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MATEMÁTICA – ENGENHARIA CIVIL

EXERCÍCIOS SOBRE A TEORIA DE CONJUNTOS ( 1 )

1. Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade

revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8%

têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa

própria nem automóvel?

Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a

quantidade de elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos

da interseção n(C A) = 8%.

Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x =

100 %. Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria

nem automóvel é x = 100% - 31% = 69%.

2. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as

publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma

pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas:

600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200

leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100

leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras.

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras.

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras.

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Solução: Começamos sempre colocando o número de elementos da intersecção. Ao

colocar o número de elementos de um conjunto, não podemos esquecer de descontar os

da intersecção

200 - 20 = 180 ;

150 - 20 = 130 ;

100 - 20 = 80 ;

600 - 180 - 20 - 130 = 270 ;

400 - 180 - 20 - 80 = 120 ;

300 - 130 - 20 - 80 = 70.

270 + 180 + 120 + 130 + 20 + 80 + 70 = 870

Assim:

a) O número de pessoas que leu apenas uma das obras é 270 + 120 + 70 = 460 :

b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras é x = 1000 - 870 = 130 ;

c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras é 180 + 20 + 130 + 80 = 410

3. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e

constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800

tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de

problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam

somente problemas de imagem é:

a) 4 000 b) 3 700 c) 3 500 d) 2 800 e) 2 500

Solução: Resposta na altermativa b). Observe o diagrama construído com base no

enunciado, onde I é o conjunto dos que apresentavam defeito na imagem, S o conjunto

dos que apresentavam problemas de som e N o conjunto daqueles que não apresentavam

nenhum defeito citado.

Temos que 4000 - x + x + 2800 - x + 3500 = 10000, onde x é o números de televisores

que apresentavam, ao mesmo tempo, os dois problemas citados. Segue que x = 10300 -

10000 = 300. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de

imagem é 4000 - x = 4000 - 300 = 3700.

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4. Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente

assistem, foram consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230

preferem o canal A; 250 o canal B; e 50 preferem outros canais

diferentes de A e B. Pergunta-se:

a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B?

b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B?

c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A?

d) Quantas pessoas não assitem ao canal A?

Solução: Seja o diagrama a seguir:

Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450.

a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80

b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x =

150.

c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x =

170.

d) O número de pessoas que não assitem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 =

220.

5. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de

TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo

indica quantas pessoas assistem a esses programas.

Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum

Número de

telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x

Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade

que não assistem a qualquer dos três programas é:

(A) 200 (C) 900

(B) os dados do problema estão incorretos. (D) 100

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Solução: No diagrama de Venn-Euler colocamos a quantidade de elementos dos

conjuntos, começando sempre pela interseção que tem 100 elementos.

Então, 100 + 120 + 100 + 80 +700 + 200 + 300 + x = 1800. Segue que, 1600 + x =

1800. Logo, o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três

programas é: x = 1800 - 1600 = 200.

Assim, (A) é a opção correta.

6. Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a

revista B, e todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas.

O percentual de funcionários que lêem as duas revistas é ....

Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e

utilizando-se do fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a

equação: 60 - x + x + 80 - x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100.

Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%.

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7. Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos

acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo

que 100 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira

questão. Quantos alunos fizeram a prova?

Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda,

então, 260 - 100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente

uma das questões e 160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140

acertaram somente a primeira. Como 210 erraram a primeira, incluindo os 160 que

também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 = 50 erraram as duas. Assim podemos

montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto dos que acertaram a primeira

questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o conjunto dos que erraram

as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que acertaram as duas questões.

Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450.

8. Inscreveram-se num concurso público 700 candidatos para 3 cargos -

um de nível superior, um de nível médio e um de nível fundamental. É

permitido aos candidatos efetuarem uma inscrição para nível superior e

uma para nível médio. Os candidatos ao nível fundamental somente

podem efetuar uma inscrição. Sabe-se que 13% dos candidatos de nível

superior efetuaram 2 inscrições. Dos candidatos de nivel médio, 111

candidatos efetuaram uma só inscrição, correspondendo a 74% dos

candidatos desse nível. Qual é então o número de candidatos ao nível

fundamental?

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Solução: Sejam: #(M) o número de candidatos de nível médio; #(S M) o número de

candidatos aos níveis superior e médio; #(S) o número de candidatos ao nível superior;

#(F) número de candidatos ao nível fundamental. Da Matemática Financeira sabemos

que: 74% = 74/100 = 0,74 e 13% = 13/100 = 0,13.

Então, 0,74×#(M) = 111, segue que, #(M) = 111 / 0,74 = 150 e #(S M) = 150 - 111 =

39 .

Assim, 0,13×#(S) = 39, implicando em #(S) = 39 / 0,13 = 300 . Observe o diagrama de

Venn-Euler com a quantidade de elementos.

Temos: 300 - 39 = 261. Logo, 261 + 39 + 111 + #(F) = 700. Consequentemente, #(F) =

700 - 411 = 289.

9. No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo,

verificou-se que só foram ao estádio paulista e carioca e que todos eles

eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos

100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que

apenas 4.000 paulistas torciam pelo Flamengo. Pergunta-se:

a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?

b) Quantos cariocas foram ao estádio?

c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?

d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?

e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?

f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?

g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?

h) Quantos eram corintianos ou paulistas?

i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?

Solução: Devemos construir uma tabela com os dados do enunciado e as diferenças:

Cariocas Paulistas Totais

Flamenguistas 11.000 4.000 15.000

Corintianos 5.000 80.000 85.000

Totais 16.000 84.000 100.000

Com base na tabela, podemos responder todas as perguntas, levando em conta que:

I) O conectivo "e" está sempre associado a interseção de conjuntos e o conectivo "ou"

está sempre associado a união de conjuntos.

II) n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

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a) "Cruzando os dados" na tabela, vemos que o número de paulistas e corintianos é

80.000.

b) O total de cariocas é 16.000 .

c) O total de não-flamenguistas, ou seja , corintianos é 85.000.

d) O total de flamenguistas é 15.000.

e) O número de paulistas e não flamenguista, isto é, paulistas e corintianos é 80.000.

f) O número de cariocas e corintianos é 5.000.

g) O número de flamenguistas ou cariocas é 15.000 + 16.000 - 11.000 = 20.000.

h) O número de paulistas ou corintianos 84.000 + 85.000 - 80.000 = 89.000 .

i) O número de cariocas ou corintianos é 16.000 + 85.000 - 5.000 = 96.000.

10. Uma montadora de automóveis lançou no mercado um novo

veículo em três versões: a versão simples MS; a luxuosa ML e a super

luxuosa SL. Cada versão pode ser adquirida em uma dentre três cores:

azul, vermelha ou preta. Consideremos que um consumidor escolha em

primeiro lugar uma das versões (MS, ML OU SL). E em segundo lugar

umas das cores (azul, vermelha ou preta). Quais as possibilidades de

escolha?

Solução : Considerando A o conjunto das versões de automóveis e B o conjunto de suas

cores, o resultado procurado está no produto cartesiano A×B, ou seja, no conjunto dos

pares ordenados (x , y), onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o seguinte

a B.

Então, as possibilidades de escolha estão no conjunto:

A×B = {(MS, azul), (MS, vermelha), (MS, preta), (ML, azul), (ML, vermelha), (ML,

preta), (SL, azul), (SL, vermelha), (SL, preta)}.