Tópicos em Dinâmica de Fluidos como uma Teoria de...

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASInstituto de Física Gleb Wataghin

David Montenegro Coelho

Tópicos em Dinâmica de Fluidos como umaTeoria de Campo

Campinas

2016

David Montenegro Coelho

Tópicos em Dinâmica de Fluidos como uma Teoria deCampo

Dissertação apresentada ao Instituto de físicaGleb Wataghin da Universidade Estadual deCampinas como parte dos requisitos exigidospara a obtenção do título de Mestre em Físicana área de Física Teórica.

Orientador: Donato Giorgio Torrieri

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE A VERSÃOFINAL. DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELO ALUNODAVID MONTENEGRO COELHO, E ORIENTADAPELO PROF. DR. DONATO GIORGIO TORRIERI.

Campinas2016

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CNPq, 147435/2014-5

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Física Gleb WataghinLucimeire de Oliveira Silva da Rocha - CRB 8/9174

Coelho, David Montenegro, 1990- C65t CoeTópicos em dinâmica de fluidos como uma teoria de campo / David

Montenegro Coelho. – Campinas, SP : [s.n.], 2016.

CoeOrientador: Donato Giorgio Torrieri. CoeDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de

Física Gleb Wataghin.

Coe1. Teoria de campo efetivo. 2. Hidrodinâmica. 3. Estabilidade. 4.

Causalidade (Física). 5. Israel-Stewart, Teoria de. 6. Navier-Stokes, Equaçõesde. I. Torrieri, Donato Giorgio,1975-. II. Universidade Estadual de Campinas.Instituto de Física Gleb Wataghin. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Topics in fluid dynamics as field theoryPalavras-chave em inglês:Effective field theoryHydrodynamicsStabilityCausality (Physics)Israel-Stewart theoryNavier-Stokes equationsÁrea de concentração: FísicaTitulação: Mestre em FísicaBanca examinadora:Donato Giorgio Torrieri [Orientador]Pedro Cunha de HolandaFernando Silveira NavarraData de defesa: 15-09-2016Programa de Pós-Graduação: Física

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MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE

DAVID MONTENEGRO COELHO – RA: 116586 APRESENTADA E APROVADA

AO INSTITUTO DE FÍSICA “GLEB WATAGHIN”, DA UNIVERSIDADE ESTADUAL

DE CAMPINAS, EM 15/09/2016.

COMISSÃO JULGADORA:

- Prof. Dr. Donato Giorgio Torrieri – (Orientador) – DRCC/IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Pedro Cunha de Holanda – DRCC/IFGW/UNICAMP

- Prof. Dr. Fernando Silveira Navarra – IF/USP

A Ata de Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no

processo de vida acadêmica do aluno.

CAMPINAS 2016

Este trabalho é dedicado a minha Mãe.

Agradecimentos

Meus agradecimentos são, primeiramente, ao meu Orientador o Professor DoutorDonato Giorgio Torrieri pela paciência ao longo desses dois anos de trabalho e por todoo aprendizado e confiança depositado em mim para concluir a Dissertação aqui presente,sem falar, nas inúmeras discussões físicas ocorridas que levaram aos resultados teóricos eprincipalmente ao meu aprendizado e amadurecimento como um profissional.

Agradeço a minha família pelo suporte nos momentos difíceis que compõem a es-trada acadêmica e apoio que me permitiram continuar, mesmo com as inúmeras ausências.

Agradeço aos meus amigos que me deram suporte emocional em vários pontosdessa minha jornada desde o convívio e até nas discussões físicas que foram fundamentaisna manutenção da minha sanidade nos últimos meses, em especial: Silvia Franchetti,Eduardo, Diego Coelho, Bruno, Silvânia, Flávia, Bruna e Diego.

Agradeço a Universidade Estadual de Campinas (Unicamp) e o Instituto de FísicaGleb Wataghin pela infraestrutura, excelentes professores e suporte financeiro para asEscolas de Verão e seminários, além do excelente curso de Graduação e de Pós Gradua-ção oferecido pela instituição. Especialmente ao Conselho Nacional de DesenvolvimentoCientífico e Tecnológico (CNPq) que sem seu apoio e suporte imediato este trabalho nãoteria sido possível.

“A verdadeira ignorância não é a ausência de conhecimentos,mas o fato de se recusar a adquiri-los”

Karl Popper.

ResumoO interesse científico cresceu após confirmado por testes experimentais o comportamentodo Plasma de Quark-Glúon como um fluido quase perfeito no LHC e RHIC. O objetivodesse trabalho é fornecer as bases teóricas da Effective Field Theory (EFT) na abordagemda Hidrodinâmica, pois vários recursos não-triviais na dinâmica relativística dos fluidossão claramente explicados por esse formalismo.

Problemas teóricos na EFT sugerem a inclusão de uma nova formulação do Princípiode Hamilton compatível com o princípio da causalidade, através do Closed-Time-Path.Após resolvido esse problema, alcançamos o requisito necessário para derivar a hidrodi-nâmica dissipativa em altas ordens por meio da ação. Assim, conseguimos caracterizara Lagrangeana de Navier-Stokes ao introduzir a quebra de simetria na preservação dodifeomorfismo pelo volume por meio do termo 𝐵−1

𝐼𝐽 . No entanto, uma análise pelo métodode Ostrogradski levou à supressão dessa equação, através da inclusão da Lagrangeana deIsrael-Stewart na expansão que é justificada por meios de argumentos de estabilidade ecausalidade.

Por fim, propomos uma variável 𝑋𝐼𝐽 na Lagrangeana de Israel-Stewart, simétrica, ani-sotrópica e dependente das condições iniciais que juntamente com os já estabelecidosgraus de liberdade de campo, formam a base para a derivação bottom-up em altas ordensda EFT e propicia medidas para estudar turbulência e instabilidade no vácuo e outrassituações que chegam da relação entre graus de liberdade macroscópico e microscópico.

Palavras-chaves: teoria efetiva de campo, hidrodinâmica, instabilidade, Israel-Stewart,Navier-Stokes.

AbstractScientific interest grew after the behavior of the quark-gluon Plasma as a nearly perfectfluid in the LHC and RHIC. The objective of this dissertation is offer support to use theEffective Field Theory (EFT) approach to study hydrodynamics because many non-trivialfeatures in relativistic fluid dynamics are clearly explained by this Lagrangian formalism.

Theoretical problems in EFT considering by including a new formulation of the Hamil-tonian principle that is compatible with the principle of causality for non-conservativefield through the Closed-Time-Path formalism. After solving this problem, we reachedrequirement to derive the dissipative hydrodynamics in higher orders of action. We wereable to characterize Navier-Stokes’ Lagrangian by introducing the symmetry breaking ofpreserving diffeomorphism through the volume with the term 𝐵−1

𝐼𝐽 to the Lagrangian ofNavier-Stokes. An analyse of Ostrogradski’s method led to the removal of equation byincluding the Israel-Stewart term in the Lagrangian expansion that provides an extrajustification by means of symmetry and causality arguments.

Finally, we propose a variable 𝑋𝐼𝐽 , Israel-Stewart’s Lagrangian, symmetric, anisotropicand dependent on initial conditions together with an established degree of freedom ofthe field, which form the basis for the derivation of higher orders of the bottom up andpromote steps to the study of turbulence by instability in the vacuum, and other situationsarising from the relationship between macroscopic and microscopic degrees of freedom.

Key-words: effective field theory, hydrodynamics, instability, Israel-Stewart, Navier-Stokes.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Esquerda: Os coeficientes de Fourier ⟨𝑣2𝑛⟩1/2 em função do momento

transverso. Figura retirada de (GALE et al., 2013). Direita: A in-fluência de 𝜂/𝑠 na relação de 𝑣2 com 𝑝𝑡. Figura retirada da referência(SNELLINGS, 2011). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Figura 2 – Uma comparação da viscosidade shear e a densidade de entropia devários fluidos fortemente acoplados em uma relação de 𝜂/𝑠 e (𝑇−𝑇𝑐)/𝑇𝑐,onde 𝑇𝑐 é a temperatura da transição superfluida. Figura retirada dareferência (ADAMS et al., 2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Figura 3 – Um esquema ilustrativo dos limites de escala de energia. Onde as linhashorizontais verdes são energia 𝐸 ≥ 𝑀ℎ𝑖 e as linhas azuis são 𝐸 ≤ 𝑀𝑙𝑜.A linha vermelha 𝐸𝑐 é a energia escolhida para estudar. . . . . . . . . . 25

Figura 4 – Ilustração do procedimento top-down na EFT. . . . . . . . . . . . . . . 27Figura 5 – Ilustração do procedimento bottom-up na EFT. . . . . . . . . . . . . . 28Figura 6 – Representa um elemento de fluido parametrizado por eixos de campo

escalar 𝜑𝐼 , os eixos cartesianos no fundo é para mostrar que não existeuma parametrização direta como nas redes cristalina. . . . . . . . . . 34

Figura 7 – Representa um elemento de fluido no estado fundamental onde os eixosdos campos 𝜑𝐼 se alinham com os eixos cartesianos 𝑥𝐼 , por meio de⟨𝜑𝐼⟩ = 𝑥𝐼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 8 – Representa um fluxo estacionário onde as setas azuis representam trans-ferência de momento molecular da componente x para diferentes cama-das no eixo y e provoca um desaparecimento das gradientes de veloci-dade do fluido. Figura retirada da referência (KOVTUN, 2012). . . . . 42

Figura 9 – Esquerda: Princípio de Hamilton, trajetória de 𝑞𝑖(𝑡). Direita: Prin-cípio de Hamilton da mecânica não conservativa, trajetória de 𝑞1𝑖(𝑡)e 𝑞2𝑖(𝑡). As linhas pontilhadas são os caminhos virtuais e as sólidassão os caminhos estacionários, a seta indica o sentido da integraçãode 𝑡𝑖 (tempo inicial) á 𝑡𝑓 (tempo final). Figura retirada da referência(GALLEY, 2013). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 10 – O comportamento qualitativo da ação 𝑆 em função dos graus de liber-dade macroscópicos de NS: 𝐵 e 𝐵𝐼𝐽 . Levando em conta o limite hi-dróstatico (𝜑𝐼 ≃ 𝑥𝐼). Figura retirada da referência (MONTENEGRO;TORRIERI, 2016). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 11 – Comportamento qualitativo da ação 𝑆 em função dos graus de liberdadede IS: 𝐵, 𝐵𝐼𝐽 e 𝑋𝐼𝐽 no limite hidrostático 𝜑𝐼 ≃ 𝑥𝐼 . A ação é definidapositiva para todos os graus de liberdade. Figura retirada da referência(MONTENEGRO; TORRIERI, 2016). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 12 – A figura do lado esquerdo é o “limite hidrostático” e do lado direito éuma turbulencia no vácuo. A energia livre está associada com grausde liberdade microscópico e macroscópico e a ilustração representaum diagrama de fase de primeira ordem. Figura retirada da referên-cia (BURCH; TORRIERI, 2015). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 13 – A ação 𝑆 de um sistema “turbulento” no qual as correções da EFT egradientes 𝑇𝑜 são esboçadas. Figura retirada da referência (MONTE-NEGRO; TORRIERI, 2016). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Figura 14 – A Hamltoniana em termos do grau de liberdade 𝐵 para um fluido ideal. 107

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.0.1 Instruções da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.0.2 Notação e Convenção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1 Hidrodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.1 Plasma de Quark-Glúons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.1.2 AdS/CFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.1.3 Ultra-Cold Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.1.4 Teoria Cinética dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Effective Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

I REVISÃO TEÓRICA 23

2 EFFECTIVE FIELD THEORY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1 Princípios Básicos da Effective Field Theory . . . . . . . . . . . . . . 242.1.1 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Simetrias e Expansão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Tipos de EFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.1 Top-Down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Bottom-Up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Renormalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

II FLUIDO PERFEITO NA EFT 31

3 FLUIDO IDEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1 Teoria Clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.1.1 Graus de Liberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.1.2 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Fluido Carregado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III FLUIDO IMPERFEITO NA EFT 41

4 DISSIPAÇÃO HIDRODINÂMICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1 Referencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2 Dissipação na Linguagem EFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Lagrangeana de Fluidos Dissipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.3.1 Mecânica Clássica para Sistemas não Conservativos . . . . . . . . . . . . . 48

5 NAVIER-STOKES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Relações de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.1 Instabilidade e Causalidade em Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 ISRAEL-STEWART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1 Lagrangeana de Israel-Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 CONSIDERAÇÕES FINAIS E PERSPECTIVAS FUTURAS . . . . . 78

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

APÊNDICES 99

APÊNDICE A – OSCILADOR HARMÔNICO ACOPLADO . . . . 100

APÊNDICE B – INSTABILIDADE DE OSTROGRADSKI . . . . . 103B.1 Teorema de Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

13

1 Introdução

1.0.1 Instruções da Dissertação

Mostraremos um guia de como essa dissertação está estruturada e daremos umbreve resumo de cada capítulo.

Continuaremos a introdução mostrando as principais aplicações da Hidrodinâmicanos vários ramos da física: Plasma de Quark-Glúons, Ultra-Cold Atoms e AdS/CFT eTeoria Cinética. Sem entrar em detalhes aprofundados ou uma demonstração teórica maisconsistente, apenas ressaltando como sistemas de diferentes escalas podem ser modeladospor um fluido.

O Capítulo 2 tem por objetivo iniciar uma descrição teórica e fenomenológica dasprincipais bases da Effective Field Theory, levando a uma compreensão mais intuitiva, semabordar uma descrição mais formal da matemática a qual será deixada para uma leituracomplementar dada nas referências. Esse capítulo serve como uma preparação para umestudo mais detalhado dos próximos capítulos onde será visto uma aplicação da EFT naHidrodinâmica.

No Capítulo 3, realizamos uma revisão teórica de trabalhos já publicados, a fimde familiarizar a descrição do fluido ideal não carregado e carregado pelos conceitos teó-ricos introduzidos no capítulo anterior. É um exercício instrutivo e indispensável com opropósito de se acostumar com a notação de campo das propriedades de um fluido.

No capítulo 4, fizemos uma breve discussão para recordar as principais ideias dahidrodinâmica Euleriana sobre a dissipação e com o propósito de correlacioná-las com asprincipais ideias da EFT. Esse capítulo contém a introdução do Princípio de Hamiltonpara sistemas não conservativos (Closed-Time-Path) e como incorporá-lo a EFT.

No capítulo 5, calculamos a Lagrangeana de Navier-Stokes pela quebra de sime-tria da preservação do volume pelo difeomorfismo na presença de um fluido descarregado.Usamos o arcabouço teórico desenvolvido nos capítulos anteriores e calculamos o compor-tamento instável e não causal de Navier-Stokes.

O capítulo 6 é dedicado a introduzir a Lagrangeana de Israel-Stewart motivada peloproblema apresentado no capítulo anterior. Esclarecemos em maior detalhe a variável 𝑋𝐼𝐽

e a sua relação na hidrodinâmica de altas ordens, além de averiguar fatores de turbulência,“instabilidade no vácuo” e modificações na corrente de entropia sugerida pelo novo termode Israel-Stewart.

No final da dissertação, no capítulo 7, será apresentado a conclusão e algumas

Capítulo 1. Introdução 14

perspectivas futuras. Os apêndices são largamente citados durante o texto e servem comoapoio para alguns conceitos teóricos.

1.0.2 Notação e Convenção

Definiremos as notações e convenções utilizadas ao longo da dissertação, a fim deevitar complicações na compreensão da mesma.

A regra de soma de Einstein estará implícita, ∑𝑖 𝑎𝑖𝑏𝑖 = 𝑎𝑖𝑏𝑖, a menos que seja

especificado o contrário na dissertação. Por questões de utilidade as letras gregas (𝜇, 𝜈, ...)serão especificadas em denotar os índices quadridimensionais do espaço. A métrica éformada por 𝑑𝑖𝑎𝑔(−,+,+,+), a menos que se explicite o contrário.

A derivada parcial de qualquer função será denotada como 𝜕𝑓𝜕𝑥𝜇 = 𝜕𝜇𝑓 , ∇ =

(𝜕1𝜇, 𝜕

2𝜇, 𝜕

3𝜇, ..., 𝜕

𝐼𝜇), onde 𝐼 são coordenadas espaciais. Adotamos o sistema natural de me-

didas 𝑐 = 𝑒 = 𝐺 = 𝑘𝛽 = ℎ = 1.

1.1 HidrodinâmicaFluidos estão em todos os lugares: ar, oceano, laboratório, espaço, sistemas as-

trofísicos, Plasma de Quark-Glúon e outros. A Hidrodinâmica é o nome tradicional cor-respondente a dinâmica dos fluidos que estuda o movimento de líquidos e gases. É umaciência, inicialmente, empírica e teve seus estudos proeminentes e fundamentais dadospor Arquimedes e passando, assim, por grandes matemáticos e físicos, como Bernoulli,Newton, Euler, Navier-Stokes e outros. Quando se pensa em Hidrodinâmica, logo surgemas observações diárias como: o fluxo de água em uma torneira, um vórtice na pia, a tur-bulência dos ventos, as ondas do mar e outros fenômenos diários. Todos esses modelos sãobem conhecidos e estabelecidos pela hidrodinâmica. A Mecânica dos Fluidos, assim de-nominada por Euler, consegue descrever boa parte do comportamento dos fluidos ao usaras leis da Mecânica Clássica e Termodinâmica. E em todos esses casos a hidrodinâmicase estrutura como um problema de valor inicial, determinístico e analisada unicamentepelas suas equações de movimento (LANDAU; LIFSHITZ, ).

A hidrodinâmica é um tema teórico e fenomenológico ainda em desenvolvimento(SOUZA; KOIDE; KODAMA, 2016), e seu estudo é essencial para o entendimento docomportamento de sistemas dinâmicos (clássicos ou quânticos) em uma temperatura dife-rente de zero. Dentro dessa larga teoria criada e em construção é imprescindível fazer a suaconexão com as observações experimentais. No entanto, conceber uma ligação geral entrea hidrodinâmica e qualquer modelo de teoria microscópica é uma questão não trivial a serrespondida e isso constituem um importante ramo da física, onde o seu comportamento


não aparece naturalmente, (KOVTUN; SON; STARINETS, 2005a).

1.1.1 Plasma de Quark-Glúons

A hidrodinâmica é largamente utilizada em vários fenômenos da física e em dife-rentes escalas de energia. É uma teoria muito promissora ao analisar o movimento coletivode Quark-Glúons e indispensável para conceber certos estágios da expansão da matériae de suas propriedades (SOUZA; KOIDE; KODAMA, 2016). Historicamente o uso daaproximação hidrodinâmica teve o seu interesse, principal, concentrado nas energias nãorelativísticas, pois o propósito era estudar o núcleo e suas interações a partir do ponto devista de um sistema de muitos corpos (SOUZA; KOIDE; KODAMA, 2016). Contudo, oobjetivo maior dos físicos nucleares era estudar as partículas elementares do núcleo, exci-tação, alta compressão da matéria e outros fenômenos que precisassem de um tratamentorelativístico. Experimentos de íons pesados no Relativistic Heavy-Ion Collider (RHIC)localizado no Laboratório Nacional Brookhaven, USA e Large Hadron Collider (LHC)na Organização Europeia para Pesquisa Nuclear (CERN), Geneva, permitiram um novoestágio no estudo de altas energias do Plasma de Quark-Glúons (MURONGA, 2002).

Qual procedimento físico permitiria analisar e tratar o Plasma de Quark-Glúoncomo um fluido quase perfeito? Pela análise hidrodinâmica do espectro azimutal daspartículas no RHIC (ROMATSCHKE; ROMATSCHKE, 2007) e LHC (LUZUM, 2011) amatéria formada é extremamente acoplada (LEE; WICK, 1974), e assim o fluxo elípticodetectado pode ser tratado como um fluido quase perfeito. Resultados mostraram que aviscosidade é proporcional a temperatura e entender essas questões ajudaria a encontraros coeficiente de transporte do plasma criado nessa colisão (CRITELLI, 2016). Outroresultado agregado é o valor pequeno de 𝜂/𝑠 oriundo da análise do fluxo elíptico, próximodaquele estimado pela AdS/CFT, (POLICASTRO; SON; STARINETS, 2001).

A viscosidade da matéria é de interesse em muitas áreas da física que aplicamou se correlacionam com a hidrodinâmica. Por exemplo, a viscosidade do plasma em ummeio relativístico de íons pesados como no RHIC exibe uma resistência do fluxo a colisões(MüLLER, 2016). Como os experimentos são relativísticos, surge um problema ao aplicara teoria dissipativa relativística de NS, pois a mesma gera uma equação parabólica. Parasolucionar esse problema, promoveremos as correntes dissipativas em graus de liberdadeindependentes e inserimos um tempo de relaxação na criação de correntes dissipativasprovenientes de gradientes de força (ROMATSCHKE, 2010).

É importante fundamentar as bases teóricas da hidrodinâmica quando se reivindi-car a sua correlação com os experimentos, a melhor evidência para corroborar um modelovem da análise do chamado fluxo anisotrópico que é caracterizado pela assimetria inicialna geometria do sistema produzido por uma colisão não central (SNELLINGS, 2011; CRI-


TELLI, 2016). Um conveniente modo de parametrizar os vários padrões de anisotropia édado por uma decomposição de Fourier da distribuição azimutal de partículas observadasrelativas ao plano definido pelo parâmetro de impacto e a direção do feixe.

𝐸𝑑3𝑁

𝑑3𝑝= 1

2𝜋𝑑2𝑁

𝑝𝑇𝑑𝑝𝑇𝑑𝑦[1 + 2

∞∑𝑛=1

𝑣𝑛 cos(𝑛(𝜑− 𝜓𝑛))] (1.1)

Onde 𝐸 a energia da partícula, 𝑝𝑇 momento transverso, 𝜑 o ângulo azimutal, 𝑦a rapidez, 𝜓𝑛 é a reação do ângulo do plano e 𝑣𝑛 é o coeficiente de Fourier associadocom o modo: 𝑣1 o fluxo direto, 𝑣2 o fluxo elíptico, 𝑣3 o fluxo triangular que quantificama anisotropia triangular nos estados iniciais e finais de colisões de íons pesados e outros(CRITELLI, 2016; ADAMS et al., 2012). Os coeficientes ímpares de Fourier aparecem,principalmente, por causa das flutuações do estado inicial.

Figura 1: Esquerda: Os coeficientes de Fourier ⟨𝑣2𝑛⟩1/2 em função do momento transverso.

Figura retirada de (GALE et al., 2013). Direita: A influência de 𝜂/𝑠 na relaçãode 𝑣2 com 𝑝𝑡. Figura retirada da referência (SNELLINGS, 2011).

Entende-se por fluxo elíptico a observação de uma anisotropia forte e azimutal nacolisões de íons pesados não centrais e é quantificado em termos do segundo coeficientede Fourier da equação 1.1. Cálculos hidrodinâmicos mostram que o fluxo elíptico 𝑣2 éaproximadamente linear na anisotropia espacial (SNELLINGS, 2011; GALE et al., 2013).A figura 1 á esquerda permite responder a pergunta se a hidrodinâmica é um bom modelopara descrever um fluxo elíptico, os dados experimentais fornecem uma resposta positivaao obterem 𝜂/𝑠 = 0.2 (GALE et al., 2013; CRITELLI, 2016). Experimentalmente o valorde 𝜂/𝑠 é observado quando se mede 𝑣2 como se vê no gráfico a direita da figura 1. Alinha verde corresponde ao fluido ideal, 𝜂/𝑠 ∼ 0 (SNELLINGS, 2011) e percebe uma fortedependência de 𝑣2 com o valor de 𝜂/𝑠 e 𝑝𝑇 . O fluxo elíptico depende das propriedadesfundamentais do meio e da anisotropia inicial.

Na figura abaixo temos uma comparação do valor (𝜂/𝑠)𝑄𝐺𝑃 e de outros fluidos for-temente acoplados, a fim de verificar o quão bem sucedido está em incorporar o modelo


Figura 2: Uma comparação da viscosidade shear e a densidade de entropia de vários flui-dos fortemente acoplados em uma relação de 𝜂/𝑠 e (𝑇 − 𝑇𝑐)/𝑇𝑐, onde 𝑇𝑐 é atemperatura da transição superfluida. Figura retirada da referência (ADAMSet al., 2012).

hidrodinâmico em relação a outros previamente já estabelecidos como o hélio e a água.Ao observar os vários tipos de fluidos verificamos um comportamento similar na visco-sidade shear que governa os coeficientes de transporte, mesmo que no gráfico estejamostrabalhando com longas escalas de 𝜂/𝑠 (ADAMS et al., 2012).

A teoria hidrodinâmica é boa em descrever sistemas de muitos corpos fora doequilíbrio térmico e de longos comprimentos de onda. As equações de movimento são es-critas quando conhece a equação de estado termodinâmico do sistema e seus coeficientesde transporte, assim ambos são calculados pela teoria de perturbação. No entanto, osexperimentos de colisão de íons atuam em baixas temperaturas e temos que a teoria deperturbação possui pouca aplicação nessa escala de energia, isso é um sinal da caracterís-tica praticamente “não perturbativa” do fluido QGP por ter uma viscosidade tão pequena(MEYER, 2007).

1.1.2 AdS/CFT

Uma interação frutífera referida como AdS/CFT (Anti-de-Sitter/ Conformal FieldTheory) se desenvolveu baseada na correspondência entre 𝒩 = 4 teoria SupersimétricaYang-Mills (SYM) e soluções em altas dimensões da teoria da gravidade clássica chamadablack branes (KOVTUN; SON; STARINETS, 2005b; POLICASTRO; SON; STARINETS,2001). Black branes são buracos negros e suas soluções são atreladas a propriedades termo-dinâmicas do buraco negro. Denominada também de gauge/gravity duality a AdS/CFTse caracterizam por ser uma relação entre o espaço Anti-de Sitter (AdS) baseado na te-oria das cordas e na Conformal Field Theories (CFT) uma teoria quântica de campos


(HERZOG, 2002). Enfatizando que a AdS/CFT tem uma aplicação muito importante aolidar com problemas de teoria gauge fortemente acopladas como a QCD e no estudo dadinâmica perturbativa. Um exemplo é a sua relação da viscosidade shear com a entropia eo estabelecimento de seu limite quântico inferior, dado abaixo, que atrai muito o interessecientífico (KOVTUN; SON; STARINETS, 2005a).

𝜂

𝑠= ℎ

4𝜋𝑘𝐵

≈ 6, 08.10−13, (1.2)

onde ℎ é constante de Planck e 𝑘𝐵 é a constante de Boltzmann. Essa relação emtoda a Teoria Quântica de Campo a temperatura finita e sem potencial químico não de-pende da métrica. Dados no RHIC e LHC mostram um valor muito próximo do obtidoacima o que motiva a melhor entender a QGP. É uma questão pertinente e aberta e umdesafio teórico interessante se existe um limite inferior que seja menor do que o apresen-tado acima.

1.1.3 Ultra-Cold Atom

Esses gases são um exemplo de fase da matéria quântica que não podem ser descri-tos por nenhuma teoria de gases fracamente interagentes. São formados por fermiôns oubosôns com uma ampla variedade de estruturas de spin que podem interagir fortementeou fracamente e ambas as interações serão atrativas ou repulsivas (ADAMS et al., 2012).Os experimentos são conduzidos em uma variedade de armadilhas magnéticas e ópticas.Possuem baixa viscosidade e a sua relação 𝜂/𝑠 se aproxima do limite universal obtidopelos métodos da teoria de corda, e assim se aproxima da descrição de um fluido quaseperfeito (TURLAPOV et al., 2008).

Em medidas experimentais o gás atômico fortemente interagente no limite de vis-cosidade quântica se comporta como um fluido sobre um grande intervalo de temperaturacobrindo desde o estado superfluido á fases normais, as medidas concordam com um mo-delo hidrodinâmico (KINAST; TURLAPOV; THOMAS, 2005). Pela figura 2 vemos queo ultra-cold Fermi gas possui um comportamento similar a QGP, mesmo que defiram emalgumas ordens de grandeza do 𝜂/𝑠.

1.1.4 Teoria Cinética dos Gases

A Hidrodinâmica Euleriana é estabelecida pela segunda lei de Newton sobre cadaelemento de volume do fluido. Espera-se na descrição microscópica expressar os coeficien-tes de transporte (shear e bulk) e outras grandezas macroscópicas, através de elementosfundamentais como a interação interatômica (CHAPMAN; COWLING, ).


Introduzida por Boltzmann, no final do século dezenove, a teoria cinética forneceuma quadro dos gases no nível intermediário entre a escala microscópica e a macroscópica.Adotar uma aproximação probabilística do sistema com o objetivo de diminuir os graus deliberdade, mas mantendo os traços microscópicos, ou seja, uma explicação que não permitalevar em conta fenômenos longe do equilíbrio termodinâmico e da representação atomista.Um certo número de métodos oriundos da teoria cinética dos gases permitem fazer a pontecom o mundo macroscópico e descrever as equações de movimento através da equação deBoltzmann. Essa equação governa a evolução dos gases perfeitos pela teoria cinética emodela sistemas fora do equilíbrio térmico pela descrição da densidade de partículas noespaço de fase 𝑓(��, 𝑝, 𝑡), onde �� e 𝑝 são o vetores momento e posição, respectivamente e𝑡 é o tempo. A função de distribuição fornece a estatística do gás. E assumimos que ocomprimento de onda térmico é muito menor que o livre caminho médio das moléculas, demodo que os efeitos quânticos sejam desprezados e conseguimos aborda o sistema em umaconfiguração clássica. Ao calcular a média das quantidades macroscópicas pelas médiasna função distribuição, a exemplo da distribuição espacial das moléculas abaixo

𝑁(��, 𝑡) =∫𝑓(��, 𝑝, 𝑡)𝑑3𝑝. (1.3)

A equação relativística de Boltzmann em um espaço-tempo plano fornece pelateoria cinética como 𝑓 evolue no tempo

𝑝𝜇𝜕𝜇𝑓 = 𝐶[𝑓 ]. (1.4)

Onde 𝐶[𝑓 ] é operador de colisão Bhatnagar–Gross–Krook (BGK) e nos conta comoas interações moleculares evoluem no tempo. Para colisões elásticas, 𝐶[𝑓 ] = 0, ou sejanão existe interação e a função de distribuição assume uma forma gaussiana.

O número adimensional de Knudsen (𝐾𝑛 = 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑖𝑛ℎ𝑜 𝑚é𝑑𝑖𝑜𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜𝑠𝑐ó𝑝𝑖𝑐𝑎

) estabelece, assim,uma transição entre a hidrodinâmica e a Teoria Cinética dos Gases, onde todos os limiteshidrodinâmicos da equação de Boltzmann correspondem a situações onde o 𝐾𝑛 ≪ 1(HAKIM, ) e de um gás rarefeito 𝐾𝑛 ≤ 1. A equação de Boltzmann é uma excelenteaproximação no tratamento de gases rarefeitos e fornece uma análise qualitativa paratestar ideias em situações matematicamente controláveis, á exemplo dos limites da Eq.de Euler ou Navier-Stokes. Uma grande vantagem da hidrodinâmica é a sua reduçãodrástica dos graus de liberdade em uma constituição macroscópica do fluido em variáveismacroscópicas que representam as propriedades locais do fluido (CERCIGNANI, a).

Pela teoria cinética a descrição da viscosidade envolve argumentos da seção de cho-que do átomo e seu livre caminho médio 𝑙𝑚𝑓𝑝. A titulo de ilustração a viscosidade shear ebulk pode ser encontrada em (HAKIM, ). No limite hidrodinâmico, 𝜂

𝑠→ 0, as interações

acontecem em uma escala muito menor que a distância entre as partículas, assim o fluido


é fortemente acoplado com uma seção de choque alta e como a viscosidade shear é inver-samente proporcional a isso o fluido ideal tem viscosidade zero. E encontramos 𝜂

𝑠→ ∞ no

limite de um gás ideal em que a distância média entre as colisões devem ser bem maioresque a distância entre as partículas e como a viscosidade é proporcional ao 𝑙𝑚𝑓𝑝 esse gásteria assim uma viscosidade “infinita” (BETZ; HENKEL; RISCHKE, 2009). Na verdade,existe um pequeno fator de acoplamento, por causa da instabilidade no equilíbrio térmicogerado pelo gás ideal e assim chamamos de um gás fracamente acoplado. Para valores de𝜂/𝑠 entre esses dois limites ambos os modelos podem ser aplicados (CERCIGNANI, a;BETZ; HENKEL; RISCHKE, 2009).

