UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

MOODLE E GEOGEBRA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Rodrigo Rosalis da Silva Orientador: Prof. Paulo Antonio Silvani Caetano

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Rodrigo Rosalis da Silva

MOODLE E GEOGEBRA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado no curso de graduação em Matemática como exigência parcial para a obtenção do grau de Licenciatura em Matemática

Orientador: Prof. Paulo Antonio Silvani Caetano

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Ao Prof. Paulo Antonio Silvani Caetano, incentivador, guia e mestre sempre atento e aplicado na minha formação profissional e amigo sincero em todos os momentos. Ao Prof. Artur Darezzo e Profa. Margarete Tereza Zanon Baptist, pelo estímulo e importantes sugestões. A Faculdade pela ajuda na realização deste trabalho

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Termo de Aprovação

Este trabalho de conclusão de curso foi julgado adequado como parte

dos requisitos para obtenção do título acadêmico em Área de Graduação em

Licenciatura em Matemática Universidade Federal de São Carlos.

São Carlos 22 de novembro de 2008.

______________________________________________________

Prof. Dr. Paulo Antonio Silvani Caetano

Universidade Federal de São Carlos

______________________________________________________

Prof. Dr. Artur Darezzo

Universidade Federal de São Carlos

______________________________________________________

Profa. Dra. Margarete Tereza Zanon Baptist

Universidade Federal de São Carlos

Trabalho de Conclusão de Curso Parte A

Introdução ................................................................................. 4

A escola .................................................................................... 5

Os alunos ................................................................................... 6

A preparação das aulas .................................................................. 10

Desenvolvimento das atividades........................................................ 11

Conclusão .................................................................................. 51

Bibliografia ................................................................................ 53

Anexos ...................................................................................... 54

Trabalho de Conclusão de Curso Parte B

Introdução ................................................................................. 75

IX EPEM de Bauru 2008 ................................................................... 76

A Construção do Ambiente Virtual ..................................................... 77

Problemas Passo a Passo ................................................................ 82

Repercussão do projeto ................................................................. 90

Conclusão ................................................................................. 92

Bibliografia................................................................................. 94

Trabalho de Conclusão de Curso A Primeira parte do Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura Plena em Matemática pelo departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos.

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Resumo

Neste relatório, será exposto a experiência onde foi utilizado novas tecnologias

para o ensino da matemática através do , que proporcionou aos alunos

uma melhor visualização da matemática.

Neste software é possível relacionar a álgebra com a geometria, onde o aluno

entende de forma mais dinâmica os teoremas e as demonstrações, construindo e

visualizando, assim proporcionando um melhor entendimento, o fato de o aluno realizar

este processo ajuda-o a guardar para toda a vida.

No o aluno pode mover pontos, retas, construções geométricas e

funções, trabalhando suas diversas possibilidades e resultados analisando e tirando suas

conclusões.

Além da apresentação do software, também foi proposto atividades e desafios que

envolvem geometria e funções, exercícios da Olimpíada Brasileira de Matemática e de

suas próprias atividades escolares.

Palavra Chave: GeoGebra, tecnologia, ensino, matemática

Abstract

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Palavra chave: GeoGebra, technology, mathematics.

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Lista de Figuras Lista de Quadros

Figura 1 – imagem de um mosaico construído por um aluno no GeoGebra. (pg. 12)

Quadro 1 – lista de problemas a serem desenvolvidos no GeoGebra. (pg. 27).

Figura 2 – primeiro passo para a resolução do problema. (pg. 14) Quadro 2 – Segunda Lista distribuída aos alunos (pg.48)

Figura 3 – primeiro resultado dos alunos sobre o exercício. (pg. 15)

Figura 4 – construção da definição de um triângulo no plano. (pg. 16)

Figura 5 - O K no lugar correto. (pg. 17)

Figura 6 – A bissetriz e o ponto M. (pg. 18)

Figura 7 - O ângulo externo encontrado pelos alunos. (pg. 19)

Figura 8 – Explorando a propriedade do ângulo externo. (pg. 20)

Figura 9 – Esclarecimento do ângulo externo, pelos alunos. (pg. 21)

Figura 10 – A bissetriz do ângulo externo. (pg. 22)

Figura 11 – O ponto K em seu lugar correto. (pg. 24)

Figura 12 - A solução do problema. (pg. 25)

Figura 13 - Os pontos A e B representando as árvores na ilha (pg. 29)

Figura 14 – O ponto C marcado pela maioria dos alunos. (pg. 31).

Figura 15 - Os alunos interagindo com o Software GeoGebra. (pg. 32)

Figura 16 – Solução inesperada pelo professor, mas correta. (pg. 33)

Figura 17 – Solução diferenciada encontrada por outro aluno. (pg. 35)

Figura 18 – A solução do professor (pg. 37)

Figura 19 – Segunda parte da solução (pg. 38)

Figura 20 – Resultado do problema. (pg. 39)

Figura 21 – Movendo o ponto C para outra área qualquer do GeoGebra. (pg. 40)

Figura 22 – Triângulo retângulo inscrito na circunferência. (pg. 41)

Figura 23 – Solução da atividade 3 da lista do Quadro 1. (pg. 42)

Figura 24 – Desenho feito pelos alunos. (pg. 43)

Figura 25 – Os alunos interagindo com o GeoGebra – Experiência de aplicação (pg. 45)

Figura 26 – Tentativa dos Alunos (pg. 46)

Figura 27 – um tetraedro regular. (pg. 47)

Figura 28 - Analisando uma função (pg. 50)

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Sumário.

Introdução ............................................................................................................................ 4

A escola ................................................................................................................................. 5

Os alunos............................................................................................................................... 6

A preparação das aulas ........................................................................................................ 10

Desenvolvimento das atividades......................................................................................... 11

Conclusão.............................................................................................................................. 51

Bibliografia ........................................................................................................................... 53

Anexos................................................................................................................................... 54

ì

Introdução.

Esta experiência de apresentação do Software é um estudo da reação e

comportamento dos alunos ao terem um contato com o programa. O foco é apresentar o

programa matemático aos alunos, suas ferramentas, como manuseá-lo em seus aspectos

básicos, capacitando os alunos para explorarem o futuramente para resolução

dos problemas matemáticos com que se depararem.

Através de curso elaborado por mim com duração de doze horas, contendo duas

horas relacionadas com a apresentação e conhecimento das ferramentas. Às quatro horas

seguintes dedicadas a desafios envolvendo geometria e trigonometria, mais quatro horas

voltadas a funções de primeiro, segundo grau, envolvendo matemática aplicada e

problemas investigativos. As ultimas duas horas, demonstrativo de outras funções do

GeoGebra, alguns aplicativos avançados, curiosidades, linhas de estudo e análise do

aprendizado dos alunos e seu envolvimento com o curso.

Neste relatório serão expostos os detalhes de algumas destas aulas, o

comportamento dos alunos, as dificuldades, questões e desempenho.

Como a matemática é vista pelos alunos, as mudanças que a informática pode

causar em benefício do ensino também é explorada nesta experiência.

A experiência busca mostrar além da aplicação do para a resolução de

problemas matemáticos escolares, fazer uma ponte destes problemas com as vivências do

dia a dia e também a matemática aplicada em diferentes profissões, nas quais o GeoGebra

pode ser utilizado como uma excelente ferramenta de apoio aos diversos profissionais de

diferentes áreas.

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A escola.

Este curso foi ministrado por mim em uma escola técnica pública na primeira

série do ensino médio. Os alunos freqüentam esta escola após prestar uma espécie de

“ ”, uma prova seletiva aplicada a todos os alunos concluintes do ensino

fundamental, que desejam freqüentar esta escola. Este recurso é adotado por causa da

alta procura por vagas na escola, que possui um excelente nível de ensino diante das

demais escolas do estado.

Este alto nível acontece justamente por conta desta seleção, onde apenas a “ ”

das escolas de ensino fundamental, teoricamente, ingressa no ensino médio desta escola.

Como o aluno vem de várias instituições de ensino em sua maioria pública, e

algumas em melhor situação que outras, existem um desnível na sala de aula, em especial

nas turmas dos primeiros anos do ensino médio.

O ambiente escolar é agradável, uma boa estrutura, organizada e sem sinais de

vandalismo como na maioria das escolas públicas. Em geral os alunos também

demonstram um interesse maior pelas atividades, são participativos e questionam

bastante em sala.

A escola possui laboratórios de informática, pois no período diurno funciona o

ensino médio e no período noturno há os cursos técnicos. Portanto estes laboratórios

estão em constante uso e bem atualizados.

A situação propícia favorece o curso proposto, esta experiência também

deve ser levada e diagnosticada em escolas públicas com uma estrutura menos favorável,

como o caso das escolas de periferia, assim analisando os fatos ocorridos e melhorando

sua aplicação.

Neste caso entramos na discussão da implantação dos laboratórios de informática

nas escolas, o número de computadores em relação ao número de alunos e a liberdade

que os professores possuem para utilizá-lo.

Este curso oferecido nesta escola, também foi oferecido em outras instituições de

ensino público, mas estas escolas barraram o uso dos computadores sem supervisão

adequada, pois ficariam nas mãos de um estudante universitário que teria a tarefa de

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aplicar o curso e supervisionar os alunos e a preservação dos computadores, outras

escolas não permitiam o curso em horário de aula dos alunos ou em período oposto

apenas em final de semana.

Com todas estas barreiras, fica complicado o avanço do uso da tecnologia no

ensino. Encontrada a escola técnica a qual é personagem deste relatório, os alunos de

ensino médio terão atividades no compatíveis com o conteúdo da oitava série

do ensino fundamental, tema do Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura em

Matemática de Rodrigo Rosalis, autor deste relato.

Este aluno irá se deparar com suas dificuldades em diversos problemas de

conteúdos de oitava série.

Os alunos.

Os alunos envolvidos com este projeto freqüentam o primeiro ano do ensino

médio. Foi selecionado uma das turmas da escola para esta experiência.

De acordo com os professores de matemática desta escola, os alunos possuem

muita dificuldade com a matéria, obrigando a escola a passar parte do primeiro ano do

ensino médio revisando conceitos e conteúdos que deveriam já estar sanados através da

passagem pelo ensino fundamental.

Estas situações também mostram os desníveis em sala de aula, onde alguns alunos

apenas esqueceram certos conceitos e outros praticamente não viram ou não

aprenderam.

Em acordo com a teoria cognitiva de Piaget, é possível ver em cada aluno, falha em

sua última fase de desenvolvimento, pois esta não é de certa forma estimulada pelo

ensino de matemática ao longo da vida escolar do aluno.

A falta de interesse pela matemática que se cria no início da vida escolar destes

alunos e os acompanha, em nenhum momento é quebrada e se mostra forte também

neste curso em certos aspectos.

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Na primeira aula foi apresentado o e suas ferramentas,

portanto uma aula ainda um pouco distante da matemática, também exposto um

problema sobre triângulo, este foi apenas explorado deixando sua solução para a aula

seguinte.

