TRABALHO DE MATEMÁTICA

Movimentos Periódicos

Trabalho Realizado por: Hugo Miguel, nº 14

João Martinho, nº 17 Ricardo Almeida, nº 22

INTRODUÇÃO: Para haver dia e noite e estações do ano é necessário movimento, neste caso, movimento do planeta Terra em torno do sol e sobre si mesmo. Porém, antes da Idade Média estes fenómenos eram explicados a partir de um modelo, o modelo geocêntrico que considerava que a Terra se encontrava parada e que o Sol e os outros planetas movimentam-se em torno desta, ou seja, a Terra encontrava-se no centro do Universo. Depois da Idade Média foi criado um novo modelo que explicou melhor esses fenómenos, o modelo heliocêntrico que considerava que o Sol se encontrava no centro do Universo e que os planetas, incluindo a Terra, giravam em torno dele.

O Poder do Sol

Que a Terra gira à volta do sol, e não o contrário, é uma verdade que não foi aceite até ao século XVII. Só então se percebeu porque temos estações do ano. As estações do ano resultam da inclinação do eixo da Terra em relação à eclíptica (curva descrita pelo Sol no seu movimento aparente ao longo do ano). As diversas regiões da terra variam de inclinação em relação ao plano do Sol ao longo do ano e os raios do Sol incidem nas diversas partes com ângulos diferentes, dividindo-a em zonas climáticas diferentes. É no verão que os dias são mais longos e no Inverno são mais curtos. O poder dos raios solares é grande e influencia as condições de vida na Terra. A altura que o Sol atinge ao longo do ano e a inclinação dos seus raios determina alterações sentidas por todos: 1- O Sol está mais alto acima do horizonte e os seus raios incidem em cheio no solo

e o calor é máximo. 2- O Sol está mais baixo e a obliquidade dos seus raios faz com que o calor se

espalha por uma área maior. É por causa destas diferenças que temos tempo quente e frio, lugares quentes e frios.

A Terra no Espaço

A terra anda em órbita à volta do Sol, uma órbita semelhante a uma roda um pouco achatada, de facto, numa orbita elíptica. A distância média da Terra ao Sol é de 150 milhões de quilómetros. Durante o verão a Terra afasta-se cerca de 4 milhões de quilómetros; durante o Inverno, aproxima-se de uma distância igual. Mas esses 4 milhões de quilómetros não são grande diferença em 150 milhões. Durante a sua longa viagem à volta do Sol, a Terra encontra-se em dois momentos distintos do ano, no ponto mais afastado, chamado afélio, e no ponto mais próximo, chamado de periélio.

Na figura podemos observar o Hemisfério Sul (chamado Meridional ou Austral) tem uma superfície maior iluminado pelo Sol e o Hemisfério Norte (também chamado Hemisfério Sentrional ou Boreal) tem uma superfície mais pequena iluminada pelo Sol. Estamos em pleno período estival no Hemisfério Sul e de invernia no Hemisfério Norte.

É devido ao movimento de translação da Terra em torno do Dol e da inclinação do eixo da Terra em relação ao plano da eclíptica que existem as estações do ano, o calor e o frio e as noites curtas e longas. A Terra além de descrever uma órbita em torno do Sol, também descreve uma órbita em torno de si mesmo, gira sobre o seu próprio eixo que faz um ângulo de 23,5 graus com o plano da sua órbita. A inclinação do eixo terrestre é sempre a mesma, invariável. Na figura seguinte registamos a situação de verão no Hemisfério Norte e inverno no hemisfério Sul.

Como a Terra vai variando gradualmente a sua posição em relação ao Sol, há um instante no ano em que acontece o solstício de verão, momento em que o Sol atinge o ponto mais alto na eclíptica e outro instante no ano em que ocorre o solstício de inverno, momento em que o Sol atinge a posição mais baixa na eclíptica. No Hemisfério Norte o solstício de verão tem lugar por volta de 22 de Junho, altura em que o sol incide no vertical sobre o Trópico de Câncer (23º27’N), proporcionando o dia mais longo no hemisfério norte e o mais curto no hemisfério sul. O solstício de Inverno tem lugar por volta de 22 de Dezembro, altura em que o sol incide na vertical sobre o Trópico ao Capricórnio (23º27’S) o que leva a que o dia seja mais curto no hemisfério norte e mais longo no hemisfério sul. A meio caminho entre os solstício há os equinócios, por volta de 21 de Março e de 22 de Setembro, altura em que o Sol cruza o plano do equador. Nos equinócios, o dia e a noite têm igual duração (12 horas) em todo o mundo.