Como exemplo, podemos invocar o princípio de Incerteza de Heisenberg Δ𝑥Δ𝑝 ≥ℎ/(2𝜋) e afirmando que o livre caminho médio não pode ser medido por uma precisãomaior do que a relação ⟨𝑝⟩𝑙𝑚𝑓𝑝 ≥ ℎ. Junto com a formula de Maxwell 𝜂 = 1

3𝑛⟨𝑝⟩𝑙𝑚𝑓𝑝, 𝑛densidade de partículas, obtemos um resultado, 𝜂

𝑠≥ ℎ

𝐾𝐵, maior que o 1.2 da AdS/CFT

(CRITELLI, 2016). Na figrua 2 percebemos que o holographic bounds exerce um limiteinferior pela linha tracejada na horizontal sobre qualquer tipo de fluido existente na na-tureza.

1.2 Effective Field TheoryArgumentaremos que a EFT é um modelo consistente para esclarecer o compor-

tamento de fluidos reais relativísticos (ENDLICH et al., 2011; DUBOVSKY et al., 2012;DUBOVSKY et al., 2006). Não nos preocupamos com nenhum modelo microscópico eas possíveis interações moleculares a serem seguidas, pois é uma teoria baseada em umaconcepção mais geral da Física. A EFT tem uma relação direta com as bases da TeoriaQuântica de Campos (TQC), entretanto a EFT muda totalmente a maneira de interpretarsobre o que é ou não essencial abordar. Por exemplo, alguns processos físicos na TQC,onde graus de liberdade com energia menor a um cutoff Λ excitam graus de liberdadeUltra Violeta (UV) acima de Λ e, usualmente, a teoria tende ao infinito, pois não conse-gue aplicar o método Willsonian integrating out: uma técnica desenvolvida que permiterealizar uma integração nos graus de liberdade 𝐸 ≥ Λ, onde 𝐸 é a energia (PESKIN;SCHROEDER, ). Em oposição, a EFT apenas afirma que não podemos fazer uma descri-ção física em distâncias menores que 𝐸−1 enquanto na TQC a não renormalização implicaem uma patologia da teoria.

A EFT pode ser construída através da integração de Wilson onde as variáveis UltraVioleta serão integradas, método top-down. Mas em outras circunstâncias, teremos apenasos graus de liberdade de baixa energia/longos comprimentos de onda, método bottom-up.


Uma das vantagens desse modelo é o acoplamento com outros campos externos, a exemploda conhecida fórmula entre ação e energia livre a temperatura finita

𝐹 = 𝑇 ln 𝒵 = ⟨𝐸⟩ − 𝑇 ⟨𝑆⟩. (1.5)

Onde a energia livre 𝐹 , função de partição 𝒵 e a entropia 𝑆. Em conjunto coma degenerescência de variáveis (MORSE; FESHBACH, ; GALLEY, 2013) Schwinger/Keldysh. Essa receita é usada para conectar a atual entropia com a ação (CROSSLEY;GLORIOSO; LIU, 2015).

Todas as correções hidrodinâmicas pela EFT seguem de forma natural por umaexpansão de Lagrangeana em altas ordens como será mostrado nessa dissertação. Ou-tro fator a ser enfatizado é que essas perturbações “nascem” com quebras espontâneasde simetria, transições de fase, cross-over e critical point, logo, não faz necessidade usarqualquer expansão de variáveis ou se preocupar com condições de contorno de uma te-oria perturbativa, já que as flutuações podem ser incluídas sem quaisquer aproximaçõesnuméricas (BURCH; TORRIERI, 2015).

A construção da EFT se propõe a responder questões experimentais e teóricas,pois a teoria está atrelada (principalmente a bottom-up) a averiguação experimental. De-terminar se as variáveis ou simetrias expostas condizem com a realidade, e isso permiteuma maior flexibilidade da EFT. Todavia, os problemas de incorporar efeitos dissipativosna EFT são resolvidos, a partir de uma redefinição de variáveis por meio da degenerescên-cia nos graus de liberdade (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014). No resultado de primeiraordem, obtemos a expansão da Lagrangeana pelo método bottom-up

ℒ𝑒𝑓𝑡 = ℒ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝐵±) + ℒ𝑏𝑢𝑙𝑘(𝐵±, 𝑢𝜇±) + ℒ𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟(𝐵±, 𝐵𝐼𝐽±). (1.6)

Onde ℒ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 é definido em (DUBOVSKY et al., 2006; GALLEY; TSANG; STEIN,2014) e fornece a Equação de Euler (LANDAU; LIFSHITZ, ). ℒ𝑏𝑢𝑙𝑘 e ℒ𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 são as ex-pansões de primeira ordem que dão origem a viscosidade bulk e shear, respectivamente.Esses dois termos são instáveis fisicamente (PU; KOIDE; RISCHKE, 2010) e a EFT trataas divergências Ultra Violetas como uma advertência na introdução de altos graus deliberdade ou pela falta de um sólido entendimento físico das configurações microscópicas.Nessa dissertação as instabilidades em aproximações lineares (HISCOCK; LINDBLOM,1985; FOGAçA et al., 2014) são contornadas ao elevar o fluxo dissipativo ao patamar degraus de liberdade novos (GRAD, ) e se valendo do princípio de Ostrogradski (WOO-DARD, 2015), e assim mostramos que a Lagrangeana para a hidrodinâmica viscosa seescreve

ℒ𝑒𝑓𝑡 = ℒ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝐵±) + ℒ𝐼𝑆(𝐵±, 𝑋𝐼𝐽±, 𝐵𝐼𝐽±). (1.7)


O último termo ℒ𝐼𝑆 da equação acima é a Lagrangeana de Israel-Stewart comgraus de liberdade novos 𝑋 que são requeridos para estabilizar a teoria e restaurando asdificuldades da hidrodinâmica relativística dissipativa, além disso esse trabalho permitiráestudar a relação entre o tempo de relaxação e escalas microscópicas, “instabilidade dovácuo” e Lagrangeanas semiclássicas. Nós investigaremos nessa dissertação a construçãodo modelo bottom-up pela Effective Field Theory e as principais Lagrangeanas dissipati-vas da hidrodinâmica.

Parte I

Revisão Teórica

24

2 Effective Field Theory

O capítulo fará uma introdução básica sobre a Effective Field Theory ao revisarsuas principais técnicas, ideias e algumas aplicações. O objetivo é mostrar como é possívelconstruir novas teorias, entre elas a hidrodinâmica a qual será abordada nessa dissertação,através de uma expansão de Lagrangeanas. Nesse capítulo não será apresentado nenhumrigor matemático, apenas uma noção intuitiva sobre o assunto.

2.1 Princípios Básicos da Effective Field TheoryQualquer sistema físico é interessante em todas as suas escalas de energia, desde a

mudança da trajetória causada por campos gravitacionais no universo até o tempo de vidadas partículas elementares como 𝑊 e 𝑍 (Bosões). Porém, ainda não existe, uma “Teoriade Tudo” capaz de agregar todos os processos físicos conhecidos e desconhecidos emtodas as escalas de energia. Além disso, seria muito difícil verificar essa “Teoria de Tudo”experimentalmente e ressaltando que ela poderia agregar informações desnecessárias, arespeito de um determinado experimento (GRIPAIOS, 2015).

A EFT é um método geral utilizado que permite explorar determinadas escalas deenergias, a depender do problema a ser tratado. Primeiro, faz uma divisão de maneira aisolar os importantes processos físicos dentro do intervalo de energia escolhido. Por isso,é imprescindível saber identificar o “limitante de massa alta” (𝑀ℎ𝑖 ∼ 𝐸ℎ𝑖) e o “limitede massa baixa” (𝑀𝑙𝑜 ∼ 𝐸𝑙𝑜), onde 𝐸ℎ𝑖 e 𝐸𝑙𝑜 são o nível máximo e mínimo de energia,respectivamente, a qual será estudado no sistema. Após isso, escolhe os graus de liberdadee os parâmetros físicos que estão entre esses limites, ou seja, cria-se um discernimentoentre quais os processos físicos relevantes e caracteriza-os como mostra a figura abaixo,(BURGESS, 2007).

Esse processo de separação dos acoplamentos físicos que não são incorporadas nadescrição física é chamada “Effective Theory”, ou seja, todos os acoplamentos responsáveispor interações que não estão nessa faixa de energia são descartados e podem ser tratadoscomo perturbações. Em suma, a EFT trabalha somente em acoplamentos de parâmetrosfinitos os quais dispõe de importância ao problema, pois é uma teoria que não pretendeser válida em todas as escalas de momento. A EFT força a se concentrar apenas na parterelevante da física 𝐸𝑙𝑜 ≪ 𝐸𝑐 ≪ 𝐸ℎ𝑖 (vide figura abaixo). Será apresentado uma descriçãosucinta de algumas situações que permitem visualizar as principais regras de construçãoda EFT.

Capítulo 2. Effective Field Theory 25

Figura 3: Um esquema ilustrativo dos limites de escala de energia. Onde as linhas hori-zontais verdes são energia 𝐸 ≥ 𝑀ℎ𝑖 e as linhas azuis são 𝐸 ≤ 𝑀𝑙𝑜. A linhavermelha 𝐸𝑐 é a energia escolhida para estudar.

2.1.1 Graus de Liberdade1 (KAPLAN, 2005; ROTHSTEIN, 2003; HAMMER, 2005).

2.1.2 Simetrias e Expansão

Observa-se na natureza que as simetrias determinam uma importante regra nadelineação de problemas físicos. Na EFT as simetrias globais, locais ou as quebras es-pontâneas delas fornecem estruturas para entender a dinâmica física e estabelecem umprocedimento na qual as variáveis serão incorporadas ou criadas em cada Lagrangeana.Após, escrever todos os termos da Lagrangeana é preciso verificar a sua correspondênciacom as previsões experimentais, no momento não existe um método sistemático e devese analisar caso por caso, se não, existirá mais termos que o necessário 2. Recorde queprocessos dissipativos aparecem como expansões de gradientes ou de Taylor, mas na EFT1 Um maior detalhamento sobre a inserção e criação de graus de liberdade em um sistema dissipativo

será conduzido no capítulo 5.2 Nos capítulos 3 e 5 será apresentado uma descrição mais detalhada da inserção das simetrias e quebras

de simetrias na EFT.


eles se corroboram de forma natural pelas simetrias inseridas nas Lagrangeanas.

Exemplo

Veremos um exemplo clássico de Euler-Heisenberg em 1936, o espalhamento elás-tico do fóton-fóton. Conseguimos uma teoria simplificada, pela EFT, ao proceder comuma separação de escalas 𝐸𝑐 ∼ 𝜔 ≪ 𝑚𝑒 ∼ 𝐸ℎ𝑖, onde 𝜔 é a frequência angular do fóton,𝑚𝑒 é a massa do elétron. Os graus de liberdade são um campo que cria 𝜓 e destrói 𝜓 par-tículas e fótons 𝐴𝜇. Por (??), as variáveis relevantes ao sistema são escolhidas e temos queℒ𝑄𝐸𝐷[𝜓, 𝜓,𝐴𝜇] → ℒ𝑒𝑓𝑓 [𝐴𝜇] (transformamos a Lagrangeana da Eletrodinâmica Quânticaem uma Efetiva). A simetria do sistema está na invariância de Gauge (relacionadas comas simetrias internas da Lagrangeana), Lorentz (𝜓 → 𝜓′ = 𝜓𝑒𝑖𝛼(𝑥), 𝐴𝜇 → 𝐴′

𝜇 − 𝜕𝜇𝛼(𝑥)e 𝐹 𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈) e como o sistema é neutro, só pode existir termos sem gradientes na Lagran-geana. Onde 𝛼(𝑥) é uma função arbritária de coordenadas do espaço-tempo e 𝐹 𝜇𝜈 umtensor eletromagnético

ℒ𝑒𝑓𝑓 = 12𝑐1(��2 − ��2) + 𝑐2[(��2 − ��2)2 + 𝑐3(��.��)2] + ... (2.1)

Pela equação acima, as quantidades físicas são calculadas por parâmetros como𝐸𝑐

𝐸ℎ𝑖= 𝜔

𝑚𝑒(BURGESS, 2007). A dependência da escala de energia 𝐸𝑐 analisada a um dado

nível de acurácia 𝜖 sob um conjunto finito de parâmetros é uma característica notável daEFT. A expansão se dá

( 𝐸𝑐

𝐸ℎ𝑖

)𝑛𝜖 ≈ 𝜖 ⇒ 𝑛𝜖 ≈ 𝑙𝑛(1/𝜖)𝑙𝑛(𝐸ℎ𝑖/𝐸𝑐)

. (2.2)

Onde 𝑛𝜖 é a ordem requerida, mesmo que a teoria seja descrita por infinitos ter-mos e a renormalização é tomada ordem por ordem na expansão. E qualquer variável 𝑀tal que 𝑀 ≫ 𝐸ℎ𝑖 é realizado uma integração de maneira a ter uma renormalização nosestados de “baixa energia”.

Segue uma maneira mais concisa de expressar a construção da EFT, como ilustradona figura 4.

1. Encontre os graus de liberdade ≪ 𝐸ℎ𝑖.

2. Identifique as simetrias ou interações relevantes entre a escala de mais alta energiae baixa energia 𝐸𝑙𝑜 ≪ 𝐸𝑐 ≪ 𝐸ℎ𝑖.

3. Encontrar os parâmetros de expansão e organizar a teoria através 𝐸𝑐

𝐸ℎ𝑖.


2.2 Tipos de EFTA grande inovação da EFT é a possibilidade de permitir comparar diferentes es-

calas de momento, ou seja, é uma teoria multi-escalar. Pode-se olhar essa sequência deinterações em dois ângulos possíveis a bottom-up e a top-down. Nas próximas duas subse-ções será apresentado os conceitos chaves e técnicas a serem utilizadas de acordo com asregras sistemáticas enumeradas acima.

2.2.1 Top-Down

A top-down é utilizada quando se conhece a teoria em alta energia e por umobjetivo prático é necessário calcular o seu comportamento em baixa energia.

Figura 4: Ilustração do procedimento top-down na EFT.

Todos os graus de liberdade de momento 𝑝, com (𝑝 ≥ 𝐸ℎ𝑖), são removidos atravésde processos de integração dessas variáveis, e assim, adquirimos de forma sistemática umateoria de baixa energia que permite calcular quantidades físicas com um momento menorque 𝐸ℎ𝑖 o que resulta em uma manipulação mais fácil da teoria, pois diminue o númerode acoplamentos dos graus de liberdade. Esse processo pode ser traduzido como

ℒℎ𝑖 →∑

𝑛

ℒ(𝑛)𝑙𝑜 . (2.3)

Onde ℒℎ𝑖 é a Lagrangeana conhecida, ℒ𝑙𝑜 é a Lagrangeana a ser encontrada e 𝑛representa a ordem que é inversamente proporcional ao nível de energia do sistema. Asℒℎ𝑖 e ℒ𝑙𝑜 divergem no limite Ultravioleta (UV) e convergem no limite Infravermelho (IR).No entanto, nem sempre é fácil a separação dos graus de liberdades de alta energia comos de baixa energia, porque eles podem estar multiplicados de uma maneira não trivial(ZHANG; WILLENBROCK, 2010). Porém, existe uma maneira de remover esse emara-nhado pelo teorema de Wilson (PORTO, 2016) a qual o procedimento está demonstradona equação ?? e configura em uma teoria não renormalizável e não local, entretanto,


quando os graus de liberdade de alta energia independem dos de baixa energia as inte-rações e acoplamentos são renormalizáveis e locais, porque as informações sobre os grausde liberdade de mais alta energia estão contidas nos acoplamentos de baixa energia. Umexemplo de aplicação da top-down é a integração das partículas 𝑍, 𝑊 , top para quarkcharm e bottom , Heavy Quark Effective Field Theory (HUSSAIN; THOMPSON, 1994).

2.2.2 Bottom-Up

Nessa subseção será exposta uma pequena introdução ao procedimento bottow-up,largamente discutido e utilizado na hidrodinâmica, a qual será tratado com um detalha-mento maior ao longo dessa dissertação. Diferentemente do exposto acima, nem semprese conhece completamente a ação da teoria em altas energias ou o seu comportamentofenomenológico. A teoria bottom-up se faz necessário nessas circunstâncias e uma figuraesquemática desse comportamento é explicitado abaixo

Figura 5: Ilustração do procedimento bottom-up na EFT.

Em primeiro lugar deve distinguir os graus de de liberdade de maior e menor ener-gia em relação ao cutoff Λ = 𝐸ℎ𝑖. Em prática, uma teoria bottom-up é complicada pelofato de seus graus de liberdade de baixa energia terem características bem distantes dosde altas energias. Os primeiros são criados de acordo com as simetrias fenomenológicasimpostas ao problema e a sua estruturação é estabelecida por diferentes perspectivasfísicas (CONTINO et al., 2016). Além de ser importante estarem correlacionados com asinformações que experiências de baixa energia fornecem. Desse modo, existe uma restri-ção a criação de operadores irrelevantes ao sistema, gerando o que podemos chamar dePrincípio da Universalidade.

∙ Universalidade: Sistemas com diferentes comportamentos a curtas distâncias de-monstram idênticos comportamentos a longas distância.


Ou seja, o estudo do sistema em baixas energias é independentemente da descriçãodas suas interações fundamentais. A teoria, mesmo assim, é estendida para adicionartermos a medida que acoplamentos de alta energia se tornem importantes, independentede conhecer essas novas interações de forma precisa, somente é importante os seus efeitosde simetria. O desenvolvimento é feito com

ℒ𝑒𝑓𝑓 →∑

𝑛

ℒ(𝑛). (2.4)

Onde 𝑛 representa a ordem (energia) da Lagrangeana e está diretamente relacio-nada com a precisão a qual se pretende alcançar o Λ, com 1

Λ a ordem de correção dado egarante o caráter renormalizável dos termos. A bottom-up é mais eficaz que a top-down,por uma razão mais pragmática, já que é mais fácil reproduzir experimentos dentre umaescala de energia acessível e averiguar acoplamentos ou simetrias desnecessários. A medidaque 𝐸 ∼ Λ os termos não renormalizáveis oriundos de efeitos de altas energias aparecemrelevantes e as quebras de simetrias são levadas em conta para ordens 𝑛 ≥ 1. Exemplosde aplicação bottom-up são a Teoria Quiral (MACHLEIDT; ENTEM, 2011), o ModeloPadrão (HENNING; LU; MURAYAMA, 2016) e a Relatividade Geral (BURGESS, 2004).

2.3 RenormalizaçãoTécnicas de renormalização desenvolvidas inicialmente por Wilson e amplamente

utilizados nos trabalhos de Grupo de Renormalização (GR) de TQC tem o propósito detrabalhar com observáveis em contextos de altas energias. A EFT assim como a TQC podeser renormalizável ou não-renormalizável, a depender dos termos de acoplamento que acompõem (BUCHLER; COLANGELO, 2003). É interessante notar que a regularizaçãoacaba com o poder preditivo das variáveis de altas energias, por ser um fator que limitaa integração e por assim dizer, reformula tanto as constantes de acoplamento quanto aação em função de um cutoff Λ. Os termos não-renormalizável da Lagrangeana são consi-derados “irrelevantes” e suas predições são dependentes de Λ o que configuraria em umateoria potencialmente “não físicas”. No entanto, pela EFT os termos não-renormalizáveise renormalizáveis são capazes de nos dá uma predição finita e por isso podem ser incor-porados na expansão Lagrangeana, considerando caso por caso, a depender do modelobottom-up ou top-down utilizado. A Lagrangeana efetiva,

ℒeff = ℒ≤𝐷 + ℒ𝐷+1 + ℒ𝐷+2 + ...ℒ𝐷+𝑛, (2.5)

onde 𝐷 é a dimensão, que no caso da dissertação será 𝐷 = 4. O primeiro termoda somatório é independente da escala de energia, por isso é renormalizável, enquanto os


outros termos de dimensões maiores que 4 são não-renormalizáveis e não-locais.

∙ Localidade: Campos em diferentes pontos do espaço-tempo possuem campos e flutu-ações quânticos com graus de liberdade independentes.

Entretanto, até que ponto isso afeta o caráter preditivo da EFT, porque teoriasnão-renormalizáveis podem produzir predições finitas, mesmo se elas forem dependen-tes da escala Λ. A bottom-up é renormalizável se sua ação 𝑆𝑒𝑓𝑓 (Λ) é finita sempre queΛ → ∞, isto é, suas divergências serão absorvidos em um grande número de parâmetros,de modo a retirar cada termo não-renormalizável e respeitar as simetrias da Lagrangeana.Cada ordem em 2.5 deve ser construída de forma cuidadosa. Cada termo adicionado naLagrangeana irá mudar analiticamente e fenomenologicamente a natureza das interações.Isso será visto no capítulo 6 onde se incorporará uma nova variável, a fim de satisfazercritérios de estabilidade na EFT aplicada a hidrodinâmica.

Parte II

Fluido Perfeito na EFT

32

3 Fluido Ideal

A hidrodinâmica possui um largo número de aplicações em fenômenos físicos, pode-se ver na física de Buracos Negros, Cosmologia, Efeitos Magnéticos e QGP. Nesse capí-tulo enunciaremos aspectos elementares da EFT aplicado a hidrodinâmica. Introduzindoos principais conceitos com o intuito de preparar o leitor para os capítulos subsequentesonde a teoria será mais aprofundada e detalhada. Veremos como a hidrodinâmica surgede forma natural da ação, juntamente com seus termos dissipativos. Deseja-se que o leitortenha capacidade de compreender a maior parte dos tópicos abordados e para começarvamos ver a hidrodinâmica sendo organizada como uma teoria de campo em função degraus de liberdade de baixa energia, depois fixar as suas simetrias e então escrevê-la naforma mais geral pela ação.

3.1 Teoria ClássicaA revisão teórica, nesse capítulo, abordará a Hidrodinâmica Euleriana reformulada

na perspectiva da linguagem da EFT pela construção de seus conceitos básicos. Primeiro,definiremos as variáveis importantes a serem trabalhadas no intervalo de energia conside-rado que está compreendida entre

𝑙𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜⏟ ⏞ 𝑠1/3∼1/𝑇𝑜

≪ 𝑙𝑚𝑓𝑝⏟ ⏞ 𝜂

𝑠𝑇

≪ 𝑙𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜⏟ ⏞ 𝑅∼𝜖/𝜕𝜇𝜖

, (3.1)

onde 𝜖 é a densidade de energia, 𝑠 a entropia, 𝜂 a viscosidade shear e 𝑅 a dimensãomacroscópica do sistema proporcional ao inverso do gradiente de variáveis macroscópicas.Igualmente feito na expansão de parâmetros da subseção 2.1.2, temos 𝐸−1

𝑐 ∼ 𝜂𝑠𝑇

∼ com-primento de onda dissipativo, 𝐸𝑙𝑜 ∼ 𝑅−1 e 𝐸ℎ𝑖 ∼ 𝑇𝑜 ∼ energia de excitação dos graus deliberdade microscópicos, já que nesse momento ignoramos a nossa falta de conhecimentodos parâmetros Ultra Violeta, onde 𝑇−1

𝑜 é a distância em que esses graus de liberdade setornam relevantes ao sistema e na ausência desse cutoff Λ ∼ 𝑇𝑜 os aspectos quânticos sãoimportantes (BURCH; TORRIERI, 2014).

A inequação 𝑙𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜 ≪ 𝑙𝑚𝑓𝑝 é importante, pois no momento que o 𝑙𝑚𝑓𝑝 é tão pequenoquanto o cutoff as flutuações térmicas começam a excitar graus de liberdade hidrodinâ-micos (BURCH; TORRIERI, 2015). Não faremos nenhuma referência a teorias microscó-picas, a exemplo da equação de Boltzmann baseada na teoria cinética e tradicionalmenteutilizada para calcular propriedades de transporte de sistemas fracamente interagentes

Capítulo 3. Fluido Ideal 33

(CHAPMAN; COWLING, ; CERCIGNANI, b).

Utilizaremos uma abordagem um pouco diferente, ao invés de considerar equa-ções de movimento da conservação da energia, momento e da carga, reformularemos ahidrodinâmica pelo princípio da mínima ação, após introduzirmos as simetrias relevan-tes da termodinâmica. Genericamente a ação construída terá um conjunto de gradientes(quebras de simetria) a qual se analisará, primeiramente, os termos de baixa frequênciae momento, os outros de mais alta frequência serão correções futuras da hidrodinâmicadissipativa.

3.1.1 Graus de Liberdade

Agora iremos delinear os graus de liberdade do fluido que farão parte da desigual-dade 𝑙𝑚𝑓𝑝 ≪ 𝑙𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜 na inequação 3.1. Vamos considerar, inicialmente, um elemento defluido no espaço com dimensão espaciais 𝑑 = 3, onde cada elemento de volume será para-metrizado por coordenadas “Lagrangeanas” 𝜑𝐼 (campos escalares) em função do tempo𝑡 e da posição física �� que é uma coordenada “Euleriana” (CHILDRESS, ; ENDLICH etal., 2011).

𝜑𝐼 = 𝜑𝐼(��, 𝑡), 𝐼 = 1, 2, 3. (3.2)

Não existe diferença física entre essas duas descrições, podendo escolher, também,�� como coordenada “Lagrangeana” e 𝜑𝐼 como coordenada “Euleriana”. As coordenadasLagrangeanas se caracterizam por acompanhar a partícula através da sua trajetória, detal forma que o própio �� é dependente do tempo, logo o fluido fica descrito unicamentepela variável do tempo 𝑡 (CHILDRESS, ). Isso não constitui nenhuma simetria da natu-reza, apenas é mais fácil de trabalhar visto que ao usar o princípio da mínima ação, elanão possui tantos multiplicadores de Lagrange quanto a descrição Euleriana. A descriçãoEuleriana, equivalente á Lagrangeana, estuda as propriedades do fluido ao especificar umafunção do espaço e tempo, tecnicamente é mais utilizada em cálculos numéricos.

Prefere-se a primeira, pois é mais fácil de estudar simetrias internas nesse referen-cial e a invariância do traço de Poincaré é direta (ENDLICH et al., 2011). Ao descrevero fluido por campos escalares o acoplamento com outros campos torna-se direta, a exem-plo do campo magnético, elétrico, gravitacional e outros. As novas coordenadas estãorepresentadas esquematicamente pela figura abaixo.

Em um dado momento de tempo “t”, as coordenadas de um elemento de fluido são𝜑1(��, 𝑡), 𝜑2(��, 𝑡), 𝜑3(��, 𝑡) para um dado �� e um tempo 𝑡, desse jeito todas as propriedadesdo fluido: entropia, coeficiente de transporte, velocidade e outras variáveis serão descritaspor 𝜑𝐼 e suas derivadas, como será visto ao longo dessa dissertação.


Figura 6: Representa um elemento de fluido parametrizado por eixos de campo escalar 𝜑𝐼 ,os eixos cartesianos no fundo é para mostrar que não existe uma parametrizaçãodireta como nas redes cristalina.

3.1.2 Simetrias

A fim de prosseguirmos no estudo, deve-se fazer uma escolha de forma a “alinhar”os campos escalares 𝜑𝐼 (adimensionais) com as coordenadas de dimensões física ��. Os 𝜑𝐼 setransformam como escalares. Uma convenção particular: Em um dado referencial do fluido,demandamos uma configuração estática e homogênea tal qual as coordenadas Eulerianase Lagrangeanas se alinham de uma forma a estabelecer o ground state do sistema, sendoo fluido barotrópico, quer dizer, a densidade só depende da pressão (DUBOVSKY et al.,2012),

⟨𝜑𝐼⟩ = 𝑥𝐼 , (𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙í𝑏𝑟𝑖𝑜). (3.3)

Como pode ser visto na figura abaixo. Após isso, é fundamental designar simetriasinternas: a evolução acontece no mesmo ponto do espaço-tempo, pois a dinâmica dosfluidos pode ser entendida em termos delas. Será descrito aquelas associadas ao fluidoideal na EFT.

𝜑𝐼 → 𝜑𝐼 + 𝑎𝐼 , 𝑎𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, (3.4)

𝜑𝐼 → 𝑅𝐼𝐽𝜑

𝐽 , 𝑅𝐼𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3), (3.5)

onde a Eq. 3.4 representa uma operação de translação espacial e a Eq. 3.5 umaoperação de rotação com 𝑅𝐼

𝐽 do grupo 𝑆𝑂(3). Essas duas simetrias não permitem, ainda,diferenciar um líquido de um sólido isotrópico. Essa diferença física é evidenciada ao seaplicar uma tensão de cisalhamento no sólido, caso não haja ruptura da sua rede crista-lina, o elemento de volume estará sujeito a restaurar seu volume inicial, diferentemente dosfluidos ideais que continuam o fluxo de maneira indefinida (desconsiderando efeitos dissi-


Figura 7: Representa um elemento de fluido no estado fundamental onde os eixos doscampos 𝜑𝐼 se alinham com os eixos cartesianos 𝑥𝐼 , por meio de ⟨𝜑𝐼⟩ = 𝑥𝐼 .

pativos) (ENDLICH et al., 2011). Em relação a isso será adicionado mais uma simetria,a preservação do volume pelo difeomorfismo:

𝜑𝐼 → 𝜉𝐼(𝜑𝐽), 𝑑𝑒𝑡(𝜕𝜉𝐼/𝜕𝜑𝐽) = 1. (3.6)

O difeomorfismo é uma função inversível que mapeia uma variedade diferenciá-vel em outra. Variedades diferenciáveis são topologias globalmente diferenciáveis, (MUN-KRES, ). A 3.6 não representa uma trivial reetiquetagem dos campos 𝜑𝐼 , mas sim, cor-responde a uma preservação dinâmica dos elementos de volume se movendo fisicamente,sem considerar uma expansão e contração do fluido.

Precisamos encontrar a Lagrangeana genérica que obedece as simetria 3.4 á 3.6.Logo, a Eq. 3.4 força a Lagrangeana a depender de derivadas de 𝜑𝐼 , ℒ ∼ 𝜕𝜇𝜑

𝐼 . A Eq. 3.5mais a invariância de Poincaré: Simetrias de Lorentz + translação espacial e temporal fazuma dependência em ℒ ∼ 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕

𝜇𝜑𝐽 , sendo 𝐵𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽 , onde 𝐵𝐼𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3) e a Eq.

3.6 seleciona o escalar ou o determinante de 𝐵𝐼𝐽 de maneira a preserva a simetria pelodifeomorfismo, (DUBOVSKY et al., 2012; DUBOVSKY et al., 2006).

𝐵 = 𝑑𝑒𝑡|𝐵𝐼𝐽 | = 𝑑𝑒𝑡|𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽 |. (3.7)

A Lagrangeana utilizada é

ℒ = 𝐹 (𝐵) = 𝐹 (𝑑𝑒𝑡|𝐵𝐼𝐽 |), (3.8)

onde 𝐹 (𝐵) é uma função suave e inversível. Para uma descrição completa do fluidoas outras variáveis termodinâmicas serão fornecidas pela conservação do tensor energia-


momento.

𝑇 𝜇𝜈 = 𝜕ℒ𝜕(𝜕𝜈𝜑)𝜕

𝜇𝜑− ℒ𝑔𝜇𝜈 . (3.9)

Substituindo a Lagrangeana de um fluido ideal relativístico dado pela Eq. 3.8 naequação acima temos,

𝑇 𝜇𝜈 = −2𝐵𝑑𝐹𝑑𝐵

𝐵−1𝐼𝐽 𝜕

𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 + 𝐹𝑔𝜇𝜈 . (3.10)

Onde 𝐵−1𝐼𝐽 é a inversa da matriz 𝐵𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕

𝜇𝜑𝐽 e introduziremos o conhecidotensor na linguagem da EFT

Δ𝜇𝜈 ≡ ⟨𝐵−1𝐼𝐽 𝐴

𝜇𝜈𝐼𝐽⟩ = 𝑢𝜇𝑢𝜈 + 𝑔𝜇𝜈 , (3.11)

onde 𝐴𝜇𝜈𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 , 𝑢𝜇 é o quadrivetor velocidade normalizado 𝑢𝜇𝑢𝜇 = −1,𝑢0 > 0 e a métrica do espaço tempo 𝑔𝜇𝜈 , (BURCH; TORRIERI, 2015). O tensor energia-momento de um fluido ideal (LANDAU; LIFSHITZ, ) dado por

𝑇 𝜇𝜈 = (𝑝+ 𝜖)𝑢𝜇𝑢𝜈 + 𝑝𝑔𝜇𝜈 . (3.12)

Onde 𝜖 é densidade de energia e 𝑝 a pressão, então temos

𝜖 = −𝐹 (𝐵), (3.13)

𝑝 = 𝐹 (𝐵) − 2𝐵𝐹 ′(𝐵). (3.14)

É fácil ver que, 𝑝 depende de 𝜖 e o fluido ideal é barotrópico. A identificação dasoutras variáveis termodinâmicas se dá pela relação de Gibbs-Duhem 𝜖 + 𝑝 = 𝑠𝑇 + 𝑛𝜇,juntamente com outras relações 𝜕𝜖

𝜕𝑠= 𝑇 e 𝜕𝑝

𝜕𝑇= 𝑠 e com isso temos,

𝑇 = 𝑇𝑜

√𝐵𝑑𝐹

𝑑𝐵, (3.15)

𝑠 = 𝑇 3𝑜

√𝐵. (3.16)

A determinação da equação de estado 𝐹 (𝐵) é única, juntamente com o tensor3.10. Todas as equações da dinâmica do fluido para (𝐼, 𝐽) = {1, 2, 3} estão codificadas naequação de conservação 𝜕𝜇𝑇

𝜇𝜈 = 0.


