Trabalho de Mecânica dos Materiais IIem9547/Trabalhos/MM2 trabalho1-Analise... · 2014. 1. 29. ·...

Instituto Politecnico de Bragança

Escola Superior de Tecnologia e de Gestão Engenharia Mecânica

Trabalho elaborado por: • Cláudio Veloso e Silva nº 10078

• Paulino Pereira Lourenço nº 9547

2º Ano, Engenharia Mecânica

Data: 06/06/2003

Trabalho de Mecânica dos Materiais II

Instituto Politécnico de Bragança Engenharia Mecânica Escola Superior de Tecnologia e gestão Mecânica dos Materiais

Índice: Objectivos………………………………………………………………………….Pág2 Introdução………………………………………………………………………….Pág.3 Análise numérica da estrutura através do programa (Ansys)………………………Pág.4 Estudo analítico da estrutura……………………………………………………….Pág.7 i)- Cálculo das reacções…………………………………………………………………….Pág.7

ii) Diagrama de esforços internos…………………………………………………………..Pág.8

iii) Determinação da intensidade do máximo momento flector da viga, e a máxima tensão normal………………………………………………………………………………Pág.9

iv) Determinação da localização e da intensidade do máximo esforço transverso na viga e máxima tensão de corte………………………………………………………….Pág.9 v) Calculo da flecha e a rotação para o ponto solicitado, (B) através da Equação da Linha Elástica……………………………………………………...Pág.10

vi) Ponto da viga correspondente ao deslocamento e rotação máximo…………………….Pág.12 vii) Calculo da flecha e rotação para o ponto solicitado, utilizando o Método da sobreposição………………………………………………………Pág.13

Comparação de resultados…………………………………………………………Pág.18 Análise critica……………………………………………………………………...Pág.18 Bibliografia………………………………………………………………………...Pág.19 Anexos……………………………………………………………………………..Pág.20

Análise de uma de uma viga sujeita a um carregamento estático 2


Objectivos:

Para a realização deste trabalho, vamos ter como base os seguintes objectivos: ٠ Análise numérica da estrutura pelo método dos elementos finitos , (programa Ansys), e apresentação dos respectivos resultados. ٠ Estudo analítico da estrutura, com as respectivas formulações , no que respeita a:

i) – Cálculo das reacções; ii) – desenhar o diagrama de esforços internos, identificando as respectivas secções e as

respectivos cálculos;

iii) – determinar a localização e a intensidade do máximo momento flector na viga e calcular a máxima tensão normal;

iv) – determinar a localização e a intensidade do máximo esforço transverso na viga e

calcular a máxima tensão de corte;

v) – calcular a flecha e a rotação para o ponto solicitado , através da Equação da Linha Elástica;

vi) – identificar o ponto da viga, correspondente ao deslocamento e rotação máximos;

vii) – calcular a flecha e a rotação para o ponto solicitado, através do Método da

Sobreposição.

٠ Comparação dos resultados obtidos em ambos os métodos.



Introdução:

A acção de forças aplicadas em vigas, provocam a flexão das mesmas em relação à sua posição inicial. Esta flexão deve, na fase de projecto ser limitada a valores admissíveis, quer por razões de funcionamento quer estéticas. Neste trabalho pretende-se efectuar o estudo de uma viga sujeita a carregamentos estáticos, através de dois métodos, (estudo analítico e estudo numérico, programa Ansys) para uma posterior comparação. Para a realização deste trabalho serão seguidas todas as normas e procedimentos necessários para a obtenção de resultados mais fiáveis. Pedimos desde já as nossas sinceras desculpas por qualquer erro cometido.



Análise numérica da estrutura através do programa (Ansys):

Diagrama de esforços transversos (fig.1)

Diagrama de momentos flectores (fig.2)



Tensões normais máximas (fig.3)

Tensões normais mínimas (fig.4)



(fig.6)

(fig.7)



Através das figuras que foram obtidas através do programa Ansys, podemos verificar o comportamento de uma viga quando sujeita a um carregamento estático de forças e de momentos. Com os resultados obtidos através do programa, vamos proceder a uma comparação de valores.

Estudo analítico da estrutura: Para a seguinte estrutura:

E=210GPa ν=0,3 IPE 160

i)- Cálculo das reacções;



⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

∑∑∑

0

0

0

MA

Fy

Fx

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−+

=

06.3.4.20.