Medição do Tempo

O tempo é conhecido como algo de linear, que decorre do passado ao presente e deste ao futuro. Os anos sucedem-se segundo uma ordem cronológica. A passagem das horas, uma após a outra, pode ser comparada a uma longa linha, mas cada uma com intervalos igualmente espaçados. Os números podem ser escolhidos para representarem séculos, anos, meses, semanas, dias, segundos, ou qualquer outra divisão regular do tempo. Através dos séculos, o Homem tentou medir a passagem de tempo, dividindo-o em unidades cada vez mais pequenas. Nas civilizações primitivas, dependentes da agricultura, a passagem das estações tinha uma importância primondial. O ritmo diário do tempo era sobretudo importante para os agricultores e caçadores. Mais tarde tornou-se necessário dividir o tempo de uma forma mais rigorosa e exacta, para se contarem as horas de trabalho dos empregados nas fábricas, e determinar, em virtude disso, os seus salários. Actualmente os cientistas medem o tempo em pequeníssimas fracções de segundo, e a exactidão “ao minuto” é um lugar comum para toda a gente. Mas então, como é que se pode medir o tempo? Desde a Antiguidade que o Homem criou vários instrumentos para medir o tempo. Um dos métodos é a partir do relógio de sol, por exemplo, uma vara direito enterrada no chão origina uma sombra no chão que se move à medida que o sol muda de posição. A sombra tem o seu menor comprimento ao meio-dia solar, quando o sol atinge a altura máxima, e o seu maior comprimento ao anoitecer e ao amanhecer.

Outro método é a medição a partir da ampulheta. O tempo é medido pela duração da queda da areia que cai a uma velocidade constante através de um orifício na ampulheta.

A velocidade de queda da areia depende do diâmetro do orifício através do qual ele passa.

Outros métodos são os relógios de água. Eeste mede o tempo através do fluxo de água que atravessa um pequena orifício na base de um recipiente. Quando se inverte o relógio a água, esta passa da ampola superior para a inferior, e o ar sobe pelos tubos substituindo a água. Uma pressão do ar constante origina um fluxo de água regular. Nalgumas clepsidras a água flui mais lentamente assim que o nível baixa o que produz uma variação no fluxo.

Os relógios de fogo registam a passagem do tempo que demora a arder uma substância que arda lentamente e a um ritmo constante. Uma vela, marcada com traços que correspondem a determinados tempos de combustão, pode ser utilizada como um relógio.

O relógio de fogo chinês que se observa na figura seguinte e que foi fabricado em 1800 é mais eficiente pois é constituído por uma barra de incenso que arde a uma velocidade constante e muito lentamente, movendo-se a chama através de fios que se encontram ligadas a pesos e igualmente espaçados ao longo da barra de incensos. À medida que os fios vão ardendo, os pesos caem num tabuleiro de metal.

Foi no século XVII que os cientistas descobriram um método mais preciso de medir o tempo, neste caso, a oscilação regular de um pêndulo. Os pêndulos estão sujeitos à acção de duas forças: a força da gravidade, que os puxa para baixo na vertical e a tensão do fio, ascendente, que varia com o ângulo que ele faz com a vertical. Elas podem combinar-se originando uma única força (força resultante). No ponto mais baixo da oscilação, as duas forças anulam-se. Aqui o pêndulo atinge a velocidade máxima mas são nulas as forças nele aplicadas. No final de uma oscilação a força atinge o seu valor máximo pêndulo para momentaneamente, invertendo, em seguida, o sentido.

O primeiro relógio de pêndulo rigoroso foi projectado por Christiaen Huggens

em 1657.

Instrumentos de medição: Relógio de sol

Um relógio de sol serve para nos ajudar a entender a mecânica celeste e para

mostrar a hora solar. A construção de relógios de sol permite perceber o movimento aparente do

Sol, as estações do ano, a excentricidade da órbita da Terra, a velocidade da Terra no seu movimento anual e os pontos notáveis da sua órbita.

Desde o primitivo gnomon, vários modelos de relógios de sol foram

projectados e construídos. A escolha do modelo mais adequado deve levar em conta a latitude onde será

instalado, entre os trópicos, na faixa compreendida pelos trópicos e os círculos polares ou acima dos círculos polares.

Quase todas as grandes cidades do mundo possuem relógios de sol, alguns constituídos há centenas de anos, por astrónomos ou matemáticos ou físicos famosos.

Todos os relógios de sol usam o facto de que o Sol parece fazer uma volta completa em torno da terra (360º) de 24 em 24 horas, o que significa um movimento de 150 por hora.