Na segunda aula baseado em trabalhos e experimentos de professores de

psicologia como o experimento apresentado na palestra do professor João do Carmo do

Departamento de Psicologia da Universidade Federal de São Carlos.

Foi dado aos alunos uma folha em branco, no centro desta folha os alunos

deveriam escrever o que seria posto na lousa, seria apenas uma palavra, e imediatamente,

em volta desta palavra, deveriam escrever tudo o que viria em suas mentes. Em anexo a

este relatório estão as folhas de cada aluno.

Abaixo uma tabela com algumas expressões que apareceram entre os alunos.

Horror Odeio Raiva Não gosto Chato

Coisa de louco Difícil Estudar Maluca Desespero

Medo! Angústia Complicação Nota ruim Estudo

Louco Raciocínio Complicado Vida Dificuldade

Universo Está em tudo Entediante Lógica Exige muita

atenção

Desafiadora Complexa Interessante Inteligente Força de vontade

Regras Adição Subtração Divisão Multiplicação

Prova amanhã Exatas Administrar

empresas

Fórmulas Desenvolvimento

tecnológico

Chatice Números Bagunça Óculos Letras

Soma Intervalos Pitágoras Trigonometria Não entendo

Função D.P. Fração Resultado cálculos

è

Podemos notar por este quadro, uma visão que os alunos têm da matemática, que

em sua maior parte se resume em dificuldade de aprendizado desta língua tão mal

compreendida, onde em muitos casos a metodologia utilizada pelos professores para

ensinar a matemática deixa a desejar.

A edição de fevereiro do ano de dois mil e sete da revista Escola da editora abril

trata apenas sobre a matemática, em uma entrevista da pesquisadora argentina Patricia

Sadovsky responde:

Continuando a entrevista, questionada sobre o saber dos professores nos dias

atuais a pesquisadora ressalta:

A metodologia arcaica encontrada na escola reflete a falta de preparo e formação

dos professores para o uso das novas tecnologias como os computadores e programas

computacionais que auxiliam no ensino da matemática, estes conhecimentos requerem

uma sólida bagagem conceitual que proporciona segurança na utilização destes novos

caminhos.

O professor não possui incentivo para se atualizar e procurar se incluir nesses

novos caminhos, possuindo uma jornada de trabalho longa, dificulta sua atualização.

Sendo assim, manter o método tecnicista, onde o professor é quem possui o

conhecimento e o aluno mero receptor é imposto como forma de manter o controle por

parte de muitos professores.

O raciocínio valorizado, as novas metodologias exploradas e tecnologias como o

que estimula o raciocínio e diferentes visões, são ausências que prejudicam a

evolução da matemática.

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Dar ao aluno a chance de explorar um problema, descobrir a beleza da matemática

e assim “desempacotar” sua complexidade, revelando-se de forma simples é um caminho

que o ajuda a traçar.

Como diz Fiorentini, é necessário saber desempacotar a matemática para gerar

uma discussão sadia, e compartilhar conhecimentos entre professor e aluno.

Dario ressalta os olhares para os resultados atingidos pelo aluno, o aluno quando é

ouvido e entendido, sente que possui espaço na discussão matemática, sente que seu

raciocínio foi valorizado tornando a matemática mais agradável a seus olhos.

Como reverter esta visão e este conceito dos alunos é um dos propósitos de

implantar as novas tecnologias a favor da educação e do ensino de matemática. Mostrar

aos alunos que a matemática pode ser visualizada de forma diferente e melhor

compreendida.

Este quadro não mostra apenas o rancor e desgosto dos alunos pela matemática,

mas mostra também que a definição de matemática que possui é apenas um mundo de

número, fórmulas e cálculos sem propósito, pois esta vem sendo a definição de

matemática criada desde os primeiros anos de ensino.

A matemática cada vez mais é dominada por poucos alunos, e estes tem o status

de melhores da classe por se darem bem na matemática, esta atitude de classificação

também é um fator que desmotiva os demais alunos, afastando-os ainda mais da matéria.

O laboratório de Informática da escola possui ao todo quinze computadores,

portanto, seria feito uma seleção entre os alunos da classe escolhida para este projeto

experimental.

Ao chegar à sala, comunicamos o curso, explicando o que seria passado e

ensinado através do computador e o . Os alunos ficaram empolgados,

vinte e cinco alunos demonstraram interesse em participar do curso, o restante em sua

maioria não podia por freqüentar outros cursos no período da tarde.

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Destes vinte e cinco alunos, foram sorteados os que não participariam no curso, e

assim feito uma lista com os interessados e os que iriam participar.

O curso foi marcado para se iniciar na semana seguinte com duas horas de

duração cada aula, sendo uma aula por semana, em um total de seis aulas.

Na primeira aula todos os alunos compareceram curiosos para ver o que seria este

curso. A matemática sempre será matemática, não podemos mudar isto, ao utilizar o

software matemático, não falaríamos de fadas e duendes, mas sim sobre teorias

matemáticas, de modo investigativo, análises e atividades dinâmicas, mas seria

matemática.

A preparação das aulas.

O mais complicado é a preparação das atividades, como atrair a atenção do aluno

para a trigonometria, funções, circunferências. De certo modo seria a mesma teoria o

qual presenciou na sala de aula, o qual provocou o seu ódio pela matemática.

Mesmo com um em mãos podemos transformar a informática no vilão

da história caso não sejamos cuidadosos com a preparação das atividades e sua

aplicação. Os alunos podem ter o programa de computador a sua frente, mas continuar

vendo o monstro da matemática difamado de geração em geração. Os problemas seriam

os mesmo, apenas teriam evoluído com a tecnologia.

Com isto as atividades deveriam incentivar o raciocínio do aluno, onde pudesse

utilizar o software como ferramenta para construir estes desafios mediados pelo

professor.

Problemas das Olimpíadas Brasileiras de Matemática, outros desafios e enigmas

matemáticos além de exercícios dos próprios livros didáticos destes alunos foram

utilizados para formular o conteúdo das aulas.

O aluno deveria ler o problema e transportar para o as informações

contidas, descobrir as informações ocultas. A teoria seria citada pelo professor no

decorrer do processo, para que o aluno lembre do assunto e tente aplicá-lo ao problema.

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Exemplo um problema que envolva ângulos retos e diâmetro de circunferências, o

professor diria aos alunos para pensarem sobre as relações entre o triângulo retângulo e

a circunferência, para assim raciocinando e discutindo em grupo, chegarem à solução do

problema.

Embora o possua ferramentas avançadas, no curso apenas o suficiente

ao nosso propósito seria passado aos alunos, deixando sempre claro os extremos que o

programa pode alcançar em suas diversas linhas.

Desenvolvimento das atividades.

Na primeira aula, foi apresentado o , um pouco de sua história, e suas

funções. Foram apresentadas as ferramentas, proporcionando um primeiro contato dos

alunos com o programa, o que faz cada botão e cada opção no menu do .

Foi passado como construir polígonos no GeoGebra, como medir seus ângulo, e

mudar suas configurações.

Após esta etapa, foram apresentados alguns mosaicos aos alunos que utiliza

polígonos. Abaixo um mosaico construído por uma aluna, que descreve a facilidade que

estes alunos tiveram em dominar algumas ferramentas do GeoGebra.

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Figura 1 – imagem de um mosaico construído por um aluno no GeoGebra.

Este mosaico da Figura 1 foi construído pelo aluno utilizando de hexágonos, o

resultado demonstrou um bom domínio inicial do , as ferramentas de

construção de polígonos, e configurações da propriedades dos objetos, como exibição de

rótulos e objetos e modificação das cores.

Este resultado alcançado na primeira aula do curso foi considerado muito

satisfatório, em vista que todos conseguiram bons resultados como o apresentado na

Figura 1. Faltando meia hora para o término da primeira aula, foi exposto um problema

envolvendo triângulo, este problema foi explicado, e os alunos permaneceram durante

estes minutos finais tentando resolve-lo no GeoGebra.

O problema era o seguinte:

Este problema encerrou a aula, e seria tema do início da próxima aula sobre o

GeoGebra.

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O problema acima é de segunda fase de Olimpíada de Matemática para oitavas

séries. Este também, na mesma semana, foi aplicado a alunos do ultimo ano de

graduação em Licenciatura Matemática.

Na aula seguinte do curso , voltamos a expor o problema do triângulo

citado acima neste texto. Para desenvolvê-lo era necessário desenvolve-lo no software.

Foram destacados entre os alunos do curso, graves problemas de interpretação do

problema e também, problemas com as definições matemáticas.

Por exemplo, os alunos tiveram dificuldade para encontrar o que seria o

prolongamento do lado AB, quando o problema se referia ao ângulo ABC, não sabiam

que o ângulo era o interno correspondente ao vértice B, isto é um padrão matemático.

Também havia dificuldade em lembrar o que seria a bissetriz de um ângulo e não

sabiam de maneira alguma o que seria o ângulo externo de um ângulo no triângulo,

muito menos o que seria a bissetriz externa de um ângulo.

Estes problemas praticamente inviabilizam a resolução do exercício. Então entra o

papel do professor em guiar o raciocínio dos alunos, primeiramente todos desenharam

um triângulo qualquer no o qual um dos ângulos media cento e vinte graus.

Esta medida os alunos ajustaram manualmente movendo os pontos, verificando através

da ferramenta do que exibe o valor do ângulo. O primeiro passo sem

problemas foi alcançado como a figura abaixo.

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Figura 2 – primeiro passo para a resolução do problema.

Após a construção de um triangulo qualquer com um ângulo de 120 graus os

alunos encontraram dificuldade em encontrar o ponto K, onde seria o prolongamento do

lado AB, resultando na Figura 3 que esta abaixo.

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Figura 3 – Primeiro resultado dos alunos sobre o exercício.

Note que o ponto K foi posto sobre o lado AB, o aluno possuía dificuldade em

enxergar extensões na figura além da existente.

Com o auxilio do professor, perguntado aos alunos qual seria a definição de

triângulo. A maioria respondeu que é um polígono de três lados.

Conversando com os alunos construímos juntos a definição de um triângulo

utilizando o , através da ferramenta “reta definida por dois pontos” do

, os alunos construíram com o auxilio do professor, as retas que passam pelos

lados AB, BC e AC do triângulo.

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Figura 4 - Construção da definição de um triângulo no plano

Após esta construção os alunos puderam ver que existem retas que passam pelos

lados do triângulo, e três retas que se interseccionam duas a duas, em três pontos A, B e

C, o espaço no interior destas intersecções forma o polígono que é denominado triângulo,

por possuir três ângulos.

Com isto os alunos enxergaram o prolongamento dos lados do triângulo e deduziu

por si só que o ponto K não esta sobre o lado AB.

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Figura 5 – O K no lugar correto.

