20Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataUnidade IIUnidade II5 CONDUO EM SISTEMAS RADIAISParedes CilndricasO mesmo desenvolvimento realizado para paredes planas ser utilizado para as paredes cilndricas, entretanto teremos que reescrever a equao da resistncia trmica (Rtrmica).Figura 6 Representao esquemtica de uma associao de cilindros de diferentes materiaisConsidere um duto cilndrico composto, apresentado na gura 1, com comprimento l, constitudo por uma camada de material com condutividade trmica k1, com raio interno r1 e raio externo r2, envolto por um novo material de condutividade trmica k2. O cilindro interno est exposto a uma temperatura T1 e o cilindro externo est exposto a uma temperatura T2. Qual ser o uxo de calor desse sistema?O uxo de calor pode ser expresso pela lei de Fourier, mas agora com o gradiente da temperatura na direo radial:= dTq k Adr.Para conguraes cilndricas, a rea dada por A = 2 . r . l. Assim, retornando para a equao de Fourier e substituindo a rea:21Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataTRANSFERNCIA DE CALOR( ) 2 = dTq k r ldrIsolando a varivel radial de um dos lados da equao:2 = drq k l dTrIntegrando a equao anterior do ponto 1 ao ponto 2:( ) ( ) [ ]2 22 222 1 2 1 1 21 11 1 12 ln 2 ln( ) ln( ) 2 ( ) ln 2 ( ) = = = = r drq k l dT q r k l T q r r k l T T q k l T Tr r ( ) ( ) [ ]2 22 222 1 2 1 1 21 11 1 12 ln 2 ln( ) ln( ) 2 ( ) ln 2 ( ) = = = = r drq k l dT q r k l T q r r k l T T q k l T Tr r Portanto, o uxo de calor em paredes cilndricas ser:1 2212( )ln = k lq T TrrParaseaplicaroconceitoderesistnciatrmica,deve-separtirdoconceitodeuxodecalor equacionado em notas anteriores: = trmicaTqR. Reescrevendo essa equao, pode-se notar qual ser o novo conceito para a resistncia trmica (em paredes cilndricas):1= trmicaq TRObserve que a resistncia trmica dada por:2121ln1 22ln = = trmicatrmicarrk lRR k lrrPara o caso em que temos nparedes cilndricas, a resistncia trmica total ser dada por:22Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataUnidade II1 ==equivalentenT iiR RParedes EsfricasO mesmo desenvolvimento realizado para paredes planas e cilndricas tambm ser utilizado para as paredes esfricas, sendo reescrita mais uma vez a equao da resistncia trmica(Rtrmica).Considere um sistema esfrico constitudo por uma camada de material com condutividade trmica k1, com raio interno r1 (ou ri) e raio externo r2 (ou re), envolto por um novo material de condutividade trmica k2. A esfera interna est exposta a uma temperatura T1 e a esfera externa est exposta a uma temperatura T2. Qual ser o uxo de calor desse sistema?Figura 7 Representao esquemtica de uma associao esfrica de diferentes materiaisO uxo de calor pode ser expresso pela Lei de Fourier, mas agora com o gradiente da temperatura tambm na direo radial:= dTq k AdrPara conguraes esfricas, a rea de sua superfcie dada por A = 4 . r2. Assim, retornando para a equao de Fourier e substituindo a rea:2(4 ) = dTq k rdrIsolando a varivel radial de um dos lados da equao, temos:24 = drq k dTrIntegrando a equao anterior para um ponto no interior (i) da esfera a um ponto no exterior (e) da mesma esfera:23Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataTRANSFERNCIA DE CALOR( ) ( )2 1 124 4 42 1 1+ = = = + e ee eee iii i i idr r rq k dT q k T q k T Tr Portanto para o uxo de calor em paredes esfricas, teremos:( )1 14 4( ) ( ) = = e i e ei ik kq T T q Tr r Para aplicarmos o conceito de resistncia, vamos partir do conceito de uxo de calor equacionado em aulas anteriores: = TrmicaTqR. Reescrevendo essa equao, podemos notar qual ser o novo conceito para a resistncia trmica (em paredes esfricas):1= Trmicaq