Outra igualdade vetorial relacionada é a conservação do campo 𝜑 em

𝑢𝜇(𝑥)𝜕𝜇𝜑 = 𝑑𝜑(𝑥)𝑑𝜏

= 0. (3.17)

Onde o tempo das coordenadas “Lagrangeanas” 𝜏 parametriza a streamline, ouseja um conjunto de curvas tangenciais ao campo de velocidade do fluido que indicama direção do movimento do mesmo, e a derivada desaparece, porque as coordenadas sãomantidas fixas pelo uso do referencial comóvel (“Lagrangiano”) (ENDLICH et al., 2011).Outra variável importante é o quadrivetor velocidade 𝑢𝜇(𝑥) definido como perpendicularaos gradientes das coordenadas do fluido pela equação 3.17, obtemos

𝑢𝜇 ≡ 13!

√𝐵𝜖𝜇𝛼𝛽𝛾𝜖𝐼𝐽𝐾𝜕𝛼𝜑

𝐼𝜕𝛽𝜑𝐽𝜕𝛾𝜑

𝐾 , (3.18)

e por definição temos

𝑢𝜇 ≡ 𝐾𝜇

√𝐵, 𝐵 ≡ −𝐾𝜇𝐾

𝜇, (3.19)

de modo que

𝐾𝜇 ≡ 13!𝜖

𝜇𝛼𝛽𝛾𝜖𝐼𝐽𝐾𝜕𝛼𝜑𝐼𝜕𝛽𝜑

𝐽𝜕𝛾𝜑𝐾 . (3.20)

Onde 𝜖0123 = −𝜖1023 = 1 é o símbolo de Levi-Cita em 4 dimensões. Por suapropriedade anti-simétrica o vetor 3.20 se conserva

𝜕𝜇𝐾𝜇 = 𝜕𝜇(

√𝐵𝑢𝜇) = 0. (3.21)

A entropia 𝑠 ∼√𝐵, então

√𝐵𝑢𝜇 é o fluxo de entropia conservado pela equação

acima. As variáveis 𝑝, 𝜖, 𝐾𝜇, 𝑇 𝜇𝜈 e 𝑢𝜇 são invariantes sobre as simetrias internas 3.4 á3.6. Por questão de conveniência e praticidade, mesmo que tenhamos definido na seção3.1.1 o 𝜑𝐼 como variável fundamental, escolheremos 𝑢𝜇 e 𝐵 como fundamentais (BURCH;TORRIERI, 2014).

Exemplos

Consideramos um exemplo com o intuito de elucidar o cálculo das equações deestado de um fluido relativístico e sem cargas, ao aplicar onde sua equação de estado édescrita como 𝑝 = 𝜖

3 e ao ser aplicada em 3.13 e 3.14 resulta na equação 𝐹 (𝐵)−2𝐵𝐹 ′(𝐵) =−𝐹 (𝐵)

3 . Após algumas manipulações algébricas temos 𝐹 ′(𝐵) = 23

𝐹 (𝐵)𝐵

, o que resulta na


Lagrangeana que descreve um fluido relativístico ℒ = 𝐹 (𝐵) = 𝑇 4𝑜𝐵

2/3. Usando a relaçãode Gibs-Duhen descobrimos a expressão das outras grandezas termodinâmicas.

⟨𝜖⟩ = 𝑇 4𝑜𝐵

2/3, ⟨𝑝⟩ = ⟨𝜖⟩3 , ⟨𝑠⟩ = 𝑇 3

𝑜

√𝐵, ⟨𝑇 ⟩ = 4

3𝑇𝑜𝐵1/6. (3.22)

3.2 Fluido CarregadoAté agora trabalhamos em sistemas com potencial químico igual a zero, contudo,

os fluidos não se resumem a isso. Nos fluidos carregados as partículas podem correspondera elétrons, bayrons, antibayrons, quark e outras, sendo o número total das partículas éconservado. A dinâmica desses fluidos sob a perspectiva da EFT necessita ser estabelecidapor um grau de liberdade e simetria como feito na seção prévia. Para essa descrição nãose pode utilizar os graus de liberdade 𝜑𝐼 , pois eles atuam na descrição física do elementode volume do fluido e não são compactos (DUBOVSKY et al., 2012), além de não setransformarem da mesma forma como a simetria responsável pela conservação da carga,𝑈(1).

∙ A simetria 𝑈(1) é um exemplo de Grupo de Lie, responsável pela rotação no planocomplexo e é identificada por vetores unitários, 𝑒𝑖𝜃, 𝜃 o ângulo de rotação. Esse vetorpode ser pensado como uma matriz unitária (RUBAKOV, 2002).

De acordo com a definição de 𝑈(1) e encarando o caráter não compacto do con-junto, a solução é utilizar uma fase real 𝜓(��, 𝑡) o qual obedece a relação

𝑈(1) : 𝜓(��, 𝑡) → 𝜓(��, 𝑡) + 𝑎, (3.23)

onde 𝑎 é uma constante. em uma análise fenomenológica estamos considerando umfluido ideal onde a corrente é paralela ao campo de velocidade das cargas, as partículas semovem na mesma direção que as coordenadas “comóveis” 𝑗𝜇 ∼ 𝑢𝜇. Então podemos imporque

𝑗𝜇 = 𝑛𝑢𝜇. (3.24)

Onde 𝑢𝜇 é a velocidade quadridimensional, 𝑛 é a densidade de carga e 𝑗𝜇 é acorrente de carga. Diferentemente dos líquidos em estado superfluido no qual dois tiposde ondas aparecem com a inclusão do potencial químico 𝜇 (LANDAU; LIFSHITZ, ).A equação 3.24 significa uma simetria da conservação de carga U(1) e independe da


conservação de 𝜑𝐼 , ou seja, o campo de velocidade da carga é independente do campo develocidade de 𝜑𝐼 . Então 𝜓 e 𝜑𝐼 podem ser estudados separadamente e se reformula 3.24com

𝑈(1) : 𝜓(��, 𝑡) → 𝜓(��, 𝑡) + 𝑓(𝜑𝐼). (3.25)

Onde 𝑓(𝜑𝐼) é uma função arbitrária e dependente de 𝜑𝐼 (ENDLICH et al., 2011).Agora, através da simetria expressa na equação 3.17 e aplicando 𝐾𝜇 na 3.25 obtemos

𝐾𝜇𝜕𝜇𝜓, (3.26)

um invariante escalar. Logo, associa-se uma variável intensiva a essa quantidade(potencial químico) definida por

𝑦 ≡ 𝑢𝜇𝜕𝜇𝜓 = 1√𝐵𝐾𝜇𝜕𝜇𝜓. (3.27)

A mais baixa ordem para descrever a Lagrangeana pelo bottom-up é

𝑆 =∫𝐹 (𝐵, 𝑦)𝑑𝜑𝑑𝜓. (3.28)

Repetindo o mesmo procedimento em 3.9, podemos reescrever o tensor energia-momento como

𝑇𝜇𝜈 = (𝐹𝑦𝑦 − 2𝐹𝐵𝐵)𝐵−1𝐼𝐽 𝜕𝜇𝜑

𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 + (𝐹 − 𝐹𝑦𝑦)𝑔𝜇𝜈 , (3.29)

e as novas variáveis termodinâmicas serão dadas por

𝜖 = 𝐹𝑦𝑦 − 𝐹, 𝑝 = 𝐹 − 2𝐹𝐵𝐵, (3.30)

𝑠 =√𝐵, 𝜇 = 𝑦, (3.31)

𝑛 = 𝐹𝑦, 𝑇 = −𝐹𝐵. (3.32)

A teoria de campo escolhe (𝑦,𝐵, 𝑢𝜇) como variáveis fundamentais na descrição deum fluido ideal carregado. A corrente de Noether, (GOLDSTEIN; POOLE; SAFKO, ),associada com a simetria em 3.25 é

𝑗𝜇 = 𝜕𝐹

𝜕𝑦𝑢𝜇 ≡ 𝐹𝑦𝑢

𝜇. (3.33)


E como pode ser visto pela simetria em 3.25 existe inúmeras correntes associadasao fluxo de carga devido a independência na reparametrização de 𝜓 em função das coor-denadas 𝜑𝐼 . Uma vantagem de reescrever a hidrodinâmica que nem uma teoria de campoé que a conservação de entropia, homogêneidade, isotropia e outros conceitos termodinâ-micos podem ser representados por simetrias (BURCH; TORRIERI, 2015).

Parte III

Fluido Imperfeito na EFT

42

4 Dissipação Hidrodinâmica

Nesse capítulo, apresentaremos uma breve discussão com o intuito de revisar osconceitos básicos da dissipação de energia em um fluido em movimento. Todos os processosterão uma temperatura absoluta diferente de zero e caracterizados por serem irreversíveistermodinamicamente. Fisicamente, a dissipação ocorre devido a interação com outras mo-léculas em volta e pela fricção interna tendem a apagar quaisquer inomogeneidades dasquantidades macroscópicas: velocidade 𝑢𝜇, temperatura 𝑇 e potencial químico 𝜇 (EN-DLICH et al., 2013). Uma representação esquemática da dissipação do fluido pode servisualizada na figura abaixo

Figura 8: Representa um fluxo estacionário onde as setas azuis representam transferênciade momento molecular da componente x para diferentes camadas no eixo y eprovoca um desaparecimento das gradientes de velocidade do fluido. Figuraretirada da referência (KOVTUN, 2012).

Na perspectiva Euleriana, utilizamos uma visão “granular” do fluido e seus efeitosdissipativos provenientes da fricção das moléculas farão parte da energia interna (entro-pia). A dissipação é conduzida por relações constutivas, através da expansão de derivadasdos termos

(𝑙𝑚𝑓𝑝.∇)𝑛, (𝜏.𝜕𝑡)𝑛. (4.1)

Onde 𝜏 é o tempo médio entre duas colisões consecutivas e 𝑛 é o grau de expansão.A expansão é definida quando se faz uma distinção entre escalas microscópicas ∼ 𝑙𝑚𝑓𝑝

e escalas macroscópicas ∼ 𝑅 ∼ (1/𝜕𝜇). A expansão é feita pelos número de Knudsen

Capítulo 4. Dissipação Hidrodinâmica 43

(CERCIGNANI, b), 𝐾𝑛 = 𝑙𝑚𝑓𝑝

𝑙𝑚𝑎𝑐𝑟𝑜(DENICOL et al., 2011). Se 𝐾𝑛 é muito menor que 1

a descrição é feita pela mecânica dos fluidos, mas se 𝐾𝑛 é aproximadamente igual a 1, adinâmica apropriada para estudar o regime é a mecânica estatística, de modo a dar contada inclusão de efeitos: caóticos, interferência de partículas e probabilístico (ENDLICH etal., 2011; KOVTUN, 2012).

No caso geral um fluido dissipativo se expressa

𝑇 𝜇𝜈 = 𝑓(𝑢𝜇, 𝑇, 𝜖, 𝑛, ..., 𝜕𝜇, ..., 𝜕𝑛𝜇), (4.2)

𝑗𝜇 = 𝑔(𝑢𝜇, 𝜇, 𝑛, ..., 𝜕𝜇, ..., 𝜕𝑛𝜇). (4.3)

Onde 𝑓 e 𝑔 são relações constitutivas, isto é, equações fenomenológicas que re-lacionam variáveis empíricas através de uma dependência, muitas vezes, linearizadas esuportadas por uma teoria fundamental (BHATTACHARYA et al., 2014). As funções sãodescritas por funções suaves e com todas as possíveis combinações expressas em termos dasvariáveis (𝜇, 𝑇 e 𝑢𝜇) e suas derivadas para o tensor energia-momento 𝑇 𝜇𝜈 e a corrente decargas 𝑗𝜇 (LANDAU; LIFSHITZ, ). Esses termos e outros de altas ordens devem satisfazerde forma necessária, mas não suficiente, as simetrias e obedecer a segunda lei da termodi-nâmica a qual asseguram a condição de positividade local da entropia. Todas as variáveismacroscópicas, também, são suaves, ou seja, satisfazem a relação |𝜕𝜇𝜖| ≪ |𝜖/𝑙𝑚𝑓𝑝|, sendo𝜖 uma variável macroscópica (DENICOL et al., 2011). Os fluidos estudados serão fraca-mente acoplados com longos comprimentos de onda 𝜆 ≫ 𝑙𝑚𝑓𝑝 e seus efeitos dissipativosde primeira ordem serão lineares. Os coeficientes das relações 4.2 e 4.3 são escalares epositivos. Sendo assim, pode se pensar a Hidrodinâmica conforme uma descrição efetivada matéria em baixa energia em um sistema de muitos corpos (clássicos ou quânticos) delongos comprimentos de onda (ROMATSCHKE, 2010).

Uma outra forma de expressar o fluido dissipativo da função 𝑓 em 4.2 a qual serálargamente utilizada é pelo tensor energia-momento

𝑇 𝜇𝜈 = 𝑇 𝜇𝜈0 + Π𝜇𝜈 . (4.4)

Onde 𝑇 𝜇𝜈0 é o tensor ideal 3.12 e Π𝜇𝜈 representa os efeitos do tensor dissipativo para

qualquer ordem 𝑛 ≥ 1 sendo 𝑛 pertencente ao conjunto dos números naturais. Lembrandoque o tensor acima deve ser simétrico e se conservar como em

𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈 = 0. (4.5)


para ser considerado um tensor hidrodinâmico. Como exemplo o tensor de primeiraordem da hidrodinâmica

𝑇 𝜇𝜈 = 𝜀𝑢𝜇𝑢𝜈 + 𝑝Δ𝜇𝜈⏟ ⏞ 𝑇 𝜇𝜈

0

+ (𝑢𝜇𝑞𝜈 + 𝑢𝜈𝑞𝜇) + 𝑡𝜇𝜈 + 𝜁Δ𝜇𝜈⏟ ⏞ Π𝜇𝜈

. (4.6)

O vetor 𝑞𝜇 é transverso 𝑢𝜇𝑞𝜇 = 0, o tensor 𝑡𝜇𝜈 é transverso 𝑢𝜇𝑡

𝜇𝜈 = 0, sem traço𝑡𝜇𝜇 = 0 e simétrico 𝑡𝜇𝜈 = 𝑡𝜈𝜇. Sendo 𝜂 a viscosidade shear, 𝜁 a viscosidade bulk e 𝑞𝜇 acondução de calor a qual não será considerada na dissertação. Para qualquer ordem 𝑛 dotensor dissipativo 4.4 as simetrias de Lorentz e 𝜕𝜇𝑠

𝜇 ≥ 0 devem ser satisfeitas.

4.1 ReferencialUm dos problemas abordados na descrição de um fluido dissipativo é a definição

do seu referencial. Existem dois referenciais importantes no estudo, o primeiro é conhecidopor referencial de Landau-Lifshitz 𝑢𝜇

𝐿, onde a densidade de energia está em repouso noreferencial de 𝑢𝜇, o qual é expresso pela equação abaixo

𝑢𝜇𝑇𝜇𝜈 = 𝜖𝑢𝜈 → 𝑢𝜈Π𝜇𝜈 = 0, (4.7)

o tensor dissipativo é transverso a 𝑢𝜈 e só existem efeitos dissipativos dos fluxosde carga. A definição desse referencial constitui como uma definição do quadrivetor velo-cidade 𝑢𝜇 que é um autovetor do tipo tempo. Toda a dissertação será trabalhada nessereferencial. No outro caso, a existência de uma corrente de carga 3.24 é tomada comodefinição de 𝑢𝜇 por

𝑢𝜇𝑗𝜇 = 𝑛, (4.8)

chamado de referencial de Eckart 𝑢𝜇𝐸 no qual haverá apenas fluxo de calor e o

fluxo de carga estará em repouso. No entanto, a física deve ser a mesma nos dois referen-ciais (SON; STARINETS, 2006), no fluido ideal os dois referenciais são iguais 𝑢𝜇

𝐸 = 𝑢𝜇𝐿.

Em fluidos dissipativos de primeira ordem, conseguimos considerar 𝑢𝜇𝐸 ≈ 𝑢𝜇

𝐿 (ISRAEL;STEWART, 1979b).

4.2 Dissipação na Linguagem EFTNa seção acima, vemos que a hidrodinâmica de fluidos reais se apresenta natu-

ralmente por uma expansão de gradientes. Existem outros métodos caso o sistema não


esteja localmente em equilíbrio, a exemplo da teoria cinética dos gases em 1.4 que conse-gue estabelecer as relações constitutivas a partir de um modelo de descrição microscópica,(CHAPMAN; COWLING, ). Outros trabalhos como o de Israel-Stewart introduzem asequações da hidrodinâmica relativísticos fora do equilíbrio, através da reformulação daentropia por um ponto de vista mais fenomenológico (ISRAEL; STEWART, 1979b). Aquestão é como aplicar a termodinâmica na nossa formulação teórica de campo para lidarcom a hidrodinâmica de altas derivadas ao saber que o fluido não estará em equilíbriosegundo IS (THERMODYNAMICS. . . , 1981; NONSTATIONARY. . . , 1976). Trataremosdesse assunto no capítulo 6.

A transposição da dinâmica Euleriana de um fluido real para EFT permite calcu-lar os efeitos dissipativos ou correções de um fluido ideal pela expansão de gradientes decampo 𝜑𝐼 e relacioná-los com quebras de simetrias nas Lagrangeanas. Assumiremos a va-lidade da EFT na 3.1 ao trabalharmos com a expansão (𝐸𝑙𝑜

𝐸𝑐)−1 ∼ 𝜂

𝑠𝑇 𝑅∼ 𝐾𝑛, (DENICOL

et al., 2011) com 𝐸ℎ𝑖 ∼ Λ e precisamos que a relação seja satisfeita

|𝜕𝜈𝜑𝐼 | ≫ |𝜕𝜇𝜕𝜈𝜑

𝐼

Λ |. (4.9)

Em outras palavras, |𝜕𝜇| ≪ Λ, ou seja, 𝜑𝐼 é uma função suave nos limites hidrodi-nâmicos e os processos quânticos não serão relevantes. A inequação acima não correspondea 𝜕𝜇𝜑

𝐼 ≪ Λ2 (DUBOVSKY et al., 2006). Uma maneira ilustrativa e geral de representarefeitos dissipativos de primeira ordem da Hidrodinâmica pela EFT que abarcam todas assimetrias possíveis é dada pela equação abaixo

Δℒ(1) = 𝑓1(𝐵,𝑁)𝐾𝜇𝜕𝜇𝐵 + 𝑓2(𝐵,𝑁)𝐾𝜇𝜕𝜇𝑁. (4.10)

Onde 𝑓1(𝐵,𝑁) e 𝑓2(𝐵,𝑁) são funções suaves. A conservação da carga em 3.33fornece uma relação 𝜕𝜇( 𝐹𝑦√

𝐵

√𝐵𝑢𝜇) = 0 → 𝐾𝜇𝜕𝜇( 𝐹𝑦√

𝐵) = 0, sendo 𝑁 ≡ 𝐹𝑦√

𝐵. Após isso ao

realizar uma redefinição de campo, 𝑓2 = 𝑓3 + 𝜕𝑁𝑔, onde 𝑓3(𝐵,𝑁) é uma função suave e𝑔 =

∫𝑓1𝑑𝑏 → 𝑓1 = 𝜕𝐵𝑔, subistituindo na Eq. 4.10 temos

Δℒ(1) = 𝐾𝜇(𝜕√𝐵𝑔𝜕𝜇

√𝐵 + 𝜕𝑁𝑔𝜕𝜇𝑁) + 𝑓3(𝐵, 𝑦)𝐾𝜇𝜕𝜇𝑁 =

𝐾𝜇𝜕𝜇𝑔 + 𝑓3(𝐵,𝑁)𝐾𝜇𝜕𝜇𝑁 = 0. (4.11)

É fácil ver que 𝜕𝜇𝑔 = 0 por que é uma derivada total e devido a identidade vista noparágrafo acima 𝐾𝜇𝜕𝜇𝑁 = 0. Podemos perceber que uma expansão da Lagrangeana naEq. 4.10 envolvendo todas as simetrias possíveis não existe teoricamente pela EFT (EN-DLICH et al., 2011). Uma maneira de generalizar e entender melhor é tratar o problemano “patamar” da ação. Ao trabalhar em uma expansão da ação de ordem 𝑛+ 1 (𝑆𝑛+1[Φ])


por meio de um acoplamento (Δ𝑆𝑛+1[Φ]) na ação á ordem 𝑛, (𝑆𝑛[Φ]) como pode ser vistona equação abaixo,

𝑆𝑛+1[Φ] = 𝑆𝑛[Φ] + Δ𝑆𝑛+1[Φ]. (4.12)

Onde Φ é um conjunto de variáveis dinâmicas necessárias para descrever o sistemano intervalo de energia considerado em 3.1. Iremos concluir que os acoplamentos realizadosa nível da teoria de campo são redundantes por meio de uma redefinição de variáveis decampo

Φ = Φ′ + 𝒢[Φ′]. (4.13)

A substituição de 4.13 em 4.12 remove o termo de acoplamento de ordem 𝑛+ 1,

𝑆𝑛[Φ] + Δ𝑆𝑛+1[Φ] = 𝑆𝑛[Φ′] + 𝒪(𝜕𝑛+2), (4.14)

tal como realizado em 4.10. Não existe nenhuma diferença do ponto de vista fí-sico entre Φ e Φ′, os dois campos resultarão na mesma equação de estado termodinâmico(ENDLICH et al., 2011). O termo 𝒢[Φ] contém somente derivadas, ou seja, não possuemcampos sem diferenciação, pois se assim o tivessem deturpariam a estrutura da Lagrange-ana, além de não estarem na contagem da ordem, por causa dos termos não diferenciáveis(ENDLICH et al., 2011).

A expansão é incapaz de construir termos dissipativos no nível da ação,porque ela é conservativa por construção, de maneira que é incapaz de que-brar a invariância temporal e incorporar o princípio da causalidade quando seutiliza a expansão de derivadas na Lagrangeana. Assim, podemos continuarfazer o mesmo procedimento em 4.10 para 𝑛 = 0 e impedir a formulação defenômenos de primeira ordem (viscosidade bulk, condutividade e viscosidadeshear), já que todos os termos serão não-físico. O problema apresentado, nessaseção, é de caráter teórico e tem haver com o princípio de Hamilton, na próxima seçãoserá apresentado uma solução.

4.3 Lagrangeana de Fluidos DissipativosNeste capítulo, faremos uma breve revisão teórica dos princípios básicos da Mecâ-

nica Clássica com o objetivo de inserir os conceitos novos da formulação Closed-Time-Path(CTP) necessários para a compreensão dos futuros capítulos.


IntroduçãoMuitos aspectos da natureza do mundo podem ser formulados através das equações

diferenciais ou do princípio variacional. Esse mecanismo foi conduzido por uma noção naHistória da Ciência de que a Natureza está em busca de uma maneira de minimizar“algo” em um dado processo físico. O princípio de Hamilton foi desenvolvido por anos aolongo da história da física e em seguida sua compreensão ampliou os problemas físicos aserem abordados e os incorporou em diversos ramos da física, desde a macroescala até amicroescala. Esse princípio pode ser enunciado como

∙ O caminho de um sistema físico em um intervalo de tempo fixo 𝑡1 e 𝑡2 é escolhidono qual a ação 𝑆, escalar, tem um valor mínimo (GOLDSTEIN; POOLE; SAFKO,).

𝑆 =∫ 𝑡2

𝑡1𝑑𝑡𝐿. (4.15)

onde L=T-V, 𝑇 energia cinética e 𝑉 é o potencial de forças conservativas.

Estacionário significa que a ação é extremada (mínimo) com respeito a variação docaminho em primeira ordem. Essa é uma afirmação local, quer dizer, refere-se a caminhospróximos do caminho estacionário, mas não assume uma natureza global ao considerarvariações de ordem mais alta. Os problemas no princípio de Hamilton são analisados emum espaço de fase, um conjunto de eixos formados pelas coordenadas generalizadas 𝑞𝑖,no qual não possui conexão com os sistemas físicos (espaço tridimensional). A mecânicaclássica é estabelecida por meio do axioma: o espaço e o tempo são considerados imutáveise não sofrem mudanças devido aos seus constituintes físicos.

A Lagrangeana de um sistema é escrita como

𝐿 = 𝐿(𝑞𝑖(𝑡), 𝑞𝑖(𝑡); 𝑡), 𝑖 = 1, ..., 𝑛. (4.16)

Onde 𝑞1 é a velocidade generalizada e 𝑡 é o tempo, parâmetro livre. Pulandoda configuração da mecânica discreta para a contínua e relativística a equação 4.23 éreformulada como

𝑆 =∫ 𝑥2

𝑥1𝑑𝑥𝑑+1ℒ. (4.17)

Onde 𝑑𝑥𝑑+1 é a integração sobre o volume de dimensão 𝑑 e ℒ = ℒ(𝜑, 𝜕𝜇𝜑;𝑥𝜇) éa densidade Lagrangeana sendo 𝜑 o campo generalizado que descreve a posição da par-tícula em seu caminho no espaço de fase e 𝑥𝜇 é a variável independente (THORNTON;MARION, ). A Lagrangeana é um invariante relativístico de dimensão [𝑀 ]4, onde M é amassa, e nesse trabalho usa 𝑑 = 3.


4.3.1 Mecânica Clássica para Sistemas não Conservativos

O princípio de Hamilton da ação estacionária, amplamente utilizado na física, éuma técnica extremamente poderosa que permiti obter a equações de movimento dosmais variados tipos de problemas, ao levar em conta apenas forças conservativas. A ação,também, possibilita uma relação íntima com a mecânica quântica por meio da formulaçãode Feymann, todavia, só problemas conservativos são abordados na mecânica clássica.

O princípio de Hamilton não possibilita abordar mais problemas físicos como: efei-tos quânticos dissipativos, dinâmica de sistemas não lineares no espaço de fase, processostermodinâmicos irreversíveis, oscilador harmônico amortecido, difusão de calor e efeitos denão localidade na mecânica quântica (THORNTON; MARION, ) e outros que envolvemforças não derivadas de potencias conservativos. Um dos principais motivos é a necessidadede reformular teóricamente para incluir efeitos que quebrem a invariância temporal. Umadas possibilidades seria a utilização da função dissipação de Rayleigh, ainda assim, essemétodo não é abrangente o suficiente para tratar casos mais gerais oriundos de sistemasabertos. Uma outra proposta seria pensar em manusear uma Lagrangeana dependente dotempo para tratar problemas dissipativos e então reproduzir esses efeitos nas equaçõesde movimento. Contudo, (i) não existe na literatura um procedimento sistemático paraincorporar termos dependentes no tempo, e portanto não possui nenhum caráter predi-tivo. (ii) Não tem nenhuma origem e significado físico com a dissipação, já que a mesmaé a inclusão de graus de liberdade novos, que até então não são levados em conta pelamecânica clássica (ENDLICH et al., 2013).

Um novo princípio variacional foi construído, a fim de contrapor a dificuldade apre-sentada no parágrafo anterior e é possível incorporá-lo em todas as técnicas desenvolvidaspelo princípio Hamiltoniano (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014). Esse método viabilizariana mecânica dos fluidos dispor de um referencial para trabalharmos o subconjunto dasvariáveis microscópicas (UV) que consistem no coarse-grained, além das já conhecidas eacessíveis variáveis macroscópicas (IR). Isso permitirá mudar a escala de energia 3.1 aqual está usando, até agora, e procurar estudar a relação 𝑙𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜 ≪ 𝑙𝑚𝑓𝑝 de “ gradien-tes microscópicos”. Trabalhos que mencionam essa área são (BURCH; TORRIERI, 2015;BURCH; TORRIERI, 2014).

A única maneira de quebrar a simetria de inversão temporal é mudar a coordenadageneralizada 𝑞 e inserir um par delas: 𝑞 → (𝑞1, 𝑞2) e 𝑞 → (𝑞1, 𝑞2). Então, o novo desvio docaminho é 𝑞1,2(𝑡, 𝜖) = 𝑞1,2(𝑡, 0) + 𝜖𝜂1,2(𝑡), onde 𝑞1,2(𝑡, 0) são as coordenadas dos caminhosestacionários, 𝜖 ≪ 1 e 𝜂1,2 são os deslocamentos arbitrário dos caminhos, conforme podeser visto na figura abaixo, (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014).

O lado direito da figura 9 mostra que as condições iniciais são fixas no 𝑡𝑖 o tempoinicial, logo 𝜂1,2(𝑡𝑖) = 0, e devido a degenerescência impõe-se; condições de igualdade no


Figura 9: Esquerda: Princípio de Hamilton, trajetória de 𝑞𝑖(𝑡). Direita: Princípio deHamilton da mecânica não conservativa, trajetória de 𝑞1𝑖(𝑡) e 𝑞2𝑖(𝑡). As linhaspontilhadas são os caminhos virtuais e as sólidas são os caminhos estacionários,a seta indica o sentido da integração de 𝑡𝑖 (tempo inicial) á 𝑡𝑓 (tempo final).Figura retirada da referência (GALLEY, 2013).

𝑡𝑓 tempo final, tal que 𝑞1(𝑡𝑓 , 𝜖) = 𝑞2(𝑡𝑓 , 𝜖) e 𝑞1(𝑡𝑓 , 𝜖) = 𝑞2(𝑡𝑓 , 𝜖), de maneira que não temmais condições de contorno, 𝑞1,2(𝑡𝑓 ) é um valor determinado pela evolução do sistema aoinvés de ser especificado pelo problema. Os caminhos 𝑞1 e 𝑞2 representam as equaçõesde movimento, (GALLEY, 2013). Um bom exemplo sobre esse método se encontra noapêndice A.

A ação é definida pela seguinte linha de integração

𝑆[��𝑎] ≡∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡𝐿(��1, ˙𝑞1) − 𝐿(��2, ˙𝑞2) + 𝒦(��𝑎, ˙𝑞𝑎, 𝑡), (4.18)

e a nova Lagrangeana é definida como

Λ(𝑞𝑎, 𝑞𝑎) ≡ 𝐿(𝑞1, 𝑞1) − 𝐿(𝑞2, 𝑞2) + 𝒦(𝑞𝑎, 𝑞𝑎, 𝑡). (4.19)

Onde 𝐿 é a Lagrangeana das coordenadas 𝑞1 e 𝑞2, nota-se que a Lagrangeana𝐿(��2, ˙𝑞2) de 4.18 possui os tempos de integração invertidos conforme visto pelas linhasvermelhas da figura á direita em 9. O termo 𝒦 “potencial não conservativo” representaforças não deriváveis de potenciais conservativos. Se a variável 𝒦, onde o subíndice {𝑎} ={1, 2}, for escrita como uma diferença de dois potenciais conservativos tipo 𝑉 (𝑞1)−𝑉 (𝑞2),ela será absorvida nas duas Lagrangeanas da equação 4.18, e nesse caso 𝒦 desapareceráe não existirá a necessidade de duplicar as variáveis, porque o sistema é conservativo.Outra propriedade acontecerá se 𝑞1 = 𝑞2, assim 𝒦 deve ser antissimétrico sobre 𝑞1 ↔ 𝑞2 efacilmente pode ser visto pela Eq. 4.18 ao originar a identidade 𝑆[𝑞1, 𝑞2] = −𝑆[𝑞2, 𝑞1].

