Sara Ferreira

TRABALHANDO GEOMETRIA NA 8' SERlE COM 0 CABRI

GEOMETREII

Monografia apresentada ao Curso de Ensino daMatematica da Faculdade de Cil!ncias Exatas eTecnol6gica da Universidade Tuiuti do Parana,como requisite parcial para a obtencyao do titulo deEspecialista em ensine da Maternatica.

Orientador Professor Dr. Jorge Bernard

2004Curitiba

SUMARIO

1 INTRODUCAO2 DEFINICOES DOS TERM OS OESTE TRABALHO2.1 ANGULO2.2 AREA2.3 CATETO2.4 COMPRIMENTO DA CIRCUNFER~NCIA2.5 CONGRU~NCIA2.6 FIGURAS GEOMETRICAS2.7 HIPOTENUSA2.8 HOMOTETIA2.9 MEDIDA2.10 POLIGONO2.11 PONTO2.12 PROPORCAO2.13 PROPORCIONALIDADE2.14 QUADRADO2.15 RA2Ao2.16 RELACAO2.17 RETA2.18 RETA PARALELA2.19 RETA TRANSVERSAL2.20 SEGMENTO DE RET A2.21 SEMI-RETA2.22 TEOREMA DE PITAGORAS2.23 TEOREMA DE TALES2.24 TRIANGULO2.25 TRIANGULO RETANGULO2.26 TRIANGULOS SEMELHANTES2.27 VERTICE3 UM POUCO DE HISTORIA3.1 UMA MEDIDA PARA A VIDA3.2 0 CORPO COMO UNIDADE3.3 ANGULOS E FIGURAS3.4 PARA MEDIR SUPERFIcIES3.5 NOVAS FIGURAS4 PROGRAMA CABRI-GEOMETRE5 coNlo ADQUIRIR 0 PROGRAMA CABRI GEOMETRE6 ATIVIDADES6.1 ATIVIDADE I: RA2Ao E PROPORCAo6.2 ATIVIDADE II: TEOREMA DE TALES6.3 ATIVIDADE III: TRIANGULOS SEMELHANTES6.4 ATIVIDADE IV: TRIANGULOS SEMELHANTES6.5 ATIVIDADE V: TRIANGULOS SEMELHANTES6.6 ATIVIDADE VI: DILATACAO DE FIGURAS GEOMETRICAS7 PROJETO I7.1 TEOREMA DE PITAGORAS

2233334444455556666777778888899

101011121415161617181920212222

7.1.17.1.1.17.1.1.27.1.27.1.2.17.1.2.27.1.37.1.3.17.1.3.289

Primeira demonstrac;aocriteria de recortedemonstraC;<3oSegunda demonstrac;aocriteria de recortedemonstraC;<3oTerceira demonstrar;:aocriteria de recortedemonstrar;:8IoCONCLUsAoREFERENCIAS BILBIOGRAFICAS

2324242526272829293031

RESUMO

No Trabalho a seguir definimos as termos usados na geometria para a Sa serie do

ensino fundamental e propomos a constru~ao dos conteudos, usanda regua e

compasso, como tambem a construc;:c3o destas formas geometricas utilizando a

programa de geometria Cabri Geometre II. Este material foi sistematizado como urn

elemento de apaio educativ~. Utilizando este programa, que permite aos

professores terem suas aulas rnais dina micas, e as alunos com maior interesse em

aprender geometria ficam beneficiados. Propomos as desenhos de objetos da

geametria estudados nesta serie e tambem a constru~ao de urn projeto: 'sabre tres

demonstrac;:oes do Teorema de Pitagoras.

Palavras-chave: Cabri-Geometre; tecnologia aplicada a geometria; formas

geometricas; Teorema de Pitagoras

INTRODUCAO

o presente trabalho tem par objetivo apresentar urn material didatico de

apoio aos alunos que almejam conhecer outro metoda para aprender geometria, e

aos professores da aa serle que desejam contextualizar suas aulas e torna-Ias rnais

dinamicas. Usamos esta tecnologia para aprender e/au ensinar matematica, rnais

especificamente geometria.

Para a constru9ao de objetos em geometria pensamos logo em regua e

compasso. 0 Cabri-Geometre II e urn programa de geometria que nos oferece

Un§gua e compasso eletr6nic05~, simples de usar e eficiente, pois, e passivel

construir "todas" as formas geometricas conhecidas.

Este Trabalho foi organizado com a ideia de colaborar com todos aqueles

que estao integrados, de uma forma ou outra, a aprendizagem da matematica.

Este material e composto de conteudos de geometria estudados na sa serie,

e sugerimos a construc;ao de cada um no Cabri Geometre.