Imaginemos então que a Terra é oca, com uma vareta passando pelo seu centro representado o seu eixo. Imaginemos também que ela está parada e que o Sol se move de Este para Oeste. Enquanto o Sol se move, aparentemente, no céu, a sombra do eixo projecta-se no mostrador e mover-se-á 15 graus por cada hora que passa. Assim as marcas feitas em cada 15 graus serão as marcas das horas com a marca do meio dia no centro. Podemos então ver que os relógios de sol são mais ou menos versões em miniatura da terra e do eixo, o que levanta uma questão importante: o gnomon do relógio deve ser sempre paralelo ao eixo da Terra. Para isso o gnomon deve estar

na direcção Norte-Sul e fazer um ângulo com o plano horizontal igual à latitude do local onde se encontra o observador. Então, qual é a diferença entre um relógio de sol e um relógio normal? As diferenças são três:

-A hora de inverno e verão não é a mesma uma vez que em cada estação atrasamos ou adiantamos os nossos relógios;

- A longitude, ou seja, a hora dada pelo relógio de sol tem de ser corrigida de acordo com a longitude do lugar onde se está a ver as horas, por isso, por cada grau de longitude Oeste adicionam-se 4 minutos e por cada grau de longitude Este subtraem-se 4 minutos;

- E a equação do tempo, ou seja, como a órbita da Terra em torno do Sol é uma elipse e não uma circunferência, e como o eixo da Terra não é perpendicular ao plano da órbita, o dia solar tem variações que atingem 31 minutos. Para corrigir a hora dada pelo relógio de sol e obter a hora média de Greenwich, aplica-se uma correcção apropriada chamada equação do tempo, ou seja, um gráfico ou tabela que mostra quanto o relógio de sol esta adiantado ou atrasado.

Instrumentos de medição: Nocturlábio

O nocturlábio foi um instrumento usado nos primórdios da navegação que

servia para saber a hora através do movimento das estrelas. Pode assim dizer-se que era um relógio sideral. O princípio de funcionamento de um nocturlábio assenta na observação e leitura do movimento que as estrelas realizam em torno da Estrela Polar.

As estrelas giram no sentido contrário ao dos ponteiros dos relógios em torno da polar (isto no hemisfério norte), é o movimento de uma das guardas da Ursa Menor, a estrela Kochab, que é observado e usado na leitura do tempo ao longo do ano.

Posição aproximada da Kochab ao longo do ano

No fim do século XIII, o maiorquino Raimundo Lúbio, descreveu a chamada Roda Polar a que chamou de astrolabri nocturni, ficando no entanto conhecida por nocturlábio. A roda era apontada à Polar, alinhando-se a data de observação a leste do orifício por onde se fazia pontaria a referida estrela. A zona onde a Kochab tangia o instrumento indicava a hora.

Roda Polar de Raimundo Lúlio (c. 1272)

Outros tipos de rodas foram surgindo, como as Rodas de D. Duarte. Esta roda permitia ainda saber a hora aproximada do nascer do sol.

Rodas de D.Duarte (c. 1428)

Com a Roda de D. Duarte fazia-se na mesma pontaria à Polar através do

orifício central, mas alinhava-se sempre o mês de Janeiro a leste do orifício. O alinhamento da data de observação indica a posição da Kochab à meia-noite dessa data. O número de intervalos na segunda coroa entre a data de observação e a Kochab indica o número de horas que faltam ou passam da meia-noite.

Roda do Homem do Polo (c. 1490)

A Roda do Homem do Pólo tinha um método semelhante à anterior, e a sua

leitura era feita consoante o regimento de Évora.

No século XVI a evolução destes instrumentos apresenta-nos o Nocturlábio de ponteiro, mais preciso e fácil de usar.

Nocturlábio de Ponteiro séc.XVI

Faz-se coincidir a data da observação com a alidade da roda menor e aponta-

se, como de costume, à Polar segurando o instrumento pela pega. Roda-se o ponteiro maior até este tangenciar a Kochab.

Os exemplos descritos são todos relacionados com a estrela Polar, mas o Nocturlábio também foi adaptado pelos navegadores que navegam no hemisfério sul. Nestes mares socorriam-se do Cruzeiro do Sul já que a Polar em latitudes abaixo do Equador não é visível.

Como o mecanismo de um relógio

Devido ao movimento de rotação da Terra em torno do seu eixo, perfazendo

uma volta em cada 24 horas, o Sol parece mover-se no céu de Leste para Oeste. Por conseguinte, a hora do dia depende do local em que nos encontramos na Terra.

O meio-dia corresponde ao instante em que o sol se encontra mais alto no céu; mas quando é meio-dia em Tóquio, o sol já se pôs em São Francisco e ainda é manha no Bangladesh. Como o circulo tem uma amplitude de 360º e um dia tem 24 horas, se nos movemos de leste para oeste à volta de Terra cerca de 15º (longitude) haverá uma alteração no tempo, de acordo com o sol, de uma hora (360:24=15). Em Nova Iorque são menos 5 horas que em Lisboa. Os primeiros navegadores compreenderam que se levassem nas suas viagens um registo da hora local no ponto de partida, isso permitir-lhe-ia calcular a longitude em que se encontravam, medindo a diferença entre o meio-dia local e o meio-dia do local de onde tinham partido. Hoje em dia podemos determinar a hora em qualquer ponte do mundo através de sinais de rádio, mas até aos finais do século XVIII, enquanto a latitude se calcular medindo a distância ao sol ou à Estrela Polar, a determinação constituía o maior problema para os marinheiros que viajavam em alto mas, durante longas viagens.