Depois de solucionado o problema com o prolongamento e onde está o ponto K,

foi solucionado a questão sobre a definição, o professor interviu, para explicar aos alunos

que quando um problema diz ângulo ABC, esta se referindo ao ângulo interno formado

pelas retas do vértice B do triângulo.

Também o conceito de bissetriz de um ângulo estava esquecido por alguns alunos

que somente lembraram discutindo a definição desta com os companheiros de turma.

Esta interação na sala de aula foi muito positiva, os alunos levantavam e olhando

para o computador no triângulo do os alunos que lembravam o conceito de

bissetriz explicavam aos amigos que estavam com dificuldade.

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Após um tempo, com todos chegando em suas conclusões, o professor confirma a

frente da sala de aula, que realmente bissetriz de um ângulo, é a reta que o divide em

duas partes iguais, ou seja, em dois ângulos iguais.

Com este consentimento entre os alunos, através de uma ferramenta do ,

foi traçado a bissetriz do ângulo ABC conforme pedido no exercício, encontrando o ponto

M no lado AC do triângulo.

Figura 6 – A bissetriz e o ponto M

Após esta etapa ocorreu a maior dificuldade dos alunos, o que seria o ângulo

externo de um ângulo. Embora compreendido que este ângulo se refere ao vértice C do

triângulo, o ângulo externo encontrado por todos os alunos é o ilustrado no resultado da

Figura 7.

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Figura 7 – O ângulo externo encontrado pelos alunos.

Podemos verificar o problema com a definição de ângulo externo de um ângulo,

onde é adotada toda a volta externa ao ângulo C.

Existe então um problema com as propriedades do ângulo externo de um

triângulo, onde todo o ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos

outros dois ângulos internos não adjacentes a este ângulo.

O problema da construção da definição de triângulo e este problema de ângulo

externo de um triângulo também aconteceram nos formandos do curso de Licenciatura

em Matemática, onde esta mesma atividade foi aplicada.

Através deste problema pela primeira vez a aula teve que ser parada para a

explicação detalhada do professor sobre esta propriedade e os alunos puderam verificar

no próprio computador o fato de ser verdade.

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Figura 8 – Explorando a propriedade do ângulo externo

Na Figura 8, os alunos fixaram um ponto qualquer no prolongamento do lado AC

e encontraram o ângulo externo DCB, também foi encontrado o ângulo interno CAB. Com

isto os alunos visualizaram a propriedade do ângulo externo, onde será igual à soma dos

ângulos internos não adjacentes a este ângulo.

Também conseguiram visualizar através de um ponto qualquer sobre o

prolongamento do lado BC, que o ângulo ACE é igual ao ângulo DCB, por Tales, podemos

conferir no que é verdade.

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Figura 9 – Esclarecimento do ângulo externo, pelos alunos.

Com isto pudemos notar o quanto foi satisfatórias aos alunos estas informações,

muitas vezes esquecidas e outros alunos demonstravam grande satisfação, pois não

haviam aprendido tal propriedade de forma clara e eficaz antes, trazendo um grande

incentivo ao professor que visa aplicar as novas tecnologias ao ensino.

Sobre os estudos da , onde podemos realmente concluir que

materiais concretos, visuais, que podem ser manipulados pelos alunos trazem um

resultado mais significativo a sua aprendizagem. Segundo D. Ausubel em sua Teoria da

Inclusão, onde se preocupa com a aprendizagem dentro da sala de aula.

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Ausubel (1978,p.41)

Utilizando a investigação, questionamentos do professor sobre o conteúdo

lecionado, o aluno deve ser guiado a suas conclusões, materiais concretos e visuais

podem complementar informações que o aluno já possuía, tapando assim as lacunas que

se formaram e permaneceram em seu aprendizado.

Trabalhando esta relação da tecnologia com o saber adquirido, é possível

solucionar as deficiências passadas, e formar os novos conhecimentos.

Continuando a solução do problema no laboratório de Informática, os alunos

conseguiram então facilmente traçar a bissetriz do ângulo externo, utilizando das

ferramentas do .

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Figura 10 – A bissetriz do ângulo externo.

Os alunos continuaram lendo o problema, que dizia MK, um segmento, corta BC

em um ponto P. Ao observar a construção no software, notaram que o ponto K estava

sobre o prolongamento de BA e não sobre o prolongamento de AB, pois o segmento MK

não cortaria o lado BC do triângulo. Com a ajuda do professor, foi constatado que ao

traçar a bissetriz externa, a reta cortou o prolongamento de AB em um ponto. Conforme

o problema CK é a bissetriz externa, portanto o ponto K é exatamente esta intersecção.

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Figura 11- O ponto K em seu lugar correto.

Conforme a Figura 11, com a constatação da posição do ponto K, os alunos

puderam verificar que MK, é um segmento que corta BC em um ponto P, traçando uma

reta que passa por M e K e marcando o ponto P. Nos alunos formandos do curso de

Licenciatura Matemática, após a solução do problema na definição de ângulo externo,

conseguiram desenvolver o restante do problema facilmente.

Os alunos do primeiro ano do ensino médio, após mais de quarenta minutos de

discussão sobre o problema, chegaram ao seu final, onde o que se pedia é mostrar que o

ângulo APM é igual a 30º.

Traçando um polígono em APM, para uma melhor visualização os alunos

encontraram o seu ângulo e realmente constataram ser 30º.

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Mas nas atividades dos alunos, este ângulo deu sempre aproximadamente 30° e

não o valor exato. Isto gerou duvida entre os alunos, então coube a intervenção do

professor em solucionar esta dúvida.

Figura 12 – a solução do problema

Note na Figura 12 que o problema foi solucionado, mas o ângulo não deu

exatamente 30º em nenhuma das soluções. Coube ao professor explicar, que o é

um software que trabalha com uma grande precisão em seus cálculos e construções como

a maioria dos softwares, portanto é natura que o resultado não seja exatamente 30° como

em uma solução na lousa com giz.

O resultado seria exato se cada ponto de intersecção construído estivesse

exatamente nesta intersecção, mas se ampliado estes pontos, poderemos notar que não

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estão exatamente nas intersecções, e o então leva todas estas minúsculas

diferenças em consideração nos cálculos.

A explicação cuidadosa e paciente do professor para os alunos atentos, foi bem

aceita, pois foi explicado que esta precisão é para o bem da resolução dos problemas,

onde muitos na matemática aplicada exigem a maior precisão possível. Um que

não seja preciso, não é de confiança principalmente para os ramos de pesquisa.

Mas todos os alunos concordaram que resolver este problema de Olimpíada de

matemática no computador foi muito mais válido e interessante, do que no papel ou em

uma aula tradicional.

O uso do foi válido e eficaz, mas agora entra uma parte importante, o

conhecimento não pode ficar disperso, a atividade não pode se encerrar sem que seus

conceitos e os porquês envolvidos sejam esclarecidos e formalizados matematicamente.

Esta claro que o problema quis exigir do aluno, vários conhecimentos, como

prolongamento de lados do triângulo, propriedade do ângulo externo, Tales, bissetriz.

Neste ponto como encerramento da atividade o professor deve abordar estes

conceitos com o aluno, ilustrando matematicamente os pontos da solução.

Estas atividades descritas até agora foram abordadas nas quatro primeiras horas

de curso em um total de doze horas. Lembrando que este curso é experimental, para

levantar análises e assim servir como base para a formulação de novas experiências no

uso do e linhas de pesquisa na implantação deste programa matemático de

computador na educação brasileira.

Esperamos que a leitura deste documento, que relata esta experiência e o

ambiente virtual construído para o Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura

Matemática de título “ ” o qual esta aberto a

visitações no ambiente do Departamento de Matemática da UFSCar, trabalho do

autor deste material possa ser de grande valia para evoluções futuras no tema.

Seguindo o curso com os alunos do primeiro ano do ensino médio, na aula

seguinte foi distribuída uma lista com problemas investigativos que esta no Quadro 1

abaixo.

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Quadro 1 – lista de problemas a serem desenvolvidos no GeoGebra.

1-) A medida do ângulo de um triângulo é 120°. Sejam um ponto sobre o lado AC e um ponto sobre o prolongamento do lado , tais que é a bissetriz interna do ângulo Ð e é a bissetriz externa correspondente ao ângulo Ð . O segmento intersecta no ponto . Prove que Ð = 30°.

2) Recentemente foi descoberto um manuscrito do famoso pirata Barba Negra descrevendo a localização de um rico tesouro enterrado numa certa ilha do Caribe.

O manuscrito dá as seguintes instruções.

·

·

·

Quando você chegou na ilha para procurar o Tesouro avistou as duas arvores, as coordenadas das palmeiras, ou seja os pontos A e B você verificou que são A=(1,4) e B=(9,7). Mas a pequena palmeira (ponto C) da ilha sumiu após uma tempestade, mas ainda é possível encontrar o tesouro. Em que ponto ele esta?

3-) Um polígono com 20 lados é chamado . Unindo-se três dos vértices de um icoságono regular obtemos triângulos. Quantos são triângulos retângulos?

4-) Caminhando ao redor do Equador Suponha que você faça uma viagem ao redor do mundo, caminhando a pé, ao longo da linha do Equador.

Ý«®­± ¿°®»­»²¬¿²¼± ± ͱº¬©¿®» Ù»±Ù»¾®¿ Š °®±¾´»³¿­ ³¿¬»³?¬·½±­ Ì»½²±´±¹·¿ ¿«¨·´·¿²¼± ²¿ ½±³°®»»²­=± ¼» °®±¾´»³¿­ò ©©©ò¼³ò«º­½¿®ò¾® λ­°±²­?ª»´æ α¼®·¹± α­¿´·­ ¼¿ Í·´ª¿ ¼·¹±Á®±­¿´·­à§¿¸±±ò½±³ò¾®

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Considerando que sua altura seja igual a 1,7 metros, quantos metros a sua cabeça viaja a mais que seus pés? Este resultado seria diferente se você caminhasse sobre o Equador da Lua?

5-) .Como construir quatro triângulos eqüiláteros iguais com apenas seis segmentos iguais (utilize palitos de fósforo para ajudar depois reproduza a solução no GeoGebra, sem quebrar ou deixar de usar nenhum palito?

No Quadro 1, esta a lista de problemas que seria resolvida com o auxilio do

, note que o primeiro problema já foi solucionado na aula anterior. A maior

dificuldade encontrada pelo professor, é como instigar os alunos a refletirem sobre um

dado problema, neste caso esta lista esta prevista para sua resolução em quatro horas de

curso, ou seja, duas aulas.

Os alunos não têm paciência, e querem de todas as formas terminar a lista o mais

rápido possível, quer as soluções que são curiosas e intrigantes sem pensar nos

problemas. O professor deve se manter firme e atuar apenas como mediador da

construção do conhecimento, instigar debates sobre o problema, questionamentos e

utilização do programa para encontrar a solução, depois discutir o porquê de tal solução.