Trabalhando Geometria na sa Serie com 0 Cabri Geometre II, foi dividido em:

definic;6es de cada termo usado neste trabalho e mais 6 atividades: Na Atividade I,

trabalhamos razao e proporyao e 0 conceito de proporcionalidade; Na Atividade II,

Teorema de Tales e nas Atividades III, IVe V, triangulos semelhantes sendo que na

Atividade VI vemos dilatar;ao de figuras geometricas. No final, apresentamos tres

demonstrar;6es do teorema de Pitagoras.

DEFINICOES DOS TERMOS OESTE TRABALHO

2.1 ANGULO

Angulo (do lalim angulus). Uma das regiaes do plano delerminadas par duas

semi-retas que tern a mesma origem (vertice). (Baratojo, 1997).

2.2 AREA

Para (Giovanni, Bonjorno & Giovanni Jr., 1994), area e urn numeral real,

maior au igual a zero, que representa a medida de urna superficie.

2.3CATETO

Cateta (do grego, khateto, dirigido de cima para baixo, vertical). Nome dado

antigamente a qualquer linha perpendicular a Dutra au a urna superficie. Qualquer

urn dos lados perpendiculares do triangulo. as lados de urn triangulo retfmgulo que

formam a angulo relo. (Baralojo, 1997).

2.4 COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFER~NCIA

Seja a circunferencia da Figura:

oA B

1°) Suponhamos ser passivel adaptar, sabre ela, urn fic qualquer, fechado.

2°) Carta mas esse fic e esticando-o, obtemos 0 segmento AB.

A medida do segmento AS denomina-se medida da circunferencia ou 0 comprimento

de AB e 0 comprimento da circunferencia. (Giovanni, Bonjorno & Giovanni Jr., 1994).

2.5 CONGRUI':NCIA

Segundo (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr., 2002) quando dais segmentos

tern a mesma medida, tomada na mesma unidade, dizemos que sao congruentes.

2.6 FIGURAS GEOMETRICAS

As figuras geometricas que estao contidas ern urn plano, ista e , que tern

todos as seus pontcs ern urn mesmo plano, sao chamadas figuras geometricas

planas. (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr., 2002).

2.7 HIPOTENUSA

Hipotenusa (do gregG hipo, sob; teinousa, que se estende). Unha sub-

estendida. Lado oposto ao angulo reta, no triangulo retangul0. (Baratojo, 1997)

2.8 HOMOTETIA

Duas figuras sao homoteticas quando sao semelhantes e as lados hom61ogos

sao paralelos dais a dais. E aplicada para ampliar OU reduzir urna figura nurna

determinada razao. Resumindo, temos homotetia = semelhan9a + paralelismo.

2.9 MEDIDA

Grandeza determinada que serve de padrao para a avaliayao de outras

grandezas. Exemplos: metro, metro quadrado, metro cubico, litro, grama, etc.

(Baralaja, 1997).

2.10 POLiGONO

A palavra ~poligono~ e farmada par dais termos 9re905: l2Qfl, que significa

"varies", "muitos~, e Y.Q!]Q que significa "anguto". Assim poligono significa "varios

angulos~

Poligono e a reuniao de uma linha fechada simples formada apenas par

segmentos de reta com a sua regiao interna. (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr.,

2002).

2.11 PONTO

Urn dos entes fundamentais da geometria; considerado como conceito

primitiv~, assim como tambem a reta e 0 plano. (Baratojo, 1997).

2.12 PROPORC;AO

Igualdade entre duas razoes: (a/b)=(cld) au a:b=c:d. Tern como propriedade

fundamental: MEm toda a propor930, a prod uta dos extremos e igual aD produto dos

meies ( a.d = b.c). 0 estudo de proporc;ao deu origem a muitas aplicar;oes praticas,

como: regra de tres, porcentagem, juros Simples, regras de sociedade, semelhan<;a

de paliga nos, etc. (Barataja, 1997).

2.13 PROPORCIONALIDADE

Qualidade ou propriedade de proporcional. Duas grandezas podem ser

diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais; sao diretamente

proporcionais se os valores "a" e "b" correspondentes sao tais que alb = k, onde k e

urn valor constante, positiv~, denorninado de constante de proporcionalidade; sao

inversarnente proporcionais se os valores de "a" e "b" correspondentes sao tais que

a.b ;; k, onde k e urn valor constante positivo, denorninado constante de

proporcionalidade inversa. (Baratojo, 1997).

2.14 QUADRADO

Os quatro angulos e as quatro lad os tern a rnesrna rnedida. (Giovanni,

Castrrucci & Giovanni Jr., 2002).