0

RCYLqMCMALqRCYRAY

RAX

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

++−=

=+=

35.6635.29

0

35.6635.66396

0

6.34.2*396327318

3960

ERCYERAY

RAX

ERCYEERAY

RAX

EEERCY

ERCYRAYRAX

ii) Diagrama de esforços internos;

#Secção 1 0≤X≤1.2 V=29.5 Mf=29.5E3*X-18E3

#Secção2 1.2≤X≤3.6 V=29.5*X-18-40*(X-1.2)

Mf=2

)2.1(*)2.1(40185.29 −−−−

XXX

Cálculos auxiliares:

mXX

XXX

9375.105.7740

02

)2.1(*)2.1(40185.29'

=⇔=+−

⇔=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−−

# Obtém-se um máximo para X=1.9375 metros, o que significa que o momento flector é máximo para este ponto. # Como a segunda derivada é negativa verifica-se que a concavidade é voltada para baixo.



iii) Determinação da intensidade do máximo momento flector da viga, e a máxima tensão normal; Mfmaximo: X=1.9375 28.2783KN

MPaE

EadmWMfadm

admMfW 1499.260

67.1083278.28

minmaxmaxmin ⇔

−=⇔=⇔= σσ

σ

iv)Determinação da localização e da intensidade do máximo esforço transverso na viga e máxima tensão de corte;



#A zona critica é a zona a Vmax=66.5KN AreaAlma=606.8E-6 2m 382*34.7 −−= EEAreaAlma

MPaEE

AreaAlmaV 59.109

6.8.60635.66maxmaxmax ⇔=⇔= ττ

v)Calculo da flecha e a rotação para o ponto solicitado, (B) através da Equação da Linha Elástica;

MfS1=29.5X-18 MfS2= 8.465.7720 2 −+− XX #Secção1 Equações para a rotação:

11825.29

)185.29(

185.29

2

2

2

CXXXYEI

dXXXYEI

XXYEI

+−=∂∂

⇔

−=∂∂

⇔

−=∂∂

∫

Equações para a Flecha:

212

1865.29

11825.29

23

2

CXCXXEIY

dXCXXEIY

++−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∫



#Secção2 Equações para a rotação:

( )

38.4625.77

320

)8.465.7720

8.465.7720

23

2

22

2

CXXXXYEI

dXXXXYEI

XXXYEI

+−+−=∂∂

⇔

−+−=∂∂

⇔

−+−=∂∂

∫

Equações para a Flecha:

4328.46

65.77

1220

38.4625.77

320

234

23

CXCXXXEIY

dXCXXXEIY

++−+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−= ∫

# Condições fronteira:

1. 00X =⇒= Y 2. 03.6X =⇒= Y

Para X=1.2 temos

3. 21/1/ SYSY =

4. 21 SXYS

XY

∂∂

=∂∂

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

++−+−=

++−=

38.4625.77

6201118

25.291

4328.46

65.77

1220121

218

65.291

4328.46

65.77

1220

212

1865.29

232

23423

234

23

CXXXEI

CXXEI

CXCXXXEI

CXCXXEI

CXCXXXEIY

CXCXXEIY

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−=−−+

=++=

052.11310432.112.1368.10

0436.344.1902

CCCCC

CCC

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

52.11368.1044.19

0

4321

*

010112.102.1

16.3000010

CCCC



⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−=

=−=

456.5444.43

0296.151

CCCC

Substituindo em

212

1865.29 23

CXCXXEIY ++−=

11825.29 2

CXXXYEI +−=∂∂

Para x=1.2 temos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

−−=∂∂

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=−

+−=∂∂

−

⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=

+−=∂∂

146331293318729.0

28628921139101.0

22.1*12

2.1*186

2.1*5.29*83.869*9210

12.1*182

2.1*5.29*83.869*9210

212

1865.29

11825.29

23

2

23

2

EY

EXY

CCYEE

CXYEE

CXCXXEIY

CXXXYEI

vi)Ponto da viga correspondente ao deslocamento e rotação máximo:

mXX

XXEXE

9375.105.7740

02

)2.1(*)2.1(4031835.29'

=⇔=+−

⇔=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−−

# Temos um máximo para X=1.9375 metros, o que significa que o momento flector é máximo neste ponto, e a rotação também é máxima



vii)Calculo da flecha e rotação para o ponto solicitado, utilizando o Método da sobreposição; Caso1 Calculo das reacções:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−−⇔

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−=−−

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+

=

KNRCYKNRAY

RCY

RAYRCY

RCYRAYRAX

6432

6.34.2*96

64960*6.34.2*96

0960

#Secção1 # Equação das rotações:

12

32

32

32

2

2

2

CXdxdyEI

dXXdxdyEI

Xdx

ydEI

+=

⇔=

=

∫

Equação da flecha:

216

32

12

32

3

2

CXCXEIy

dXCXEIy

++=

+= ∫

#Secção2 #Equação das rotações:

