1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAISCURSO DE ENGENHARIA ELTRICADEPARTAMENTO DE ELETRNICADISCIPLINA DE TCNICAS DE MODELAGEM DE SISTEMAS DINAMICOS

SISTEMA DE LEVITACAO MAGNETICA TERCEIRA ATIVIDADEIMPLEMENTACAO DO METODO DE IDENTIFICACAO DE SISTEMAS EM MALHA FECHADA

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1. IDENTIFICACAO DO SISTEMA USANDO MALHA FECHADA

Nesta parte do trabalho realizada a identificao do sistema usando malha fechada. Para tal, primeiramente feita uma descrio do mtodo, em seguida feita a descrio de como os parmetros foram obtidos e os seus valores e, por ultimo, o resultado da simulao do sistema obtido atravs da identificao.O mtodo de identificao de um sistema usando malha fechada consiste em adicionar um controlador em srie com a funo de transferncia de malha aberta e fechar a malha do sistema, como mostrado na figura 1. A partir da anlise da resposta do sistema em malha fechada e sendo o controlador conhecido, possvel determinar a funo de transferncia do sistema em malha aberta.

Figura 1 Diagrama do sistema em malha fechada

Neste mtodo assume-se que a funo de transferncia do processo em malha aberta tem a seguinte forma:

Sendo que K, e t so respectivamente o ganho, o atraso puro de tempo e a constante de tempo do processo. Dessa forma, a resposta ao degrau do sistema em malha fechada possui a forma:

Para simplificar a utilizao desta funo de transferncia pode-se usar a aproximao de Pad de primeira ordem. Aps algumas manipulaes a funo de transferncia do sistema em malha aberta obtida :

sendo

Os parmetros das equaes descritas anteriormente podem ser determinados a partir das equaes mostradas a seguir.

Sendo que: - Valor do primeiro pico da sada (eixo y) - Valor do segundo pico da sada (eixo y) - Valor do primeiro vale da sada (no eixo y) - Valor da sada em regime permanente - Diferena de tempo entre a primeira e a segunda vez que o sistema passa pelo valor de estado estacionrio

Uma vez finalizada a descrio do mtodo, a partir desse ponto abordada a aplicao do mesmo ao sistema SLM. Deve ser salientado que para que o mtodo de identificao em malha fechada gere modelo satisfatrio, o sistema deve ser aproximvel por um sistema de primeira ordem com atraso puro de tempo. Porm, como comprovado nas sees anteriores deste trabalho, aproximar o sistema de levitao magntica por um sistema que possua tempo morto no uma boa aproximao, portanto espera-se que, assim como no mtodo de Sundaresan, a identificao em malha fechada do sistema no o aproxime satisfatoriamente.A identificao em malha fechada do sistema foi feita para um dos dois pontos de operaes utilizados anteriormente, no caso para y = -4,758 cm ou I = 6 A. A funo de transferncia obtida anteriormente pelo mtodo descrito na seo 2.4.2 em (Aguirre, 2007) mostradas a seguir.Ponto de operao de y = - 4,758 ou I = 6 A.

O controlador escolhido um controlador proporcional de valor kc = 2. A resposta ao degrau da funo de transferncia em malha fechada desta funo de transferncia mostrada na figura 2.

Figura 2 Resposta ao degrau do sistema em malha fechada para o ponto de operao y = -4,758 cm

Obteve-se ento os valores dos parmetros do mtodo de identificao em malha fechada, estes so mostradas na tabela 1 juntamente com os valores calculados para os parmetros.

SmboloDescrioValores

Valor do primeiro pico (no eixo y)0.1893

yp2Valor do segundo pico(no eixo y)0.1565

ymValor do primeiro vale (no eixo y)0.04219

yinfValor de regime permanente0.1058

Diferena de tempo entre a primeira e a segunda vez que o sistema passa pelo valor de estado estacionrio0.6030

0.0592

0.1065

Valor de zeta obtido pela primeira equao apresentada0.0792

Valor de zeta obtido pela segunda equao apresentada0.0863

Media dos valores encontrados para zeta0.0827

Constante de tempo do atraso puro de tempo0.9474

Constante de tempo do sistema0.0855

Ganho final da funo de transferncia em malha aberta0.0962

Constante de tempo final do sistema em malha aberta0.1913

Tabela 1 Valores numricos para os parmetros obtidos

Dessa forma a funo de transferncia obtida em malha aberta :

O grfico para a comparao do sistema obtido e o original mostrado na figura 2.

Figura 2 Comparao entre a resposta ao degrau do sistema em malha aberta original e o obtido para o ponto de operao y = -4,758 cmComo mencionado anteriormente, j era esperado que o mtodo de identificao em malha fechada no produzisse uma boa aproximao do sistema uma vez que o mtodo supe que o sistema possua um atraso puro de tempo.O zero da aproximao de pad gerou um zero de fase no mnima que gerou, inicialmente, um ganho negativo que no ocorre no sistema original. Este foi um dos motivos pelo qual o sistema modelado apresentou discrepncia do modelo original.Pode-se adotar algumas estratgias para tentar melhorar a aproximao de um mtodo de identificao. Neste trabalho, so mostradas as tentativas de reduzir a amplitude do degrau de entrada, diminuir o valor do ganho do controlador (kc) e a implementao de um mtodo alternativo baseado no mtodo de Yawana e Seborg (1982). Este mtodo sugerido no artigo de Adhemar B. Fontes, Manoel O. S. Sobrinho e Joselito S. Lima (2010).Na primeira tentativa de melhorar a resposta do sistema, o valor do degrau de entrada foi reduzido de 3 A para 1 A e foi realizado o procedimento descrito na seo 6 do trabalho anterior e na seo 2.4.2 em (Aguirre, 2007). A funo de transferncia em malha original e o grfico de comparao obtido mostrado na figura 3. A partir deste grfico possvel afirmar que no houve melhora significativa na aproximao do sistema para uma entrada em degrau de menor amplitude.

