INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E

TECNOLOGIA DA PARAÍBA

COORDENAÇÃO DO CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA

EM SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES

Iuri Santos de Araújo

TÍTULO???

João Pessoa, 2010.

Iuri Santos de Araújo

Título????

Trabalho de Conclusão de Curso submetido à

Coordenação do Curso Superior de Tecnologia em

Sistemas de Telecomunicações do Instituto Federal

de Educação, Ciência e Tecnologia da Paraíba, como

parte dos requisitos para a obtenção do grau de

Tecnólogo em Sistemas de Telecomunicações.

Orientador

Prof. Alfrêdo Gomes Neto, Dr.

João Pessoa, 2010.

Iuri Santos de Araújo

Título???

Data da Defesa: xx/xx/2010

_________________________________________Alfrêdo Gomes Neto, Dr. IFPB

Prof. Orientador

_________________________________________xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx, Dr. IFPB

Componente da Banca

_________________________________________xxxxxxxxxxxxxxxxxx, Dr. IFPB

Componente da Banca

João Pessoa, 2010.

...

Agradecimentos

Resumo

Abstract

Lista de Figuras

Figura 1 - Exemplos de FSS.....................................................................................................18

Figura 2 - Modelos de FSS utilizadas como filtros...................................................................19

Figura 3 - Grupo 1: N- pólos conectados pelo centro...............................................................21

Figura 4 - Grupo 2: Espiras.......................................................................................................21

Figura 5 - Grupo 3: Interior sólido............................................................................................21

Figura 6 - Grupo 4: Combinações.............................................................................................22

Figura 7 - Cascata para formar uma estrutura periódica tripla.................................................25

Figura 8 - Princípio de Funcionamento do WCIP....................................................................46

Figura 9 - Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética......................48

Figura 10 - Discretização da superfície de incidência das ondas..............................................50

Lista de Símbolos

𝛤 - Coeficiente de Reflexão

Τ - Coeficiente de Transmissão

λ - Comprimento de Onda

E - Vetor Campo Elétrico

H - Vetor Campo Magnético∇ - Operador Nabla

ρe - Densidade Volumétrica de Carga Elétrica

ρm - Densidade Volumétrica de Carga Magnética equivalente

σ - Condutividade Elétrica

σ* - Condutividade Magnética Equivalente𝜀 - Permissividade Elétrica𝜇 - Permeabilidade Magnética𝜀r - Permissividade Elétrica Relativa𝜇r - Permeabilidade Magnética Relativa𝜀0 - Permissividade Elétrica no Vácuo𝜇0 - Permeabilidade Magnética no Vácuo𝛥x - Variação do Deslocamento em relação ao eixo x𝛥y - Variação do Deslocamento em relação ao eixo y𝛥z - Variação do Deslocamento em relação ao eixo zαn - Grandeza Escalar Alfa

β - Grandeza Escalar Beta

* - Complexo Conjugado

Πe - Potencial Vetorial de Hertz Elétrico

Πh - Potencial Vetorial de Hertz Magnético

ø - Função Potencial qualquer

ω - Frequência Angular

f - Frequência em Hertz

Lista de Siglas

EBG - Electromagnetic Band Gap

FDTD - Método das Diferenças Finitas no Domínio do Tempo

FEM - Método dos Elementos Finitos

FSS - Frequency Selective Surfaces (Superfícies Seletivas de Frequência)

GTEMA - Grupo de Telecomunicações e Eletromagnetismo Aplicado

MoM - Método dos Momentos

TE - Transverso Elétrico

TM - Transverso Magnético

UWB - Ultra Wideband (Banda Ultra Larga)

VNA - Analisador de Redes Vetorial

WCIP - Wave Concept Interactive Procedure (Método das Ondas)

Sumário

Resumo

Abstract

Lista de Figuras

Lista de Símbolos

Lista de Siglas

1. Introdução.............................................................................................................................13

2. Superfícies Seletivas de Frequência......................................................................................15

2.1 Histórico das FSS........................................................................................................................16

2.2 Características das FSS................................................................................................................17

2.3 Elementos das FSS......................................................................................................................19

2.4 A curva de Ressonância...............................................................................................................22

2.5 Aplicações Típicas das FSS.........................................................................................................23

3. Método das Ondas - Processo Iterativo................................................................................27

3.1 Princípio da formulação do WCIP...............................................................................................27

3.2 Caracterização no domínio espacial............................................................................................32

3.3 Propagação/reflexão da onda no meio.........................................................................................33

3.4 Programa Implementado.............................................................................................................33

4.????

Considerações Finais................................................................................................................59

Referências................................................................................................................................60

1. Introdução

2. Superfícies Seletivas de Frequência

As FSS são estruturas planares compostas de uma camada metálica sobre um ou

mais substratos dielétricos, que podem operar em diferentes faixas. Tais estruturas

possuem arranjos periódicos descritos por células que podem conter elementos do tipo

patches condutores ou aberturas. Quando expostas à radiação eletromagnética, as

características periódicas da camada metálica ressoam em determinadas frequências que

dependem das propriedades do dielétrico, da geometria e do espaçamento utilizado nas

células condutoras [5] [6] [7].

Fundamentalmente, qualquer estrutura periódica pode ser ativada de duas maneiras:

por uma onda plana incidente Ei (arranjo passivo), ou por geradores individuais

conectados a cada elemento (arranjo ativo). No caso de arranjos passivos, uma onda

incidente é parcialmente transmitida através da estrutura, Et, e o restante é refletida, Er.

Neste segundo caso, os geradores de tensão devem possuir a mesma amplitude e

variações lineares de fase ao longo do arranjo ativo, de forma a caracterizar a estrutura

como uma superfície periódica [1] [5].

Sob condições ressonantes a amplitude do sinal refletido pode ser igual à Ei

quando Et = 0. Usualmente defini-se o coeficiente de reflexão como:

Γ=E r

Ei

(1)

onde Er e Ei em geral estão referidos ao plano do arranjo. De forma similar o coeficiente

de transmissão é definido por:

τ=E t

Ei

(2)

Além dos arranjos com dipolos, podemos considerar os arranjos com fendas

magnéticas. Esses tipos de arranjos também são ativados por uma onda plana incidente

ou por geradores individuais. No caso dos arranjos com dipolos são ativadas correntes

elétricas e no caso dos arranjos com fendas são ativadas correntes magnéticas, mas esses

arranjos podem se tornar bem semelhantes se comparados ao campo elétrico no caso

dos dipolos e ao campo magnético no caso das fendas [1] [5].