No primeiro problemas este objetivo foi plenamente atingido. Vamos analisar

agora as dificuldades encontradas nos demais problemas, os questionamentos e as

soluções. Se reparar a lista, o problema número cinco foi colocado de propósito para uma

reflexão diferente pelos alunos, será analisada mais adiante.

O segundo problema da lista do Quadro1 agradou muito os alunos, primeiramente

pela forma a qual foi escrito, encontrar um tesouro de pirata. Ao ler o problema muitos

expressaram estranheza demonstrando que nunca houvera contato com tal forma de se

problematizar a matemática.

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O problema trouxe as coordenadas exatas dos pontos A e B, propositalmente este

fato foi acrescentado pelo professor para que todos os alunos encontrassem o tesouro

exatamente no mesmo ponto, não importando da forma da qual partisse a solução.

Esta primeira etapa em fixar os pontos A e B no plano do foi facilmente

feita pelos alunos.

Figura 13 – os pontos A e B representando as árvores na ilha.

Após esta etapa, os alunos não conseguiram mais avançar no problema por causa

da falta do ponto C, que no caso era a palmeira que foi arrancada com a tempestade. É

íð

importante que o professor não ceda aos apelos dos alunos que questionam onde se

encontra o ponto.

O professor deve observar as discussões dos grupos e verificar as evoluções e

idéias de cada um, sempre rebatendo as questões com outras questões.

É comum um aluno fazer algo as pressas sem pensar um minuto sequer apenas

para chamar o professor questioná-lo sobre sua solução errônea e assim tentar conseguir

o caminho correto sem esforço. O professor deve estar atento a todas estas estratégias

dos alunos, pois apenas dar a ele o caminho sem que este tenha refletido sobre a solução

é prejudicar o aprendizado.

Após cerca de cinco minutos de tentativas em vão dos alunos em adquirir a

resposta correta, eles viram que o professor não cederia e então debruçaram sobre o

problema e começaram finalmente a discutir possíveis soluções.

Dez minutos depois o professor já via vários alunos no caminho correto para

iniciar a solução do problema. Também é importante a exploração do problema pelos

alunos não se estender muito, pois torna o exercício cansativo e os alunos podem desistir

de alcançar a solução.

O professor fez a intervenção utilizando de palavras dos próprios alunos: “Pessoal,

porque cada um não fixa um ponto C no local que quiser no GeoGebra para tentar iniciar

esta solução?”. Vendo a expressão do professor os alunos viram que este seria realmente

o caminho correto, e então voltaram suas reflexões para esta hipótese.

A maioria fixou o ponto C em algum lugar entre os pontos A e B.

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Figura 14 – o ponto C marcado pela maioria dos alunos.

íî

Figura 15 – Os alunos interagindo com o Software GeoGebra

Após encontrar o ponto C, os alunos começaram a tentar solucionar o restante do

problema, os passos do pirata para encontrar o tesouro.

Mesmo assim, as tentativas e erros estavam muito distante do esperado, para

novamente entrar no caminho desejado pelo professor, veio a intervenção na solução,

onde o professor diz: “Pessoal, quando caminhamos a mesma distância, podemos pensar

em raio de uma circunferência, onde o centro pode ser uma das árvores.”

Com esta frase todos suspiraram aliviados e começaram a pensar na possibilidade.

Foi quando surgiu a primeira solução, inesperada pelo professor, conforme a Figura 16.

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Figura 16 – Solução inesperada pelo professor, mas correta.

O local do tesouro é o ponto F=(6,5 , 1,5) veja que a solução do aluno esta correta,

o ponto F deu as coordenadas F=(6,52 , 1,52), pois pela construção do aluno fica difícil

precisar os pontos, e como dito anteriormente, o GeoGebra trabalha com uma boa

precisão em suas construções.

O aluno foi parabenizado por sua solução, e elogiado, isto é bom, pois refletiu de

forma positiva ao aluno. O professor disse: “Puxa, esta solução eu não esperava, esta

correta, muito boa, diga como você pensou.”

O aluno satisfeito, iniciou o processo de seu raciocínio para o professor, que

embora já tinha enxergado como o aluno fizera, ouviu atentamente o aluno orgulhoso

com seu resultado e o professor demonstrando satisfação por isto.

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Note que a construção do aluno já mostra que ele dominou as ferramentas básicas

do pois sozinho fez todas estas construções, isto mostra que o é uma

excelente ferramenta para o ensino de matemática, pois sua linguagem simples e fácil

manipulação faz com que os alunos rapidamente dominem o .

Ao ouvir as informações do professor, de que poderia utilizar de circunferência,

raio, e que este raio seria a distância, o aluno traçou a circunferência de centro em A e

com raio AB. Traçou então uma reta passando por A e B, depois uma perpendicular a esta

reta passando por A, cortando a circunferência em um ponto, este ponto foi chamado de

C, já que o C poderia estar em qualquer lugar.

Sendo assim o aluno lendo a segunda parte do problema, caminhou de C para B, e

virando a direita caminhou a mesma distância, através de uma perpendicular a CB

passando por B. Esta perpendicular corta a circunferência no ponto D, o aluno formou

um triângulo isósceles confirmando que o triângulo ABD é igual ao triângulo ABC,

portanto BC = BD.

Um dos pontos marcados coincidiu com o ponto B, assim, o tesouro esta entre B e

D, traçando a mediatriz deste segmento, o aluno encontrou o ponto F, este é o ponto do

tesouro.

A solução inesperada, foi muito boa, o que vale também como experiência ao

professor nas próximas vezes em que aplicar esta atividade.

Outro aluno também chegou a solução minutos mais tarde, também através do

método descrito acima.

Em outro momento outra solução surgiu, mais uma solução diferente inesperada

pelo professor, isto que torna estas atividades tão intrigantes e maravilhosas, o alunos

explorar o e suas ferramentas, o raciocínio livre levando a conclusões corretas e

variadas.

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Figura 17 – Solução diferenciada encontrada por outro aluno.

Na solução da Figura 17, o aluno utilizou da ferramenta do que calcula

as distâncias dos segmentos, com isto, tendo o ponto A e B ele colocou o ponto C em um

local qualquer, traçou o segmento CA, calculou esta distância, traço a perpendicular a CA

passando por A, marcou um ponto D nesta perpendicular de forma que AD fosse igual a

CA, ajustou isto movendo o ponto D pela perpendicular até a distância ser a mesma.

Na segunda parte do problema, prosseguiu de mesma forma, traçou CB, calculou a

distância deste segmento depois traçou a perpendicular a CB passando por B, colocou um

ponto E nesta perpendicular, traçando o segmento EB, arrastou o ponto E pela

perpendicular até esta distancia ser igual a CB. Por fim traçou ED, encontrou a mediatriz

deste segmento e encontrou o ponto F referente ao local do tesouro. Note que também o

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ponto do tesouro não deu exato se analisado as coordenadas de F, pois as distâncias não

foram todas ajustadas de forma exata.

Esta solução também esta correta, o raciocínio do aluno explorando a ferramenta

que tem em mão foi muito bom, e parabenizado pelo professor.

Vendo estas diferentes soluções o professor pede para que estes alunos que

encontraram estas soluções compartilhem com os demais companheiros seu raciocínio.

Estes alunos levantam demonstrando grande contentamento e circulam pela sala,

juntamente com o professor para compartilhar com os amigos os resultados e todos

buscam entender as soluções.

Depois de todas estas discussões já havia se passado mais de quarenta minutos de

aula, quando o professor tomou a frente da aula e resolveu discutir outra solução

possível com a sala de aula.

íé

Figura 18 – A solução do professor.

Após escolher um ponto C qualquer, conforme a Figura 18 é traçado a

circunferência de centro em A e raio AC. Traça-se então a perpendicular ao segmento CA

passando por A. Esta perpendicular corta a circunferência no ponto D, e AC=AD.

Depois conforme a Figura 19 é traçado a circunferência de centro em B e raio BC,

da mesma forma como anteriormente, traça-se a perpendicular a BC passando por B, esta

irá cortar a circunferência em um ponto E, tal que BC=BE.

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Figura 19 – Segunda parte da solução.

Após este passo, na Figura 20, mostra a solução, onde o tesouro esta entre os

pontos E e D, traçando este segmento ED e encontrando a mediatriz deste segmento

temos o ponto F, este que é o ponto médio de EE, ou seja é onde se encontra o tesouro.

Veja que a coordenada com esta construção deu exatamente F=(6,5 , 1,5), que seria o

resultado correto.

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Figura 20 – resultado do problema.

E para surpreender os alunos após esta construção, o professor pede para que

movam o ponto C para onde quiserem em toda a área de trabalho do , e

notaram que o ponto do tesouro continuava sendo o mesmo. Todos ficaram surpresos.

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Figura 21 – Movendo o ponto C para outra área qualquer do GeoGebra

Por que isto acontece? Esta pergunta não pode ficar no ar. Neste momento o

professor deve fechar a aula explicando as propriedades matemáticas envolvidas no

problema, notamos que o interesse dos alunos é bem maior após a construção e análise

da forma que foi feito.

Devem ser abordadas as propriedades da circunferência, trigonometria e

triângulos envolvidas, questionamentos como, “o que aconteceria se o ponto C

coincidisse com o ponto do tesouro?”.

Em uma próxima aula foram discutidos os demais problemas da lista. No terceiro

problema, o aluno através da ferramenta do construiu o polígono regular de

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vinte lados facilmente, a maior dificuldade era encontrar o número máximo de triângulos

retângulos inscritos, pos muitos alunos tinham dificuldade em entender o que seria

inscrever um triângulo retângulo dentro do polígono. Esta propriedade cai nas

propriedades de circunferência, onde tendo o diâmetro da circunferência como

hipotenusa do triângulo retângulo, e seu vértice do ângulo reto em um ponto no

contorno desta circunferência, temos que este triângulo sempre será retângulo conforme

corrermos este ponto pela circunferência.

Os alunos construíram com a ajuda do professor, a circunferência e o triângulo

retângulo inscrito nela. Movendo o ponto D pela circunferência, notaram que este

triângulo sempre seria retângulo.

Figura 22 – Triângulo retângulo inscrito na circunferência.

ìî

Através da visualização desta propriedade, os alunos conseguirão compreender

melhor a atividade 3 do Quadro 1 e encontraram todos os triângulos retângulos possíveis

em um total de 18 triângulos retângulos, isto fixando um diâmetro, já girando este

diâmetro, podemos notar diversas outras possibilidades de diferentes triângulos.

Figura 23 – Solução da atividade 3 da lista do Quadro 1.

A atividade número 4 do Quadro 1, houve também uma dificuldade em entender a

lógica do problema, uma dificuldade em interpretar, já que o texto possui uma forma

mais descontraída e diferente de se dirigir ao aluno.

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Todos ficaram curiosos e intrigados com tal problema, após uma discussão entre

os amigos, o professor ajuda explicando na lousa através de desenhos, qual seria a idéia

do problema.

