

No entanto, uma grande parte das superfícies reais é praticamente Difusa, i. e., o seu comportamento face á radiação não depende da sua direcção.

Nesta disciplina apenas iremos abordar situações com superfícies difusas.

DIRECCIONAL ESPECTRAL

HEMISFÉRICA TOTAL

emissão espectral

(índice λ para todas as grandezas espectrais)

emissão total ≡ área sob a curva

λ

Índice’ para as grandezas direccionais [θ,β])

grandeza direccional

β

RADIAÇÃO


Definições fundamentais

Corpo negro e suas leis

O Corpo Negro é um conceito ideal, que serve de padrão, em relação ao qual as propriedades radiativas das superfícies reais são comparadas.

Por definição, as suas propriedades são:

� Absorve toda a radiação que nele incide (qualquer λ e direcção - é difuso).

� A radiação que o Corpo Negro emite depende de λ e T, mas não da direcção (é difuso).

� Para uma dada T e λ, nenhum corpo pode

emitir mais energia que o Corpo

Negro.

Corpo Cinzento:

Semelhante a um corpo negro mas com inferior capacidade de emissão e absorção de radiação (mais próximo de um corpo real)

Situação real que mais se aproxima de um corpo negro: Orifício

Temperaturas Iguais

Corpo Negro Corpo Cinzento

RADIAÇÃO


Lei de Planck

Distribuição espectral do poder emissivo do Corpo

Negro:

• Radiação varia continuamente com λ.

• Para qualquer λ, a radiação emitida aumenta com a temperatura.

• Existe um λ para o qual Ebλ é máximo, que se desloca para λ inferiores quando a temperatura T aumenta.

• Os corpos podem praticamente não emitir em todo o espectro; para T< 500°C não é emitida radiação visível (só Infra-Vermelhos)

• Lei de Wien: Valor de λ para Ebλ máxima.

Ebλ é máximo quando λmax.T= 2897,6 µm.K.

Para uma dada

temperatura T

λ

Ebλ

−==

1

..2'.

.5

1

2T

Cbb

e

CIE

λλλ

λ

ππ

C1 e C2 constantes.

λ

Ebλ Linha de Ebλλλλ máx.

T Ambiente

Radiação Visível

T

T =5800K (Sup. Sol)

Nota:

E- Poder emissivo. Traduz-se em potência calorífica

emitida por unidade

de área (W/m2). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ . Ebλλλλ - Poder emissivo de um corpo negro (b – black) para um determinado comp. de onda (λ).

RADIAÇÃO


Lei de Stephan-Boltzmann

Poder emissivo total do Corpo Negro (integrarção da lei de Planck)

∫∞

==0

4TdEE bb σλλ

σ - constante de Stephan-Boltzmann

σ= 5,67 × 10-8 W/(m.K4)

Propriedades Radiativas das

Superfícies Reais

Emissividade

Nenhuma superfície real pode emitir mais radiação que um Corpo Negro, à mesma temperatura T.

A Emissividade - εεεε - traduz a fração de energia emitida por um corpo real (ou de um corpo cinzento) relativamente a um

corpo negro (0<εεεε<1).

40

0

0

T

dE

dE

dE

E

E b

b

b

b σ

λε

λ

λεε

λλ

λ

λλ ∫

∫

∫∞

∞

∞

===

Variação espectral

Eλ

Corpo Real (T)

Corpo Negro (T)

λ

Corpo Cinzento (T)

Nota:

Emisividade

hemisférica e total (para todas as direcções – hemisférica – e para todas os λ – total)

RADIAÇÃO


Nota: Vimos a definição de emissividade

hemisférica e total para uma superfície cinzenta e difusa. No entanto, a emissividade pode variar com vários factores:

• Direcção

• Comprimento de Onda

• Temperatura

• Natureza do sólido

• Estado superficial

.2 .15 .1 .05 0

.4 .2 0 1 .8 .6

Metais não polidos

Metais oxidados Óxidos, cerâmica

Carbono, grafites Minerais, vidro

Vegetação,água, pele Tintas e acabam. especiais

θ εθ

n

90° 0 45°

1

εθ

Não condutor

Condutor

εn

Metais muito polidos

Metais

Metais polidos

ελ,n εn

1

.8

.6

.4

.2

0 0.6 1 2

1

.8

.6

.4

.2

0

.1 0.2 0.4 20 40 100 4 6 10 300 700 1100 1500 1900 2300 2700

T (K) λ (µm)

tungsténio

aço

óxido de alumínio

aço oxidado

óxido de

alumínio

1400 K

aço oxidado

1200 K

aço 800 K

tungsténio 1400 K

Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.