Ainda existe o caso dos arranjos complementares, que são arranjos formados por

dipolos e fendas. Esses elementos possuem formas semelhantes, tal que se os arranjos

forem colocados um em cima do outro se completam perfeitamente para obter o

resultado desejado. Um exemplo disso pode ser demonstrado quando se utiliza um

arranjo com dipolos na parte superior de uma estrutura e um arranjo complementar com

fendas na parte inferior, isso se o coeficiente de reflexão de um arranjo for igual ao

coeficiente de transmissão do arranjo complementar. Este é um caso simples, portanto

não pode ser generalizado, pois outras características precisam ser observadas como a

largura de banda e a espessura do material. Se dois ou mais arranjos funcionam em

cascata podemos conseguir uma resposta desejada para um filtro alterando suas

características. O cálculo para os dois casos é bem diferente e podem conduzir a

diferentes resultados, o que não é aqui detalhado [1].

2.1 Histórico das FSS

Em meados dos anos 60, as FSS passaram a ser extensivamente estudadas com

êxito e implementadas para uso em aplicações de radiofrequência, uma vez que

transmitem energia eletromagnética para algumas frequências e refletem para outras.

Embora seja verdade que devido o grande potencial de aplicações militares, esse estudo

intenso sobre tais superfícies periódicas teve início nessa década, o princípio geral de

funcionamento já era conhecido.

A referência mais antiga conhecida é uma patente concedida a Marconi e a Franklin

por construírem um refletor parabólico com uma seção de cabos “infinitamente” longos.

Estes inventores foram os primeiros a apresentar o conceito de “elementos

sintonizados”. Foi apresentada em 16 de Outubro de 1968 uma patente para Munk

relacionada à “Superfície periódica para grande verificação de ângulos” (esta patente

ocorreu sob ordem de sigilo até que foi concedida em 29 de Janeiro de 1974).

Basicamente, esta patente revelou que qualquer superfície periódica deve ter sua

frequência ressonante estável com o ângulo de incidência, onde a dimensão e os

elementos necessários para alcançar o resultado desejado funcionam como uma espécie

de carga. Outra patente agora relacionada aos elementos tripolos foi concedida em 1975

para Pelton e Munk [1].

O interesse no estudo das FSS tem crescido através dos anos. Consequentemente as

mais variadas aplicações para tais estruturas têm sido investigadas. Essas estruturas vêm

sendo largamente utilizadas devido a sua capacidade de se integrar com outros circuitos

de micro-ondas. Elas são muito importantes em diversas aplicações, como aviões,

sistemas de antenas, radomes, foguetes, mísseis, filtros eletromagnéticos para antenas

refletoras, estruturas absorvedoras, etc [4] [5].

As FSS foram objeto de intensiva investigação para aplicativos como filtros para

micro-ondas e sinais ópticos por mais de quatro décadas. Essas superfícies podem

refletir totalmente ou transmitir a onda incidente.

Nos últimos anos, os filtros e os guias de onda utilizando estruturas periódicas

foram intensivamente estudados para alcançar uma característica desejada de frequência

de ressonância ou frequência de corte. As FSS passaram a ser utilizadas em conjunto

com tais estruturas, porque além de contribuírem com as características desejadas, são

de fácil fabricação, de baixo custo e possuem dimensões e pesos cada vez menores [8].

O avanço tecnológico ocorrido nos últimos anos no desenvolvimento de estruturas

e dispositivos com tecnologia planar decorre da necessidade crescente da

implementação de dispositivos e da criação de circuitos para as mais diversas aplicações

[5].

A investigação dos efeitos produzidos pela utilização de novos materiais em FSS é

de grande interesse para o desenvolvimento científico e tecnológico, em face da

possibilidade de melhoria das características de diversos dispositivos e circuitos usados

em altas frequências. O estudo de novas geometrias combinadas com o uso de novos

materiais pode melhorar o desempenho dessas estruturas [4].

Recentemente, principalmente com a expansão dos serviços de comunicações sem

fio, aumentou consideravelmente a demanda por estruturas multifuncionais, cada vez

mais compactas e com requisitos específicos de banda passante [9] [10], o que tem

motivado diversos grupos de pesquisa a estudar novas estruturas.

2.2 Características das FSS

Uma característica comum das técnicas tradicionais utilizadas para a confecção de

uma FSS, é que o tamanho dos elementos ressonantes e seu espaçamento são

comparáveis a metade de um comprimento de onda em relação à frequência de operação

desejada.

A sensibilidade da resposta da FSS em relação ao ângulo de incidência precisa ser

reduzida, por isso é necessário que haja muita precisão na confecção da estrutura, pois é

praticamente impossível que não haja erro de alinhamento durante a fabricação.

O mais importante para o processo de fabricação de uma FSS é a escolha adequada

dos elementos que irão constituir tais estruturas, como por exemplo, os modelos

representados na Figura 1 e a determinação adequada de periodicidade da estrutura. O

tipo de elemento, a geometria, os parâmetros de substrato, a presença ou ausência de

arranjos e o espaçamento entre os elementos, determinam a resposta de frequência da

estrutura, como também sua largura de banda, a função de transmissão ou reflexão e a

dependência entre o ângulo de incidência e a polarização da onda incidente, portanto é

necessário que essas características sejam otimizadas [11].

Figura 1 - Exemplos de FSS.

Uma FSS com elementos do tipo abertura trabalha como um filtro passa-faixa, onde

o funcionamento ocorre da seguinte forma: à medida que os elementos vão entrando em

ressonância, a estrutura vai se tornando “transparente” para a onda incidente, até que na

frequência de ressonância da estrutura, ocorre a transmissão total da onda.

Por outro lado, uma FSS com elementos do tipo patch condutor, funciona como um

filtro rejeita-faixa, aonde os elementos vão entrando em ressonância e, com isso, eles

radiam a potência incidente na direção de reflexão, até que na frequência de ressonância

da estrutura, ela se comporta como um condutor perfeito refletindo totalmente a onda

incidente, ou seja, uma FSS é um dispositivo projetado para transmitir ou refletir

totalmente uma onda eletromagnética incidente [4] [12]. A Figura 2 representa modelos

de FSS utilizadas como filtros.

Figura 2 - Modelos de FSS utilizadas como filtros.