TRem que a resistncia trmica ser denida por:111 1( ) 1 44 4 ( ) = = = ei e iTrmica Trmica eTrmica ir r r kR RR k k r 6 FUNDAMENTOS DA CONVECOAo se estudar a transferncia de calor em um slido ou uido em repouso, o processo de conduo utilizado. Entretanto, o que ocorre quando o uido entra em movimento?Quando h movimento no uido, o processo de transferncia (transmisso) de calor utilizado a conveco. A conveco pode ser classicada em:Natural (ou livre): qualquer movimento do uido causado por meios naturais, como o efeito do empuxo, o qual se manifesta com uidos quentes subindo e uidos frios descendo.Forada:ouidoforadoaescoarsobreumasuperfcieoudentrodeumtubopormeios externos, como bombas e ventiladores.Externa: o uido escoa sobre uma superfcie.Interna: o uido escoa dentro de um tubo.24Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataUnidade IIMecanismos de ConvecoNotequeemboraaconduoeaconvecosejamsemelhantes,diferentedaradiao,ambos necessitam de um meio material para transferir calor. Lembre-se de que para o processo de conveco necessrio o movimento do uido.Analisandoastaxasdetransfernciadecalorporumuido,possvelobservarqueelassero maiores para o processo de conveco em relao ao processo de conduo. Isso se deve ao movimento que aumenta a transferncia de calor, colocando mais partes quentes e frias do uido em contato. Note que quanto maior a velocidade do uido, maior ser a taxa de transmisso de calor.Atransmisso(transferncia)decalordependedaspropriedadesdouidocomoviscosidade dinmica (), condutividade trmica (k), massa especca ou densidade () e calor especco (Cp), assim como a velocidade de escoamento do uido (v). Alm disso, a geometria e a rugosidade da superfcie slida, bem como o tipo de escoamento, podem interferir na transmisso de calor.Emboraatransmissodecalorporconvecodemonstreumagrandecomplexidade,devido quantidade de variveis que inuenciam o processo, a taxa de transmisso de calor por conveco proporcional diferena de temperatura e expressa pela lei de resfriamento de Newton, como:2( )( / )= conv Sq h T T W m ou( )( )= conv S SQ h A T T Wem que: h representa o coeciente de transferncia de calor por conveco (W / m2 . K), AS representa a rea de transferncia de calor (m2), TS representa a temperatura da superfcie (C) e T a temperatura do uido sucientemente longe da superfcie (C).Ocoecientedetransfernciadecalorporconvecorepresentaataxadetransfernciade calorentreumasuperfcieslidaeumuidoporunidadedereaeporunidadedediferenade temperatura. A transferncia de calor por conveco a partir de uma superfcie slida para um uido simplesmente a transferncia de calor por conduo a partir da superfcie slida para a camada de uido adjacente superfcie.Assim, a determinao do coeciente de transferncia de calor por conveco quandoadistribuiodetemperaturanointeriordouidoconhecida,podeserdeterminadapor 02( / )( / )= = flui ySk T yh W m KT T. O coeciente de transferncia de calor por conveco, em geral, varia ao longo da direo do escoamento.Resistncia TrmicaAexpressodouxodecalorpodeseradaptadaparaquepossamosfazerumaanalogiacoma resistncia eltrica. Considere o uxo de calor:= =Tq h A T qR25Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataTRANSFERNCIA DE CALORem que: 1=Rh A e representa a resistncia trmica na conveco.Camada Limite comum que o escoamento de uidos ocorra em superfcies slidas e lembre-se de que o quanto tais superfcies podem afetar o escoamento do uido.Considere o seguinte experimento: um uido escoa em um tubo ao longo de uma superfcie slida estacionriaenoporosa(ousimplesmenteimpermevel).Observandooexperimento,possvel visualizarumperldevelocidade,emqueprximosuperfcie,ouidoatingeorepouso,ou,como mencionado