RADIAÇÃO


Coeficientes de Absorção, Reflexão

e Transmissão

Comportamento de um meio semi-transparente à irradiação:

Gtrans

Gref

Meio semi-transparente

G

Gabs

G = G ref + G abs + G trans

G = ρ G + α G + τ G ⇒ α + ρ + τ =1

Tal como a emissividade, todos estes coeficientes (ρ, α e τ ) são função de:

• Comprimento de Onda da Radição - λ

• Direcção da radiação incidente

• Estado superficial

• …

Iremos mais uma vez lidar com valores hemisfericos e totais.

↑ coef.

reflexão

↑ coef. transmissão

↑ coef. absorção

Nota:

G– Irradiação. É a energia radiante (por unidade de tempo), ou radiação, que incide numa dada

superfície por

unidade de àrea (W/m2). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ .

As características de absorção e reflexão das superfícies são responsáveis pelas cores dos objectos que nos rodeiam – reflexão selectiva da

porção visível da

irradiação: um objecto é vermelho porque reflete apenas esses λ, dentro da gama dos λvisiveis.

RADIAÇÃO


� Coeficiente de Absorção – αααα

O valor hemisférico total é:

∫

∫∞

∞

==

0

0

λ

λαα

λ

λλ

dG

dG

G

Gabs

� Coeficiente de Reflexão – ρρρρ

∫

∫∞

∞

==

0

0

λ

λρρ

λ

λλ

dG

dG

G

Grefl

Podemos considerar dois tipos ideais de reflexão:

Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria

dos casos)

Difusa: Especular:

intensidade rad.reflect. uniforme

rad. refl.

Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria

dos casos)

Superfícies polidas (espelhos)

rad. inc.

rad. inc.

θ1 = θ2

Para superfícies opacas (ττττ = 0): ρ = 1 - α

Note-se que a reflexão não altera o(s) comprimentos de onda da irradiação.

� Coeficiente de Transmissão – ττττ

Materiais translúcidos (plásticos, vidros, películas de

água) têm τ ≠ 0.

RADIAÇÃO


∫

∫∞

∞

==

0

0

λ

λττ

λ

λλ

dG

dG

G

Gtrans

ρατ −−= 1

Um material pode ser transparente em certos comprimentos de onda e opacos noutros.

Exemplo: Vidro

T Baixa => λλλλ Longo

T Elevada => λλλλ Curto

Vidro opaco à

radiação com λλλλ longo

Vidro Transparente à

radiação com λλλλ curto

T Baixa => λ λ λ λ Longo

2

1

1 3

τn

λ (µm) .4 .7

Visível Efeito de estufa Infra-Vermelhos

RADIAÇÃO


Lei de Kirchhoff - Relação Emissão/Absorção

Verifica-se sempre que:

Lei de Kirchhoff → α’λ=ε’λ

Corpo difuso �αλ=ελ

Corpo cinzento �α’=ε’

Corpo cinzento e difuso �αααα = εεεε Muitas das superfícies comuns são (aproximadamente) cinzentas e difusas.

Mas nem sempre é assim…

Na prática, muitas superfícies têm o objectivo de funcionar com α≠ε. Exemplos:

� Placa de captação da radiação solar selectiva:

� A tinta branca tem comportamento oposto:

baixo αααα para λ<, e alta εεεε para λ>.

0.1

0.8

λ

αλ= ελ

3 µm

placa

Rad. I.V. (λ > 3 µm)

ε = 0.1

E

G

Rad. solar (λ > 3 µm)

α = 0.8 Comprtamento da

superfície

Uma dada Direcção´

Um dado Comp. de

Onda λλλλ

RADIAÇÃO


Trocas de Energia por

Radiação entre Superfícies de

um Volume Fechado

Até agora ocupámo-nos de processos radiativos em superfícies isoladas. É altura de considerar o que se passa quando há várias superfícies (duas ou +).