Segundo (Baratojo, 1997), quadrado e urn quadrilatero cujos lados tern a

mesma medida (congruentes) e cujas angulos sao retos (90°). 0 quadrado e a unico

quadrilatera regular, isto e, ele tern lados congruentes e angulos congruentes.

2.15 RAZAO

Quociente de dais numeros dados numa certa ordem, sendo a segundo

deferente de zero; a razao entre 50 e 10 e 50:10;; 5 (razao); a razao entre 5 e 10 e

5:10 que e igual a 0,5 ou %. Obs.: Esta razao e chamada de razao geometrica.

(Baratojo, 1997).

2.16 RELA<;:AO

Podemos dizer que relac;ao e uma equac;ao em que hi! uma igualdade. Ou

seja, uma f6rmula.

2.17 RETA

Ente geometrico primitiv~ ou intuitivo. (A reta, 0 ponto e plano constituem os

entes geometricos fundamentais). (Baratajo, 1997).

2.18 RETA PARALELA

Linhas au superficies eqOidistantes em tada a extensao. Duas retas sao

paralelas quando situados no mesmo plano, naD tern ponto em comum. Indica~se 0

para lei ism a entre as retas Kr" e ~s" par exemplo par rlls. (Baratojo, 1997).

2.19 RETA TRANSVERSAL

Reta que carta (intercepta) urna Dutra.

2.20 SEGMENTO DE RETA

De acordo com (Giovanni, Castrrucci & Giovanni Jr., 2002), se

considerarmos urna reta r e sabre ela marcarmos dais pontcs, A e S, distintos, 0

conjunto de pontcs formado pelo ponto A. pel0 ponto B e par todos as pontcs da reta

que estao entre A e B e chamado segmento de reta AB.

2.21 SEMI-RETA

Cad a urna das duas partes em que fica dividida urna reta par urn de seus

pontos. (Baratojo, 1997).

O. --II'-'A __ --OA

2.22 TEOREMA DE PITAGORAS

Teorema pel0 qual, ate hoje, 0 matematico e conhecido, que tern 0 seguinte

enunciado: "Em todo a tri;§.ngulo retangulo a quadrado da medida da hipotenusa eigual a soma dos quadrados das medidas das catetas".

2.23 TEOREMA DE TALES

Teorema que tern 0 seguinte enunciado: "urn feixe de paralelas determina em

duas transversa is (au secantes) quaisquer, segmentos que sao proporcionais.

(Baralojo, 1997).

2.24 TRIANGULO

Os triangulos sao polfgonos de tres lad os.

2.25 TRIANGULO RETANGULO

Triangulo que tern urn angulo reta.

2.26 TRIANGULOS SEMELHANTES

Triangulos que tern, ordenadamente angulos congruentes (mesma medida) e

lados proporcionais. (Baratojo, 1997).

2.27 VERTICE

Para (Giovanni & Parente,1999), cada ponto comum a tres ( au mais)

arestas, au seja, as "cantos" e chamado de vertice.

UM POUCO DE HISTORIA

Urna estranha construc;ao feita pelos antigos persas para estudar 0

movimento dos astros. Urn compasso antigo. Urn vetusto esquadro e, sob ele, a

demonstracyao figurada do teorema de Pitagoras. Urn papiro com desenhos

geometricos e 0 busto do grande Euclides. Sao etapas fundamentais no

desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilac;ao dos conhecimentos

existentes, as homens criavam, ao saber da experiencia, as bases da Geometria. E

realizavam operac;oes mentais que depois seriam concretizadas nas figuras

geometricas.

3.1 UMA MEDIDA PARA A VIDA

As origens da Geometria (do gregG medir a terra) parecem coincidir com as

necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras ferteis as margens dos rios, construir

casas, observar e prever os movimentos dos astros, sao algumas das muitas

atividades humanas que sempre dependeram de opera9Des geometricas.

Documentos sobre as antigas civiliza90es egipcia e babil6nica comprovam bons

conhecimentos do assunto, geralmente ligados a astrologia. Na Grecia, porem, e

que 0 genio de grandes matematicos Ihes deu forma definitiva. Dos gregos

anteriores a Euclides, Arquimedes e Apol6nio, consta apenas 0 fragmento de urn

trabalha de Hip6crates. E a resumo feito par Procla ao comentar os "Elementos" de

Euclides, obra que data do seculo V a.C., refere-se a Tales de Mileto como 0

introdutor da Geornetria na Greeia, por importa9ao do Egito.