38.282

803

202

)2.1(*)2.1(*4032

2)2.1(*)2.1(*4032

23

2

2

CXXXdxdyEI

dXXXXdxdyEI

XXXdx

ydEI

+−+−

=

⇔−

−+=

−−+=

∫



#Equação da flecha:

4328.28

680

1220

38.282

803

20

234

23

CXCXXXEIy

dXCXXXEIy

++−+−

=

⇔+−+−

= ∫

# Condições fronteira:

1. 00X =⇒= Y 2. 03.6X =⇒= Y

Para X=1.2

3. 21/1/ SYSY =

4. 21 SXYS

XY

∂∂

=∂∂

# Calcular as constantes de integração: 1 Para X=1.2

02216

32 3

=⇒⎩⎨⎧

++−

= CCXCXEIy Eq. 1

2 Para X=3.6

52.15543

4328.28

680

1220 234

−=+⇔

⇔++−+−

=

CXC

CXCXXXEIy Eq. 2

3 Para X=1.2 21 SYSY =

368.1043143152.11216.9

4328.28

680

1220121

6321 2343

−=−−⇔++−=+⇔

⇔⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

CXCXCCXCXC

CXCXXXEIy

CXCXEIy

Eq. 3



4 Para X=1.2

⇔∂∂

=∂∂ 21 S

XyS

Xy

52.1131352.1114.23

38.282

803

2012

32 232

−=−⇔+=+⇔

⇔+−+−=+⇔

CCCC

CXXXCX Eq. 4

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−==−=

⇔

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

456.3424.423

0276.531

52.11368.1052.155

0

4321

010112.102.1

16.3000010

CC

CC

CCCC

Substituindo em: 83.869*6210 −= EEEI Para X=1.2

030290381.0

216

32 3

−=

⇔++=

Y

CXCXEIY

01682799.0

12

32 2

−=∂∂

⇔+=∂∂

XY

CXXYEI



Caso2

Para X=2.4

00788812.0

)4.2*6.34.2(6.3*53.1825*6

18

)(6

23

23

=⇔

⇔−−=⇔

⇔−−=

Y

Y

XLXEILMY

( )

001972.0)6.34.2*3(6.3*53.1825*6

18

)3(6

6

22

22

'23

−=∂∂

⇔−−=∂∂

⇔

⇔−−=∂∂

⇔

⇔−−=∂∂

XY

XY

LXEILM

XY

XLXEILM

XY



Caso 3

Para X=1.2

0094657.0

)2.1*6.32.1(6.3*53.1825*6

27

)(6

23

23

=⇔

⇔−−=⇔

⇔−−=

Y

Y

XLXEILMY

( )

00591609.0)6.32.1*3(6.3*53.1825*6

27

)3(6

6

22

22

'23

=∂∂

⇔−−=∂∂

⇔

⇔−−=∂∂

⇔

⇔−−=∂∂

XY

XY

LXEILM

XY

XLXEILM

XY

01293656.0321

−=⇔⇔++=

YTotalYcasoYcasoYcasoYTotal

0128839.0

321

−=∂∂

⇔

⇔∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

TotalXY

casoXYcaso

XYcaso

XYTotal

XY



Comparação de resultados:

Estudo analítico Estudo numérico Momento flector máximo 28.2783KN 28.272KN

Esforço transverso máximo 66.5KN 66.5KN Rotação máxima em B -0.8921139E-2 -0.89399E-02 Flecha máxima em B -0.1293318E-1 -0.12937E-01

Rotação máxima em x=1.9375 -0.1429621E-1 0.13298E-01 Flecha máxima em x=1.9375 -0.1384356E-1 -0.16143E-01

RAy 29.5KN 29.5KN RCy 66.5KN 66.5KN

Análise critica:

Através da anterior tabela, verifica-se que os resultados obtidos em ambos os métodos são muito próximos, o que significa que qualquer discrepância entre os valores se deve apenas a arredondamentos de cálculo, não sendo este, um valor significativo.

Após a realização deste trabalho, verifica-se que ambos os métodos utilizados se mostram bastante fiáveis para este tipo de estudo, no entanto o método numérico, (Programa Ansys) mostra-se mais eficiente, rápido, com uma margem de erro mais reduzida.

Por fim, damos por concluído o trabalho, pedindo mais uma vez desculpa por qualquer erro ou lapso não detectados.



Bibliografia:

Método de elementos finitos, introdução ao Ansys , Engº. Luís Manuel Ribeiro de Mesquita, ESTIG, IPB, 02 de Maio de 2002, Bragança. Apontamentos de Mecânica dos Materiais II, Engº. Luís Manuel Ribeiro de Mesquita, ESTIG, IPB, 04de Fevereiro de 2003, Bragança. Catalogo comercial da Profil Arbed, Março de 2001.Luxemburgo.



Anexos:


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