Pode-se derivar 𝒦 por meio de uma integranting out e assim produzir um sistemaaberto. Onde é discutido extensivamente no apêndice A e outros exemplos extensivamente


discutidos podem se encontrar na referência (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014).

Entretanto, é preciso quebrar a degenerescência imposta pela duplicação das co-ordenadas generalizadas. Nesse intuito, levamos o sistema ao seu limite físico (l.f.) com𝑞1 → 𝑞2, a fim de restaurar e retornar a uma única solução da equação de movimento dosistema. Iremos realizar uma nova transformação de coordenadas

𝑞+ = 𝑞1 + 𝑞2

2 , 𝑞− = 𝑞1 − 𝑞2, (4.20)

e o novo l.f., abaixo, fica mais fácil de se trabalhar em problemas dissipativos

∙ 𝑞+ → 𝑞,

∙ 𝑞− → 0.

A nova ação na Eq. 4.18 é estacionária se

𝑑𝑆[𝑞±]𝑑𝜖

]𝜖=0

, (4.21)

para todo 𝜂±. Aplicando o princípio variacional 4.21 em 4.18 temos

0 =∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡

{𝜂+

[𝜕Λ𝜕𝑞+

− 𝑑𝜋−

𝑑𝑡

]𝑜

+ 𝜂−

[𝜕Λ𝜕𝑞+

− 𝑑𝜋−

𝑑𝑡

]𝑜

}+[𝜂𝑖

+(𝑡).𝜋−𝑖(𝑡) + 𝜂𝑖−(𝑡).𝜋𝑖+(𝑡)

]𝑡𝑓

𝑡=𝑡𝑖

(4.22)

O último termo da equação acima desaparece devido as condições de igualdadeem 𝜂−(𝑡𝑓 ) = 𝜋−(𝑡𝑓 ) = 𝜂±(𝑡𝑖) = 0, (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014), e assim a Eq. 4.22fornece 𝑑𝜋∓

𝑑𝑡= 𝜕Λ

𝜕𝑞±e o momento conjugado 𝜋∓ = 𝜕Λ

𝜕𝑞±, e no limite físico é

𝑑𝜋+

𝑑𝑡= 𝜕Λ𝜕𝑞−

𝑙.𝑓.

= 𝜕ℒ𝜕𝑞

+ 𝜕𝒦𝜕𝑞−

𝑙.𝑓.

, 𝜋+ = 𝜕Λ𝜕𝑞−

𝑙.𝑓.

= 𝜕ℒ𝜕𝑞

+ 𝜕𝒦𝜕𝑞−

𝑙.𝑓.

, (4.23)

o termo do lado direito das equações acima provém da parte conservativa do sis-tema enquanto o outro é oriundo do “potencial não conservativo”. A nova Lagrangeana

Λ(𝑞+, 𝑞−, 𝑞+, 𝑞−) = ℒ(𝑞+, 𝑞+) − ℒ(𝑞−, 𝑞−) + 𝒦(𝑞±, 𝑞±, 𝑡), (4.24)

e por 4.22 a equação de Euler-Lagrange é

[𝑑

𝑑𝑡

𝜕Λ𝜕𝑞−

− 𝜕Λ𝜕𝑞−

]𝑙.𝑓.

= 0. (4.25)


Teoria de Campo não conservativa

Nessa seção, seguindo o mesmo procedimento realizado ao sistema discreto vere-mos a generalização para a mecânica contínua é direta. Primeiro, leva-se em conta umsistema fechado e descrito por campos escalares 𝜑, após isso escolhe um subconjunto degraus de liberdade 𝜓 e as equações de movimento serão obtidas através da eliminação doacoplamento das variáveis 𝜓 com as do ambiente (subconjunto complementar), já que ostermos dissipativos são introduzidos pelas interações da teoria efetiva com as variáveismicroscópicas. De acordo com uma visão fenomenológica, a energia é perdida dos grausde liberdade IR aos graus de liberdade UV (GROZDANOV; POLONYI, 2015a). Casoconsideremos todos os graus de liberdade o sistema seria fechado e conservativo. A açãoé definida

𝑆𝐶𝑇 𝑃 [𝜓] =∫ 𝑡𝑖

𝑡𝑓

𝑑𝑑+1𝑥{ℒ[𝜓+] − ℒ*[𝜓−]

}. (4.26)

Fisicamente é perceptível intuir ℒ[𝜓+] como uma equação de movimento onde aenergia é “absorvida” e “perdida” na ℒ*[𝜓−]. Utilizando o mesmo raciocínio na pers-pectiva discreta da CTP, as condições de igualdade sugerem, 𝜓+(𝑡𝑓 ,x) = 𝜓−(𝑡𝑓 , x), e𝜕𝑛

𝑡 𝜓+(𝑡𝑛,x) = 𝜕𝑛

𝑡 𝜓−(𝑡𝑛,x), onde 𝜓± é uma função de classe 𝑛 (GROZDANOV; POLONYI,

2015b). A CTP possui uma degenerescência associada com 𝜓+ ↔ 𝜓−, como visto abaixopelo gerador quântico funcional

𝑒𝑖𝑊𝐶𝑇 𝑃 =∫𝐷𝜓𝜌[𝜓]𝑒𝑥𝑝

{𝑖𝑆𝐶𝑇 𝑃 + 𝑖

∫𝐽𝜓}. (4.27)

Onde 𝜌 é a densidade de estado e 𝐽 é a fonte. Como simetria temos

𝑆𝐶𝑇 𝑃 [𝜓+, 𝜓−] = −𝑆*𝐶𝑇 𝑃 [𝜓−, 𝜓+]. (4.28)

A ação efetiva, após uma integrated out é

𝑆𝑒𝑓𝑓 [𝜓] = 𝑆1[𝜓+] − 𝑆*1 [𝜓−] + 𝑆2[ ^𝜓+, 𝜓−]. (4.29)

A distinção entre 𝑆1 e 𝑆2 é feita por 𝛿2𝑆2/𝛿𝜑+𝛿𝜑−. A ação do sistema não é unitária,

já que estamos tratando de um subconjunto 𝜓 de 𝜑, (ENDLICH et al., 2013), e os subín-dices da equação acima se referem ao número de eixos temporais. O primeiro e o segundotermo da equação 4.29 são responsáveis pela conservação da corrente de energia-momentoe representam os graus de liberdade macroscópico, ou seja, de baixa energia e longos com-primentos de onda IR. O 𝑆𝑖[ ^𝜓+, 𝜓−] é uma pequena perturbação, onde contém todos ostermos devido à integration out e a forças dissipativas, ou melhor, os graus de liberdademicroscópicos UV responsáveis por aumentar a energia interna do sistema (GALLEY,


2013; GROZDANOV; POLONYI, 2015b). Termos de 𝑆𝑖(𝜓+, 𝜓−) geralmente “quebram”as leis de conservação oriundas do teorema de Noether pela interação das variáveis 𝜓+ e𝜓− nas condições de contorno do 𝑡𝑓 para tempos assintóticos, como visto na figura 9 efeito em (ENDLICH et al., 2013). A Eq. 4.29 tem uma sistemática organização para tratardos problemas referentes a violação de carga, energia e entropia referentes a efeitos dis-sipativos sob a ótica da EFT e veremos essa aplicação nos dois capítulos dessa dissertação.

53

5 Navier-Stokes

Houve uma motivação em conhecer a EFT e entender seus fundamentos na aplica-ção dos fluidos, devido ao fato de não precisarmos fazer nenhuma menção a alguma teoriamicroscópica, já que esse assunto ainda está em aberto na hidrodinâmica. Primeiramente,abordou-se uma visão preliminar dos conceitos teóricos da EFT no capítulo 2. Em segundolugar, apresentou no capítulo 3 a elaboração de um fluido ideal pela definição da EFT.Por último, mostrou no capítulo 4 o problema de obter efeitos dissipativos de primeiraordem na aproximação da hidrodinâmica pela EFT, juntamente com a sua solução pelaClosed-Time-Path. Nesse capítulo, reuniremos os conceitos teóricos dos capítulos 2, 3 e 4necessários a estruturação e interpretação da Lagrangeana de primeira ordem.

5.1 IntroduçãoA equação de NS incorpora alguns dos principais efeitos de dissipação da hidrodi-

nâmica: viscosidade shear e viscosidade bulk. A viscosidade é a resistência de um fluidoao seu escoamento ou a rapidez com que transporta momento por difusão molecular. Umexemplo ilustrativo da viscosidade shear está na figura 8 enquanto a viscosidade bulk seriaa resistência que um fluido oferece a sua contração ou expansão. Na explanação feita naseção 4.2, os termos dissipativos derivados da Lagrangeana de primeira ordem, sempreserão absorvidos devido a uma redefinição das variáveis de campo. Porém, se utilizamoso modelo teórico do formalismo CTP, através da inclusão da degenerescência nos grausde liberdade 𝜑𝐼 as Lagrangeanas dissipativas de primeira ordem não desapareceram.

Os graus de liberdade, simetrias e restrições de um fluido serão expressos na lin-guagem da CTP. Agora, teremos seis campos escalares

𝜑𝐼 → 𝜑𝐼±. (5.1)

As simetrias 3.4 á 3.6 são reformuladas como

𝜑𝐼± → 𝜑𝐼± + 𝑎𝐼 , 𝑎𝐼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, (5.2)

𝜑𝐼± → 𝑅𝐼𝐽 𝜑

𝐽±, 𝑅𝐼𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3), (5.3)

𝜑𝐼± → 𝜉𝐼±(𝜑𝐽±), 𝑑𝑒𝑡(𝜕𝜉+𝐼/𝜕𝜑+𝐽) = 1, 𝑑𝑒𝑡(𝜕𝜉−𝐼/𝜕𝜑−𝐽) = 1. (5.4)

Capítulo 5. Navier-Stokes 54

A invariância de Poincaré não sofre alteração na sua definição. A velocidade defi-nida na Eq. 3.20 é reescrita como

𝐾𝑖𝜇 ≡ 13!𝜖

𝜇𝛼1𝛼2𝛼3𝜖𝐼𝐽𝐾𝜕𝛼1𝜑𝜎1𝐼𝜕𝛼2𝜑

𝜎2𝐽𝜕𝛼3𝜑𝜎3𝐾 ≡ 𝑃 𝑖𝜇𝛼

𝐾 𝜕𝛼𝜑𝐾 . (5.5)

Onde (𝜎1𝜎2𝜎3) = {(− − −), (− − +), (− + +), (+ + +)}, para 𝑖 = {0, 1, 2, 3}. De-finimos o projetor 𝑃 𝑖𝜇𝛼

𝐾 ≡ 12!𝜖

𝜇𝛼1𝛼2𝛼3𝜖𝐼𝐽𝐾𝜕𝛼1𝜑𝜎1𝐼𝜕𝛼2𝜑

𝜎2𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3) perpendicular á 𝐾𝑖𝜇.Outras relações que serão úteis e encontradas pelas simetrias do projetor 𝑃 𝑖𝜇𝜈

𝐾 são

𝑃 𝑖𝜇𝜈𝐾 𝜕𝜆𝜑𝐾 = 1

3(𝐾𝜇Δ𝜈𝜆 −𝐾𝜈Δ𝜇𝜆), (5.6)

𝑃 𝑖𝜇𝜈𝐾 𝜕𝜆𝜕𝜈𝜑

𝐾 = 13𝜕

𝜆𝐾𝜇. (5.7)

A entropia na Eq. 3.21 continua conservada

𝜕𝜇𝐾𝑖𝜇 = 0. (5.8)

O limite físico é 𝜑+𝐾 = 𝜑−𝐾 , logo na Eq. 5.5 temos 𝐾𝑖𝜇 = 𝐾𝜇 e definimos

𝐾3𝜇 ≡ 𝑃 3𝜇𝛼𝐾 𝜕𝛼𝜑

+𝐾 , (5.9)

𝑃 0𝜇𝛼𝐾 ≡ 0, (5.10)

já que a única variável 𝐾𝑖𝜇 “sobrevivente” é 𝑖 = 3, pois todos os seus termos𝜕𝛼1𝜑

𝜎1𝐼 tem o mesmo sinal (+). Pelo motivo do operador variacional 𝛿− não atuar apóso l.f., somente o operador do tipo 𝛿+ e o princípio variacional sofre algumas modificaçõesno cálculo da variável 𝐾𝑖𝜇, sendo 𝛿+

𝜑 𝐾𝑖𝜇 = 𝑖𝑃 𝑖𝜇𝛼

𝐾 𝜕𝛼𝛿𝜑+𝐾 , já que o outro 𝐾0𝜇 se anula em

𝛿+𝜑 𝐾

0𝜇 = 0, (GALLEY, 2013; GROZDANOV; POLONYI, 2015b). Além das identidades𝛿+

𝑥 𝜑+𝐾 = 𝑎𝜇𝜕𝜇𝜑

+𝐾 e 𝛿−𝑥 𝜑

+𝐾 = 0, o variacional de 𝐾𝑖𝜇 é

𝛿+𝑥 𝐾

𝑖𝜇 = 𝑖𝑃 𝑖𝜇𝛼𝐾 𝜕𝛼𝛿𝜑

+𝐾 = 𝑖𝑃 𝑖𝜇𝛼𝐾 (𝜕𝛼𝑎𝜆𝜕

𝜆𝜑+𝐾 + 𝑎𝜆𝜕𝜆𝜕𝛼𝜑

+𝐾). (5.11)

O peso “i” da equação acima representa quantos termos 𝜕𝜇𝜑𝐼+ tem em 5.5. O

tensor energia-momento em CTP pela corrente de Noether é obtido do deslocamento nacoordenada do espaço-tempo do campo 𝜑+𝐼 .

𝜑+(𝑥𝜇) → 𝜑+(𝑥𝜇 + 𝑎(𝑥𝜇)), 𝜑−(𝑥𝜇) → 𝜑−(𝑥𝜇). (5.12)


Caso variasse os dois campos 𝜑+𝐼 e 𝜑−𝐼 o efeito resultante seria nulo, isso é facil-mente visto pela simetria do lado direito da figura 9. Após a mudança em 𝑥𝜇 → 𝑥𝜇+𝑎(𝑥𝜇),sendo 𝑎(𝑥𝜇) dependente do quadrivetor posição 𝑥𝜇, a equação de movimento oriunda é

𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈 = 𝑅𝜈 . (5.13)

A divergência não desaparece como em 4.5, pelo contrário, 𝑅𝜈 ∼ 𝜕𝜈𝜑𝑖𝐼 depende degradientes de primeira ordem das variáveis 𝑢𝜇 e 𝐵. A CTP consegue incorporar de formasistemática e simples os termos dissipativos em 𝑇𝜇𝜈 . A Lagrangeana de um fluido ideal3.8 reescrito pela degenerescência CTP

ℒ(0)𝐶𝑇 𝑃 = 𝑇 4

𝑜𝐹 (𝐾3𝛾𝐾

3𝛾) − 𝑇 4𝑜𝐹 (𝐾0

𝜆𝐾0𝜆). (5.14)

Aplicando 3.9 na equação acima, o primeiro termo do lado direito sobrevive ao usar𝛿+ e resulta em uma equação de movimento enquanto o último termo desaparece devidoao limite físico em 5.10, ou seja, 𝛿+𝐾0𝜇 ≡ 0. A Lagrangeana NS, dada abaixo, obedece assimetrias encontradas nas equações de movimento da Hidrodinâmica Euleriana

ℒ(1)𝑁𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟−𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 = 𝑇 4

𝑜

∑𝑖,𝑗,𝑘

𝑧𝑖𝑗𝑘(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚𝛾 )𝐵𝐵−1

𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕𝜇𝜑𝑖𝐼𝜕𝜈𝜑𝑗𝐽𝜕𝜇𝐾

𝑘𝜈 . (5.15)

Os índices latinos maiúsculos representam as coordenadas espacial e temporal. Afunção 𝑧𝑖𝑗𝑘 se refere a oito funções independentes entre si que especificam a dependênciada viscosidade shear com a entropia definida na Eq. 3.19. Aplicando os argumentos desimetria da CTP no l.f., existe somente 4 funções independentes, já que 𝑧300 = 𝑧033, 𝑧330 =𝑧003, 𝑧303 = 𝑧030 e 𝑧333 = 𝑧000. O argumento da função exerce um caráter independentedos índices latinos minúsculos (𝑖, 𝑗, 𝑘), por exemplo 𝑧333 é uma função que não dependeexclusivamente de 𝐾3𝜇, mas sim de uma combinação de outro vetores 𝐾𝑖𝜇. Aplicando oprincípio variacional 𝛿+

𝜑 𝑆 = 0 á Lagrangeana 5.15

𝛿+𝜑 ℒ(1)

𝐶𝑇 𝑃 = 𝑇 4𝑜

∑𝑖,𝑗,𝑘

{𝛿+

𝜑 (𝑧𝑖𝑗𝑘(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚𝛾 ))𝐵𝐵−1

𝑖𝐼𝑗𝐽𝐴𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕𝜇𝐾

𝑘𝜈 +𝑧𝑖𝑗𝑘(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚

𝛾 )[𝛿+

𝜑 (𝐵)𝐵−1𝑖𝐼𝑗𝐽𝐴

𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕𝜇𝐾𝑘𝜈

+𝐵𝛿+𝜑 (𝐵−1

𝑖𝐼𝑗𝐽)𝐴𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕𝜇𝐾𝑘𝜈 +𝐵𝐵−1

𝑖𝐼𝑗𝐽𝛿+𝜑 (𝐴𝑖𝐼𝑗𝐽)𝜕𝜇𝐾

𝑘𝜈 +𝐵𝐵−1

𝑖𝐼𝑗𝐽𝐴𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕𝜇𝛿

+𝜑 (𝐾𝑘

𝜈 )]}.(5.16)

A equação de movimento é obtida ao usar a 5.11 na equação acima

𝜕𝜆

∑𝑖,𝑗,𝑘

{𝑘𝑧𝑖𝑗𝑘(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚

𝛾 )𝐵𝐵−1𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕

𝜇𝜑𝑖𝐼𝜕𝜈𝜑𝑗𝐽𝜕𝜇(𝑃 𝜇𝜈𝐾 𝜕𝜆𝜑+𝐾) + 𝑧𝑖𝑗𝑘(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚

𝛾 )(𝑖𝑃 𝑖𝜇𝜆𝐾 𝐾𝑗𝜈+


𝑗𝑃 𝑗𝜈𝜆𝐾 𝐾𝑖𝜇)𝜕𝜇𝐾

𝑘𝜈 +

∑𝑙≤𝑚

𝑧𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚𝛾 )[(𝑙𝑃 𝑙𝛾𝜆

𝐾 𝐾𝑚𝛾 +𝑚𝐾 𝑙

𝛾𝑃𝑚𝛾𝜆𝐾 )𝐵−1

𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕𝜇𝜑𝑖𝐼𝜕𝜈𝜑𝑗𝐽𝜕𝜇𝐾𝜈

] }.

(5.17)

Utilizando as relações 5.6 e 5.7 o tensor energia-momento é escrito como

𝑇 𝜇𝜈 = 𝜖𝑢𝜇𝑢𝜈 + 𝑝Δ𝜇𝜈 −𝜛Δ𝜆𝜈𝜕𝜆𝑢𝜇 − 𝜂1𝑢

𝜆𝑢𝜇𝜕𝜆𝑢𝜈+

𝜅𝑢𝜇𝜕𝜈√𝐵 + (𝜒1𝜂

𝜇𝜈 + 𝜒2𝑢𝜇𝑢𝜈)𝜕𝜆𝑢

𝜆. (5.18)

É fácil de ver que o tensor resultante não é simétrico e seus coeficientes são descritoscomo

𝜛 = 𝐵3/2

3∑𝑖,𝑗,𝑘

𝑘𝑧𝑖𝑗𝑘, 𝛽 = 𝐵

3∑𝑖,𝑗,𝑘

𝑖𝑧𝑖𝑗𝑘, (5.19)

𝜅 = 𝛽 − 𝜛√𝐵, 𝜒1 =

√𝐵𝛽 + 𝜒2, 𝜂1 = 𝐵3/2

3∑𝑖,𝑗,𝑘

𝑗𝑧𝑖𝑗𝑘, (5.20)

𝜒2 = 𝐵3/2

3∑𝑖,𝑗,𝑘

∑𝑙≤𝑚

[(𝑗 + 𝑘)𝑧𝑖𝑗𝑘 −𝐷𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚], (5.21)

Sendo 𝐷𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚|𝜑+=𝜑− ≡ 𝐵(𝑙 + 𝑚)𝑧𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚, onde 𝑧𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚 ≡ 𝜕𝑧/𝜕(𝐾 𝑙𝛾𝐾

𝑚𝛾). Os coefici-entes dependem unicamente da função entropia e a atuação da CTP é dado pelo “peso”de (𝑖, 𝑗, 𝑘) nas Eqs. 5.19 á 5.21. O termo não conservado da Eq. 5.13 é encontrado apósaplicar o divergente na Eq. 5.18 e depois de algumas manipulações algébricas onde só ostermos de primeira ordem em 𝜕𝜈 estejam presentes.

𝑅𝜈(1) = 𝜂1𝑢

𝛼𝜕𝛼𝑢𝜆𝜕𝜈𝑢𝜆 + 𝜅𝜕𝜆

√𝐵𝜕𝜈𝑢𝜆 + 𝜒1√

𝐵𝜕𝜆𝑢

𝜆𝜕𝜈√𝐵. (5.22)

A parte não homogêneo da equação 5.13 é uma fonte de primeira ordem oriunda doformalismo CTP e ocasionada pelo emaranhamento dos eixos 𝜑+ e 𝜑− em uma condiçãoassintótica (GROZDANOV; POLONYI, 2015a), mesmo que considerássemos um tempoinfinito esses dois eixos estariam atrelados por 4.28. O 𝑅𝜈 é formado por termos nãosimétricos de 5.18 e é preciso notar que o tensor energia-momento é construído seguindodois princípios: a conservação 𝜕𝜇𝑇

𝜇𝜈 = 0 e a simetria 𝑇 𝜇𝜈 = 𝑇 𝜈𝜇, não obstante, as equaçõesobtidas em 5.18 violam isso.


É necessário lembrar que 𝑇 𝜇𝜈 só poderá ser aplicado na hidrodinâmica se for umtensor fenomenológico 𝑇 𝜇𝜈

𝑓𝑙 dado por

𝑇 𝜇𝜈𝑓𝑙 = 𝑇 𝜇𝜈

(0)𝑓𝑙 + 𝑇 𝜇𝜈(1)𝑓𝑙, (5.23)

Onde 𝑇 𝜇𝜈(0)𝑓𝑙 é o tensor fenomenológico de ordem zero igual a Eq. 3.12 e 𝑇 𝜇𝜈

(1)𝑓𝑙

é o tensor simétrico e conservado correspondente a Eq. 4.6 ∈ 𝑆𝑂(3) ⊥ 𝑢𝜇. Esse tensorfenomenológico deve ser simétrico e se conservar. No entanto, pela Eq. 5.13 esse tensor nãopode ser relacionado com qualquer tensor fenomenológico da hidrodinâmica dissipativa,e assim, a construção da EFT estaria falhando por não conseguir se relacionar com adinâmica observada na natureza.

Uma maneira de resolver esse problema é escrever os campos escalares aproxima-damente em equilíbrio 𝜑𝑖𝐼 = 𝐵1/6

𝑜 (𝑥𝑖𝐼 + 𝑙𝜋𝑖𝐼), onde 𝑙 é um parâmetro pequeno, tal que𝑙 ≪ 1, o campo 𝑥𝑖𝐼 é o estado homogêneo e isotrópico como em 3.3 e 𝜋𝑖𝐼 deve ser en-carado como flutuações em um campo vetorial espacial, para uma melhor investigaçãode 𝜋𝑖𝐼 temos a referência (TORRIERI, 2012a; DUBOVSKY et al., 2006). Realizando aaproximação 𝐾𝜇

𝑜 = (𝐵1/2𝑜 , 0, 0, 0) e usando

𝐵 = 𝐵𝑜 + 𝑙Δ𝐵 + ..., 𝑢𝜇 = 𝑢𝜇𝑜 + 𝑙𝑣𝜇 + .... (5.24)

com 𝑢𝜇𝑜 = (1, 0, 0, 0), 𝑣𝜇 = (0, 𝑣𝑖) e sendo 𝐵𝑜 a entropia de equilíbrio, (GROZDA-

NOV; POLONYI, 2015b). A Eq. da conservação 3.21 na aproximação linear de primeiraordem fornece

𝐵𝑜𝜕𝑖𝑣𝑖 = −𝜕𝑜Δ𝐵, (5.25)

e segue então que as aproximações de primeira ordem no equilíbrio hidrostáticose conservam (desprezando efeitos de segunda ordem). Logo, se as variáveis (𝜖, 𝑝) foremredefinidas como: 𝜖 → 𝜖+ 𝑙𝑝𝑜 e 𝑝 → 𝑝− 𝑙𝑝𝑜, sendo 𝑝𝑜 dado por

𝑝𝑜 = (𝑖+ 𝑗 + 𝑘)3 Δ𝐵

[𝐵𝑜𝑧𝑖𝑗𝑘 + 1

2 𝑙(𝑧𝑖𝑗𝑘 + 𝜕𝐵𝑧𝑖𝑗𝑘)Δ𝐵]

− 𝑙 +𝑚

3

[𝐵𝑜𝑧𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚 + 1

2 𝑙(𝑧𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚 + 𝜕𝐵𝑧𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚)Δ𝐵], (5.26)

que corresponde a uma expansão de Taylor do coeficiente 𝜒1 em 5.20, e assim, oTensor 5.18 é conservado em primeira ordem e simétrico

𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈(1) = 1

2𝜕𝜇(𝑇 𝜇𝑖(1) + 𝑇 𝑖𝜇

(1)) + 𝒪(𝑙2) ≈ 0. (5.27)


Como 𝑅𝜈 é de primeira ordem, então ele é reabsorvido quando fazemos a redefi-nição acima de 𝜖 e 𝑝, de modo que sobra apenas termos de segunda ordem ou mais quesão desprezados pela nossa aproximação linear em 5.25. Portanto, a construção de umfluido pela EFT e CTP corresponde, em primeira ordem, as equações fenomenológicas dahidrodinâmica encontradas em (LANDAU; LIFSHITZ, ).

5.2 Relações de Navier-StokesA relação entre a hidrodinâmica da EFT em 5.13 e os graus de liberdade da equação

5.23 são obtidos ao aplicar Δ𝜇𝜈 e 𝑢𝜇 em 5.18, de modo a construirmos um dicionáriotermodinâmico como feito na seção 2.1.2. Logo, obtemos

𝜀 ≡ 𝑢𝜇𝑢𝜈𝑇𝜇𝜈 = 𝜖, (5.28)

𝑃 ≡ Δ𝜇𝜈𝑇𝜇𝜈/3 = 𝑝+ 𝜒1𝜕𝜆𝑢

𝜆, (5.29)

𝑞𝜇 ≡ −Δ𝜇𝛽𝑢𝛼𝑇𝛼𝛽 = 𝜅𝜕𝜇

√𝐵 − 𝜂1𝑢

𝜆𝜕𝜆𝑢𝜇, (5.30)

𝑞𝜇 ≡ −Δ𝜇𝛼𝑢𝛽𝑇𝛼𝛽 = 0, (5.31)

𝑡𝜇𝜈 ≡ 12

[Δ𝜇𝛼Δ𝜈𝛽 + Δ𝜇𝛽Δ𝜈𝛼 − 2

3Δ𝜇𝜈Δ𝛼𝛽

]𝑇𝛼𝛽 =

12(𝑢𝜈𝑢

𝜆𝜕𝜆𝑢𝜇 + 𝑢𝜇𝑢𝜆𝜕𝜆𝑢𝜈 + 𝜕𝜇𝑢𝜈 + 𝜕𝜈𝑢𝜇 − 2

3(Δ𝜇𝜈𝜕𝜆𝑢𝜆)). (5.32)

.

Era de se esperar que a Eq. 5.28 tenha a mesma densidade de energia de um fluidoem repouso, pois estamos usando o referencial de Landau-Lifshitz da Eq. 4.7. A Eq. 5.32 éa viscosidade shear, o primeiro termo da equação 5.29 corresponde a pressão de um fluidoideal e o último termo a contribuição da viscosidade bulk.

A viscosidade bulk foi obtida primeiramente em (GROZDANOV; POLONYI,2015b) e sua Lagrangeana é

ℒ(1)𝑏𝑢𝑙𝑘 = 𝑇 4

𝑜

∑𝑖,𝑗,𝑘

𝑧′𝑖𝑗𝑘(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚

𝛾 )𝐵𝜕𝜇𝜑𝑖𝐼𝜕𝜈𝜑𝑗𝐽𝜕𝜇𝐾𝑘𝜈 . (5.33)


O seu tensor energia-momento é

𝑇 𝜇𝜈 = 𝜖′𝑢𝜇𝑢𝜈 + 𝑝′Δ𝜇𝜈 − 𝜂′1𝑢

𝜆𝑢𝜇𝜕𝜆𝑢𝜈 + (𝜒′

1𝜂𝜇𝜈 + 𝜒′

2𝑢𝜇𝑢𝜈)𝜕𝜆𝑢

𝜆 + 𝛽′𝑢𝜇𝜕𝜈√𝐵. (5.34)

Seguindo o mesmo raciocínio da 5.15, os coeficientes são descritos como

𝛽′ = 𝐵

3∑𝑖,𝑗,𝑘

𝑖𝑧′𝑖𝑗𝑘, 𝜂′

1 = 𝐵3/2

3∑𝑖,𝑗,𝑘

(𝑗 − 𝑘)𝑧′𝑖𝑗𝑘, (5.35)

𝜒′1 =

√𝐵𝛽′ + 𝜒′

2, 𝜒′2 = 𝐵3/2

3∑𝑖,𝑗,𝑘

∑𝑙≤𝑚

[(𝑗 − 𝑘)𝑧′𝑖𝑗𝑘 −𝐷′

𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚]. (5.36)

Onde 𝐷′𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚|𝜑+=𝜑− ≡ 𝐵(𝑙 + 𝑚)𝑧′

𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚 e 𝑧′𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚 ≡ 𝜕𝑧′/𝜕(𝐾 𝑙

𝛾𝐾𝑚𝛾). As variáveis

dissipativas se escrevem por

𝜀 ≡ 𝑢𝜇𝑢𝜈𝑇𝜇𝜈 = 𝜖′ (5.37)

𝑃 ≡ Δ𝜇𝜈𝑇𝜇𝜈/3 = 𝑝′ + 𝜒′

1𝜕𝜆𝑢𝜆, (5.38)

𝑞𝜇 ≡ −Δ𝜇𝛽𝑢𝛼𝑇𝛼𝛽 = 𝛽′𝜕𝜇

√𝐵 − 𝜂′

1𝑢𝜆𝜕𝜆𝑢𝜇, (5.39)

𝑞𝜇 ≡ −Δ𝜇𝛼𝑢𝛽𝑇𝛼𝛽 = 0, (5.40)

𝑡𝜇𝜈 ≡ 12

[Δ𝜇𝛼Δ𝜈𝛽 + Δ𝜇𝛽Δ𝜈𝛼 − 2

3Δ𝜇𝜈Δ𝛼𝛽

]𝑇𝛼𝛽 = 0, (5.41)

A Lagrangeana 5.33 incorpora 𝑢𝜇 e 𝐵 como os únicos graus de liberdade neces-sários. No entanto, o termo da viscosidade shear não aprece ao se fazer o procedimentoem 5.17, uma vez que é necessário a quebra do grupo responsável pela simetria 5.4, sóque em nenhum momento os graus de liberdade empregados conduziriam a essa quebra,porque 𝑢𝜇 não possui restrições a preservação do volume e é invariante sobre difeomor-fismo, 𝐾𝜇 ∼ 𝑢𝜇 (ENDLICH et al., 2011) e, por conseguinte, não pode depender de 𝐵 queé invariante sobre a simetria 5.4. A fenomenologia da viscosidade bulk é uma perturba-ção radial e a Lagrangeana é curl free pelo termo 𝐾𝜇𝐾𝜈 acoplado em 𝜕𝜇𝐾

𝑘𝜈 enquanto o

termo 𝐵−1𝑖𝐼𝑗𝐽𝜕

𝜇𝜑𝑖𝐼𝜕𝜈𝜑𝑗𝐽 representa a dinâmica de componentes de energia-momento per-pendicular ao fluxo de corrente 𝐾𝑖𝜇. Lembrando que 𝐵−1

𝐼𝐽 é do mesmo grupo que 𝐵𝐼𝐽 em5.3, porque o inverso é uma propriedade de um grupo dado por: cada elemento 𝐵𝐼𝐽 em𝑆𝑂(3), existe um elemento 𝐵−1

𝐼𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3), tal qual o produto é igual ao elemento unitário


(matriz identidade). O determinante det (𝜕𝜉+𝐼/𝜕𝜑+𝐼) do termo 𝐵−1𝐼𝐽 não é mais igual á

1, o que resulta em uma configuração volumétrica alterada do espaço.