Um grupo de alunos surpreende esboçando no programa uma solução que

representa o rabisco feito pelo professor na lousa.

Figura 24 – Desenho feito pelos alunos.

A Familiaridade com o surpreende, e a construção deixa o professor

surpreso. O que mais surpreende é o ajuste da altura da pessoa para 1.7, o que

representaria exatamente o que o problema quer. Outro ponto, foi a iniciativa de se

desenhar duas circunferências de tamanhos diferentes para comprovar a veracidade do

problema.

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É relembrado a fórmula para o calculo do comprimento da circunferência, ®òòî .

Neste momento o professor aproveita para explicar de onde vem o número . Os alunos

então calculam o comprimento das duas circunferências internas a maior possui um

comprimento de 21,352, e a menor possui um comprimento de 7,536, com isto temos o

quanto os pés, ou seja, ponto C e G andaram pelas circunferências de diferentes

diâmetros.

Encontrando agora o quanto a cabeça andou nas duas circunferências,

encontramos em ( )òòî ¸® + , nisto foi entendido que o raio seria acrescido da altura da

pessoa. Então o comprimento da circunferência externa da maior ficou 32,028, e na

menor o comprimento da externa ficou 18,212.

Fazendo a diferença nos dois casos, temos que no planeta maior sua cabeça

andaria 32,028-21,352=10,676 a mais que seus pés, e no menor teremos, 18,212-

7,536=10,676. Para a surpresa de todos quaisquer que seja o diâmetro ou comprimento do

planeta em que estivermos nossa cabeça andará o mesmo tanto a mais que nossos pés. E

também a cabeça anda mais, pois ela segue uma circunferência maior que a

circunferência que segue nossos pés. Nesta etapa o professor deve novamente abordar as

propriedades de circunferência, comprimento, raio, diâmetro.

Nesta atividade os alunos demonstraram grande domínio das ferramentas do

programa, mas tiveram algumas dificuldades em lembrar como se calcula o comprimento

da circunferência, e que a externa seria o raio da interna acrescido da altura.

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Figura 25 – Os alunos interagindo com o – experiência de aplicação do

software em aula.

O último problema da lista é um desafio colocado de propósito pelo professor

(autor deste relato), pois os alunos não conseguiriam encontrar a solução utilizando do

computador, mesmo que tal solução seja de certa forma possível no entraria

em construções muito mais complicadas.

Os alunos então começaram a “quebrar” a cabeça com o exercício, nisto já

estávamos na metade no nosso curso. No programa desenhavam vários segmentos iguais

e tentavam girá-los e juntá-los de forma a resultar em quatro triângulos eqüiláteros

iguais utilizando apenas seis segmentos iguais, sem sobrar partes destes segmentos.

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Figura 26 – Tentativa dos alunos.

Muitos tentavam o mostrado na Figura 26, arrumando os seguimentos para que

dessem o mesmo tamanho, mas esta solução não dá certa e não é válida, pois sobraria

parte dos seguimentos para fora.

O professor então distribui palitos de fósforo a todos os alunos, sendo seis palitos

para cada um, para tentarem com um material concreto, mas a solução não aparece.

Após vinte minutos de tentativa o professor diz: “pensem no espaço, não no plano”.

Mesmo assim a solução não surge entre os alunos, então o professor com os

palitos em mão constrói a solução, levantando três dos palitos para o espaço construindo

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assim um tetraedro regular com os palitos, formando então quatro triângulos

eqüiláteros.

Figura 27 – um tetraedro regular, solução do problema

Com isto os alunos ficaram extremamente surpresos, pois teriam que sair do

plano e ir para o espaço para poder chegar a solução.

Este problema mostrou aos alunos que o raciocínio não deve respeitar barreiras e

sim procurar explorar ao máximo as possibilidades. É difícil alguém pensar em sair das

duas dimensões para resolver este problema ainda mais quando vinham trabalhando

com um de duas dimensões que é o caso do

Este problema fechou bem à lista de atividades, muito satisfatória a aplicação e os

aprendizados adquiridos tanto por parte dos alunos quanto por parte do professor, que

nesta experiência de aplicação desta ferramenta para auxiliar no ensino da matemática

ainda há bastante o que evoluir, mas nada que a prática e aplicação não ajudem a romper

as dificuldades e a melhorar o sistema de aplicação do .

Em outra aula, já depois de oito horas de curso, uma nova lista de atividades foi

distribuída aos alunos, esta continha atividades voltadas a funções de primeiro e segundo

grau, pois os alunos estavam tendo provas sobre este assunto, a lista abrange até mesmo

exercícios que caíram na prova destes alunos, mas com um enunciado voltado para sua

construção no , conforme mostra o Quadro 2.

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Quadro 2 – Segunda lista distribuída aos alunos.

Explorando funções no GeoGebra. 1-) No GeoGebra, com o eixo e a malha habilitados, insira dois seletores, o seletor a, e o seletor b. No Campo de Entrada, digite o seguinte: f(x)= a*x + b Com isto surgirá uma reta na tela.

· O que é esta reta?

· Marque um ponto A, exatamente na intersecção desta reta com o eixo x.

· Agora, mova os pontos em cada seletor, e observe o que acontece.

· Coloque um ponto B sobre o eixo x, trace uma perpendicular ao eixo x, passando por B, marque o ponto C na reta da função, onde é cortada pela perpendicular, trace a perpendicular de C em relação ao eixo y, marque o ponto no lugar em que esta reta corta o eixo y.

Agora veja o problema. Um salão de cabeleireiro cobra R$10,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$12,00 sem hora marcada. Ele atende por dia um número fixo de 6 pessoas com hora marcada e um número variável x de pessoas sem hora marcada. a) Quantos clientes foram atendidos em um dia em que se arrecadou R$144,00? Utilize sua construção no GeoGebra para descobrir.

2-) Em um campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com o outro, em turno e returno. Assim, o número f de partidas do campeonato é dado em função do número x de clubes participante.

· Reflita um pouco com seus colegas e descubra qual é a função que nos dará o número de partidas, seja qual for o número de times.

· Se tivermos neste campeonato 25 times, quantas partidas haverá no campeonato?

Ý«®­± ¿°®»­»²¬¿²¼± ± ͱº¬©¿®» Ù»±Ù»¾®¿ Š °®±¾´»³¿­ ³¿¬»³?¬·½±­ Ì»½²±´±¹·¿ ¿«¨·´·¿²¼± ²¿ ½±³°®»»²­=± ¼» °®±¾´»³¿­ò ©©©ò¼³ò«º­½¿®ò¾® λ­°±²­?ª»´æ α¼®·¹± α­¿´·­ ¼¿ Í·´ª¿ ¼·¹±Á®±­¿´·­à§¿¸±±ò½±³ò¾®

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3) Uma função do segundo grau é do formato f(x)= a*x^2 + b*x + c com a,b e c pertencentes aos reais.. Analise no GeoGebra, o que acontece na função quando alteramos os valores de a, b e c. Por que a não pode ser igual a zero? Qual o grau desta função? Por quê? 4) Como seria uma função de terceiro grau?

Esta lista mostra novas ferramentas do , novas funções e atividades que

auxiliam os alunos na compreensão da matemática.

Diferente da anterior esta lista aborda o aluno de forma diferente, mostra alguns

passos para a construção, o raciocínio também exige o saber matemático e a lista busca

questionar isto no aluno. Esta lista também possui um grau de dificuldade voltado para

as oitavas séries, lembrando que estes alunos estão em época de revisão dos conteúdos da

oitava série, pois acabaram de ingressar no primeiro ano do ensino médio nesta escola, e

pelas diversidades já mencionadas possuem muita dificuldade em alguns pontos.

Alista se inicia com uma função simples de primeiro grau, digitada no campo de

entrada do , os alunos após verem a função, marcam os pontos, onde se localiza

a raiz, depois traçam uma perpendicular ao eixo x, marcando com um ponto o local onde

esta perpendicular corta o eixo x e onde corta a reta da função.

Depois os alunos tração outra reta perpendicular, mas desta vez ao eixo y,

passando pelo ponto marcado na função.

No segundo problema, os alunos deveriam raciocinar para descobrir qual a função

envolvida e assim reproduzi-la no , esta função através de movimentos de um

ponto sobre o eixo x, poderia verificar-se a solução, ou seja, sua coordenada em y.

Os outros dois problemas, também são para explorar o comportamento de

diferentes funções no , os alunos ficaram surpresos com o resultado, ao

moverem os seletores com os valores dos coeficientes das funções, viam o movimento da

função no plano cartesiano.

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Figura 28 – Analisando uma função de segundo grau.

Na Figura 28, podemos analisar umas das atividades de análise de uma função de

segundo grau, o aluno pode movimentar os pontos e os seletores, vendo o

comportamento da função e resolvendo os exercícios da lista. Os alunos acharam

fascinante o movimento e a dinâmica que o Proporcionou para trabalhar com

funções.

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Conclusão.

Esta experiência da familiarização deste com os alunos da rede

pública foi muito positiva. Digamos que um passo no cominho certeiro da inclusão das

novas tecnologias como a informática no ensino destes alunos cada vez mais distantes do

direito a uma boa educação.

Certamente o estudo finalizado nesta monografia, servirá como base para novos

projetos e melhorias nesta área, tornando cada vez mais crescente a crença de que uma

boa educação é sim o ensino passado ao jovem de forma diferente, dinâmica, fazendo

este se interessar pelas áreas tão discriminadas como a matemática.

Citando a entrevista de D`Ambrosio a Paulo Freire, onde Paulo Freire nos presenteia com

suas palavras na seguinte frase:

“Um outro saber que eu preciso saber é que ensinar não é transferir conhecimento, transferir conteúdo. É lutar para com os alunos, criar as condições para que o conhecimento seja construído, seja reconstruído. Isso para mim é que é ensinar. Enquanto eu não estiver convencido disso, enquanto eu estiver pelo contrário convencido que ensinar é chegar às nove horas da manhã e despejar um discurso transferidor de objetos, e que são apenas perfis de objetos, que são os conteúdos, então eu não sei o que é ensinar, eu não sei o que é aprender.” (Paulo Freire)

Na aplicação deste curso, as dificuldades quanto ao interesse do aluno pela

disciplina eram claras e bem fortes, mas que em muitas vezes foi suprida pelas atividades

atrativas que abordavam de uma forma especial à matemática.

O desafio maior certamente é o planejamento de atividades diferenciadas que

envolvam o de forma a atrair a atenção do aluno.

O questão sobre a formação dos professores em atividade e dos futuros

professores também deve sempre ser discutida. Programas de atualização dos professores

para o uso desta nova metodologia que evolui a cada ano, e propostas de reformulação na

grade dos cursos de Licenciatura Matemática, visando um profissional preparado.