Uma FSS pode ainda ser classificada em relação à espessura dos elementos como

uma tela fina ou espessa. A FSS de tela fina usualmente se refere aos elementos de

circuitos impressos (patches) ou elementos de abertura com espessura menor do que

0,001λ, onde λ é o comprimento de onda da FSS na frequência de ressonância. Em

geral, a FSS de tela fina é leve, de pequeno volume e pouco dispendiosa, o que facilita

sua fabricação com o auxílio da tecnologia convencional de circuitos impressos.

Por outro lado, uma FSS de tela espessa é mais usada para aplicações em altas

frequências, sendo caracterizada por um arranjo periódico de elementos com espessura

elevada. Ela é pesada e sua fabricação requer uma construção precisa para se obter o

resultado desejado e, portanto, de alto custo [13] [14].

2.3 Elementos das FSS

Como mostrado anteriormente, uma FSS pode ser formada por elementos do tipo

patch, por elementos do tipo abertura, ou ainda, por uma combinação dos dois tipos de

elementos, ou seja, essa estrutura periódica é um arranjo planar de patches condutores

ou aberturas, com formatos diversos, depositados sobre um dielétrico. Por atender à

seletividade de frequência, as FSS são incorporadas em uma ampla variedade de

aplicações.

Através da adição de dispositivos ativos ou passivos à unidade de células dessas

estruturas periódicas, é possível obter uma nova categoria de FSS com características

extremamente controláveis [15].

Quando um dipolo é alimentado por uma fonte de radiofrequência e esse dipolo é

múltiplo de meio comprimento de onda, ele então reirradia a energia. Quando vários

dipolos estão dispostos em forma de arranjo, a energia reirradiada de todos os elementos

será direcionada coerentemente como se uma reflexão estivesse ocorrendo, onde o

ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência. Isto acontece porque as correntes

induzidas em cada dipolo possuem um atraso de fase relativo aos elementos vizinhos.

Este atraso de fase faz com que o espalhamento das ondas de todos os elementos seja

coerente com a direção de reflexão. Finalmente, quando a dimensão do elemento é

totalmente diferente das dimensões ressonantes, a onda incidente passará através da FSS

como se a estrutura fosse “transparente”, ocorrendo uma pequena perda devido ao

dielétrico e à condução do cobre [5] [14].

A dispersão nos materiais utilizados pode ter um impacto significativo sobre o

desempenho da FSS, o que afetará a medição, tornando incoerente a comparação entre

os resultados projetados e medidos. Além disso, mesmo que os materiais utilizados

possuam uma configuração similar com a FSS projetada, é de extrema importância que

outras observações sejam consideradas como a condição atmosférica e a influência

eletromagnética, o que pode acarretar em dados imprecisos na medição. Portanto, as

propriedades das estruturas dependem tanto das dimensões e da periodicidade, quanto

da composição dos materiais que estão sendo utilizados na confecção das mesmas.

Assim, através dos diferentes modelos e de suas propriedades materiais, é possível

ajustar a ressonância da FSS às exigências específicas [6] [16].

Muitos parâmetros de projetos e princípios são relacionados com as estruturas

periódicas, tais como a forma e o tipo de elementos, as dimensões das células unitárias,

os tipos de materiais dielétricos e as espessuras dos substratos utilizados [5] [14].

No projeto de FSS utilizadas como filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, é de extrema

importância a escolha adequada dos elementos. Existe uma grande variedade de

pesquisas que utilizam as mais diversas formas de elementos. Os elementos são

divididos em quatro grupos [1].

O Grupo 1 corresponde aos N-pólos conectados pelo centro. As formas mais

conhecidas são o dipolo fino, dipolo cruzado, cruz de Jerusalém e o tripolo. Na Figura 3

são mostrados exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 1.

Figura 3 - Grupo 1: N- pólos conectados pelo centro.

O Grupo 2 corresponde aos elementos do tipo Espiras. Os tipos mais conhecidos

são: as espiras quadradas, as quadradas duplas, quadradas com grades e anéis circulares

concêntricos. Na Figura 4 são mostrados exemplos de elementos correspondentes ao

Grupo 2.

Figura 4 - Grupo 2: Espiras.

O Grupo 3 é formado pelos elementos de interior sólido. As formas mais

conhecidas são os patches quadrados, retangulares, hexagonais e circulares. Na Figura 5

são mostrados exemplos de elementos correspondentes ao grupo 3.

Figura 5 - Grupo 3: Interior sólido.

O Grupo 4 é composto por elementos formados a partir de combinações de

elementos típicos. A lista de elementos que compõem esse grupo é interminável [1] [4].

Na Figura 6 são apresentados exemplos de elementos correspondentes ao Grupo 4.

Figura 6 - Grupo 4: Combinações.

2.4 A curva de Ressonância

As superfícies periódicas podem obter uma perfeita transmissão ou reflexão da

onda incidente, porém em muitos aplicativos é necessário que a curva de ressonância

apresente uma resposta superior, mais ampla e com o corte mais rápido. No entanto, a

largura de banda irá variar consideravelmente com o ângulo de incidência. Para se

alcançar esse objetivo existe duas maneiras: utilizando duas ou mais superfícies

periódicas em cascata sem o dielétrico entre elas ou utilizando placas dielétricas entre as

superfícies em cascata, neste caso a superfície periódica passa a ser híbrida.

No primeiro caso, ou seja, onde as superfícies estão em cascata e sem o dielétrico

entre elas, as várias camadas apresentam uma curva ressonante com desempenho

superior se comparado a uma superfície de camada única. No entanto, mesmo com essas

camadas, tal superfície é muito simples e apresenta uma variação considerável de

largura de banda em relação ao ângulo de incidência e a polarização, por isso não é

recomendada em um trabalho que necessite de muita precisão [1].

No caso de adicionar placas dielétricas nos dois lados de uma estrutura de camada

única podemos conseguir uma largura de banda consideravelmente maior que a

conseguida com a estrutura sem essas placas auxiliares. Essa combinação também não é

recomendada nos casos em que é necessária muita precisão mesmo se a largura de

banda for projetada para ser quase constante em relação ao ângulo de incidência e a

polarização.