A teoria bottom-up 2.2.2 viabiliza a introdução de mais graus de liberdade paracorrelacionar com a descrição experimental da hidrodinâmica em baixa energia. A inser-ção deve, primeiramente, passar por uma revisão sobre qual a necessidade teórica a serincorporada na Lagrangeana. Por exemplo, na hidrodinâmica Euleriana a equação de NSse anula caso o fluido mova-se com rotação constante, por isso é necessário a incorporaçãoda simetria 5.3 pertencente ao grupo de rotação 𝑆𝑂(3). As variáveis, até agora, conhe-cidas são

{𝐾𝜇, 𝐵,𝐵−1

𝐼𝐽 , 𝐴𝜇𝜈}, com isso estabelecemos um grupo de variáveis irredutíveis

que nessa dissertação são invariantes de gauge e independem do fundo de coordenadas.

Viscosidade

A viscosidade shear 𝜂 e a bulk 𝜁 largamente conhecida e estudada pela hidro-dinâmica Euleriana aparece nela como equações fenomenológicas e seus coeficientes detransporte medidos por resultados experimentais ou obtidos a depender da teoria micros-cópica utilizada. Na Hidrodinâmica pela EFT, as viscosidades são calculadas próximo dascondições de equilíbrio hidrostática 𝜑𝐼 ≃ 𝑥𝑖 e 𝐵 = 𝐵𝑜,

𝜂 = 𝜂1|√𝐵=√

𝐵𝑜, 𝜁 = −𝜒2|√𝐵=

√𝐵𝑜. (5.42)

Pela simetria em CTP, os coeficientes acima serão expressos em termos das funções(𝑧303, 𝑧033, 𝑧003, 𝑧333) das Lagrangeanas 5.15 e 5.33,

𝜁 = −𝐵3/2𝑜 (𝑧003 + 𝑧303 + 2𝑧333 + 2𝑧033 + 𝑧′

333 + 𝑧′300 − 𝑧′

303 + 3𝑧′330)

+𝐵5/2𝑜 (𝑧003,03 + 𝑧303,03 + 𝑧333,03 + 𝑧033,03 − 2𝑧′

333,03 − 2𝑧′303,03

+2𝑧′330,03 + 2𝑧′

300,03) − 4𝐵5/2𝑜 (𝑧′

333,00 + 𝑧′303,00) + 4𝐵5/2

𝑜 (𝑧003,33

+𝑧303,33 + 𝑧333,33 + 𝑧033,33 + 𝑧′330,33 + 𝑧′

300,33), (5.43)

𝜂 = 𝐵3/2(𝑧003 + 𝑧033 + 𝑧303 + 𝑧333). (5.44)

Lembrando que estamos trabalhando com um fluido isotrópico, caso considerásse-mos um anisotrópico a função escalar 𝑧𝑖𝑗𝑘 seria trocada por 𝑧𝛼𝛽, um tensor anisotrópicoque iria depender de 𝐵𝐼𝐽 e 𝐴𝜇𝜈 . Os coeficientes de transportes são positivos na Hidrodinâ-mica Euleriana para satisfazer a segunda lei da termodinâmica 𝜕𝜇𝑠

𝜇 ≥ 0, sendo 𝑠𝜇 = 𝑠𝑢𝜇,onde a densidade de entropia 𝑠 deve ser monótona crescente, então um conjunto de res-trições sobre as funções 𝑧𝑖𝑗𝑘 e 𝑧′

𝑖𝑗𝑘 devem ser impostas para garantir a positividade da


entropia e dos coeficientes (𝜁, 𝜂). Essas funções fazem uma conexão entre a média dasconfigurações das variáveis microscópicas (Invariante de Lorentz) advindas de algum mo-delo teórico microscópico e se refletem, como tal, nos coeficientes 5.19 á 5.21 das equaçõesde movimento (covariante de Lorentz) caracterizadas pelas variáveis macroscópicas.

Os coeficientes (𝜂, 𝜁) encobrem propriedades microscópicas do fluido e a informa-ção a cerca dos constituintes do fluido contidos nesses coeficientes de transporte em altasordens conduzem a importantes regras no modelo de estudo do fluido em alta energia,tal como o Plasma de Quark-Glúon. Até o momento, espera-se que a EFT não dependada escala microscópica, apesar disso, a quebra desse difeomorfismo resulta em algo fisi-camente a ser levando em conta, pois esperava-se que os processos dissipativos da escalamicroscópica sejam imunes a essa deformação. Igualmente como afirma o princípio daUniversalidade em 2.2.2. Veremos mais a respeito disso no capítulo 6.

A análise das Lagrangeanas 5.15 e 5.33 foi realizada ao levar em conta um sistemaaberto. A compreensão da dissipação se dá ao analisar a expansão de graus de liberdade𝐼𝑅. A viscosidade transfere de 𝐼𝑅 até 𝑈𝑉 através de um cutoff ∼ 1

𝑇𝑜, como resultado

os graus de liberdade microscópicos influenciam as equações de movimento dos graus deliberdade macroscópicos. Os tensores 5.18 e 5.34 não fornecem um conjunto completode equações, pois a evolução física da energia interna permanece desconhecida. Nessadissertação não se propõe nenhuma teoria para analisar os graus de liberdade “escondidos”(microscópicos) na entropia, é imprescindível parametrizar as variáveis microscópicas parauma entropia dependente do tempo como feito em 𝑧′

𝑖𝑗𝑘 e 𝑧′𝑖𝑗𝑘.

Dado todos os apontamentos apresentados aqui, verifica-se que a hidrodinâmicabottom-up pode ser escrita

ℒ𝑒𝑓𝑡 = ℒ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝐵±) + ℒ𝑁𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟−𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠(𝐵±, 𝑢𝜇±, 𝐵𝐼𝐽±). (5.45)

Onde ℒ𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝐵±) foi apresentada no capítulo 3 e reproduz a Equação de Euler.ℒ𝑁𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟−𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠(𝐵±, 𝑢

𝜇±, 𝐵𝐼𝐽±) reproduz a equação de Navier-Stokes de primeira ordem. Na

próxima seção, mostraremos a dificuldade de inserir esse termo na expansão 2.4 e mostrarno próximo capítulo uma maneira de estabilizar o sistema ao adicionar uma nova variável.

5.2.1 Instabilidade e Causalidade em Navier-Stokes

A descrição quantitativa de fenômenos físicos nos conduzem a duas questões im-portantes na formulação de novas teorias, a causalidade e a estabilidade. O problema dacausalidade na equação de NS é evidente ao proceder uma perturbação linear em uma


transformada de Ansatz (KOVTUN, 2012) a partir do limite hidrostático

𝜑𝐼 = 𝑥𝐼 + 𝛿𝜋𝐼(𝑥𝜇), 𝐵 → 𝐵0 + 𝛿𝐵(𝑥𝜇). (5.46)

Onde 𝐵(𝑥𝜇) e 𝛿𝜋𝐼(𝑥𝜇) são correções de primeira ordem na entropia e no campovetorial, respectivamente. A transformada de Fourier conduzirá uma relação de dispersãode ondas sonoras

𝑤 −(𝜕𝑃

𝜕𝜌

)1/2

𝑘 + 𝑖( 4𝜂

3𝑠𝑇

)𝑘2 = 0. (5.47)

Onde a frequência angular 𝑤 e o número de onda 𝑘 geram a mesma relação dedispersão na Hidrodinâmica Euleriana: 𝑣 = 𝑤

𝑘∼ 𝑘 (HISCOCK; LINDBLOM, 1985). É

fácil ver que qualquer dependência na velocidade de propagação proporcional a 𝑘 causaráum comportamento não físico em comprimentos de ondas curtos e longos. Portanto, aequação tem validade apenas dentro de uma faixa de valores de 𝑘. Quando 𝑘 → 0 conse-quentemente 𝜆 → ∞ e não se consegue expressar a Hidrodinâmica Euleriana como umateoria efetiva da matéria, através de potências de Knudsen 𝐾𝑛 → 0 ou expansões de gra-dientes referidos nas Eqs. 4.1. Por outro lado, 𝑘 ≫ 1 gera uma instabilidade microscópicaque aparece em 𝑙𝑚𝑓𝑝 ∼ 𝜂/(𝑠𝑇 ), caso o fluido sofra perturbações em seu caminho estacio-nário através de flutuações lineares ou nas suas condições iniciais. E assim, a instabilidadeevoluirá sem contornos e retirará qualquer possibilidade determinística do sistema (KOV-TUN, 2012). A chance de um crescimento sem limites nos modos de propagação 𝑘 aovisualizar o problema em um referencial de Lorentz, conduzirá a uma propagação maisrápida que a velocidade da luz, o que corresponderá a modos de propagação voltandono tempo, ou melhor, uma função de green avançada. Portanto, não se pode estabelecercondições iniciais em problemas hidrodinâmicos, assim o princípio da causalidade seráviolado (ROMATSCHKE, 2010).

Caso estejamos em um sistema não relativístico a equação de NS de primeira ordemé estável, mas não causal e NS de altas ordens não são estáveis e nem causal e sofremda instabilidade Bobylev (BOBYLEV, 1982). Esses dois conceitos são correlacionados emsistemas relativísticos, quer dizer, não-causalidade implica instabilidade (DENICOL etal., 2011).

Todos os termos da Effective Field Theory devem ser renormalizáveis, mesmo queessa teoria só trabalhe com um intervalo de energia específico, caso isso não aconteça, asua capacidade de correlacionar com outros intervalos de energia ficará comprometida, aexemplo da 2.2.1 e 2.2.2. A CTP aplicada na EFT não provoca e nem resolve os casos deinstabilidade e falta de causalidade já existentes na equação de NS relativística.

A figura abaixo demonstra um comportamento não físico da Lagrangeana 5.15. A


Figura 10: O comportamento qualitativo da ação 𝑆 em função dos graus de liberdademacroscópicos de NS: 𝐵 e 𝐵𝐼𝐽 . Levando em conta o limite hidróstatico (𝜑𝐼 ≃𝑥𝐼). Figura retirada da referência (MONTENEGRO; TORRIERI, 2016).

ação é estável para variações de primeira ordem 𝛿𝐵 na entropia 𝐵, sendo o ponto mínimo𝐵 = 𝐵𝑜 o que pode ser visto pela concavidade do gráfico no seu limite inferior. A outravariável, 𝐵𝐼𝐽 , representa um ponto de sela no limite hidrostático, as perturbações crescemindefinidamente tanto a valores positivos quanto a negativos. Logo, a ação de NS nãopossui um mínimo local para 𝜑𝐼 ≈ 𝑥𝐼 . Isso explica os resultados de (FOGAçA et al., 2014;PU; KOIDE; RISCHKE, 2010) sobre estabilidade na hidrodinâmica. A falta de um mínimolocal não impede de conseguir uma equação de movimento com ação não-estacionária,visto que encontramos em 5.32. Contudo, essa equação não é uma boa candidata para umcomportamento físico na hidrodinâmica relativística dissipativa. Notamos que a Eq. deNS em 5.32 pode ser expressa como dependente de derivadas de primeira ordem em 𝑢𝜇

Π𝜇𝜈 = ℎ(𝜕𝛼𝑢𝛽). (5.48)

Onde ℎ é uma função de 𝜕𝛼𝑢𝛽. Aplicando algumas manipulações algébricas oriun-das de 3.11 e 3.17, temos 𝜕𝜇(Δ𝜇𝜈) = 𝑢𝜈𝜕𝜇𝑢

𝜇 + 𝑢𝜇𝜕𝜇𝑢𝜈 , sendo a métrica independente

dos graus de liberdade de campo, e 𝜕𝜇(Δ𝜇𝜈) = 𝜕𝜇(𝐵−1𝐼𝐽 𝜕

𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽) = 𝜕𝜇(𝐵−1𝐼𝐽 )𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 +

𝐵−1𝐼𝐽 𝜕𝜇(𝜕𝜇𝜑𝐼)𝜕𝜈𝜑𝐽 + 𝐵−1

𝐼𝐽 𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇(𝜕𝜈𝜑𝐽) e ao usar a relação 𝑢𝜇𝜕𝜇𝜑

𝐼 = 0 e 𝑢𝜈𝜕𝜇𝑢𝜈 = 0.Criamos quatro identidades

∙ 𝑢𝜈𝜕𝜇(Δ𝜇𝜈) = 𝜕𝜇𝑢𝜇 = 𝑢𝜈𝐵

−1𝐼𝐽 𝜕

𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜕𝜈𝜑𝐽 ,

∙ 𝑢𝛾𝜕𝜇(Δ𝛾𝜈) = 𝜕𝜇𝑢𝜈 = 𝑢𝛾𝐵−1𝐼𝐽 𝜕𝜇𝜕𝛾𝜑

𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 ,

∙ 𝑢𝛾𝜕𝜇(Δ𝛾𝜈) = 𝜕𝜇𝑢𝜈 = 𝑢𝛾𝐵

−1𝐼𝐽 𝜕𝜇𝜕

𝛾𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 ,


∙ 𝑢𝛾𝜕𝜇(Δ𝛾𝜈) = 𝜕𝜇𝑢𝜈 = 𝑢𝛾𝐵

−1𝐼𝐽 𝜕

𝜇𝜕𝛾𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 .

O tensor 5.48 pode ser reescrito como

Π𝜇𝜈 = ℎ(𝐵−1𝐼𝐽 𝑢𝜇𝜕𝜆𝜕

𝜈𝜑𝐼𝜕𝜆𝜑𝑗) (5.49)

e percebe-se que 𝐵−1𝐼𝐽 é de primeira ordem na equação acima e uma forma de es-

tabilizar a Lagrangian é quando se usa termos de potências pares de 𝐵𝐼𝐽 . No próximocapítulo resolveremos o problema da equação de Navier-Stokes.

5.3 TermodinâmicaAs variáveis termodinâmicas não possuem definições microscópicas em algum re-

ferencial fora do equilíbrio, isto é, um “operador” que forneça um valor “local” dessasvariáveis, ao contrário de 𝑇 𝜇𝜈 e 𝑗𝜇. Para calcular os valores de (𝜖, 𝑝, 𝑛) fora do equilíbrio,devemos levar em conta o seu deslocamento do ponto de equilíbrio, pelas relações abaixo

𝜀 = 𝜖(𝑇, 𝜇) + 𝑓𝜖(𝜕𝑇, 𝜕𝜇, 𝜕𝑢), (5.50)

𝒫 = 𝑝(𝑇, 𝜇) + 𝑓𝒫(𝜕𝑇, 𝜕𝜇, 𝜕𝑢), (5.51)

𝒩 = 𝑛(𝑇, 𝜇) + 𝑓𝒩 (𝜕𝑇, 𝜕𝜇, 𝜕𝑢). (5.52)

Onde 𝜖, 𝑝 e 𝑛 são definidos em alguma equação de estado em equilíbrio termodinâ-mico e seus valores fora do equilíbrio são 𝜀,𝒫 ,𝒩 , respectivamente. O 𝑢𝜇 é um autovetordo tipo tempo (Landau-Lifshitz) e não é afetado por variações de primeira ordem noequilíbrio (ISRAEL; STEWART, 1979b). Esse problema é contornado com a EFT, poisnão inclui a dinâmica microscópica (ISRAEL; STEWART, 1979b).

Uma formulação relativística da hidrodinâmica acarreta alguns problemas na Ter-modinâmica. As equações dissipativas de primeira ordem levam a equações diferenciaisparabólicas, como explicitada em 5.47, e transportam informações a velocidade mais altado que a luz, violando assim, o princípio da causalidade. Esse problema foi resolvido porIsrael-Stewart ao inserir termos de segunda ordem no cálculo da corrente de entropia 𝑠𝜇

(THERMODYNAMICS. . . , 1981; NONSTATIONARY. . . , 1976). Nessa seção, estamos


interessados nas relações da equação de estado com as Lagrangeanas dissipativas em 5.15e 5.33. No sistema hidrodinâmico relativístico a entropia no caso mais geral é

𝑠𝜇 = 𝑠𝜇𝑐𝑎𝑛 + 𝑠𝜇

𝑐𝑜𝑟𝑟, (5.53)

No sistema em equilíbrio (estado que não muda seus parâmetros intensivos e ex-tensivos com o tempo) a corrente de entropia canônica é 𝑠𝜇

𝑐𝑎𝑛 = 𝑠𝑢𝜇, sendo 𝑢𝜇 definidocomo 3.11 e a densidade de entropia é independente dos parâmetros: viscosidade e fluxode calor. Essa última afirmação, só é valida se a correção for linear, caso contrário fatoresde segunda ordem deverão ser levados em conta (NONSTATIONARY. . . , 1976), e essecaso não sera abordado na dissertação e sim em trabalhos futuros.

É conhecido, desde a teoria cinética dos gases (GROOT; LEEUWEN; WEERT, ),que a entropia de um fluido fora do equilíbrio é modificada por um termo 𝑠𝜇

𝑐𝑜𝑟𝑟 (entropiade correção). Essa correção em primeira ordem calculada no limite do regime hidrostáticonão existe, (ISRAEL; STEWART, 1979a), quando 𝑢𝜇 é escolhido sobre aquelas condiçõesde tal forma que 𝑢𝜇

𝐸 ≈ 𝑢𝜇𝐿, então os efeitos de primeira ordem em torno do equilíbrio

hidrostático são nulos

𝑢𝜇𝑢𝜆(𝑇 𝜆𝜇 − 𝑇 𝜆𝜇(0)) = 0. (5.54)

Onde 𝑇 𝜆𝜇(0) está em um estado de equilíbrio (referencial) e 𝑇 𝜆𝜇 definido em um

estado levemente fora do equilíbrio (quase estacionário), e assim os efeitos de primeiraordem 𝑠𝜇

(1) da entropia desaparecem 𝑢𝜇(𝑠𝜇(1) − 𝑠𝜇

(0)) = 0 (NONSTATIONARY. . . , 1976). A𝑠𝜇

𝑐𝑜𝑟𝑟 só é considerada em tensor energia-momento de segunda ordem ou mais, o que não éo caso até esse momento. A positividade da divergência na entropia de uma corrente forade equilíbrio, 𝜕𝜇𝑠

𝜇 ≥ 0, é uma observação física e universalmente garantida. Embora nossodesejo seja expressar a teoria não linear da hidrodinâmica pela EFT por inteiro e associarsuas simetrias com as do vetor corrente 𝑠𝜇

𝑐𝑜𝑟𝑟. Assumindo nosso tensor energia-momentolevemente fora do equilíbrio e aproximadamente conservado em primeira ordem como em5.27, a entropia 𝑠𝜇

𝑐𝑎𝑛 é

𝑠𝜇𝑐𝑎𝑛 = 𝑝𝑢𝜇

𝑇− 𝑢𝜈𝑇

𝜇𝜈

𝑇= 𝜖+ 𝑝

𝑇+ 𝑞𝜇

𝑇. (5.55)

Note que a formulação covariante e convencional da termodinâmica apresentadaacima prediz uma propagação instantânea das informações em sistemas dissipativos. Umareformulação da entropia será apresentada no próximo capítulo. A temperatura e a entro-pia no sistema dissipativo de Navier-Stokes é obtida quando se faz o mesmo procedimento


utilizado em 3.15 e 3.16 nas equações 5.28 e 5.29. A temperatura é

𝑇 = 𝑒𝑥𝑝

⎧⎨⎩∫ (

𝜕2√𝐵𝐹 − 2

√𝐵𝜒′ − 𝐵

3 𝜕√

𝐵𝜒′

𝜕√𝐵𝐹 − 𝐵

3 𝜒′

)𝑑√𝐵 + 𝑙𝑛𝒞

⎫⎬⎭ , (5.56)

e a entropia é

𝑠 = 1𝑇𝒞

𝑒𝑥𝑝

{−

√𝐵𝜕√

𝐵𝐹 −𝐵32𝜒′)

}. (5.57)

Onde 𝒞 é uma constante adimensional e 𝜒′ = ∑𝑖,𝑗,𝑘

∑𝑙≤𝑚[(𝑖+ 𝑗 + 𝑘)(𝑧′

𝑖𝑗𝑘 + 𝑧𝑖𝑗𝑘) −(𝐷′

𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚 + 𝐷𝑖𝑗𝑘,𝑙𝑚)]. Caso 𝜒′ seja igual a zero, chegamos nas mesmas relações termodinâ-micas de um fluido ideal nas Eqs. 3.15 e 3.16. Agora, iremos aplicar o divergente ao tensorfenomenológico de primeira ordem 4.6 para verificar a positividade da entropia

𝜕𝜇(𝑠𝑢𝜇) = 𝜁

𝑇(𝜕𝜇𝑢

𝜇)2 − 1𝑇𝜕𝜇𝑞

𝜇 + 1𝑇𝑢𝜈𝑢

𝜇𝜕𝜇𝑞𝜈 − 𝜂

𝑇𝑡𝜇𝜈𝜕𝜇𝑢𝜈 > 0. (5.58)

Podemos utilizar as relações termodinâmicas de 5.30, 5.39, 5.43 e 5.44 de maneiraa restringir os valores de 𝑧′

𝑖𝑗𝑘 e 𝑧𝑖𝑗𝑘, além de impor 𝜂 ≥ 0, 𝜁 ≥ 0 e uma densidade deenergia 𝜀 > 0. As restrições não fragilizam a teoria pelo fato de a própria derivação nãoconceder a priori uma positividade na entropia. Relembre que as equações de movimentoestão sendo obtidas de uma Lagrangeana não unitária.

Exemplo

A positividade da entropia 5.55 acontece quando a inequação abaixo é obedecida

𝜕𝜇(𝑞𝜇

𝑇) ≥ 0. (5.59)

O valor de 𝑞𝜇 obtido em 5.30, juntamente com as aproximações 𝑢𝜇𝑜 +𝑙𝑣𝜇 e 𝐵𝑜+𝑙Δ𝐵

concebem uma restrição para a validade da segunda lei da termodinâmica através de

𝜅′(𝐵𝑜)𝜕𝜇(𝜕𝑖 + 𝜕𝑜)(Δ𝐵) + 𝛽′(𝐵𝑜)𝜕𝑖𝜕𝑖Δ𝐵 ≥ 0. (5.60)

Sendo 𝛽(𝐵′𝑜) = 𝐵′

𝑜

3∑

𝑖,𝑗,𝑘 𝑖𝑧′𝑖𝑗𝑘 e 𝜅(𝐵𝑜) = 𝐵𝑜

3∑

𝑖,𝑗,𝑘(𝑖 + 𝑘)𝑧𝑖𝑗𝑘. É necessário imporrestrições a 𝑧′

𝑖𝑗𝑘 e 𝑧𝑖𝑗𝑘 de maneira a assegurar a validade da equação acima. Vemos queΔ𝐵 tem dependência temporal e espacial, já que a análise é feita em fluidos não relativís-tico. Com 𝜕𝑖𝑣

𝑖 = 0 o fluido não pode ser comprimido e isso implica que 𝐵 é dependentetemporalmente e espacialmente na relação 3.21. A falta de compressibilidade assegura anão conservação de entropia.

67

6 Israel-Stewart

Apresentaremos, nesse capítulo, um importante resultado motivado, primeira-mente, pelas dificuldades encontradas na equação de NS em descrever a natureza. Umamaneira de regular essa divergência, proposta por Isarel e Stewart, gerou a primeira equa-ção relativística causal e estável da hidrodinâmica (ISRAEL; STEWART, 1979a; NONS-TATIONARY. . . , 1976), obtida por argumentos entrópicos fora do equilíbrio e chamada deequação de Israel-Stewart (IS). Viemos propor uma Lagrangeana fenomenológica atravésda EFT que possibilita formular os termos de primeira ordem e propor uma sistematiza-ção da própria construção da EFT na hidrodinâmica, e assim alcançar modelos de altasescalas (energia).

A equações de IS para o termo shear

𝜏 𝜂𝜋 Δ𝜅𝜇𝜁𝜈𝑢𝛼𝜕𝛼Π𝜅𝜁 + 𝜋𝜇𝜈 = 𝜎𝜇𝜈

𝜂 + 𝒪((𝜕𝑢)2), (6.1)

e o termo bulk

𝜏 𝜁𝜋𝑢

𝛼𝜕𝛼Π + Π = 𝜎𝜁 + 𝒪((𝜕𝑢)2). (6.2)

Onde 𝜎𝜇𝜈𝜂 e 𝜎𝜁 são o termo shear e bulk de NS , respectivamente. Apenas a primeira

ordem da viscosidade de NS dada por 5.32 foi considerada e esses termos não homogê-neos dependem de valores fornecidos nas condições iniciais e os outros de ordem superior𝒪((𝜕𝑢)2) serão desprezados. O 𝜏 𝜂

𝜋 e 𝜏 𝜁𝜋 são o tempo de relaxação associado a parte shear

e bulk de NS, respectivamente. Δ𝛼𝛽𝛾𝜆 ≡ (Δ𝛼𝛾Δ𝛽𝜆 + Δ𝛼𝜆Δ𝛽𝛾)/2 − 1/3Δ𝛼𝛽Δ𝛾𝜆. Sendo𝜋𝜇𝜈 simétrico, transverso (𝑢𝜇𝜋

𝜇𝜈 = 0) e sem traço com 5 graus de liberdade novos (RO-MATSCHKE, 2010; KOVTUN, 2012). Π = Π𝜇

𝜇

3 representa um novo grau de liberdade dotermo bulk. O projetor Δ𝜅𝜇𝜁𝜈 mantém Π𝜇𝜈 ortogonal à velocidade 𝑢𝜇, devido ao termonão homogêneo da equação 6.1 ser a viscosidade shear enquanto a componente paralela á𝑢𝜇 de Π𝜇𝜈 deverá ser mantida por causa da viscosidade bulk na equação 6.2.

Quando os gradientes de pressão desaparecem na Eq. 5.41 de NS a corrente dis-sipativa relaxa instantaneamente ao seu estado estacionário o que é errado pela teoriamolecular, pois as moléculas do fluido apresentam uma velocidade finita de transmissão.As Eqs. 6.1 e 6.2 foram “criadas” para resolver esse problema a partir de um ponto devista fenomenológico, pois 𝜋𝜇𝜈 é uma extensão de NS no momento que essas correntesdisspativas são promovidas a variáveis dinâmicas que relaxam por uma escala de tempo𝜏𝜋 = 0 (GRAD, ), se 𝜏𝜋 = 0, então 𝐼𝑆 = 𝑁𝑆. O 𝜏𝜋 é uma condição necessária devido aresultados fenomenológicos, mas não suficiente, porque até o momento não se encontrou

Capítulo 6. Israel-Stewart 68

nenhum princípio fundamental da hidrodinâmica que obrigasse a inserção desse termo(ROMATSCHKE, 2010; DENICOL et al., 2011). A existência desse parâmetro pequenoé, também, entendida a partir da função espectral microscópica (DENICOL et al., 2011),mas isso acaba por ser altamente dependente de uma teoria microscópica.

6.1 Lagrangeana de Israel-StewartNessa seção, iremos aplicar o conceito de EFT no capítulo 3, CTP na seção 4.3.1

e Ostrogradski no apêndice B na formulação da Lagrangeana de IS.

Através de argumentos da EFT a sua expansão só está completa quando a teoriado vácuo é conhecida e expandida (BURCH; TORRIERI, 2015), a falta de causalidadegeralmente implica na ausência de um “vácuo” (quântico ou térmico), (ENDLICH etal., 2011; BURCH; TORRIERI, 2015). A forma, amplamente, mais aceita para resolveressa questão é promover Π𝜇𝜈 a graus de liberdade de segunda ordem independentes,(LOGANAYAGAM, 2008), oriundos de um tensor dissipativo que não é expressado pornenhuma corrente de conservação de Noether. Essa questão será abordada no momentoque discutirmos a Lagrangeana de IS na EFT e estudar as perturbações sobre um regimede equilíbrio quase estacionário. As novas variáveis físicas 𝜋𝜇𝜈 e Π devem ser invariantesde calibre. Logo, o nosso formalismo é independente das coordenadas de fundo 𝑥𝐼 , ou seja,a interpretação física não será inequívoca.

Como o fluxo de correntes dissipativas 𝜋𝜇𝜈 é elegível a 5 graus de liberdade inde-pendentes, um bom candidato na EFT a satisfazer essas mesmas simetrias é 𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈 , pois𝑢𝜇𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈 = 0 pela propriedade da Eq. 3.17 e 𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 = 𝐴𝐼𝐽

𝜈𝜇. Note que qualquer tensor de se-gunda ordem pode ser decomposto em uma soma de Tensor + Vetor + Escalar (TeVeS-Tensor-Vector-Scalar) (SURHONE; TENNOE; HENSSONOW, ), e ao aplicar em 𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈 ,

𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 = 1

3𝛿𝜇𝜈𝐴𝐼𝐽𝜆𝜆⏟ ⏞

𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟

+ (𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜈𝜑

𝐽 − 𝜕𝜈𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑

𝐽)⏟ ⏞ 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟

+

12(𝜕𝜇𝜑

𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 + 𝜕𝜈𝜑

𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽 − 2

3𝛿𝜇𝜈𝜕𝜆𝜑𝐼𝜕𝜆𝜑𝐽)⏟ ⏞

𝑡𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟

, (6.3)

desse modo obtemos uma decomposição irredutível que mantém seus subespaçosintactos e o primeiro termo da equação acima com dimensão 1 é um escalar formadopelo traço do tensor 𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈 , o segundo termo com dimensão 3 é um vetor antissimétrico e oúltimo termo é um tensor sem traço e simétrico com dimensão 5. Assim, a decomposiçãose dá em subespaços irredutíveis e a atuação de qualquer operador de rotação em algumdeles se manterá no próprio subespaço, ou seja, não misturará os termos com os demais.


A interpretação física a nível hidrodinâmico de cada um dos três termos decompostos naequação acima se dá: escalar (viscosidade bulk), vetor (vórtices) e o tensor (viscosidadeshear). Assim 𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈 = 12(𝜕𝜇𝜑

𝐼𝜕𝜈𝜑𝐽 + 𝜕𝜈𝜑

𝐼𝜕𝜇𝜑𝐽 − 2

3𝛿𝐼𝐽𝛿𝐾𝐿𝜕𝜇𝜑

𝐾𝜕𝜈𝜑𝐿) é o candidato empotencial para o tensor shear 𝜋𝜇𝜈 , pois é simétrico, transverso e sem traço, então 𝜋𝜇𝜈 ∼ 𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈

e seguindo esse mesmo raciocínio, na parte bulk, o melhor candidato é Π ∼ 13𝐴

𝐼𝐽𝜇𝜇 .

Para entender a construção da viscosidade shear e bulk é importante lembrar queΠ𝜇𝜈 não é derivado de nenhuma corrente de Noether e nem por 3.9, devido ao tensorabarcar somente fontes dissipativas. Logo, não se pode afirmar 𝜋𝜇𝜈 = 𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈 e nem Π =13𝐴

𝐼𝐽𝜇𝜇 . Uma maneira de contornar essa questão utilizando as premissas da EFT do tipo

bottom-up é aplicar novos graus de liberdade

𝑋𝐼𝐽 = 𝜕𝜇𝑌𝐼𝜕𝜇𝑌𝐽 . (6.4)

Uma vez que Π𝜇𝜈 é transverso, os graus de liberdade novos deverão ter o mesmonúmero de elementos que 𝐴𝐼𝐽

𝜇𝜈 e 𝐵𝐼𝐽 . Caso 𝜋𝜇𝜈 e Π fossem escritos unicamente com osgraus de liberdade da Hidrodinâmicas Eulerianas (𝑢𝜇, 𝑇, 𝜇) ou da EFT (𝐾𝜇, 𝐵,𝐵𝐼𝐽) efizéssemos uma correção sistemática através de uma expansão pelos números de Knudsen(DENICOL et al., 2011), estaríamos inevitavelmente atingindo as mesmas expansões dealtas ordens de NS (DENICOL et al., 2012) e o primeiro termo dissipativo daria a equação5.32, isso reforça, ainda mais, a necessidade de graus de liberdade novos com o intuitode expressar a hidrodinâmica fora do equilíbrio como proposto inicialmente por (GRAD,) e outros trabalhos como (BAIER et al., 2008). Todas essas e futuras afirmações nãoreferenciam a qualquer método microscópico a ser utilizado (TORRILHON, 2009).