As trocas por radiação entre superfícies, dependem bastante da geometria e das suas orientações, além das suas propriedades e temperaturas.

Hipóteses Simplificativas

� As superfícies estão separadas por um meio não

participante, ou seja, um meio que não interfere (absorvendo ou redirecionando) na energia trocada entre elas.

� Cada superfície é isotérmica.

� A energia é reflectida difusamente (reflexão difusa), e a emissão e irradiação são uniformes.

� As superfícies são opacas, cinzentas e difusas.

� Regime permanente.

O vácuo e muitos gases (ar para volumes pouco extensos) são meios não participantes..

Vol. fechado

Superf. j, Aj

Tj

εj, ρj

Superf. k, Ak

Tk

εk, ρk, αk = εk

RADIAÇÃO


q ′′

q ′′

G J

qGJ ′′=−

G

Gα

Gρ E

J Radiosidade

Emit. + Reflect.

k

Radiosidade Radiosidade

G - irradiação – fluxo de energia que chega à superfície.

J - radiosidade – fluxo de energia que sai da superfície.

321321reflectidoemitido

4kkkkk GTJ ρσε +=

A energia incidente em k, kq ′′ , é devida à radiosidade das superfícies j, parte da qual chega a k.

kjF − é a fracção da radiação saída de j que chega a k,

chamada Factor de forma entre as 2 superfícies.

Assim:

∑=

−=n

j

kjjjkk FAJGA1

para n superfícies. do volume fechado

Assim:

∑=

−+=n

j

kj

k

j

jkkkk FA

AJTJ

1

4 ρσε

Como calcular kjF − ?

j2 ... j1

k

kG kJ

kjjj FAJ −

jj AJ

j

k

Note-se que o somatório pode incluir a própria superfície k se esta enviar radiação para si própria (superfície côncava)

RADIAÇÃO


Cálculo do Factor de

Forma

O factor de forma é puramente geométrico (só depende da geometria e posição relativa das superfícies)

• Superfícies elementares:

}

{

''cos.cos

'

'coscos

20

0'

'

0

dARdAi

d

R

AddAi

dq

dqdF

e

refli

emi

dA

dAdAdAdA π

ββπ

ωβ

β=

′′

==

+

−−

48476

• 1 superfície elementar e 1 finita:

''cos.cos

'2' dA

RdF

A

AdA ∫=− πββ

• 2 superfícies finitas:

dAdAR

FA A

AA ''cos.cos

'2' ∫ ∫=− π

ββ

nA

β

NA’

β’ dA’

R

dA

dA’

dA

dω

A’

dA β, R e β’ variáveis

A’

A R, β’ e β variáveis

RADIAÇÃO


Factores de forma – geometrias

elementares


RADIAÇÃO



RADIAÇÃO


Relação de Reciprocidade

Considere-se 2 corpos negros, em equilíbrio térmico (mesma T).

Energia que 1 envia para 2: 2114

21 −− = FATq σ

Energia que 2 envia para 1: 1224

12 −− = FATq σ

Em equilíbrio 1221 −− = qq (se não T alterava-se):

→ 122211 −− = FAFA

Relação de Reciprocidade ou 212

112 −− = F

A

AF

Balanços Energéticos

3121)32(1 −−+− += FFF

Para um volume fechado constituído por n superfícies:

∑=

− =n

j

jF1

1 1

Método das Diagonais de Hottel

È aplicável a 2 superfícies em que uma dimensão é infinita.

2

____________

211

−−

+=−

BDACBCAD

FA

As relações vistas atrás, justamente com o conhecimento de factores de forma para geometrias simples, permitem determinar jiF − na maior parte dos casos.

Como os factores de forma são meramente geométricos, esta relação mantém-se mesmo noutras condições (corpos não negros, temperaturas diferentes).

1

3

2

C

A B

D 2

1

RADIAÇÃO


Nos outros há que fazer a integração... (tabelas, apontamentos,...)

