CENTRO UNIVERSITÁRIO NEWTON PAIVA

CAMPUS ENGENHARIA E ARQUITETURA-BURITIS

ARQUITETURA E URBANISMO

EXPRESSÃO GRÁFICA: geometria descritiva

Belo Horizonte, 10 de maio de 2012

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INTRODUÇÃO

Não é de se estranhar, que as guerras ou busca pela proteção ainda faça parte do

discurso de grandes e poderosas nações, pois essa busca ainda é um grande

impulsionador para o desenvolvimento de novas tecnologias que, desde muito antes

da bomba atômica, definia vitoriosos ou derrotados por mais simples que fosse o

meio para a vitória, como é o caso da geometria descritiva desenvolvida por Gaspar

Monge que fez triunfar por muito tempo o exercito de Napoleão Bonaparte. E hoje é

um método de representação aplicado em todas as áreas sendo base para o

desenho técnico.

Histórico da época

No final do século XVIII, o Exército Francês era o único que dispunha de métodos de

cálculo para determinar as melhores posições para escapar do fogo da artilharia

inimiga. Para fugir dos complicados cálculos usualmente empregados nesse e em

outros problemas da engenharia militar, o matemático Gaspard Monge (1746-1818)

desenvolveu uma técnica simples para representação espacial. Assim começou a

geometria descritiva, que hoje se aplica não só a desenhos ou projetos técnicos,

mas também nas artes e na fotografia.

Monge foi incentivado a ingressar na escola militar, onde desenvolveu sua técnica

para representar no papel as manobras militares, de tal forma que nada ficasse sob

a mira do inimigo.

Ao perceberem a genialidade e a importância bélica do novo método, os militares o

mantiveram em segredo por 15 anos. Só era permitido ensiná-lo aos futuros

engenheiros militares. Somente em 1794, em plena Revolução Francesa, Monge

pôde divulgar sua invenção em escolas civis de Paris.

A ideia da geometria descritiva é notável e elegante pela simplicidade, fazendo de

Monge um revolucionário projetista do exercito de Napoleão.

Como era comum aos cientistas da época, Monge pesquisou várias áreas do

conhecimento. Tomou parte na Revolução francesa, assumiu a liderança na

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produção de munição e ocupou um cargo público em uma época arriscada, quando

correu o risco de ser morto, mesmo participando do lado dos revolucionários. Diante

de importantes contribuições para o exercito francês Monge além da amizade

recebe de Napoleão Bonaparte, em 1804, um título de nobreza Conde de Péluse

pssando a conviver com toda pompa. Em 1816 após a derrota do exercito Francês e

queda de Napoleão a nova dinastia exige a expulsão de Monge, que falece em

1818.

Histórico sobre o autor

Matemático francês, Gaspard Monge nasceu a 10 de maio de 1746, na cidade de

Beaune,. Filho de humilde trabalhador, Gaspard foi enviado ao Collège dês

Oratoriens, em sua cidade natal. Destacou-se aí, desde cedo, revelando a

diversidade de suas aptidões – técnicas e intelectuais – e mostrando sua habilidade

como desenhista e inventor. Afirmando que era dotado de “invencível tenacidade” e

que possuía “dedos capazes de traduzir com fidelidade geométrica seu

pensamento”, Monge obtinha invariavelmente, o primeiro posto na escola. Seus

mestres o consideravam puer aureus.

Terminando seus estudos de filosofia, física e matemática, em 1762, transferiu-se

par Lyon, visando a um aperfeiçoamento em física. Lecionou a disciplina em Lyon,

retornando à sua cidade natal em 1764, sem, no entanto, tomar as ordens, como era

do desejo dos oratorianos de Beaune. Contando apenas 16 anos, Monge fez um

levantamento e um traçado de sua cidade, construindo, ele próprio, os instrumentos

necessários para a tarefa. Quando esse trabalho foi examinado pelo coronel

Vigneau, comandante da escola militar (École Royal du Génie) de Mézières, Monge

foi convidado a trabalhar naquele estabelecimento, esperando seus diretores que lê

os auxiliasse a traçar planos de defesa bem como a construir obras de arquitetura e

a efetuar o corte de pedras. Monge transferiu-se para Mézières e ali passou vinte

fecundos anos de sua vida. Durante seus trabalhos na escola militar, para resolver

um complicado problema de construção de fortificações, Monge inventou método

novo, muito mais simples do que os até então conhecidos – e que viria a ser alicerce

da geometria descritiva.