A matriz escalar 𝑋𝐼𝐽 é relacionada a propriedade de homogeneidade e anisotropiae apenas pode-se mencionar sobre suas simetrias e quebras de simetrias. 𝑌𝐼 é um campoescalar novo pertinente com as condições iniciais de uma corrente de momento fora equi-líbrio e satisfaz, somente, a simetria de translação: 𝑌𝐼 → 𝑌𝐼 + 𝑏𝐼 , sendo 𝑏𝐼 uma constantepertencente ao conjunto dos reais. É fácil ver que 𝑌𝐼 não é compacto, mas por simplici-dade, faremos menção apenas a sua notação matricial 𝑋𝐼𝐽 . Expressamos o tensor shearde IS como

Π𝜇𝜈 = 𝑋𝐼𝐽𝐴𝐼𝐽𝜇𝜈 , (6.5)

e a parte bulk de IS

Π = 𝑋𝐼𝐽 13𝐴

𝐼𝐽𝜇𝜇 . (6.6)

Sendo 𝜑𝐼 um grau de liberdade utilizado na descrição do elemento de volumedo fluido e das simetrias 3.4 á 3.6. A nova variável 𝑋𝐼𝐽 não é função de 𝜑𝐼 , porque a


Lagrangeana não pode depender em segunda ordem de 𝜑𝐼 ou 𝜓, por causa do Teoremade Ostrogradski, no apêndice B, que nos previne de inserir termos de altas ordens 𝜑𝐼 naLagrangeana. A inserção de 𝑋𝐼𝐽 remete a discussão até que ponto graus de liberdadenovos são realmente necessários no estudo da influência microscópica na hidrodinâmica erelacioná-la com uma “expansão de gradiente” em termos das quantidades bulk. Contudo,a EFT se faz necessária, pois é uma teoria multi-escala do tipo bottom-up. A criaçãode variáveis é permitida para estudar escalas de alta energia (CONTINO et al., 2016),mesmo que não tenhamos uma correlação microscópica ↔ macroscópica bem definida.

Nota-se que a introdução da 3.33 provém da conservação da carga (outras dessasformas são 3.9 e 3.21), diferentemente das Eqs. 6.5 e 6.6 que indicam uma ausência decorrentes conservadas do tipo 𝜕𝜇𝐽

𝜇 = 𝑅, onde 𝐽𝜇 é oriunda de alguma configuraçãosimétrica de 𝑋, sendo 𝑅 a fonte. As equações de movimento são obtidas agora por

𝜕𝜇𝜕ℒ

𝜕(𝜕𝜇𝑍) = 𝜕ℒ𝜕𝑍

. (6.7)

Onde 𝑍 = Π𝜇𝜈(𝑋𝐼𝐽 , 𝜑𝐼). As Lagrangeanas criadas utilizando o formalismo CTP(GALLEY; TSANG; STEIN, 2014) da equação 6.1 é

ℒ𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 = 12𝜏

𝜂𝜋

(Π𝜇𝜈

− 𝑢𝛼+𝜕𝛼Π𝜇𝜈+ − Π𝜇𝜈

+ 𝑢𝛼−𝜕𝛼Π𝜇𝜈−

)+

+12Π𝜇𝜈

± Π𝜇𝜈± + 𝑋𝐼𝐽±6

[(𝐴∘)𝐼𝐽

𝜇𝜈 𝜕𝜇𝐾𝜈

]±⏟ ⏞

∼𝜎𝜂𝜇𝜈

, (6.8)

e da equação 6.2 é

ℒ𝑏𝑢𝑙𝑘 = 12𝜏

𝜁𝜋

(Π−𝑢

𝛼+𝜕𝛼Π+ − Π+𝑢

𝛼−𝜕𝛼Π−

)+ 1

2Π2± +𝑋𝐼

𝐼± [𝐾𝜇𝜕𝜇𝐵]±⏟ ⏞

∼𝜎𝜁

. (6.9)

Os gradientes de Π𝜇𝜈 das Lagrangeanas acima originam do termo responsável peloamortecimento em um oscilador harmônico amortecido. 𝜎𝜂

𝜇𝜈 e 𝜎𝜁 representam a fonteshear e bulk, respectivamente. Sendo 𝜏 𝜂

𝜋 e 𝜏 𝜁𝜋 da mesma ordem de Π𝜇𝜈Π𝜇𝜈 e tão grande

o suficiente para garantir que a velocidade de dispersão seja subluminal e não superlu-minal como em 5.47. Nesses aspectos, estamos assumindo uma solução algébrica tal queΠ𝜇𝜈Π𝜇𝜈 ∼ 𝒪(𝛿2) ≫ 𝒪(𝛿3), por esse motivo a região de aplicabilidade da hidrodinâmicaviscosa será a mesma da expansão de gradientes (ROMATSCHKE, 2010), sendo Π𝜇𝜈Π𝜇𝜈

definido positivo. Nossos resultados fornecem um dos objetivos principais buscados nessetrabalho o de encontrar um procedimento sistemático para escrever a hidrodinâmica comouma EFT (FOGAçA et al., 2014; PU; KOIDE; RISCHKE, 2010; DENICOL et al., 2011)


do tipo bottom-up. A expansão feita em 5.45 não corresponde a realidade física. Pelo apre-sentado, até agora, o único jeito de estabilizar a Lagrangeana ℒ𝑁𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟−𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 é a adição de𝑋, assim a expansão Lagrangeana é escrita

ℒ𝑒𝑓𝑡 = ℒ(0)𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙(𝐵±) + ℒ(1)

𝐼𝑆−𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟(𝐵±, 𝑋𝐼𝐽±, 𝐵𝐼𝐽±)+

ℒ(1)𝐼𝑆−𝑏𝑢𝑙𝑘(𝐵±, 𝑋𝐼𝐽±, 𝐵𝐼𝐽±) + ℒ(2)(𝑋, (𝜕𝜑±)2). (6.10)

O primeiro termo do lado direito corresponde ao fluido ideal 3.8, o segundo e oterceiro termo fornecem a dinâmica dissipativa em primeira ordem (sem modos instáveis)da viscosidade shear e bulk, respectivemente, e ℒ(2) possui termos de segunda ordemem 𝜑𝐼 e 𝑋𝐼𝐽 em conjunto com suas respectivas derivadas (BHATTACHARYA; BHAT-TACHARYYA; RANGAMANI, 2013). Todos os termos na EFT devem ser compatíveiscom simetrias de Lorentz (invariância relativística) e homogêneos, já que a instabilidadequebra a homogeneidade espacial. A Lagrangeana 6.8 é estável e como pode ser vista nafigura abaixo sua ação possui um mínimo perto do limite hidrostático (𝜑𝐼 ≃ ��) tantoem variações 𝛿𝐵 quanto em 𝛿𝐵𝐼𝐽 + 𝛿𝑋𝐼𝐽 . Podemos concluir através de alguns resultadosexpostos é que a descrição da Lagrangeana em potências ímpares de 𝐵𝐼𝐽 significa umaequação de movimento instável do tipo encontrada em (PU; KOIDE; RISCHKE, 2010;FOGAçA et al., 2014) enquanto as descrições alcançadas com potências pares de 𝐵𝐼𝐽 eseus gradientes são estáveis.

É fácil ver que ao aplicar 6.8 e 6.9 em 6.7 as Eqs. 6.1 e 6.2 surgem de forma naturale o tensor energia-momento é

𝑇 𝜇𝜈 = 𝑇 𝜇𝜈0 (𝐵, 𝑢𝜇) + Π𝜇𝜈(𝑋,𝐴𝜇𝜈). (6.11)

O primeiro termo do lado direito é o tensor energia-momento ideal 3.10 e o últimotermo é o tensor energia-momento dissipativo de primeira ordem em um fluido hidrodi-nâmico. Não é mais possível fazer uma redefinição de variáveis de maneira a reescalar,por causa que 𝑋𝐼𝐽 não representa uma variável macroscópica. 𝜏 𝜂,𝜁

𝜋 através de 6.7 possuiuma dependência qualquer em função de 𝑋𝐼𝐽 (não é parametrizado por argumentos en-trópicos) e a contribuição da fonte shear ou bulk é dado por 𝑧𝑖𝑗𝑘 e 𝜕𝑧𝑖𝑗𝑘. Esperamos queas Lagrangeanas mais complicadas ℒ(𝑛), com 𝑛 ≥ 2, venham de uma mistura do conjunto{𝑍𝜇1...𝜇𝑛

𝐴,𝑛

}= {𝐵, 𝑢𝜇, 𝐵𝐼𝐽 , 𝐴

𝜇𝜈 , 𝑋𝐼𝐽},

𝛼𝐴𝐵𝑍𝜇1...𝜇𝑛

𝐴,𝑛 𝑍(𝐵,𝑛)𝜇1...𝜇𝑛 . (6.12)

Onde 𝑛 é a ordem do elemento, 𝐴 é o elemento do conjunto e 𝛼𝐴𝐵 são funçõesindeterminadas do tipo 𝑧(𝐾 𝑙𝛾𝐾𝑚

𝛾 ) como nas Eqs. 5.15 e 5.33. Nessa associação, a positivi-


Figura 11: Comportamento qualitativo da ação 𝑆 em função dos graus de liberdade deIS: 𝐵, 𝐵𝐼𝐽 e 𝑋𝐼𝐽 no limite hidrostático 𝜑𝐼 ≃ 𝑥𝐼 . A ação é definida positiva paratodos os graus de liberdade. Figura retirada da referência (MONTENEGRO;TORRIERI, 2016).

dade está assegurada em uma conexão entre as variáveis e seus gradientes que conduzemjuntamente com 4.5 a um conjunto não linear de equações diferenciais. O termo 𝑋𝐼𝐽 é“uma ordem a mais” de gradiente em relação a 𝐵 e 𝐵𝐼𝐽 ao analisar essas variáveis porpotência de Knudsen e não por gradientes. Era de se esperar isso quando um sistema estáem estado próximo ao equilíbrio pela relação 𝜏𝜋𝑇 ∼ 𝜂/𝑠, onde 𝜏𝜋 é o tempo de relaxação,e assim, consideramos variáveis de tempos e escalas de comprimento macroscópicos (𝐵e 𝐵𝐼𝐽) que estão separadas daquelas microscópicas (𝑋𝐼𝐽 . Essa relação não é universal.Em situações críticas slowing down (o tempo de relaxação cresce indefinidamente paraflutuações em pontos críticos) 𝑋𝐼𝐽 não se equilibra mesmo que a viscosidade shear atinjaum mínimo, por causa da ocorrência de transições de fase de primeira ordem a qual 𝑋𝐼𝐽

está inserido. Isso será visto na próxima seção. Agora em problemas mais gerais, 𝑋𝐼𝐽

depende das condições iniciais para estar em equilíbrio (MARTINEZ; STRICKLAND,2009; PRATT; TORRIERI, 2010).

Pela teoria CTP, as forças friccionais originam uma transferência de graus de liber-dade “microscópica” para “macroscópica”, através de cutoff ∼ 𝑇𝑜. São variáveis responsá-veis por aumentar a energia interna do sistema no conjunto de equações da Lagrangeanae uma vez que fazem essa “passagem” de UV → IR não precisam ser mais parametrizadaspor uma entropia dependente do tempo (GALLEY, 2013). Desse modo, é necessário au-mentar o número de graus de liberdade e pode parecer uma decisão arbitrária, mas deveser entendida ao respaldar em argumentos de causalidade e simetrias.


As Lagrangeanas de 2.4 com ordem Λ−1 ou mais, não conservam a energia e nãosão unitárias (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014). Essa violação em NS é ∼ (𝑙𝑚𝑓𝑝∇)2(𝐵)+�� 𝜕ℒ𝑑𝑖𝑠𝑠

𝜕𝐵enquanto para IS é

Δ𝑇 0𝑖 ∼ ��𝜕ℒ𝑑𝑖𝑠𝑠

𝜕𝑋+ ��

𝜕ℒ𝑑𝑖𝑠𝑠

𝜕��+ (𝑙𝑚𝑓𝑝∇)2(∇𝑋),

∼ (𝑙𝑚𝑓𝑝∇)(∇𝑋)2 + (𝑙𝑚𝑓𝑝∇)2(∇𝑋). (6.13)

Como requerido no espaço de configurações de mais alta energia, a introdução danova matriz𝑋𝐼𝐽 nos abre o questionamento se mais graus de liberdade serão inevitáveis emmais altas ordens. Lembrando do teorema de Ostrogradski, no apêndice B, pode se aplicá-lo recursivamente e assim criar mais graus de liberdade. No entanto, precisamos ressaltara utilização do teorema de Coleman-Mandula (WEINBERG, ) que a única quantidadeconservada é 𝑇 𝜇𝜈 . E assim os termos novos a serem adicionados na Lagrangeana da EFTnão precisam ser 𝑋𝐼𝐽𝐾 ou de segunda ordem 𝑋2

𝐼𝐽 , pois podem sempre ser absorvidosatravés de uma redefinição da variável 𝑌 𝐼 como feito na Seção 4.2 ou por contração norank do tensor de altas ordens 𝑋𝐼𝐽𝐾𝐿

2 𝑋𝐼𝐽𝑋𝐾𝐿 = 𝑋𝐾𝐿(‖ 𝜕𝑌 ‖)4 de maneira que continuemtermos não conservados. A nossa teoria é bottom-up 2.2.2 e não se pode dizer nada alémdas suas propriedades de simetrias, mesmo que a matriz encerra algum comportamento anível de escala microscópica (TORRIERI, 2013). A construção de mais altas ordens nãoserá abordado nessa dissertação, mas sim em trabalhos futuros.

A EFT permite estudar a dinâmica do fluido sobre as equações de movimentogeradas por 6.7 e 6.11, e ainda conseguir um guia para averiguar comportamento em altasdimensões (MARTINEZ; STRICKLAND, 2009; PRATT; TORRIERI, 2010).

6.2 EntropiaIremos considerar um tópico bastante importante no estudo da hidrodinâmica, a

sua relação com a termodinâmica e em especial com a segunda lei da termodinâmica.Interessante é mudarmos o foco do tensor energia-momento no capítulo 3 para a equaçãode movimento da corrente de entropia. Antes de falarmos a respeito, estabelecemos umarelação quantitativa entre a ação e a entropia, assim sendo, a TQC é equivalente a TeoriaEstatística de Campo (TEC). Mesmo que esses dois assuntos se desenvolveram em raízesdiferentes as suas conexões se dão via integral de caminho. A correspondência entre a TQCe a TEC fornece uma importante regra em trabalhos futuros. Através da performance deMatsubara (KAPUSTA, ) uma rotação de Wick (PESKIN; SCHROEDER, ) temos as


relações

𝑡 → 𝑖

𝑇, 𝑆𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑢𝑚 → 𝐹

𝑇. (6.14)

𝑆𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑢𝑚 é a ação da TQC transformada em energia livre de Helmholtz 𝐹 a tem-peratura 𝑇 . Primeiro, realiza-se uma rotação no espaço-tempo, a fim de obter um traçoEuclidiano em uma configuração imaginária do tempo 𝑡 = 𝑖𝜏 . Na TQC usa a métrica deMinkowski enquanto na TEC é a Euclidiana. No limite semiclássico, 𝑇0 → ∞, todas asflutuações quânticas se anulam e a expansão além desse limite não é correlacionada coma expansão de gradientes (TORRIERI, 2012b; BURCH; TORRIERI, 2015). Pela físicaestatística todas as propriedades podem ser obtidas da função partição canônica e daenergia livre de Helmholtz 𝐹 definida por

𝑍[𝐽 ] = 𝑒−𝛽𝐹 [𝐽 ] =∫𝐷Φ 𝑒𝑥𝑝[−𝑆𝐸[Φ] +

∫𝑑4𝑥𝐽(𝑥)Φ(𝑥))]. (6.15)

Onde 𝛽 = 1/𝑘𝐵𝑇 , 𝐽 a corrente, Φ é o conjunto de graus de liberdade definido nosistema e 𝐷Φ é o caminho da integral sobre todas as configurações de campo. Após aplicara rotação de Wick: 𝑒𝑖𝑆𝑀 [Φ]/ℎ → 𝑒−𝑆𝐸 [Φ]/ℎ saímos da ação no espaço de Minkowskian paraa ação no espaço Euclidiano.

𝐹 = 𝑇 ln𝑍, 𝑍 ≃ exp(𝑇 4

0𝑆𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

). (6.16)

pela definição de CTP no formalismo 4.29 a entropia macroscópica será

𝑠 = 1𝑇

∫ 𝑇

0𝑑𝑇 ′

∫ 2𝜋

0ℒ(𝜑±(𝑥, 𝑡 = 𝑒𝑖𝜃/𝑇 ′)

𝑑𝜃𝑑𝑑𝑥. (6.17)

Onde 𝑑 é a dimensão e com a equação acima estabelecemos uma relação de umpara um entre a corrente de entropia e termos da Lagrangeana efetiva. Conseguimos comisso mudar as flutuações quânticas para térmicas. Sendo a ação efetiva estacionária sobrevariações de primeira ordem no campo 𝜑(𝑥) e usada para formular equações de movi-mento que incorporam correções quânticas na teoria clássica sendo a Lagrangeana efetivadada por 2.4. Como foi estabelecido na seção 5.3 e na equação 5.57 a entropia de altasordens sofre contribuição da parte viscosa. Usando a equação 4.26 no limite ideal, podefacilmente expressar a entropia como 𝑇 4

0𝐵1/2. Trabalharemos com uma nova reformulação

da termodinâmica fora do equilíbrio chamada de Extended Irreversible Thermodynamics(EIT) (JOU; CASAS-VÁZQUEZ; LEBON, ) onde o conjunto de variáveis independentesinclui fluxos dissipativos que conduzem a equações hiperbólicas, diferentemente da termo-dinâmica clássica irreversível que trabalha com equações parabólicas de difusão de calore gradientes das variáveis termodinâmicas. O próximo passo seria encontrar as equaçõesdinâmicas para essas novas variáveis (JOU; CASAS-VÁZQUEZ; LEBON, ) que no nosso


caso são 𝜋𝜇𝜈 e Π. O caráter independente dos fluxos é evidente em fenômenos de altasfrequências com ordem inversa ao tempo de relaxação dos fluxos 𝜏 𝜂,𝜁

𝜋 . A fórmula defendidaem (ROMATSCHKE, 2010) é

𝜕𝜇(𝑠𝑢𝜇) = 𝜕𝜇(√𝐵𝑢𝜇) ∼ 0|𝑖=0 + Π𝜇𝜈Π𝜇𝜈 |𝑖≥1 . (6.18)

Onde 𝑖 corresponde a ordem do gradiente a ser calculado na teoria a qual estáatrelada com a ordem da correção de efeitos perturbativos na Hidrodinâmica pela La-grangeana 2.4. Notando que a medida que o acoplamento entre as variáveis irredutíveisdo conjunto 𝑍𝜇1...𝜇𝑛

𝐴,𝑛 = {𝐵, 𝑢𝜇, 𝐵𝐼𝐽 , 𝐴𝜇𝜈 , 𝑋𝐼𝐽} e seus gradientes fizerem parte das Lagran-

geanas, eles entraram automaticamente no cálculo da entropia. Mais uma outra relaçãoequivalente se percebe quando a entropia é limitada inferiormente por 𝜕𝜇(𝑠𝑢𝜇) ≥ 0 damesma forma que a ação possui um mínimo, o que reforça a conexão dessa dissertaçãocom os trabalhos de (PU; KOIDE; RISCHKE, 2010; FOGAçA et al., 2014), dentro dodomínio de validade da hidrodinâmica 𝒪(𝛿2) ≫ 𝒪(𝛿3) (BAIER et al., 2008). Uma dasvantagens da EFT reveladas na seção 2.1.2 e 5.3 é escrever a conservação da entropia eda carga pelo teorema de Noether.

Caso tenhamos um fluido a baixa temperatura 𝑇 ≪ 𝑇0 e as forças termodinâmicassão suficientemente baixas em processos fora do equilíbrio, iremos recuperar as fórmulasda entropia em (GROZDANOV; POLONYI, 2015b). Esse limite “semiclássico” parecesubestimar a corrente de entropia em fluidos de baixa viscosidade e ainda encontrar ondassonoras se propagando a distâncias muito grandes, tal qual a relação da viscosidade seja𝑘 ∼ 1

𝜂, com isso a viscosidade precisa ser normalizada (BETZ; HENKEL; RISCHKE,

2009; TORRIERI, 2012b), pois a desigualdade

1𝑇0

≪ 𝜂

𝑇𝑠, (6.19)

inevitavelmente irá quebrar quando 𝜂 → 0, onde as moléculas interagem forte-mente. Nesse caso a equação 6.16 não servirá e o funcional deverá ser calculada ao utilizartodas as variáveis e 𝑇𝑜 como constante de acoplamento

𝑒𝑆𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚(𝐵,𝑋) →∫

𝒟 [𝐵,𝑋] 𝑒𝑇 40∫

ℒ(𝐵,𝑋)𝑑4𝑥. (6.20)

Futuras interações na Lagrangeana entre 𝐵 e 𝑋𝐼𝐽 são altamente não triviais, assimcada caso deve ser analisados de modo particular segundo as suas condições iniciais. Essadinâmica pode ter um papel em esclarecer os mistérios dos fenômenos de turbulênciaproduzidos nos fluidos. Nem todas as soluções das equações de movimento de um fluidoacontecem na natureza, somente as estáveis, caso contrário esse sistema físico não seconfigura na natureza (LANDAU; LIFSHITZ, ). Alguns efeitos de turbulência acontecem


no fluido em regime de baixa viscosidade e alta velocidade (alto número de Reynolds) queconduzem a um fluxo dominado por forças inerciais. Uma interpretação física dada a issoé a transição de fase ocorrida pela criação de ondas sonoras e vórtices que compartilhamuma parte da entropia com graus de liberdade microscópicos, isto quer dizer que excitaçõesde graus de liberdade macroscópico 𝜑 com 𝑋 e seus acoplamento com graus de liberdademicroscópicos dão uma não negligenciável descrição da entropia. A figura abaixo tambémretrata uma configuração de fase de primeira ordem, onde uma descontinuidade na variáveltermodinâmica 𝜑𝐼 em um determinado ponto de tal forma que dois estados coexistamem equilíbrio nesse ponto na temperatura 𝑇𝑜 (PESKIN; SCHROEDER, ). Com certeza,existem configurações de fase de segunda ordem, pontos críticos, cross-over (LANDAU,1937), mas ainda não foram estudados sob a luz da EFT.

Figura 12: A figura do lado esquerdo é o “limite hidrostático” e do lado direito é umaturbulencia no vácuo. A energia livre está associada com graus de liberdademicroscópico e macroscópico e a ilustração representa um diagrama de fase deprimeira ordem. Figura retirada da referência (BURCH; TORRIERI, 2015).

Na hidrodinâmica clássica a configuração de baixa viscosidade e alto fluxo é umexemplo de turbulência clássica dado por soluções onde a frequência angular 𝐼𝑚[𝜔] < 0.Na EFT, a figura abaixo é um exemplo onde a turbulência pode ser entendida como a


ocorrência de múltiplos mínimos e pontos de sela distribuídos irregularmente no gráficoda ação por uma configurações da entropia: 𝐵 e 𝑋. Nesse desvios, as aproximações semi-clássicas tendem a dominar, mesmo para “gradientes pequenos”, precisamente por causa𝑇0 ∼ ⟨𝜕𝑢⟩ e a expansão EFT provavelmente quebra (DONOGHUE, 2009; TORRIERI,2013), assim como a desigualdade em 6.19. Além de 𝑇0 ser proporcional à escala de distân-cia dos graus de liberdade microscópicos, 1000(100𝑓𝑚3)−1 em uma colisão de íons pesados(ou 104/𝑚3 em um cold atom system), tais correções, ainda completamente inexplorados,poderiam tornar-se crucial para conectar nossa EFT a fenomenológia.

Figura 13: A ação 𝑆 de um sistema “turbulento” no qual as correções da EFT e gradien-tes 𝑇𝑜 são esboçadas. Figura retirada da referência (MONTENEGRO; TOR-RIERI, 2016).

A EFT emerge do grupo de renormalização de teorias microscópicas de fluxo. ALagrangeana efetiva não deve ser unitária para levar em conta as trocas de entropia entreas escalas microscópicas e macroscópicas (TORRIERI, 2013). Além do mais essa mudançaassume a existência de uma escala microscópica que não é invariante sobre transforma-ções macroscópicas o que requer termos não invariantes sobre mesmo redimensionamento(𝐵𝐼𝐽 , 𝑋𝐼𝐽). Uma manifestação, por exemplo, se dá na primeira ordem da hidrodinâmicadissipativa, já que 𝐵𝐼𝐽 e 𝑋𝐼𝐽 na escala microscópica “física” não preservam o difeomor-fismo pelo volume e como consequência não conservaram a entropia (BHATTACHARYA;BHATTACHARYYA; RANGAMANI, 2013; TORRIERI, 2013). Essa troca assume queas escalas microscópicas variam sob transformações macroscópicas.

—————————————————–

78

7 Considerações Finais e Perspectivas Futu-ras

Esperamos que o leitor possa ter feito um considerável progresso em entender,utilizar e simplificar o cálculo das observáveis físicas no estudo da dinâmica dos fluidose perceber como o trabalho fica consideravelmente simplificado ao utilizarmos a EffectiveField Theory na investigação desse frutífero sistema. Tentaremos fornecer uma visão globaldo que foi discutido na dissertação dividindo-a entre técnicas abordadas e resultados.

Primeiramente, na introdução fizemos uma discussão breve e geral sobre os váriosaspectos encabeçados na descrição de um sistema de muitos corpos a uma temperaturadiferente de zero, por uma visão de Teoria Cinética, AdS/CFT, Ultra-Cold Atoms e QGP,de maneira a enfatizar os seus aproveitamentos e aplicações na Hidrodinâmica.

No capítulo 2 estabelecemos uma apresentação da EFT e seus principais funda-mentos, para o leitor se familiarizar com essa técnica e consideramos a possibilidade deutilizar esses mesmos procedimentos nos fluidos pelo método bottom-up, pois é de fácilcorrelação com resultados experimentais de baixa energia. Juntamente com a visão dife-rente que a EFT oferece para tratar os problemas de divergência. A EFT é uma técnicaaplicada aos mais variados tipos de problemas.

Nossos esforços no capítulo 3 foram direcionados na derivação da descrição efetivade baixas energias da hidrodinâmica através da aproximação da EFT, essa aproximaçãonos permite ser agnóstico acerca da estrutura e interação microscópica do fluido e comoestamos interessados nos graus de liberdade de baixa energia/longos comprimentos deonda, escolhemos graus IR para determinar os elementos de um fluido não carregado.Simetrias internas são impostas, a fim de caracterizar homogeneidade, isotropia de umfluido ideal.

Os termos dissipativos são inclusos por uma expansão de derivadas das variáveistermodinâmicas. No capítulo 4, fizemos uma revisão desses termos a fim de mostrar que abeleza da EFT reside na abordagem da dissipação sem se preocupar com o conhecimentodo comportamento dos graus de liberdade UV, mas, unicamente, com simetrias e prin-cípios estudados por uma expansão de Lagrangeanas oriundas de graus de liberdade IRque perdem energia através de um cut-off Λ para UV.

No final do capítulo 4, mostramos a dificuldade de construir termos dissipativosda Lagrangeana, primeiramente, elucidando que os mecanismo descritos na literatura, atéo momento, não tinham condições de lidar com nenhum termo dissipativo na Hidrodi-nâmica. Então construímos uma nova reformulação, a partir do Closed-Time-Path e isso

Capítulo 7. Considerações Finais e Perspectivas Futuras 79

permitiu separar termos físicos de não físicos e construir termos dissipativos de primeiraordem sem sofrer problemas de redefinição de variáveis. Os resultados provam a utilidadedas técnicas vistas até agora para resolverem os problemas propostos na dissertação epossibilitou estudar com sucesso a dissipação em primeira ordem por uma expansão degradientes da EFT.

Por fim, mostramos os resultados sobre a Lagrangeana de Navier-Stokes no ca-pítulo 5 e verificamos o seu comportamento sobre os aspectos da EFT. Os resultadosindicaram que NS apareceu por uma quebra de simetria da preservação do difeomorfismopelo volume sob o efeito da inserção da variável 𝐵−1

𝐼𝐽 ∈ 𝑆𝑂(3). Obtemos um gráfico queexplica a instabilidade e a não causalidade de NS por um ponto de sela de 𝐵−1

𝐼𝐽 . De maneirasemelhante, foram feitas tentativas que usassem os mesmos graus de liberdade 𝜑𝐼 paradefinir altas ordens na EFT. Contudo, não encontramos Lagrangeanas que satisfaçamcritérios de estabilidade e causalidade. Pelo resultado do capítulo 5 existe uma quebra daexpansão das Lagrangeanas pelo método bottom-up na dinâmica dos fluidos. Suportadopor essa constatação nos serviremos de mais uma técnica, o Teorema de Ostrogradski quemenciona a existência de pelo menos uma instabilidade para Lagrangeanas de segundaordem ou mais.

Dada a dificuldade apresentada por NS, uma equação fenomenológica propostapor Israel-Stewart (GRAD, ) resolveu esse problema. O último capítulo 6 foi devotadoa mostrar, detalhadamente, mais um resultado ao escrever a Lagrangeana de IS. Foiexplicitado por argumentos de causalidade, simetrias e principalmente no Teorema deOstrogradski, a inserção natural da variável 𝑋𝐼𝐽 . Essa formulação fenomenológica explicoua aparência e escalonamento das variáveis UV (MONTENEGRO; TORRIERI, 2016) quenão são invariantes a respeito de IR.

A nova variável permitiu estudar dissipação e flutuações: térmicas e quânticas,além do caráter de instabilidade do vácuo em gradientes de altas ordens. A EFT emerge,naturalmente, de um grupo de renormalização do fluxo de teorias microscópicas. Pelasbases da EFT e da prescrição de Matsubara fornece uma explicação de conceitos termo-dinâmicos baseados em simetrias, quebras espontânea de simetrias. Pesquisas posterioresfocadas nisso levariam a uma melhor compreensão dos fenômenos de turbulência. Emgeral essas turbulências aparecem e provocam configuração de fase de primeira e segundaordem, ponto crítico, cross-over e gera uma motivação maior para estudar os recursos quea EFT oferece.

Existe uma grande possibilidade de estudo nessa área e ela está relacionada aconceitos fundamentais na física. Esses resultados podem ajudar a entender os muitosaspectos da física da dinâmica dos fluidos.

O capıtulo 5 e 6 se tratam de uma reprodução integral, detalhada e estendidado artigo (arXiv:1604.05291v1) postado na próxima página. O artigo foi aceito para apublicação na revista Physical Review D.

A Lagrangian formulation of relativistic Israel-Stewart hydrodynamics

David Montenegro, Giorgio TorrieriIFGW, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, Sao Paulo, Brazil

(Dated: September 25, 2016)

We rederive relativistic hydrodynamics as a Lagrangian effective theory using the doubled coordi-nates technique, allowing us to include dissipative terms. We include Navier-Stokes shear and bulkterms, as well as Israel-Stewart relaxation time terms, within this formalism. We show how theinclusion of shear dissipation forces the inclusion of the Israel-Stewart term into the theory, therebyproviding an additional justification for the form of this term.

PACS numbers: 25.75.-q,25.75.Dw,25.75.Nq

I. INTRODUCTION

Hydrodynamics, and its relativistic incarnation, is atopic of very active theoretical and phenomenologicaldevelopment [1]. Phenomenologically, it seems to pro-vide a good description of physics in heavy ion collisions,making numerical hydrodynamic solvers an indispens-able tool in this field. These phenomenological applica-tions are however hampered by the fact that a rigorouslink between hydrodynamics and “microscopic theory”(in this case, Quantum Chromodynamics close to decon-finement temperature) is still missing. In fact, a generallink between hydrodynamics and any microscopic theory,including models where hydrodynamic behavior appearsmost naturally as an infrared limit [2], is a surprisinglynon-trivial problem.