É comum que as estruturas periódicas sejam projetadas inicialmente sem as placas

dielétricas, e que essas placas sejam adicionadas posteriormente para que se tornem

estruturas híbridas, passando a ter um grande efeito na curva de ressonância. É

necessária a escolha correta da espessura das placas de acordo com o resultado

desejado, pois tal característica pode alterar a frequência de ressonância e a variação do

ângulo incidente na curva de ressonância.

Cada placa dielétrica adicionada possui funções específicas, como por exemplo:

tornar a largura de banda constante em relação ao ângulo incidente e à polarização. A

FSS vai determinar a largura de banda e a frequência ressonante. O formato das placas

dielétricas e dos elementos das FSS são projetados para uma maior otimização e para a

compreensão do comportamento da estrutura em relação à onda plana incidente [1].

2.5 Aplicações Típicas das FSS

Inicialmente, as aplicações das FSS estavam concentradas no uso em sub-refletores

do tipo Cassegrain de antenas parabólicas, que pode ser definido simplesmente como

uma estrutura periódica que é “transparente” a uma faixa de frequência e “opaca” a

outras faixas. O sub-refletor não tem que necessariamente ser hiperbólico, pode ser

simples, mas o formato deve manter sua mecânica com uma alta tolerância o tempo

todo [1].

Atualmente as aplicações envolvem, entre outras, antenas, aplicações militares,

segurança na rede sem fio, radomes, mísseis, blindagens eletromagnéticas, filtros

angulares de micro-ondas e absorvedores de micro-ondas [17].

As FSS foram amplamente utilizadas durante muitos anos em aplicativos de

antenas, filtros para micro-ondas e sinais ópticos. A introdução de uma FSS pode

modificar e melhorar o desempenho de absorção, pois a banda de absorção pode ser

deslocada ou ampliada pela presença de uma FSS [18].

Existem muitos exemplos onde as FSS são usadas em sub-refletores para

configuração de antenas com duplo refletor. Tais sub-refletores são utilizados para

reforçar a capacidade multifrequencial destes sistemas de antena. A introdução de uma

FSS no sub-refletor permite melhorar as características multifrequenciais específicas,

onde os sub-refletores possuem boas características de reflexão e polarização.

É muito importante incorporar com precisão os efeitos de uma FSS no sub-refletor,

em relação ao cálculo da radiação, diretividade e coeficiente de reflexão de uma antena.

Na maioria dos casos, esta abordagem fornece bons resultados, no entanto, existem

situações onde se torna importante maior precisão, como por exemplo, levando em

conta os efeitos da curvatura da superfície e a diferença no sentido do ângulo de

incidência em relação às coordenadas do sub-refletor, o que se torna extremamente

importante para uma previsão precisa da polarização [17].

As FSS têm sido muito usadas como sub-refletores para comunicações via satélite,

onde apenas um sub-refletor principal pode separar diferentes bandas de frequência.

Para melhorar as capacidades do sub-refletor, são usadas FSS que operam em

multifrequências. Em tais sistemas, a FSS possui boas características de reflexão das

frequências específicas. As FSS também são utilizadas para aumentar ou diminuir a

largura de banda de um arranjo de antenas.

Uma das aplicações mais conhecidas das FSS é o anteparo da porta do forno de

micro-ondas doméstico, que possui a característica de um filtro passa-faixa, deixando

passar a frequência de luz visível e rejeitando a faixa de micro-ondas [2] [5] [10] [13].

Outra aplicação bem antiga dessas estruturas periódicas é a sua utilização na

caracterização da banda passante de radomes para reduzir a radiação da seção

transversal das antenas fora de sua banda operacional.

Uma situação típica ocorre quando uma onda plana é radiada por uma antena em

um radome funcionando como um filtro passa-faixa. Se o radome é “opaco” e exposto a

um campo incidente, vários sinais serão refletidos devido à forma do radome e por isso

é produzido um sinal muito fraco no sentido contrário, isto é, temos uma baixa radiação

da seção transversal. Por outro lado, se o sinal incidente possui a frequência

correspondente à faixa selecionada pelo filtro, este equipamento se torna ineficaz na

redução da radiação da seção transversal da antena. Isso é essencialmente determinado

pela própria antena, mas para assegurar um melhor desempenho utiliza-se um arranjo de

FSS para que a banda passante considerada seja “invisível” também no sentido

contrário.

Essas estruturas periódicas são consideradas adequadas ao desenvolvimento de

filtros, ideais para a utilização conjunta com antenas em sistemas de comunicações sem

fio e de radar. É possível a utilização com êxito dessas superfícies como uma medida

para aumentar as capacidades de comunicação via satélite.

As aplicações das FSS têm crescido bastante através da adição de dispositivos

ativos encaixados na célula unitária das estruturas periódicas, sobre substratos

ferrimagnéticos e sobre substratos líquidos. A incorporação de dispositivos que

fornecem ganho ou não-linearidade em uma FSS permite o desenvolvimento de arranjos

com aplicações adicionais, incluindo-se as funções de amplificação, oscilação e

multiplexação. Essas estruturas podem ser usadas em cascatas, empilhadas ou como

uma camada única de desenho simplificado. A Figura 7 mostra uma cascata para formar

uma estrutura periódica tripla.

Figura 7 - Cascata para formar uma estrutura periódica tripla.

Arranjos de grades ativas podem ser usados em sistemas de radar, de radiodifusão e

de comunicações, em estado sólido, de baixo custo e alta potência. Vários arranjos de

grades ativas têm sido desenvolvidos com detetores, defasadores, multiplicadores,

osciladores, amplificadores e chaveadores [2] [5] [10] [13].

Um exemplo dessa utilização é uma situação comum, onde uma antena é colocada

sobre o mastro de um navio e utiliza-se um arranjo de FSS com o intuito de rejeitar

algum sinal da banda e deixar que os sinais desejados propaguem. Alguns radares a

bordo de navios muitas vezes operam abaixo de 3 GHz assim como a maioria dos

sistemas de comunicações.

Para isso poderia ser utilizado um radome híbrido operando a uma baixa

frequência, porém ele poderia produzir níveis elevados de radiação da seção transversal

para algumas frequências e variação no ângulo incidente. Portanto, ao invés disso,

utiliza-se uma FSS funcionando como filtro rejeita-faixa com elementos de tipo dipolo

que irão reduzir consideravelmente essa radiação.