Voltado á Equação da Radiosidade:

∑=

−

−

+=n

j

F

kj

k

j

jkkkk

jk

FA

AJTJ

1

4

43421

ρσε

Pode ser simplificada com a relação de reciprocidade

∑=

−+=n

j

jkjkkkk FJTJ1

4 ρσε

Como: kk ερ −= 1 :

∑=

−−+=n

j

jkjkkkk FJTJ1

4 )1( εσε

j1

k

j2

kJ

j3

Nota 1:

Relação de Reciprocidade:

212

112 −− = F

A

AF

Nota 2:

Superfícies opacas �

10 =+⇒= kkk ρατ

kk αρ −=⇒ 1

Superfícies cinzentas e difusas �

kkkk ερεα −=⇒= 1

RADIAÇÃO


Para um volume fechado com n superfícies, o problema pode ser resolvido com um sistema de 2n equações. Há a considerar dois tipos de problemas (em cada superfície):

- Sabe-se Tk; pretende-se kq

- Sabe-se kq ; pretende-se Tk

• Exemplo de Cálculo:

A superfície 1 perde um fluxo constante 1q (nas trocas com o volume fechado) e as restantes estão a T2, T3 e T4. Pretende-se calcular T1 e a potência calorífica recebida por 2, 3 e 4.

� Cálculo das radiosidades:

1

14143132121

1

)4(A

qFJFJFJJ

G

+++= −−− 4444 34444 21

[ ]4444 34444 21

2

42432312124

222

G

FJFJFJTJ −−− +++= ρσε

[ ]444444 3444444 21

3

43433323213134

333

G

FJFJFJFJTJ −−−− ++++= ρσε ( )0:Nota 33 ≠−F

[ ]34324214144

444 −−− +++= FJFJFJTJ ρσε

� Depois de resolvido o sistema, ficam encontradas as radiosidades iJ .

T1 é calculada pela equação radiosidade de 1.

432 e, qqq são calculados pelas equações de balanço de 2,3 e 4.

Para cada uma superfície há 1 equação de radiosidade e 1 de balanço.

A B

C D

3

2 4

1 1q

Equação de Balanço

na superfície 1.

Equação da

Radiosidade na

superfície 2.

Equação da

Radiosidade na

superfície 3.

Equação da

Radiosidade na

superfície 4.

RADIAÇÃO


Volume Fechado com duas

Superfícies

Caso particular e mais simples das trocas entre n superfícies.

Havendo só 2 superfícies:

2121 −=+=− qqq

A resolução das equações de radiosidades e balanços, sabendo T1e T2, conduz a:

( )

−++−

−=

−

−

111

11

22

1

211

42

411

21

εε

σ

A

A

F

TTAq

Exemplos:

- Planos paralelos e infinitos:

( )1

11

21

42

41

21

−+

−=−

εε

σ TTAq

- Objecto pequeno rodeado por superfície muito maior:

( )42

411121 TTAq −=− εσ

2

21−q

1

1q

2q

Muitos casos, na prática, se podem reduzir a 2 superfícies.

1

2

A1 = A2; F1-2 = 1

1;0 212

1 =≈ −FA

A

2

1

RADIAÇÃO


Analogia Reo-eléctrica para

Radiação Térmica

Tal como foi definido anteriormente, a resistência térmica é tal que:

R

Tq

∆=

T1 q

T2

∆T

R

Se aplicarmos esta definição ao caso de trocas por radiação entre 2 superfícies de 1 volume fechado:

Com, ( )

−++−

−=

−

−

111

11

22

1

211

42

411

21

εε

σ

A

A

F

TTAq

Vem: ( )( )212

21

11

22

1

211

21

21

111

11

TTTTA

A

A

F

q

TTRrad ++

−++−

=−

= −

− σεε

(desenvolvendo o termo ( )42

41 TT − ).

Embora por vezes usada, esta definição de resistência de radiação tem um inconveniente:

Rrad = f (T1, T2)

…o que não acontece com as resistências de condução

e convecção (kA

e e hA

1 , respectivamente).

É possível uma definição diferente de resistência de radiação.

� A equação de balanço para uma superfície k:

A primeira tentativa de definição de resistência térmica de radiação é, logicamente, baseada em tal definição: Circuitos com

temperaturas nos nós

(superfícies).

RADIAÇÃO


( )4

1 kk

k

kk

k TJA

q σεε

−−

=

pode escrever-se como

kk

k

kkk

A

TJq

εεσ

−−

=1

4

kk

k

AR

εε−

=1

- Resistência radiativa da superfície k.