There are several aspects to this: Extending Navier-Stokes hydrodynamics to the relativistic limit will giveproblems with causality [3–5], due to the presence ofarbitrarily-high speed dissipative modes. These canbe removed by promoting all elements of the energy-momentum tensor to degrees of freedom, and giving thema Maxwell-Cattaneo type equation of motion [3, 4] char-acterized by a “relaxation time” transport coefficient.

Phenomenologically this works, and also avoids un-physical instabilities in the linearized expansion [6–8](such instabilities would affect the hydrostatic limit,making local entropy non-decrease problematic), but, ifone regards the microscopic origin of hydrodynamics asa “gradient expansion” in terms of bulk quantities, it isnot immediately clear why additional degrees of freedomneed to arise at second order, nor what the relationshipbetween relaxation time τπ and the usual microscopic“dimensionless small parameter” (the Knudsen number)of the theory is. One expects τπ to scale as the soundwave attenuation length, but this is not universally trueand in any case the extra degrees of freedom are deter-mined by initial conditions, and there is no limitationto their size [9, 10]. The existence of this extra smallparameter can also be understood from the form of themicroscopic spectral function [11], but this turns out tobe highly dependent on the exact microscopic theory weare dealing with. Some works [12] consider it a second in-dependent small parameter (“inverse Reynolds number”)

to the gradient “Knudsen number” expansion.In general, extending these approaches into a consis-

tent general systematic small parameter expansion, withpossibly additional higher-order tensor degrees of free-dom, hundreds of higher order gradient terms, and therequirement of overall hydrostatic stability entropy non-decrease seems only feasible for a select number of highlysymmetric theories and boundary conditions [13–15].

Microscopic fluctuation terms, most likely highly rel-evant in the low viscosity limit [16–19] are even moremysterious. So far, they have been studied systemati-cally only at linear order [20, 21], but evidence exists[22, 23] they cannot at all be captured in a perturbativeexpansion.

A recent attempt to investigate this problem is torewrite hydrodynamics as a field theory [24–30], withthe fields representing the Lagrangian coordinates of thefluid’s volume elements. This picture allows the use ef-fective field theory techniques [31] to investigate links be-tween microscopic and macroscopic theories without ex-plicitly writing down the microscopic dynamics. In thisapproach, hydrodynamics can be thought of as an ex-ample of an effective field theory with a cutoff, since wedo track macroscopic degrees of freedom, but only con-served currents (energy-momentum, conserved charges)averaged over each fluid cell. Thus, long wave length andmicroscopic variables can be reformulated in the sense ofeffective field theory (EFT) as, respectively, infrared andultraviolet degrees of freedom [18, 31], the latter relevantat a microscopic scale lUV (either a small distance or ahigh wavenumber/momentum). In the case of hydrody-namics the Knudsen number provides a natural expan-sion parameter, combining the mean free path lmfp andthe gradients into a dimensionless parameter. EffectiveLagrangian terms are calculated or correcting with sys-

tematic expansion of higher order derivatives (lUV .~∇)n

and the fundamental symmetries of the system.The big apparent limitation of such an approach is

that leading corrections in hydrodynamics are dissipa-tive, and standard Lagrangian theory cannot deal withthem. However, methods have been developed to over-come this problem [32–35]. Provided these can be de-veloped consistently for all orders in the EFT, the prob-lems highlighted in the preceding paragraph are all solv-able systematically. EFT techniques will automatically

2

FIG. 1. The qualitative form of the action S in terms of the bB and BIJ degrees of freedom for Navier-Stokes (top panel)and Israel Stewart hydrodynamics (bottom panel) close to thehydrostatic (φI ' xI) limit. The first exhibits a saddle point,the other is positive definite.

separate physical from non-physical terms, and fluctu-ations can be included without any approximations bypromoting the least action trajectory into a functionalintegral [19, 22, 23]. This works in this direction us-ing the “doubled coordinate approach” outlined in Ap-pendix A [27, 28] (in this work, a variable with a subscript± is doubled, without the subscript it is standard non-dissipative). As this work will show, the appearance ofextra degrees of freedom at second order, and the rela-tionship between the relaxation time and the microscopicscale, also look natural within the Lagrangian formalismonce the existence of semi-classical Lagrangian and “vac-uum stability” (the existence of an action extremum) aretaken into account. We show that, as hypothesized in[27], the extra degrees of freedom appear already in theNavier-Stokes limit, but in a way that cannot give a sta-ble hydrostatic vacuum. The extra degrees of freedomin Israel-Stewart [3, 4] are then required to stabilize thetheory.

More specifically, we shall show that the form of theLagrangian for viscous hydrodynamics has to be

L = Lideal(B±) +Lbulk(B±, uµ±) +Lshear(B±, uµ±, BIJ±)

(1)The term Lideal(B) is the one studied in [22, 24, 25], cor-responds to a conserved local quantity (the microscopicentropy. An infinite number of non-local conserved vor-ticies are also present [24]) and generates Euler’s equa-

tions. Lbulk does not require extra degrees of freedom,but needs to generate dissipative terms, something donehere using the doubling of DoFs described in appendixA. Shear viscosity requires, as well as doubling, newterms ( BIJ) which not correspond to a conserved quan-tity and break volume-preserving diffeomorphisms, andyet are necessary to define the shear viscosity. Mathe-matically, they represent the dissipation of macroscopicenergy by microscopic degrees of freedom, above the cut-off.

As we will show, extra degrees of freedom appear inLshear “implicitly”, without touching the equations ofmotion. As long known [32], actions based on such la-grangians are unstable, without global minimum (Fig.1 top panel). this can be understood as the fundamen-tal reason for the instability of the Navier-Stokes equa-tions. Furthermore, as we shall show the only way tostabilize this system (have a Lagrangian of the form Fig.1 bottom panel) is to modify Lshear,bulk into a term ofthe form LIS , with additional degrees of freedom XIJ

(corresponding to shear stress terms Πµν in the comov-ing frame, now promoted to independent degrees of free-dom), which gives rise to Israel-Stewart type dynamics,The Lagrangian of this new dynamics is therefore of theform

L = Lideal(B±) + LIS(B±, uµ±, XIJ±, BIJ±). (2)

II. A REVIEW OF IDEAL HYDRODYNAMICS

In this section, we give a review of the understandingof Lagrangian hydrodynamics as a field theory, developedin [19, 22–24].

Let us consider an uncharged fluid element. In in theLagrangian formulation of hydrodynamics it can be char-acterized by three scalar fields φI(~x, t) as d.of., whereφI is simply the Lagrangian coordinate of the comov-ing volume, and ~x the Eulerian (lab) spacetime coor-dinate. At thermostatic equilibrium these coordinatescoincide so

⟨φI⟩

= xI , with I = {1, 2, 3}, it identifyphysical coordinate in flat 3 + 1 dimensional with metricgµν = diag(−1, 1, 1, 1)1 [22].

In this formalism the dynamics of fluids, as opposedto other continuous media, can be built up by impos-ing symmetries on the Lagrangian. Translation sym-metry (φI → φI + aI with aI = const ) forces theLagrangian to depend on derivatives of φI . Rotationsymmetry (isotropy, φI → RIJ φJ), RIJ ∈ SO(3)is straightforwardly implemented by requiring the La-grangian to be a function of BIJ . Volume preserving

1 Greek letters are used here to specify spacetime coordinates,while latin letters specify comoving coordinates. The Einsteinsummation convention, with respectively 4D Minkowski and 3DEuclidean metrics, is used unless specified

3

deformation symmetry (φI → ξI(φJ), where ξI is a dif-ferent set of coordinates with the same volume element (i.e. det(∂ξI/∂φJ) = 1) implies the Lagrangian dependssolely on B. (in the hydrostatic limit each such symmetrygives the ”Goldstone bosons” of the sound waves) [25].

In summary, an ideal fluid is described as

L = T 40F (B), B ≡ det

∣∣BIJ∣∣ = det

∣∣∂µφI∂µφJ∣∣ , (3)

Where T0 is a microscopic scale whose necessity is clearsince ∂φI is dimensionless. The role of this microscopicscale , (which also absorbs a microscopic degeneracy, suchas N2

c in gauge theories) is extensively discussed in [19,23] and will be discussed later in this work.

It is straightforward derive the stress energy tensorfrom the (3) via the usual Noether current

Tµν =∑

I

∂L∂(∂µφI)

(∂νφI)− gµνL, (4)

we get

Tµν = T 40

(2B

dF

dBB−1IJ A

IJµν − Fgµν

). (5)

Where B−1IJ is inverse of matrix defined as

BIJ ≡ ∂µφI∂µφJ , AIJµν ≡ ∂µφI∂νφJ , (6)

the average value is ∆µν ≡ 〈B−1IJ AIJ〉 = uµuν + gµν

[23]. The tensor can be written in the usual hydrody-namic form

Tµν = e uµuν + p∆µν , (7)

provided the fluid energy density and pressure are, re-spectively,

eT−40 = −F (B), pT−40 = F (B)− 2BdF

dB,. (8)

and the velocity is defined, via uµ∂µφI = 0 ∀I, uµuµ =

−1 as

uµ =1

6√BεµαβγεIJK∂αφ

I∂βφJ∂γφ

K . (9)

Using the Gibbs-Duhem relation, relating entropy s topressure P , energy density ρ (Eq. 8) and temperature T

s =dP

dT

∣∣∣∣V

=P + e

T, (10)

we obtain the thermodynamic parameters

s = T 3o

√B, T = −To

√BdF/dB

g, (11)

(where to define temperature one needs to separate themicroscopic degeneracy g from T0 [23] because of the heatcapacity’s explicit dependence on g)

This entropy is the only locally conserved quantity(there are infinite numbers of non-local conserved vor-ticity charges [36] corresponding to the Noether chargesof diffeomorphisms [24]), giving rise to the conserved cur-rent used in [27]

Kµ =√Buµ, (12)

One can understand the above by defining uµ to be par-allel to entropy flow (the so-called Landau frame [36]),since the Euler-Lagrange equations applied to the La-grangian in Eq 3 will just yield ∂µK

µ = 0. The symme-try of this Lagrangian against deformation and rotationwill then yield the fact that uµ is always perpendicularto the gradients of φI .

This way one can always construct Kµ and uµ out ofφI via a projector

PµνK =1

3!εµαβνεIJK∂αφ

I∂βφJ , (13)

This definition is in accordance with Eq. 12 since clearly

Kµ ≡ PµνK ∂νφK . (14)

III. NAVIER-STOKES

The natural first order term within the Lagrangianis first order, i.e. contains exactly one gradient. Suchterms, however, are, as shown in [25], non-dynamicalsince they can always be reabsorbed into field redefini-tions. Physically, this should not surprise us since weknow that first order terms in the Navier-Stokes equa-tions are dissipative, and hence cannot be represented by“normal” Lagrangian terms. Such terms are, however,amenable to be included via the doubled degrees of free-dom formalism [28, 32–34] described in appendix A. Inthis approach, the two degrees of freedom (representedhere by φ± according to the formalism introduced within[27]) can be taken as representing the “system” and “un-observed environment”,with the two distinguished by ad-vanced and retarded boundary conditions [28].

Coarse-graining usually implies that the dynamics ofthe theory is a function of currents of conserved quan-tities, since these are the slowest to equilibrate. Theseare related to symmetries by Noether’s theorem, as wellas their derivatives. Since in the last section, we foundthat the only conserved local charge is the entropy. Weconstruct two independent vectors by doubling the de-grees of freedom (DoFs) of Eq. 12, we get two currentsdegenerated and independent

Kiµ =1

3!εµα1α2α3εIJK∂α1

φσ1I∂α2φσ2J∂α3

φσ3K , (15)

where (σ1σ2σ3) = {(−−−), (+ + +)}, for i={0, 3}. Thecurrent vectors are still conserved by ∂µK

iµ = 0, withfurther combinations are in fact forbidden by conserva-tion laws [27]. Kµ can be understood as a generalization

4

of the entropy current with doubled fields (i={0, 3}) withthe two new projectors constructed using the proprietiesof Eq 13 and 14.

P iµνK ∂λφK =1

3(Kiµ∆νλ −Kiν∆µλ), (16)

P iµνK ∂λ∂νφK =

1

3∂λKiµ. (17)

We use the CTP formalism to obtain the Lagrangianand extend the hydrodynamics formulation to first or-der terms. Following the correction to Noether’s theo-rem described in [34] and the procedure of [27]( Eq. A3in Appendix A.). We see that the stress-energy tensorin CTP can be obtained by varying just one field by theNoether current

φ+(x)→ φ+(x+ a(x)), , φ−(x)→ φ−(x). (18)

Note that in physical limit (p.l.), the φ+K = φ−K involve

Kiµ=Kµ which also defines K3µ ≡ P 3µαK ∂αφ

+K and

P 0µαK ≡ 0. As we deal with only variations in δ+φK

iµ =

iP iµαK ∂αδφ+K , the other one δ−φK

iµ = 0, after a shift the

metric x → x + a(x), we get δ+x φ+K = aµ∂µφ

+K . Byinspection its gives

δ+xKiµ = iP iµαK (∂αaλ∂

λφ+K + aλ∂λ∂αφ

+K). (19)

The displacement a(x), one can identify a equation ofmotion for Tµν with a non-vanishing divergence whichhowever depends on second-order gradients [27].

Without dissipative terms, + and − Lagrangians aresymmetric, hence the results of the previous sectionmerely get doubled [27]. The Lagrangian of Eq. 3, writ-ten in terms of Kiµ, is then promoted to

L(0)CTP = T 4

oF (K3γK

3γ)− T 4oF (K0

γK0γ),. (20)

where clearly the first term can be regarded, in the no-tation of the previous section, as the equation of statedefined by B+ and the second term as the equation ofstate defined by B−. In this form, the lagrangian is justtwo doubled lagrangians for two fluids, not talking toeach other.

Additional terms, are however possible. In [27] thebulk viscosity term was constructed to be

L(1)CTP = T 4

o

∑

i,j,k

zijk(KlγKmγ )KiµKjν∂µK

kν . (21)

which contains the same symmetries of ideal hydrody-namics. Small Latin index (symbolizing where we are inthe doubled lagrangian) are always summed over {0, 3}.The l,m is also a summation term, but, unlike non-dissipative terms, it mixes 0 and 3, because l 6= m andi, j, k is summed over (for additional details on this no-tation see [27] section IV).

The eight coefficients zijk reduce to four zijk ≡zijk||φ+K=φ−K due to CTP symmetry as well as positiv-

ity ( ensuring the system is dissipative rather than anti-dissipative, where gradients grow), see Eq. A1. Theseterms specify the dependence of the shear and bulk vis-cosity on entropy B1/2 by contractions of (Kl

γKmγ = B)

in the argument of coefficient zijk.As correctly noted in [27], the construction of the shear

viscosity term is complicated by the fact that it breaksthe volume preserving diffeomorphism symmetry, andhence cannot be just a function of K. Noting that BIJ isthe leading term allowed by all but the volume preserv-ing symmetries, and any thermodynamic quantity can berepresented as a function of B only, and using

uγ∂µ(∆γν) = ∂µuν = −uγB−1IJ ∂µ∂γφI∂νφJ , (22)

(easily proven by taking the hydrodynamic derivative ofeq. (28) of [24] ) we arrive at

L(1)CTP = T 4

o

∑

i,j,k

z′ijk(KlγKmγ )BB−1IJ ∂

µφiI∂νφjJ∂µKkν ,

(23)will, when converted to ∆Tµν via Eq. 4, produce theusual first order Navier-Stokes’ equation shear viscosityterm η and bulk viscosity ζ that represent most generalpossible correction in first order with the symmetry.

σµν ≡ η∆µα∆νβ

(∂αuβ + ∂βuα −

2

3ηαβ∂λu

λ

)+ζ∆µν∂αu

α.

(24)A similar lagrangian to Eq. 23 was recently derived in

[30] (section 7) using laboratory coordinates.Summarizing the shear viscosity appears when we

introduce “transverse stress” d.o.f.s to break rota-tional diffeomorphism symmetry of the Lagrangian,B−1IJ ∂

µφI∂νφJ , where it doesn’t volume-preserve diffeo-morphisms by a transformation det(∂ξ+I/∂φ+I) = 1.The bulk viscosity, on the other hand, can be formu-lated by a projection parallel to Kµ. As a result, theNoether current for diffeomorphism invariance, vorticity[24] is explicitly broken by Eq. 23, something we knowwell since the presence of shear viscosity dissipates vor-ticity. Bulk viscosity also violates vorticity conservation,but it does so via the “source term” of Noether’s theoremfor dissipative theories [28].

The relation between the viscosity as usually definedand the matrix coefficients as well as the instantaneusentropy B is 2 (note the mixing between shear and bulk

2 During a time dt, entropy should increase from B to B + dB,where dB/dt is a function of the gradient. Viscosity in thiscontext should be a function of B only and this can generateambiguity in the definition of viscosity, See the discussion in [27]around eq. 85,98,99. This issue is also discussed in the conclusionsection of this work.

5

viscosity terms and z)

ζ = −B3/2(z′003 + z′303 + 2z′333 + 2z′033 + z333 + z300

−z303 + 3z330) +B5/2(z′003,03 + z′303,03 + z′333,03+z′033,03 − 2z333,03 − 2z303,03 + 2z330,03 + 2z300,03)

−4B5/2(z333,00 + ¯z303,00) + 4B5/2(z′003,33 + z′303,33+z′333,33 + z′033,33 + z330,33 + z300,33), (25)

η = B3/2(z003 + z033 + z303 + z333). (26)

Where zijk,lm ≡ ∂z/∂(KlγK

mγ). Eq. 23 is very strangesince a term BIJ , independent from Kµ and B, ispresent at linear order. This term represents the dy-namics of energy-momentum components perpendicularto flow, and cannot be put in terms of DoFs invariant un-der volume-preserving diffeomorphisms. Physically, thefact that the shear viscosity term also breaks volume-preserving invariance, something physically understand-able since this kind of dissipation necessarily requires de-grees of freedom moving from from IR to UV “macro-scopic” to “microscopic” across a cutoff ∼ 1

To, and the

microscopic scale is expected to be immune to deforma-tion. The doubled degrees of freedom make it possiblethat these first order terms are physical rather than re-dundancy terms (as first order terms usually are [25, 32]).

This means, however, that the doubled Lagrangiandoes not have a minimum but at most a saddle point(Fig. 1 top panel). This means that while equationsof motion can be constructed independent of BIJ , thesewill be unstable against perturbations in the BIJ di-rection. This, in fact, explains, in terms of the La-grangian, the linear-order results of [6–8] about the in-stability of Navier-Stokes hydrodynamics and makes itapparent non-linearities cannot cure the instabilities en-countered in these works, at least at the classical level.

In reality, this condition exists implicitly for bulkviscosity as well, for while KµK

µ is positive-definite,KµKν∂

νKµ is unbounded above or below (it actuallygenerically follows shear viscosity in the sense that bothBIJ and KµKν∂

νKµ can become large and arbitrarilypositive/negative when gradients do not follow the direc-tion of entropy flow ). Hence, Eq. 21 is also unboundedbelow, as expected from the fact that bulk and shear vis-cosity instabilities arise in a very similar way [7] . Theway to stabilize the Lagrangian is clearly to add higherorder well behaved (even-power) terms, something thatrequires a few subtleties, as explained in the next section.

IV. ISRAEL-STEWART

The NS shows unphysical behavior for short wave-length, with a causality problem is most clearly seen byconsidering linearized perturbations. The equations ofmotion for a Lagrangian perturbed from the hydrostaticlimit

φI = xI + δπI(xµ), B → B0 + δB(xµ)

will, when linearized in δB and Fourier transformed, yielda dispersion relation for sound-waves of frequency w andwave-number k

w −(∂P

∂ρ

)1/2

k + i

(4η

3sT

)k2 = 0 (27)

It is clear that, for the high wavenumber diffusive mode,the speed of diffusion

v =w

k∼ k

Therefore, for k 4η3sT � 1 we go to limit where modes of

propagation can be travel faster than light, then principleof causality will be violated. As long been known [6], suchlack of causality implies lack of stability. The Lagrangiantreatment in the previous section, with a demonstrationthe Lagrangian is unbound, confirms the lack of stabilityis not an artifact of leading-order approximations but afundamental feature of the theory.

That Higher-order NS appears neither stable norcausal is not surprising, since the two concepts correlatedin relativistic systems, as non-causality generally impliesthe absence of a “vacuum” (either quantum or thermal),which in turn generically leads to instabilities in the ef-fective theory. The most widely accepted way to solvethis issue [3] is to promote Πµν to independent degreesof freedom at second order. This means to consider theenergy-momentum tensor to be

Tµν = Tµν0 + Πµν , (28)

where Tµν0 is given by Eq. 7 and Πµν is arbitrary beyondthe constraints of symmetry and transversality

Πµν = Πνµ, uµΠµν = 0,

the equation of motion is engineered to keep Πµν sym-metric and to have the Navier-Stokes as the asymptoticvalue.

τηπ∆κµ∆ζνuα∂απκζ + πµν = σµνη +O((∂u)2

), (29)

τ ζπuα∂αΠ + Π = σζ +O

((∂u)2

). (30)

Where, σµνη,ζ are respectively the Navier-Stokes terms for

shear and bulk viscosity (Eq. 24). Πµν = πµν + ∆µνΠwhere πµν is symmetric and transverse and has 5 DoFs[4, 17] (the two ∆... projects make sure πµν remains or-thogonal to velocity provided initial conditions are so),while Π ≡ Πµ

µ/3 Π = Πµµ is one number representing

the trace.To understand equation (29) from the EFT Lagrangian

approach, we have to remember that πµν get promoted toindependent degrees of freedom, subject to the constraintof symmetry and transversality with velocity. This de-gree of freedom is not a Noether current (and hence can-not be obtained from an Eq. such as 4) or a conserved

6

quantity. Hence, the way to write this down in our for-malism is to use

πµν = XIJ AIJµν , Π = XIJ

1

3BIJ , (31)

where XIJ is a new symmetric matrix of degrees of free-dom, one which is not necessarily isotropic but still ho-mogeneous and AIJµν are traceless and traced parts of themost general rank 2 tensor transversal to flow projectedonto the comoving frame, the scalar-tensor decomposi-tion of Eq. 6

AIJµν =1

3δµν∂λφ

I∂λφJ +1

2(∂µφ

I∂νφJ+

∂νφI∂µφ

J − 2

3δµν∂λφ

I∂λφJ). (32)

The shear part therefore is

πµν = XIJ1

2(∂µφ

I∂νφJ + ∂νφ

I∂µφJ − 2

3δµν∂λφ

I∂λφJ),

(33)and the bulk part is

Π = XIJ1

3∂λφ

I∂λφJ . (34)

Each of these new degrees of freedom can be doubled,as were equilibrium degrees of freedom in the previoussection, to model dissipative dynamics. The doubled de-grees of freedom are denoted by X±,Π±. We can see theneed for AIJµν by applying Eq. 22. It has the same roleas Eq. 23, but its coefficient is an independent degree offreedom and not fixed by shear viscosity.

The necessity of new degrees of freedom at second or-der, somewhat arbitrary in other approaches, becomesclear here from symmetry and causality arguments. SinceφI are already fixed by the initial conditions (up to thevolume-preserving and SO(3) diffeomorphism invarianceof hydrodynamics), second-order terms in the Lagrangianin therms of just φI would be either non-dissipative, non-causal, or lead to violations of conservation laws: Ostro-gradski’s theorem [37, 38] (see appendix A) prevents usfrom employing second order derivatives of φ as degreesof freedom 3 (as would have been the natural continua-tion in a gradient expansion). A πµν dependent on thefirst derivatives of φI , translated into Eq 24 can only be-come of the form

πµν = f(∂αuβ).

3 Note that the Ostrogradski instability s very different [37] fromthe instability due to the Lagrangian having saddle points whichplagues the Navier-Stokes theory (Fig. 1 top panel). In the Os-trogradski case dynamics is still well-defined, but energy is notpositive-definite. For an isolated system this does not necessar-ily produce instabilities, but coupled to another system such asystem cannot reach equilibrium. For an unbounded lagrangianthe instability happens in an isolated system too .

As shown in eq 22, such a term projected perpendicularto uµ will generally contain a pathologically linear B−1IJterm. At the Lagrangian level, this is the realizationthat, after linearization, will give a dispersion relation asa complex polynomial

w(k) = Ankn,

without extreme fine-tuning, such a dispersion relationwill inevitably be non-causal.

We note that, provided the lagrangian contains squareterms of πµν , eq. 31 will contain terms ∼ B2

IJ and hence,provided Πµν ’s normalization is positive-definite, shouldbe stable even if XIJ are arbitrary. Thus, a bounded La-grangian stable w.r.t. Ostrogradski’s conditions shouldcontain terms at least up to ∼ ΠµνΠµν where Πµν de-pends on XIJ . The leading-order dependence compatiblewith Lorentz symmetries is Eq. 33 and 34.

The introduction of these new degrees of freedom inEq. 31 and the absence of additional conserved currentsmeans equation 29 cannot be obtained from a Noethercurrent equation of the form of ∂µJ

µ = R and Jµ, R arederiveable from the symmetrized coordinates (Eq. 4 and12 are of this form), but must be obtained from the fullLagrangian equation of motion

∂µ∂L

∂(∂µZ)=∂L∂Z

(35)

where Z = Πµν(XIJ , φI). The right hand side of thisequation is fixed by the necessity of the asymptotic the-ory to relax to Navier-Stokes by symmetry, since Πµν isperpendicular to uµ, the new DoFs have to have the samenumber of elements as AIJµν , BIJ , hence the necessity forthe new matrix.

Using Πµν as variables for the Lagrangian allows usto more readily make contact with standard I-S equa-tions, but obscures the role of symmetries of the X andA terms. In particular, note that the projected tracelesspart of ∂L

∂(∂αAIJµν)∂βA

IJµν ∼ Παβ∂γu

γ , the residual violation

of conformal symmetry within volume preserving diffeo-morphism invariance for Πµν (the third term of Eq. 3.12of [5]). A conformal transformation on the Lagrangianwould generate such a term in the energy momentumtensor, and hence this term must appear with the oppo-site sign if conformal invariance was enforced at the ISlevel. A consistent development of conformally invarianthydrodynamics is however left for a different work, since,as can be seen from these equations, the relationship be-tween XIJ ,Πµν and A are complex enough to requiresome work for conformal symmetry to be fully imple-mented (there is much more to a conformal fluid thanthe absence of bulk viscosity).

The second law of thermodynamics prevents XIJ fromhaving non-dissipative terms and requires, for long dis-tances, that Πµν relaxes to its Navier-Stokes value. Thesimplest Lagrangian of this form is (note that the pro-jection of Πµν perpendicularly to uµ is taken when Πµν

is defined)

7

L = Lideal(B±) + LIS−shear + LIS−bulk + L2

((∂φ±)

2),

(36)

LIS−shear =1

2τηπ(πµν− uα+∂απµν+ − πµν+ uα−∂απµν−

)+

+1

2πµν± πµν± +

[(A◦)IJµν ∂

µKν]±︸︷︷︸

∼σηµν

,

LIS−bulk =1

2τ ζπ(Π−u

α+∂αΠ+ −Π+u

α−∂αΠ−

)+

+1

2Π2± + [Kµ∂

µB]±︸︷︷︸∼σζ

.

Where (A◦)IJµν ≡ AIJµν/BIJ and the first term is the ideal

one (Eq. 3), the next two terms give the dissipative dy-namics of Πµν and the last one gives the Navier-Stokessource Eq. 24 (note the explicit Lagrangian dependenceof section III disappears, as its presence would give rise tounstable modes). L2 contains non-dissipative “hydrody-namic” terms to second order in Gradient enumerated inworks such as [44]. It will contain shear and bulk-mixingterms, as well as further restrictions due to, for example,conformal symmetry. Its construction, as in all EFTs, isbased on enumerating all second order terms conpatiblewith Lorentz and homogeneity symmetries.

It is easy to see that Eq. 29 arises as an equation ofmotion w.r.t. X and a

Tµν = Tµν0 (B, uµ) + Πµν(XIJ , Aµν),

where Tµν0 is given by the ideal tensor Eq. 4 and Πµν isperpendicular to uµ. It is also clear that this Lagrangianis stable (the action is bounded, with one minimum, inthe near-hydrostatic (φI ' ~x) limit, as shown in Fig.1 bottom panel) against both the “old” DoFs φI andthe new one XIJ : ΠµνΠµν is positive definite, and, aslong as τπ is large enough to guarantee slower than lightdiffusion propagation the kinetic term will not containghost modes. Beyond this restriction, τη,ζπ can have anarbitrary dependence on the equilibrium DoF B.

V. DISCUSSION

Our results provide a general method to extend theEFT which completes the insights of [7, 8, 11]. For stabil-ity the theory in its Lagrangian description has to containstrictly positive powers of BIJ and its derivatives, which

means even powers with positive combinations of gradi-ents and traces at the lagrangian level. An odd powerwill generally mean an unstable equation of motion, ofthe type found in [7, 8].

Beyond these constraints, all the allowed combinationsof B,BIJ , XIJ and their gradients can go into the La-grangian, with terms suppressed in powers of the gradi-ent by the Knudsen number. Naively, terms with XIJ

are “one higher order in gradient” w.r.t. BIJ , B. This iswhat one expects when the theory is close to equilibriumand the viscosity η, relaxation time τπ, temperature Tand and entropy s are related by τπT ∼ η/s. This re-lation however is not universal. In situations of criticalslowing down it manifestly fails [39], since shear viscosityis at a minimum while XIJ never equilibrate.

More generally, since XIJ are independent degrees offreedom, their equilibration time in a classical theory de-pends on initial conditions, a dependence that, at leastin examples with reduced dimension, has been shown tobe highly non-trivial [9, 10]. This is why the proposal of[12] to treat such terms as independent of the gradientexpansion appears justified. That said, the fact that theleading order dynamics of such terms is only dissipativedoes provide an explanation for the applicability of theEFT expansion in a regime where there is scope for itfailing [40]. After all, hydrodynamic behavior appearsuniversal in nature.

These extra degrees of freedom provide a concep-tual framework for unifying Israel-Stewart hydrodynam-ics with anisotropic hydrodynamics, recently developedas a successful phenomenological theory [41, 42]. Thereis in fact no distinction between usual Israel-Stewart andanisotropic hydrodynamics in principle, since the appear-ance of DoFs corresponding to anisotropies is inevitablein the former. The phenomenological success of [41, 42]might be due to the fact that the latter keeps track,within the gradient expansion, the fact that anisotropiesin the gradient are very different in the transverse andlongitudinal direction. Hence, the number of terms con-sidered should vary between these directions.

It should be remembered that the dissipative termsgenerally violate conservation laws [28], but, for an EFTexpansion of a highly symmetric theory, this violationtypically goes as a higher order than the Lagrangian [27].The lagrangians examined here are no exception, sincethe violation of energy conservation examined in SectionIII is ∼ (lmfp∇)2 [27] while that in IV should be, from[28] Eq. 2.63

∆T 0i ∼ X ∂Ldiss∂X

+ X∂Ldiss∂X

+ (lmfp∇)2(∇X)

∼ (lmfp∇)(∇X)2 + (lmfp∇)2(∇X).

However, as the convergence of the IS expansion is un-clear in the general case, this issue will need to be exam-ined on a case-by case basis.

The introduction of XIJ at second order raises thequestion of weather additional degrees of freedom of

8

this sort are required at higher order. To answer thisquestion, one must remember that Ostrogradski’s the-orem can be applied sequentially. Once second orderderivatives of XIJ are taken into account, new degreesof freedom are required to ensure thermodynamic sta-bility of the theory. These terms cannot be rank twotensors, since by the Coleman-Mandula [43] theoremthe only conserved quantity is Tµν and hence a hypo-thetical XIJ

2 can be always absorbed into a redefini-tion of the non-conserved XIJ . Hence, new terms willcome as contractions of higher rank tensors, for exampleXIJKL

2 XIJXKL, with new higher rank terms being againnon-conserved. Within the Boltzmann equation [12] onecan consider these extra terms as related to moments ofthe Boltzmann equation, but our theory is ”bottom-up”so, beyond these terms encoding microscopic correlationsof some sort [47], we can say nothing about them excepttheir symmetry properties.