Pitagoras deu nome a urn importante teorema sobre 0 triangulo-retangul0,

que inaugurou urn novo eonceito de dernonstrac;ao matematiea. Mas enquanto a

eseola pitag6rica do seeulo VI a.C. eonstituia uma espeeie de seita filos6fiea, que

10

envoi via em misterio seus conhecimentos, as "Elementos" de Euclides representam

a introduyao de urn metoda consistente que contribui ha mais de vinte seculos para

a progresso das ciencias. Trata-se do sistema axiomatico, que parte dos conceitos e

proposi90eS admitidos sem demonstrayao (postulados 0 axiomas) para construir de

maneira 16gica tude 0 mais. Assim, tres conceitos fundamentais - a ponto, a reta e 0

circulo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria

chamada euclidiana, utH ate hoje, apesar da existencia de geometrias nao-

euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contradit6rias) dos de Euclides.

3.2 a CORPO COMO UNIDADE

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao

corpo humano: palmo, pe, passo, braya, cubito. Por volta de 3500 a.C. - quando na

Mesopotamia e no Egito comeyaram a ser construidos os primeiros templos - seus

projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a

longitude das partes do corpo de um unico homem (geralmente 0 rei) e com essas

medidas construiram reguas de madeira e metal, ou cordas com nos, que foram as

primeiras medidas oficiais de comprimento.

3.3 ANGULOS E FIGURAS

Tanto entre os sumerios como entre os egipcios, os campos primitivos tinham

forma retangular. Tambem os edificios possuiam plantas regulares, 0 que obrigava

os arquitetos a construirem muitos angulos retos (de 900). Embora de bagagem

intelectual reduzida, aqueles homens ja resolviam 0 problema como urn desenhista

de hoje. Par meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de

II

reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam a maneira de

compassos: dois areos de circunferencia se cortam e determinam dois pontes que,

unidos, secionam perpendicularmente a Dutra reta, formando as angulos fetas.

o problema rnais comum para urn construtor e trac;:ar, por urn ponto dado, a

perpendicular a uma reta. 0 processo anterior nao resolve este problema, em que 0

vertice do angulo reta jei esta determinado de antemao. Os anti905 geometras, a

solucionavam por meia de tres cordas, colocadas de modo a formar as lados de urn

trizmgulo-retangulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5

unidades respectivamente. 0 teorema de Pitagoras explica porque: em todo

triangulo-retangulo, a soma dos quadrados dos catetos e igual ao quadrado da

hipotenusa (lado oposto ao angulo reto). Temos 32+42=52, isto e, 9+16=25.

Qualquer trio de numeros inteiros ou nao que respeitem tal relac;a:o definem

triangulos-retangulos, que ja na antigOidade foram padronizados na forma de

esquadros.

3.4 PARA MEDIR SUPERFIcIES

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sabre a terra

provavelmente come9aram a calcular a extensao dos campos por meio de urn

simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com

mosaicos quadrados uma superficie retangular, algum sacerdote deve ter notado

que, para conhecer a total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir

esse numero tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a formula da

area do retangulo: multiplicar a base pela altura.

Ja para descobrir a area do triangulo, os antigos fiscais seguiram urn

raciocinio extremamente geometrica. Para acampanha-Ia, basta tamar urn quadrado

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ou um retangul0 e dividi-Io em quadradinhos iguais. Suponhamos que 0 quadrado

tenha 9 "casas" e a retangulo 12. Esses numeros exprimem entaD a area dessas

figuras. Cortando 0 quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal,

aparecem dais trifmgulos iguais, cuja area, naturalmente, e a metade da area do

quadrado.

Quando deparavam com uma superficie irregular da terra (nem quadrada,

nem triangular), as primeiros cart6grafos e agrimensores apelavam para 0 artiffcio

conhecido como lriangulac;ao: comegando num angula qualquer, tragavam linhas a

todos as demais angulos visiveis do campo, e assim este ficava completamente

dividido em pOfgoes triangulares, cujas areas somadas davam a area total. Esse

metodo - em uso ate hoje - produzia pequenos erros, quando 0 terreno nao era

plano ou possufa bordos curvos.

3.5 NOVAS FIGURAS

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades foram fundadas na Grecia.