A implantação de projetos e experiências nesta área da educação matemática deve

ser cada vez mais explorada, não esperando uma revolução e mudança geral no sistema

de um dia para o outro, mas sim esperando o bem estar de um aluno satisfeito com seu

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aprendizado e a certeza de que o que lhe foi ensinado agradou de tal forma que ele ira

relembrar sempre em cada ponto de sua vida onde surja a palavra matemática.

O índice de satisfação dos alunos pelo foi surpreendente, provando que

a tecnologia ajuda, e deve partir dos professores dar o primeiro passo, arriscar e

experimentar para alcançar o sucesso rumo a uma melhor educação.

ëí

Bibliografia.

1. GeoGebra-INFORMAÇÕES. Guia Ajuda do Geogebra em português,

(www.geogebra.org), Markus Hohenwarter (2007)

2. D. Ausubel - Teoria da Inclusão, 1978-p.41

3. João do Carmo. Professor do Departamento de Psicologia da Universidade Federal de

São Carlos.

4. ENTREVISTA: “D’ Ambrósio entrevista Freire”. 5. DARIO FIORENTINI, Cultura, formação e desenvolvimento profissional de professores que ensinam matemática. 2005 6. PATRÍCIA SADOVSKY, entrevista dada a revista Escola, editora abril, edição de fevereiro de 2007

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Anexos

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Trabalho de Conclusão de Curso B Segunda parte do Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura Plena em Matemática pelo departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos.

73

Resumo

Nesta monografia de Trabalho de Conclusão de Curso B de Licenciatura Plena em

Matemática do Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos

apresentamos a elaboração, desenvolvimento e resultados da apresentação de uma palestra e

projeto de mini-curso de quatro horas no IX EPEM de 2008, realizado na cidade de Bauru

interior de São Paulo. Também descrevemos o desenvolvimento, construção e repercussão de

um ambiente Moodle, com uso do software GeoGebra, tratando de temas relacionados a

oitava série (nono ano) do ensino fundamental.

Abstract

This monograph Workshop Completion of the Graduate Full Course B in Mathematics

Department of Mathematics of the University of San Carlos present the preparation,

development and results of the presentation of a draft speech and mini-course in four hours

IX EPEM in 2008 , Held in the city of Bauru interior of São Paulo. It also describes the

development, construction and effect of a Moodle environment, using the software GeoGebra,

dealing with issues related to eighth grade (ninth year) of elementary school.

74

Sumário

Introdução..................................................................................................................................... 75

IX EPEM de Bauru 2008 ............................................................................................................. 76

A Construção do Ambiente Virtual .......................................................................................... 77

Problemas Passo a Passo ............................................................................................................ 82

Repercussão do projeto .............................................................................................................. 90

Conclusão ..................................................................................................................................... 92

Bibliografia.................................................................................................................................... 94

75

Introdução.

No Trabalho de Conclusão de Curso A foram elaboradas diversas atividades em um

mini-curso com duração de doze horas utilizando o GeoGebra, as quais foram aplicadas em

sala de aula com descrição de todo o processo e acontecimentos desta aplicação.

No projeto de Trabalho de Conclusão de Curso B a proposta visou à elaboração de

uma palestra e de um mini-curso com duração de quatro horas, para apresentação em

setembro de 2008 no IX EPEM de Bauru, bem como o elaboração, desenvolvimento e

aplicação de um ambiente virtual no Moodle do Departamento de Matemática da

Universidade Federal de São Carlos, com uso do GeoGebra, para auxiliar o ensino da

matemática em sala de aula. Neste ambiente foram idealizados tópicos sobre a oitava série do

ensino fundamental utilizando o GeoGebra, com atividades passo a passo para a construção

de aplicativos e estudo de conteúdos matemáticos visando uma interação conjunta professor-

aluno. Procurou-se utilizar uma linguagem direta ao professor, através de tutoriais explicando

as funções do Geogebra bem como a execução de procedimentos para exploração de

problemas em sala de aula e posterior discussão das soluções utilizando Fóruns e debates.

76

1. IX EPEM de Bauru 2008.

No mês de Setembro do ano de 2008 ocorreu nos dias 25, 26 e 27 o IX EPEM

(Encontro Paulista de Educação Matemática). Neste congresso, como parte do projeto de

conclusão de curso, foi apresentada uma palestra na forma de “Relato de Experiência” bem

como um Mini-curso com duração de quatro horas (vide abaixo), os quais foram publicados

em CD e serão disponibilizados em breve no portal da SBEM (http://www.sbem.com.br).

· Mini-curso: SILVA, R. R. Software Geogebra auxiliando no ensino da Matemática.

Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru:

SBEM/SBEMSP, 2008, pp. 1 – 4. (ISBN 978-85-98092-07-2).

· Relato de Experiência: SILVA, R. R. Software GeoGebra auxiliando no ensino da

Matemática. Anais do IX Encontro Paulista de Educação Matemática: IX EPEM.

Bauru: BEM/SBEM-SP, 2 2008, pp. 1-11. (ISBN 978-85-98092-07-2)

Na elaboração foram utilizados os conhecimentos adquiridos no Trabalho de

Conclusão de Curso A, contando assim a experiência adquirida e passando aos professores e

futuros professores, os conhecimentos do GeoGebra até então estudados e como poderiam

ajudar em sala de aula.

O Mini-curso com duração de 4 horas teve ao todo 23 participantes, entre professores

e estudantes de cursos superiores de Licenciatura Matemática. Foram passadas as atividades

entre as que constam no ambiente virtual moodle construído e as aplicadas no primeiro

semestre, nas escolas de São Carlos. Também foi apresentado a proposta a ser desenvolvida

neste segundo semestre, a construção do ambiente no Moodle voltado para o GeoGebra.

No mini-curso não foi abordado apenas o básico do GeoGebra, focamos trabalhar

problemas práticos já experimentados no TCCA, o desenvolvimento em sala de aula,

passando aos presentes o que ocorreu durante a resolução de cada exercício com os alunos, as

dúvidas que tiveram, e como reagir a cada imprevisto, como a falta de computadores e

indisciplina dos alunos nos momentos de formalizar as atividades.

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Foram resolvidos durante as quatro horas de mini-curso um total de doze atividades

no GeoGebra, cada uma sendo cuidadosamente explorada em seus benefícios para os alunos.

Ao final do mini-curso, foi apresentado o ambiente Moodle do Departamento de

Matemática da Universidade Federal de São Carlos, e também todo o curso de graduação e

pós-graduação oferecido pela UFSCar, como resposta a curiosidade de alguns participantes. O

ambiente foi apresentado para que os participantes acompanhem o desenvolvimento do

projeto e tirem suas dúvidas sobre as atividades e aplicação em sala de aula.

Os 23 participantes se demonstraram satisfeitos com o mini-curso, todos os

professores e futuros professores dispostos a inovar no ensino da matemática com a proposta

de implantar a tecnologia para ensinar matemática.

O Relato de Experiência decorreu como uma palestra com duração de 20 minutos,

através de Slides foi apresentado à experiência relatada no TCCA. Também foi apresentado o

projeto a ser desenvolvido neste TCCB, e seus benefícios ao ensino da matemática.

A participação no IX EPEM foi de grande valia, com a divulgação do projeto e troca de

experiências sobre a tecnologia no ensino da matemática, também contribuiu para o

surgimento de novas idéias a serem desenvolvidas no projeto. Vários professores gostaram de

conhecer o GeoGebra e comprometeram-se a aplicá-lo em sala de aula.

2. A Construção do Ambiente Virtual.

Como parte da proposta de desenvolvimento do projeto está a Construção do

Ambiente Virtual do Moodle e GeoGebra auxiliando no ensino da matemática. Na primeira

parte desta construção pesquisamos sobre quais conteúdos seriam abordados neste ambiente.

Vimos que seria inviável abordar a matemática de uma forma geral, para todas as séries, pois

haveria muito conteúdo e todos seriam abordados de forma muito superficial. Ficou decidido

focar o projeto em uma série escolar específica, onde optamos pela oitava série (nono ano) do

ensino fundamental.

Após esta decisão, iniciou-se a pesquisa do conteúdo matemático abordado na Oitava

série do ensino fundamental em livros didáticos de matemática para esta série, (GIOVANNI,

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1992; HOHENWARTER, 2007; JAKUBO, 1994; JAKUBOVIC, 2003) sendo escolhidos os

temas sobre geometria, plano cartesiano, e funções, que melhor poderiam ser explorados com

o uso do GeoGebra.

Depois de levantar todo o conteúdo a ser tratado no ambiente virtual foi estudado

como operar o ambiente, suas ferramentas, criação de páginas, fóruns, e sua interação com o

Látex. Houve a parte da estruturação do ambiente onde foram pesquisadas e criadas imagens

inéditas para personalizar o ambiente segundo nossas idéias, estas imagens são exclusivas do

ambiente.

Depois de aprendido os recursos do Moodle, partimos para a elaboração do ambiente.

Foi decidido que o ambiente se dividiria em capítulos para uma melhor localização dos

usuários.

Inicialmente há a parte de apresentação do ambiente para a qual foi desenvolvida a

seguinte logo:

Nesta logo foram utilizadas a imagem de uma esfera brilhante, que nos termos da

proposta, representa o aprendizado a ser desenvolvido, a esfera é a forma perfeita sem início

ou fim, não podemos afirmar onde em nossa vida onde um conhecimento se inicia se este

termina, uma esfera brilhante pois o aluno busca o conhecimento e tem refletido pelo

GeoGebra as respostas. Abraçando a esfera temos o logo do GeoGebra, e o continente

americano, focalizando e valorizando a origem deste.

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O capítulo 1 foi intitulado “Novas tecnologias auxiliando na Educação: Uma breve

visão”. Na imagem abaixo ilustra um aluno estudando e a mão de um robô que representa a

tecnologia, auxiliando este aluno, esta imagem foi montada especialmente para o ambiente,

assim como todas as demais.

Neste capítulo é disponibilizado um artigo que se refere a tecnologia em sala de aula e

referências a outros artigos do EPEM 2008 que tratam deste assunto. Há um link para a página

da Internet, onde o EPEM disponibiliza estes documentos.

O capítulo 2 foi intitulado “O Software GeoGebra. Este capítulo tem como objetivo

apresentar o GeoGebra e suas ferramentas. Foi disponibilizado o manual do GeoGebra

fornecido de forma livre pelo site da própria organização <www.geogebra.org>. É apresentado

neste capítulo um passo a passo aos professores sobre como baixar e instalar o GeoGebra.

Também um texto explicando as funções dos menus do GeoGebra e outro sobre como

trabalhar com pontos e suas coordenadas.

O Capítulo 3 inicia o conteúdo da oitava série do ensino fundamental, onde é

abordado a “Semelhança de triângulos”. Infelizmente no decorrer do projeto até a entrega do

mesmo, não foi possível desenvolver o conteúdo referente a este capítulo.