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Monge conquistou, de imediato, um cargo docente, encarregando-se de instruir os

futuros engenheiros militar, ensinando-lhes o novo método considerado, por 15

anos, ‘segredo militar’, que ninguém estava autorizado a divulgar. O método só foi

dado o público em 1794 (na Escola Normal Superior, de Paris). A simplicidade da

questão, nas mãos de Monge, provocou segundo se afirma, a reação de Langrange:

“Antes de ouvi-lo, não sabia que sabia geometria descritiva”.

Monge assume o cargo de professor de matemática – tendo revelado, pouco antes,

possuir sólidos conhecimentos de geometria e de análise. Nessa época inicia

correspondência com d’Alembert e Condorcet. Estes haviam sugerido a criação, no

Louvre, de um instituto onde se fariam pesquisas em hidráulica. Monge foi chamado

a Paris, para dirigir o instituto, mas precisou comprometer-se a continuar seu

programa de trabalho em Mézières.

Em 14 de janeiro de 1780, foi eleito adjunto de geometria, na Academia de Ciências,

Substituindo Aléxis Théophile Vandermonde (promovido a associado). Devia, em

conseqüência, fixar residência em Paris, aí permanecendo pelo menos cinco meses

de cada ano. Dedica-se com afinco à física e à química. Sua atividade lhe vale

indicação para o cargo de examinador da marinha. Em face das numerosas

atribuições que recebe, deixa, enfim, em 1783, a escola de Mézières. Eleito ministro

da Marinha, em 1792, permaneceu no cargo por um ano apenas. Trabalhou,

posteriormente, com que se entrega aos afazeres se traduz em homenagens

oficiais. Além de tomar parte ativa na relevante na fundação da École Polytechnique,

em 1794, tornando-se professor de geometria descritiva de ambos os

estabelecimentos.

Em 1796, nomeado membro da comissão encarregada de recolher monumentos de

arte e ciências, na Itália, entra em contato (7 de junho) com Napoleão Bonaparte,

conquistando as boas graças do chefe militar. Acabou, em função disso,

participando da expedição ao Egito, demonstrando bravura no campo de batalha.

Aos 10 de agosto de 1798, coube-lhe a presidência da comissão encarregada de

criar o Instituto do Egito. Retornou a Paris, depois de muitas peripécias, escapando

do cerco da flotilha inglesa e chegando à França em 1799. Aos 14 de dezembro

desse ano, por força de sua amizade por Napoleão, foi nomeado para o senado,

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dando o primeiro passo para uma vida política e passando a desfrutar, daí em

diante, de vida suntuosa. Serviu o império até o fim, retirando-se de Paris em 1814.

Mantendo-se escondido por algum tempo, retornou a Paris em 1816. Excluído do

instituto e privado de seus bens, sem contar com o apoio de amigos e colegas, viu,

ainda que sua mais cara obra, a École Polytechnique, era suprimida na

reorganização do ensino. Por ocasião de sua morte, não lhe foram tributadas

quaisquer homenagens oficiais, mas sábios que haviam sido seus amigos e os

alunos mais chegados assistiram às exéquias, pronunciando de comparecer às

cerimônias fúnebres; todavia, no primeiro dia de saída, foram visitar o tumulo de

Monge, fundador da escola, num ato de reconhecimento e gratidão, cotizando-se

para que o mestre tivesse erigido um monumento em sua memória. Dois de seus ex-

alunos, L. Guyon e Barnabé Brisson, escreveram-lhe a biografia.

Não é fácil obter, dos especialistas, uma caracterização da geometria. Encarando a

disciplina sob o prisma de um enfoque atual (correspondente ao pensamento

dominante por volta de meados do séc. XX), um mínimo de temas deve ser colocado

sob o rótulo geometria. Entre eles, os métodos euclidianos, as geometrias não-

euclidianas e o moderno enfoque por meio de postulados; a geometria diferencial,

de Euler, Monge e Gauss até Riemann e seus discípulos, com toda a influência que

exerce sobre a moderna física matemática e sobre a cosmologia contemporânea; os

estudos de Cayley, reduzindo a geometria métrica à projetiva; a geometria algébrica,

que se prolonga nas funções abelianas; o programa unificador de Felix Klein e a sua

superação, após 1916; e, por fim, os espaços abstrativos a topologia, que abrem,

segundo muitos, novos rumos para a matemática contemporânea.