Outro aplicativo interessante é a utilização de um arranjo de FSS que irradia através

de um polarizador juntamente com um refletor diretivo principal. Para um sinal

incidente no campo elétrico vertical, o polarizador irá atuar como uma indutância

através da linha de transmissão equivalente, enquanto uma onda polarizada

horizontalmente é retardada. Para melhorar a largura de banda e estabilizar o ângulo de

incidência, utilizam-se placas dielétricas com uma ou mais camadas no polarizador [1].

Uma aplicação recente de FSS é um painel que bloqueia sinal de redes sem fio. Os

painéis podem ser usados como papéis de paredes em locais como, por exemplo,

escritórios, cobrindo inclusive janelas, impedindo o acesso não autorizado à rede sem

fio das empresas. Além de proporcionar o isolamento e a segurança da rede, os painéis

reduzem a interferência. Os painéis são feitos com películas e podem atuar nas versões

passiva e ativa. Na versão passiva, a barreira é permanente e impedirá que ondas dentro

de uma dada gama passem. Já na versão ativa, permitirá que uma área seja ligada ou

desligada de forma a alargar ou diminuir o alcance de uma rede. É preciso salientar que,

por fazerem seleção em relação à frequência que irão filtrar, estes painéis permitirão que

as ondas de rádio, redes celulares ou TV continuem a ser recebidas sem qualquer perda

de sinal [19] [20].

Em sistemas UWB (Banda Ultra Larga) a ampla largura de banda das antenas causa

uma grande radiação, que é inadequada, em determinadas situações. Para melhorar tal

situação, é necessário fazer com que o sistema permita a transmissão ou reflexão em

momentos determinados, diminuindo assim qualquer possível descontinuidade. Para

isso, utiliza-se uma FSS funcionando como filtro passivo, fazendo com que os

elementos ressonantes individuais possam transmitir ou refletir sua frequência

específica ou utilizando várias camadas para que possam interagir e ressoar [21].

3. Método das Ondas - Processo Iterativo

Vários métodos têm sido usados para análise de FSS. Diversas fórmulas

aproximadas foram desenvolvidas para analisar as características de transmissão e de

reflexão das FSS. Um dos primeiros métodos utilizados neste tipo de análise foi o

casamento modal. Associado ao casamento modal surgiu o método dos circuitos

equivalentes, possibilitando a avaliação inicial do comportamento de uma FSS [2].

Com o avanço dos recursos computacionais, outros métodos foram utilizados,

citando-se o método das diferenças finitas no domínio do tempo, FDTD, o método dos

elementos finitos, FEM, o método dos momentos, MoM e o método dos potenciais

vetoriais de Hertz [2] [22]. Em conjunto com esses modelos, podem ser utilizadas

técnicas como, por exemplo, as redes neurais [5].

O FDTD e o FEM apresentam a vantagem da flexibilidade na forma da FSS.

Entretanto, requerem um esforço computacional elevado. Por outro lado, métodos como

o MoM e o dos potenciais vetoriais de Hertz, que não requerem tanto esforço

computacional, apresentam limitações quanto a forma das FSS.

A partir de meados dos anos 90 foi desenvolvido o Método das Ondas, um processo

iterativo, mais conhecido na literatura por Wave Concept Interactive Procedure, WCIP,

baseado em princípios relativamente simples e com diversas aplicações [23] [24]. Este

capítulo pretente focar essa recente técnica e portanto não serão discutidos aqui os

outros métodos de análise das FSS.

3.1. Princípio da formulação do WCIP

O método das Ondas, WCIP baseia-se em um princípio relativamente simples que

pode ser ilustrado a partir da Figura 8, onde:

Os dois meios, I e II, em uma região limitada do espaço, estão separados por

uma superfície S;

Uma onda A0 incide perpendicularmente na superfície S, a partir do meio I, na

direção n, no sentido positivo.

Ao incidir sobre a superfície a onda A0,I sofre dois processos: uma parte passa para

o meio II, B1,II, na direção n, no sentido positivo e; outra parte é refletida, B1,I,

retornando ao meio I, na direção n, no sentido negativo.

Em função dos limites e das condições de propagação na região I a onda B1,I sofre

uma nova reflexão, dando origem a onda A1,I.

A onda A1,I incide perpendicularmente na superfície S e o processo se repete.

Analogamente, a onda B1,II sofre uma reflexão no meio II, dando origem a onda A1,II.

Figura 8 - Princípio de Funcionamento do WCIP.

Após a k-ésima repetição do processo, a onda resultante sobre a superfície S será a

soma de todas as ondas incidentes e refletidas. Se parte da potência é absorvida a cada

iteração, seja pelas características da superfície S, ou pelas condições de propagação nos

meios I e II, o processo converge e os somatórios das ondas incidentes, A, e refletidas,

B, podem ser determinados. Matematicamente têm-se [22] [35]:

A=Sxy B+A0 (3)

B=Γ A (4)

onde

Sxy descreve o comportamento da onda ao incidir sobre a superfície;𝛤 descreve o comportamento da onda ao se propagar no meio.

Portanto, são dois os pontos a serem analisados: a incidência ou reflexão da onda na

superfície S e a propagação ou reflexão da onda no meio.

As ondas incidentes e refletidas se relacionam com as amplitudes de campo

transversais através das equações (9) e (10):

A= 12√Z0

[ E+Z0 ( H × n ) ] (9)

B= 12√Z0

[ E−Z0 ( H × n ) ] (10)

sendo Z0 a impedância característica do meio, dada por:

Z0=√ με

(11)

Entretanto, ao invés do vetor campo magnético, H, em geral é utilizado o vetor

densidade de corrente superficial, J, definido por:

J=H × n (12)

A utilização do vetor densidade de corrente superficial decorre de vantagens tais

como: o vetor J apresenta a mesma natureza do vetor H.

Para uma estrutura propagando modos TE e TM os vetores E e J são colineares,

como mostrados na Figura 11.

Figura 9 - Componentes de campos transversais de uma onda eletromagnética.

Substituindo (12) em (9) e em (10), temos:

A= 12√Z0

[ E+Z0 J ] (13)

B= 12√Z0

[ E−Z0 J ] (14)

De (13) e (14) obtém-se as expressões para os vetores E e J em função das ondas

incidentes e refletidas. Desta forma:

E=√Z0 [ A+B ] (15)

J= 1

√Z0

[ A−B ] (16)

A partir dos valores de E e J, determinados sobre a superfície do circuito,

parâmetros tais como impedância e frequências de ressonância, podem ser calculados e,

dessa forma, o circuito é caracterizado. No WCIP essa caracterização é realizada em

diferentes domínios, sejam eles, espacial, espectral e modal.

x

yx

y S

3.2. Caracterização no domínio espacial

A análise da incidência/reflexão da onda na superfície S é realizada no domínio

espacial. A superfície é discretizada em pixels de dimensão Δx por Δy , Figura 10, e a

região delimitada por cada pixel é caracterizada como sendo uma interface do tipo:

fontes, cargas, condutor perfeito, isolante perfeito e dielétrico.