Se kq for positivo a superfície recebe radiação.

� Para determinar a radiosidade, kJ , que constitui um dos nós:

({

){

k

n

J

jkj

n

J

jk JF

k

JF

kkk JGAq

∑

−

∑

=

=−

=−

00

( ) ∑∑=

−

=−

−=−=

n

j

jkk

kjn

j

kjjkkk

FA

JJJJFAJ

111

jkk FAR

−

=1

- Resistência espacial ou geométrica.

Igualando as expressões de balanço:

∑=

−

−=

−− n

j

jkk

kj

kk

k

kk

FA

JJ

A

TJ

1

4

11

εεσ

= R

R’s espaciais R superficial

potencial

kk

k

A εε−1

4k

Tσ kJ

kq

A radiosidade depende das trocas de radiação com outras superfícies.

= R

potencial

RADIAÇÃO


Volume Fechado com Várias

Superfícies

� Vantagem desta metodologia: o facto das resistências não dependerem das

Temperaturas.

� Desvantagem desta metodologia: contém nos nós radiosidades em vez de temperaturas, o que torna impossível a sua utilização em esquemas em que estejam presentes outros

modos de transporte – condução e

convecção – (em que há Temperaturas nos nós).

kq −2

4k

Tσ kJ

1J

nJ

2J

knq −

kq −1

kq

Nó que corresponde á superfície k

RADIAÇÃO


2

1

3 3

Exemplo de Aplicação – Analogia

Reo-Eléctrica

Forno em que 1 é a superfície aquecedora e se encontra à temperatura T1e 3 (paredes laterais) é uma superfície muito bem isolada. Calcular o fluxo recebido pela superfície 2,

)( 12 qq = .

322311

323121211

322311211

111

1111

−−

−−−

−−− ++

=⇒

++=

FAFA

FFAAFA

R

FAFAFA

Req

eq

( )

11

1

322311

323121211

22

2

42

41

2

111

εεε

εσ

AFAFA

FFAAFA

A

TTq

−+

++

+−

−=

−−

−−−

1q

41Tσ

311

1

−FA

433 TJ σ= (Sup. Re-radiante)

322

1

−FA

11

11

εε

A

−

22

21

εε

A

−

42Tσ

2q

2J

1J

211

1

−FA

Isolamento

03 =q

RADIAÇÃO


Superfícies Re-Radiantes

São superfícies muito bem isoladas, podendo ser consideradas adiabáticas, do lado exterior de um volume fechado em que se troca radiação:

0ou0 ≈=q

Recorrendo à equação geral de balanço:

[ ] 01

4 =−−

= kk

k

kkk TJ

Aq σ

εε

vê-se que sendo o balanço nulo, terá de ser:

4kk TJ σ=

Ou seja, embora não sendo, a sua radiosidade é igual à de um corpo negro.

Num volume fechado, a temperatura de equilíbrio de uma superfície re-radiante é determinada pela sua interacção com as outras superfícies, e é independente da sua emissividade.

Exemplos de superfícies re-radiantes:

As paralelas laterais de um forno (se devidamente isoladas).

Em muitas aplicações práticas, algumas superfícies podem ser consideradas bem isoladas, e portanto, re-

radiantes.

Resistência

RADIAÇÃO


Escudos de radiação São construídos com materiais de baixa emissividade ≡

alto coeficiente de reflexão, e usados para diminuir o balanço radiativo entre 2 superfícies.

O material mais usado é a folha de alumínio.

• Exemplos:

Sem escudo: Com escudo:

O uso de escudos em sensores de temperatura para medição de temperatura em gases, permite obter maior precisão na medida (minimizando o efeito da radiação para paredes).

2

T = 260°C ε = 0,8

1 T = 815ºC

ε = 0,6

2mkW

21 5,39=′′−q

2

T = 260°C ε = 0,8

1 T = 815ºC

ε = 0,6

2mkW

21 7=′′−q

ε = 0,2

termopar

Ar Tar Tar > Tp Tp

Tt

Escudo

Nota:

Superfícies Opacas, Cinzentas e Difusas: τ = 0 =>α + ρ = 1 e ε = α Se ε baixo =>ρ elevado

Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015

Engineering

Transcript of Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015