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O capítulo 4 é sobre funções do primeiro grau, não foi desenvolvido conteúdo teórico

para este capítulo. Em funções do primeiro grau trabalhamos com plano cartesiano,

coordenadas, pontos e retas de funções. Foram desenvolvidas atividades que utilizam funções

do primeiro grau, as atividades 6, 8 e 9 do capítulo 10 deste ambiente. Também no capítulo 2,

há a parte que trabalha com pontos e coordenadas no GeoGebra, que o professor pode utilizar

juntamente com o assunto de função do primeiro grau.

O capítulo 5, é sobre as funções de segundo grau, também não foi possível desenvolver

o conteúdo teórico deste capítulo até a entrega deste projeto. Mas no capítulo 10, onde se

encontram as atividades, há a atividade 7, que trabalha função do segundo grau no GeoGebra.

O capítulo 6 traz “Relações métricas e trigonométricas no triângulo”. O Teorema de

Pitágoras é passado com uma construção de um aplicativo no GeoGebra, o professor

juntamente com os alunos pode desenvolver as construções propostas, facilitando assim o

entendimento do conteúdo. É apresentado também duas aplicações importantes do Teorema

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de Pitágoras, desenvolvidas no GeoGebra. No capítulo 10 há as atividades 2, 3 e 5,

relacionadas ao capítulo 6.

O capítulo 7 traz as relações métricas na circunferência, infelizmente não foi possível

desenvolver o conteúdo deste capítulo durante o tempo do projeto.

O capítulo 8 é sobre “Polígonos inscritos e circunscritos à circunferência, suas relações

e teoria feita no GeoGebra, infelizmente não foi possível desenvolver o conteúdo deste

capítulo durante o tempo do projeto.

No capítulo 9, temos o último conteúdo da oitava série do ensino fundamental

desenvolvido no GeoGebra neste ambiente Moodle, “Polígonos regulares e área de figuras

planas, infelizmente não foi possível desenvolver o conteúdo deste capítulo durante o tempo

do projeto, mas há atividades como a atividade 2 do capítulo 10 que é possível trabalhar a

idéia de triângulo retângulo inscrito em uma circunferência.

Finalizando os capítulos do ambiente temos o capítulo 10, que traz diversas atividades

e problemas que desenvolvemos para o GeoGebra, descrevendo cada um passo a passo, para

que os professores possam consultar o ambiente e aplicar a atividade em sala de aula,

buscando problemas que chamem a atenção do aluno, atividades investigativas e desafios,

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para que possam operar o GeoGebra em atividades de forma lúdica, aprendendo a matemática

envolvida.

Em todo o ambiente o GeoGebra é um auxílio ao aprendizado da matemática para o

aluno, cabe ao professor formalizar estes conhecimentos, levar os alunos para os desafios e

problemas apresentados, mas sempre desenvolver a matemática de forma formal para que

solidifiquem seus conhecimentos.

O Ambiente desenvolvido como atividade de ensino e pesquisa no Moodle do

Departamento de Matemática da UFSCar, tem como endereço na Internet:

< http://hypatia.dm.ufscar.br/moodle/course/view.php?id=88> .

3. Problemas Passo a Passo.

Foi priorizado no ambiente o desenvolvimento de problemas passo a passo para os

professores trabalharem em sala de aula. Como um tutorial, utilizando uma linguagem

voltada para o professor, quais ferramentas clicar no programa, como manipular estas

ferramentas e a seqüência dos passos a seguir, além de dicas sobre como proceder com os

alunos. Cada problema inicia com um título, a série recomendada, e o nível da atividade. O

nível das atividades é disposto de 1 a 10, de acordo com a complexidade de sua construção no

GeoGebra e conteúdo envolvido na atividade.

Como exemplo apresentamos abaixo o problema do Tesouro do Pirata. A leitura deste

tutorial pode ser visualizada melhor no ambiente virtual, onde há o aplicativo para ser

manipulado:

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O Tesouro do Pirata Barba Negra

Recomendação: a partir da oitava série do ensino fundamental. Nível: 3

Recentemente foi descoberto um manuscrito do famoso pirata Barba Negra descrevendo a localização de um rico tesouro enterrado numa certa ilha do Caribe.

O manuscrito dá as seguintes instruções:

Qualquer um que desembarque nesta ilha verá imediatamente duas grandes árvores, que chamarei de pontos A e B, e uma pequena palmeira que chamarei de ponto C. Eu enterrei o tesouro num ponto da ilha que pode ser encontrado da seguinte forma:

· caminhe de C para A contando seus passos; chegando em A vire 90 graus para a esquerda e dê exatamente o mesmo número de passos, marcando o ponto encontrado.

· caminhe de C para B contando seus passos; chegando em B vire 90 graus para a direita e dê exatamente o mesmo número de passos, marcando o ponto encontrado.

· o tesouro está enterrado exatamente no ponto médio dos pontos marcados.

Quando você chegou na ilha para procurar o Tesouro avistou as duas arvores, as coordenadas das palmeiras, ou seja os pontos A e B você verificou que são A=(1,4) e B=(9,7). Mas a pequena palmeira (ponto C) da ilha sumiu após uma tempestade, mas ainda é possível encontrar o tesouro. Em que ponto ele esta?

Resolução no GeoGebra

Seguindo o raciocínio do Problema, todos deverão ao final encontrar o mesmo ponto onde está o tesouro, não importando o caminho que escolham, revelando a beleza da matemática e geometria neste problema.

1) Inicie o GeoGebra. Para este problema, precisamos que esteja exibido na tela apenas o Campo de Entrada. Para isto, clicando no menu Exibir, retire as marcações de todos os itens, exceto do item Campo de Entrada, como nas imagens abaixo:

>>>

Com isto terá uma área de trabalho limpa, pois iremos trabalhar utilizando em sua maior parte, recursos Geométricos. Vamos primeiramente construir o problema, para depois estudar sua solução.

2) O manuscrito do pirata, diz que havia duas grandes árvores, que são os pontos A e B e foram dadas suas coordenadas. Digite no Campo de entrada a expressão A=(1,4), exatamente desta forma, como pode verificar na imagem abaixo, com a letra A em maiúsculo o sinal de igual, e entre parênteses as coordenadas, e pressione a tecla Enter. Isto nos dará em nossa área

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de trabalho do GeoGebra um ponto A. Se este A for uma letra minúscula, o GeoGebra nos dará um vetor a, e não o ponto A. Veja que o GeoGebra sempre segue as normas matemáticas. Então após digitar surgirá nosso ponto A como na figura abaixo:

>>>

Veja na segunda parte da figura acima, que em nossa área de trabalho surgirá o ponto A na coordenada que desejamos, clicando com o botão direito do mouse sobre este ponto, surge um menu, onde podemos assinalar a opção Exibir rótulo, caso não esteja aparecendo à letra A acima do ponto.

3) Aprendemos o inserir o ponto A, da mesma forma vamos inserir o ponto B que representa a segunda árvore grande da ilha, o qual as coordenadas também foram passadas no problema: B=(9,7). Teremos na tela do GeoGebra, dois pontos, A e B como na figura abaixo:

4) Conforme dito no problema, estes pontos são árvores, portanto são pontos fixos, não podemos movê-los pela ilha. Portanto, tome cuidado para não clicar sobre o ponto e arrastá-lo, pois isto implica em deslocar as árvores de suas coordenadas corretas. Para evitar este problema, podemos fixar os pontos para que não se movam. Conforme na imagem abaixo, clique com o botão direito do mouse sobre o ponto A e depois clique com o botão esquerdo sobre a opção Propriedades do menu que surgiu.

Abrirá na tela uma Janela, dividida em duas partes, uma contendo todos os objetos e outra dividida em várias abas: Básico, Cor, Estilo, Álgebra e Avançado. Veja:

85

5) Como entramos pelo menu rápido em propriedades do ponto A, veja que na parte de Objetos está selecionado o ponto A, e na parte das abas, estão todas as propriedades do ponto A, como Nome, Valor, opções de Cor e Estilo. Nesta Janela, de um clique com o botão esquerdo do mouse sobre a caixinha Fixar objeto, isto deixará o ponto A fixo em suas coordenadas (1,4).

6) Ainda nesta Janela, vamos modificar um pouco mais o ponto A esteticamente. De um clique na aba Cor, e altere a cor deste ponto para verde, clicando com o botão esquerdo sobre a cor verde, pois é uma árvore.

Veja que na Janela Objetos, o ponto A ficou verde, agora clique sobre a aba Estilo, e altere o tamanho deste ponto para 7, clicando na régua sobre o número 7. Seu ponto A agora ficará verde e bem maior. Observe:

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Na aba Álgebra, e na aba Avançado não iremos explorar agora, em uma delas encontramos o tipo de coordenada do ponto A, e na outra um campo para inserir funções avançadas de condição.

7) Nesta mesma Janela Propriedades, de um clique sobre o ponto B, na parte de Objetos. Com isto a Janela propriedades se modificará para as propriedades do ponto B. Clique sobre a aba Básico e repita os passos 5, 6 e 7 acima nesta página. Deixando o ponto B fixo e com o mesmo visual do ponto A.

Agora continuando o a leitura do manuscrito, notamos que seria necessário um terceiro ponto para podermos perseguir em nossa solução, mas esta árvore não está mais na ilha. Basta acrescentarmos um ponto C em qualquer lugar do plano da ilha.

8) De um clique com o botão esquerdo do mouse na ferramenta novo ponto em nossa barra de ferramentas, depois de um clique em qualquer lugar vazio da nossa área de trabalho do GeoGebra, sugira assim um ponto C, conforme figura abaixo.

Agora sim, solucionamos o problema do terceiro ponto que precisávamos para continuar o problema. Lendo o manuscrito, vamos dividi-lo em etapas para melhor entender a resolução e cumprir cada uma.

9) O manuscrito continua dizendo agora: "caminhe de C para A contando seus passos." Podemos traçar um segmento CA,

então, clique sobre o botão segmento entre dois pontos , em seguida de um clique sobre o ponto C, depois um clique sobre o ponto A. Surgirá então o segmento CA, que marca sua caminhada.

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10) Continuando o problema, devemos ao chegar em A, virar 90º para a esquerda. Primeiramente, precisamos encontrar a direção que seja 90º em relação ao segmento CA, tracemos então a perpendicular a CA que passa por A. Para isto, clique

sobre o botão reta perpendicular , depois de um clique sobre o segmento CA e em seguida sobre o ponto A, surgirá então uma reta perpendicular ao segmento CA, passando pelo ponto A.

11) Descobrimos a direção em que devemos caminhar para que seja 90º em relação a CA. Vamos utilizar mais uma ferramenta para conhecer um pouco mais os recursos do GeoGebra. Esta ferramenta mostra a distância entre dois pontos ou o comprimento de um segmento. Usaremos esta ferramenta para calcular a distância que percorremos caminhando de C para A, expressa aqui em uma medida u qualquer.

12) clique com o botão esquerdo do mouse sobre o botão distância ou comprimento selecionando esta ferramenta.