A topic which we did not elaborate is the role ofthe entropy in this dynamics. The conservation of theentropy current arises as an equation of motion if thenon-dissipative Lagrangian in section II is analyzed interms of its equations of motion rather than the energy-momentum tensor. To investigate the entropy currentsystematically in terms of the Lagrangian, we would needa quantitative relation between action and entropy. Inthe adiabatic limit (microscopic DoFs are parametricallyfaster than macroscopic ones) we can use Matsubara’sprescription [46]

t→ i

T, Squantum →

F

T, (37)

(where Squantum is the action of the quantum theory, Fis the free energy and T the temperature) together withthe semiclassical limit (T0 → ∞. Note that expansionbeyond this limit is uncorrelated from the gradient ex-pansion [19, 23]. It generally goes as T0 ∼ g−1, so ∼ N−2cin SU(Nc) Gauge theories)

F = T lnZ, Z ' exp(T 40 Sminimum

), (38)

and the definition of the CTP formalism [27] of Eq. A3it is clear that the macroscopic entropy of a fluid at tem-perature T will be

s =1

T

∫ T

0

dT ′∫ 2π

0

L(φ±(x, t = eiθ/T

′)dθddx. (39)

These relations ensure that there is a one to one corre-spondence between the lagrangian terms in the effectivetheory and the entropy current, which needs to be inves-tigated term by term.

In the ideal limit, where the mixing term in Eq. A1vanishes, this entropy is simply equal to T 3

0B1/2 and is

conserved, but, as elucidated in [28], dissipative termsgenerally introduce “violations” of Noether’s theorem viasources in the unobserved part of the system. Entropyconservation is of course the most well-known of such

violations. For T � T0 we should recover the entropyformulae in [27]. Hence, the formulae argued for in [4]

∂µ(suµ) = ∂µ(√Buµ) ∼ 0|i=0 + ΠµνΠµν |i≥1 , (40)

where i corresponds to gradient order can be justifiedfrom the Lagrangian description. Higher order terms inthe effective Lagrangian with couplings between XIJ andgradients of B will therefore also enter in the entropycurrent. In a sense, the non-decrease of entropy in thisformulation is equivalent to the Lagrangian being boundfrom below, which reinforces the connection between ourwork and [7, 8].

This “semiclassical” limit, though, is likely to severelyunderestimate entropy formation at low viscosity, for thefirst of the terms in the inequality required for hydrody-namics to hold [18, 19, 23]

1

T0� η

Ts� 1

∂u, (41)

will inevitably break down as η → 0. In this case Eq.38 will also break down and one will have to do the fullfunctional integral, with T0 as the coupling constant, iereplace in Eq. 38

eSminimum(B,X) →∫D [B,X] eT

40

∫L(B,X)d4x,

Relatively elementary considerations, such as the factthat vortices, which require no energy to form, do notpropagate suggests the expansion around T0 is hihglynon-perturbative, possibly necessitating nomerical meth-ods to be properly taken into account. Physically, thismeans that excitations of macroscopic degrees of freedonφI and X, and coupling of these to microscopic degreesof freedom, gives a non-negligible description of the en-tropy. The most likely appearanche of such degrees offreedom is within the variables AµνIJ of Eq. 32, classicallyforbidden within the ideal hydrodynamic limit, as shownby the first efforts to simulate this system numerically[23].

Such effects might be crucial in the low viscosity highflow limit, where the phenomenon of turbulence [36] oc-curs in the classical limit. In our picture, turbulence canbe understood as the occurrence of multiple irregularlydistributed minima and saddle points in the action as afunction of field configurations (Fig. 2). In this limit de-viations from the semiclassical approximations are likelyto dominate even for “small gradients”, precisely becauseT0 ∼ 〈∂u〉, and the EFT expansion likely breaks down[40, 47].

Such dynamics might have a role in clarifying the mys-teries the phenomenon of turbulence still yields. SinceT0 in equation 41 is proportional to the distance scale ofmicroscopic DoFs, O

(1000(100fm3)−1

)in a heavy ion

collision (or 104/m3 in a cold atom system), such correc-tions, as yet completely unexplored, could become cru-cial to connect our EFT to phenomenology. Naively, the

9

FIG. 2. The profile of the action in a ”turbulent” system(small viscosity and well away from the hydrostatic limit),and a qualitative sketch of the role of corrections of gradientand T0 terms.

fluctuation-driven mixing of turbulent and microscopicdegrees of freedom will shorten microscopic thermaliza-tion, invalidating “hydrodinamicization” scenarios suchas [48], at least beyond the planar limit. Effective fieldtheories emerge from renormalization group flow of mi-croscopic theories. Hydrodynamics is ultimately not dif-ferent, except for the fact that the effective Lagrangianmust be non-unitary to take into account entropy ex-changes between the microscopic and macroscopic scales[47]. Furthermore, this exchange assumes the existenceof a microscopic scale which is not invariant under macro-scopic transformations, requiring terms non-invariant un-der rescaling even in a theory which macroscopically isinvariant under such transformations.This is manifest atfirst order already, since viscosity, ultimately due to a”physical” microscopic scale, is represented by terms thatviolate rescaling diffeomorphisms. Given these consider-ations, any strongly-coupled relativistic microscopic fieldtheory should in principle coarse-grain to something likeEq. 2 provided coarse-graining is done within the CTPformalism, as suggested in [49].

In conclusion, we have shown that the Lagrangian for-malism incorporates naturally both the Navier-Stokesand the Israel-Stewart terms of hydrodynamics, and nat-urally explains the appearance and scaling of these termsin a way that is somewhat model-dependent and ad hocin other approaches. We await to see to what extent thisproof can be generalized to arbitrary order.

Acknowledgements GT acknowledges support fromFAPESP proc. 2014/13120-7 and CNPQ bolsa de produ-tividade 301996/2014-8. DM would like to acknowledgeCNPQ graduate fellowship n. 147435/2014-5 We wouldlike to thank Jorge Noronha, Saso Grozdanov and JunTakahashi for discussions and suggestions.

Appendix A: A Lagrangian description ofconservative systems

1. Introduction

In this short review we use the notation of [27]. TheLagrangian formulation is a very powerful technique forformulating both classical and quantum problems. Thereis a demand to systematic procedure of incorporate gen-eral dissipative features in variational principle. The bestway to establish this change is by theoretical modifyingthe formulation of the principle of least action [32–34].The main point that variational principle needs bound-ary conditions and temporal invariance. As a resultSturm-Liouville’s theorem implies time-symmetry, some-thing easy to derive by considering Greens functions [28].

To go beyond this limitation we will use Closed-Time-Path (CTP) [27] in the description of a closed sys-tem. For each field ψ(x), we double to a set of variableψ → (ψ+, ψ−) with same initial conditions. Physically,in the context of Lagrangian mechanics shows each vari-able represent an equation of motion where one ”absorb”and another ”loses” energy.

SCTP [ψ] =

∫ ti

tf

dd+1x{Ls[ψ+]− L∗s[ψ−]

}. (A1)

In the context of this work, the two systems can be con-sidered to be the infrared (macroscopic) and ultraviolet(microscopic) degrees of freedom.

To reproduce dissipative dynamics via a Lagrangian,each DoFs has to ensure the equality conditions(sometimes called ”physical limit”). In other words,ψ+(tf ,x) = ψ−(tf , x), and ∂nt ψ

+(ti,x) = ∂nt ψ−(ti,x),

with ψ± an function of class n. initial conditions main-tains a causality in non-conservative system while gener-ating a difference between advanced and retarded Greensfunctions.

The CTP has a degeneracy associated with ψ+ ↔ ψ−,that is, both axes obey the same equation of motion, dueto the double DoFs what imply in the action A1,

SCTP [ψ+, ψ−] = −S∗CTP [ψ−, ψ+]. (A2)

The degeneracy introduced in ψ disappear in physicslimit (p.l.), ψ+(x) = ψ−(x), only the variable ψ+ hasphysical meaning and another vanishes [27]. The effectiveLagrangian is therefore of the form (in our case ψ = φ,introduced in section II and X in section IV)

Seff [ψ] = Ss[ψ+]− S∗s [ψ−] + Si[ ˆψ+, ψ−], (A3)

where the non-accessible DoFs Si

(ψ)

are microscopic or

“high energy”, called internal energy and assumed to bea perturbation close to the ideal limit. The subtractionis equivalent [27, 34] to integrating out unseen degrees offreedom.

10

The variational principle of Ss is defined by the Hes-sian matrix δ2Si/δφ

+δφ−. The first and second term areresponsible to conserved current of energy-momentum.The Si is a small perturbation, where contains all termsdue to integration out more dissipative forces. To ensureLioville’s theorem (unitarity in the quantum theory), wewould need to compute all terms of action including theones we do not keep track of. Care needs to be taken totranslate standard Lagrangian mechanics results into thedoubled coordinate formalism. For instance, as discussedin [28] dissipative terms Si(ψ+, ψ−) generally “break”conservation laws inferred from Noether’s theorem (fric-tion is an everyday example). Nevertheless, it is possibleto extend such theorems into the dissipative domain andgauge their applicability on a case by case basis. In thenext section we will consider the case of Ostrogradski’stheorem, necessary for the derivation in section IV.

Note that the approach described here is not unique.For instance, one can integrate out the unseen degreesof freedom explicitly, as was done in [35]. We think themethod used here has more potential for a systematicgradient expansion, since, as shown in [27], violations ofnon-entropy conservation laws (energy, charge, etc) canbe systematically organized as “higher order gradient”terms, by ensuring the correct gradient power-countingfor Si w.r.t. Ss. In a direct integrating out procedure,all conservation law violations are parametrically simi-lar (essentially the “violation” is contained in the DoFsone integrates out), and because of this the approximateinvariance under conservation laws in [35] depends onlinearization as well as the EFT expansion.

2. Ostrogradski’s theorem

Ostrogradski’s theorem [37, 38] limits “well-behaved”theories to Lagrangians with two derivatives. Higherderivative terms, even with a well-defined lagrangianminimum, will have an unstable mode in the Hamiltonian(essentially, negative energy “states”). This makes localthermalization for such systems and any systems coupledto them obviously problematic. In particular, the EFTexpansion generally breaks down because the system hasa vacuum instability.

To check that Ostrogradski’s theorem applies to dissi-pative Lagrangians consider a doubled field Lagrangiandensity with field coordinate φ(xµ)

Λ(φ±, φ±µ , ..., φ±µ1...µn) = Lo(φ+, φ+µ , ..., φ+µ1...µn)

+K(φ±, φ±µ , ..., φ±µ1...µn). (A4)

Where φ±µ1...µn ≡ ∂µ1 ...∂µnφ±. We will use

(φ±, φ±µ , ..., φ±µ1...µn) ≡ (φ±αn), α is a set formed by

{µ, ..., µ1...µn}, with 0 ≤ n ≤ m and m is degree of

Lagrangian. Assuming non degeneracy we can invert thehighest derivative function as φ±αm = (φ±αl ;π

±αm) with0 ≤ l ≤ m− 1.

The canonical momentum is defined as π±αn ≡ L∂φ∓αn

when apply physical limit (”p.l.”) just π+αn ≡ L∂φ−αn

generalizing momentum is straightforwardly. The Hamil-tonian is

H(φ±αn) = φi1µ πj1α1 + ...+ φin−1

αn−1πj1αn−1

+φinαnπj1αn − Λ(φ±αn). (A5)

The set (in, jn) = {(+,−); (−,+)}, 0 ≤ n ≤ m . CTPis carried over a new poison bracket where f and g arefunctions of coordinate and momentum.

{{f, g}} =

{∂f

∂φ+αn−1

∂g

∂π−αn− ∂f

∂φ+αn−1

∂g

∂π−αn

}

+

{∂f

∂φ−αn−1

∂g

∂π+αn

− ∂f

∂φ−αn−1

∂g

∂π+αn

}. (A6)

It is straightforward to show the new equation of motionto this Hamiltonian is

∂νφαn−1 =∂H

∂πναn−1−[

∂K∂π

ναn−1

−

]

p.l.

=

{φαn−1

,H}−{{

φ−αn−1,Kp.l.

}}p.l.

, (A7)

∂νπναn−1 = − ∂H

∂φαn−1

+

[∂K

∂φ−αn−1

]

p.l.

=

{παn ,H} −{{παn− ,K

}}p.l.

. (A8)

One can see, the first term lhs is A5 and second representthe coupling between the two doubled degrees of free-dom (φ+, φ−) which corresponds to a holonomic force,between system and environment. Provided the new Hes-sian matrix is invertible

δLδφ+δφ−

6= 0, (A9)

the instability described in [37, 38], and all the problemsinherent to coupling this system to other systems, willalso appear in the dissipative Lagrangian.

[d

dt

∂Λ

∂q−− ∂Λ

∂q−

]

f.l.

= 0. (A10)

11

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Apêndices

100

APÊNDICE A – Oscilador HarmônicoAcoplado

Nesse Apêndice daremos informações adicionais acerca do Closed-Time-Path, atra-vés de um exemplo ilustrativo que visa incorporar melhor esse conceito.

Considere a ação descrita por um sistema formado por dois osciladores 𝑞(𝑡) e 𝑄(𝑡)acoplados

𝑆[𝑞,𝑄] =∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡

{𝑚/2(𝑞2 − 𝑤2𝑞2) + 𝜆𝑞𝑄+𝑀/2(��2 − Ω2𝑄2)

}. (A.1)

Sendo a frequência angular 𝜔 e a massa 𝑚 do oscilador 𝑞(𝑡), a massa 𝑀 e frequênciaangular Ω do oscilador 𝑄(𝑡) e o fator de acoplamento adimensional 𝜆 (GALLEY; TSANG;STEIN, 2014). Resolvendo 𝑄(𝑡) e inserindo na Eq. A.1, processo chamado de integratingout, a ação efetiva é

𝑆𝑒𝑓𝑓 [𝑞] =∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡

{(𝑚/2(𝑞2 −𝑤2𝑞2)+𝜆𝑞𝑄(ℎ) +𝜆2/(2𝑀)

∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡′𝑞(𝑡)𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′)𝑞(𝑡′)}. (A.2)

A função de Green é uma técnica usada para resolver problemas com condições decontorno não homogêneas (ARFKEN; WEBER, ). Como pode ser visto, a parte simétricado último termo da Eq. A.2, onde 𝑞(𝑡) ↔ 𝑞′(𝑡), ou melhor, 𝑡 ↔ 𝑡′ (GALLEY, 2013), estáacoplada a função de Green retardada, e desse jeito é possivel estabelecer uma identidadena função de Green de tal forma que 𝐺𝑟𝑒𝑡 = 𝐺𝑎𝑑𝑣, onde 𝐺𝑎𝑑𝑣 é a função de Green avançada,e então o último termo da equação acima fica

𝜆2/(2𝑀)∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡𝑑𝑡′𝑞(𝑡)[𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′) +𝐺𝑎𝑑𝑣(𝑡− 𝑡′)

2

]𝑞(𝑡′), (A.3)

o que traduz, fisicamente, em uma invariância temporal. Ao aplicar o princípio damenor ação á Eq. A.2, obtemos

𝑚𝑞 +𝑚𝑤2𝑞 = 𝜆𝑄(ℎ)(𝑡) + 𝜆2

2𝑀

∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡′{𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′) +𝐺𝑎𝑑𝑣(𝑡− 𝑡′)

}𝑞(𝑡′). (A.4)

Onde 𝑄(ℎ)(𝑡) = 𝑄𝑖𝑐𝑜𝑠Ω(𝑡− 𝑡𝑖) e ��(ℎ)(𝑡) = 𝑉𝑖

Ω 𝑠𝑖𝑛Ω(𝑡− 𝑡𝑖) são a solução homogêneado deslocamento e velocidade que nos valores iniciais são 𝑄(𝑡) são (𝑄(𝑡𝑖) = 𝑄𝑖, ��(𝑡𝑖) = 𝑉𝑖)

APÊNDICE A. Oscilador Harmônico Acoplado 101

e de 𝑞(𝑡) são (𝑞(𝑡𝑖) = 𝑞𝑖, 𝑞(𝑡𝑖) = 𝑣𝑖), (GALLEY, 2013). O problema de associar efeitosdissipativos no princípio Hamiltoniano está revelado quando o último termo da equaçãoacima possui a função 𝐺𝑎𝑑𝑣. Retira-lá permitiria inserir qualquer dependência históricaque poderia vir a ser considerada em um sistema aberto. Por isso as interações regidaspela variável 𝜆 são simétricas no tempo e conservam a energia. Então isso sugere quecondições de contorno no tempo (𝑡1 e 𝑡2) impliquem em função de Green temporal esimétrica, do mesmo jeito que uma função de Green simétrica no tempo corresponde emsatisfazer condições de contorno temporais de acordo com a teoria de Sturm-Liouville(ARFKEN; WEBER, ). Conseguimos resumir isso como:

∙ Condições de contorno → sistemas conservativos.

∙ Condições iniciais → sistemas não conservativos.

Retomando ao problema para exemplificar como o novo sistema de referencialdegenerado {+,−} quebra essa simetria (GALLEY, 2013). Inicialmente temos 𝒦 = 0,pois o sistema é conservativo. Dobrando o conjunto de variáveis (𝑞,𝑄) → (𝑞1,2, 𝑄1,2), anova ação em A.1 é equivalente ao modelo representado em 4.18,


𝑡𝑖

𝑑𝑡

{𝑚/2(𝑞2

1 − 𝑤2𝑞21) +𝑀/2(��2

1 − Ω2𝑄21)⏟ ⏞

𝐿(𝑞1,𝑄1,𝑞1,��1)

−𝑚/2(𝑞22 − 𝑤2𝑞2

2) −𝑀/2(��22 − Ω2𝑄2

2)⏟ ⏞ 𝐿(𝑞2,𝑄2,𝑞2,��2)

+𝜆𝑞1𝑄1 − 𝜆𝑞2𝑄2⏟ ⏞ 𝒦(𝑞𝑎,𝑄𝑎,𝑞𝑎,��𝑎)

}(A.5)

e após utilizar 4.20 resulta em


𝑡𝑖

𝑑𝑡

{𝑚(𝑞−𝑞+ −𝑤2𝑞−𝑞+)+𝜆𝑞−𝑄+ +𝜆𝑞+𝑄− −𝑀(��−��+ −Ω2𝑄−𝑄+)

}, (A.6)

faz-se uma integrating out na variável 𝑄± com o objetivo de transformar o sistemaem aberto e dissipativo gerando um 𝒦 = 0. A ação efetiva é encontrado após achar osvalores de 𝑄± que satisfazem 𝑀��± +𝑀Ω2𝑄± = 𝜆𝑞± (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014),e assim temos

𝑄+(𝑡) = 𝑄(ℎ) + 𝜆

𝑀

∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡′𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′)𝑞+(𝑡′), (A.7)

𝑄−(𝑡) = 𝜆

𝑀

∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡′𝐺𝑎𝑑𝑣(𝑡− 𝑡′)𝑞−(𝑡′), (A.8)

APÊNDICE A. Oscilador Harmônico Acoplado 102

𝑄+(𝑡) representa uma interação que começa nas condições iniciais (fixas) e terminanas finais e é associado com uma função de green 𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡−𝑡′) ao envolver backward in time.Enquanto 𝑄−(𝑡) de forma contrária inicia nas condições finais (solução não física para umsistema dissipativo) e termina nas iniciais, ou melhor, envolve forward in time associadocom 𝐺𝑎𝑑𝑣(𝑡 − 𝑡′). Ao aplicar o limite físico 𝑄−(𝑡) → 0 e 𝑄+(𝑡) → 𝑄(𝑡) na 4.18 a açãoefetiva é

𝑆𝑒𝑓𝑓 [𝑞±] =∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡

{𝑚(𝑞−𝑞+ − 𝜔2𝑞−𝑞+) + 𝜆𝑞−𝑄

(ℎ) + 𝜆2

𝑀

∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡′𝑞−(𝑡)𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′)𝑞+(𝑡′)}

(A.9)

diferente da equação A.2 o último termo da nova ação efetiva não possui simetria𝑡 ↔ 𝑡′ no fator 𝑞−(𝑡)𝑞+(𝑡′), onde 𝑞−(𝑡) não está acoplado ao último termo da equaçãoacima de 𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′), mas sim a 𝑞+(𝑡′) a qual possui o significado físico relacionado a umadependência histórica, as equações de movimento são calculadas por 4.25,

𝑚𝑞 +𝑚𝑤2𝑞 = 𝜆𝑄(ℎ)(𝑡) + 𝜆2

𝑀

∫ 𝑡𝑓

𝑡𝑖

𝑑𝑡′𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′)𝑞(𝑡′) (A.10)

o último termo do lado direito representa a força dissipativa do oscilador harmônicoacoplado. Conseguimos uma equação de movimento que envolve causalidade e condiçõesiniciais acoplado unicamente a função 𝐺𝑟𝑒𝑡(𝑡− 𝑡′).

Assim conseguimos mostrar por um procedimento simples e prático como trans-forma sistemas fechados em abertos, além de criar uma Lagrangeana dissipativa que for-nece um campo muito mais vasto de estudo que a respectiva equação de movimento.Para um melhor aproveitamento a referência (GALLEY; TSANG; STEIN, 2014) traz umcontexto histórico, seguido de vários exemplos e uma explicação teórica.

103

APÊNDICE B – Instabilidade deOstrogradski

Instabilidade em sistemas físicos acontecem quando uma pequena perturbação nascondições iniciais não são limitadas no tempo. O conceito de instabilidade permite averi-guar se os altos termos incluídos na EFT terão significados físicos ou não. A instabilidadeacontece na introdução de variáveis de altas ordens na EFT com o objetivo de descrever,melhor, os fenômenos da física. Será apresentado nesse apêndice uma revisão de conceitose alguns resultados.

B.1 Teorema de OstrogradskiA formulação Hamiltoniana usualmente não diminue ou aumenta a dificuldade de

resolver problemas em Mecânicas. Praticamente se usa a mesma equação diferencial coma mesma ordem, porque é equivalente a equação de Lagrange. As equações de Hamiltonconduzem uma “maneira abstrata” de lidar com os conteúdos em física, pelo fato deestabelecerem mais graus de liberdade (momento canônico). Hamilton é mais abordadona Mecânica Quântica e Física Estatística. A Hamiltoniana, diferente da Lagrangeana, nãoé um invariante relativístico, pois não depende do sistema de coordenadas. A introduçãoda nova variável (momento canônico) definido para a densidade de Lagrangeana é

𝜋𝜇 = 𝜕ℒ𝜕𝜇𝜕𝜑

. (B.1)

A Hamiltoniana é obtida através de uma transformação de Legendre da Lagran-geana

ℋ = 𝜋𝜇𝜑𝜇 − ℒ. (B.2)

Onde 𝜕𝜇𝜑 = 𝜑𝜇. Essa transformação acontece se tivermos a matriz Hessiana nãosingular, 𝑊𝜇𝜈 = 𝜕ℒ

𝜕𝜑𝜇𝜕𝜑𝜈= 0, então o sistema é não degenerado e logo pelo teorema da

função implícita, podemos descrever 𝜑𝜇 = 𝑓(𝜑, 𝜋), caso 𝑊𝑖𝑗 = 0 a matriz é singular eo sistema é degenerado o que não será tratado nessa dissertação (CHEN et al., 2013;GOLDSTEIN; POOLE; SAFKO, ).

APÊNDICE B. Instabilidade de Ostrogradski 104

As equações de movimento de Hamilton são

𝜑𝜇 = 𝜕ℋ𝜕𝜋𝜇

= {𝜋,ℋ} , (B.3)

𝜕𝜇𝜋𝜇 = −𝜕ℋ

𝜕𝜑= {𝜑,ℋ} , (B.4)

e como foi visto, são calculados utilizando o bracket de Poison, (GOLDSTEIN;POOLE; SAFKO, ) que é definido como

{𝑓, 𝑔} = 𝜕𝑓

𝜕𝜑

𝜕𝑔

𝜕𝜋− 𝜕𝑔

𝜕𝜑

𝜕𝑓

𝜕𝜋. (B.5)

Existe um interesse em teorias de altas derivadas, porque possuem uma aplica-bilidade na descrição de um largo intervalo de fenômenos físicos. Contudo, um examecuidadoso pelo teorema de Ostrogradski mostra uma instabilidade nessas equações demovimento (WOODARD, 2015; MOTOHASHI et al., 2016).

Iremos analisar essa implicação para o caso geral de uma densidade Lagrangeananão degenerada, ℒ = (𝜑, 𝜑𝜇, ..., 𝜑𝜇1...𝜇𝑛) → ℒ(𝜑𝛼

𝑛). Onde 𝛼 é o conjunto formado por{𝜇, ..., 𝜇1...𝜇𝑛} e 𝑛 ≥ 0 é o grau da Lagrangeana. Expressando (𝜑𝛼

𝑛) em função das variáveiscanônicas do espaço de fase, a coordenada canônica e momento canônico generalizado são

Θ𝛼𝑖= 𝜑𝛼𝑖−1 , (𝑖 = 1, ...., 𝑛− 1), (B.6)

𝜋𝛼𝑖 = 𝜕ℒ𝜕𝜑𝛼𝑖

, (𝑖 = 1, ..., 𝑛), (B.7)

e a Hamiltoniana geral toma a forma

ℋ[Θ𝜇, ...,Θ𝜇1...𝜇𝑛 , 𝜋𝜇, ..., 𝜋𝜇1,...,𝜇𝑛 ] = Θ𝜇𝜋

𝜇 + ...+ Θ𝜇1...𝜇𝑛𝜋𝜇1...𝜇𝑛 − ℒ(𝜑𝛼

𝑛). (B.8)

Por Ostrogradski existe no mínimo uma instabilidade linear (CHEN et al., 2013;URRIES; JULVE, 1998) a qual pode ser vista no primeiro termo da Eq. B.8, e o graude liberdade 𝜋𝜇 no espaço de fase pode percorrer qualquer valor negativo (estados nega-tivos), em outras palavras não possui um mínimo e de um modo geral a problemáticaacontece no acoplamento com outros sistemas estáveis. A Natureza das Instabilidades sãoas mais diversas e afetam tanto a mecânica clássica quanto a quântica. Entre elas podemosdescrever brevemente:

∙ Instabilidade Clássica


Na mecânica clássica os modos de energia negativo serão preenchidos primeirodevido a leis de entropia e a medida que forem preenchidos um igual e grande número demodos de energia positivo serão criados (CHEN et al., 2013).

∙ Instabilidade Quântica

A norma do estado deve ser definida positiva pelos postulados da mecânica quân-tica. Na instabilidade de Ostrogradski teremos a criação de normas do estado negativotão bem quanto em estados de energia negativos. Em particular, isso geralmentequebra a expansão da EFT quando o vácuo não se pode fazer uma expansão(BURCH; TORRIERI, 2015).

CTP aplicado ao Teorema de OstrogradskiA equação de Hamilton é formada sob transformações canônicas invariantes. As

coordenadas canônicas em CTP são (𝜑1,2, 𝜋1,2) → (𝜑±, 𝜋±) que continuam a preservara forma da Hamiltoniana e possibilitam analisar melhor o comportamento de sistemasdissipativos. Além de estudar o espaço de fase de sistemas não conservativos, a CTP per-mite encontrar sempre uma 𝜑(𝑥𝜇) e 𝜋(𝑥𝜇) que satisfaçam as equações de Euler-Lagrangee Hamiltoniana. Escrevendo 4.24 para o caso mais geral

Λ(𝜑±, 𝜑±𝜇 , ..., 𝜑

±𝜇1...𝜇𝑛

) = ℒ𝑜(𝜑±, 𝜑±𝜇 , ..., 𝜑

±𝜇1...𝜇𝑛

) + 𝒦(𝜑±, 𝜑±𝜇 , ..., 𝜑

±𝜇1...𝜇𝑛

). (B.9)

Onde 𝜑±𝜇1...𝜇𝑛

≡ 𝜕𝜇1 ...𝜕𝜇𝑛𝜑±. Sendo (𝜑±, 𝜑±

𝜇 , ..., 𝜑±𝜇1...𝜇𝑛

) ≡ (𝜑±𝛼𝑛

), 𝛼 um conjuntoformado por {𝜇, ..., 𝜇1...𝜇𝑛}, com 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚 e 𝑚 é o grau da Lagrangeana não degenerada,inverter-se 𝜑±

𝛼𝑚= (𝜑±

𝛼𝑙; 𝜋±𝛼𝑚) with 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚− 1. O momento canônico é definido como

𝜋±𝛼𝑛 ≡ 𝜕ℒ𝜕𝜑∓𝛼𝑛 e sua generalização é realizada diretamente. No limite físico somente as

coordenadas e os momentos que sobrevivem são 𝜑+ e 𝜋+ = 𝜕Λ𝜕𝜑− (primeira ordem). A

Hamiltoniana pela Eq. B.9 é

ℋ(𝜑±𝛼𝑛

) = 𝜑𝑖1𝜇 𝜋

𝑗1𝛼1 + ...+ 𝜑𝑖𝑛−1𝛼𝑛−1𝜋

𝑗1𝛼𝑛−1 + 𝜑𝑖𝑛𝛼𝑛𝜋𝑗1𝛼𝑛 − Λ(𝜑±

𝛼𝑛). (B.10)

O conjunto (𝑖𝑛, 𝑗𝑛) = {(+,−); (−,+)}, 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑚. A CTP transita para umanovo bracket de Poisson onde 𝑓 e 𝑔 são funções da coordenada e momento canônicos.

{{𝑓, 𝑔}} ={

𝜕𝑓

𝜕𝜑+𝛼𝑛−1

𝜕𝑔

𝜕𝜋−𝛼𝑛

− 𝜕𝑓

𝜕𝜑+𝛼𝑛−1

𝜕𝑔

𝜕𝜋−𝛼𝑛

}+{

𝜕𝑓

𝜕𝜑−𝛼𝑛−1

𝜕𝑔

𝜕𝜋+𝛼𝑛

− 𝜕𝑓

𝜕𝜑−𝛼𝑛−1

𝜕𝑔

𝜕𝜋+𝛼𝑛

}. (B.11)


É direto mostrar que a nova equação de movimento para esse Hamiltoniano é

𝜕𝜈𝜑𝛼𝑛−1 = 𝜕ℋ𝜕𝜋𝜈𝛼𝑛−1

−[

𝜕𝒦𝜕𝜋

𝜈𝛼𝑛−1−

]𝑝.𝑙.

={𝜑𝛼𝑛−1 ,ℋ

}−{{𝜑−

𝛼𝑛−1 ,𝒦𝑝.𝑙.

}}𝑝.𝑙., (B.12)

𝜕𝜈𝜋𝜈𝛼𝑛−1 = − 𝜕ℋ

𝜕𝜑𝛼𝑛−1

+[

𝜕𝒦𝜕𝜑−

𝛼𝑛−1

]𝑝.𝑙.

= {𝜋𝛼𝑛 ,ℋ} −{{𝜋𝛼𝑛

− ,𝒦}}

𝑝.𝑙.. (B.13)

O último termo das duas equações acima fornecem a interação dos graus de liber-dade dissipativos (UV) para tempos assintóticos (𝑡 → ∞) o qual só é válido se a novamatriz Hessiana é invertível

𝛿Λ𝛿𝜑+𝛿𝜑− = 0. (B.14)

A instabilidade é descrita em (CHEN et al., 2013; WOODARD, 2015), e todos osproblemas inerentes ao acoplamento desse sistema com outros dissipativos irão aparecernas Lagrangeanas dissipativas.

Aplicação a um Fluido IdealNessa seção, aplicará o conceito de Ostrogradski ao fluido ideal

ℒ = 𝐹 (𝐵) = 𝐵2/3, (B.15)

Onde a coordenada generalizada é 𝜕𝜇𝜑𝐽 . Calculando o momento canônico genera-

lizado

𝜋𝜇 = 𝛿𝐹 (𝑑𝑒𝑡|𝜕𝜇𝜑𝐼𝜕𝜇𝜑

𝐽 |)𝜕𝜕𝜇𝜑𝑗

= 2𝐹𝐵𝐵𝐵−1𝐼𝐽 𝜕𝜑

𝐼 (B.16)

Seguindo a definição de Hamiltoniana em B.8

ℋ = 𝜋𝜇𝜑𝜇 − ℒ = 2𝐹𝐵𝐵𝐵−1𝐼𝐽 𝜕𝜑

𝐼𝜕𝜑𝐽 − 𝐹 (𝐵) (B.17)

Aplicando B.15 na equação acima

ℋ = 2𝐹 ′(𝐵)𝐵 − 𝐹 (𝐵) = 4/3𝐵4/3 −𝐵2/3 (B.18)


Figura 14: A Hamltoniana em termos do grau de liberdade 𝐵 para um fluido ideal.

Pelo gráfico acima percebemos que a Hamiltoniana é limitada por baixo, ou seja osistema ideal relativístico é estável e consequentemente causal (PU; KOIDE; RISCHKE,2010).

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