em Mecnica dos Fluidos, o uido assume velocidade igual a zero (prximo s paredes). Dessaforma,lembre-sedequeouidoaderesuperfciedevidoaosefeitosviscosos,resultandona condio de no escorregamento.Aoseobservaraevoluodogradientedevelocidade,acamadaaderentesuperfcieatrasaa camadadeuidoadjacenteporcausadasforasviscosasentreascamadasdeuidos,atrasandoas sucessivas camadas existentes. A condio de no escorregamento responsvel pelo desenvolvimento doperldevelocidade.Aregioadjacenteparedeemqueefeitosviscosossosignicativos denominada camada limite. A propriedade do uido responsvel pela condio de no escorregamento e pelo desenvolvimento da camada limite a viscosidade.Reviso da Classicao do Escoamento dos FluidosA transferncia de calor por conveco est intimamente ligada mecnica dos uidos. Assim, ser necessrio revisar alguns conceitos provenientes do estudo dos uidos.Escoamento Viscoso e No ViscosoQuandoduaslminas(oucamadas)deuidosemovemumaemrelaooutra,umaforade atrito se desenvolve em ambas e a camada mais lenta tenta frear a mais rpida. A resistncia interna aoescoamentodenominadaviscosidade,aqualmedeaadernciainternadouido.Escoamentos viscosossoescoamentosnosquaisosefeitosviscosossosignicativos.Seostermosviscososso desprezados, trata-se de um escoamento no viscoso. No caso de um uido escoando ao longo de uma placa, o escoamento viscoso est prximo superfcie da placa, enquanto o escoamento no viscoso est longe da placa.Escoamento Interno e ExternoO escoamento do uido sobre uma superfcie como placa, o ou tubo denominado escoamento externo. O escoamento em um tubo ou duto denominado escoamento interno.26Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataUnidade IIEscoamento Compressvel e IncompressvelOescoamentodenominadoincompressvelquandoamassaespeccadouidopermanece praticamente constante ao longo do escoamento. Lembre-se de que os lquidos so conhecidos como substncias incompressveis.Escoamento Laminar e TurbulentoOmovimentodeumuidoaltamenteordenado,caracterizadoporlminaslisasdeuidos, denominadolaminar.Omovimentoaltamentedesordenadodosuidos,geralmenteobservadosem altas velocidades, caracterizado por utuaes de velocidade, denominado turbulento.Escoamento Natural e ForadoQuando um uido forado a escoar por um tubo ou superfcie, com o auxlio de um meio externo como bombas e ventiladores, tm-se o escoamento forado. Qualquer movimento de uido devido a meios naturais, como o empuxo, resultado do escoamento natural.Escoamento Permanente e TransienteEscoamento permanente representado por nenhuma alterao com o tempo no ponto. O oposto ser denominado transiente.7 ALETASAletas so utilizadas para aumentar a taxa de transferncia de calor. Considere uma superfcie base sobre a qual esto xadas aletas de sees transversais. Figura 8 Representao esquemtica de uma aleta e caractersticas de interesse27Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataTRANSFERNCIA DE CALOREmumasuperfciebase,atemperaturadasuperfcie(TS),geralmente,maiordatemperatura ambiente(T)Anal,asuperfcieestendida(aleta)estnabaseparatrocarcaloreouxodecalor sempre na direo da maior temperatura para a menor temperatura.O uxo de calor total transferido pela superfcie com aleta igual ao uxo de calor transferido pela rea exposta das aletas (AA) mais o uxo de calor transferido pela rea exposta da superfcie base (AB). Assim, a transferncia de calor ser:( ) ( )? = + = + B A B s Aq q q q h A T T h A T TObserve que a diferena de temperatura desconhecida para a aleta e tal diferena deve ser corrigida pela ecincia da aleta ().Figura 9 Diferena de temperatura em uma aletaObserve que na base da aleta a temperatura TS, porm haver uma diminuio dela medida que a temperatura