O interesse pela geometria projetiva volta a estabelecer-se com as obras de Carnot

(1803). Poncelet, com seus trabalhos, investiga, de modo sistemático, fenômenos de

invariância projetiva, mas cabe a Monge introduzir diversos pontos relevantes

(como, em particular, o uso de pares de imaginários para a simbolização adequada

de relações espaciais reais).

Monge Investiga, inspirando-se nos trabalhos de Euler, as linhas de curvatura,

elaborando teoria geral da curvatura, que aplicou (em 1795) às quádricas.

Consegue, simultaneamente, resolver diversas equações diferenciais parciais por

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meio de sua teoria das superfícies. Cabe a Monge o mérito de traduzir muitas

questões relacionadas às equações diferenciais, colocando-as em linguagem

geométrica.

Monge escreveu cerca de sessenta trabalhos, abordando problemas diversos.

Destacam-se:

1776 (sobre a construção de funções arbitrarias que entram nas integrais das

equações de diferenças parciais);

1784 (sobre o calculo integral das equações de diferenças parciais);

1785 (sobre as superfícies desenvolvidas, os raios de curvatura e os vários gêneros

de inflexões de curvas de curvatura dupla);

1786 (tratado elementar de estatística);

1793-1822. 4 v;( Dicionário de física);

1794 (descrição da arte de fabricar canhões);

1795 (geometria descritiva);

1795 (folhas de analise aplicadas à geometria).

Geometria descritiva

Na geometria descritiva proposta por Monge objeto ou figura no espaço é

representada por duas projeções em um plano só, colocando em uma folha de papel

plana o que visualizamos no espaço de três dimensões. Com um pouco de prática,

pode-se facilmente ler essa representação - ou épura - e reconstituir o objeto real

que deu origem a ela. Assim, o Exército Francês colocava no papel as armas e suas

peças e componentes para serem especificadas geometricamente aos fornecedores.

A geometria descritiva de Monge é hoje estudada nos primeiros anos de todas as

áreas de engenharia. Vários projetos são baseados nela. É também estudada nas

escolas de artes porque tem aplicação no estudo das perspectivas das pinturas dos

quadros. Pode ser empregada também na análise da veracidade de fotografias, para

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saber se são montagens ou não. Quadros e fotografias são projeções, e geometria

descritiva é o estudo das projeções.

Geometria descritiva e o Desenho técnico

A geometria descritiva, pode não ser, do ponto de vista teórico, tão notável mas de

importância do ponto de vista tecnológico. Sem a geometria descritiva (em alguma

de suas formas), é certo que a engenharia não teria progredido tanto no séc. XX. O

esquema de Monge, usando representação de sólidos em superfícies planas, por

meio de duas projeções (plana e elevada), facilitava a visualização de relações

espaciais e se constituía em método uniforme para a resolução gráfica de problemas

como o da determinação dos pontos em que duas superfícies se cortam. Tentativa e

erro, no caso de corte de superfícies metálicas, poderiam conduzir a grandes

desperdícios, evitados pelos métodos ensinados por Monge. O desenho mecânico –

de que depende a construção de maquinas – não teria sido possível sem o uso dos

esquemas simples introduzidos por Monge.

A Geometria Descritiva clássica, como vimos, utiliza dois planos de projeção

perpendiculares entre si e adota projeções ortogonais. O método desenvolvido por

Monge, chamado método mongeano ou da dupla projeção ortogonal, consiste em

fazer com que, após as operações projetivas, um dos planos de projeção gire em

torno da reta comum a ambos, até que as figuras projetadas se situem num mesmo

plano. Desse modo todos os problemas podem ser resolvidos com recursos da

Geometria Plana.