Tales e seu discipulo Pitagoras coligiram todo 0 conhecimento do Egito, da Eturria,

da Babil6nia, e mesmo da India, para desenvolve-Ios e aplica-Ios a matematica,

navegayao e religiao. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito

procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para trayar cfrculos, e

a novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos ge6metras. 0 conhecimento do

Universo aumentava com rapidez e a escola pitag6rica chegou a afirmar que a Terra

era esferica, e nao plana. Surgiam novas construyoes geometricas, e suas areas e

perf metros eram agora faceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada pollgono, do grego polygon, que significa

"muitos angulos". Atualmente ate rotas de navios e avioes sao trayadas par

11

intermedio de avanc;:ados metodos de Geometria, incorporados ao equipamento de

radar e autros aparelhos. 0 que naa e de estranhar" desde as tempos da antiga

Grecia, a Geometria sempre foi uma ci€mcia aplicada, au seja, empregada para

resolver problemas praticos. Dos problemas que as gregos conseguiram solucionar,

dais merecem referenda: a calculo da distancia de urn objeto a urn observador e a

calculo da altura de uma construc;:03o.

No primeiro casa, para calcular, per exemplo, a distancia de urn barco ate a

costa, recorria-se a urn curiosa artificio. Dais observadores se postavam de maneira

que urn deles pudesse ver 0 barco sob urn angulo de 90° com relac;:ao a tinha da

costa e 0 Dutro sob urn angulo de 45°. Isto feito, a nave e as dais observadores

ficavam exatamente nos vertices de um triangulo isosceles, porque os dois angulos

agudos mediam 45° cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a

distancia entre os dois observadores para conhecer a distancia do barco ate a costa.

o calculo da altura de uma construgao, de um monumento ou de uma arvore

e tambem muito simples: crava-se vertical mente uma estaca na terra e espera-se 0

instante em que a extensao de sua sombra seja igual a sua altura. 0 triangulo

formado pel a estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos e

isosceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

Fonte: Dicionario Enciclopedico Conhecer - Abril Cultural

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4 PROGRAMA CABRI-GEOMETRE

o CABRI-GEOMI:.TRE e urn programa que permite construir todas as figuras

da geometria elementar que podem ser trayadas com a ajuda de urna ragua e de urn

compasso. Urna vez construidas, as figuras podem se movimentar conservando as

propriedades que Ihes haviam sido atribuidas. Essa possibilidade de deforma9clo

permite 0 acessa rapido e continuo a todos as casas, constituindo-se nurna

ferramenta rica de valida9ao experimental de fatas geometricos.

o Cabri-Geometre tern Qutros aspectos que van muito alem da manipulayao

dinamica e imediata das figuras. Ele permite visualizar lugares geometricos

materializando a trajet6ria de urn ponto escolhido enquanto que urn outro ponto esta

sendo deslocado, respeitando as propriedades particulares da figura. Ele permite

tambem medir distancias, angulos e observar a evolu~ao em tempo real durante as

modificavoes da figura.

Uma verdadeira ferramenta para 0 aluno, 0 Cabri-Geometre tambem e uma

ferramenta para 0 professor que 0 utiliza no ensino. Alguns recursos do programa

podem ser suprimidos, outros podem ser adicionados.

o Cabri-Geometre e um software desenvolvido p~r J. M. Laborde, Franck

Bellemain e Y. Baulac, no Laboratorio de Estruturas Discretas e de Didcitica da

Universidade de Grenoble. Este e urn laboratorio associado ao CNRS, instituivao

francesa equivalente ao CNPq brasileiro.

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5 COMO ADQUIRIR 0 PROGRAMA CABRI GEOMETRE II:

A PUC e representante oficial do Cabri no Brasil. Informavoes:

Departamento de Matematica - PUC ISP

Rua Marques de Paranagua, 111

CEP 01303-50 - Sao Paulo, SP - Tel. (55-11)-256-1622.

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6 ATIVIDADES

6.1 ATIVIDADE I: RAZAo E PROPOR<;AO

Construa 0 segmento AS e 0 ponto C sabre 95te segmento. Usanda a calculadora,

estabelec;a a razao entre as segmentos:

• AB e BC AB_ S.SOcmABIAC _ Result 2.66

ABlBC •• Resul:: 1.60ACIBC ••Result: 0.60

• AB e AC A 2.07cm C 3.43crn

• ACeBC

Movimente as pontcs A e Be observe as razOes.

Movimente 0 ponto C e observe as razoes.

Conceituando Proporcionalidade

Podemos perceber, ao movimentarmos as pontes A e B, que as razoes calculadas

se mantem. Ou seja, as segmentos se mantem na mesma propon;ao.

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6.2 ATIVIDADE II: TEOREMA DE TALES

Construa agora tres retas paralelas r1, r2 e r3. Em seguida, construa uma reta

transversal t.

AC·4_17cmABlBC.~uIt167

~ACJA8 ••Result: 1.60

AClBC_ Res"1: 2.61

"2:~ r2

1_S6C~

c~

• Use a calculadora para determinar a razao entre as segmentos AS e Be: AS e

AC; ACe BC.