se afasta da base at a borda da aleta.Umanovaequaoparaatransfernciadecalornaaletapodeserescrita,considerando-sea ecincia dessa aleta. Assim, o uxo de calor transferido na aleta ser:( )= A A sq h A T T Como o valor da ecincia pode ser determinado? Considerando o balano de energia em uma aleta de seo uniforme, a ecincia seria determinada por:( ) =tghmlmlem que =th Pmk A. As variveis da equao so: h representa o coeciente pelcula ou o coeciente detransfernciadecalorporconveco,Prepresentaopermetroekrepresentaocoecientede condutibilidade do material.Portanto, o uxo de calor trocado em uma superfcie aleta ser denido por:28Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataUnidade II( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = + B A B s A s B A sq q q q h A T T h A T T q h A A T T Tipos de AletasAleta de Seo RetangularUma aleta de seo retangular apresenta as caractersticas da gura 10.Figura 10 Aleta de seo retangular e suas caractersticasA rea transversal (At) da aleta dada por At = b . e. O permetro ser P = 2 . b + 2 . e. Como b >> e, o permetro se aproxima de 2 P b. Portanto, para determinar m:2 2 = = = th P h b hm mk A k b e k ecomumterquedeterminaraquantidadedealetasqueexisteemcertabase.Paraisso,deve-se considerar o comprimento total da base (Lb), a espessura da aleta e o espaamento () entre cada aleta. Dessa forma, o nmero de aletas (n) ser:( ) = + =+ bbLL e n neAleta CurvaUma aleta curva apresenta as caractersticas da gura 6.29Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataTRANSFERNCIA DE CALORFigura 11 Representao esquemtica de uma aleta curva com raio (r) e espessura (e)A rea transversal (At) da aleta dada por At = 2 . . r . e. O permetro ser P = 2 . (2 . . r) + 2 . e. Como a espessura muito inferior ao raio, 4 P r . Portanto, para determinar m:4 22 = = = th P h r hm mk A k r e k eAleta PinoUma aleta pino apresenta as caractersticas da gura 12.Figura 12 Representao esquemtica de uma aleta pinoA rea transversal (At) da aleta dada por At = . r2. O permetro ser P = 2 . . r. Portanto, para determinar m:30Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataUnidade II22 2 = = = th P h r hm mk A k r k r8 PARMETROS ADIMENSIONAIS E PLACAS PLANASCamada Limite de VelocidadeLembre-se de que a camada limite uma na camada de uido em que o gradiente de velocidade e as tenses de cisalhamento so grandes. Assim, quando h movimento no uido, o atrito est presente. Se for considerada a fora de atrito por unidade de rea, a tenso cisalhante na superfcie ser expressa a partir do gradiente de velocidade 0 = = yyy . Lembre-se de que a tenso de cisalhamento mantm um uido em movimento.Considerando um escoamento externo, o primeiro parmetro adimensional, denominado coeciente de atrito local, pode ser determinado por:22fCuAo longo de uma superfcie, a fora de atrito pode ser denida por: 22 =f SfC A vF.Camada Limite HidrodinmicaRegio do escoamento acima de um ponto, delimitado por uma espessura da camada limite ( ) , em que as foras de cisalhamento viscoso so sentidas. Uma forma de denir a espessura da camada limite medir a distncia ya partir da superfcie na qual 0, 99 = u v. Note que tal camada ocorre quando existe uma variao substancial da velocidade.Camada Limite TrmicaRegio do escoamento sobre a superfcie em que a variao de temperatura, na direo normal superfcie, signicativa. A espessura da camada limite trmica a distncia a partir da superfcie em que a diferena de temperatura equivale a 0,99 . (T - TS).Parmetros AdimensionaisNmero de NusseltNosestudosdeconveco,umaprticacomumenteutilizadaadimensionalizarasequaese combinarasvariveisqueseagrupamemnmerosadimensionaisparareduzironmerototalde 31Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataTRANSFERNCIA DE CALORvariveis.Ocoecientedetransfernciadecalor(h)adimensionalpodeserobtidopelonmerode Nusselt (Nu),=ch LNuk, em que Lc corresponde ao comprimento caracterstico.O nmero de Nusselt representa o aumento da transferncia de calor pela camada de uido como resultado da conveco em relao conduo do mesmo uido em toda a camada. Quanto maior for o nmero de Nusselt, mais ecaz ser a conveco. Um nmero de Nusselt, Nu = 1, para camada de uido representa a transferncia de calor em toda a camada por conduo pura.NotequeonmerodeNusseltrepresentaarazoentreatransmissodecalorporconvecoe somente por conduo.Nmero de PrandtlEstenmeroadimensionalrelacionaaespessurarelativadascamadaslimiteshidrodinmicase trmicas. Matematicamente:=difusividademoleculardequantidadedemovimentoPrdifusividademoleculardecalor= =pcPrkO nmero de Prandtl fornece uma medida da efetividade dos transportes, por difuso, de momento e de energia no interior das camadas limites de velocidade e trmica.Nmero de ReynoldsDetermina a existncia de um escoamento laminar ou turbulento. Lembre-se de que o nmero de Reynolds dado por:Re = = =c cv L v L ForadeinrciaForaviscosa A magnitude do nmero de Reynolds tem uma inuncia direta com a espessura da camada-limite de velocidade. Observe que quanto menor for a inuncia das foras viscosas, menor ser o valor da espessura da camada limite.32Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataUnidade IINmero de GrashofFornece uma medida da relao entre as foras de empuxo e as foras viscosas na camada limite de velocidade, Gr = g . . (TS - T) . L3v2, em que representa o coeciente de expanso volumtrica. No caso de gases ideais, 1=T , com a temperatura absoluta.Conveco Placa PlanaA conveco deve ser expressa em termos das equaes da continuidade, quantidade de movimento e energia, considerando o escoamento permanente e incompressvel. Assim, uma quantidade relativamente sosticada de clculo deve ser desenvolvida para se estudar a propagao do calor no sistema.Podemosredeniralgunsparmetrosjmencionados,utilizandoosparmetrosadimensionais, quando problemas de escoamento paralelo, permanente e incompressvel ao longo de uma placa plana forem estudados:1. Camada limite hidrodinmica: 4, 91 4, 91Re= =xvx2. Camada limite trmica: 1/31/34, 91Re= =TxPrPr3. Coeciente de atrito: 20, 664Re2= =fCv4. Nmero de Nusselt: 30, 332 Re= = h xNu PrkDeterminando o Coeciente de Transferncia de Calor (h)Devidograndequantidadedevariveisrelacionadascomtalparmetro,asuadeterminao pode se tornar uma tarefa rdua. Uma forma de diminuir tal tarefa utilizar equaes empricas que relacionam os parmetros adimensionais mencionados anteriormente. Assim:Conveco natural: utiliza-se os nmeros de Nusselt e Grashof.Conveco forada: utiliza-se os nmeros de Nusselt, Reynolds e Prandtl.33Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataBIBLIOGRAFIA BSICAENGEL, Y. A. Transferncia de Calor e Massa. 3. ed. Editora McGraw-Hill, 2009.INCROPERA, F. P. et al. Fundamentos de Transferncia de Calor. 6. ed. Editora LTC, 2008.MORAN, M. J.; SHAPIRO, H. N. Princpios de Termodinmica para Engenharia. 6. ed. Editora LTC, 2009.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARBEJAN, A. Transferncia de Calor. 1. ed. Editora Edgard Blucher, 2004.HOLMAN, J. P. Heat Trasnfer. 10. ed. Editora McGraw-Hill, 2010.KREITH, F.; BOHN, M. S. Princpios de Transferncia de Calor. 1. ed. Editora Thomson Learning, 2003.TREVISAN, W. Manual Termotcnico. Inst. Brasileiro de Edies Cientcas IBEC, 2005.34Reviso: Nome do revisor - Diagramao: Nome do diagramador - dataInformaes:www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000