O sistema criado por Gaspar Monge, publicado em 1795 com o título “Geometrie

Descriptive” é a base da linguagem utilizada pelo Desenho Técnico. No século XIX,

com a explosão mundial do desenvolvimento industrial, foi necessário normalizar a

forma de utilização da Geometria Descritiva para transformá-la numa linguagem

gráfica que, a nível internacional, simplificasse a comunicação e viabilizasse o

intercâmbio de informações tecnológicas. Desta forma, a Comissão Técnica TC 10

da International Organization for Standardization – ISO normalizou a forma de

utilização da Geometria Descritiva como linguagem gráfica da engenharia e da

arquitetura, chamando-a de Desenho Técnico.

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O Desenho Técnico utiliza o método das projeções ortográficas, que, em essência, é

absolutamente igual ao método mongeano.

O Método das Projeções Cotadas, por outro lado, utiliza um só plano de projeção e

também adota o sistema de projeções ortogonais. O método permite resolver

problemas com auxílio de expressões algébricas e adapta às suas necessidades

alguns procedimentos do método mongeano, uma vez que a distância de cada

elemento da figura objetiva ao plano de projeção é indicada numericamente.

Geometria Descritiva na Arquitetura

Em arquitetura, o desenho é a principal forma de expressão. É através dele que o

arquiteto e ou projetista exterioriza as suas criações e soluções, representando o

seu projeto, seja ele de um móvel, uma casa ou uma cidade. O desenho começou a

ser usado como meio preferencial de representação do projeto arquitetônico a partir

do Renascimento, quando as representações técnicas foram iniciadas nos trabalhos

de Brunelleschi e Leonardo da Vinci.

A Villa Savoye

Construída em 1928, a Villa Savoye é uma casa projetada na França pelo arquiteto

Le Corbusier, um marco da arquitetura moderna.

Le corbusier aplicou nessa obra as idéias propostas anteriormente à formulação de

uma nova linguagem arquitetônica para o século XX. Tais são:

1. Construção sobre pilotis

Suspendendo a edificação, o térreo torna-se um espaço livre, uma extensão do

espaço externo, dando uma nova perspectiva àquele ambiente.

2. Terraço Jardim

Com o avanço do concreto armado, a última laje da edificação pode ser utilizada

como espaço de lazer

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3. Janela em fita

As janelas são localizadas a certa altura em todos os lados da edificação de acordo

com a orientação solar, buscando uma iluminação constante e homogênea.

4. Planta livre da estrutura

A definição dos espaços não estaria mais relacionada à estruturação da edificação,

uma vez que é usado o sistema de viga e pilar ortogonalmente para possibilitar a

melhor divisão espacial interna possível.

5. Fachada livre da estrutura

Os pilares devem ser projetados internamente à construção, de maneira a tornar o

projeto de aberturas o mais flexível.

Construída na cidade de Poissy, nos arredores de Paris, como uma casa de

veraneio, a Villa Savoye foi pouco utilizada pelos moradores originais. Teve que ser

abandonada durante a invasão Alemã à França durante a 2ª Guerra Mundial e

permaneceu em um estado lamentável de quase ruínas até que em 1963, a casa foi

considerada Patrimônio Arquitetônico pelo governo francês e começou a passar por

um processo de recuperação daquele ano até 1967 e novamente de 1985 a 1993.

Desde o final de sua restauração na década de 1990, a Villa Savoye é mantida

como uma casa-museu, aberta a visitação e recebe cerca de 20.000 visitantes por

ano.

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Vistas Villa Savoye

Vista Frontal Vista Inferior

Vista Lateral Esquerda Vista Lateral Direita

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Vista Posterior Vista Superior

Conclusão

A geometria descritiva foi e continua sendo fundamental á representação e criação

de um projeto arquitetônico.

Proporciona uma visão completa do espaço e dos objetos a serem representados,

inclusive a percepção da proporção da edificação.

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Referencia Bibliográfica

• Matemática na Veia. Disponível em: < http://matematica-na-

veia.blogspot.com.br/2008/02/biografia-de-gaspar-monge.html/> Acesso em

08mai.

• Portal Web de Desenho. Disponível <http://det.ufc.br/desenho/?page_id=86 />

Acesso em 07mai.

• A Revolução Francesa. História do Mundo - Educa Terra.Disponivél em

<Terra.com.br/>Acesso em 07mai.

• COLÉGIO Catanduvas – Matemática.Disponível em

www.colegiocatanduvas.com.br/matematicos. Acesso em 07 mai.