UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPRITO SANTO

CENTRO UNIVERSITRIO NORTE DO ESPRITO SANTO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIAS E TECNOLOGIAS

MODELAGEM DO COEFICIENTE DE ARRASTE PARA O ESCOAMENTO

DE UMA BOLHA ESFRICA EM SISTEMA PURO E EM SISTEMA

CONTAMINADO

Alessandra Terezinha Silva Souza

So Mateus

2015

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Sumrio

1. Introduo .................................................................................................... 3

2. Desenvolvimento do Modelo ........................................................................ 4

2.1. Bolhas esfricas em sistema puro......................................................... 4

2.2. Bolhas esfricas em sistema contaminado ........................................... 4

3. Validao do modelo ................................................................................... 5

4. Exemplo ....................................................................................................... 6

5. Referncias .................................................................................................. 7

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1. Introduo

O coeficiente de arraste uma quantidade adimensional desenvolvida a

partir de dados experimentais usada para corrigir o arraste ou a resistncia de

um objeto ao escoamento de um fluido (LUNA, 2009).

Em casos de escoamentos com uma simples partcula, CD uma

complexa funo dos nmeros de Reynolds (relao de foras viscosas e

superficiais), Etvs e Morton (adimensionais que determinam a forma da

gota)(BUSON, 2013).

Na figura 1 temos trs tipos de escoamentos simples:

Bolha esfrica em sistema puro: observa-se uma circulao

interna na bolha, responsvel por diminuir o arraste viscoso e

aumentar a velocidade terminal;

Bolha esfrica em sistema contaminado: a interface se comporta

como uma superfcie rgida devido o acumulo de contaminantes.

Bolha no-esfrica: quando o dimetro muito grande as bolhas

adquirem uma foram no-esfrica e a fora gravitacional e a

tenso superficial passam a governar o escoamento.

Figura 1 - Fatores determinantes das condies terminais. Fonte: Tomiyama et al. (1998).

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2. Desenvolvimento do Modelo

2.1. Bolhas esfricas em sistema puro

O modelo proposto por Tomiyama el al (1998) foi baseado em duas

correlaes anteriores apresentas por Hadamard (1911).

valido apenas para Re 1.

e Levich (1962), para altos valores de Re:

As curvas das equaes (1) e (2) no se interceptam, deixando uma

faixa de valores de CD e Re que no modelada por nenhuma delas. Para

contornar esse problema Tomiyama el al (1998) modifica a equao (1)

baseando-se no coeficiente de arrasto standard para particular esfricas rgidas

(CLIFT,1970). A equao (1) fica:

As equaes (2) e (3) se interceptam em Re = 43,4. Para Re 43,4 CD

dado por (3) e para valores de Re > 43,4 por (2). Em (4) temos o modelo final

de CD para bolhas esfricas em sistema puro.

2.2. Bolhas esfricas em sistema contaminado

No sistema contaminado as bolhas adquirem uma pequena rigidez na

interface, e por isso, para modela-las Tomaiyama et al (1998) parte do

coeficiente de arrasto standard para particular esfricas rgidas proposto por

Clift (1970).

Atravs de experimentos em sistemas semi contaminados foi observado

que para valores de Re maiores 43.4 a equao (5) no corresponde aos dados

medidos sendo necessrio utilizar a seguinte relao.

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Em (7) temos o modelo final para bolhas esfricas em sistemas semi

contaminados.

Porm, para sistemas fortemente contaminados o comportamento da

bolha esfrica se aproxima bastante do comportamento de uma esfera rgida e

deve-se utilizar a equao (5).

3. Validao do modelo

Atravs de dados medidos disponveis em Tomaiyama et al (1998),

representados aqui pela figura 2, vemos que a troca da equao (1) pela

equao (3) confere maior acurcia ao modelo para valores de Re >1.

Figura 2 - Verificao da equao (3). Fonte: Tomiyama et al. (1998).

A exatido do modelo (7) analisada atravs da figura 3, onde os

smbolos representam os valores medidos e as curvas os valores calculados.

Foram testados valores de Re < 105 onde os dados de Re < 10

3 correspondem

ao escoamento de bolhas esfricas e os dados acima deste valor se referem

ao escoamento de bolhas no-esfricas.

Observa-se que os valores coincidem na maior parte dos casos,

comprovando a preciso dos modelos. Os autores no explicitam qual a faixa

de aplicao de cada mtodo. Mas pela figura 3 podemos concluir que os

modelos apresentados so aplicveis para Re < 103 .

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Figura 3 - Comparao entre valores calculados e medidos o escoamento de uma bolha em vrios lquidos inertes; smbolos: dados, curva: calculados. Fonte: Tomiyama et al.(1998).

Os sistemas contaminados so mais comuns e os dados obtidos foram

medidos em um sistema semi contaminado, por isso apenas o modelo para

sistemas semi contaminados foi utilizado no calculo das curvas na figura 3.

4. Exemplo

Calcule o coeficiente de arraste para o escoamento de uma bolha

esfrica com dimetro de 10e-3 m e velocidade terminal de 0,033 m/s em um

sistema de gua a 25C.

1 Passo: Clculo de Re

Re = ( L V T d)/ L = (998,2 * 0,033 * 10-3) / 1-3

Re = 32,9 33

2 Passo: Clculo de CD, utilizando a equao (7)

CD = (1+0,15 Re0,687)*24/Re = (1+0,15 *330,687)*24/33 = 1,93

e

CD = 72/Re = 72/33 = 2,18 Resposta: CD = 1,93

Re

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5. Referncias

BUSON, D. F. Escoamento leo-Gs em Equipamento Submarino: Influncia

da Frao Volumtrica de Gs na Separao de Fases no Mdulo de Bombeio.

Dissertao de Mestrado (Engenharia Mecnica). Universidade Federal do

Esprito Santo. Vitria, 2013

CLIFT, R. and GAUVIN, W. H. The Motion of Particles in Turbulent Gas

Streams, 1970.

LUNA, C. M. R. Anlise e Demonstrao do Comportamento do Escoamento

Bifsico Gs-Slido. Dissertao de Mestrado (Engenharia Mecnica).

Faculdade de Engenharia de Guatatinguet. Guaratinguet, 2009

TOMIYAMA, A. et al. Drag Coefficients of Single Bubblesunder Normal and

Micro Gravity Conditions. JSME Internetional Jornal. 1998.