• Movimente a reta transversal t e observe 0 que aconteee com as razoes.

Teorema de Tales

Ao movimentarmos a reta transversal t, nae alteramos as razOes calculadas. Ou

seja, segmentos constru[dos a partir de retas paralelas cortadas par uma reta

transversal estao numa mesma razao.

6.3 ATIVIDADE III: TRIANGULOS SEMELHANTES

Construa dais triangulos de tal forma que as medidas dos lados do segundo sejam

e observe a que acontece ao movimentarmos seus vertices.

multiplas das medidas dos lados do primeiro. Calcule as angulos dos dais triangulos

SUGESTAo: Construa 0 primeiro triangulo. Va ao Menu 10/ltem 3 (inclina<;ao)e

digite a numero tatar de relavao entre as lados dos dais triangulos. Calcule a

comprimento dos lados do primeiro trizmgulo e, usand a a calculadora, multiplique

estes nurneros pelo numero escolhido. Va ao Menu 5/1tem 8 (transferencia de

medidas) e construa segmentos correspondentes aos lados do segundo triangulo

triangulo.

(usanda as medidas calculadas). A partir destes segmentos, construa a segundo

r= 1.5AS "'r= Result: 4.74 emBC .•••r'" Result: 6.30cmAC"'r= Result 6.S8cmA·

A

3.16an ~ <.39=

~B 4.20cm C

Triangulos Semelhantes - Caso lLl

Quando construimos triangulos cujos lados estao na mesma proporyao, obtemos

angulos de mesma medida. Oessa forma, construimos triangulos que se parecem,

mais precisamente, triangulos semelhantes.

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6.4 ATIVIDADE IV: TRIANGULOS SEMELHANTES

Construa dais triangulos de tal forma que as angulos do primeiro sejam congruentes

aos angulos do segundo e que, ao movimentarmos as vertices do primeiro, 0

segundo tambem se modifica, mas mantendo as angulos iguais aos do primeiro.

Calcule a razao entre as lados do primeiro e as lados do segundo e observe 0 que

acontece quando movimentam-se as vertices.

SUGESTAo: Oado 0 primeiro tritmgulo, construa a segundo com lados paralelos ao

primeiro. Com esta constrw;30, as angulos do primeiro sao congruentes aos angulos

do segundo.

A8"3.19cmA'B'= 5.68 emASlA'B'. Result 0.56

BC-3.90cmS'C' ••6.9ScmBGlB'C'· Resut: 0.56

AC-4.01 emA'C'-7.13emAC/A'C'= Result: 0.56

A~C

VB

8'

Triangulos Semelhantes - Casa AAA

Quando construirnos triangulos cujos angulos tern rnesma medida, obtemos lados

numa mesma propon;ao. Oessa forma, construimos tri€mgulos que se parecern,

rnais precisamente, triangulos semelhantes.

6.5 ATIVIDADE V: TRIANGULOS SEMELHANTES

Construa dais triangutos conforme a configurac;ao ao lado

e de tal forma que ao mover-se as vertices lado PO

se mantem sempre paralelo ao lado Be.Que relac;:6es existem entre estes dais triangulos?

20

Triangulos Semelhantes - Caso LAL

Os lados dos triangulos ABC e APQ estao numa mesma propor~ao e seus

angulos possuem mesma medida. Assim, podemos dizer que as triangulos ABC e

APQ sao semelhantes.

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6.6 ATIVIDADE VI: DILATAC;;AO DE FIGURAS GEOMETRICAS

Nesta atividade vamos trabalhar com 0 Menu 6/1tem 3 (translac;ao), au seja, com a

Homotetia. Este menu dilata urn objeto qualquer a partir de urn ponto e de urn fatar

de dilatac;ao. Vamos trabalhar urn pouco com ele.

• Construa urn triimgulo ABC e urn ponto 0;

• Construa as semi-retas OA, OB e OC;

Construa A', 8' e C' nas semi-retas

razoes OAlOA', OB/OB' e OC/OC' se

OA, OB e OC de tal forma que as

mantenham iguais. Para isso, utilize

a menu de dilatac;ao. (Nao esquec;a

de editar 0 fatar de dilatac;ao.)

Que relac;6es existem entre as lados destes dais triimgulos? E entre as angulos?

Mude 0 fatar de dilatac;ao e observe 0 que acontece.

Dilata~ao

Os dais triangulos construfdos sao semelhantes, pois seus lad os estao na mesma

propon;;ao e seus angulos possuem mesma medida.

