Lista de Exercícios Teoria de Grafos - 2013

1. Quais são as diferenças entre grafos simples e multigrafos? 2. Construa um exemplo de grafo simples dirigido e um não dirigido. 3. Construa um exemplo de multigrafo dirigido e um não dirigido. 4. Construa os grafos não-dirigidos a partir dos conjuntos de vértices e arestas dados a seguir: a) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 4)}; b) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {(1, 2), (1, 4), (1, 4), (2, 3), (2, 5), (3, 5)}; c) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}; d) V = {1, 2, 3, 4, 5} e A = {(1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}; e) V = {1, 2, 3, 4} e A = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}; f) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A = {(1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (6, 7), (6, 8), (7, 8)}. 5. Dados os grafos da questão anterior, classifique-os como simples ou multigrafos. 6. Construa um grafo simples conexo, com as seguintes sequências de graus: a) (1, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 6) b) (3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5). 7. Para o grafo a seguir, responda: a) é um grafo simples? b) é um grafo completo? c) é um grafo conexo? d) existem dois caminhos entre os vértices 3 e 6? e) o grafo possui algum ciclo? f) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria um grafo acíclico? g) o grafo possui algum arco cuja remoção o tornaria desconexo? 8. Esboce uma figura para cada um dos seguintes grafos: a) Um grafo simples com 3 vértices de grau 2. b) Um grafo de 4 vértices, com ciclos de tamanho 1, 2, 3 e 4. c) Um grafo não completo com 4 vértices, de grau 4.

1

2

3

4

5

6 7 a

b

c d

e

f

g

9. Escreva a sequência de graus para os grafos a, b e c.

10. Dado o grafo abaixo, quais afirmações estão corretas?( ) Os vértices v e w são adjacentes; ( ) Os vértices v e x são adjacentes; ( ) A aresta 2 é incidente ao vértice u; ( ) A aresta 5 é incidente ao vértice x

.

11. Construa todos os grafos completos com até 8 vértices. Quantas arestas tem cada um desses grafo? E se tiver n vértices? 12. Construa todos os grafos ciclo com até 6 vértices. 13. Construa os seguintes grafos bipartidos completos: K1,1, K1,2, K1,3, K2,2, K2,3, K2,4, K3,3, K3,4, K4,4. 14. Encontre três grafos planares tais que sua união é o grafo completo com 10 vértices. 15. Falso ou verdadeiro? (Justifique) . a) Se G é um grafo desconexo, então seu complemento G é conexo. b) Não existe grafo 3-regular com 7 vértices. c) Se G é um grafo conexo, e f é uma aresta que pertence a toda árvore geradora de G, então f é uma ponte. d) Se G é um grafo com exatamente dois vértices de grau ímpar, então existe um caminho ligando estes vértices em G. e) Um grafo pode ser desenhado no plano sem cruzamento de arestas se e somente se o grafo não contém um sub-grafo completo K5, nem um sub-grafo bipartido K3,3

f) Um grafo completo com n vértices, o número de arestas seriam combinações de n arestas duas a duas: n!/2!(n-2)! 15. Construa o grafo complementar de :

16. Encontre nos grafos abaixo todas as cliques.

17. Quantos vértices um grafo simples precisa ter para poder ter 200 arestas? 18. Qual o grafo complementar do grafo que tem duas componentes conexas isomorfas a K3 e K7? 19. Mostre que um grafo G é desconexo então G tem um subgrafo bipartido completo. Mostre que a recíproca não é verdadeira. 20. Explique porque é que a sequência ACEDBCA não é um circuito Hamiltoniano para o grafo a seguir. Este grafo admite um circuito Hamiltoniano?

21. Nenhum dos grafos seguintes admite circuitos de Hamilton. Será possível, acrescentando uma única aresta a cada um desses grafos, obter grafos que admitam circuito Hamiltonianos?

22. Para os grafos, a seguir: 22.a) Informe quais admitem caminho ou um ciclo Hamiltoniano. 22.b) Experimente apagar a aresta AB a um dos grafos do exercício anterior. Sem aresta, ainda admite circuito Hamiltoniano? Se não admitirem, justifique sua resposta.

u

r

x y

v w

z

u

x y

v w

z

r

A

B

C

D

E

23. Será que os grafos seguintes admitem circuitos Hamiltonianos? Se não admitirem, tente provar que não admitem.

24. O grafo seguinte tem três circunferências concêntricas e quatro raios. Que condições devem ser satisfeitas por m número de raios) para que um grafo deste tipo admita um circuito Hamiltoniano? (m >2, n >1)

25. O grafo a seguir, é uma grelha 3 por 4. Que condições devem ser satisfeitas por m e n para que um grafo de grelha retangular m por n admita um circuito Hamiltoniano?

26. Para os grafos, a seguir: 26.a) Informe quais admitem caminho ou um ciclo Euleriano.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

27. Na figura abaixo, quais dos grafos (a, b ou c) são subgrafos do grafo G?

28. Na figura abaixo, quais dos grafos (a, b ou c) são subgrafos do grafo H?

29. Dado o Grafo G, os subgrafos H1 e H2 são Subgrafos Geradores de G?

30. Informe quais os grafos abaixo são conexos. Quais são fracamente conexos? Quais são fortemente conexos?

a) b) c)

d) e) f)

v

x

z

u

w

G

v

x

u

H1

v

x

z

u

w

H2

g) h)

31. Os dois grafos abaixo são isomorfos? Em caso afirmativo, encontre uma correspondência de um para um entre os vértices do primeiro com os vértices do segundo grafo. Caso contrário, explique porque tal correspondência não existe.

a)

b)

c) c)

e b

a

c d

5 2

1

3 4

a b

c

d e

a

c

d e

b a

c d

y x

z w

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

32. Qual o grafo complementar do grafo que tem duas componentes conexas isomorfas a Kr e Ks? 33. Ache uma bijeção de vértices que defina um isomorfismo entre os grafos abaixo:

34. Nos pares de grafos abaixo, mostre qual é bipartido. a) b)

35. Encontre um circuito em cada um dos grafos abaixo que considere todas as arestas e tenha o menor número possível de repetições.

36. Um grafo G representa uma rede de ruas para serem percorridas por um carteiro que tem de atravessar cada rua duas vezes, uma por cada lado da rua. Nesse grafo G, as arestas representam os passeios. Será que qualquer grafo deste tipo admite um circuito de Euler? Explique a sua resposta. 37. Suponha que, para certo grafo, é possível torná-lo desconexo retirando-lhe uma aresta. Mostre que um grafo deste tipo tem pelo menos um vértice de valência ímpar. (Mostre que tal grafo não admite um circuito de Euler).

u v

x w

s z

r t

u v

x w

s z

r t

y q