Como exemplo, os relógios de pêndulo, como o inventado por Christiaen Huggens, não mantêm uma hora exacta no mar, devido aos balanços e inclinação dos barcos. Quando o barco se inclina para um dos lados, o pêndulo oscila “inclinando-se” nessa direcção. Isto origina uma maior oscilação e portanto mais lenta, do que a obtida no caso de o relógio se encontrar direito e em repouso. Na melhor das hipóteses um relógio de pêndulo simples a bordo de um navio manterá um tempo incerto.

Na pior das hipóteses, o longo pêndulo baterá provavelmente de encontro a um dos lados do relógio, o qual poderá deixar de funcionar até que um outro balanço do navio o ponha em movimento novamente.

Mas foi em 1753 que Harrison conseguiu superar o problema de determinação

da longitude ao inventar um relógio de bolso para seu uso pessoal. Incluiu todo o engenho e perícia utilizadas nos seus relógios maiores, e ficou surpreendido ao descobrir que o relógio era tão exacto como o H3. Isto acontecia porque os movimentos oscilatórios mais pequenos são mais rápidos e mantêm as horas como maior exactidão quando são transportadas. Esta foi a sua mais importante descoberta. O relógio H4 foi testado numa viagem às Índias Ocidentais que decorreu entre Novembro de 1761 e Janeiro de 1762.

Apenas se atrasou 5.2 segundos durante a viagem, o que equivale a um erro inferior a uma milha.

Instrumentos de Medição;

Quadrante

As posições de todos os objectos no espaço são medidas de acordo com coordenadas celestes especificas. A melhor maneira de compreender a cartografia ou mapeamento do céu é relembrar o modo com os antigos filósofos imaginavam a forma do universo. Não tendo nenhuma evidência directa de que a Terra se movia, concluíram que esta estava imóvel e que eram as estrelas e os planetas que giravam à sua volta. Os filósofos observaram o movimento das estrelas girando à volta de um ponto no céu, consideravam que este devia ser uma das extremidades o eixo de uma grande esfera celeste. Chamaram-lhe esfera cristalina ou esfera das fixas,

pois nenhuma das estrelas parecia alterar as suas posições relativas. As coordenadas celestes hoje utilizadas derivam deste ultrapassado conceito da esfera celeste. A esfera de estrelas (celeste) e a esfera da Terra (terrestre) compartilham as mesmas coordenadas, como por exemplo, os Pólos Norte e Sul e o Equador.

Uns dos mais primitivos instrumentos astronómicos é o quadrante. Consta simplesmente de um quarto de um circulo cuja orla circular foi

dividida em noventa graus. Outros instrumentos similares incluem o sextante, que representa um sexto do círculo. Apontando para o objecto através dos orifícios dispostos numa das secções rectas do quadrantes, o observador pode medir a altura, ou altitude, desse objecto. A altitude é a altura em graus (º) de uma estrela acima do horizonte (não se trata de uma medida linear). Um fio-de-prumo cai no ápex do instrumento de modo que intersecta o arco graduado.

O ápex do quadrante marca um ângulo de 90º. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, então a soma dos outros dois ângulos será também de 90º.

Como o ângulo definido pelo fio de prumo e o plano horizontal determinado pelo horizonte é de 90º, é suficiente ter alguns conhecimentos de matemática elementar para deduzir o valor da altura do objecto.

Conclusão:

Nas sociedades civilizadas, mais ou menos recentes, as pessoas são controladas pelo tempo, mas o tempo também é controlado por elas. Em muitas empresas, ou ate em algumas escolas, as pessoas “picam o ponto” na hora de entrada e na de saída, introduzindo cartões especiais em registadores automáticos, que fazem o controlo diário dos trabalhadores ou dos estudantes.

Apesar do processo ser automatizado, é na realidade apenas um desenvolvimento de um registo manuscrito. Já no antigo Egipto, durante a construção das pirâmides, os trabalhadores tinham de “marcar o ponto” perante um capataz, que anotava os dias em que eles trabalhavam. A principal diferença em relação aos nossos dias reside no facto de os registos actuais indicarem a hora e o minuto, e não apenas o dia do trabalho.

Tornamo-nos assim escravos ao tempo.

Bibliografia

Teoria heliocêntrica e geocêntrica http://astro.if.ufrgs.br/movplan2/movplan2.htm http://astro.if.ufrgs.br/p1/node1.htm Construir o noctrulábio

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