Figura 3 Comparao entre a resposta ao degrau do sistema em malha aberta original e o obtido para o ponto de operao y = -4,758 cm para um degrau reduzido para 1 AAgora ser implementada a reduo do ganho do controlador (Kc) para o primeiro degrau aplicado (3 A) e o grfico obtido se encontra na figura 4. Comparando-o com o grfico da figura 2, observa-se que o modelo obtido tem uma melhora substancial uma vez que ele agora estabiliza no mesmo valor que o sistema original, porm a aproximao para a amplitude e a frequncia ainda no satisfatria.

Figura 4 Comparao entre a resposta ao degrau do sistema em malha aberta original e o obtido para o ponto de operao y = -4,758 cm reduzindo o valor de kc

2. IDENTIFICACAO DO SISTEMA USANDO O METODO DESCRITO EM (BORGES,MANUEL E LIMA, 2010)

O mtodo descrito neste artigo , assim como o mtodo de Yawana e Seborg (1982), aproxima a funo de transferncia do sistema a uma funo de primeira ordem com um atraso puro de tempo. Porm, neste artigo os autores consideram a influncia do Zero de Pad nos parmetros temporais do comportamento transitrio. Por no ser o foco deste trabalho, as equaes que geram os valores apresentados no constam neste documento, mas podem ser encontradas em (Borges, Manuel e Lima,2010) e, todos os valores gerados por estas equaes, inclusive os que so usados somente para o clculo interno dos valores, so mostrados na tabela.SmboloDescrioValores

Valor do primeiro pico (no eixo y)0.1893

yp2Valor do segundo pico(no eixo y)0.1565

ymValor do primeiro vale (no eixo y)0.04219

yinfValor de regime permanente0.1058

Diferena de tempo entre a primeira e a segunda vez que o sistema passa pelo valor de estado estacionrio0.6030

Tempo em que a reposta do sistema ultrapassa o valor de estado estacionrio pela primeira vez.0.3120

Tempo correspondente ao primeiro pico da resposta0.1065

Tempo correspondente ao segundo pico da resposta0.0792

Valor do degrau de entrada1

Valor de y no instante y(0)0

Varivel intermediaria na determinao do mtodo 0.7892

Frequncia amortecida do sistema modelado5.4165

Frequncia natural do sistema modelado5.4552

Constante de tempo final do sistema em malha aberta0.1058

*Constante de tempo do sistema modelado0.0244 + 0.1804i 0.0244 - 0.1804i

3.0802

0.0592

Tabela 2 Valores numricos para os parmetros obtidos

*Como a constante de tempo do sistema no pode ser um nmero imaginrio, utilizou-se o valor real deste nmero.A funo de transferncia obtida para o sistema :

E aplicando a aproximao de pad: A resposta ao degrau do sistema mostrada na figura 5. Figura 5 Comparao entre a resposta ao degrau do sistema em malha aberta original e o obtido com o mtodo de (Borges,Manuel e Lima).Percebe-se que utilizando este mtodo ocorre uma piora substancial na modelo obtido uma vez que o sistema foi aproximado por um sistema sobre-amortecido. Existem diversos motivos que podem explicar o porque de isso ter ocorrido, entre eles, inclusive, algum erro na aplicao do mtodo. Mas acredito que no seja o caso, uma vez que foi comprovado que aproximar este sistema SLM por um sistema de primeira ordem com um atraso puro de tempo no produz modelos aceitveis e, algumas vezes, sequer funcionam.Como o sistema no aproximvel pela funo que o mtodo exige, os valores dos parmetros determinados a partir deste so, muitas vezes, incoerentes e produzem erros numricos durante a execuo do mtodo. Um exemplo desse fato o valor de , mostrado na tabela 2, ser imaginrio. Sendo uma constante de tempo, o valor deste parmetro no pode ser um valor imaginrio e, durante a descrio do mtodo, o autor deixa claro que a equao que gerou este resultado deveria produzir dois valores reais, um positivo e um negativo, e que o positivo deveria ser escolhido como o valor de .

3. CONCLUSONesta parte do trabalho foi verificado, mais uma vez, que o sistema de levitao magntica no adequadamente aproximvel por um sistema de primeira ordem com atraso puro de tempo. Portanto, os mtodos de Sundaresan e o descrito em (Borges,Manuel e Lima) no produziram um bom resultado.No seria correto afirmar que o sistema no aproximvel por estes mtodos para todos os pontos de operao ou valores de entrada, porm, a partir dos testes realizados de variao da entrada e do ganho do controlador no obteve-se um bom modelo. Nos mtodos descritos neste documento, o zero da aproximao de pade gerou um zero de fase no mnima que gerou, inicialmente, um ganho negativo que no ocorre no sistema original. Este foi um dos motivos pelo qual o sistema modelado apresentou discrepncia do modelo original.