Figura 10 - Discretização da superfície de incidência das ondas.

Dessa forma, a cada pixel corresponde um

parâmetro de reflexão Sxy. Cada ponto Sxy pode

corresponder ao centro geométrico do pixel ou

simplesmente a um ponto da superfície.

A determinação do parâmetro de reflexão para cada uma das regiões citadas

basicamente consiste em impor as condições de fronteira às componentes transversais

de campo elétrico e/ou do vetor densidade de corrente superficial. Fica subentendido

que as componentes E⃗ e J⃗ citadas são as componentes tangenciais.

A Fonte é vista como sendo o equivalente a uma das componentes do campo

elétrico, E x ou E y, obedecendo as respectivas condições de contorno. Exitem dois tipos,

as fontes distribuídas e as fontes localizadas. A diferença é que a última é definida em

uma região limitada e é dessa região que partem as ondas, já na primeira a fonte é

definida sobre toda superfície, incidindo sobre a mesma a partir de uma região externa a

superfície.

Na implementação do programa wcipag06, a equação acima é implementada da

seguinte forma:

Para fonte distribuída:

z

y

x

z

y

x

[ax1

ax2]=[ Sxy11 Sxy12

Sxy21 Sxy 22]. [b x1+a0 x1

bx 2+a0 x2] (5)

[a y1

ay 2]=[Sxy11 Sxy12

Sxy 21 Sxy 22]. [b y 1+a0 y1

b y2+a0 y 2] (6)

E Para fonte localizada:

[ax1

ax2]=[ Sxy11 Sxy12

Sxy21 Sxy 22]. [b x1

bx 2]+[a0 x1

a0 x2] (7)

[a y1

ay 2]=[ Sxy11 Sxy12

Sxy 21 Sxy 22]. [b y 1

b y2]+[a0 y1

a0 y 2] (8)

Nas fontes distribuídas não ocorrem modificação dos parâmetros de

espalhamento, Sxy. Já nas fontes localizadas alteram o espalhamento na região onde a

fonte é definida. Ainda para as fontes, são considerados dois casos: unilateral e bilateral.

a b

Figura 11. Fonte distribuída.(a) Fonte localizada.(b)

Para o caso bilateral, uma fonte de campo elétrico E0 e uma impedância dessa fonte ZS

estão associadas a uma determinada região da superfície S, conectando-se aos dois

meios.

Aplicando a Lei de Ohm:

E1=E2=E0−ZS . (J 1+J 2) (20)

Substituindo (11) e (12) em (20),

( A1+B1) .√Z01=E0−ZS .( ( A1−B1 )√Z01

+( A2−B2)

√Z02) (21)

( A2+B2) .√Z02=E0−ZS .( ( A1−B1)√Z01

+( A2−B2)

√Z02) (22)

De onde se obtém, após as devidas simplificações,

[A1

A2]=[(

−Z01Z02−Z01 ZS+Z02 Z S

Z01 Z02+Z01 Z S+Z02 ZS) (2Z S√Z01 Z02

Z01 Z02+Z01 ZS+Z02 ZS)

(2ZS √Z01 Z02

Z01 Z02+Z01 Z S+Z02 ZS) (−Z01 Z02+Z01 ZS−Z02Z S

Z01 Z02+Z01 ZS+Z02 ZS) ][B1

B2]+

¿¿

¿

(23)

Portanto, na região da fonte bilateral o operador Sxy passa a ser composto por duas

partes, uma denominada TS que atua sobre a onda e outra K que atua sobre a fonte,

equação (1.43).

[A1

A2]=[TS11 TS12

TS21 TS22][B1

B2]+[K 1

K2]E0

(24)

Para o caso unilateral, uma fonte de campo elétrico E0 e uma impedância dessa fonte ZS

estão associadas a uma determinada região da superfície S, conectando-se a apenas um

dos meios.

Scolhendo o meio 1 e aplicando a Lei de Ohm:

E1=E0−ZS . J1(25)

Substituindo (15) e (16) em (25),

( A1+B1) .√Z01=E0−ZS .( A1−B1)

√Z01

(26)

Re-escrevendo (1.46),

A1=B1( ZS−Z01

ZS+Z01)+E0( √Z01

ZS+Z01) (27)

Para o meio 2,

E2=0⇒ A2=−B2 (28)

Portanto, na região da fonte unilateral tem-se que:

[A1

A2]=[( ZS−Z01

ZS+Z01) 0

0 −1] [B1

B2]+[( √Z01

ZS+Z01)

0]E0

(29)

O termo [ K ] . E0 nas equações (1.44) e (1.56) corresponde a uma fonte localizada, A0 , ou

seja, uma fonte definida em apenas uma região limitada do espaço.

Para as cargas, assim como as fontes, são considerados dois casos: unilateral e bilateral.

Na região das cargas o operador Sxy passa a ser denominado TC e as suas expressões

podem ser obtidas diretamente das expressões do operador na região das fontes, fazendo

a fonte de campo elétrico igual a zero, E0=0, tanto para o caso unilateral quanto para o

bilateral. Assim sendo, nas regiões das cargas o operador TC corresponde ao operador

da região das fontes com o termo [ K ]=[ 0 ] , equação (1.57). Naturalmente a impedância

da fonte, ZS , é substituída pela impedância da carga, ZC .

[A1

A2]=[TC11 TC12

TC21 TC22] [B1

B2] (30)

Para a carga bilateral,

De (23)

[A1

A2]=[(

−Z01 Z02−Z01 ZC+Z02 ZC

Z01 Z02+Z01 ZC+Z02 ZC) ( 2 ZC √Z01 Z02

Z01 Z02+Z01 ZC+Z02 ZC)

( 2 ZC√Z01 Z02

Z01 Z02+Z01 ZC+Z02 ZC) (−Z01 Z02+Z01 ZC−Z02ZC

Z01 Z02+Z01 ZC+Z02 ZC) ][B1

B2]

(31)

e para a carga unilateral,

De (29)

[A1

A2]=[( ZC−Z01

ZC+Z01) 0

0 −1] [B1

B2]

(32)

Para um condutor perfeito as componentes de campo elétrico se anulam na superfície.