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7 PROJETO I:

7.1 TEOREMA DE PITAGORAS

Como sabemos, 0 Teorema de Pitagoras diz que, em urn triangulo retangulo, 0

quadrado da hipotenusa e igual a soma dos quadrados dos catetas. Se construirmos

quadrados sabre as lades a, bee do tri2mgulo retangulo, esses quadrados terao

area a2, b 2 e c2.

Ou seja, podemos enunciar 0 Teorema de Pitagoras da seguinte forma: a area do

quadrado maior (construido sabre a hipotenusa) e igual a soma das areas dos dais

quadrados men ores (construidos sabre as catetas).

Vamos, entaD, trabalhar com tres diferentes demonstra90es do Teorema de

Pitagoras atraves de recortes.

23

7.1.1 Primeira demonstrac;ao

A primeira demonstrac;ao esta representada no desenho abaixo.

Procure identificar com que criterios foram

construfdos as recortes nos quadrados e

confira a demonstrac;ao de porque a quebra-

cabec;a funciona.

TEOREMA DE PITAGORAS

24

7.1.1.1 criteria de recorte

Os criterios de recarte da figura serao nossas hip6teses na demonstrac;:ao.

As diagonais pontilhadas desenhadas na figura \lao auxiliar a visualizac;:ao durante a

demonstrac;:ao.

• considere 0 quadrado medio (de lado AB).

encontrar 0 centro M deste quadrado.

• trace retas paralelas aDs lados do quadrado maior (de lado Be) passando par

M.

• a quadrado media esta, agora, divido em quatro partes.

7.1.1.2 demonstrac;ao

Observe que para montar a quadrado grande basta transladar as pec;as do quadrado

media e completar a centro com a quadrado menor. Os vetores de translac;ao tern

origem no ponto M e extremidades nos vertices do quadrado maior.

A "figura chave" desta demonstrac;ao eo paralelogramo BCOF.

1. as quadrilateros 1, 2, 3 e 4 que comp6em 0 quadrado medio sao congruentes,

pois os lad os DF e EG resultam da rota9ao das diagonais, mantendo, assim,

a area das figuras constante. Tente observar na figura com 0 auxilio das

diagonais pontilhadas.

2. os segmentos OF e CS sao congruentes, assim como os segmentos CD e SF,

pois sao lados opostos de urn paralelogramo. Procure observar na figura.

25

3. as segmentos OM, MF, EM e MG sao congruentes (de 1) e portanto, com

comprimento igual a metade da medida do lado do quadrado maior (de 1 e 2).

4. como as quadrilateros 1, 2, 3 e 4 possuem um angula reto, eles encaixam-se

no quadrado maior.

5. 0 quadrado vermelho restante lem lado AC, pois CD-AD'AC e CD'SF.

7.1.2 Segunda demonstra~ao

Procure identifiear com que criterios foram construidos as recortes nos quadrados e

contira a demonstrac;ao de porque 0 quebra-cabec;a funciona.

26

TEOREMA DE PITAGORAS

D'

7.1.2.1 criteria de recorte

Os criterios de recorte apresentados abaixo ser;~o nossas hip6teses na

demonstrac;:ao.

• considere 0 triangulo retangulo ABC.

construa, sabre as lados AS e AG, as quadrados ABDE e ACFG.

"dobre" (reflita) 0 quadrado de lado AS em torna deste lado.

• marque as pontes D', E' e N.

trace uma reta perpendicular ao segmento Be passando par B e Dutra

passando par C.

• chame de H 0 ponto de intersegc30 da segunda reta perpendicular com a

segmento FG.

• construa a retangulo de lados Be e CH e chame-o de BCHI.

• trace uma reta perpendicular ao segmento BG passando par I e chame de J a

intersec;:ao.

27

7.1.2.2 demonstragao

Observe que basta transladar as triangulos celeridos para que as pec;:as se

encaixem.

Porem, para a demonstrac;ao, precisamos enxergar a congruencia dos tri~mgulos

destacados.

1. as triangulos ABC e FHC sao congruentes (ALA). Use soma de angulos para

ver esta congruencia.

2. 0 quadrilcitero BCHI e urn quadrado, pais as lados Be e CH sao congruentes

(de 1).

3. as triangulos amarelos sao congruentes, pais ambos sao congruentes ao

trianguto ABC (procure fazer demonstrac;:ao analoga ao item 1.

4. IJ=AB (de 3) e AB=BD' (lad os do quadrado).

5. as triangulos verdes sao congruentes (LAAo).

6. as angulos dos triangulos verdes sao congruentes aos angulos dos

triangulos vermelhos: ambos tern angulo reto; tern angulos opostos pelo

vertice e 0 terceiro vem do "teorema 180°"

7. os segmentos NC e LH sao congruentes, pois BC=IH e BN=IL.