Agora de um clique sobre o segmento CA, o que fará surgir um valor que expressa esta distância.

13) Andamos de C para A, e de acordo com o manuscrito, precisamos virar a esquerda no ponto A em 90º. Já descobrimos pela perpendicular as direções que equivalem a 90º, mas o manuscrito diz que devemos caminhar a mesma distância que caminhamos no segmento CA. Neste momento devemos utilizar as propriedades da circunferência.

14) Precisamos traçar a circunferência de centro em A e raio AC, pois sabemos que a distância do centro a qualquer ponto da extremidade da circunferência é o mesmo, o nosso raio. Para isto clique na ferramenta Circulo definido pelo centro e um de

seus pontos , clique sobre o ponto A e depois sobre o ponto C, formando a nossa circunferência.

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15) Veja que a circunferência corta a nossa perpendicular em dois pontos, selecionando o botão novo ponto clique exatamente nestas intersecções teremos então dois pontos o ponto D e o ponto E.

16) O manuscrito diz que precisamos caminhar para a esquerda assim que chegarmos no ponto A, imagine uma pessoa caminhando sobre a linha CA, sendo assim quando ela chegasse no ponto A para virar a esquerda 90º caminharia para o lado do ponto D.

Então a direção correta é a direção AD, e o ponto D é o ponto encontrado, pois CA=AD, equivalem ao raio da circunferência.

17) Agora temos que ler a segunda parte do manuscrito, que nos manda voltar ao ponto C, e caminhar em direção ao ponto B, depois seguindo o mesmo raciocínio do processo anterior, traçando a perpendicular e a circunferência, devemos virar 90º no ponto B e caminhar para a direita o mesmo número de passos marcando o ponto F.

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Já estamos prestes a encontrar o tesouro. Veja que encontramos os dois pontos a serem marcados, o ponto D e o ponto F. O tesouro esta no ponto médio entre estes dois pontos. Para isto usaremos outra ferramenta do GeoGebra, o botão ponto

médio ou centro , selecione esta ferramenta, e clique primeiramente sobre o ponto D, depois sobre o ponto F, isto nos dará um ponto que é exatamente o médio entre D e F. Este ponto é o ponto G, caso não apareça o rótulo do ponto, lembre-se de clicar sobre o ponto com o botão direito do mouse e selecionar exibir rótulo.

Veja o que aconteceu, encontramos o ponto G, que é ponto onde está o tesouro.

Seguindo este processo, não importa onde escolhermos o ponto C no início do exercício, sempre o ponto G será no mesmo lugar, nas mesmas coordenadas. Para verificar isto clique novamente no menu Exibir, e selecione a opção Janela de Álgebra.

Com isto surgirá a Janela de Álgebra na lateral, onde podemos ver todas as informações algébricas, inclusive as coordenadas de cada ponto que colocamos, divididos em objetos livres e objetos independentes, note que os pontos A e B temos fixos, e os demais pontos também são fixos pois dependem da estrutura de nossa construção para existirem. Você consegue mover apenas o ponto C, pois este não existia na ilha e poderíamos tê-lo escolhido em qualquer lugar.

Então clique sobre o ponto C e arraste-o para onde quiser, note que interessante, o Ponto do tesouro, ponto G, continua sempre no mesmo lugar, sempre na coordenada G=(6.5 , 1.5), independente da localização de C.

Mova o ponto C acima, que é o resultado de nosso exercício. Utilizamos na construção, perpendiculares, círculos. Por que isto acontece matematicamente?

Abraços poste no Fórum deste Capítulo suas opiniões, sugestões, dúvidas e experiência na aplicação deste problema para sempre melhorarmos as formas de explorá-lo.

Ao final do Tutorial há um aplicativo construído no GeoGebra, onde o visitante do

ambiente pode mover os pontos, e assim ver como ficará a solução do problema.

Assim foram desenvolvidos diversos tutoriais passo a passo de cada atividade,

procurando passar da forma mais clara possível ao visitante iniciante que nunca trabalhou

com o GeoGebra.

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Também no ambiente foram criados diversos Fóruns para discussão sobre o

desenvolvimento das atividades, e desenvolvimento do ambiente virtual. Assim os

participantes podem trocar conhecimentos, experiências sobre a aplicação do problema e

sugestões para a evolução do ambiente e aplicação do software em sala de aula.

4. Repercussão do projeto.

Foi feita uma divulgação da proposta deste projeto durante o IX EPEM para muitos

professores de diversas Universidades, os quais começaram a participar de Fóruns da própria

organização do GeoGebra bem como do ambiente em desenvolvimento no MOODLE do DM,

verificando o andamento do projeto e implementação das atividades propostas.

No Moodle é possível levantar o número de visitantes que freqüentaram o ambiente,

com a data, hora, endereço de IP, o que fizeram, onde entraram no ambiente. Levantando este

relatório no moodle temos que desde o dia 26 de setembro de 2008, que foi o dia em que se

iniciou a divulgação da construção do ambiente, até o dia de conclusão da digitação desta

monografia (16 de novembro de 2008), há 421 registros de ações feitas por visitantes, como ler

as atividades e documentos disponibilizados, e cerca de 200 registros de ações executadas por

professores e estudantes cadastrados no Moodle do DM, o que deixa o autor deste projeto

ditoso pela consideração e reconhecimento ao projeto.

Um e-mail em um endereço pessoal disponibilizado no Moodle traz a dúvida de uma

professora, que participou do mini-curso no EPEM, e visita o moodle do GeoGebra que

estamos desenvolvendo:

“Olá Rodrigo, tudo bem??? Participei do mini-curso de Geogebra que você deu no EPEM na Unesp de Bauru. Gostei bastante do software e estou utilizando em minhas aulas. Ao aplicar uma atividade que inclusive você apresentou no mini-curso, que se trata de um problema que fala de um salão de cabeleireiro, acho ele está no seu moodle, fiquei com uma dúvida, Como faço para restrigir o domínio da função, já que ela só existe a partir de x>0? Meus alunos perguntaram e eu tentei de todas as formas restringir o dominio da função e não consegui. Procurei no manuais do Geogebra e não há informações

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sobre isso. Os meus alunos perguntaram pois, ensinei como fazer isso no Winplot. Por favor se souber, me informe, ok? Desde já, obrigada. Um abraço”

Professora Jacqueline de Souza Nunes Vaz. E-mail: <jackenvaz@hotmail.com>

Este e-mail trouxe a felicidade pelo projeto estar sendo reconhecido, um professor

aderindo a idéia do GeoGebra em sala de aula, passando o ensino a diversos alunos, já traz a

satisfação e faz valer a pena todo um trabalho.

A resposta a esta professora foi imediata, no ambiente como continuação ao problema

sobre função de primeiro grau, foi postado a resolução da dúvida da professora, como

restringir o domínio da função no GeoGebra, o qual pode ser consultado no ambiente.

Obtemos a resposta da professora no dia seguinte:

“Olá Rodrigo, tudo bem???

Já vi a resolução no tutorial e refiz o gráfico do problema.

Algum dia a gente se encontra em algum evento por aí, ok???

Muito obrigada pela atenção.

Um abraço

Jacqueline Vaz”

Professora Jacqueline de Souza Nunes Vaz. E-mail: <jackenvaz@hotmail.com>

Esta é a essência e principal vantagem de um ambiente virtual, a interação entre os

profissionais, desenvolvendo e sempre ampliando o ambiente virtual, criando uma corrente

de discussões sobre cada situação e como solucioná-las.

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5. Conclusão

O projeto alcançou as expectativas, o reconhecimento desejado e o desenvolvimento

esperado, infelizmente não conseguimos terminar todo o conteúdo teórico proposto, mas

continuaremos trabalhando para sempre melhorá-lo.

O que notamos é que um ambiente virtual deste seguimento está sempre em

desenvolvimento, nunca está terminado, há sempre novas atividades a serem elaboradas,

novos assuntos a serem abordados, diferentes visões sobre a aplicação ou elaboração de

atividades a serem discutidas. Este ambiente deve estar sempre em desenvolvimento

juntamente com seus participantes, dando opiniões e sugestões, para que esteja cada vez mais

sólido e rico em seu conteúdo.

Portanto esta monografia não pode concluir que o ambiente está completamente

terminado, as atividades para alcançarem sua riqueza, devem passar por constantes discussões

entre os participantes e visitantes, o ambiente jamais estará terminado, e sim em constante

evolução.

Cabe aos profissionais envolvidos com a educação matemática continuar este projeto,

sejam nas disciplinas de graduação com os futuros professores, em outros trabalhos finais de

graduação, projetos de extensão, iniciação e outros meios, para que o ambiente seja cada vez

mais sólido; e porque não, a criação de outros ambientes para o mesmo fim, abrangendo

conteúdo de outras séries escolares, e até mesmo disciplinas da própria graduação, tendo

assim vários ambientes virtuais, para diferentes públicos.

Uma dificuldade ainda encontrada é a adesão de visitantes ao ambiente, pois este é

restrito. Os visitantes devem enfrentar um processo pouco prático para se tornarem

participantes do ambiente e assim poder participar dos Fóruns e atividades. Os visitantes

podem apenas visualizar os problemas, documentos e tutoriais, isto é válido, pois podem ver o

conteúdo e aplicar em sala de aula, mas perdemos quanto à participação destes visitantes em

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compartilhar de suas experiências nos fóruns, e assim contribuir para o desenvolvimento do

ambiente.

Algumas saídas para este problema seria facilitar ou mudar a forma dos visitantes se

tornarem participantes do ambiente, de forma menos burocrática, ou criar um site na Internet

aberto, com fóruns e o mesmo conteúdo do ambiente.

O projeto foi muito significativo para os conhecimentos matemáticos e em educação

matemática, deixando a certeza de permanecer registrado uma iniciativa que pode fazer a

diferença no ensino da matemática.

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6. Bibliografia

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR., José Ruy. A conquista da

matemática: teoria e aplicação, 8ª série. São Paulo: FTD, 1992. (ISBN 85-322-0661-1).

HOHENWARTER, M. GeoGebra Help – versão português. <Geogebra.org>, 2007.

JAKUBO; LELLIS. Matemática na medida certa. São Paulo: Ed. Scipione, 1994. (ISBN 85-262-

2146-9).

JAKUBOVIC, Jose; LELLIS, Marcelo Cestari Terra; CENTURION, Marilia. Matemática na

medida certa 8ª serie. São Paulo: Ed. Scipione, 2003. (ISBN 85-262-4734-4).

SILVA, R. R. Software Geogebra auxiliando no ensino da Matemática. Anais do IX Encontro

Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: SBEM/SBEMSP, 2008, pp. 1 – 4. (ISBN

978-85-98092-07-2).

__________. Software GeoGebra auxiliando no ensino da Matemática. Anais do IX Encontro

Paulista de Educação Matemática: IX EPEM. Bauru: BEM/SBEM-SP, 2 2008, pp. 1-11. (ISBN

978-85-98092-07-2).