O operador Sxy para uma incidência sobre um metal perfeito:

[ Sxy ]=[ Sxy ,11 Sxy ,12

S xy ,21 Sxy ,22]=[−1 0

0 −1 ] (17)

Para um isolante perfeito as componentes do vetor densidade de corrente superficial são

nulas na superfície.

O operador Sxy para uma incidência sobre um isolante perfeito:

z

h1

h2

x

Y2

Y1

E

[ Sxy ,11 Sxy ,12

S xy ,21 Sxy ,22]=[1 0

0 1 ] (18)

Para uma interface tipo dielétrico as componentes de campo elétrico são iguais e

diferentes de zero. A soma das componentes do vetor densidade de corrente superficial

se anula na superfície.

De onde se obtém (ver anexo I):

[Sxy ,11 Sxy ,12

S xy ,21 Sxy ,22]=[−(n2−1 )

( n2+1 )2n

(n2+1 )2n

( n2+1 )(n2−1 )(n2+1 )

](19)

Sendo n=√ Z01

Z02 .

3.3 – Propagação e reflexão da onda no meio

A análise da propagação/reflexão da onda no meio é realizada no domínio modal. Ou

seja, a onda é decomposta em seus modos TE e TM e para cada modo é calculado o

respectivo coeficiente de reflexão, Γ, considerando as características do meio

(dielétrico, espessura, dimensões da célula unitária) e a frequência de operação, Figura

19.

Figura 12 - Estrutura composta por dois meios e uma interface S.

Γ m,nα , i =

1−Z0i Y m ,nα , i

1+Z0i Y m, nα , i

α=TE , TM

(33)

Onde,

Y m, nα , i =Y 0 m, n

α , i , admitância do m,n-ésimo modo para o meio i com espessura

infinita (estrutura aberta)

(34)

Y m , nα , i =Y 0 m, n

α , i . coth (k zm,ni hi) , admitância do m,n-ésimo modo para o meio i

terminado em parede elétrica (curto circuito)

(35)

Y m , nα , i =Y 0 m , n

α , i . th (k zm, ni hi) , admitância do m,n-ésimo modo para o meio i

terminado em parede magnética (curto aberto)

(36)

Z0i=√ μi

εi , impedância característica do meio i

(37)

k zm,ni =√( 2 mπ

2 wx)2

+( 2nπ2 wx

)2

−k02 εr , i

, constante de propagação na direção z,

meio i

(38)

Y m, nTE , i=

kzm , ni

jωμi , admitância do modo m,n-ésimo modo TE para o meio i

(39)

Y m, nTM , i=

j ωεi

k zm ,ni

, admitância do modo m,n-ésimo modo TM para o meio i

(40)

hi , espessura do meio i

3.4. Programa Implementado

Foi utilizado neste trabalho um programa em linguagem FORTRAN (wcipag06)

com uma estrutura apresentada na Figura 13. Os dados de entrada são introduzidos e

registrados em um arquivo TXT, com o nome da preferência do usuário, que é criado e

atualizado pelo programa principal a cada execução. Nele os dados de entrada são

entrade de dados

operadores Sxy, TBE, TEB

variação da frequencia

CREF

iterações

A=SB+A0

Amn=FFT(A)

Amn=TBE*Amn

Bmn=CREF*Amn

Bmn=TEB*Bmn

B=IFFT(Bmn)

final das iterações?

final da variação da frequência?

E, J, Y, S11, S21

S

S

N

N

saída de dados

registrados na mesma seqüência da introdução dos dados. O usuário ainda pode

modificar diretamente os dados de entrada neste arquivo, bastando somente editar os

valores no bloco de notas, obedecendo a organização da estrutura do texto.

Figura 13 - Fluxograma do programa WCIPAG06.

Diferentes valores são calculados ao longo do programa e armazenados em arquivo

compatível com o programa MATLAB, boa parte dos valores são armazenados apenas

ao final das iterações. O operador Sxy e fonte A0 permitem respectivamente, a

visualização da estrutura de entrada e fonte de alimentação.

Os valores de A, E e J, armazenados em parte real e em parte imaginária. E ainda os

valores absolutos e o contorno de (E1+E2)/2 e (J1+J2), armazenados apenas ao final das

iterações, para o primeiro valor de frequência.

Referências

[1] MUNK, B. A.: Frequency Selective Surfaces – Theory and Design, John Wiley

and Sons, New York, 2000.

[2] MIAS, C.; TSAKONAS, C.; OSWALD, C.: An Investigation into the Feasibility

of Designing Frequency Selective Windows Employing Periodic Structures (Ref.

AY3922), Final Report, The Nottingham Trent University, Nottingham, U.K.

[3] CAMPOS, Antônio Luiz P. S.: Análise de Espalhamento em Superfícies Seletivas

em Frequência com Multicamadas Dielétricas Anisotrópicas, Tese de Doutorado,

UFCG, Campina Grande, Paraíba, Brasil, 2002.

[4] CAMPOS, Antônio Luiz P. S.: Estudo da flexibilidade de projeto de Superfícies

Seletivas de Frequência, II Congresso de Pesquisa e Inovação da Rede Norte Nordeste

de Educação Tecnológica, João Pessoa, Paraíba, Brasil, 2007.

[5] SILVA, Patric Lacouth: Modelagem de superfícies seletivas de frequência e

antenas de microfita utilizando redes neurais artificiais, Dissertação de Mestrado,

UFRN, Natal, Rio Grande do Norte, Brasil, 2006.

[6] GAO, Qiang; YAN, Dunbao; FU, Yunqi; YUAN, Naichang: Loaded-frequency

selective surface, Electr. Electron, China, p. 96–98, 2008.

[7] BOSSARD, J.; WERNER, D.; MAYER, T.; e DRUPP, R.: A novel design

methodology for reconfigurable frequency selective surfaces using genetic

algorithms. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, p. 1390–1400, 2005.

[8] AMJADI, S. M.; Soleimani, M., Narrow Band-Pass Waveguide Filter Using

Frequency Selective Surfaces Loaded with Surface Mount Capacitors, IEEE

Electromagnetics in Advanced Applications, p. 173-176, 2007.