8. os triangulos vermelhos sao congruentes (ALA).

Assim, vemos que as pe9as destacadas nos quadrados men ores se encaixam no

quadrado maior.

28

7.1.3 Terceira demonstrayao

Procure identificar com que criterios foram construidos as recortes nos quadrados e

confira a demonstrayao de porque 0 quebra-cabe9a funciona.

TEOREMA DE PITAGORAS

29

7.1.3.1 criteria de recorte

Os criterios de recorte abaixo serao nossas hipoteses na demonstra9ao.

• considere 0 triangulo retangulo ABC.

• construa quadrados sabre as lados deste triangulo.

• considere agora 0 quadrado maior (de lado Be).

• refiita 0 tritlngulo ABC em torna do Lado BC, de modo que 0 triimgulo refletido

fique dentro do quadrado maior.

• construa mais tres triangulos retangulos congruentes ao inicial sabre as lados

do quadrado maior, como sugere a figura.

• divida dais destes triangulos em outros dois triangulos, de modo que urn

destes triangulos seja retangulo isosceles.

• 0 recorte do quadrado maior esta pronto.

7.1.3.2 demonstra,ao

1. as triimgulos isosceles 3 e 5 tern catetos de medida AC por construc;ao.

Logo, encaixam-se no quadrado men or (de lado AC).

2. Os triangulos 1 e 6 possuem um dos catetos com medida AB e outro com

medida AC e sua hipotenusa mede BC, pois sao congruentes ao triangulo

ABC.

3. os triangulos 2 e 4 sao congruentes. Seus lados maiores medem BC. Os

lados menores medem AB-AC (procure ver na figura).

30

4. A figura 7 e urn quadrado, pais todos as seus angulos sao retas e seus

lados medem AS-AC (veja na figura).

5. Considerando as afirma90es 2, 3 e 4, concluimos que as figuras 1, 2, 3, 4,

5, 6 e 7 encaixam-se no quadrado de lado AB, como mostra a figura.

Assim, esta provado que a area do quadrado maior pode ser decomposta na area

dos dais quadrados men ores.

31

8. CONCLUsAo

o presente Trabalho seguiu urn embasamento da geometria estudada na sa serie.

Foram abordados diversos conteudos considerados como relevantes, envolvidos

nesta proposta para 0 desenvolvimento do conhecimento. Integrando aluno e a

tecnologia, bern como 0 professor a suas aulas, e tornando-as mais interessantes.

o trabalho aqui apresentado naD e urn modele pr6prio, mas sim, urn complemento

de grande valor que auxiliara alunos e professores. Entendemos que, sera

necessaria uma melhor sistematizag80 e organizagao de estudos com professores e

alunos, para que haja urna melhor interagZlo dos conteudos da geometria dentro

deste meio tecnol6gico.

32

9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] BIANCHINI, E. Matematica 5a Serle. 4a edic;ao. Sao Paulo: Editora Modema.

[2] MACHADO, N. J. Vivendo a Matemiltica: Os Poliedros de Platao e as Dedas da

Mao. 701 edic;ao. Sao Paulo: Scipione, 1997.

[3] GIOVANNI, J. R; CASTRUCCI, B. & GIOVANNI JR, J.R. A Conquista da

Maiematica. 6a serie. Sao Paulo: Editora FTD, 2002.

[4] GIOVANNI, J. R; CASTRUCCI, B. & GIOVANNI JR, J.R. A Conquista da

Matemiltica. 7' serie. Sao Paulo: Editora FTD, 2002.

[5] BIGODE, A. J. L. Malematica Hoje e Feila Assim. 7a serie. Sao Paulo: Editora

FTD,2000.

[6] BIGODE, A J. L. Matematica Hoje e Feita Assim. 811 serie. Sao Paulo: Editora

FTD,2000.

]7]GIOVANNI, J.R., PARENTE, E. Aprendendo Matemiltica Novo. 8' serie. Sao

Paulo: FlD, 1999.

]8] SILVEIRA, r:':.; MARQUES, C. Malemillica. 8' serie. Sao Paulo: Moderna, 1996.

]9] BARATOJO, J.T.; Dicionario de Matematica para a 1° grau. 2' edi,ao. Porto

Alegre: Sagra Luzzatto,1997.

http://www.cabri.com.br/download/gbbook por.odf (guia do Cabri Geometre)

http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundomaUmalice2/cabri2.htm ( Dowland do Cabri

Demo)

http://proem.puGsp.br/cabrisobr.htm (Informar;oes sabre a Cabri e como e onde

adquiri-Io)