[9] BEKHEIT, Maged; AMARI, Smain; MENZEL, Wolfgang: Modeling and

Optimization of Compact Microwave Bandpass Filters, IEEE Transactions on

Microwave Theory and Techniques, pp. 420-430, vol. 56, nº 2, February, 2008.

[10] ROMEU, Jordi; RAHMI-SAMII, Yahya: Fractal FSS - A Novel Dual-Band

Frequency Selective Surface, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, p.

1097-1105, vol. 48, nº 7, July, 2000.

[11] BEHDAD, Nader: Miniaturized-Element Frequency Selective Surfaces

(MEFSS) Using Sub-Wavelength Periodic Structures, IEEE Proceedings, p. 347-

350, 2008.

[12] MITTRA, R.; CHAN, C. H.; CWIK, T.: Techniques for analyzing Frequency

Selective Surfaces – a review, IEEE Proceedings, p. 1593 – 1615, 1988.

[13] CRUZ, Rossana M. S.: Análise do espalhamento espectral em superfícies de

estruturas complexas para comunicações móveis, Dissertação de Mestrado, UFRN,

Natal, Rio Grande do Norte, Brasil, 2005.

[14] Wu, T. K.: Frequency Selective Surface and Grid Array, John Wiley and Sons,

1995.

[15] FALLAHI, Arya; MISHIRIKEY, Matthew; HAFNER Christian; VAHLDIECK

Rudiger: Efficient Procedures for the Optimization of Frequency Selective

Surfaces, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, p. 1340-1349, vol. 56, nº

5, May, 2008.

[16] GINN, James; LAIL, Brian; SHELTON, David; THARP, Jeffrey; FOLKS,

William; BOREMAN, Glenn: Characterizing Infrared Frequency Selective Surfaces

on Dispersive Media, ACES Journal, vol. 22, nº 1, p. 184-188, March, 2007.

[17] RAHMAT-SAMII, Y.; TULINTSEFF, A. N.: Diffraction Analysis of Frequency

Selective Reflector Antennas, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, p.

476-487, vol. 41, nº 4, April, 1993.

[18] TERRACHER, Fridiric; BERGINS, Gtrard: Thin Electromagnetic Absorber

using Frequency Selective Surfaces, IEEE Proceedings, p.846-849, 2000.

[19] SCHOOL OF ENGINEERING AND DIGITAL ARTS: Frequency Selective

Surfaces – Broadband and Wireless Communications. Disponível em: <

http://www.eda.kent.ac.uk/research/theme_detail.aspx?gid=2&tid=21 > Acesso em: abril.

2010. OK

[20] XU, Rong Rong; ZHAO, Huai Cheng; ZONG, Zhi Yuan; WU, Wen: Loaded

Frequency Selective Surfaces Using Substrate Integrated Waveguide Technology,

IEEE Proceedings, 2008.

[21] SYNTONICS - Site de Produtos e Informações Tecnológicas: Multi-Band

Frequency Selective Surface (FSS) Antenna System - Packing more

communications capability into less footprint. Disponível em:

<http://www.syntonicscorp.com/products/documents/Syntonics_FSS-AntennaBriefing.pdf>.

Acesso em: abril. 2010. OK

[22] CAMPOS, Antônio Luiz. P. S; D’ASSUNÇÃO, Adaildo Gomes; GOMES NETO,

Alfrêdo: Scattering characteristics of FSS on two anisotropic layers for incident

co-polarized plane waves, Microwave and Optical Technology Letters, vol. 33, n° 1,

April, 2002.

[23] N’GONGO, R.S; BAUDRAND, H.: Application of wave concept iterative

procedure in planar circuit, Recent Res. Devel. Microwave Theory and Technique,

vol. 1, p.187-197, 1999.

[24] TITAOUINE, M.; GOMES NETO, A.; BAUDRAND, H.; DJAHLI, F.:

Determination of metallic ring FSS scattering characteristics using WCIP method.

Microwave and Optical Technology Letters, vol.50, p.1324 - 1328, 2008.

[25] MAXWELL – Site de disponibilização de coleção digital de produções

acadêmicas: Casamento de Modos. Disponível em: <

http://www.maxwell.lambda.ele.puc-rio.br/Busca_etds.php >. Acesso em: jun. 2009.

[26] RAMOS, Airton: Desenvolvimento do método do circuito equivalente para

análise numérica de processos elétricos em tecidos biológicos, Tese de Doutorado,

UFSC, Florianópolis, Santa Catarina, Brasil, 2003.

[27] SUZUKI, Daniela O.H.; RAMOS, Airton; MARQUES, Jefferson L.B.:

Desenvolvimento de Software de Simulação Gráfica Utilizando o Método do

Circuito Elétrico Equivalente para Análise da Distribuição de Campos Elétricos e

Cargas Iônicas em Tecidos Biológicos, Instituto de Engenharia Biomédica,

Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Santa Catarina,

Florianópolis, Santa Catarina, Brasil.

[28] KAUL, Gelson Leandro: Aplicação do método FDTD na análise de uma antena

de microfita operando em alta frequência, Monografia, FAG, Cascavel, Santa

Catarina, Brasil, 2005.

[29] AMARAL. H. M. C: O método dos elementos finitos. Disponível em: <

http://www.cct.uema.br/Cursos_OnLine/ACE/ACE_Apresentacoes/ACE-08-01-FEM.pdf >.

Acesso em: jul. 2009.

[30] PEREIRA, L. A.: Aspectos fundamentais do Método dos Elementos Finitos,

PUCRS, Brasil.

[31] CASIMIRO, Antônio; LOPES, Vitor; EMÍDIO, Fernando: Método dos

Momentos, FCT/ Ualg, ECT/ Ualg, Brasil.

[32] PINTO, Leandro Dariva: Identificação de sistemas contínuos utilizando o

Método dos Momentos de Poisson, Tese de Mestrado, UFRS, Porto Alegre, Rio

Grande do Sul, Brasil, 2003.

[33] PINHEIRO, José Carlos Alves: Campo eletromagnético de uma linha finita de

corrente elétrica e dos seus eletrodos de aterramento, Tese de Doutorado, UFBA,

Salvador, Bahia, Brasil, 1991.

[35] GOMES NETO, Alfrêdo: Relatório CAPES/COFECUB, Projeto 374/03, Processo

BEX1337/04, Brasília, Janeiro, 2006.